19.3.2梯形的的判定
初中数学知识归纳梯形的性质与判定
初中数学知识归纳梯形的性质与判定梯形是初中数学中一个重要的几何图形，它的性质与判定常常出现在数学考试中。
本文将对梯形的性质与判定进行归纳总结，帮助初中生们更好地理解和运用梯形。
梯形的定义：梯形是一个有四边的几何图形，其中两边是平行线段，另外两边则不一定平行。
这两个平行线段被称为梯形的上底和下底，两个非平行的边被称为梯形的斜边。
梯形上底和下底之间的垂直距离被称为梯形的高。
梯形的性质与定理：1. 梯形的对角线相等：梯形的两条对角线分别连接了梯形的非相邻顶点，而这两条对角线相等。
证明：画出梯形的对角线，然后利用平行线和同位角的性质，可以证明两条对角线相等。
2. 梯形的底角和顶角互补：梯形的底角和顶角之和为180度。
证明：利用平行线和同位角的性质，可以证明底角和顶角之和为180度。
3. 等腰梯形的性质：如果一个梯形的两个腰（斜边）相等，那么这个梯形就是等腰梯形。
证明：利用等腰三角形的性质，可以证明一个梯形的两个腰相等。
4. 等腰梯形的底角相等：如果一个梯形是等腰梯形，那么这个梯形的底角相等。
证明：利用等腰三角形的性质，可以证明一个梯形的底角相等。
5. 直角梯形的性质：如果一个梯形的一个内角是直角，那么这个梯形就是直角梯形。
证明：利用直角三角形的性质，可以证明一个梯形的一个内角是直角。
梯形的判定方法：在做题时，我们有时需要通过给定条件来判定一个四边形是否是梯形。
常用的判定方法有以下几种：1. 如果一个四边形的两条对角线相等，并且底角和顶角之和为180度，那么这个四边形是梯形。
2. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一对对角线相等，那么这个四边形是梯形。
3. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一条边平分了另一条边，那么这个四边形是梯形。
4. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一条边垂直于另一条边，那么这个四边形是梯形。
通过以上性质与判定方法，我们可以更加准确地判断和运用梯形。
在解决几何问题时，我们可以根据题目给出的条件，应用相关的性质与判定方法，灵活运用，得出正确的结论。
梯形的性质与判定解析
梯形的性质与判定解析梯形是一种常见的几何形状，它有一些独特的性质和判定条件。
在本文中，我们将探讨梯形的定义、性质以及判定方法。
一、梯形的定义梯形是指一个有四条边的四边形，其中两条边是平行边，而另外两条边则不平行。
梯形的两条平行边又被称为上底和下底，而连接上底和下底的两条非平行边则被称为腰。
二、梯形的性质1. 梯形的对角线互相垂直。
对角线是指连接梯形的两个非相邻顶点的线段。
在任意梯形中，对角线互相垂直，即两条对角线的交点是一个直角。
2. 梯形的上底和下底平分对角线的长度。
这意味着无论上底和下底的长度如何，它们将以等长的方式平分连接顶点的对角线。
3. 梯形的腰两两相等。
在梯形中，连接上底和下底的两条腰边长是相等的。
这可以通过梯形的定义以及平行线和等角定理来证明。
4. 梯形的面积计算公式。
梯形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 0.5 × (上底 + 下底) ×高。
其中，高是指从上底到下底的垂直距离。
三、梯形的判定方法1. 通过边长判定梯形。
如果四边形的两条非平行边长度相等，且另外两条边不相等，则这个四边形可以判定为梯形。
2. 通过角度判定梯形。
如果四边形的一组对角线互相垂直，且另外两条边不相等，则这个四边形可以判定为梯形。
值得注意的是，梯形的判定只需要满足其中一种条件即可。
因此，在判定梯形时，我们可以根据所给的条件进行推理和验证。
通过以上的解析，我们对梯形的性质和判定方法有了更深入的了解。
梯形作为几何形状中的一种，其独特的性质使其在数学和几何学中具有重要的地位和应用。
对于学习者而言，熟练掌握梯形的性质和判定方法，有助于提高几何问题的解题能力，并深入理解几何学中的基本概念和原理。
总结起来，梯形是一种具有平行边和非平行边的四边形，其对角线互相垂直且上底和下底平分对角线长度。
梯形的判定条件可以通过边长和角度进行验证。
通过学习和理解梯形的性质和判定方法，我们能够更好地应用几何知识解决具体问题，提高数学学习的效果和成果。
19.3梯形 课件(人教版八年级下册) (3)
∵AB∥CD，AB≠CD ∴ 四边形ABCD是梯形 又∵AD=BC=3 ∴ 四边形ABCD是等腰梯形 梯形的证明
等腰梯形的判定： 2、判定定理： 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠C ， 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 A D 证明：过点D作DE∥AB交BC于点E ∵DE∥AB ∴∠1＝∠B. 1 又∵∠B＝∠C ∴∠1＝∠C B C E ∴ DC＝DE 过点D作DE∥AB 又 ∵ AD∥BC ， DE∥AB ∴四边形ABED为平行四边形. 交BC于点E ∴ AB＝DE 平移一腰是梯形 ∴ AB＝DC 常用的辅助线。 ∴四边形ABCD为等腰梯形.
