9.6因式分解之分组分解法
初中因式分解中的“分组分解法”
初二因式分解解读之六：编制人：平生曜曜
因式分解中的“分组分解法”
分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。
不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！
（1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑：
第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。
解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y）
= x（a2 －b2）－ y（a2 －b2）
= （a2 －b2）（x －y）
=（a + b）（a－b）（x －y）
第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。
解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y）
= a2（x － y ）－b2（x －y）
=（x －y）（a2 －b2）
= （x －y）（a－b）（a + b）
（2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。
9.6十字相乘和分组分解法(选学)
探究 Ⅰ.怎样将多项式 x (a b) x ab 进行因式分解？
2
( x a)( x b) x (a b) x ab
2
整式乘法
x (a b) x ab ( x a)( x b)
2
因式分解
归纳
因式分解方法
特殊公式法分解因式：
x (a b) x ab ( x a)( x b)
2
范例 例1.分解因式：
(1) x 3x 2
2
(2) x 2 x 3
2
1.先观察二次项x2的系数是否为1； 2.再将常数项分成ab； 3.后验证一次项x的系数是否分成a+b
巩固 2.分解因式：
(1) x 7 x 10
2
(2)a 2a 8
2
(3)a b 7ab 12
2
作业
1.分解因式：
(1) x 7 x 18
2
(2) x 2x 15
2
(3) y 8 y 15
2
作业 2.已知 x 4 x y 10y 29 0 ， 求 x y的值。
2 2
2
巩固 2.分解因式：
(1) x 9 y 2x 6 y
2 2
(2)m mn 1 n
范例 例3.已知 x y 4x 8 y 20 0 ， y 求 x 的值。
因式分解之分组分解、拆添项法.题库教师版
分组分解、拆添项法
板块一：分组分解
分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组 分解法.
【例1】 分解因式：221x ax x ax a +++--
【考点】因式分解
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】分组分解法
【解析】解法一：按字母x 的幂来分组．
221x ax x ax a +++--22()()(1)x ax x ax a =+++-+2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++- 解法二：按字母a 的幂来分组．
221x ax x ax a +++--22()(1)ax ax a x x =+-++-22(1)(1)a x x x x =+-++-2(1)(1)a x x =++-
原式的6项是平均分配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项．
如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配．
特别注意结合选主元思想，在系数上分析分组！ 【答案】2(1)(1)a x x ++-
【例2】 分解因式：1xy x y --+
【考点】因式分解
【难度】2星
【题型】解答
【关键词】分组分解法
【解析】法1：1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y --+=---=--
法2 ：1(1)(1)(1)(1)xy x y y x x x y --+=---=--
【答案】(1)(1)x y --
【例3】 分解因式：ax by bx ay --+
【考点】因式分解
【难度】2星
【题型】解答
因式分解中的“分组分解法”
解读因式分解系列之三编制人：平生曜曜
因式分解中的“分组分解法”
分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。
不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！
（1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑：
第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。
解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y）
= x（a2 －b2）－ y（a2 －b2）
= （a2 －b2）（x －y）
=（a + b）（a－b）（x －y）
第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。
解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y）
= a2（x － y ）－b2（x －y）
=（x －y）（a2 －b2）
= （x －y）（a－b）（a + b）
（2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。
因式分解(分组分解法)
学习评估：
例3
若a b 0 ，求
的值.
