9.6因式分解之分组分解法
分组分解法因式分解
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。
解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。
人教版八年级数学上册《 因式分解之分组分解法》课件
【解析】原式=a2＋c2+2b2－2ab－2bc=(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2) ∴(a－b)2+(b－c)2=0，即a－b=0且b－c=0，∴a=b=c， ∴△ABC是等边三角形．
指点迷津
最后让我们再次巩固运用知识的方法，以及对常出现的易错题型指 明一个方向——指点迷津
例1．利用分组分解法法分解因式 （1）a2－b2+ac+bc；（2）3ax+4by+4ay+3bx； 【点拨】 在使用分组分解法过程中,一定保证分组后，两个组之间能进一步分解因 式.（第1题）其中前两项使用平方差公式，分解为(a + b)(a－b)；后面两项分解为 c(a + b)，两组都有公因式(a + b)；（第2题）第一、四项组合，二、三项组合即可．
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【解析】 （1）原式=(a2－b2)+(ac+bc)=(a + b)(a－b)+c (a + b)=(a +b)(a –b +c) （2）原式=(3ax+3bx)+(4by+4ay)=3x(a + b)+4y(b + a)=(a+b)(3x+4y)
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
因式分解-分组分解法
例4 分解因式．
mx 2my x 4 xy 4 y
2
2
因式分解：
2 2 （1）a +2ab+b -ac-bc 2 2 2 2 （2）a -2ab+b -m -2mn-n
例：
2 2 2 2 x -x y+xy -x+y-y
解：原式 = (x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) = (x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y) = (x-y)(x+y-xy-1) = (x-y)[(x-xy)+(y-1)] = (x-y)[x(1-y)-(1-y)] = (x-y)(1-y)(x-1)
用分组分解法分解因式时,一定要想 想分组后能否继续进行因式分解.
解:原式 ( x y ) (ax ay)
2 2
( x y)( x y) a( x y) ( x y)(x y a)
练一练
分解因式
(1)5m(a+b)-a-b (2)2m-2n-4x(m-n) (3)a3-a2b-ab2＋b3 (4)2ax-10ay+5by-bx （5）4x2-y2+2x-y
例3、把 a 解：
(a b) c (a b c)(a b c)
2 2
(a 2ab b ) c
2 2
2ab b c 分解因式。 2 2 2 a 2ab b c
2 2 2
2
分组分解法因组间能分解 因式,且在各小组分解完后,各大组间又能 继续分解因式,那么,这个多项式就可以用 分组分解法分解因式.
2 解：a -ab+ac-bc
=(a2-ab)+(ac-bc) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c)
9.6-4分组分解法(教学课件)
练习：因式分解
2、x 6xy 9 y 9 y 3x
2 2
x 6xy 9 y 3x 9 y
2 2
x 3y 3x 3y
2
,则
1.若
x 3 y x 3 y 3
小结:
如果一个多项式各项既没有公因式, 又不能直接运用公式,但把一个多项 式分组后各组都能分解因式,且在各 组分解后,各组之间又能继续分解因 式,那么这个多项式就可以用分组分 解法分解因式. 用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
(3).x 3x 3x 9
3 2
x ( x 3) 3( x 3)
2
( x 3)(x 3)
2
典例讲析
例2：因式分解：⑴
x y ax ay
2 2
解:原式= ( x y)(x y) a( x y)
( x y)(x y a)
1.若 ,则
∴(a-3)2+(b+1)2=0
∴a=3,b=-1
练习3：因式分解
1、a b a b 1
2 2
2
2
2
a b 1 b 1
2 2 2 2
b 1a 1
b 1b 1a 1a 1
分解因式要分解到不能继续分解因 式为止.