如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， A D 给出条件：∠A与∠C互补
B
C
梯形ABCD是等腰梯形吗？
结论：一组对角互补的梯形是等腰梯形
画一画
画线段AB，在线段AB的同侧 作锐角∠EAB和∠FBA，使∠EAB ＝∠FBA（使BF和AE不相交）， 在BF上取点C，过点C作CD∥AB 交AE于点D。观察四边形ABCD并 猜测它的形状。
八年级
下册
19.3.2 等腰梯形的判定
1.梯形的定义及类型：
等腰梯形 一组对边平行， 四边形 另一组对边不平行
梯形
直角梯形
2.等腰梯形的性质： 等腰梯形是一个轴对称图形，上下底的中点 的连线所在的直线是它的对称轴。 (1) 等腰梯形的两底平行，两腰相等； (2) 等腰梯形同一底边上的两个角相等； (3)等腰梯形的两条对角线相等。
两条腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形
一组对边平行 四边形 另一组对边不平行 梯形 一组对边平行 且不相等 两腰相等 同一底上的 两角相等 等腰梯形
梯形的推理过程
梯形的推理过程梯形是几何学中的一个重要概念，它具有独特的性质和特点。
在几何推理中，梯形的性质和关系经常被用来进行推理和证明。
下面将介绍梯形的推理过程，帮助学生更好地理解和运用梯形的性质。
一、梯形的定义和性质回顾梯形是一个四边形，它的两边是平行的，而另外两边则不平行。
梯形的性质包括：1. 梯形的对角线相等：梯形的两条对角线相等。
2. 梯形的底角相等：梯形的两个底角相等。
3. 梯形的顶角相等：梯形的两个顶角相等。
4. 梯形的底边平行：梯形的两条底边是平行的。
二、梯形的推理过程在几何推理中，梯形的性质可以用来进行推理和证明。
下面将介绍梯形的推理过程，包括以下几个步骤：1. 分析题目：首先，仔细阅读题目，理解题目中给出的条件和要求。
分析题目中的图形和已知信息，确定需要推理的结论。
2. 利用梯形的性质：根据梯形的性质，利用已知条件和推理规则进行推理。
例如，如果题目中给出了梯形的两个底角相等，可以利用这个性质推断出其他角的关系。
3. 运用等式和不等式：在推理过程中，可以运用等式和不等式来进行推理。
例如，如果题目中给出了两个角相等，可以将它们表示为等式，并运用等式的性质进行推理。
4. 利用平行线的性质：梯形的两条底边是平行的，因此可以利用平行线的性质进行推理。
例如，如果题目中给出了两条平行线之间的夹角关系，可以利用这个关系推断出其他角的关系。
5. 运用三角形的性质：梯形可以看作是由两个三角形组成的，因此可以利用三角形的性质进行推理。
例如，如果题目中给出了三角形的边长或角度关系，可以利用这些关系推断出梯形的性质。
6. 总结结论：在推理过程中，根据已知条件和推理规则，得出结论。
将结论写下，并进行验证，确保推理的正确性。
三、梯形推理的例题为了更好地理解梯形的推理过程，下面给出一个例题：已知梯形ABCD，AB∥CD，∠A=∠D，AC和BD交于点O。
证明：AO=DO。
解题步骤：1. 根据已知条件，梯形ABCD是一个底角相等的梯形，即∠A=∠D。
小学数学点知识归纳梯形的性质与判断
小学数学点知识归纳梯形的性质与判断梯形是小学数学中常见的几何图形之一，它具有一些特殊的性质和判断方法。
在本文中，我们将对梯形的性质进行归纳并介绍如何判断一个四边形是否为梯形。
一、梯形的定义和性质梯形是一个有四个顶点、四条边，其中两条边平行且没有相交的四边形。