a3 2b3 a2b 2ab2
综合挑战自我： 把下列各式分解因式：
（1）axy2 ax3 ax2 y ay3
（2）x2 4xy 4 y2 4z2
（3）4b2c2 （b2 c2 a2）2
强化反思：多项式分解因式的一般步骤:
1.如果多项式的各项有公因式,那么
=(a2+ac)-(ab+bc)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
先提公因式;
9.6因式分解(十字相乘、分组分解)
9.6因式分解——分组分解法、十字相乘法
班级________姓名________
【学习目标】
1、理解分组分解法、十字相乘法的概念和意义，会用分组分解法、十字相乘法进行因式分解。
2、培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。【学习过程】
I.分组分解法
一、分解因式：（1）ax+ay+ab+ac （2）ax+ay+bx+by
二、新知探索：把下列多项式分解因式：
1.按字母特征分组：
（1）a+b+ab+1 （2）a²-ab+ac-bc
2.按系数特征分组：
（1）2x²+3y+xy+6x （2）2ac-6ad+bc-3bd
3.按指数特点分组：
（1）a²-b²+2a-2b （2）x²+x-4y²-2y
4.按公式特点分组：
（1）a²-2ab+b²-c²（2）a²-4b²+12bc-9c²
小结：分组分解法的步骤：（1）________________________
（2）________________________
（3）________________________
练习1：把下列各式分解因式：
（1）x²+6y-3x-2xy （2）a²+ab-3a-3b （3）4x²-4xy-a²+y²（4）1-m²-n²+2mn
II ．十字相乘法
一、情境创设：1.口答计算结果： （1）（x+2）（x-1） （2）（x+2）（x+1） （3）（x+3）（x+2） （4）（x+2）（x-3）
（5）（x-2）（x+1） （6）（x-2）（x+3） （7）（x-2）（x-1） （8）（x-2）（x-3）
因式分解——分组分解法
因式分解——分组分解法
一、分组分解法分解因式的意义
我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析
例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b
(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1
分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面
法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y
=(2x2+2xy)-(3x+3y)
因式分解分组分解
练习：
1) a²-36b² 4) (m+n) ²-4(m-n) ² 2) 1-4t+4t² 5) a²b²+6ab+9 3) a²-14ab+49b²
例1：把下列各式分解因式：
（1） a²-ab+ac-bc
（2） 2ax-10ay+5by-bx
观察题目：整个多项式无公因式 可提，又不能直接运用公式，故考虑 把多项式分成几组.
把一个多项式适当地分组使分组后各组之间有公因式或者可以用公式法这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
9.6因式分解 —分组分解法
复习回顾：
因式分解的3种方法：
1，提公因式法。 2，公式法：
①平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)
②完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2
练习：
（1）x²-y²-2x+2y （2）2a+6b-a²+9b² （3）4a²+6a-3b-b² （4）x²-y²-z²+2yz
（5） x2 y2 4x 4y
思考题：因式分解 (1) x²-4x-5
练习：
（1） x²+2x-8; （2） x²+6x+5.
综合应用：因式分解
（1） 6ab 10b 6a 10
例2：分组后运用公式法因式分解：
因式分解——分组分解法
北京四中
撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁
因式分解——分组分解法
一、分组分解法分解因式的意义
我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析
例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b
(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1
分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y
9.6因式分解之分组分解法
§9.6因式分解之分组分解法（七年级下数学919）————研究课
班级________姓名____________
学习目标
1. 理解分组分解法的概念和意义；
2. 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法；
3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法.
学习重点 1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；
2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解.
自主学习
一. 创设情境
我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，如， ，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目：
分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac .
二．探索尝试
1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？
归纳： .
三．例题举偶. 把下列多项式分解因式：
1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
9.16(2) 分组分解法教案
9.16分组分解法（2）
学科
七年级数学
课时
1
授课教师
班级
日期
一、教学目标
1、理解分组分解法的意义；
2、进一步理解因式分解的意义；
3、初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法或分组后能用平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。
二、教学目标确定的依据：
（一）内容分析：
因式分解是整式中重要的恒等变形，它与整式的乘法是互逆的关系，同时也是后续学习分式的化简，一元二次方程求解的重要基础和问题解决的重要手段。前面的教学中，学生已掌握了提公因式法、公式法、十字相乘法的基本方法和解题策略，本节的教学是对前面方法技能的综合运用，形成四项式进行因式分解的方法和技能。分组分解法的关键是如何正确的分组，分组的目的是分组后能构成新公因式，或可继续用公式完成对四项式的因式分解。因此，教材将本节的教学分为两个课时，第一课时主要解决分组后提公因式分解的方法，第二课时主要解决分组后再用公式法进行因式分解的分组分解法
式分解。
课堂练习：分解因式
（1）
（2）
学生可先小组讨论，不断尝试.能够找到与上一节课的不同之处.
能够找到里面的公式
——————分组
—用完全平公式分解因式
—用平方差公式分解因式
——————去括号
学生做题，交流
能够找到平方差公式
看学生是否善于总结规律，什么样的形式适合三一分组，什么样的形式适合二二分组.
