2019年黑龙江哈师大附中高三上学期期中数学(文)试题(含答案)
黑龙江哈师大附中高三数学上学期期中试题 文 新人教A版
数学试题（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}0,12．已知向量b a ,满足：2a b +与54a b -垂直，且||1,||1a b ==，则与的夹角为（ ） A ．4πB ．3πC ．23π D ．34π3. 在ABC 中，""a b =是"cos cos "a A b B =的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ） ABD5. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )A. 2(20cm +B.212cmC. 2(24cm +D. 242cm6. 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B. 511[,],1212k k k Z ππππ++∈C. [,],36k k k Z ππππ-+∈ D. 2[,],63k k k Z ππππ++∈7. 若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个俯视左视图8. 将函数()sin()4f x x π=+的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线(,0)8π对称，则ϕ的最小正值为 （ ） A ．8πB ．516πC ．43π D ．2π 9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线AC 交于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A ．15B ．14C ．13D ．1211.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( ) A.14 B. 14或23C.23D.23或3412.已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若AO m AC BCAB C B ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．A sin C ．A cos D ．A tan 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则||a b →→+=_____________.14. 若奇函数()x f 在(]0,∞-上单调递减，则不等式()()01lg >+f x f 的解集是 15.在棱长为1的正方体AC 1中，点P 为侧面BB 1C 1C 内一动点(含边界)，若动点P 始终满足PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹的长度为________．16.在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,23AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则下面结论正确的是____________.①ABC ∆是直角三角形； ②DB DM ⋅的最小值为2316；③DB DM ⋅的最大值为2； ④存在[]0,1λ∈使得(1)BD BA BCλλ=+-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知向量(sin cos ,sin )a x x x ωωω→=+(sin cos )b x x x ωωω→=-，设函数()f x a b →→=⋅()x R ∈的图象关于直线3x π=对称，其中常数(0,2)ω∈ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将函数()f x 的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，用五点法作出函数()g x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像.18. (本小题满分12分）OFESC BA19. (本小题满分12分）已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（Ⅰ）求角C 的最大值； （Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积332S =，求当角C 取最大值时a b +的值．20. (本小题满分12分）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,M 是BD 的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(Ⅰ) 求证:EM ∥平面ABC ; (Ⅱ) 求出该几何体的体积.21. (本小题满分12分） 已知函数()2322ln .8f x x x x =-++ （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =在[)()Z m e m∈+∞,上有零点，求m 的最大值。
黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期期中考试数学理试卷Word版含解析
黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．5．若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C．D．6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0B．3C．6D．129．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44 D．44+110．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．36种D ．28种12．已知函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ，且f （0）=﹣1，数列{a n }是以为公差的等差数列，若f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，则=（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 ．14．已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|= ．15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为 ．16．已知x ，y ∈R ，满足x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =（a ，c ），n =（1﹣2cosA ，2cosC ﹣1），m ∥n（Ⅰ）若b=5，求a+c 值； （Ⅱ）若，且角A 是△ABC 中最大内角，求角A 的大小．18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．19．（12分）已知各项为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期期中考试数学理试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，，∴≤x≤π，区间长度为，则对应的概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．5．若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．由|+|=|﹣|=2||，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．∵|+|=|﹣|=2||，∴四边形OACB为矩形，∴==，∴向量+与的夹角为．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x ﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】阅读型．【分析】先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x﹣y|＜1，而取x=1.9，y=2.1，此时满足|x﹣y|=0.2＜1，但[x]≠[y]，根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可．【解答】解：[x]=[y]⇒﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1而取x=1.9，y=2.1，此时|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要条件故选A【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．7．二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．=•x22﹣3r，可得系【分析】在二项展开式的通项公式中，根据二项式的展式的通项公式为Tr+1数最大的项．=•x22﹣2r•（﹣1）r•x﹣r =•x22﹣【解答】解：二项式（x2﹣）11的展式的通项公式为 Tr+13r，故当r=6时，展开式的系数=最大，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件化简可得 3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案为：C．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．24种B．48种C．36种D．28种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：B．【点评】本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉，属于基础题．12．（2016•上饶二模）已知函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ，且f （0）=﹣1，数列{a n }是以为公差的等差数列，若f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，则=（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013【考点】等差数列的通项公式；导数的运算．【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ，可设f （x ）=2x ﹣cosx+c ，利用f （0）=﹣1，可得：f （x ）=2x ﹣cosx ．由数列{a n }是以为公差的等差数列，可得a n =a 2+（n ﹣2）×．由f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，化简可得6a 2﹣=．利用单调性可得a 2，即可得出．【解答】解：∵函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ， 可设f （x ）=2x ﹣cosx+c ，∵f （0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0． ∴f （x ）=2x ﹣cosx ． ∵数列{a n }是以为公差的等差数列，∴a n =a 1+（n ﹣1）×，∵f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，∴2（a 2+a 3+a 4）﹣（cosa 2+cosa 3+cosa 4）=3π， ∴6a 2+﹣cosa 2﹣﹣=3π，∴6a 2﹣=． 令g （x ）=6x ﹣cos ﹣， 则g′（x ）=6+sin 在R 上单调递增，又=0． ∴a 2=． 则==2015．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 15 ． 【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可． 【解答】解：样本间距为36÷4=9， 则另外一个编号为6+9=15， 故答案为：15．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键． 14．已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|= 512 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|，即（1+x ）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x ）9展开式的各项系数和．【解答】解：已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|，即（1+x ）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x ）9展开式的各项系数和为|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|=29=512， 故答案为：512．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】对应思想；转化法；概率与统计．【分析】每次摸到红球的概率都是，摸到白球的概率都是，由此利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出至少有2次摸出白球的概率．【解答】解：∵袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，∴每次摸到红球的概率都是，摸到白球的概率都是，∴至少有2次摸出白球的概率为： p=（）（）2+（）3=，故选答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用．16．（2015•唐山一模）已知x ，y ∈R ，满足x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围为 [4，12] ．【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，c），n=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），m∥n（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．【解答】（本大题满分12分）解：（Ⅰ）因为：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．….6分 （Ⅱ），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin （π﹣A ﹣B ）， 则，2sinA+cosA=2， 又sin 2A+cos 2A=1， 所以，解得，由于A 是最大角， 所以，．….12分【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A 与非种子选手B 1，B 2，B 3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于，则A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，结合条件，即可求解；（Ⅱ）据题意，X 的可能值为0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望． 【解答】解：（Ⅰ）记“种子A 与非种子B 1、B 2、B 3比赛获胜”分别为事件A 1、A 2、A 3=所以，A 入选最终名单 (6)（Ⅱ）X 的可能值为0、1、2、3所以，数学期望： (12)【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．