根据梯形的性质，我们可以得出以下结论：1. 两边平行性质：梯形的两条边是平行的，即上底与下底平行。
2. 角平分线性质：梯形的非平行边（斜边）上的两个内角的角平分线相交于斜边上的一点，并且与梯形的两个底边垂直。
3. 对角线性质：梯形的两条对角线互相垂直，并且长度不相等。
4. 高度性质：梯形的高度是两个底边距离，即上底和下底的距离；同时，梯形的高度也是两个平行边之间的距离。
二、梯形的判断方法对于一个四边形，如何判断它是否为梯形呢？下面是一些常用的判断方法：1. 判断两边平行：通过观察四边形的两条边是否平行，如果两边平行，则该四边形可能是梯形。
2. 判断角度关系：计算四边形的内角度数，如果有一个角是直角，而另外一个角不是直角，则该四边形不为梯形；而若存在一个角是锐角或钝角，则该四边形可能是梯形。
3. 判断边长关系：通过测量四边形的各边长，如果两边平行而且不相等，且其他两边也不相等，则该四边形是梯形。
4. 判断对角线垂直关系：通过测量四边形的对角线长度，如果对角线互相垂直，则该四边形可能是梯形。
综上所述，当一个四边形满足上述任意一种判断方法时，我们可以初步认为它是一个梯形。
但为了确认它是梯形，我们需要结合多种判断方法进行综合判断。
三、练习题1. 判断四边形ABCD是否为梯形，其中AB = 5cm，BC = 8cm，CD = 5cm，DA = 8cm，∠A = 90°，∠B = 60°。
解析：由于AB = CD = 5cm，BC = DA = 8cm，且∠A = 90°，∠B = 60°，所以四边形ABCD是一个梯形。
梯形全等的判定
梯形全等的判定梯形是一种四边形，其中两边是平行的，且不相等的线段，并有两边不平行的边。
在数学中，我们可以使用多种方法来判断梯形是否全等。
在本文中，我将详细讨论这些方法，并说明它们的适用条件和使用步骤。
在判断梯形全等之前，我们需要明确梯形的定义。
梯形是一个四边形，其中两边是平行的，且不相等的线段，并有两边不平行的边。
梯形的两侧边通常被称为非平行边，而两边平行的边则被称为平行边。
要判断两个梯形是否全等，我们可以使用以下几种方法：1.角度判定法：两个梯形全等的必要条件之一是它们的对应角度相等。
如果两个梯形的对应角度分别相等，那么它们可能全等。
但仅凭角度的相等不能确定全等，因为可能存在两个不同的梯形具有相等的角度。
因此，角度判定法是一个必要条件，但不足以确定全等。
2.边长判定法：除了角度相等外，两个梯形的对应边长也需要相等，才能确定它们全等。
如果两个梯形的对应边长分别相等，那么它们有可能全等。
边长判定法是一个更准确的判定方法。
据此，我们可以得出以下结论：-两个梯形的对应角度相等时，它们可能全等。
-如果两个梯形的对应边长相等，它们有可能全等。
然而，对于两个梯形是否全等的判定，我们还需要考虑两个额外的条件：1.如果两个梯形的一对对边相等并且它们的对角线相等，那么它们一定全等。
这个条件称为边-边-边全等条件（SAS）。
2.如果两个梯形的两对对边都相等，那么它们不一定全等。
这个条件称为边-边-边相等条件（SSS）。
例如，一个长方形和一个菱形都是两对对边相等的梯形，但它们不是全等的。
根据以上讨论，我们可以得出以下综合的判定条件：- SAS条件：如果两个梯形的一对对边相等并且它们的对角线相等，那么它们一定全等。
- SSS条件：如果两个梯形的对边相等，且两对对边都相等，它们不一定全等。
另外，在判断梯形全等时，我们还需要注意辅助条件的应用。
例如，我们可以使用平行线的性质来辅助判定梯形的边是否平行。
