命题演算基本规则表
命题逻辑的推理演算
1.5 命题逻辑的推理演算数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。
推理就是由已知的命题得到新命题的思维过程。
任何一个推理都是由前提和结论两部分组成。
前提就是推理所根据的已知命题，结论则是从前提出发应用推理规则推出的新命题。
1.5.1 推理形式定义1.16设α1,α2,…,αn,β都是命题公式。
若(α1∧α2∧…∧αn)→β是重言式，则称由前提α1,α2,…,αn推出β的推理是有效的或正确的，并称β是α1,α2,…,αn的有效结论或逻辑结果，记为α1∧α2∧…∧αn⇒β或α1，α2，…，αn⇒β，记号α1∧α2∧…∧αn⇒β也称为重言蕴含或推理形式。
关于定义1.16还需做以下说明：（1）由前提α1,α2,…,αn推结论β的推理是否正确与各前提的排列次序无关，因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限公式集合。
若推理是正确的，则记为α1∧α2∧…∧αn⇒β，否则记为α1∧α2∧…∧αn≠>β。
（2）符号⇒与→是两个完全不同的符号，它们的区别与联系类似于⇔和↔的关系。
⇒不是命题联结词而是公式间的关系符号，而→是命题联结词。
这两者之间有密切的联系，即α⇒β的充要条件是公式α→β为重言式。
例1.18 写出下述推理关系的推理形式。
下午小王或去看电影或去游泳。
他没去看电影。
所以，他去游泳了。
解设P：小王下午去看电影；Q：小王下午去游泳。
前提：P∨Q，⌝P结论：Q推理形式为:(P∨Q)∧⌝P⇒Q1.5.2 推理规则在数理逻辑中，要想进行正确的推理，就必须构造一个逻辑结构严谨的形式证明，这需要使用一些推理规则。
下面就介绍人们在推理过程中常用到的几条推理规则。
1．前提引入规则(P)在推理过程中，可以随时引入已知的前提。
2．结论引用规则(T)在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的前提引用。
3．置换规则(R)在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。
离散数学第二章 命题演算的推理理论-假设推理系统
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
数学逻辑中的命题与命题演算
数学逻辑中的命题与命题演算数学逻辑是研究逻辑关系的数学分支，它的核心概念之一是命题。
命题是陈述性语句，要么是真，要么是假，而不会同时为真和假。
在数学逻辑中，命题可以通过不同的逻辑联结词组合成复合命题，并通过命题演算来推导出更复杂的逻辑关系。
一、命题的定义和性质在数学逻辑中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
常见的形式包括简单命题和复合命题。
简单命题是由一个简单陈述性语句构成的命题，例如：“今天是星期六。
”或者：“2+2=4”。
复合命题由多个简单命题通过逻辑联结词连接而成，例如：“如果天下雨，那么路面湿滑。
”或者：“如果收到10000元，我会买一台新手机。
”命题具有以下性质：1. 真值性质：一个命题要么为真，要么为假。
2. 简单性质：简单命题不是其他命题的组成部分，它不能再分解为更小的命题。
3. 复合性质：复合命题由简单命题通过逻辑联结词组合而成。
二、命题联结词在数学逻辑中，命题联结词用于连接简单命题，构成复合命题。
常见的命题联结词有以下几种：1. 否定：用符号“¬”表示，表示一个命题的反义。
2. 合取：用符号“∧”表示，表示两个命题同时为真。
3. 析取：用符号“∨”表示，表示两个命题至少有一个为真。
4. 条件：用符号“→”表示，表示第一个命题为真，则第二个命题也为真。
5. 双条件：用符号“↔”表示，表示两个命题同时为真或同时为假。
三、命题演算命题演算是一种逻辑推理方法，通过逻辑推理规则和命题联结词的运算，来推导出更复杂的命题关系。
命题演算通常包括三个主要步骤：1. 确定前提：确定给定的命题和条件。
2. 运用逻辑规则：根据逻辑规则和命题联结词的定义，进行推理。
3. 得出结论：通过逻辑推理，得出最终的结论。
命题演算可以用来证明数学定理、推导数学结论以及验证数学论证的正确性。
它对于数学逻辑的研究和发展起到了重要的作用。
总结：数学逻辑中的命题和命题演算是研究逻辑关系的重要内容。
命题是陈述性语句，可以被判断为真或假。
【精品】命题公式分类及等值演算2
命题公式及分类 等值演算
福建师范大学数学与计算机科学学院
1.2 命题公式及其赋值
