2018-2019学年高中数学必修二(苏教版)课件：2.1.4
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2018-2019学年高中数学必修二(苏教版)课件：1.1.3
典例导学
思路分析：图(1)为正六棱柱,可按棱柱的画法画出,图(2)是一个 圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合 形状.
典例导学
即时检测
一
二
三
解：(1)正六棱柱的三视图如图①所示. (2)圆锥与圆台组合体的三视图如图②所示.
①
②
典例导学
即时检测
一
二
三
1.下面有四个平面图形,其中可以作为四棱锥的俯视图的是(
交流1 两条平行直线的平行投影仍是平行直线吗? 答案：不一定.当它们所确定的平面平行于投影线时,它们的平 行投影为两个点或重合为一条直线.
2.三视图的概念及分类 (1)视图的概念 视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. (2)三视图的分类
实物图
分类 主视图 左视图
定义 主视图(或正视图)是指光线自物体 的前面向后投射所得的投影 左视图是指光线自物体左侧向右投 射所得的投影
典例导学
即时检测
一
二
三
物体三视图的作图步骤如下: (1)根据物体的复杂程度及大小,确定图形比例. (2)确定主视图的观察方向(使其主要表面平行或垂直于投影面, 能表达更多的结构形状). (3)布置各视图的位置(画出基准线、对称中心线、轴线). (4)按照“三等规律”画其三视图(可见轮廓线画成实线,不可见 轮廓线画成虚线). (5)核对有无错漏,擦去多余线条.
典例导学
即时检测
一
二
三
三、由三视图还原为空间几何体 下图是一些几何体的三视图,试画出该几何体,并说出它们的名 称.
①
②
③
典例导学
即时检测
一
二
三
思路分析：主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、 上方、左方看到的物体轮廓线的正投影,由三视图特征,结合常见 柱、锥、台、球的三视图逆推可得. 解：(1)该几何体图形如图①所示,为长方体. (2)该几何体图形如图②所示,为圆锥. (3)该几何体图形如图③所示,为正六棱锥.
苏教版 高中数学必修第二册 复数的三角形式 课件3
角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
例 2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1） 1 3 i ； （2）1 i . 22
解析（1）复数 1 3 i 对应的向量如图所示，则 22
r
1 2
2
2
3
2
1,cos 1 .
2
因为与 1 3 i 对应的点在第一象限，所以 22
1＋2 3 答案：－ 2
2. 欧拉公式 eix＝cos x＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常
重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，对e
2019 4
i
表示的复数
z，则_______. 1＋i
随堂测试
1．设 z＝1－2i 对应的向量为O→Z ，将O→Z 绕原点按顺时针方向旋转 30°所得向量对 应的复数的虚部为________．
【解析】所得向量对应的复数为(1－2i)·[cos
(－30°)＋isin
(－30°)]＝(1－2i)
23－12i
3－2 1＋2 3
1＋2 3
＝ 2 － 2 i，故虚部为－ 2 .
复数的三角形式与代数形式 (1)三角形式：___r_(_co_s_θ_＋__i_s_in_θ_)___称为复数z的三角形式． (2)代数形式：a＋bi称为复数z的代数形式． 复数乘法的三角表示 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， 则z1z2＝___r_1_r_2[_c_o_s_(θ_1_＋__θ_2_)＋__i_s_in_(_θ_1_＋__θ_2)_]___．这就是说，两个复数相乘，其积 的模等于这两个复数模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．
苏教版 高中数学选择性必修第二册 两个基本计数原理 课件2
解：(1)由分类计数原理得：28+20=48种； (2)由分步计数原理得：28×20=560种.
例2 （1）在图（1）的电路中，只合上一只开 关以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
解：(1)由分类计数原理得：2+3=5种； (2)由分步计数原理得：2×3=6种.
穷举法
计数
分类计数
分步计数
树形图 分类 分步
计数原理的应用 1、分清是分类还是分步问题 （1）采用不同的方案都可完成事件属分类; （2）要分几步才能完成事件, 则每运作一次只是一步.