如果两个梯形的非平行边是平行的，那么它们可能全等。
梯形的性质与判定
梯形的性质与判定梯形是一个几何形状，具有特定的性质和判定标准。
在本文中，我们将探讨梯形的基本定义、性质以及如何判定一个四边形是否为梯形。
一、梯形的定义梯形是一个四边形，其中两边是平行线段，称为梯形的底边，另外两边称为梯形的腰。
梯形的腰不平行，相交于顶点，形成一个内部夹角。
二、梯形的性质1. 梯形的底边平行：梯形的底边是两条平行线段。
2. 梯形的腰不平行：梯形的腰是两条不平行线段。
3. 两组对角线等长：梯形的非平行边之间相互连接形成两组对角线，这两组对角线等长。
4. 内角和等于180度：梯形的内角和等于180度。
三、判定一个四边形是否为梯形判定一个四边形是否为梯形需要满足以下条件：1. 两边平行：首先，判断四边形是否有两条平行的边。
2. 非平行边长度不等：接着，检查四边形的非平行边的长度是否相等。
3. 两组对角线长度相等：然后，测量四边形的两组对角线，确保它们长度相等。
4. 内角和为180度：最后，计算四边形的内角和，确认其总和为180度。
如果一个四边形满足上述所有条件，那么它可以被判定为梯形。
否则，它就不是梯形。
梯形作为一种常见的四边形，具有广泛的应用。
在实际生活和工作中，我们可以利用梯形的性质来解决各种问题。
例如，在建筑工程中，梯形形状的房屋顶部可以提供更大的内部空间，同时保持稳定性。
在数学几何学中，梯形也是一种重要的研究对象，对于研究其他几何形状的性质和关系起着重要的作用。
总结起来，梯形是一个具有平行底边和不平行腰的四边形。
它的性质包括底边平行、腰不平行、两组对角线等长以及内角和等于180度。
要判定一个四边形是否为梯形，需要满足底边平行、非平行边长度不等、两组对角线长度相等以及内角和等于180度这四个条件。
通过理解和运用梯形的性质与判定方法，我们可以更好地应用几何知识解决各种实际问题。
梯形的判定
A
D B H E
F C
3.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E， 并延长DE至F，使EF=DE．连接 BF、CD、AC． (1)求证：四边形ABFC是平行四边形； D A 2 (2)如果 求证：四边形ABFC B 是矩形．
DE BE CE
E F
C
小结
3.梯形中常见辅助线：
平移一腰 作高
∟
平移对角线
延长两腰
取一腰中点， 构造全等
∟
等腰梯形的判定 1.定义法BACD C
两腰相等的梯形叫做等腰梯形 用法 ∵AD∥BC，AB=CD，AD≠BC ∴梯形ABCD是等腰梯形
想一想：等腰梯形还有其它的判定方法呢？
命题： 同一底上两个角相等的梯形 判定定理1： 是等腰梯形 梯形 已知： ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C . E 求证： 梯形ABCD是等腰梯形
A D
B E
F C
E
课堂练习 1、如图，梯形ABCD中， AD∥BC， ∠A与∠C互补，求证：梯形ABCD是 等腰梯形。
A D C
A E D F
B
2.如图E、F分别是梯形的两底AD、 BC的中点，EF⊥BC.求证：梯形 ABCD是等腰梯形
B
C
3.已知：在⊿ABC中,AH⊥BC于
H,D、E、F分别是AB、BC、 CA的中点,四边形EFDH是什么 特殊的四边形？为什么？
人教版数学教材八年级下第106--108页
19.3特殊的平行四边形
19.3.2等腰梯形的判定
八年级数学组
复习巩固
两腰相等的梯形 1.定义：_________叫做等腰梯形.