19．（12分）已知各项为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．【解答】证明：（1）∵满足，当n=1时，a1=2．当n≥2时，由（1）﹣（2）得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣4）=0（a n＞0）则a n﹣a n﹣1=4，∴{a n}是以4为公差的等差数列．a n=4n﹣2．（2）证明：设，则f（n+1）﹣f（n）＜0所以，{f（n）}递减，即：…12．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、“放缩”法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用．【分析】（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．【解答】（本大题满分12分）（1）f'（x）=1﹣2cosx，…（2分）…（6分）（2）f（x）＜ax，∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）…（7分）由①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分）②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在单调递增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分）③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一，使得．当x∈（0，x）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，∴存在，有g（x）＞0成立…（11分）综上可知：a＞﹣1…（12分）【点评】考查了导函数求闭区间函数的最值和存在问题的转化思想．21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x ≥0时，f （x ）≥1总成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若a ＞0，b=0，若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求证；f （x 1）+f （x 2）＜e ． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通过讨论b 的范围集合函数的单调性从而求出b 的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ），f'（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜0，f'（x ）＜0⇒0＜x ＜1， ∴f （x ）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．…（4分） （Ⅱ）在[0，+∞）恒成立⇒b ≥0…当b ≥0时，f （x ）≥1⇔e x﹣bx ﹣1≥0．设g （x ）=e x﹣bx ﹣1，g'（x ）=e x﹣b①当0≤b ≤1时，g'（x ）≥0⇒g （x ）在[0，+∞）单调递增，⇒g （x ）≥g （0）=0成立 ②当b ＞1时，g'（x ）=0⇔x=lnb ，当x ∈（0，lnb ）时，g'（x ）＜0⇒g （x ）在（0，lnb ）单调递减，⇒g （x ）＜g （0）=0，不成立 综上，0≤b ≤1…（8分） （Ⅲ）有条件知x 1，x 2为ax 2﹣2ax+1=0两根，，且，由成立，作差得：，得∴f （x 1）+f （x 2）＜e (12)或由x 1+x 2=2，，（可不妨设0＜x 1＜1）设（0＜x＜1），在（0，1）单调递增，h（x）＜h（1）=e，∴f（x1）+f（x2）＜e成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．（Ⅱ）设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．【解答】（本大题满分10分）解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x．不等式的解集为： (5)（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5） (10)【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．【考点】不等式的证明．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，则|2x+3y|，∴﹣≤2x+3y≤．（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以．【点评】本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
黑龙江省哈师大附中2019年高三第一次模拟考试数学试题(文科)-含答案
黑龙江省哈师大附中2019年高三第一次模拟考试数学试题(文科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 5sin3π= 1.2A - 1.2B.2C -2D2.已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则.A {|0}A B x x =<I .B A B =R U .C {|1}A B x x =>U.D A B =∅I3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = .11A .5B .11C - .8D -4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是.A y x = .2x B y = .lg C y x =.D y =5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 6.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a.12A - .10B -.10C.12D8.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 9.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C - .7D -10.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 .12A x π= .6B x π= .3C x π= .12D x π=-11.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞12.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________ 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若b =，3a c +=，求ABC V 的面积.18.（本题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数2y x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20. (本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）．21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=- ． (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案一． 选择题1-6 CACDCD 7-12BBDADA 二．填空题13. 1- 14.12n -- 15. 211316. 三．解答题 17.（1）c a bb a a c+=-+Q2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=- 120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--Q1ac ∴=1sin 2S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 19. 2nS n n=+Q22n S n n ∴=+ 1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式 21n a n ∴=+1111(2)()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++L1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈Q min 4m ∴=20.（1）因为2c e a ==Q ，222a b c =+ 222a b ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b ∴+=Q 在椭圆上221,2b a ∴== ∴椭圆方程为2212x y +=（2）因为直线l 与圆2223x y +==即223220m k --=由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，()()()2222121212122212m k y y kx m kx m k x x km x x m k-∴⋅=++=+++=+ 2222212122222223220121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----∴⋅=+=+==+++u u u r u u u rOA OB ∴⊥21．（1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减，则()()10t φφ<=，即得12112ln ln x x +> 22.解：(1)由直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 消去参数t ，可得：10x -= 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-. 所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++= 则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --== (2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将1()12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-125t t = 因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111t t PA PB t t t t ++=+==．1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立, 当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立, 当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m xx-+-+=∴Q≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos=2||•=2，∴||=2．故选：C．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△OOC中，O1C==．1又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，∴AD，AB，AS两两互相垂直．以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．………（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h （x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h （x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，∴，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），∴＜1-，∴＜＜=，（n≥2），∴＜（1-）==（n∈N*，n≥2）．…………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x＞0，，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）推导出+=≥0对∀x＞0恒成立，从而a≥对∀x＞0恒成立，进而a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y=1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4，即x2+y2-4x=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期末（文）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，则集合．故选：D．根据交集的定义，解方程组得出集合的结果．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2. 若双曲线的一个焦点为，则A. B. 8 C. 9 D. 64【答案】B【解析】解：双曲线的一个焦点为，可得，解得．故选：B．利用双曲线的焦点坐标，列出方程，推出m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3. 已知函数，则A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：函数，，．故选：A．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 已知，，且，则向量在方向上的投影为A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意得，设与的夹角为向量在方向上的投影为故选：D．运用向量的夹角公式，投影的概念，垂直的充要条件可解决此问题．本题考查平面向量的数量积和投影的定义．5. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前n项和为A. 2nB.C. 2n或D. 2n或【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，，且，，成等比数列．，即，解得或4．，或．当时，数列的前n项和为：2n；当时，则数列的前n项和为：．故选：C．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由得，或，即函数的定义域为或，故A，D错误．当时，为增函数，也为增函数，排除C，故选：B．根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数的性质是解决本题的关键．7. 设P是所在平面内的一点，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：如图，由于P是所在平面内的一点，，根据平行四边形法则，P点必是CA的中点，所以故选：B．由题意，设P是所在平面内的一点，，可判断出P是CA的中点，由此可得答案本题考查平面向量基本定理，属于基础题．8. 下列命题正确的是A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面，，，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线，在平面内存在直线，所以由平行公理知，从而由线面平行的判定定理可证明，进而由线面平行的性质定理证明得，从而，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．9. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，面积的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，，则，化简得如图，当点P到轴距离最大时，面积的最大值，面积的最大值是．故选：A．设，，，则，化简得，当点P到轴距离最大时，面积的最大值，本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．10. 已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：由的最小正周期，由单调递减，解得：，当时，得的一个单调减区间故选：B．将化简，结合三角函数的性质求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．11. 设函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，则，为奇函数，又由，其导数为，则函数在R上为增函数，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：A．根据题意，分析可得为奇函数且在R上为增函数，则有，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的单调性以及奇偶性，属于基础题．12. 在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为r，外接球的半径为R，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为PB与AD所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，可得，设O为外接球球心，在中，，解得，，故选：B．易知为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难．此题考查了正四棱锥内切球与外接球，难度适中．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】2【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，得，此时z的最大值为，故答案为：2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14. 四棱锥的三视图如图所示单位：，则该四棱锥的体积是______．【答案】12【解析】解：由三视图得到几何体如图：体积为；故答案为：12首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积．本题考查了几何体的三视图；要求对应的几何体的体积，关键是正确还原几何体．15. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，设点，显然当时，；当时，；如图所示，要求的最大值，可设，则；，当且仅当时取得等号；直线OM斜率的最大值为．故答案为：．由题意可得，设，要求的最大值，可知；运用向量的加减运算和直线的斜率公式，利用基本不等式求得斜率的最大值．本题考查了抛物线方程和直线斜率的应用问题，也考查了平面向量的线性运算问题，是中档题．16. 函数的单调递增区间是______．【答案】．【解析】解：，令，解得：，在递增，故答案为：．先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．求角A的值；若的面积为，且，求外接圆的面积．【答案】解：，可得：，由正弦定理可得：，化为：，，可得，，．，的面积为，可得：，，由余弦定理可得：，可得：，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，外接圆的面积．【解析】利用正弦定理、和差公式即可得出，结合，可得，由范围，可求．利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得a的值，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得R，进而根据圆的面积公式求解即可．本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 已知数列满足．证明：数列是等比数列；令，数列的前n项和为，求．【答案】解：证明：数列满足，可得，解得；时，，化为，可得，则数列是首项、公比均为2的等比数列；，前n项和为，，两式相减可得，化简可得．【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义即可得证；求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19. 如图，在直三棱柱中，E，F分别为，BC的中点，，．求证：平面ABE；求证：平面平面；求三棱锥的体积．【答案】证明：取AB中点G，连结BG、GF，在直三棱柱中，E，F分别为，BC的中点，，，，，四边形是平行四边形，，平面ABE，平面ABE，平面ABE．，，，平面，平面EBA，平面平面．解：三棱锥的体积：．【解析】取AB中点G，连结BG、GF，推导出四边形是平行四边形，，由此能证明平面ABE．推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．三棱锥的体积：．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知椭圆：经过点，长轴长是短轴长的2倍．求椭圆C的方程；设直线l经过点且与椭圆C相交于A、B两点异于点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明：为定值．【答案】解：椭圆：经过点，长轴长是短轴长的2倍，，，，证明：若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线AB的方程为，即，联立，得．设，，则，．，，．所以为定值，且定值为1．【解析】根据经过点，长轴长是短轴长的2倍，可得，，得出椭圆方程；设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算化简．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21. 已知函数，记在点处的切线为l．当时，求在上的最小值；当时，求证：函数的图象除切点外均在切线l的下方．【答案】解：，导数为，当时，，在递减，在递增，可得的最小值为；当即，时，，递增，可得的最小值为，综上可得；证明：设切点为，切线方程为，记，，，，由于，可得，在递减，可得，，递增；时，，可得在递减，则，即，当且仅当时，取得等号，则函数的图象除切点外均在切线l的下方．【解析】求得的导数可得的单调性，讨论a的范围，可得最小值；求得切线方程，设，两次求得导数，考虑导数的符号和函数的单调性，可得最值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法和分类讨论思想、转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．22. 在直角坐标系xOy中，曲线：为参数，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．写出曲线和的普通方程；若曲线上有一动点M，曲线上有一动点N，求的最小值．【答案】解：曲线：为参数，曲线的普通方程为，曲线：．曲线的普通方程为．曲线上有一动点M，曲线上有一动点N，设，的最小值是M到直线的距离d的最小值，．，的最小值为．【解析】曲线的参数方程消去参数，能求出曲线的普通方程；由曲线：能求出曲线的普通方程．设，则的最小值是M到直线的距离d的最小值，由此能求出的最小值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查直角坐标方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 已知，，，函数．当时，求不等式的解集；当的最小值为3时，求的值，并求的最小值．【答案】解：当时，不等式可化为；当时，，；当时，，无解；当时，，，综上所述：不等式的解集为或；，，，，当且仅当时取最小值3．【解析】对x分3种情况讨论；先用绝对值不等式的性质求出最小值为，然后用基本不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法属中档题．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题(原卷版)
哈师大附中2022届高三上学期期中考试数学试题（文科）第I 卷 (选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}2log 1A x x =≤，{}220B x x x =+->，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线1:210l x y ++=与2:20l ax y -+=平行，则实数a 的值是（ ）A. B. 2 C. D. -23. 已知平面，，直线l ，m ，且有，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在前n 项和为的等差数列中，若()()153693218a a a a a ++++=，则（ ）A. 24B. 12C. 16D. 365. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，分别为棱1111,C D A D 中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.6. 2020年7月31日，中国宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通，成为继美国GPS 等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统.北斗卫星由长征三号乙运载火箭成功送人太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音.声音的等级(单位：)与声音的强度(单位：)满足13()9lg 110x d x -=⨯，火箭发射时的声音等级约为153dB ，两人交谈时的声音等级大约为，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的（ ）A.B. C. D. 7. 已知3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且为锐角，则cos2=α（ ） A. B. C. D.8. 若数列满足，()*111n n n a a n a ++=∈-N ，则该数列的前2021项的乘积是（ ） A. B. C. 2 D. 19. 若函数sin 23y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移个单位后与函数cos 2y x ω=的图象重合，则的值可能为（ ）A. B. C. D.10. 已知函数()()2ln ,0,0x x x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则在处的切线方程为（ ） A.B. 210x y -+= C 210x y -+= D. 320x y -+=11. 直线20x y ++=分别与轴，轴交于，两点，点在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A.B. C. D. 12. 已知函数2(3),0()2,0k x x f x x k x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）．A.B. C. (,0)(4,)-∞+∞ D. (,4)(4,)-∞+∞第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上) 13. 已知向量()()2,4,,1a b t =-=-，若，则实数的值为_________．14. 在中，内角的对边分别为，，，，则角_________．15. 过点的直线与圆22:(1)4C x y -+=交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为________． 16. 沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为，则四面体ABCD 外接球表面积为____.三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 内角，，的对边分别为，，，已知()2cos cos b a C c A -=． （1）求角的大小； （2）若，()2cos cos c a B b A b -=，求的面积． 18. 如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，，，.（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点到平面的距离．19. 已知数列的前项和为，1222n n S n a ++=-，，其中.（1）记，求证：是等比数列；（2）设，求数列的前项和.20. 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1—ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数3()(2)f x x a x b =-+++，32()ln g x x x a x =-++.（1）当时，若在[3,2]x ∈-上最大值为10，求实数的值；（2）若对任意，都有()()g x b f x +≥恒成立，求实数的取值范围．22. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率，左顶点为()4,0A -，过点作斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为中点，是否存在定点，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.：。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(a2−1)+(a−1)i为纯虚数，其中a∈R，则a2+i1+ai等于()A. −iB. iC. 1D. 1或i2.设向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−1)，则(a⃗⋅b⃗ )(a⃗+b⃗ )等于()A. (1,1)B. (−4,−4)C. −4D. (−2,−2)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a16=3，则S20=()A. 10B. 15C. 20D. 304.平面α与平面β平行的条件可以是()A. α内有无数条直线都与β平行B. 直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内C. α内的任何直线都与β平行D. 直线a在α内，直线b在β内，且a//β，b//α5.设曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，则a=()A. 0B. 1C. 2D. 36.函数f(x)=2xsinxx2+cosx在[−2π,2π]上的图象大致为()A. B.C. D.7.将函数，φ∈(0,π)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则φ的值为()A. 2π3B. π3C. π6D.5π68.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，P为A1C的中点，则异面直线BP与AD1所成角的余弦值为()A. 13B. √64C. √23D. √339.已知α，β是两个不同的平面，且直线m，n满足m//α，n⊥β，则以下结论成立的是()A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，则α⊥βC. 若α⊥β，则m//nD. 若m//n，则α⊥β10.