典例讲析
例1：因式分解：⑵ 2ax 10ay 5by bx
解:原式= 2ax 10ay bx 5by
2a( x 5 y) b( x 5 y) ( x 5 y)(2a b)
用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
练习1
因式分解(分组分解法)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有， 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀： 一提 二套 三分 四彻底
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
9.6因式分解(十字相乘、分组分解)
9.6因式分解——分组分解法、十字相乘法班级________姓名________【学习目标】1、理解分组分解法、十字相乘法的概念和意义，会用分组分解法、十字相乘法进行因式分解。
2、培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。
【学习过程】I.分组分解法一、分解因式：（1）ax+ay+ab+ac （2）ax+ay+bx+by二、新知探索：把下列多项式分解因式：1.按字母特征分组：（1）a+b+ab+1 （2）a²-ab+ac-bc2.按系数特征分组：（1）2x²+3y+xy+6x （2）2ac-6ad+bc-3bd3.按指数特点分组：（1）a²-b²+2a-2b （2）x²+x-4y²-2y4.按公式特点分组：（1）a²-2ab+b²-c²（2）a²-4b²+12bc-9c²小结：分组分解法的步骤：（1）________________________（2）________________________（3）________________________练习1：把下列各式分解因式：（1）x²+6y-3x-2xy （2）a²+ab-3a-3b （3）4x²-4xy-a²+y²（4）1-m²-n²+2mnII ．十字相乘法一、情境创设：1.口答计算结果： （1）（x+2）（x-1） （2）（x+2）（x+1） （3）（x+3）（x+2） （4）（x+2）（x-3）（5）（x-2）（x+1） （6）（x-2）（x+3） （7）（x-2）（x-1） （8）（x-2）（x-3）2.想一想：你怎样将这类题目算得又快有准确呢？二、探索尝试：根据上面的公式将多项式写成两个一次因式相乘的形式：x ²+（2 +3）x+ 2 × 3 = x ²+（-1-2）x+（-1）×（-2）= x ²+（-1+2）x+（-1）× 2 = x ²+（ 1-2）x+ 1 ×（-2）= 小结：对于二次三项式q px x ++2，若ab q b a p =+=,， 则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++三、例题讲解：将下列各式因式分解（1）x ²+7x+6 （2）x ²-5x-6 （3）x ²-5x+6练习2：把下列各式分解因式：（1）x ²-7x+6 （2）a ²-4a-21 （3）t ²-2t-8（4）x ²+xy-12y ² （5）x 2+5x-6 （6）a ²-11ab-12b ²III.自主检测：分解因式 1．1--+b a ab2．22441b ab a --- 3．by bx ay ax 3322--+4．1072+-x x 5．x x x +-232 6．2)(3)(2++-+y x y x ()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++课后作业姓名____________班级____________一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．分解结果等于(x ＋y －4)(x ＋y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(2++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(2++-+y x y x 二、填空题1．=-+1032x x __________．2．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 3．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．4．22____)(____(_____)+=++a mna ． 5．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题1.把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)2287b b a a --；(4)1+--y x xy (5)315523+--x x x (6)x xy y x 21372-+-2．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x -- (2)9)2(22--x x(3)2222)332()123(++-++x x x x (4)60)(17)(222++-+x x x x(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2++-+b a b a(7)xy y x y xy x x 22))(1(3222+++-+ (8)b a bx ax bx ax ++--+223．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2622=+y x ，求a 的值．5. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足02222=++-+-y xy x y x ，求长方形的面积。
因式分解分组分解法教案
因式分解一一分组分解法教案3 .按指数特点分组(1)a 2 - 9 b 2 + 2 a - 6 b4 .按公式特点分组解法一：第一、二项为一组;第三、四项为一组。
解：原式=(2ax -10ay ) + (5by - bx ) =2 a (x - 5 y ) - b (x - 5 y ) =(x - 5y )(2a - b ) 练习1:分解因式1、a 2 - ab + ac - bc解法二：第一、四项为一组; 第二、三项为一组。