2.等腰梯形的性质 性 质 逆命题 角 等腰梯形同一底 同一底上的两个角相 上的两个角相等 等的梯形是等腰梯形
19.3 梯形(二)
19．3 梯形（二）
第二步：学习新知：
【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？
命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证．
启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．
求证：AB=CD．
分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．
证明方法一：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．
∵AB∥DE，∴∠B=∠1，
∵∠B=∠C，∴∠1=∠C．∴DE＝DC．
又∵AD∥BC，∴DE＝AB=DC．
证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．
相等的梯形是来判定它是等腰梯形．。
梯形的性质与判定
梯形的性质与判定梯形是初中几何学中的常见图形之一，具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍梯形的性质和判定方法，帮助读者更好地理解梯形的几何特征。
一、梯形的定义梯形是由四条线段组成的四边形，其中两条平行边称为梯形的底，两条非平行边称为梯形的腰。
根据梯形的定义，我们可以得出以下几个性质。
1. 梯形的对边相等性质：梯形的两组对边分别平行且相等。
证明：连接梯形的两个非平行边的中点，我们可以得到一个平行四边形。
根据平行四边形的性质，其对边相等。
因此，梯形的对边也相等。
2. 梯形的内角和性质：梯形的内角和等于360°。
证明：将梯形的两条边延长至相交于一点，我们可以得到一个三角形和一个平行四边形。
根据三角形和平行四边形的内角和性质，我们可以推出梯形的内角和等于360°。
3. 梯形的底角性质：梯形的两个底角之和等于180°。
证明：连接梯形的两个底角，我们可以得到一个三角形和一个平行四边形。
根据三角形和平行四边形的内角和性质，我们可以得出梯形的底角之和等于180°。
二、梯形的判定条件除了上述的性质之外，我们还可以通过一些条件来判定一个四边形是否为梯形。
1. 两对角共有一条公共边当一个四边形的两对角中，有且仅有一对角共有一条公共边，并且另外两条边不平行时，这个四边形就是梯形。
2. 一对角共有一条公共边且另一对角相等当一个四边形的两对角中，有一对角共有一条公共边，并且另一对角相等时，这个四边形就是梯形。
3. 一对角共有一条公共边且另一对边相等当一个四边形的两对角中，有一对角共有一条公共边，并且另一对边相等时，这个四边形就是梯形。
根据以上的判定条件，我们可以通过观察四边形的边和角来判断它是否为梯形。
这对于解决一些几何问题和证明中的推导非常有帮助。
结论梯形作为一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和判定条件。
我们在几何学的学习中常常会遇到梯形，理解梯形的性质和判定方法是十分重要的。
梯形的判定方法
梯形的判定方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊梯形的判定方法，这可有意思啦！
你看啊，梯形就像是一个歪着的小城堡。
那怎么才能确定一个图形是不是梯形呢？这可得好好琢磨琢磨。
首先呢，得有一组对边是平行的。
这就好比是小城堡的两边城墙，得是平行的才像那么回事呀！要是没有这一对平行的边，那可就谈不上是梯形咯！这一点很关键呢，咱可不能马虎。
然后呢，另一组对边不平行。
你想想，要是两组对边都平行了，那不成平行四边形啦？那多没意思呀！所以呀，必须得有这么一组特别的边，让梯形变得独一无二。
这就好像是一个班级里，总要有那么几个有特色的同学，才能让这个班级变得丰富多彩嘛！
咱再打个比方，梯形就像是一个独特的帽子，那对平行的边就是帽檐，另一组不平行的边就是帽子上的装饰，缺了哪一个都不行呢！
还有哦，我们在判断的时候可得仔细啦！不能随便看到个图形就说它是梯形。
得认真瞅瞅它的边是不是符合要求。
这就跟我们交朋友一样，得了解清楚了才能确定是不是真朋友呀！
有时候我们可能会遇到一些看起来像梯形的图形，但仔细一瞧，哎呀，不对呀，不符合那两个条件呢！这时候可不能马马虎虎就认定啦。
你们说，这梯形的判定是不是挺有趣的呀？就像是一个小小的谜题，等着我们去解开呢！只要我们掌握了方法，就能轻松地判断出哪些是梯形，哪些不是啦！这样以后遇到梯形相关的问题，我们就能胸有成竹啦！是不是很棒呀？
所以呀，大家可一定要记住梯形的这两个关键条件哦，一组对边平行，另一组对边不平行。
这可是判断梯形的法宝呢！可别小瞧了它们。
以后看到图形，就大胆地去判断吧，相信自己的眼睛和判断能力！让我们和梯形成为好朋友，一起在数学的世界里快乐玩耍吧！。
梯形的判定方法
梯形的判定方法在数学试卷上，为了解题，有的时候我们是需要判定某图形是否是梯形的。