• 简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基本的研 究单位，所以也称简单命题为命题常项或命题常元。 用p,q,r,…等小写字母表示命题常项。 • 称真值可以变化的陈述句为命题变项或命题变元 。 也用p,q,r,…表示命题变项。 • 当p,q,r,…表示命题变项时，它们就成了取值0或1的 变项，因而命题变项已不是命题。 • 这样一来，p,q,r,…既可以表示命题常项，也可以表 示命题变项。在使用中，需要由上下文确定它们表 示的是常项还是变项。 • 将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联 结起来的符号串称为合式公式或命题公式。
定义1.8 赋值或解释
• 设p1,p2,…,pn是出现在公式A中的全部命题变项，给 p1,p2,…,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解 释。若指定的一组值使A的真值为1，则称这组值为A的 成真赋值；若使A的真值为0，则称这组值为A的成假赋 值。 • 对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定： (1)若A中出现的命题符号为p1,p2,…,pn，给定A的赋值 α1α2,…,αn 是指p1＝α1，p2＝α2,…，pn＝αn。 (2)若A中出现的命题符号为p,q,r...,给定A的赋值 α1,α2,…,αn是指p＝α1，q＝α2,…，最后一个字母赋值αn。 上述αi取值为0或1，i＝1,2,…,n。
真值表
• 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表， 称作A的真值表。
构造真值表的具体步骤如下： (1)找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,…,pn (若无下角标就 按字典顺序排列)，列出2n个赋值。本书规定，赋值从00…0 开始，然后按二进制加法依次写出各赋值，直到11…1为止。 (2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次。 (3)对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的 真值。 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最 说 后一列是否相同，而不考虑构造真值表的中间过程。 明
命题逻辑I 命题公式与等值演算
合式公式的层次 (续)
例如 公式 p p p q (p q ) r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
21
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变元 p1, p2, … , pn指定 一组真值，称为对A的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变元的公式有2n个赋值.
28
2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
15
例
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
1 0
1 0 0
16
(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续.
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
14
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
分析初中数学中的逻辑运算与命题演算
教师专业素养的提升和发展
掌握逻辑运算与命题演算的基本原理和教学方法 不断学习和研究新的教学策略，提高教学水平 具备创新意识和实践能力，能够灵活应对教学挑战 积极参与教师培训和交流活动，提升自身专业素养
家校合作在逻辑运算与命题演算教学中的作用
互动交流：家长和教师共同 探讨教学方法和策略
资源共享：家长和教师共享 教育资源，提高教学质量
逻辑运算：是数学体系中的基础运算之一，为数学推理提供支持。
命题演算：是逻辑运算的延伸，用于研究命题之间的逻辑关系。
联系：逻辑运算和命题演算都是数学体系中重要的组成部分，它们相互联系，共同构成 了数学的基础。
区别：逻辑运算更注重推理过程，而命题演算更注重命题之间的逻辑关系。
05
如何提高学生的逻辑运算和命题演算能力
强化基础知识的学习和掌握
掌握基本的数学概念和定理 理解逻辑运算和命题演算的原理和规则 练习大量的基础题目，熟悉逻辑运算和命题演算的技巧 定期复习巩固，强化记忆和理解
加强数学证明的训练和练习
训练学生的逻辑推理能力
练习命题演算和逻辑运算 的题目
掌握数学证明的基本方法
提高学生的数学素养和思 维能力
条件。
添加标题