原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5by )=x(2a - b) - 5 y (2a - b ) =(2a - b )(x - 5y )2、xy - x - y +1(二)分组后能直接运用公式例3：分解因式： x 2 - y 2 + ax + ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、 能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=(x 2-y 2) + (ax + ay )=(x + y )(x - y ) + a (x + y ) 四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就=(x + y )(x - y + a) 例4、分解因式：a 2 - 2ab + b 2 - c 2 解：原式=(a 2-2ab + b 2)-c 2=(a - b )2 - c 2 =(a - b - c )(a - b +c )练习：分解因式2、4、x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz例5： 把下列多项式分解因式: 1.按字母特征分组 (1) a + b + ab +1(2) a 2-ab +ac 一 bc2 .按系数特征分组(1)7 x 2 + 3 y + xy + 21(2)2ac - 6ad + bc - 3bd(2)四、总结规律1.合理分组（2+2型）；2.组内分解（提公因式、平方差公式）3.组间再分解（整体提因式）4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因式分解---分组分解拆添项法
因式分解---分组分解、拆添项法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（因式分解---分组分解、拆添项法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为因式分解---分组分解、拆添项法的全部内容。
板块一：分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式, 这就是分组分解法.【例1】分解因式：% 2 + ax 2 + x + ax一 1 一a【例2】分解因式：期一% -y+1【例3】分解因式：ax一by - bx + ay【例4】分解因式：ac2 + bd2 -ad2 -bc22T y+x—2x【例5】分解因式：7【例7】分解因式：X4 + X3 + X2 -1【例8】分解因式：ax +bya xy-2【例9】分解因式：Xxzr-) y(y a )［例10］分解因式：(x2+1)2+Xx-2)(x2+x+1)-x2【例11】分解因式：(ax+颇ay-x 2x2cy2 【例12】分解因式：x(x-1)(x-2)-6【例14】分解因式：axy^^3）b^ba-2y）【例15】分解因式：K如⑼2—ax【例16】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数. 【例17】分解因式：2x2「a肝（4a的）【例18】分解因式：b2以）「ad 2ad【例19】分解因式：x3 + bx2 + ax- b【例21】分解因式：a2b -a2 -b2 +12xy-却【例23】分解因式:6a2 -9a xy+【例24】分解因式：5x3-15x2-x 3【例25】分解因式：5a2 m-15am+3abm-9bm【例26】分解因式：x3——xx + 2 + x5— 2 x 4 【例28】分解因式：3+^(+ +&— +旗—+d2【例29】分解因式：x2—^^一3y【例30】分解因式：笫+y5T x性产)1 1x2 n + x n y 4 m + —9 4【例32】分解因式：【例33】分解因式：31—须—12 b— 2【例34】分解因式：落+第—y —*【例35】分解因式:ax3 + x+a+1【例36】分解因式：a4 一 a ba b + b 【例37】分解因式：x3 +++x2 2y+ 2【例39】分解因式：XXXXX4 + 3 + 2 + +11【例40】分解因式：@+bXa一（x+bya+（3一一X x3y）=因式分解一-分组分解、拆添项法【例41】分解因式：3+纱+°+怎+( +须+原+b+G[例42] 分解因式：axb-+xb x-ax+a-b【例43】分解因式：ax-ay+bx+cy-cx-by板块二:拆项与添项模块一：利用配方思想拆项与添项【例44】已知g+拉-儡b+13 = 0 ,求帅的值.【例45】分解因式：％4+寿2X2+X+1【例46】分解因式：的+2 ^b+3a2-bu+2加+加 =,【例47】分解因式：％4-3^+1【例48】分解因式：-^-23x2+1 ；【例49】分解因式：a4 + a 2 b2+ 加【例50】分解因式：x12—3x6 +1【例51】分解因式：x8 +x4 +1【例52】分解因式：x4-7x V +8故【例53】已知n是正整数，且n4-16n2 +100是质数，那么〃 = 【例54】分解因式：（1+亨》2x2 QQ x4 0—y >【例55】分解因式：x4-20 +3x珀㈤2分解 因式：-a 4 -b 4 -c 4 +++2b 2b 2c 2 2c 2a 模块二:拆项与添项【例61】分解因式：g-4a +3【例62】分解因式：%3 + 2x 2-65 x 【例56】 分解因式：落0+)一以x 或〃-b )+赵b ) 【例57】 把刑例分解因式. 【例58】 分解因式:%，+ 64 【例59】证明：在mn 都是大于l 的整数时,隰+4.是合数. 【例60】【例63】分解因式： X 3 +3x 2 -4【例64】分解因式：X 2 + 6x -7【例65】分解因式:*-9x +8【例66】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：X 3 + 6X 2 +11x +6【例67】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：X 4 + 2x 3 - 9X 2 -+8【例68】若x +产-1 ，则 x 4 +5x 3y +x 2>+8x 2* x 2 +5x 3+ y 的值等于（） A.0 B.-i C.1 D.3【例70】分解因式：+^+1【例71】分解因式：a + a4+1【例72】分解因式：a3 +如c 3abc 。
因式分解——分组分解法
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
分组分解法——精选推荐