下面是店铺给大家整理的梯形的判定方法，供大家参阅!梯形的判定方法1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形(一组对边平行且不相等的四边形是梯形)2.两腰相等的梯形是等腰梯形3.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形4.有一个内角是直角的梯形是直角梯形5.对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。
梯形定义梯形(trapezium)是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底;也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。
不平行的两边叫腰;夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
等腰梯形性质1.等腰梯形的两条腰相等2.等腰梯形在同一底上的两个底角相等3.等腰梯形的两条对角线相等4.等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线5.等腰梯形(这个非等腰梯形同理)的中位线(两腰中点相连的线叫做中位线)等于上下底和的二分之一注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形分类一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。
梯形注意事项：梯形的底角可以指梯形中任意一个角，所以说“底角相等的梯形是等腰梯形”是不对的。
梯形周长面积公式梯形的面积公式：(上底+下底)×高÷2。
等腰梯形面积公式：中位线×高用字母表示：(a+b)×h÷2或l·h 周长梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰用字母表示：a+b+c+d等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰用字母表示：a+b+2c对角线互相垂直的梯形：对角线×对角线÷2、如图(6)，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2.求梯形的高。
梯形的性质与判定
梯形的性质与判定梯形是初中数学中常见的一个几何图形，其形状特点独特，具有一些特殊的性质和判定方法。
通过本文，将详细介绍梯形的性质和如何进行梯形的判定。
梯形的定义和性质：梯形是指具有两条平行边的四边形，其它两边不平行，即梯形的两个邻边互不平行。
根据梯形的性质，我们可以得出以下结论：1. 梯形的对边相等：梯形的两条平行边之间的距离恒定，因此梯形的两个对边长度相等。
2. 梯形的角性质：梯形的非平行边所对应的两组内角互补，即相加为180度。
3. 梯形的中线性质：梯形的两条平行边的中线互相平行，且等于非平行边长之和的一半。
梯形的判定方法：在解决梯形问题时，我们需要根据给定的图形条件进行判定，以确认是否是梯形。
常见的梯形判定方法有以下几种：1. 判定两组对边是否相等：如果两组对边相等，则可以肯定该图形是梯形。
2. 判定两组内角互补：如果两组内角相加为180度，则可以肯定该图形是梯形。
3. 判定两条平行边：如果两条平行边的中线相等，则可以肯定该图形是梯形。
通过以上的判定方法，我们可以快速准确地确定一个四边形是否是梯形。
示例分析：以下我们通过一个示例来具体分析梯形的性质和判定。
假设我们有一个四边形，其中两条边平行，另外两条边不平行。
我们需要判定这个四边形是否是梯形。
首先，我们可以通过测量两组对边的长度来判断是否相等。
如果两组对边长度相等，那么可以确定这是一个梯形。
其次，我们可以通过测量两组内角的度数和是否为180度来进行判定。
如果两组内角互补，那么可以确定这是一个梯形。
最后，我们还可以通过测量两条平行边中线的长度来进行判定。
如果这两条平行边的中线相等，那么可以确定这是一个梯形。
通过以上的判定方法，我们可以快速准确地确定一个四边形是否是梯形，并进一步分析其性质和特点。
总结：梯形是一个具有两条平行边且两边不平行的四边形，具有一些特殊的性质和判定方法。
我们可以通过测量对边长度、内角互补以及平行边中线长度来快速准确地判断一个四边形是否是梯形。
梯形的定义、性质及判定
梯形的定义、性质及判定梯形是我们学习中经常遇到的一个几何形状，它具有一些特殊的定义、性质和判定条件。
在本文中，我们将详细探讨梯形的定义、性质和判定条件，帮助读者更好地理解和应用梯形这一几何形状。
首先，什么是梯形呢？梯形是一个具有两条平行边的四边形，这两条平行边被称为梯形的上底和下底，而连接这两条平行边的两条不平行的边称为梯形的腰。
梯形的上底和下底之间的距离被称为梯形的高。
梯形的性质有很多，下面我们来详细介绍几个重要的性质。
首先是梯形的对角线的性质。
梯形的对角线是指连接梯形的非相邻顶点的线段。
梯形的对角线有以下性质：(1) 梯形的对角线相交于一点；(2) 梯形的对角线等长；(3) 梯形的对角线将梯形分成两个全等的三角形。
其次是梯形的角的性质。
梯形的角是指梯形的两条腰与上底或下底之间的夹角。
梯形的角有以下性质：(1) 两个对角线所夹的角互补；(2) 上底角和下底角互补；(3) 上底角和下底角与邻边的对应角互补。
除了对角线和角，梯形还有一些其他的性质。
例如，梯形的两条腰和上底、下底之间的关系。
我们可以发现，两条腰和上底、下底之间有以下关系：(1) 上底和下底的中线等于两条腰的长度之和；(2)上底和下底的和等于两条腰的和。