运算规则不同：逻 辑运算的规则包括 逻辑加、逻辑乘、 逻辑非等基本运算， 而命题演算的规则 包括推理规则和证 明规则等，可以推
导出新的命题。
添加标题
应用范围不同：逻 辑运算在计算机科 学、数学等领域有 广泛应用，而命题 演算在数学、哲学、 法律等领域有广泛
应用。
逻辑运算和命题演算在数学体系中的地位和作用
逻辑运算和命题演 算在处理推理问题 时都采用了演绎推 理的方法，即从已 知命题推导出新命 题。
自考离散数学命题演算笔记
自考离散数学命题演算笔记一、命题演算的基本概念1. 命题：可以明确判断真假的陈述句称为命题。
2. 命题符号：用字母（如p、q、r等）表示的命题称为命题符号。
3. 命题演算：研究命题符号之间关系的数学分支。
二、命题演算的基本运算1. 否定（¬）：表示对命题的否定，如¬p表示对p的否定。
2. 合取（∧）：表示两个命题的合取，如p∧q表示p和q同时为真。
3. 析取（∨）：表示两个命题的析取，如p∨q表示p和q至少有一个为真。
4. 蕴含（→）：表示两个命题的蕴含关系，如p→q表示如果p为真，则q必为真。
5. 双条件（↔）：表示两个命题的双条件关系，如p↔q表示p和q同时为真或同时为假。
三、命题演算的基本法则1. 双重否定律：¬¬p = p2. 假言三段论：p→q, ¬q→¬p3. 假言换位：p→q ↔ ¬q→¬p4. 交换律：p∧q ↔ q∧p, p∨q ↔ q∨p5. 结合律：p∧(q∧r) ↔ (p∧q)∧r, p∨(q∨r) ↔ (p∨q)∨r6. 分配律：p∧(q∨r) ↔ (p∧q)∨(p∧r), p∨(q∧r) ↔(p∨q)∧(p∨r)7. 吸收律：p∧(p∨q) ↔ p, p∨(p∧q) ↔ p8. 德摩根律：¬(p∧q) ↔ ¬p∨¬q, ¬(p∨q) ↔ ¬p∧¬q9. 互补律：p∨¬p ↔ 1, p∧¬p ↔ 010. 等幂律：p∧p ↔ p, p∨p ↔ p自考离散数学命题演算笔记四、命题逻辑函数命题逻辑函数是指对命题进行运算的函数，它将命题作为输入，输出也是一个命题。
常见的命题逻辑函数包括：1. 常函数：常函数的输出是一个固定的命题，无论输入是什么。
例如，常真函数T的输出始终为真，常假函数F的输出始终为假。
2. 投影函数：投影函数的输出是其输入之一。
命题的逻辑运算与真值表
命题的逻辑运算与真值表逻辑运算是数理逻辑中的一个重要概念，它描述了命题之间的关系和推理规则。
命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
本文将介绍命题的逻辑运算及其真值表。
一、基本逻辑运算基本逻辑运算包括与运算（∧）、或运算（∨）和非运算（¬）。
1.1 与运算（∧）与运算表示两个命题同时为真时，整个逻辑表达式才为真。
符号为"∧"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∧今天是晴天"表示我只有在今天是晴天的时候才喜欢游泳。
1.2 或运算（∨）或运算表示两个命题中至少有一个为真时，整个逻辑表达式才为真。
符号为"∨"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∨今天是晴天"表示我不管今天是不是晴天，只要我喜欢游泳就为真。
1.3 非运算（¬）非运算表示对命题的否定。
如果一个命题为真，则其否定为假；如果一个命题为假，则其否定为真。
符号为"¬"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，则"¬我喜欢游泳"表示我不喜欢游泳。
二、复合逻辑运算在基本逻辑运算的基础上，可以进行复合逻辑运算，包括蕴含（→）、等价（↔）和异或（⊕）。
2.1 蕴含运算（→）蕴含运算表示如果前提为真，则结论也为真。
符号为"→"。
例如，命题P为"如果下雨，那么我会带雨伞"，命题Q为"下雨了"，则"P→Q"表示如果下雨了，那么我会带雨伞。
2.2 等价运算（↔）等价运算表示两个命题具有相同的真值，当且仅当两个命题的真假相同时，整个逻辑表达式为真。
符号为"↔"。
《命题演算》课件
详细描述
概率命题演算在传统命题演算的基础上，引 入概率函数来量化命题的不确定性。通过概 率算子和概率分布，描述了命题在各种情况 下的可能性，从而更准确地表达现实世界中
的不确定性。
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逆否命题
对原命题的条件和结论都进行否定， 然后互换它们的位置，例如“如果天 下雨，那么地面会湿”的逆否命题是 “如果地面不湿，那么天不下雨”。
复合命题的表示与转换
复合命题
由两个或多个简单命题通过逻辑运算符组合而成的命题，例如“如 果天不下雨并且地面不湿，那么没有人在家”。
复合命题的表示方法
使用逻辑运算符（如“∧”、“∨”、“→”等）将简单命题组合 起来。
总结词