分组分解法学习目标要求①能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解．能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解． ②掌握二次三项式x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)的分解原理、特点；的分解原理、特点； ③了解因式分解的一般步骤，能灵活应用提公因式法、能灵活应用提公因式法、公式法、公式法、分组分解法进行多项式的因式分解式分解中考基本要求①熟练掌握并能灵活运用分组分解法．熟练掌握并能灵活运用分组分解法．考查分组分解法常与提公因式、考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主．以对四项式的多项式因式分解为主．②熟练掌握x 2+(p+q)x+pq 的因式分解的原理；能灵活选用恰当的方法因式分解；x 2+(p+q)x+pq 的分解很重要，它与方程、函数等知识有密切联系，函数等知识有密切联系，中考时常常把它融入其它中考时常常把它融入其它知识中去．知识中去．1．为什么要分组分解为什么要分组分解现在我们要分解下面两个多项式：现在我们要分解下面两个多项式：(1)xy-xb+ay-ab (1)xy-xb+ay-ab；；(2)x 2-y 2+ax+ay +ax+ay．．它们都是四项式，对于四项而言，既没有公因式可提，又不能运用四个因式分解公式，那么怎样才能来完成分解过程呢那么怎样才能来完成分解过程呢??为此，让我们来考察一个因式分解的逆过程——多项式的乘法．例如：乘法．例如：(x+a)(y-b)=x(y-b)+a(y-b)=(xy-xb)+(ay-ab)=xy-xb+ay-ad,如果把上述过程反过去，就找到了因式分解的途径．如果把上述过程反过去，就找到了因式分解的途径．xy-xb+ay-ab=(xy-xb)+(ay-ab) ( =(xy-xb)+(ay-ab) (分组分组)) =x(y-b)+a(y-b) =x(y-b)+a(y-b)．．至此，我们分别把x(y-b)x(y-b)、、a(y-b)a(y-b)看成一个整体，看成一个整体，那么在两项之间有公项式y-b 可提．即原式原式==……=(y-b)(x+a)=(y-b)(x+a)．这就是分组分解法．．这就是分组分解法．对于多项式对于多项式(2)(2)，前两项，前两项x 2-y 2，可以用平方差公式分解得，可以用平方差公式分解得(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)，后两项，后两项ax+ay ax+ay，，有公因式a ，提出来得a(x+y)a(x+y)，这样原有多项式就变形为，这样原有多项式就变形为(x+y)(x-y)+a(x+y)(x+y)(x-y)+a(x+y)，这时可看到，这时可看到它们又有公因式x+y x+y，提出后得，提出后得(x+y)(x-y+a)(x+y)(x-y+a)，也达到分解的目的．，也达到分解的目的． 由此可见，对于四项或四项以上的多项式，进行恰当的分组，往往可以进行因式分解．2．分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，经过适当的分组以后，转化为已经学过的提公因式法或运用公式来进行因式分解．提公因式法或运用公式来进行因式分解．3．分组分解法的原则是要能继续进行因式分解，这有两种情况：一种情况是分组后能直接提取公因式，一种情况是分组后能直接运用公式．一种情况是分组后能直接运用公式．分组没有固定的形式，分组没有固定的形式，但要确保分组后能但要确保分组后能继续分解．因此，合理地选择分组的方法，是分组分解法的关键．继续分解．因此，合理地选择分组的方法，是分组分解法的关键．4．为了合理地选择分组的方法，要用到加法的交换律和结合律，而提取公因式又运用了分配律，因此，运算律在分组分解中起到很重要的作用．配律，因此，运算律在分组分解中起到很重要的作用．5．二次三项式x 2+(p+q)x+pq 的特点：的特点： ①二次项的系数是①二次项的系数是1; 1;②常数项是两个数之积；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．③一次项系数是常数项的两个因数之和．6．x 2+(p+q)x+pq 的分解原理的分解原理二次项系数是二次项系数是11的二次三项式x 2+(p+q)x+pq,+(p+q)x+pq,用十字相乘法因式分解的原理．用十字相乘法因式分解的原理．我们学习多项式乘法时，学过这样一个公式：我们学习多项式乘法时，学过这样一个公式：(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq 将上式反过来，就得到将上式反过来，就得到x 2十(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)由此可以发现，对于二次项系数是由此可以发现，对于二次项系数是11的二次三项式，因式分解的思考途径是：先把常数项分解成两个因数的积pq pq，，再看这两个因数的和p+q p+q，，是否等于一次项系数，如果相等就可以成功，如果不相等再重新尝试．以成功，如果不相等再重新尝试．其实：按分组分解法其实：按分组分解法x 2+(p+q)x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)因此：因此：x x 2+(p+q)x+pq 型式子的分解即为分组分解法的特殊情形，型式子的分解即为分组分解法的特殊情形，我们称x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)为二次项系数为为二次项系数为11的二次三项式的因式分解公式．的二次三项式的因式分解公式．7．把一个多项式因式分解的一般步骤把一个多项式因式分解的一般步骤1．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 2．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；4．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．①分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解．分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解．②仍应首先考虑公因式的提取，其次才考虑分组．仍应首先考虑公因式的提取，其次才考虑分组．