2、有时分类中含有分步, 分步中也需分类.
穷举法
树形图
计数
分类计数
分类
之间 联系？
分类 变 分步
每一类的方法个数相同时
Nm1×m2×…×mn
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这 两个原理都是指完成一件事，区别在于：
（1）分类（加法）计数原理是“分类”，每类办法中的每一种 方法都能独立完成一件事；
（2）分步（乘法）计数原理是“分步”；每种方法都只能做这 件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完 成这件事情!
思考：两个问题的区别在哪里？
数学探究
我们一起来考察下面两个问题：
1、从甲地到乙地有3条公 路、2条铁路，那么从 甲地到乙地，共有多少
种不同的方法？
2、从甲地到乙地有3条道路， 从乙地到丙地有2条道路， 那么从甲地经乙地到丙 地，共有多少种不同的 方法？
32 5
第一类 第二类
每一类都能完成任务 分类计数 (相加)
7.1两个基本计数原理
例2 （1）在图（1）的电路中，只合上一只开 关以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
解：(1)由分类计数原理得：2+3=5种； (2)由分步计数原理得：2×3=6种.
穷举法
计数
分类计数
分步计数
树形图 分类 分步
计数原理的应用 1、分清是分类还是分步问题 （1）采用不同的方案都可完成事件属分类; （2）要分几步才能完成事件, 则每运作一次只是一步.
2、有时分类中含有分步, 分步中也需分类.
穷举法
树形图
计数
分类计数
分类
之间 联系？
分类 变 分步
每一类的方法个数相同时
Nm1×m2×…×mn
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这 两个原理都是指完成一件事，区别在于：
（1）分类（加法）计数原理是“分类”，每类办法中的每一种 方法都能独立完成一件事；
（2）分步（乘法）计数原理是“分步”；每种方法都只能做这 件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完 成这件事情!
思考：两个问题的区别在哪里？
数学探究
我们一起来考察下面两个问题：
1、从甲地到乙地有3条公 路、2条铁路，那么从 甲地到乙地，共有多少
种不同的方法？
2、从甲地到乙地有3条道路， 从乙地到丙地有2条道路， 那么从甲地经乙地到丙 地，共有多少种不同的 方法？
32 5
第一类 第二类
每一类都能完成任务 分类计数 (相加)
7.1两个基本计数原理
苏教版高中数学必修2全套PPT课件
投影是光线(投射线)通过物体,向选 定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的 方法.
请同学们观察下列的投影的现象 , 它们 的投影过程有何不同?
S
投 射 方 向
中心投影
正投影
斜投影
投影
平行投影
中心投影
投影中心
S
投影线 投影 投影面
中心投影:投射线交于一点.
投影的分类: 平行投影
斜投影
正投影(本节主要学习利用正投 影绘制空间图形的三视图,并能 根据所给的三视图了解该空间 图形的基本特征.)
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 叫做棱锥(pyramid).
2.棱锥的元素
底面 侧面
A B
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名
C
S
顶点
由棱柱的一个 底面收缩而成
CA
C
B
底面 侧面
侧棱
相邻两侧面 的公共边
侧棱
相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？ 在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
上底面
母线 轴 3．圆台的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO’。
侧面
母线
下底面
4．圆台具有以下性质： （1）圆台的底面是两个半径不等的圆，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直； （2）平行于底面的截面是圆； （3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形； （4）任意两条母线（它们延长后会相交）确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形； （5）母线都相等，各母线延长后都相交于一点。
解：设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r，4r，根据相似 三角形的性质得
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直 线面垂直
第1章 立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2： 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有 无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直； 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不 垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足；
R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
苏教版高中数学教材必修2
第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一
2018-2019最新高中数学必修二全册(精品课件)(内容全面,知识丰富)
空间几何体的结构
2018/9/4
教学课件
1
2018/9/4
教学课件
2
2018/9/4
教学课件
3
一、 观察下列几何体并思考：具备哪 些性质的几何体叫做棱柱?