设f(x)=lnx,若0<c<b<a<1,则f(a)a ,f(b)b,f(c)c的大小关系为()A. f(a)a >f(b)b>f(c)cB. f(a)a<f(b)b<f(c)cC. f(c)c <f(a)a<f(b)bD. f(b)b<f(c)c<f(a)a11.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2=ac，且sinC=√2sinB，则其最小内角的余弦值为()A. −√24B. √24C. 5√28D. 3412.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)>x−1，则不等式f(x)<12x2−x+1的解集为()A. {x|−2<x<2}B. {x|x<2}C. {x|x>2}D. {x|x<−2或x>2}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos(π4−α)=35，则sin2α=__________.14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a3=0，则S4S2=______ ．15.已知实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，D1D=λ(λ>0).若棱C1C上存在一点P满足A1P⊥平面PBD，则实数λ的取值范围是____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知f(x)=|x−4|+|x+2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)当a,b,c都大于0，且a+b+c=m时，求1a +4b+9c的最小值．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB(acosB+bcosA)=√3ccosB．(1)求B；(2)若b=2√3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．19.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)求证：A1B//平面AC1D．20.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗).}为等比数列；(I)求证：数列{a n+12(Ⅱ)记T n=S1+S2+⋯+S n，求T n的表达式．21.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．22.已知函数f(x)=(x2+x−4)e−x−ax．⑴若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；⑴若x0是f(x)的极大值点，求f(x0)的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查复数的运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 利用复数是纯虚数求出a ，然后利用复数的运算法则化简求解即可． 【解答】解：由题意{a 2−1=0a −1≠0，解得a =−1，所以a 2+i1+ai=1+i 1−i=i (1−i )1−i=i ．故选B ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算，属于基础题． 运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算，即可得到． 【解答】解：向量a ⃗ =(−1,2)， b ⃗ =(2,−1)， 则a ⃗ ⋅b ⃗ =−2−2=−4， 则有(a ⃗ ⋅b ⃗ )(a ⃗ +b ⃗ )=−4(1,1) =(−4,−4)． 故选B ．3.答案：D解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 20=a 5+a 16=3． ∴S 20=20(a 1+a 20)2=10×3=30．故选：D ．由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 20=a 5+a 16=3.再利用等差数列的前n 项和公式S 20=20(a 1+a 20)2即可得出．本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】本题考查两个平面平行的判定，注意平面内直线的位置关系，考虑特殊情况，属于基础题．对四个选项分别分析选择，当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a//α，a//β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选D．【解答】解：对于A，当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故A错误；对于B，当直线a//α，a//β时，a与β可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故C正确；对于D，当直线a⊂α，直线b⊂β，且a//β时，直线a和直线b可能平行，也可能是异面直线，故D 错误．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵y=e ax−ln(x+1)，∴y′=ae ax−1．x+1∴x=0时，切线的斜率y′|x=0=k=a−1.∵曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，∴a−1=2，即a=3．故选：D．6.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，属于基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．【解答】解：∵f(x)=2xsinxx2+cosx，，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C；∵f(π2)=ππ24=4π，f(3π2)=−3π9π24=−43π，∴|f(π2)|>|f(3π2)|，故排除B．故选D．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，考查函数的奇偶性，属于基础题．由平移变换求得g(x)，再根据奇偶性求得φ的值．【解答】解：将函数f(x)=3sin(2x+φ)，φ∈(0,π)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=3sin(2x−π3+φ)的图象，又∵g(x)为奇函数，∴φ−π3=kπ，k∈Z，解得，k∈Z，∵φ∈(0,π)，∴φ=π3．故选B．8.答案：D解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与AD1所成角的余弦值．解：∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =BB 1=1，P 为A 1C 的中点， ∴如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(1,2，0)，A 1(1,0，1)，C(0,2，0)，P(12,1,12)，A(1,0，0)，D 1(0,0，1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,12)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，设异面直线BP 与AD 1所成角为θ， 则cosθ=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12+12√4×√2=√33．∴异面直线BP 与AD 1所成角的余弦值为√33．故选D ．9.答案：D解析： 【分析】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题． 根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可得到答案． 【解答】选项A ，m ，n 可能平行；选项B ，α,β可能平行；选项C ，m ，n 可能相交； 对于D 选项，∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β，又m//α，∴α⊥β． 故选D ．10.答案：A解析：令ℎ(x)=lnxx ,则ℎ′(x)=1−lnxx2,对于0<x<1,ℎ′(x)>0,ℎ(x)在(0,1)上单调递增，又0<c<b<a<1,那么f(a)a >f(b)b>f(c)c.11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的运用，属于基础题．根据题意由，由正弦定理变形得到c=√2b，再结合b2=ac，得到b=√2a，进而得到a=√22b，c=√2b，得到a<b<c，即A为最小内角，再运用余弦定理计算即可求解．【解答】解：，∴由正弦定理变形得到c=√2b，又b2=ac，∴b=√2a，∴a=√22b，c=√2b，∴a<b<c，∴A为△ABC最小内角，，故选C．12.答案：B解析：令g(x)=f(x)−12x2+x，则g′(x)=f′(x)−x+1，因为f′(x)>x−1，所以g′(x)>0，即g(x)在R上为增函数，不等式f(x)<12x2−x+1可化为f(x)−12x2+x<1，即g(x)<g(2)，又g(x)单调递增得x<2，所以不等式的解集为{x|x<2}．13.答案：−725解析：sin2α=cos(π2−2α)=cos[2(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725.14.答案：65解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵8a2−a3=0，∴a 2(8−q)=0，解得q =8． 则S 4S 2=a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q =1+q 2=65．故答案为：65．利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.答案：18解析：解：根据题意，实数x ，y 满足2x +y =1，则y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，分析可得：当x =14时，xy 取得最大值，其最大值为18；故答案为：18．根据题意，由2x +y =1可得y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，由二次函数的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意x 、y 的范围，要结合二次函数的性质分析． 16.答案： [2,+∞)解析：【分析】本题主要考查面面垂直的问题，根据垂直关系，求解即可．【解答】解：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，B(1,1，0)，A 1(1,0，λ)．设P(0,1，x)，其中x ∈[0,λ]，则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，x −λ)，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，x)． 因为A 1P ⊥平面PBD ，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(−1,1，x −λ)·(−1，0，x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0,λ]，故判别式Δ=λ2−4≥0，且λ>0，解得λ≥2，所以实数λ的取值范围是[2,+∞)．故答案为 [2,+∞)．17.答案：解：(1)|x −4|+|x +2|≥|(x −4)−(x +2)|=6，所以m=6，(2)由柯西不等式得(a+b+c)(1a +4b+9c)≥(√a·√a +√b·√b+√c√c)2=36，因此1a +4b+9c≥6，当a=1，b=2，c=3时等号成立，所以1a +4b+9c的最小值为6．解析：本题考查绝对值不等式的性质及柯西不等式的应用，属于中档题．(1)根据绝对值不等式的性质得|x−4|+|x+2|≥|(x−4)−(x+2)|=6，即可求得m的值．(2)由柯西不等式得(a+b+c)(1a +4b+9c)≥(√a·√a +√b·√b+√c√c)2=36，即可求得1a+4b+9c的最小值．18.答案：解：(1)根据正弦定理得：sinB(sinAcosB+sinBcosA)=√3sinCcosB，∴sinBsin(A+B)=√3sinCcosB，∴sinBsinC=√3sinCcosB，∵C∈(0,π)，∴sinC>0，∴sinB=√3cosB，即tanB=√3，∵B∈(0,π)，∴B=π3，(2)∵S△ABC=12acsinB=√34ac=2√3，∴ac=8，根据余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，∴12=a2+c2−8，即a2+c2=20，∴a+c=√(a+c)2=√a2+2ac+c2=6，∴△ABC的周长为：6+2√3．解析：(1)根据正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinBsinC=√3sinCcosB，结合sinC>0，可求tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，由特殊角的三角函数值可求B的值．(2)利用已知及三角形面积公式可求ac=8，进而利用余弦定理可求a+c=6，从而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE．因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．因为D为BC中点，所以DE//A1B.因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B//平面AC1D．解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．(Ⅰ)由CC1⊥平面ABC.可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE.可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE//A1B，即可证明A1B//平面AC1D．20.答案：证明：(I)当n=1时，3a1=2S1+1，所以a1=1．当n ≥2时，由3a n =2S n +n①得3a n−1=2S n−1+n −1②①−②得3a n −3a n−1=2S n +n −2S n−1−n +1=2(S n −S n−1)+1，=2a n +1，所以：a n =3a n−1+1，则：a n +12=3(a n−1+12)， 所以数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)由(I)得a n +12=32⋅3n−1，所以：a n =32⋅3n−1−12将其代入①得，S n =34⋅3n −14(2n +3)T n =S 1+S 2+S 3+⋯+S n ，=34(31+32+33+⋯+3n )−14(5+7+⋯+2n +3)，=34⋅3(3n −1)3−1−n(n+4)4， =98(3n −1)−n(n+4)4．解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用构造新数列法得到数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出数列S n ，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 21.答案：解：(1)取AC 的中点O ，连接OP ，OB ，则有∵PA =PC 且O 为AC 的中点，∴OP ⊥AC ；同理，OB ⊥AC ．∴AC ⊥平面POB ，则有∠POB 为平面P −AC −B 的平面角，又∵在△POB 中，OP =OB =1，BP =√2，则有OP 2+OB 2=BP 2，∴∠POB =90°∴平面PAC ⊥平面ABC ．