③分组方法的不同，仅仅是因式分解手段的不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解．分解．④对于四项式的两两分组，对于四项式的两两分组，尽管方法不惟一，尽管方法不惟一，但要注意，但要注意，并不是任何两项结合都可以最终达到因式分解的目的．要注意分组的合理性．到因式分解的目的．要注意分组的合理性．⑤对于四项式中的另一种分组方法，则是把其中的某三项组成一组，使其成为完全平方形式，而四项式中剩下的一项是某一个数而四项式中剩下的一项是某一个数((或代数式或代数式))的平方．此项又与完全平方式符号相反，则得到(a (a±±b)2-c 2或c 2-(a -(a±±b)2的形式，然后用平方差公式分解因式．⑥原多项式的项数超过四项时，要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组．原多项式的项数超过四项时，要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组． ⑦原多项式带有括号，不便直接分组时，要将括号去掉，整理后再分组分解．原多项式带有括号，不便直接分组时，要将括号去掉，整理后再分组分解．⑧在分组分解过程中，渗透着换元思想，掌握好这一点，就能熟练地进行分组分解．在分组分解过程中，渗透着换元思想，掌握好这一点，就能熟练地进行分组分解． ⑨二次三项式x 2+bx+c 在分解时有以下规律和技巧： (1)(1)如果常数项如果常数项c 是正数，那么可把c 分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数b 的符号相同；(2)(2)如果常数项如果常数项c 是负数，那么可把c 分解为两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数b 的符号相同．⑩二次三项式x 2+bx+c 中的x 也可能是其它的字母或者一个较复杂的代数式，遇到此类问题时，要有换元思想．例1．把下列各式分解因式：(1)2ac+3bc+6a+9b (2)2x 3+x 2-6x-3讲解(1)解法解法11：原式：原式=(2ac+3bc)+(6a+9b)=(2ac+3bc)+(6a+9b)=c(2a+3b)+3(2a+3b)=(2a+3b)(c+3) =(2a+3b)(c+3)．．解法2：原式原式=(2ac+6a)+(3bc+9b)=(2ac+6a)+(3bc+9b)=2a(c+3)+3b(c 十3)=(c+3)(2a+3b) =(c+3)(2a+3b)，，(2)解法1：2x 3+x 2-6x-3=(2x 3+x 2)-(6x+3)=x 2(2x+1)-3(2x+1)=(2x+1)(x 2-3)-3)．．解法2：2x 3+x 2-6x-3=(2x 3-6x)+(x 2-3)=2x(x 2-3)+(x 2-3)=(x 2-3)(2x+1)-3)(2x+1)．．例2．把下列各式分解因式：(1)4a 2-9b 2-4a+1-4a+1；；(2)x 2+l0xy-70y-49+l0xy-70y-49；； (3)x 5y-x 3y+2x 2y-xy y-xy；； 分析：这一组是四项式的因式分解，一般采用三、一分组或二、二分组．这一组是四项式的因式分解，一般采用三、一分组或二、二分组．讲解(1)4a 2-9b 2-4a+1=(4a 2-4a+1)-9b 2=(2a-1)2-(3b)2=(2a-1+3b)(2a-1-3b) =(2a-1+3b)(2a-1-3b)．．(2)x 2+l0xy-70y-49=(x 2-49)+(10xy-70y)=(x+7)(x-7)+l0y(x-7)=(x-7)(x+7+10y) =(x-7)(x+7+10y)．．(3)x 5y-x 3y+2x 2y-xy=xy(x 4-x 2+2x-1)=xy[x 4-(x 2-2x+1)]=xy[x 4-(x-1)2]=xy(x 2+x-1)(x 2-x+1)-x+1)．．例3．分解因式x 2-2xy+y 2-3x+3y 分析 这是一个五项式，其中前三项为二次的，后两项为一次的，后两项为一次的，前三项又恰好符合完全平前三项又恰好符合完全平方式，即得方式，即得(x-y)(x-y)2，而后两项提出，而后两项提出-3-3后也产生了因式后也产生了因式(x-y)(x-y)．． 讲解 x 2-2xy+y 2-3x+3y =(x 2-2xy+y 2)+(-3x+3y)=(x-y)2-3(x-y)=(x-y)(x-y-3) =(x-y)(x-y-3)．．例4．分解因式ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2)． 分析 观察要进行观察要进行因式分解因式分解的多项式，按原有的分组无法分解因式，因此想到打乱原有分组，重新分组．重新分组．重新分组后要注意重新分组后要注意联想联想公式或有无公因式可提，要多观察，公式或有无公因式可提，要多观察，勤思考，尽量多想几勤思考，尽量多想几种方法．种方法．讲解方法(1)：ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2)=abc 2+abd 2+a 2cd+b 2cd=(abc 2+b 2cd)+(abd 2+a 2cd)=bc(ac+bd)+ad(ad+ac)=(ac+bd)(bc+ad) =(ac+bd)(bc+ad)．．方法(2)：原式原式=abc =abc 2+abd 2+a 2cd+b 2cd =(abc 2+a 2cd)+(abd 2+b 2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd) =(bc+ad)(ac+bd)．．例5．3x 2-x=1-x=1，求，求6x 6x 3+7x 2-5x+200-5x+200的值．的值． 分析 思路一：由思路一：由3x 3x 2-x=1-x=1，不便于求出，不便于求出x 的值，故可考虑将的值，故可考虑将6x 6x 3+7x 2-5x+200-5x+200用用(3x 2-x)-x)“整“整体”重新表示；思路二：由思路二：由3x 3x 2-x=1-x=1，得，得3x 3x 2=1+x =1+x．利用此式可将．利用此式可将6x 6x 3+7x 2-5x+200,-5x+200,逐步降次，最终达到逐步降次，最终达到化简的目的．讲解方法一：6x 3+7x 2-5x+200=2x(3x 2-x)+9x 2-5x+200=2x(3x 2-x)+3(3x 2-x)-2x+200=(2x+3)(3x 2-x)-2x+200=2x+3-2x+200=203 =203．．