时序命题演算是命题演算的一种扩展，它引 入了时间因素来描述命题在时间序列上的状 态和变化。
详细描述
时序命题演算考虑了时间因素对命题状态的 影响，通过引入时间算子和时间依赖关系来 扩展命题演算。它能够描述在特定时间点上 命题的真假状态，以及随着时间推移命题的 变化情况。
概率命题演算
总结词
概率命题演算是命题演算的一种扩展，它引 入概率概念来描述命题的不确定性。
复合命题的真假判定
根据真值表或逻辑运算规则判断复合命题的真假值。
03 命题逻辑推理
推理规则
1 2 3
推理规则
推理规则是逻辑推理的基本准则，包括前提和结 论两部分。前提是推理的依据，结论是根据前提 得出的结果。
推理形式
推理形式是指推理的逻辑结构，包括前提和结论 的逻辑表达式。根据不同的逻辑表达式，可以得 出不同的推理形式。
模态命题演算
总结词
模态命题演算是命题演算的一种扩展，它引入了模态算子来描述命题之间的可能性、必 然性等关系。
逻辑的运算规则
逻辑的运算规则逻辑是一门研究思维和推理的学科，它通过运用一定的规则和方法来研究思维的合理性和推理的正确性。
逻辑的运算规则是逻辑学中的基础知识，它们是推理过程中必须遵循的规则，用于保证推理的准确性和有效性。
本文将介绍几个常用的逻辑运算规则，包括命题逻辑中的合取、析取、蕴含和等价运算规则，以及谓词逻辑中的全称量词和存在量词运算规则。
一、命题逻辑中的运算规则1. 合取运算规则：合取是指将两个命题同时成立的情况，用符号“∧”表示。
在合取运算中，有以下两个重要的规则：（1）合取交换律：P∧Q与Q∧P是等价的，即合取运算可以交换位置。
（2）合取结合律：(P∧Q)∧R与P∧(Q∧R)是等价的，即合取运算可以按照任意顺序进行。
2. 析取运算规则：析取是指将两个命题中至少有一个成立的情况，用符号“∨”表示。
在析取运算中，有以下两个重要的规则：（1）析取交换律：P∨Q与Q∨P是等价的，即析取运算可以交换位置。
（2）析取结合律：(P∨Q)∨R与P∨(Q∨R)是等价的，即析取运算可以按照任意顺序进行。
3. 蕴含运算规则：蕴含是指从一个命题推导出另一个命题的过程，用符号“→”表示。
在蕴含运算中，有以下两个重要的规则：（1）蕴含的传递性：如果P蕴含Q，Q蕴含R，则P蕴含R。
（2）蕴含的假设消除：如果假设P成立，然后通过推理得出Q成立，那么可以得出P蕴含Q。
4. 等价运算规则：等价是指两个命题具有相同的真值，用符号“↔”表示。
在等价运算中，有以下两个重要的规则：（1）等价交换律：P↔Q与Q↔P是等价的，即等价运算可以交换位置。
（2）等价结合律：(P↔Q)↔R与P↔(Q↔R)是等价的，即等价运算可以按照任意顺序进行。
二、谓词逻辑中的运算规则1. 全称量词运算规则：全称量词是指对于所有的元素都成立，用符号“∀”表示。
在全称量词运算中，有以下两个重要的规则：（1）全称量词的交换律：∀x∀yP(x,y)与∀y∀xP(x,y)是等价的，即全称量词可以交换位置。
命题演算的推理理论
离散结构命题演算的推理理论教学目标基本要求（1）有效推理；（2）有效推理的等价定理；（3）重言蕴含式；重点难点重言蕴含式的应用。
有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理。
推理:是指从前提出发推出结论的思维过程，前提:是已知命题公式集合(A1，A2，…，An)结论:是从前提出发应用推理规则推出的命题公式B怎样推理是有效的？有效推理定义设A1，A2，…，An，B 都是命题公式，称推理“A1，A2，…，An推出B”是有效的（或正确的），(｛A1, A2, …,A n｝⇒ B )如果对A1，A2，…，An，B中出现的命题变项的任一指派，若A1，A2，…，An都真，则B亦真，并称B是有效结论。
即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
否则，称“由A1，A2，…，An推出B”是无效的或不合理的。
注意：1.推理形式的有效与否与前提中命题公式的排列次序无关。
2.推理的有效性和结论的真实性是不同的；3.推理的有效性在于形式不在于内容；4.推理过程的正确性与前提和结论是否真实无关。
有效推理的等价定理定理命题公式A1, A2, …, A n推出B的正确推理当且仅当(A1∧A2∧…∧An) →Ｈ为重言式（永真公式。
）“⇒”与“→”的不同1.“→”仅是一般的蕴涵联结词，G→H的结果仍是一个公式，而“⇒”却描述了两个公式G，H之间的一种逻辑蕴涵关系，G ⇒ H的“结果”，是非命题公式；2. 用计算机来判断G ⇒ H是办不到的。
然而计算机却可“计算”公式G→H是否为永真公式。
要求A=｛A1, A2, …,A n｝A⇒ B也就是A1∧A2∧…∧A n→B 为永真公式因而真值表法、等值演算和主范式例: 判断下面推理是否正确：（1）若a能被4整除，则a能被2整除；a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若a能被4整除，则a能被2整除；a能被2整除。