(2)由(1)可知，OP ⊥平面ABC ，则有OP ⊥OC ，OP ⊥OB ，又∵OB ⊥OC ，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，OA =OB =OC =OP =1，∴A(−1,0，0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，P(0,0，1)，∵M 是PC 的中点，∴M(12,0,12)，又∵PN =2NA ，∴N(−23,0,13)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−76,0,−16)设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴n ⃗ =(−1,1,1)， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，sinθ=∣∣cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∣=∣∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗⃗ ∣∣∣∣=√65． 故直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为√65． 解析：此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便． (1)利用线面垂直来证面面垂直；(2)利用向量法来求直线与平面所成的角。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.第1页，共16页9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．第3页，共16页22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos =2||•=2，∴||=2．故选：C．第5页，共16页根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），第7页，共16页，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】第9页，共16页解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，第11页，共16页∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n =，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD 的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．第13页，共16页（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f′x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h′（x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h′（x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）第15页，共16页证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f （x ）=≤f （x ）max =f （1）=1，∴，当且仅当x =1时取等号．令x =n 2，（n ∈N *，n ≥2），∴ ＜1-，∴＜＜=，（n ≥2）， ∴＜ （1- ）==（n ∈N *，n ≥2）． …………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x ＞0，，由f′（x ）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f （x ）的单调区间和极值． （Ⅱ）推导出+=≥0对∀x ＞0恒成立，从而a≥对∀x ＞0恒成立，进而a≥（）max ，x ∈（0，+∞），令h （x ）=，x ∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a 的取值范围． （Ⅲ）f （x ）=≤f （x ）max =f （1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n 2，（n ∈N *，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n ∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线 C 1：x +y =1，∴曲线 C 1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线 C 2：（φ为参数，φ∈[0，2π） ）， ∴曲线C 2的普通方程为（x -2）2+y 2=4，即x 2+y 2-4x =0， ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA |=ρA =， |OB |=ρB =4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试数学(文)试题 含解析
哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，则等于（）A. B. 或C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．考点：集合的运算．2.若复数z满足,i为虚数单位,则z的虚部为（）A. -2iB. -2C. 2D. 2i【答案】B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案．【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即a﹣2b+（2a+b）i=5，所以解得，所以z=1﹣2i，所以复数z 的虚部为﹣2；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.与函数相同的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数考点：函数是同一函数的标准4.幂函数在上单调递增，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【详解】由题意得：解得,∴m=4．故选：C．【点睛】这个题目考查的是幂函数的单调性问题，幂函数在第一象限的单调性和p有关系，当时函数单调递增，当时函数单调递减，至于其它象限的单调性，需要结合函数的奇偶性和图像来分析.5.已知函数，则（）A. 在上递增B. 在上递减C. 在上递增D. 在上递减【答案】D【解析】【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性.【详解】函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=,∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴在上递减, 在上递增故选：D．【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.6.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，根据函数在1两侧的极限可排除选项，也可以再取特殊值判断．【详解】f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.7.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题，则；D. 命题“”是假命题.【答案】C【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于，只要时，函数在区间上为增函数，故正确；对于，若命题，则故错误；对于，根据幂函数图象得“时，”，故正确，故选C.8.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A选项.9.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意将f（）， f（﹣7），化到上，再将自变量代入解析式可得答案．【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）=f（2）=f（0）=0，f（）=f（）=﹣f（﹣）=f（）=﹣1，f（﹣7）=f（1）=1，∴. 故选：C．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题(含精品解析 )
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（ ）sin 5π3A.B. C. D. ‒1212‒32322.已知集合A ={x |x ＜1}，B ={x |3x ＜1}，则（ ）A. B. C. D. A ∩B ={x|x <0}A ∪B =R A ∪B ={x|x >1}A ∩B =⌀3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2+a 5=0，则等于（ ）S 5S 2A. 11 B. C. D. 5‒11‒84.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）A. B. C. D.y =xy =lgx y =2x y =1x 5.已知，则=（ ）sin2α=13cos 2(α‒π4)A.B. C. D. 131623896.函数f （x ）=ln （x 2-4x +3）的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,2)(2,+∞)(3,+∞)7.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（ ）A. B. C. 10 D. 12‒12‒108.已知x 0=是函数f （x ）=sin （2x +φ）的一个极大值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ）π3A.B. C. D. (π6,2π3)(π3,5π6)(π2,π)(2π3,π)9.已知{a n }为等比数列，a 4+a 7=2，a 5a 6=-8，则a 1+a 10=（ ）A. 7B. 5C.D. ‒5‒710.将函数y =sin （2x -）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）π6π4A. B. C. D. x =π12x =π6x =π3x =‒π1211.已知函数f （x ）=，x ∈R ，若对任意θ∈（0，]，都有f （m sinθ）+f （1-m ）＞0成立，则实数me x ‒e ‒x2π2的取值范围（ ）A. B. C. D. (0,1)(0,2)(‒∞,1)(‒∞,1]12.已知函数f （x ）=x lnx-ae x （e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (0,1e )(0,e)(1e ,e)(‒∞,e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n }满足，，则a 2019=______a n +1=11‒a n a 1=1214.记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =2a n +1，则a n =______15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =，cos C =，a =1，则b =______．4551316.已知函数f （x ）=2cos x +sin2x ，则f （x ）的最小值是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．cb ‒a =sinA +sinB sinA +sinC （1）求角B 的大小；（2）若b =，a +c =3，求△ABC 的面积．2218.已知函数f （x ）=sin2ωx +sinωx •sin （ωx +）（ω＞0）的最小正周期为π．3π2（1）求ω的值；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．2π319.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点均在函数y =x +2的图象上．(n ，S n n )(n ∈N ∗)（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．b n =1a n a n +1T n ＜m 2020.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）经过点M （1，l ：y =kx +m 与椭圆C 相x 2a 2y 2b 22222交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与圆x 2+y 2=相切，求证：OA ⊥OB （O 为坐标原点）．2321.已知函数f （x ）=ax -ln x （a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）有两个零点，x 1，x 2，证明+＞2．1lnx 11lnx 222.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，以坐标原点O 为极点，x 轴的{x =1+32t y =12t (t 为参数)非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=-4cosθ．（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（2）已知P （1，0），若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求的值．1|PA|+1|PB|23.已知函数f （x ）=|x -2|+2，g （x ）=m |x |（m ∈R ）．（1）解关于x 的不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：=sin（2π-）=-sin=-．故选：C．利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．3.【答案】B【解析】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，q3=-8，解得q=-2，所以=═-11，故选：B．设公比为q，由8a2+a5=0可求得q值，利用前n项和公式表示出S2，S5即可求得的值．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的计算能力，属中档题．4.【答案】D【解析】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D．分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．5.【答案】C【解析】解：∵，∴cos（2α-）=，∴cos[2（α-）]=，∴2cos2（α-）-1=，∴cos2（α-）=故选：C．首先，结合诱导公式，然后，根据二倍角公式求解即可．本题重点考查了二倍角的余弦公式、诱导公式等知识，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：令t=x2-4x+3=（x-1）（x-3）=（x-2）2-1＞0，求得x＜1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜1，或x＞3 }，f（x）=g（t）=lnt，故本题即求函数g（t）在定义域上的增区间．再利用二次函数的性质可得g（t）在定义域上的增区间为（3，+∞），故选：D．