方法二：∵∵3x 2-x=1-x=1，∴，∴3x 3x 2=1+x =1+x，则，则 6x 3+7x 2-5x+200=2x =2x··3x 2+7+7··x 2-5x+200 =2x(1+x)+7x 2-5x+200=9x 2-3x+200=3 =3··(1+x)-3x+200=3+3x-3c+200=203 =203．．点拨：方法一中为达到用方法一中为达到用(3x (3x 2-x)-x)整体表示的目的，采用的是从最高次项起逐步提公整体表示的目的，采用的是从最高次项起逐步提公因式因式(3x 2-x)-x)的做法；方法二中始终用的做法；方法二中始终用(1+x)(1+x)替换替换3x 3x 2，这样做可达到将原，这样做可达到将原多项式多项式降次的目的．例6．证明：对任意正证明：对任意正整数整数n ，3n+2-2n+2+3n -2n 一定是l0l0的的倍数． 分析 要想证明原式是要想证明原式是1010的倍数，的倍数，只需将原式只需将原式因式分解因式分解，若有一个若有一个因数因数是1010，，则说明原式可被1010整除整除，即是，即是1010的倍数．的倍数． 证明∵3n+2-2n+2+3n -2n=3n (32+1)-2n (22+1)=3n ·10-2n ·5 =10(3n -2n-1)∴对任意的正整数∴对任意的正整数n ，原式一定是，原式一定是1010的倍数．的倍数．例7．将下列各式将下列各式分解因式分解因式(1)x 2+5x+4+5x+4；； (2)x 2-7x+6-7x+6；； (3)y 2-3y-28-3y-28；； (4)m 2+3m-28+3m-28．． 分析：上列各式均为系数为上列各式均为系数为11的二次三项式，在应用公式x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解进行分解时，关键是要找到某乘积的关键是要找到某乘积的常数项常数项，和为一次项系数的两个数，和为一次项系数的两个数，一般先将常数项分解为两数一般先将常数项分解为两数之积，然后再验证这两个数的和是否为一次项系数，若为，即可利用上述公式进行分解．(1)中有中有4=14=1××4，且，且1+4=51+4=5；；(2)(2)中有中有6=(-1)6=(-1)××(-6)(-6)，且，且(-1)+(-6)=-7(-1)+(-6)=-7；；(3)(3)中有中有-28=4-28=4××(-7)(-7)，，且4+(-7)=-34+(-7)=-3；；(4)(4)中有中有-28=(-4)-28=(-4)××7，且，且(-4)+7=3(-4)+7=3．． 讲解：(1)x 2+5x+4=x 2+(1+4)x+1+(1+4)x+1××4 =(x+1)(x+4) =(x+1)(x+4)．．(2)x 2-7x+6=x 2+[(-1)+(-6)]x+(-1)+[(-1)+(-6)]x+(-1)××(-6)=(x-1)(x-6) =(x-1)(x-6)．．(3)y 2-3y-28=y 2+[(-7)+4]x+(-7)+[(-7)+4]x+(-7)××4=(y-7)(y+4) =(y-7)(y+4)，，(4)m 2+3m-28=m 2+[7+(-4)]m+7+[7+(-4)]m+7××(-4)=(m+7)(m-4) =(m+7)(m-4)．．例8．把下列各式把下列各式分解因式分解因式(1)p 4-7p 2+6+6；； (2)(a+b)2-4(a+b)-21;(3)x 2y 2+2xy-15+2xy-15．． 分析：(1)p 4=(p 2)2，设p 2=y =y，则原，则原多项式多项式可转化为关于y 的二次三项式；的二次三项式；(2)(2)可看成是关于可看成是关于(a+b)(a+b)的二次三项式；的二次三项式；(3)(3)可看成是关于可看成是关于xy 的二次三项式的二次三项式..讲解：(1)方法一设设p 2=y =y，则，则 p 4-7p 2+6=y 2-7y+6=(y-1)(y-6)=(p 2-1)(p 2-6)=(p+1)(p-1)(p 2-6)方法二：p 4-7p 2+6=(p 2)2-7p 2+6=(p 2-6)(p 2-1) =(p 2-6)(p-1)(p+1)-6)(p-1)(p+1)．． (2)(a+b)2-4(a+b)-21=(a+b-7)(a+b-3) =(a+b-7)(a+b-3)．．(3)x 2y 2+2xy-15=(xy)2+2+2··xy-15=(xy+5)(xy-3) =(xy+5)(xy-3)．．说明：(1)(1)中的方法一用的是中的方法一用的是换元法换元法；方法二用的是换元的思想一在意识上将p 2看成一个整体，体，把原多项式看成是关于把原多项式看成是关于p 2的二次三项式，的二次三项式，但并不写出换元的步骤．但并不写出换元的步骤．这样，在书写上较方这样，在书写上较方法一简捷了许多．例9．分解因式a 2-4ab+3b 2．分析 本题所给的本题所给的多项式多项式是一个二齐次式，这类式子可看作是关于某一个字母的二次三项式，把另一个字母看作式，把另一个字母看作常数常数．不妨把a 2-4ab+3b 2看作关于a 的二次三项式，则的二次三项式，则常数项常数项是3b 2，一次项系数是-4b ．∵3b 2=(-b)=(-b)··(-3b)，而(-b)+(-3b)=-4b ．∴a 2-4ab+3b 2可写成a 2+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b)+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b)，继而分解为，继而分解为(a-b)(a-3b)(a-b)(a-3b)．． 讲解 a 2-4ab+3b 2=(a-b)(a-3b)=(a-b)(a-3b)．．注意 对于含有两个字母的二齐次式．分解因式时；要防止丢掉后一个字母的错误．对于含有两个字母的二齐次式．分解因式时；要防止丢掉后一个字母的错误．例10．把下列各式分解因式(1)x 4y 2-5x 2y 2-14y 2；(2)x 2-10xy+25y 2+6x-30y+8+6x-30y+8．． 分析：(1)(1)中各项提出公因式中各项提出公因式y 2后，括号内各项为x 2的二次三项式，的二次三项式，可用本节公式分解；可用本节公式分解；(2)(2)中前三项一组，第四、五项一组，第六项一组，原式即可转化为关于中前三项一组，第四、五项一组，第六项一组，原式即可转化为关于(x-5y)(x-5y)的二次三次式，的二次三次式，可继续用本节公式分解．(1)x 4y 2-5x 2y 2-14y 2=y 2(x 4-5x 2-14)=y 2(x 2-7)(x 2+2)(2)x 2-l0xy+25y 2+6x-30y+8=(x-5y)2+6(x-5y)+8=(x-5y+2)(x-5y+4)例11．