A1
D1
B1
C1
A1
C1 B1
A1
E1
D1
B1
E
C1
D A
2018/9/4
C B A
C B
教学课件
A B
C
D
4
1、定义：有两个面互相平行，其余各面都
底面
侧棱
2018/9/4 教学课件
30
棱柱的表示法
1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如：棱柱
D1 A1 D A
2018/9/4
C1
B1 C B A A
1
C1
A1 B1 B1
E1
D1 C1
C B
教学课件
2018/9/4 教学课件 24
用这种视图即可刻划空间物体的几何
结构，这种图称之为三视图。
三视图从细节上刻画了空间几何体的
结构。根据三视图，我们就可以得到一个 精确的空间几何体。正是因为三视图的这
个特点，使它在生产活动中得到广泛应用
（零件图纸，建筑图纸都是三视图）。
2018/9/4 教学课件 25
A
直角三角形
O
（3）不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。
2018/9/4
（4）无论旋转到什么位置不 15 教学课件 垂直于轴的边都叫做 圆锥的母线。
2018/9/4
教学课件
1
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教学课件
2
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教学课件
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一、 观察下列几何体并思考：具备哪 些性质的几何体叫做棱柱?
A1
D1
B1
C1
A1
C1 B1
A1
E1
D1
B1
E
C1
D A
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C B A
C B
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A B
C
D
4
1、定义：有两个面互相平行，其余各面都
底面
侧棱
2018/9/4 教学课件
30
棱柱的表示法
1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如：棱柱
D1 A1 D A
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C1
B1 C B A A
1
C1
A1 B1 B1
E1
D1 C1
C B
教学课件
2018/9/4 教学课件 24
用这种视图即可刻划空间物体的几何
结构，这种图称之为三视图。
三视图从细节上刻画了空间几何体的
结构。根据三视图，我们就可以得到一个 精确的空间几何体。正是因为三视图的这
个特点，使它在生产活动中得到广泛应用
（零件图纸，建筑图纸都是三视图）。
2018/9/4 教学课件 25
A
直角三角形
O
（3）不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。
2018/9/4
（4）无论旋转到什么位置不 15 教学课件 垂直于轴的边都叫做 圆锥的母线。
2018-2019学年高中数学必修二(苏教版)课件：1.2.4.1
典例导学
即时检测
一
二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三
一、平面与平面的位置关系 在以下说法中,正确说法的个数是( ) (导学号51800037) ①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平 面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③平面α内△ABC的 三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行. A.0 B.1 C.2 D.3 思路分析：画符合条件的图形,依反例图形作答.
典例导学
即时检测
一
二
三
二、面面平行的判定定理的应用 如图,在正方体AC1中,M,N,P分别是棱CC1,B1C1,C1D1的中点.求证: 平面MNP∥平面A1BD.
思路分析：证明面面平行一般用判定定理,需要探求判定定理的 条件是否完全具备.由已知棱的中点,想到先用中位线及公理4证线 线平行,再证线面平行.只有判定定理的条件完全具备,才能由定理 得出面面平行的结论.
即时检测
一
二
三
2.如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是 A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.(导学号51800038)
求证:(1)E,F,B,D四点共面; (2)平面AMN∥平面EFDB.
典例导学
即时检测
一
二
三
证明：(1)连结B1D1. ∵E,F分别是B1C1,C1D1的中点, 1 ∴EF������ 2 B1D1. ∵四边形D1B1BD是平行四边形, ∴D1B1∥BD. ∴EF∥BD, 即EF,BD确定一个平面. 故E,F,B,D四点共面.
答案：A
典例导学
即时检测
一
二
三
如果在两个平面内各有一条直线,这两条直线互相平行,那么两 个平面的位置关系一定是 . 解析：如图所示,当两平面平行时,平面α内的直线a平行于平面β 内的直线b;当两平面相交时,也存在平面α内的直线a平行于平面β 内的直线b.