令t=x2-4x+3＞0，求得函数的定义域，再由f（x）=lnt，可得本题即求函数t在定义域上的增区间，再利用二次函数的性质可得t在定义域上的增区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=-3∴a5=2+4×（-3）=-10．故选：B．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ-，k∈Z，不妨取φ=-，此时f（x）=sin（2x-）令2kπ+＜2x-＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．由极值点可得φ=-，解2kπ+＜2x-＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．9.【答案】D【解析】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=-8∴a4=4，a7=-2或a4=-2，a7=4当a4=4，a7=-2时，，∴a1=-8，a10=1，∴a1+a10=-7当a4=-2，a7=4时，q3=-2，则a10=-8，a1=1∴a1+a10=-7综上可得，a1+a10=-7故选：D．由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=-8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．10.【答案】A【解析】解：将函数y=sin（2x-）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）-]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵f（x）=，∴f（-x）==-=-f（x），则函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在（-∞，+∞）是为增函数，由f（msinθ）+f（1-m）＞0得f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），则msinθ＞m-1，即（1-sinθ）m＜1，当θ=时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，∴m＜，∵0＜sinθ＜1，∴-1＜-sinθ＜0，0＜1-sinθ＜1，则＞1，则m≤1，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．12.【答案】A【解析】解：f′（x）=lnx-ae x+1，若函数f（x）=xlnx-ae x有两个极值点，则y=a和g（x）=在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，（x＞0），令h（x）=-lnx-1，则h′（x）=--＜0，h（x）在（0，+∞）递减，而h（1）=0，故x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）max=g（1）=，而x→0时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→0，若y=a和g（x）在（0，+∞）有2个交点，只需0＜a＜，故选：A．求出函数的导数，问题转化为y=a和g（x）=在（0，+∞）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．13.【答案】-1【解析】解：数列{a n}满足，，a2==2，a3==-1，a4==，所以数列的周期为：3，a2019=a672×3+3=a3=-1．故答案为：-1．利用数列的递推关系式求出数列的周期，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．14.【答案】-2n-1【解析】解：∵S n=2a n+1，∴S n+1=2a n+1+1，∴S n+1-S n=2a n+1-2a n，即a n+1=2a n+1-2a n，∴a n+1=2a n，又∵a1=S1=2a1+1，∴a1=-1．∴数列{a n}是以-1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=-1×2n-1=-2n-1．故答案为：-2n-1．由已知可得S n+1=2a n+1+1，而S n=2a n+1，两式相减，可得a n+1=2a n，再结合S n=2a n+1，令n=1求出a1，从而可得数列{a n}是以-1为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式求解即可．本题考查了数列递推式，考查了数列的通项公式，是基础题．15.【答案】21 13【解析】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA ，sinC ，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB ，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】‒323【解析】解：函数f （x ）=2cosx+sin2x=2cosx+2sinxcosx ；显然cosx ＜0，sinx ＞0，值才最小；由f′（x ）=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2-4sin 2x ．令f′（x ）=0，可得：sinx=或sinx=-1．当sinx=-1，可得cosx=0；当sinx=，cosx=∴sinx=，cosx=时，函数f （x ）取得最小值为-．故答案为：-利用导函数研究其单调性，即可求解最小值．本题考查的知识要点三角函数关系式的恒等式变换，导函数单调性最值的求法，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）△ABC中，∵，c b ‒a =sinA +sinB sinA +sinC ∴=，c b ‒a a +ba +c ∴ac +c 2=b 2-a 2，∴c 2+a 2-b 2=-ac ，∴cos B ==-=-，c 2+a 2‒b 22ac ac 2ac 12∴B =；2π3（2）∵b =，a +c =3，22∴b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+c 2-2ac cos =（a +c ）2-ac =9-ac =8，2π3∴ac =1；∴△ABC 的面积为S =ac sin =×1×=．122π3123234【解析】（1）根据正弦定理化，再根据余弦定理求出B 的值；（2）利用余弦定理求出ac 的值，再求△ABC 的面积．本题考查了正弦、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．18.【答案】解：（1）f （x ）=sin2ωx +sinωx •sin （ωx +）=sin2ωx +sinωx •cosωx3π23=sin2ωx +sin2ωx =（1+）sin2ωx ，3232∵函数f （x ）的最小正周期为π．∴T ==π．2π2ω即ω=1．（2）∵ω=1，∴f （x ）=（1+sin2x ，32若0≤x ≤，则0≤2x ≤，2π34π3∴当2x =时，函数取得最小值为（1+）sin =-（1+）×=--，4π3324π332323234当2x =时，函数取得最大值为（1+）sin =1+，π232π232故函数f （x ）的取值范围是[--，1+]．323432【解析】（1）利用三角函数的倍角公式进行化简结合函数的周期即可求ω的值；（2）求出函数在[0，]上角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数性质的应用，利用倍角公式结合周期公式求出ω的值是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，点均在函数y =x +2的图象上．(n ，S n n )(n ∈N ∗)∴，∴，S n n =n +2S n =n 2+2n ①n ≥2，a n =S n -S n -1=2n +1；②n =1，a 1=3，适合上式，∴a n =2n +1，（2），b n =1(2n +1)(2n +3)=12(12n +1‒12n +3)∴，T n =12(13‒15+15‒17+…+12n +1‒12n +3)=12(13‒12n +3)＜16∴，m 20≥16∴m ≥103∵m ∈Z ，∴m min =4．【解析】（1）通过点在直线上，利用a n =S n -S n-1转化求解通项公式即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，然后列出不等式求解即可．本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（1）由离心率e ==，a 2=b 2+c 2，a 2=2b 2，c a 22即有椭圆方程为+=1，将M （1，b 2=1，a 2=2，x 22b 2y 2b 222则所求椭圆方程为+y 2=1．x 22（2）证明：因为直线l 与圆x 2+y 2=相切，23所以=m 2=（1+k 2），|m|1+k 26323由，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2-2=0．{y =kx +m x 2+2y 2=2设点A 、B 的坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-，x 1x 2=，4km 1+2k 22m 2‒21+2k 2所以y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，m 2‒2k 21+2k 2所以•=x 1x 2+y 1y 2=+==0，⃗OA ⃗OB 2m 2‒21+2k 2m 2‒2k 21+2k 23m 2‒2‒2k 21+2k 2故OA ⊥OB ．【解析】（1）由离心率及a 2=b 2+c 2，得a 与b 的关系式，再将点M 的坐标代入椭圆方程中，求解关于a ，b 的二元二次方程组，即得a 2，b 2，从而得椭圆的标准方程；（2）根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得k 与m 的等量关系，要证明OA ⊥OB ，只需证明•=0即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于k ，m 的代数式，再利用前面k 与m 的等量关系即可达到目的．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆相切的条件，属于中档题．21.【答案】解：（1）f ′（x ）=a -=（x ＞0），1x ax ‒1x ①当a ≤0时，由于x ＞0，故ax -1＜0，f '（x ）＜0，所以，f （x ）的单调递减区间为（0，+∞），②当a ＞0时，由f '（x ）=0，得x =，1a 在区间（0，）上，f '（x ）＜0，在区间（，+∞）上，f '（x ）＞0．1a 1a 所以，函数f （x ）的单调递减区间为（0，），1a 单调递增区间为（，+∞），1a 综上，当a ≤0时，f （x ）的单调递减区间为（0，+∞）；当a ＞0时，函数f （x ）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．1a 1a （2）函数f （x ）有两个零点分别为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则ln x 1-ax 1=0，ln x 2-ax 2=0，ln x 2-ln x 1=a （x 2-x 1），要证：+＞2，1lnx 11lnx 2只需证：+＞2a ，只需证：＞a ，1x 11x 2x 1+x 22x 1x 2只需证：＞，x 1+x 22x 1x 2lnx 2‒lnx 1x 2‒x 1只需证：＞ln ，x 22‒x 212x 1x 2x 2x 1只需证：ln ＜（-），x 2x 112x 2x 1x 1x 2令t =＞1，即证ln t ＜（t -），x 2x 1121t 设φ（t ）=ln t -（t -），121t 则φ′（t ）=＜0，2t ‒t 2‒12t 2即函数φ（t ）在（1，+∞）单调递减，则φ（t ）＜φ（1）=0，即得+＞2．1lnx 11lnx 2【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）表示出a ，要证：+＞2，只需证：ln ＜（-），令t=＞1，即证lnt ＜（t-），设φ（t ）=lnt-（t-），根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．22.【答案】解：（1）由直线l 的参数方程为消去参数t ，可得：．{x =1+32t y =12t (t 为参数)x ‒3y ‒1=0圆C 的极坐标方程为ρ=-4cosθ，即ρ2=-4ρcosθ．∴圆C 的普通坐标方程为x 2+y 2+4x =0．则圆心C （-2，0）．∴圆心C （-2，0）到直线l 的距离；d =|‒2‒1|2=32（2）已知P （1，0），点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，将代入圆C 的普通坐标方程x 2+y 2+4x =0得：．{x =1+32t y =12t (t 为参数)t 2+33t +5=0设A ，B 对应参数为t 1，t 2，则，t 1t 2=5．t 1+t 2=‒33∵t 1t 2＞0，t 1，t 2是同号．∴．1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1||t 2|=335【解析】（1）由直线l 的参数方程为消去参数t 即可得到普通方程；把圆C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用转化公式可得圆C 的直角坐标方程，求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求圆C 的圆心到直线l 的距离；（2）将代入圆C 的普通坐标方程x 2+y 2+4x=0得：，再由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解．本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）由f （x ）＞5，得|x -2|＞3，即x -2＜-3或x -2＞3，∴x ＜-1或x ＞5．故原不等式的解集为{x ；x ＜-1或x ＞5}．（5分）（2）由f （x ）≥g （x ）得|x -2|≥m |x |-2对任意x ∈R 恒成立，当x =0时，不等式|x -2|≥m |x |-2成立，当x ≠0时，问题等价于m ≤对任意非零实数恒成立，|x ‒2|+2|x|∵≥|x ‒2|+2|x||x ‒2+2||x|=1∴m ≤1，即m 的取值范围是（-∞，1]．（10分）【解析】（1）由f （x ）＞5，得|x-2|＞3，即x-2＜-3或x-2＞3，即可；（2）可得|x-2|≥m|x|-2对任意x ∈R 恒成立，当x=0时，不等式|x-2|≥m|x|-2成立，当x≠0时，由≥，可得m≤1．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期开学考试数学(文)试卷含答案
4t
4
t＋
t2＋4＝ t.
4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝
4
7
因为 t＋t≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝± 2 时等号成立，且满足 Δ>0.
7
7
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 2 x－2 或 y＝－ 2 x－2.
…… 12 分
21.解：(1)对 f(x)求导得
（6x＋a）ex－（3x2＋ax）ex －3x2＋（6－a）x＋a
A．{x x 2}
B．{x x 2 或 x 3}
C．{x x 3}
D．
{x 2 x 3}
2．若复数 z 满足 (1 2i)z 5 , i 为虚数单位,则 z 的虚部为 （ ）
A. 2i
B. 2
C. 2
D. 2i
3．与函数 y x 相同的函数是（ ）
A． y x2
f′(x)＝
（ex）2
＝
ex
.