分解因式：分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1分析 ∵1+4=2+31+4=2+3，，∴可考虑把∴可考虑把(x+1)(x+4)(x+1)(x+4)及及(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)分别分别组合组合相乘，所得两个二次三项式的二次项相同，一次项也相同，即含有x 的部分完全相同．以便进一步用的部分完全相同．以便进一步用换元法换元法分解因式．讲解：原式原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x2+5x+6)+1设x 2+5x+4=y +5x+4=y，则，则原式原式=y(y+2)+1=y =y(y+2)+1=y 2+2y+1 =(y+1)2=(x 2+5x+4+1)2=(x 2+5x+5)2说明：本题解散法的关键是：①巧妙结合．②恰当换元本题解散法的关键是：①巧妙结合．②恰当换元例12．已知已知(m (m 2-2)2-9(m 2-2)+14=0-2)+14=0，求，求m 的值． 分析：此题中，此题中，方程方程的左边可以用本节的公式分解，分解后，的左边可以用本节的公式分解，分解后，依据乘积为零则至少有一个依据乘积为零则至少有一个因因式为零，则原方程可转化为几个次数较低的方程，从而可求出m 的值．讲解：由(m 2-2)2-9(m 2-2)+14=0-2)+14=0，得，得 [(m 2-2)-2)][(m 2-2)-7]=0(m 2-4)(m 2-9)=0(m-2)(m+2)(m-3)(m+3)=0∵∵m-2=0m-2=0或或m+2=0m+2=0或或m-3=0m-3=0或或m+3=0 ∴∴m=2m=2或或m=-2m=-2或或m=3m=3或或m=-3m=-3．．答：一、选择题：1．分解因式2a 2+4ab+2b 2-8c 2，正确的是，正确的是( )( ) A ．2(a+b-2c) B ．2(a+b+c)(a+b-c)C ．(2a+b+4c)(2a+b-4c)D ．2(a+b+2c)(a+b-2c)2．x 2-6x-16-6x-16分解因式为分解因式为( )( ) A ．(x-2)(x-8) B ．(x+2)(x+8)C．(x+2)(x-8) D．(x-2)(x+8)3．x 2-13xy-30y2分解因式为( )A．(x-3y)(x-l0y) B．(x+15y)(x-2y)C．(x+l0y)(x+3y) D．(x-15y)(x+2y)4．如果如果多项式多项式x4-3x3-28x2的其中一个因式是x2，则另外两个因式是，则另外两个因式是( )( )A．(x-4)(x+7) B．(x-4)(x-7)C．(x+4)(x-7) D.(x+4)(x+7)5．多项式x2+px-q(p>0-q(p>0，，pq>0)pq>0)分解因式的结果足分解因式的结果足(x+m)(x+n)(x+m)(x+n)，则下列判断正确的是，则下列判断正确的是( )( ) A．mn<0 B．mn>0C．m>0m>0且且n>0 D．m<0m<0且且n<06．多项式a6+7a3-8-8分解因式后含有多少个因式分解因式后含有多少个因式( )( )A．1 B．2 C．3 D．47．如果x2-px+q=(x+a)(x+b)-px+q=(x+a)(x+b)，那么，那么p等于等于( )( )A．ab B．a+b C．-ab D．-(a+b)8．若x2+(5+b)x+5b=x2-x-30-x-30，则，则b的值为的值为( )( )A．5 B．-6 C．-5 D．69．如果多项式x2+ax-6+ax-6可分解为两个整系数的一次因式的积，可分解为两个整系数的一次因式的积，那么a可取的可取的整数整数值为值为( )( ) A．4个B．3个C．2个D．1个二、判断题：10．x2+(a+b)x+ab=________+(a+b)x+ab=________；；x2-(m-n)x-mn=_______11．3ax2+6axy+3ay2=_______12．已知x2-3x-54=(x+a)(x+b)-3x-54=(x+a)(x+b)，则，则a与b的符号的符号____________13．已知x2-5xy+4y2=0=0，则，则x：y=______14．x 2-2x-24-2x-24能被能被(x+a)(x+a)整除整除，则a=______ 三、把下列各式分解因式：15．(1)5m 2+6n-15m-2mn +6n-15m-2mn；；(2)ab-3b+7a 2-2la -2la；；(3)a 3-3b 2+3ab-a 2b ； (4)ax 2+3x 2-4a-12-4a-12．．16．(1)x 3 + x 2y - x 2z - xyz z - xyz；；(2)a 2x + a 2y - b 2x - b 2y ； (3)m 2n 2 - x 2y 2- m 2y 2+ n 2x 2；(4)a 4b+a 3b+ab+b b+ab+b．．17．(1)ax 2+x 2-a-1; (2)x 3-4+x-4x 2；(3)m 3-m-8m 2+8+8；；(4)a 2b 2-a 2-b 2+1+1．． 18．(1)25x 2-4a 2+12ab-9b 2；(2)a 2+2ab+b 2-ac-bc -ac-bc；；(3)a 2+2ab+b 2-m 2+2mn-n 2;(4)x 3 + x 2y - xy 2 - y 3．19．(1)y(y-2)+4x(x-y+1)(1)y(y-2)+4x(x-y+1)；；(2)3(ab+cd)-(bc+9ad)(2)3(ab+cd)-(bc+9ad)；；(3)1-ab(1-ab)-a 3b 3；(4)a(a-1)(a-2)-6(4)a(a-1)(a-2)-6．．20．求值求值(1)(1)已知已知a+b= ，a-b= ，求a 2+ab-3a-3b 的值； (2)(2)已知已知a 2+a+1=0+a+1=0，求，求a 3+2a 2+2a+3+2a+3的值；的值；(3)(3)若若x 2+2x+y 2-6y+10=0-6y+10=0，求，求x ，y 的值；(4)(4)已知已知a+b=0a+b=0，求，求a 3-2b 3+a 2b-2ab 2的值．答案（一）（一）11．D 2D 2．．C 3C 3．．D 4D 4．．C 5C 5．．A 6A 6．．D 7D 7．．D 8D 8．．B 9B 9．．A（二）（二）1010．．(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11．．3a(x+y)21212．互异．互异 13 13．．1或4 144 14．．4或-6（三）（三）1515．．(1) (m-3)(5m-2n)(2) (a-3)(7a+b)(3) (a-b)(a 2+3b)(4) (a+3)(x+2)(x-2)1616．．