2018-2019数学苏教版必修2 第2章2.1.2第一课时 点斜式 课件(29张)
当点 C 在直线 AB 的上方时，边 AC 所在直线的斜率 kAC＝tan 60°＝ 3，边 BC 所在直线的斜率为 kBC＝tan(180°－45°)＝－1， 所以，边 AC 所在直线方程为 y－1＝ 3(x－1)，边 BC 所在直 线方程为 y－1＝－(x－5)． 当点 C 在直线 AB 的下方时，边 AC 所在直线的斜率为 kAC＝ tan(180°－60°)＝－ 3，边 BC 所在直线的斜率为 kBC＝tan 45° ＝1，所以，边 AC 所在直线的方程为 y－1＝－ 3(x－1)，边 BC 所在直线方程为 y－1＝x－5.
本部分内容讲解结束
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方法归纳 (1)在直线的点斜式或斜截式方程中，都有斜率k，我们 常把k作为未知数引入待定．(2)在截距上加绝对值后才 能表示线段长度．
3．求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直 线 l 的方程． 解：由已知直线的斜率为34，可设直线 l 的方程为： y＝34x＋b.令 x＝0，得 y＝b；令 y＝0，得 x＝－43b. 由题意得：|b|＋43|b|＋53|b|＝12， ∴b＝±3. ∴所求直线方程为 y＝34x±3.
学法 指导
探讨得出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理 解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式 方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思
想.
1．直线的点斜式方程 条件：点 P1(x1，y1)和_____斜__率__k_____. 图示：
方程：y－y1＝___k_(_x_－__x_1_) ___
规范解答
直线方程的综合应用
(本题满分16分)如图过点P(2,1)作直线l，分别交x轴， y轴正半轴于A，B两点． (1)当△OAB的面积最小时，求直线l的点斜式方程； (2)当PA·PB取最小值时，求直线＝k(x－2)(k<0)，
2018-2019学年高中数学苏教版必修2 第2章2.1.2第三课时 一般式 课件(31张)
方法归纳 (1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还 是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转 化为一般式． (2)四种特殊形式的直线方程的确定只需要两个量：一点一斜 率或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要
转化为直线的一般式方程．
1．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程． (1)经过点A(2,5)，斜率是4；
[解] (1)由点斜式方程得 y－3＝ 3(x－5)，整理得 3x－y＋3 －5 3＝0； (2)x＝－3，即 x＋3＝0； (3)y＝4x－2，即 4x－y－2＝0； (4)y＝3，即 y－3＝0； y－5 x－－1 (5)由两点式方程得 ＝ ，整理得 2x＋y－3＝0； －1－5 2－－1 x y (6)由截距式方程得 ＋ ＝1， －3 －1 整理得 x＋3y＋3＝0.
1．直线与二元一次方程的对应
在平面直角坐标系中
(1)任意一条直线都可以用形如Ax＋By＋C＝0(A，B不全为 0) 的方程来表示． (2)关于x， y的二元一次方程 Ax＋By＋ C＝0(A， B不全为0)， 表示一条直线 它都_____________________
2．直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0 式子：关于x、y的二元一次方程______________________ ；
解析：x＝2可以写成x＋0· y－2＝0，即A＝1，B＝0，C＝
－2.y＝3可以写成0· x＋y－3＝0，即A＝0，B＝1，C＝－3. 均符合A，B不全为0的条件． 2．直线的斜率为 2，且经过点 A(1,3) 的直线的一般式方程 2x－y＋1＝0 ． 为_________________
解析：由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x程，并化为一般式 方程． (1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)； (2)过点 B(－3,0)，且垂直于 x 轴； (3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴； (5)经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； (6)在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1. (链接教材 P87 练习 T5)
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想
建构数学
一 1．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？
想 2．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？
？
性质1：平行于底面的截面都是圆． 性质2：过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形，等腰三角形，等腰梯形．
用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？ 性质3：用一个平面去截球体得到的截面都是一个圆． 大圆：截面过球心时所截得的圆是大圆，其它都称为小圆．
——正方向
主视图 俯视图
左视图
小结：
中心投影
投影
斜投影
平行投影
正投影
主视图 视图 俯视图
左视图
长度相等 宽度相等 高度相等
三视图告诉我们要学会从不同的角度看问题，切忌片面地看问题．
作业：
课本14页练习第1题．
课本17页习题第4题．
高中数学 必修2
情境创设：
中心投影 平行投影 三视图
正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛运用．但三视图的 直观性较差．如何把立体图形画在纸上？
一次小下载 安逸一整年！
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可截成 课时课件单独使用
如果暂时不需要，请您把我收藏一下。因为一旦 关闭本页，可能就永远失去我了哦！
请别问我是怎么知道的！
高中数学 必修2
问题导入：
“点动成线，线动成面”，面动成 体？
平移
平移
一般地，由一个平面多边形沿某一个方向平移形成的空间几何体叫 做棱柱(prism)．
俯视图：光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图.