因为 f(x)在 x＝0 处取得极值，所以 f′(0)＝0，即 a＝0.
3x2
－3x2＋6x
当 a＝0 时，f(x)＝ ex ，f′(x)＝ ex ，
由 f′(x)>0，0<x<2，
f′(x)<0 有 x<0 或 x>2,
故 a=0 时 f (x) 在 x 0 处取得极值
得，
所以当
时，
；当
时，
，
因此函数 在
是增函数，在
是减函数.
故函数 的最大值为
.
令
，因为
，
，
又因为 在
上是减函数，所以当 时，
.
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题及答案详解
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos=2||•=2，∴||=2．故选：C．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）= f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O 1OC中，O1C==．又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，∴AD，AB，AS两两互相垂直．以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，由f （x）=0，得x=1，列表如下：因此增区间（0，1），减区间（1，+∞），极大值f（1）=1，无极小值．………（4分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h （x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h （x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，∴，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），∴＜1-，∴＜＜=，（n≥2），∴＜（1-）==（n∈N*，n≥2）．…………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x＞0，，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）推导出+=≥0对∀x＞0恒成立，从而a≥对∀x＞0恒成立，进而a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y=1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4，即x2+y2-4x=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试 数学(文)
哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{20}A x x x =+-<，集合21{|1}B x x=>，则A B = A ．(1,2)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)-2．已知2sin cos 0θθ+=，则2sin cos cos θθθ-的值 A ． 65-B ．35-C ．35D ．653．已知向量=a ，向量,a c 的夹角是3π，2⋅=a c ，则||c 等于A ．12B ．1CD ．2 4．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥n B ．,αγβγα⊥⊥⇒∥β C ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m n D ．,,αββγ==m n m ∥α⇒n ∥β5．已知角α的终边经过点P ()2,1，则sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为A ．B ．CD 6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺俯视图侧视图正视图31127．函数()sin()ωϕ=+f x A x （其中0,||2πϕ><A ）的图象如图所示，为了得到()cos 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 8．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°9．若函数()()20.3log 54=+-f x x x 在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32=c ，则 A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<10．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则91056a a a a -=-A ．16B ．8C ．4D ．211．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 ABCD12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()2(+3)f x f x =， 当30x -<≤时，3()log (1)f x x =-，则(2018)=f A ．67312- B ．67212-C ．67212D ．67312二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()102,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -= ． 14．已知32)24sin(=-θπ，则=θsin ．15．已知向量(1,2)=a ，(3,2)=-b ，若k （)+a b ∥3)-（a b ，则实数k 的值为 ． 16．已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A ． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若a c +=b =,求ABC ∆的面积．18．（本小题12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ； （Ⅱ）求三棱锥B MAC -的体积．20．（本小题12分）已知椭圆:E )0(12222>>=+b a b y a x 的左，右焦点分别为12,F F ，其离心率21=e ，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，且0AC BD ⋅=， 当96=7AC BD +时，求直线AC 的方程．21．（本小题12分）已知函数()ln 1x f x x+=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()()ln g x f x a x =+在()0,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21*,22341--+⋅⋅⋅<∈≥+++n n n n N n n n .考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号 ．22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，当α在区间[0,)2π上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()352244f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值a ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +∈，且1m n +=+≤2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试文科数学参考答案一．选择题二．填空题13．12 14．19 15．13- 16．94π 三．解答题17．解： （Ⅰ）由1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A 得，1)1cos cos sin sin (cos cos 3=-CA CA C A,1)cos cos sin sin 3=-∴C A C A （，即31)cos(-=+∴C A ， 31cos =∴B ，又0B π<< , 322sin =∴B ． …………6分 （Ⅱ）由余弦定理得：312cos 222=-+=ac b c a B 3122)(22=--+∴ac b ac c a ，又a c +=，b =9ac =,1sin 2ABC S ac B ∆∴==． …………12分 18．解：（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴= …………3分设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ …………6分（Ⅱ）1232135721,33333n n n nn n c T ++==++++①则234113572133333n n n T ++=++++②， 由①—②得，23121112112()33333n n n n T ++=++++-142433n n ++=-∴223n n n T +=- …………12分19．解：（Ⅰ）取SC 中点为N ，连MN, ND,M N 分别是,SB SC 的中点，∴MN ∥BC ，且MN =12BC AD ∥BC ，且AD =12BC ，∴MN ∥AD 且MN =AD ∴四边形AMND 为平行四边形，∴AM ∥ND又AM ⊄ 平面SCD , ND ⊂平面SCD ．∴AM ∥平面SCD ． ………6分 （Ⅱ）SA ⊥底面ABCD ，SA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，SA AB A =BC ∴⊥平面SAB111223323B MAC C MAB MAB V V S BC --∆∴==⋅⋅=⋅⋅=． ………12分20．解：（Ⅰ）由已知，1,242c e c a ===，∴2,4c a ==，∴22212b a c =-= 故，椭圆方程为2211612x y += ………4分 （Ⅱ）∵0AC BD ⋅=，∴直线,AC BD 垂直相交于点1(2,0)F -． ① 直线,AC BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=，不成立②直线,AC BD 斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设AC 方程(2)y k x =+联立22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +++-=222222(16)4(34)(1648)24(1)0k k k k ∆=-+-=+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212221616483434k k x x x x k k-+=-=++， 22224(1)134k AC x k +∴=+-=+．把k1-2234)1(24k k ++， 2222168(1)96(43)(34)7k AC BD k k +∴+==++， 21k ∴=，即1k =±，所以直线AC 的方程为：20x y -+=或20x y ++=． …………12分21．解：（Ⅰ）()2ln 'xf x x -=，由()'01f x x =⇒=，列表如下： 因此增区间()0,1，减区间()1,+∞，极大值()11f =，无极小值.…………4分（Ⅱ）()()221ln 1ln '0x x a x axx g x x x x⋅-+-+=+=≥对0x ∀>恒成立， 于是，ln 0ax x -≥对0x ∀>恒成立， 所以，ln x a x ≥对0x ∀>恒成立 ()maxln ,0,x a x x ⎛⎫∴≥∈+∞ ⎪⎝⎭令()()ln ,0,x h x x x=∈+∞，则()221ln 1ln 'x xx x h x x x ⋅--== 因为，()ln 1,0, x x e <∈，所以，()()'0,0, h x x e >∈，从而()h x 在()0,e 递增； 另外，()ln 1,, x x e >∈+∞，所以，()()'0,, h x x e <∈+∞，从而()h x 在(),e +∞递减． 综上，()()max ln 1e h x h e e e ===，故1a e≥． …………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得()()()max ln 1ln 1111x x f x f x f x x x+=≤==⇒≤-，当且仅当1x =时取等号.令2*2n N n n x =∈≥（，）， ()()2222lnn 1ln 11111111111,222121n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<-⇒<-<-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222ln 2ln 3ln 1111111111112322323421n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+⋅⋅⋅<-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ ()211121121241n n n n n --⎛⎫=-+-=⎪++⎝⎭2n ≥（）． …………12分 22．解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由02πα≤<，知52444πππα≤+<，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+． …………10分23．解：（Ⅰ）()352244f x x x =-++2)452()432(=+--≥x x 当且仅当35(2)(2)044x x -+≤，即5388x -≤≤时，上式取等号， 即()f x 取得最小值2故2a =． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证．2(21)32(21)32222m n m n ++++≤=+≤=+，∴∴故，原不等式成立． …………10分。