在判定梯形时，我们可以利用梯形的定义和性质进行判断。
以下是一些常用的判定条件：1. 判定上底和下底平行：如果四边形的两对对边分别平行，则它是一个梯形。
也就是说，如果四边形有两条边是平行的，并且其他两条边不平行，则它是一个梯形。
2. 判定两条腰等长：如果梯形的两条腰相等，则它是一个等腰梯形。
也就是说，如果四边形的两条不平行边相等，则它是一个等腰梯形。
3. 判定边长关系：如果已知梯形的上底、下底和一条腰的长度，我们可以通过一些几何定理来判断梯形的其他边的长度。
例如，如果已知梯形的上底、下底和一条腰的长度，可以利用梯形的定义和性质计算出梯形的另一条腰的长度。
以上是关于梯形的定义、性质及判定的介绍。
证明梯形的判定方法
证明梯形的判定方法梯形是一种常见的几何图形，那怎么来证明一个四边形是梯形呢？嘿，这可有点门道哦！先说说判定方法吧。
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形。
这就好比在一群人走路，有两个人始终朝着同一个方向并排走，而另外两个人走的方向跟他们不一样，不是并排的，那这个图形不就有点像梯形了嘛！那怎么证明呢？首先得找到一组对边平行。
可以通过同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补等方法来证明两条直线平行。
找到一组对边平行后，再去证明另一组对边不平行。
这可不是件容易的事儿呢！可以用反证法，如果假设另一组对边平行，然后推出矛盾，那就说明另一组对边不平行。
在这个过程中有啥注意事项呢？可得仔细观察图形，别把平行的边看成不平行的，也别把不平行的边看成平行的。
这就像在菜市场挑菜一样，得睁大眼睛看清楚，不然就挑错啦！而且在证明平行的时候，一定要找准对应的角，不然可就得出错误的结论喽。
那这个过程安全吗？稳定吗？哈哈，这可不是那种会有危险的事情啦！证明梯形的过程就像是在玩一场智力游戏，只要你按照正确的方法去做，就不会有问题。
又不是走钢丝，提心吊胆的。
它是非常稳定的，只要你的逻辑正确，结论就一定正确。
梯形的应用场景可多啦！在建筑设计中，梯形的形状可以用来设计楼梯、屋顶等。
想象一下，如果没有梯形，那楼梯可怎么设计呢？难道都做成直上直下的吗？那多吓人啊！在数学问题中，梯形的面积公式也是经常用到的。
还有在日常生活中，很多物品的形状也类似梯形，比如梯子、花盆等。
梯形的优势也很明显啊！它不像正方形那么中规中矩，也不像三角形那么尖锐。
它有自己独特的形状，给人一种稳重又不失灵活的感觉。
来个实际案例吧！比如说在一个花园里，有一个梯形的花坛。
要证明这个花坛是梯形，首先可以测量花坛的四条边的长度，然后通过角度测量工具来测量一些角的大小。
如果发现有一组对边的角度相等，那就可以证明这一组对边平行。
再看看另一组对边，如果角度不相等，那就说明另一组对边不平行。
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探究二
1、连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
A E B
D F C
2、梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
已知在梯形ABCD中，AD//BC，如果AE=EB,DF=FC ， 求证：(1)EF//AD//BC (2)EF= 1 (AD+BC)
2
A E B D F C
M
3、梯形中位线与三角形中位线定理的联系
19.3.2梯形的判定
复习回顾
1 梯形问题中常用的辅助线：
A D
A D
B
作一腰的平行线
A D
E
C
B
E
作高
E
F
C
A
D C
Байду номын сангаас
B
C
E
B
作对角线的平行线交下 底的延长线于一点
延长两腰交一点
2 等腰梯形的性质有哪些？ 等腰梯形两腰相等
等腰梯形同一底边上的两个角相等
等腰梯形的对角线相等 说出以上定理的逆命题
1、两腰相等的梯形是等腰梯形 2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 3、对角线相等的梯形是等腰梯形
6、存在既是直角梯形，又是等腰梯形的梯形（ 是上底，在下面的是下底（ 8、等腰梯形中可能有直角梯形（ ） ）
）
7、梯形中，互相平行的两边叫做梯形的底，在上面的
9、直角梯形不可能等腰梯形（
10、等腰梯形两底角相等（ ）
）
例题分析
例1 、已知梯形ABCD，AB∥CD,现在要求添加一个条 件，例如BC=AD，使梯形ABCD是等腰梯形，那么除了 BC=AD之外，还可以添加什么条件，能使梯形ABCD是等 腰梯形？甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件： 甲：∠A=∠B； 乙：∠B+∠D=180°； 丙：∠A=∠D； 丁：此梯形是轴对称图形. 那些同学的条件符合要求？给出理由，能添加其它的一 个条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？
E
2、已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，
BC=7cm．求AC的长
A
D
E
B
C
3、在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，∠A=90º, AD=1,BC=3,CD=4,求证：DE⊥CE