所以a能被4整除。
（3）下午张林或去看电影或去游泳；她没有看电影。
所以，她去游泳了。
命题公式等值演算
命题公式等值演算命题公式等值演算（Propositional Formula Equivalence）是数理逻辑领域中的一个重要概念和技巧。
本文将介绍命题公式等值演算的基本思想和常用方法，并通过一些例子来详细说明。
一、命题公式等值关系的定义在逻辑学和计算机科学中，命题公式是由包含命题变量、逻辑运算符和括号构成的表达式。
而命题公式等值关系则是指两个命题公式具有相同的真值。
换句话说，当且仅当两个命题公式在每一个赋值下具有相同的真值时，它们才是等值的。
例如，对于命题变量p和q，表达式(p∧q)∨(¬p∧¬q)和(p∨¬q)∧(¬p∨q)是等值的，因为它们在每一个赋值下的真值相同。
二、命题公式等值演算的基本规则命题公式等值演算是通过一系列基本规则来推导等值式的过程。
下面是一些常用的基本规则：1. 交换律：p∧q ≡ q∧p，p∨q ≡ q∨p2. 结合律：(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)，(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)3. 分配律：p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)，p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)4. 吸收律：p∧(p∨q) ≡ p，p∨(p∧q) ≡ p5. 否定律：p∨¬p ≡ T，p∧¬p ≡ F6. 德摩根定律：¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q，¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q7. 双重否定律：¬(¬p) ≡ p三、命题公式等值演算的应用命题公式等值演算是数理逻辑中的一项基础技术，可以应用于证明命题的等价关系、简化复杂的命题公式以及构造等价的命题公式等领域。
1. 证明等价关系通过命题公式等值演算，可以证明两个命题公式之间的等价关系。
例如，要证明(p∨q)∧(¬p∨q) ≡ q，可以使用分配律、交换律和吸收律等基本规则进行推导。
2. 简化命题公式当给定一个复杂的命题公式时，可以利用命题公式等值演算的基本规则来简化它，使得它更加易于理解和计算。
数学逻辑中的命题与命题演算
数学逻辑中的命题与命题演算数学逻辑是一门研究形式推理以及思维方式的学科，其中的命题与命题演算是其重要的基石。
命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的，而命题演算是一种系统化的推理方法，用来分析和推导命题之间的关系。
本文将介绍数学逻辑中的命题与命题演算，包括命题的定义、常见的命题形式以及命题演算的基本规则。
一、命题的定义和常见形式命题是一个陈述句，它要么是真（True），要么是假（False）。
一个命题只能有一个真值，不可能既是真的又是假的。
下面是一些常见的命题形式：1. 原子命题：一个简单的命题，不能再分解为更小的命题，如“2 +2 = 4”。
2. 否定命题：通过在原命题前加上“不”或者“非”来构成的命题，如“2 + 2 ≠ 5”。
3. 合取命题：由多个命题通过逻辑连接词“且”（and）连接而成的命题，只有当所有的命题都为真时，合取命题才为真，如“2 + 2 = 4且3 +3 = 6”。
4. 析取命题：由多个命题通过逻辑连接词“或”（or）连接而成的命题，只要有一个命题为真，析取命题就为真，如“2 + 2 = 5或3 + 3 = 6”。
二、命题演算的基本规则命题演算是一种用来推导和证明命题之间关系的方法，其中包括以下几个基本规则：1. 合取析取律：对于任意命题P、Q、R，有以下规则成立：- 合取交换律：P且Q等价于Q且P。
- 合取结合律：(P且Q)且R等价于P且(Q且R)。
- 析取交换律：P或Q等价于Q或P。
- 析取结合律：(P或Q)或R等价于P或(Q或R)。
2. 否定律：对于任意命题P，有以下规则成立：- 非(非P)等价于P。
- P且非P等价于假。
- P或非P等价于真。
3. 蕴含与等价关系：蕴含是一种重要的命题之间关系，表示如果一个命题为真，则另一个命题也一定为真。
等价关系表示两个命题具有相同的真值。
常见的蕴含和等价关系包括以下几种：- 蕴含：命题P蕴含命题Q，记作P→Q，表示如果P为真，则Q 也一定为真。
第六讲命题演算的规则