左视图：光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图.
主视图
左视图
2018-2019学年高中数学必修二(苏教版)课件：1.2.2
1 ������������������ ������������ 2 1 ������������������ ������������ 2 1 ������������������ ������������ 2 ⇒EF������GH, 1 ������������������ ������������ 2
⇒EH������FG,
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AC=BD且AC⊥BD, ∴EF=FG,且EF⊥FG. ∴四边形EFGH为正方形.
典例导学
即时检测
一
二
三
2.已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求 证:∠BEC=∠B1E1C1. (导学号51800023) 证明：如图,连结EE1, ∵E,E1分别为AD,A1D1的中点, ∴A1E1������ AE, ∴四边形A1E1EA为平行四边形. ∴A1A������ E1E. 又∵A1A������ B1B,∴E1E������ B1B, ∴四边形E1EBB1是平行四边形, ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又E1B1与EB方向相同,E1C1与EC方向相同, ∴∠BEC=∠B1E1C1.
典例导学
即时检测
一
二
三
1.(2016四川德阳高二期中)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条 棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ( )
解析：易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C 中RS与PQ是异面直线. 答案：C
典例导学
即时检测
一
二
三
2.下图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有 对.
⇒EH������FG,
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AC=BD且AC⊥BD, ∴EF=FG,且EF⊥FG. ∴四边形EFGH为正方形.
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一
二
三
2.已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求 证:∠BEC=∠B1E1C1. (导学号51800023) 证明：如图,连结EE1, ∵E,E1分别为AD,A1D1的中点, ∴A1E1������ AE, ∴四边形A1E1EA为平行四边形. ∴A1A������ E1E. 又∵A1A������ B1B,∴E1E������ B1B, ∴四边形E1EBB1是平行四边形, ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又E1B1与EB方向相同,E1C1与EC方向相同, ∴∠BEC=∠B1E1C1.
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二
三
1.(2016四川德阳高二期中)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条 棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ( )
解析：易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C 中RS与PQ是异面直线. 答案：C
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2.下图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有 对.
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2.1.4 两条直线的交点
学习目标 1.了解方程组解的个数与两直 线之间的位置关系. 2.会用解方程组的方法求两直 线相交时直线的交点坐标.
重点难点 重点:知道方程组解的个数与两 直线位置关系的对应. 难点:会解两直线的交点坐标.
1.两直线的位置关系与二元一次方程组解的关系 设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.如 果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一 定是这两个方程的公共解;反之,如果这两个二元一次方程只有一 个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.据此,我 们有
������2 -36 2������+3
.令其为 0,得 k=±6.
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一、两条直线的交点问题 判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标. (1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0; (2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0; (3)l1:2x-3y+5=0,l2:4x-6y+10=0. 思路分析：题中给出了两条直线的方程,要判断它们的位置关系, 只需看它们组成的方程组的解的个数.
1 7 , 3 3
1 3 7 . 3
所以交点坐标为
.
(2)(方法一)在 2x+3y-k=0 中, 令 x=0,得 y= ,则 0, 即 - +12=0,k 2=36,
������2 3 3 ������ ������ 3
应满足方程 x-ky+12=0.
∴k=±6.