(1) x(x+y)(x-z)(2) (x+y)(a+b)(a-b)(3) (m 2+x 2)(n+y)(n-y)(4) b(a+1)2(a 2-a+1)1717．．(1) (a+1)(x-1)(x 2+x+1)(2) (x 2+1)(x-4)(3) (m+1)(m-1)(m-8)(4) (a+1)(a-1)(b+1)(b-1)1818．．(1) (5x+2a-3b)(5x-2a+3b)(1)- (2)2 (3)x=-1,y=3 (4)=0 m 的值为的值为22，-2-2，，3或-3-3．． (2) (a+b)(a+b-c)(3) (a+b+m-n)(a+b-m+n)(4) (x-y)(x+y)2 1919．．(1) (2x-y)(2x-y+2)(2) (3a-c)(b-(2) (3a-c)(b-3d 3d )(3) (1+a 2b 2)(1-ab)(4) (a 2+2)(a-3) 2020．．。
因式分解之分组分解法
因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
注意问题提示：（1）分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
（2）分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式 进行因式分解。
常见分组方法方法一：分组后能提取公因式1．按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组， 含有字母b 的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。
2．按系数分组例如：分解因式：a 2-ab+3b-3a ，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好 相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。
3．按次数分组例如：分解因式：x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二：分组后能运用公式例如：x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。
而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组例如：分解因式4x 2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。
4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。
因式分解——分组分解法
北京四中撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
因式分解——分组分解法
=(x-3y-5)2
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。
解：a2-a2b+ab2-a+b-b2
=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)
=x(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
（4）分析：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。
解：a2-4ab+3b2+2bc-c2
=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2
=(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
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§9.6因式分解之分组分解法————研究课
学习目标
1. 理解分组分解法的概念和意义；
2. 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法；
3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法.
学习重点 1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；
2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解.
自主学习
一. 创设情境
我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，如， ，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目：
分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac .
二．探索尝试
1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？
归纳： .
三．例题举偶. 把下列多项式分解因式：
1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五．课外延伸
1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ）
A ．1种
B .2种
C .3种
D .4种
2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ）
3．填空：
（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )
（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( )
（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( )
4．把下列各式分解因式
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn
)2().()
2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy
x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+。