（2）当结论是蕴涵时，把结论的前件当作附加前提引入，最后把 ）当结论是蕴涵时，把结论的前件当作附加前提引入， 此附加前提消去，返回到结论，仍作前件。 此附加前提消去，返回到结论，仍作前件。 ◆ 只有结论是蕴涵关系时才能使用CP规律，析取式可转化为蕴 只有结论是蕴涵关系时才能使用 规律， 规律 涵式； 涵式； 消去前提时只能消去引进的前提； ◆ 消去前提时只能消去引进的前提； 一次只能消一个前提； ◆ 一次只能消一个前提；
第六讲命题演算的两个主要准则命题解释以及命题演算的推导规则第六讲命题演算的两个主要准则命题解释以及命题演算的推导规则一命题演算的两个主要准则二命题解释三命题演算的推导规则1什么是命题演算1什么是命题演算2命题演算的两个准则2命题演算的两个准则凡是推导都必须有规则而准则是对规则的要求
命题演算的两个主要准则、 第六讲 命题演算的两个主要准则、命 题解释以及命题演算的推导规则
一、命题演算的两个准则
2、命题演算的两个准则
凡是推导都必须有规则，而准则是对规则的要求。 ◆ 凡是推导都必须有规则，而准则是对规则的要求。 ◆准则与规则的关系如同逻辑规律与具体规则的关系 。
一、命题演算的两个准则
2、命题演算的两个准则
（1）一致性准则：要求推理规则是正确的。 ）一致性准则：要求推理规则是正确的。
三、命题演算的推导规则
命题演算的基本定理： 命题演算的基本定理：
p∧q→q （10）简化律： p ∧ q → p ）简化律： （11）并合律： p ∧ q ↔ p ∧ q ）并合律： （12）并前律： （p → （q → r））↔（p ∧ q） → r ）并前律： ）） ） （13）归谬律： p → （q ∧ ﹁ q ） → ﹁p ）归谬律： （14）附加律： p →（p ∨ q） ↔ q → （p ∨ q） ）附加律： ） ） （15）换位律： （p → q） ↔ （﹁q → ﹁p） ）换位律： ） ） 摩根律： （16）德.摩根律： ﹁ （p ∧ q） ↔ ﹁ p ∨ ﹁ q ） 摩根律 ） ﹁ （p ∨ q） ↔ ﹁ p ∧ ﹁ q ） （17）蕴析律： （p → q） ↔ ﹁ p ∨ q ）蕴析律： ） （18）等值律： （p q） （p → q） ∧ （ q → p ） ）等值律： ） ） ↔ ↔ （p q） （p ∧ q） ∨ （ ﹁ p ∧ ﹁ q ） ） ）
命题演算基础知识
pq 真真 真假 假真 假假
p q 真 假 假 假
p q 真 真 真 假
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第三，判定“（p q）（p q）”的真 值：
p q p q p q （p q）（p q）
真真 真
真
真
真假 假
真
真
假真 假
真
真
假假 假
假
真
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• 真值表还可以用来判定复合命题形式之间
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命题演算可以根据是否使用公理分为 两种系统，一是命题逻辑自然推理系统 （自然演算），一是命题逻辑的公理系统 （公理化演算）。
自然推理系统是没有公理的推理系统。 推理的出发点是推理时引入的假设。与公 理系统相比，自然推理系统的特点是，无 论在变形规则还是推理规则方面都更接近 自然科学尤其是数学中常用的推理规则， 因此称为“自然推理”。
是否具有等值关系。
• 例如，我们要判定“（pq）”与
“（pq）”是否等值，可以利用真值 表，其步骤是：
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第一，先列出p、q、p和q的真假情况：
p q p q p q 真真假 假 真假假 真 假真真 假 假假真 真
p q
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第二，分别写出“（p q）”与“（p q）”的真值：
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命题逻辑自然推理系统
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• 命题演算是命题逻辑的形式系统。所谓形式系统
是指用没有具体语义内容的人工符号语言表示的 系统。也就是说，在形式系统中只考虑符号与符 号之间的关系，不考虑这些符号具有什么具体的 意义，而公式的证明被看成符号的变形，不考虑 公式之间在内涵上有什么联系。使用人工符号语 言系统的目的在于避免自然语言的歧义性，保证 演算的严谨性和可靠性。形式系统中的符号、公 式等不能始终没有意义，必须对它们作出解释，
命题逻辑及命题演算
时序逻辑主要用于描述和分析具有时间依赖性的系统，如计算机系 统和控制系统等。
时序逻辑的运算规则
时序逻辑的运算规则包括时间变量的定义、时间运算符的定义和运算 规则等，这些规则用于处理具有时间因素的复合命题和推理。