(方法二)由题意, 2������ + 3������-������ = 0, 得 ������-������������ + 12 = 0, 解得 x=
3.经过两条直线交点的直线系方程 经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方 程为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,m,n不同时 为0).当m=1,n=0时,方程即为l1的方程;当m=0,n=1时,方程即为l2的 方程.上面的直线系方程可写成 (A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),但此方程不包括直 线l2.
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2.已知直线l过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直 线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程. 3������ + 4������-2 = 0, ������ = -2, 解：由方程组 解得 ������ = 2, 2������ + ������ + 2 = 0, 所以直线l1与l2的交点坐标为(-2,2). 由l∥l3,可设l的方程为4x+3y+b=0,将(-2,2)代入上式,解得b=2, 所以直线l的方程为4x+3y+2=0.
∵此点在第四象限,
4������ -2 > 0, 2������ +1 ∴ 6������+1 即 < 0, 2������+1 1 1 ∴-2<k<-6. 1 1 答案： - ,2 6
2������+1 2������ +1 1 2 1 2
< ������ < < ������ <
1 , 2 1 - . 6
2.两直线的位置关系与方程系数的关系
设两条直线的方程分别是 l1:A 1x+B1y+C1= 0,l2:A2x+B 2y+C2= 0.若 A2,B2,C2 不为 0,则 合⇔
������1 ������2
=
������1 ������2
=
������1 . ������2
������1 l1,l2 相交⇔ ������2
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三
两条直线相交的判定方法:
方法
判断方式
在两直线的斜率都存在的条件下,若斜率不等,则两直 (1)斜率法 线相交 (2)方程组 解由两直线的方程组成的方程组,若只有一组解,则两 法 直线相交
≠
������1 ������1 ,l1∥l2⇔ ������2 ������2
=
������1 ������2
பைடு நூலகம்
≠
������1 ,l1 与 l2 重 ������2
交流2 求直线l1:x+y-2=0与直线l2:x-2y=0的斜率,并分析直线l1与l2的位 置关系. 1 答案：直线l1的斜率k1=-1,直线l2的斜率k2= 2 , ∵k1≠k2, ∴直线l1与l2相交.
交流3 (1)求直线l1:2x+y-3=0和l2:x-y+2=0的交点坐标. (2)如果两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,试求k的值. 2������ + ������-3 = 0, 解： (1)由题意得 ������-������ + 2 = 0,
解得
������ = , ������ =
A1 x + B1 y + C1 = 0, 的解 A 2 x + B2 y + C2 = 0 直线 l1,l2 的公共点个数 直线 l1,l2 的位置关系 方程组
一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
交流1 若两个二元一次方程组成的方程组有解,则一定能说明这两条直 线相交吗? 答案：不一定.若该方程组有且只有一个解,可说明两直线相交, 若该方程组至少有两个解,则说明两直线重合.
(3)由于两直线的方程可以化为同一个方程,即它们表示同一条直 线. 所以两条直线重合.
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三
1.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交点在第四象限,则k的取值 范围是 . (导学号51800073) ������ + 2������-4 = 0, 解析：解方程组 ������ = ������������ + 2������ + 1, 4������-2 6������ +1 得交点为 , ,
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2������ + ������ + 3 = 0, 得 x=y=-1,方程组只有一组解 , ������-2������-1 = 0, 所以两条直线相交,交点坐标为 (-1,-1); ������ + ������ + 2 = 0, (2)由于方程组 无解 ,所以两条直线没有公共点, 2������ + 2������ + 3 = 0 即两条直线平行 ; 解： (1)解方程组
学习目标 1.了解方程组解的个数与两直 线之间的位置关系. 2.会用解方程组的方法求两直 线相交时直线的交点坐标.
重点难点 重点:知道方程组解的个数与两 直线位置关系的对应. 难点:会解两直线的交点坐标.
1.两直线的位置关系与二元一次方程组解的关系 设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.如 果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一 定是这两个方程的公共解;反之,如果这两个二元一次方程只有一 个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.据此,我 们有
������2 -36 2������+3
.令其为 0,得 k=±6.