A D
E
F
B
C
课堂小结
1、通过作辅助线把梯形问题转化成三角形问题是解 决梯形问题的主要方法。
A
E
D
B
M
F
N
C
变式：如图，在梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，E、F 1 分别为AD、BC中点，求证： EF ( BC AD) 2
• 例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=90°，AD=24 cm,AB=8 cm,BC=26 cm， 动点P从A点开始沿AD边以1 cm/秒的速度向D运 动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/秒的速度 向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中 一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动 时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平 行四边形，等腰梯形？
2、等腰梯形的判定： （1）两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形
当堂训练
1、一组对边平行的四边形是梯形（ ）
2、一组对边平行但不相等的四边形是梯形(
)
3、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯 形（ ） 4、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等 腰梯形（ ） 5、一组对边平行而不相等，另一组对边相等的四边 形是等腰梯形（ ）
例2、小刚在参观工厂时看到工人们把一些梯形的 模具加工成等腰梯形，检测时小刚发现，每个检测员 根据产品及工具的具体情况，所采取的方法都不同， 其中有两人用了以下的方法：检测员甲：测量上底中点 到下底两端的距离，距离相等的就是合格的；检测员乙 测量下底中点到两腰的距离，距离相等的就是合格的. 小刚很快就明白了其中的道理，你能说出其中的道理 吗？画出图形，并说明理由.
A A1 D B E A2 C B A B1 B2 C A1 0 B A2 A3 A1 A B1 B2 B3 B1 0 C
例3、梯形ABCD中，点M、N是对角线AC、BD的中点， 连接MN， 1 求证:MN= (BC-AD)
2
A M B
D N
E
C
练习1、在梯形ABCD中,AD∥BC，AD=1，BC=7， ∠B=60º，∠C=30º ，求AB、CD的长
1、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
A D
A B
探 究
E
D C
B
∵四边形ABCD是梯形，∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形 2、对角线相等的梯形是等腰梯形
A D
E
C
B
C
E
∵四边形ABCD是梯形， AC=BD ∴梯形ABCD是等腰梯形
归纳：
1、梯形的判定 （1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。 （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
例2、已知在△ABC中，BC=10. (1)如图所示，若点D、E分别是AB、AC的中点，求DE的长； (2)如图所示，若点A1、A2把AB三等分，点B1、B2把AC三 等分，求A1B1+A2B2的值.
(3)如图所示，若点A1、A2、…、A10把AB十一等分，点 B1、B2、…、B10把AC十一等分，求A1B1+A2B2+…+A10B10的值.
2、如何选择作哪种辅助线：主要看题目给的已知条 件中是底角已知、腰已知还是对角线已知，目的是 把这些已知条件放到同一个三角形内研究。
3、梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一 半。
A P D E B 甲 C B P 乙 A D F C
例3：如图，四边形ABCD是矩形，AB=4cm,AD=3cm。把 矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.四边形ACED 是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？
E D C
F
F
A
E
B
例4、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,E,F分别为 AD,BC的中点,且EF⊥BC,求证：梯形ABCD为等腰梯形。
A
A D F C
E B
F
B
E
C
∵AE=EB,AF=AC ∴EF//BC 1 EF= BC 2
在梯形ABCD中，AD//BC ∵AE=EB,DF=FC ∴EF//AD//BC
1 EF= (AD+BC) 2
例题分析
例1、如图所示的三角架,各横木之间互相平行,且 PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,AD=20cm.求BC的长. P A E B D F C