05 命题逻辑与计算机科学
计算机中的逻辑电路
逻辑门
计算机中的逻辑电路由基本 的逻辑门组成，如与门、或 门和非门。这些逻辑门实现 了基本的逻辑运算，如AND
可编程逻辑电路
通过编程实现特定功能的电路，如 FPGA、CPLD等。
04 命题逻辑的扩展
量词逻辑
量词
量词用来表示命题的数量或 者范围。在量词逻辑中，常 用的量词有全称量词（∀） 和存在量词（∃）。
全称量词
表示对某一集合中所有元素 都适用的命题。例如，∀x P(x)表示对于所有x，P(x)都 成立。
专家系统
专家系统是一种基于知识的系统，它利用逻辑推理来模拟专家的决策过程。 专家系统中的推理机使用命题逻辑来处理知识库中的事实和规则。
自然语言处理
自然语言处理中的语义分析部分涉及到逻辑推理。通过将 自然语言转换为逻辑形式，可以进行推理和问答等任务。
软件工程中的逻辑应用
01
软件测试
在软件工程中，逻辑用于设计和执行软件测试。测试用例通常基于命题
公理五
A ∧ B → A，A ∧ B → B （合取消去规 则）
02 命题演算的基本规则
推理规则
01
分离规则（Modus Ponens）： 如果P导致Q，并且P是真的，那 么可以得出Q也是真的。
02
假言推理规则（Modus Tollens）：如果P导致Q，并且 Q是假的，那么可以得出P也是 假的。
命题演算(推理理论)
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附加前提证明法实例
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
CP规则 P P T ②③I (假言三段论) T ①④I (拒取式) P T⑤⑥I (析取三段论)
2
一、推理的形式结构
定义1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每 组 赋 值 ， A1A2… Ak 为 假 ， 或 当 A1A2…Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论或称B可由A1, A2, …, Ak逻辑推 出. 定理1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当 且仅当A1A2…AkB为重言式
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
5
推理规则
(1) 前提引入规则(P) 在推理过程中，可以随时引入已知的前提。 (2) 结论引入规则(T) 在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的 前提引用。 (3) 置换规则(R) 在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命 题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。 (4) 代入规则(S) 在推理过程中，重言式中的任一命题变元都可以用一命题公 式代入，得到的仍是重言式。
(pq)pq
((pq)p)q
pqq 1
由定理1可知推理正确
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推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
2 命题演算
• 重言式 • 可满足公式 • 矛盾式 • （一）真值表法 • 构造真值表和判定的方法如下： • 1．列出命题变项各种可能的真假组合情
况。 • 2．将被判定的公式分解为各个组成部分， 按照从左至右、由简到繁的顺序排列出来， 而被判定的公式列在最后。
• 3．根据五个基本真值表，依次给出表中所
有公式的真值。 • 4．根据表中最右边一列的值来判定。如果 这一列的值均为真，则该公式是重言式， 否则就不是重言式。
三、范式和优范式
• “范式”，就是仅由命题变元及其否定使用 范式”
合取和析取所构成的公式。 • 范式有两种，一种是合取范式，一种是析 取范式 。 • 合取范式是一合取式，其支命题都是简单 析取。 • 简单析取是其支命题是一个命题变项或 者一个命题变项的否定的析取式。
• 一简单析取式是否为重言式可以用非常简
导出规则
2．4 命题演算的一致性和完全性
• （一）命题演算的一致性 • 1．一致性的语义定义：命题演算是语义一
致的，其系统内的定理都是重言式。 • 2．一致性的语法定义：命题演算是语法一 致的，并非任一公式在其中可证。 • 3．一致性的古典定义：命题演算是古典意 义下一致的，不存在任何公式A 义下一致的，不存在任何公式A，A与非A皆 与非A 可证。