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一、两条直线的交点问题 判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标. (1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0; (2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0; (3)l1:2x-3y+5=0,l2:4x-6y+10=0. 思路分析：题中给出了两条直线的方程,要判断它们的位置关系, 只需看它们组成的方程组的解的个数.
1 7 , 3 3
1 3 7 . 3
所以交点坐标为
.
(2)(方法一)在 2x+3y-k=0 中, 令 x=0,得 y= ,则 0, 即 - +12=0,k 2=36,
������2 3 3 ������ ������ 3
应满足方程 x-ky+12=0.
∴k=±6.
(方法二)由题意, 2������ + 3������-������ = 0, 得 ������-������������ + 12 = 0, 解得 x=
3.经过两条直线交点的直线系方程 经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方 程为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,m,n不同时 为0).当m=1,n=0时,方程即为l1的方程;当m=0,n=1时,方程即为l2的 方程.上面的直线系方程可写成 (A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),但此方程不包括直 线l2.
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2.已知直线l过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直 线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程. 3������ + 4������-2 = 0, ������ = -2, 解：由方程组 解得 ������ = 2, 2������ + ������ + 2 = 0, 所以直线l1与l2的交点坐标为(-2,2). 由l∥l3,可设l的方程为4x+3y+b=0,将(-2,2)代入上式,解得b=2, 所以直线l的方程为4x+3y+2=0.
∵此点在第四象限,
4������ -2 > 0, 2������ +1 ∴ 6������+1 即 < 0, 2������+1 1 1 ∴-2<k<-6. 1 1 答案： - ,2 6
2������+1 2������ +1 1 2 1 2
< ������ < < ������ <
1 , 2 1 - . 6
2.两直线的位置关系与方程系数的关系
设两条直线的方程分别是 l1:A 1x+B1y+C1= 0,l2:A2x+B 2y+C2= 0.若 A2,B2,C2 不为 0,则 合⇔
������1 ������2
=
������1 ������2
=
������1 . ������2
������1 l1,l2 相交⇔ ������2
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两条直线相交的判定方法:
方法
判断方式
在两直线的斜率都存在的条件下,若斜率不等,则两直 (1)斜率法 线相交 (2)方程组 解由两直线的方程组成的方程组,若只有一组解,则两 法 直线相交
≠
������1 ������1 ,l1∥l2⇔ ������2 ������2
=
������1 ������2
பைடு நூலகம்
≠
������1 ,l1 与 l2 重 ������2
交流2 求直线l1:x+y-2=0与直线l2:x-2y=0的斜率,并分析直线l1与l2的位 置关系. 1 答案：直线l1的斜率k1=-1,直线l2的斜率k2= 2 , ∵k1≠k2, ∴直线l1与l2相交.
交流3 (1)求直线l1:2x+y-3=0和l2:x-y+2=0的交点坐标. (2)如果两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,试求k的值. 2������ + ������-3 = 0, 解： (1)由题意得 ������-������ + 2 = 0,
解得
������ = , ������ =
A1 x + B1 y + C1 = 0, 的解 A 2 x + B2 y + C2 = 0 直线 l1,l2 的公共点个数 直线 l1,l2 的位置关系 方程组
一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
交流1 若两个二元一次方程组成的方程组有解,则一定能说明这两条直 线相交吗? 答案：不一定.若该方程组有且只有一个解,可说明两直线相交, 若该方程组至少有两个解,则说明两直线重合.
(3)由于两直线的方程可以化为同一个方程,即它们表示同一条直 线. 所以两条直线重合.
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三
1.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交点在第四象限,则k的取值 范围是 . (导学号51800073) ������ + 2������-4 = 0, 解析：解方程组 ������ = ������������ + 2������ + 1, 4������-2 6������ +1 得交点为 , ,
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2������ + ������ + 3 = 0, 得 x=y=-1,方程组只有一组解 , ������-2������-1 = 0, 所以两条直线相交,交点坐标为 (-1,-1); ������ + ������ + 2 = 0, (2)由于方程组 无解 ,所以两条直线没有公共点, 2������ + 2������ + 3 = 0 即两条直线平行 ; 解： (1)解方程组