黑龙江省哈师大附中高三上学期期中考试 数学(文).pdf
自信的我
八（3）班 陈玉琴
小时候，每次遇到困难，父母总会耐心而又温和地开导我。
现在，我虽远离了父母的怀抱，远离了父母的呵护，但也成长为自信、执着的我。
以前，我像一只小船，只停泊在岸边不敢向巨浪前行。
如今，我有了自信。
记得那个下午，炙热的太阳烘烤着大地。
教室里，我们软绵绵地趴在课桌上听语文老师激情澎湃的上《古诗四首》，我们根本无法专心致志地听老师讲课。
自然一切都没能逃过语文老师的眼睛，为了吸引同学的注意力，他提出一个问题： “范仲淹的‘先天下之忧而忧，后天下之乐而乐’对我们今天有什么意义？”
同学们一下子变得安静，教室里鸦雀无声，有的怕老师点到他发言，把头低到了桌面下，好像要找个地缝钻进去似的。
我看到他们紧张的表情，再看看教室里没有一个人举手，就连语文成绩特别优秀的学习委员也包括在内。
在自己深深的思索下，我终于想到了答案。
于是自告奋勇地举手，这情景就如同平地里突然耸起一座山峰，特别惹眼。
终于老师示意我回答。
我自信地站起回答道：“如果我们学生时代想着为中华复兴，就会刻苦学习，学好本领，今后就会接好革命的班，把祖国建设地更加强大。
”回答完毕，我赢得了全班一陈热烈的掌声。
看，我就是这样有自信，别人不能做的事，我却能做到。
自信让我受益匪浅。
老师评：中心突出，几个比喻句用得恰到好处，若能在自己思索答案的过程中加点笔墨，就能弥补文章篇幅过短的缺点。
（郭艳晶）
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高考数学精品复习资料2019.5哈师大附中20xx 级高三上学期期中考试数学试题（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}0,12．已知向量b a ,满足：2a b +与54a b -垂直，且||1,||1a b ==，则与的夹角为（ ） A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π3. 在ABC 中，""a b =是"cos cos "a A b B =的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ） ABCD5. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面 积是( )A. 2(20cm +B.212cmC. 2(24cm +D. 242cm6. 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（ ）俯视左视图A. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B. 511[,],1212k k k Z ππππ++∈C. [,],36k k k Z ππππ-+∈D. 2[,],63k k k Z ππππ++∈7. 若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个 8. 将函数()sin()4f x x π=+的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线(,0)8π对称，则ϕ的最小正值为（ ）A ．8πB ．516π C ．43π D ．2π 9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线AC 交于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A ．15B ．14C ．13D ．1211.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( ) A. 14 B. 14或23C.23 D. 23或3412.已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若m BCC B ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．A sin C ．A cosD ．A tan 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y R ∈，向量(,1)a x =r，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则||a b →→+=_____________.14. 若奇函数()x f 在(]0,∞-上单调递减，则不等式()()01lg >+f x f 的解集是15.在棱长为1的正方体AC 1中，点P 为侧面BB 1C 1C 内一动点(含边界)，若动点P 始终满足P A ⊥BD 1，则动点P 的轨迹的长度为________．16.在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB的中点，若2,AB BC ==D 在线段AC 上运动，则下面结论正确的是____________.①ABC ∆是直角三角形； ②DB DM ⋅的最小值为2316； ③DB DM ⋅的最大值为2； ④存在[]0,1λ∈使得(1)BD BA BCλλ=+-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知向量(sin cos ,sin )a x x x ωωω→=+(sin cos )b x x x ωωω→=-，设函数()f x a b →→=⋅()x R ∈的图象关于直线3x π=对称，其中常数(0,2)ω∈ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将函数()f x 的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，用五点法作出函数()g x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像.OFESC BA19. (本小题满分12分）已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++< 的解集是空集．（Ⅰ）求角C 的最大值； （Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积S =C 取最大值时a b +的值．20. (本小题满分12分）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,M 是BD 的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (Ⅰ) 求证:EM ∥平面ABC ; (Ⅱ) 求出该几何体的体积.21. (本小题满分12分） 已知函数()2322ln .8f x x x x =-++ （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =在[)()Z m e m∈+∞,上有零点，求m 的最大值。
22. (本小题满分12分）已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()xe cx d +,若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+. (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若2x ≥-时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.哈师大附中20xx 级高三上学期期中考试数学答案（文科）一、选择题BCCAA CCDCA DB 二、填空题13、 14、10,10⎛⎫⎪⎝⎭1516、① ② ④ 三、解答题17、（本小题满分10分）（Ⅰ）22()sin cos cos f x x x x x ωωωω=-+2cos 22sin(2)6x x x πωωω=-=-()23f π=±231(0,2)3622k k ωππππω⇒-=+⇒=+∈ 0,1k ω==，()2sin(2)6f x x π=-，T π=. …………………………………………5分（Ⅱ）()()2sin 2g x f x x π=+=4π2π2ππ27分 10分 18、（本小题满分12分） （Ⅰ）E,O 分别是SC,AC 的中点EO//SA ⇒①SA SBC 9090BC BC SA ACB BC AC ASC SC SA ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎪⎬⇒⊥∠=⇒⊥⎬⎭⎪∠=⇒⊥⎭平面SAC 平面ABC平面SAC 平面②由①②知OE ⊥平面SBC . ………………………………………6分 （Ⅱ）连接,OF OS ，,O F 是,AC BC 的中点//OF AB ⇒且12OF AB =OFS ⇒∠是异面直线SF 与AB 所成的角. …………………………………………………………8分 等腰直角三角形SAC 中2AC ==，且1SO =，SO AC ⊥ 又平面SAC ⊥平面ABC ， 所以SO ⊥平面ABC ，SO OF ⊥，12OF AB===tanSOSFOOF∠==…………………………………………………………12分19、（本小题满分12分）（Ⅰ）由关于x的不等式2cos4sin60x C x C++<的解集是空集，得max10cos0233C C Cππ≤⇒≥⇒<≤⇒=……………………………………………6分（Ⅱ）1sin622S ab C ab==⇒=22222()1c o s1222a b c a b cCa b a b+-+-==-=，且72c=，故2121()4a b+=112a b+=…………………………………………………………………………12分20、（本小题满分12分）（Ⅰ）取BC中点Q，连,MQ AQ1//2////1//2//BM MDMQ CDBQ QCAE MQ EM AQAE CDEM ABC EM ABCAQ ABC⎫=⎫⎫⇒⎪⎬⎪⎪=⎭⎪⇒⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎪⎪⎪⎪⎭平面平面平面……………………………………………6分（Ⅱ）由俯视图知AC AB⊥①且2AB AC==，直棱柱中EA⊥平面ABC，所以EA AB⊥②由①②知AB⊥平面ACDE，所以AB是棱锥B ACDE-的高。
………………………9分QN11()4332ACDE AE CD V S AB AC AB +===………………………………………………12分21、（本小题满分12分） （Ⅰ）31(32)(2)()244x x f x x x x--'=-+=()0f x '>时2(0,)(2,)3x ∈+∞，()0f x '<时2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭增区间: 2(0,)3和(2,)+∞，减区间：2(,2)3…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知252()ln 0363y f ==+>极大，1(2)ln 202y f ==->极小 0x >且0x →时()0f x <，故()f x 在定义域上存在唯一零点0x ，且0x ∈2(0,)3.………6分若0m ≥，则1me ≥，)2,,3me ⎛⎫⎡+∞⊂+∞ ⎪⎣⎝⎭，此区间不存在零点，舍去. ………………7分 若0m <，1m =-时，1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2132()108f e e e=+->， 又12(,)3e 为增区间，此区间不存在零点，舍去. ……………………………………………9分2m =-时，21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，222113()(2)08f e e e =-<，又212(,)3e 为增区间，且2()03y f =>，故0x ∈212(,)3e . …………………………………11分 综上max 2m =- …………………………………………………………12分 22、（本小题满分12分）（Ⅰ）(Ⅰ)由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====,而()f x '=2x b +,()g x '=()xe cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2; ………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)xg x e x =+,设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---(2x ≥-),()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-,有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥, 令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,(1)若21k e ≤<,则-2<1x ≤0,∴当1(2,)x x ∈-时,()F x <0,当1(,)x x ∈+∞时,()F x >0,即()F x 在1(2,)x -单调递减,在1(,)x +∞单调递增,故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ,而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0,∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立,(2)若2k e =,则()F x '=222(2)()x e x e e +-,∴当x ≥-2时,()F x '≥0,∴()F x 在(-2,+∞)单调递增,而(2)F -=0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立, (3)若2k e >,则(2)F -=222ke--+=222()e k e ---<0,∴当x ≥-2时,()f x ≤()kg x 不可能恒成立,综上所述,k 的取值范围为[1,2e ]. …………………………………………………………12分。