七年级数学下册《9.6.2因式分解—分组分解法》学案 苏科版
江苏省无锡市太湖格致中学七年级数学下册《9.6.2因式分解—分组分
解法》学案 苏科版
一、课前知识准备：
4．分组分解法： 先完全平方公式后平方差公式二、自主合作探究：
1、用分组分解法把ab-c+b-ac 分解因式分组的方法有
A 、1种
B 、2种
C 、3种
D 、4种
2、用分组分解a 2-b 2-c 2+2bc 的因式，分组正确的是
3、填空：
（1）ax+a y-bx-by=(ax+ay)- ( ) =( )( )
(2)x 2-2y-4y 2+x=( )+( ) =( )( )
(3)4a 2-b 2-4c 2+4bc=( )-( ) =( )( )
4、 对4x 2+2x-9y 2-3y 运用分组分解法分解因式，分组正确的是：（ ）
A ．（4x 2+2x ）+（-9y 2-3y ）
B ．（4x 2-9y 2）+（2x-3y ）
C ．（4x 2-3y ）+（-9y 2+2x ）
D ．（4x 2+2x-3y ）-9y 2
5、将x 3-x 2y-xy 2+y 3分组分解，下列的分组方法不恰当的是
A ．（x 3-x 2y ）+（-xy 2+y 3）
B ．（x 3-xy 2）+（-x 2y+y 3）
C ．（x 3+y 3）+（-x 2y-xy 2）
D ．（x 3-x 2y-xy 2）+y 3
三、课堂跟踪反馈：
1、把下列各式分解因式
1
222)4(16944)3(81263)2(6344)1(222223
22322++-+--+-+++-+-+-+-y x y xy x a a y xy x y y xy x x y x y xy x )2().()2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
初中数学：因式分解进阶之分组分解法（一）
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分组分解法：
一般地，分组分解大致分为三步：
1．将原式的项适当分组；
2．对每一组进行处理（“提”或“代”）；
3．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解；
在进行分组分解时，不仅要看到第二步，而且要看到第三步．
一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是
只要努力实践，多加练习，就会成为有经验的“行家”
【典型例题1】
【答案解析】
待续...
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9.16 分组分解法(课件)-七年级数学上册(沪教版)
5.如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
解：原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 ) = a2 (a +b)- 2b2 (a +b ) = (a +b) ( a2 - 2b2 ) =0
6.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为
1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50.
当堂练习 1．分解因式： x2-xy+ax-ay.
分析 把这个多项式适当分成两组,例如将前两项分为一组,后两 项分为一组，第一组提取公因式2a后另一个因式是c-3d;第.组提 取公因式6后另一个因式也是c-3d.这样就可以分解因式了.
解 2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd) =2a(c–3d)+b(c–3d) =(c–3d)(2a+b).
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为 m2-12m+36.
因式分解——分组分解法
（83）
分解因式： x + x y + xz + yz
4 3 3
3
（84）
分解因式： ( a + b ) + ( a + c ) − ( c + d ) − ( b + d )
2 2 2
2
（85）
分解因式： ax y + b
3
(
3
) + by ( bx
2
+ a2 y )
模块化讲义体系
4 4 4 2 2 2 2 2 2
（92）
分解因式： x − 3 x + 1
4 2
（93）
分解因式： x − 7 x y + 81 y
4 2 2
4
（94）
分解因式： −14 x y + x + y
2 2 4
4
（95）
分解因式： x − 3 x + 1
12 6
模块化讲义体系
七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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Mathematics
（96） 分解因式： x 3 ( a + 1) − xy ( x − y )( a − b ) + y 3 ( b + 1)
因式分解专题用分组分解法含答案
因式分解专题用分组分
解法含答案
集团标准化办公室：
[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
4、用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】
1.在数学计算、化简、证明题中的应用
例1.把多项式2a(a2+a + l) + a4+a2+l分解因式，所得的结果为( )
A.(a2 + a- l)2
B. (a2 - a +1)2
C.(a2 + a + I)，
D.(a2 -a-1)2
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
解：原式= 2a((a，+a +l) + a"+a，+ 1
=a4 +2a3 +3a2 +2a + l
=(a4 +2a3 +a2) + (2a2 + 2a) + 1
= (a2 +a)2 +2(a2 +a) + 1
= (a2 +a + l)2
故选择C
例 2.分解因式x5-x4+x3-x2+x-l
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
x5-x4+x3和-x2+x-l分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式
后，再进一步分解：此题也可把x5-x4, x3-x2和x-1分别看作一组，此时的六项式变成
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§9.6因式分解之分组分解法————研究课
学习目标
1. 理解分组分解法的概念和意义；
2. 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法；
3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法.
学习重点 1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；
2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解.
自主学习
一. 创设情境
我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，如， ，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目：
分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac .
二．探索尝试
1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？
归纳： .
三．例题举偶. 把下列多项式分解因式：
1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五．课外延伸
1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ）
A ．1种
B .2种
C .3种
D .4种
2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ）
3．填空：
（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )
（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( )
（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( )
4．把下列各式分解因式
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn
)2().()
2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy
x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+