B和¬ B。那么原来的前提可推出¬ A。 。那么原来的前提可推出¬ （12）否定消除规则（ ¬−） 12）否定消除规则（ • 从¬ ¬ A可推出A。 可推出A • （三）定理的证明
2．3 命题逻辑公理系统P 命题逻辑公理系统P
• • • • • • •
（一）初始符号 1．p，q，r，s，p1，q1，…… 2．¬，∨。 3．（，）。 （二）形成规则 1．一个表示命题变项的初始符号π是合式公式。 ．一个表示命题变项的初始符号π 2．如果符号序列A是合式公式，那么¬ A是合 ．如果符号序列A是合式公式，那么¬ 式公式。
离散数学-命题演算
P Q
于是得到: (P Q) (P Q)
Lu Chaojun, SJTU
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还有别的联结词吗?
• 除,,,,外还可定义其他联结词.如:
异或: P Q = (P Q) (P Q) 与非(NAND): P | Q = (P Q) Sheffer stroke 或非(NOR): P Q = (P Q) Peirce arrow
Lu Chaojun, SJTU
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方法一
• 从每个使为真的解释写出一个各命题变
元的合取式;然后写出各合取式的析取式.
例:有三个成真解释.
P
Q
由(P,Q)=(F,F)可写出合取式: F
F
T
P Q
F
T
T
T
F
F
由(P,Q)=(F,T)可写出合取式: T
T
T
P Q
由(P,Q)=(T,T)可写出合取式:P Q
• 将 中所有肯定形式出现的变元Pi换成Pi, 所
有否定形式出现的变元Pi换成Pi, 所得公式记
为－. • 注意:求*时不能有,;求－时无此限制.
Lu Chaojun, SJTU
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*和－的性质
• 定理
(*)* = (－)－=
• 定理
(*) = ()* (－) = ()－
• 定理
= *－ (De Morgan律的一般形式)
命题逻辑的等值演算 和推理演算
主要内容
• 公式间的等值关系与等值演算 • 利用真值表列写公式 • 联结词的完备集 • 对偶定理 • 范式和主范式 • 公式间的重言蕴涵关系与推理演算
Lu Chaojun, SJTU
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公式间的等值关系
12命题演算
命题公式(propositional formulas)
7/26/2019 6:05 AM
Deren Chen, Zhejiang Univ.
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永真命题公式（Tautology）
Propositional E q u i v a命l 题e 演n c算e s
公式中的命题变量无论怎样代入，公式对应的真值恒为T。
7/26/2019 6:05 AM
Deren Chen, Zhejiang Univ.
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Table 4
Propositional E q u i v a命l 题e 演n c算e s
7/26/2019 6:05 AM
Deren Chen, Zhejiang Univ.
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基本逻辑等价定理：
Propositional E q u i v a命l 题e 演n c算e s
truth tables of p∨ p and p∧ p, shown in Table 1. Since p∨ p is always true, it is a tautology. Since p∧ p
is always false, it is a contradiction.
Deren Chen, Zhejiang Univ.
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EXAMPLE 5
Propositional E q u i v a命l 题e 演n c算e s
Show that (p∨( p∧q)) and p∧ q are
logically equivalent.
7/26/2019 6:05 AM
2、从简单命题(atomic proposition)到
复合命题(compositional proposition)
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25 合取对析取分配规则 26 析取对合取分配规则 27 28 析取重言规则 合取