2020届吉林省高考第四次模拟数学文科模拟试题有答案

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吉林省吉林市2020届高三第四次调研测试数学(文)试题含解析

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第四次调研测试文科数学一、选择题1. 设集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，则A B =( )A. {}1,2B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D.1,0,1,2【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，因此，{}0,1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 复数2z i =-，i 为虚数单位，则z =( ) 3 B. 265【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】2z i =-，因此，()22215z =+-=.故选：D.【点睛】本题考查复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.3. 一组数据12，13，x ，17，18，19的众数是13，则这组数据的中位数是（） A. 13 B. 14C. 15D. 17【答案】C 【解析】【分析】根据众数的概念可以求出13x =，再根据中位数的概念求解即可．【详解】解：因为数据12，13，x ，17，18，19的众数是13，所以13x =，则这组数据的中位数是1317152+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查众数的概念和中位数的计算，属于基础题． 4. 函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（） A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y -+=D.210x y +-=【答案】A 【解析】【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程. 【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-，所以切线方程为y+2=-1·(x -1),即：10x y ++= 故选A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A. 1y x=B. y tanx =C. x xy e e -=-D.2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x xf x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又xy e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增，所以函数xxy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出 s 的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=）（） A. 704立方尺 B. 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积. 【详解】设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C . 因为2C r π=，所以2Cr π=，所以2222248114412C C h V r h h ππππ⨯==⨯⨯==2112=（立方尺）. 故选B 项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.8. 若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D 【解析】【分析】分别求出抛物线焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，，由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D .【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.9. 在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，12B π=，33c =，则a =（） A. 2 B. 22C. 32D. 42【答案】C 【解析】【分析】先求得C ，然后利用正弦定理求得a .【详解】因为,412A B ππ==，所以23C A B ππ=--=，所以233sin 232sin 3c A a C ⨯===.故选：C【点睛】本题考查解三角形，考查运算求解能力.10. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%【答案】A 【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（）A. 36B. 6C. 553【答案】B 【解析】【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ EC ，同理1//AE QC ，所以四边形1AEC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =，所以112C B CE =，即1EC EB ==所以115,23AE EC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AE EC AC AEC AE EC +-∠==⨯ 所以126sin AEC ∠=所以S 四边形1AEQC 1112sin 262AE EC AEC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 12. 已知函数2*3()sincos3sin [1,],6662xxxf x x a a πππ=-+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（）A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】A 【解析】【分析】化简函数()sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数性质，结合图象求解.【详解】函数2313()sincos3sin sin cos sin 66323333xxxx x f x x πππππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为263T ππ==，又()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，即函数()f x 在[1,]a -上至少存在两个最大值，如图(1)7.54Ta T --+=， 6.5a ，所以正整数a 的最小值为7.故选：A【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解. 二、填空题13. 已知向量()1,2a =，()1,b λ=-，若a ∥b ，则实数λ等于__________．【答案】2- 【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为a ∥b ，由平面向量平行的坐标表示可得，()1120λ⨯--⨯=，解得2λ=-.故答案为：2-【点睛】本题考查平面向量平行的坐标表示；考查运算求解能力；属于基础题.14. 若x，y 满足约束条件3003x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为_____．【答案】92【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x y +的最小值．【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x y z +=，2y x z =-+，显然当平行直线过点3(2A ，3)2时，z 取得最小值为：39322+=；故答案为：92．【点睛】本题考查线性规划求最小值问题，我们常用几何法求最值. 15. 若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于________．【答案】34【解析】【分析】由条件可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．【详解】∵12sin cos sin cos αααα+=-，∴2（sinα+cosα）=sinα﹣cosα ∴sinα=﹣3cosα ∴tanα=﹣3∴tan2α=221tan tan αα-=619--=34 故答案为34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键． 16. 如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点,E F ，在得到的截口曲线上任取一点A ，过点A 作圆锥母线，分别与两球相切于点,C B ，由球与圆的几何性质，得AE AC =，AF AB =，所以2AE AF AC AB BC a +=+==，且2a EF >，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点,E F 为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为______.【答案】53【解析】【分析】根据题意可得椭圆的长轴长和短轴长，再代入离心率方程，即可得答案；【详解】如图所示，根据题意可得椭圆上的点A 到两个切点的距离等于BC ，104623BC a a =-==⇒=，242b b =⇒=，∴2253332c e a===-，故答案为：5. 【点睛】本题考查数学文化、椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、解答题17. 在三棱柱111ABC A B C -中，2,120AC BC ACB ==∠=︒，D 为11A B 的中点.（1）证明：1//A C 平面1BC D ；（2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为23三棱锥11B A C D -的体积. 【答案】（1）见解析;（2）14. 【解析】【详解】试题分析：（1）连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .利用中点可得1//DE A C ，所以1//AC 平面1BC D .（2）取AC 中点O ，连接1A O ，过点O 作OF AB ⊥于F ，连接1A F ,利用等腰三角形和射影的概念可知1A O ⊥平面ABC ，所以1A O AB ⊥，所以AB ⊥平面1A OF ，所以1AB A F ⊥.利用侧面11A ABB 的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积. 试题解析：（1）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE A C ，且DE ⊂平面1BC D ，1AC ⊄平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D . （2）解：取AC 的中点O ，连接1A O ，过点O 作OF AB ⊥于点F ，连接1A F . 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A A A C =，所以1A O ⊥平面ABC ，∴1A O AB ⊥，1AO OF O ⋂=，∴AB ⊥平面1A OF ，则1A F AB ⊥.设1AO =h ，在ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒， ∴23AB =12OF =，2114A F h =+ 由1121334A ABB S h =+=13A O h ==. 则1111A BC D B A C D V V --= 11113BA C D AO S =⨯⨯ 13112322=⨯⨯ 12sin1204⨯⨯︒=. 所以三棱锥11A BC D -的体积为14. 18. 在等差数列{}n a 中，已知273,8==a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若512=nS ，求n 的值. 【答案】（1）1n a n =+（2）10n = 【解析】【分析】（1）根据已知条件求出数列的公差和首项即可得到通项公式；（2）利用裂项求和求出n S ，根据等式解方程即可得解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为273,8==a a ，所以7255-==a a d ，解得1d =，由113a +=，解得12a =，所以1n a n =+（2）由（1）得()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S n n n . 令1152212-=+n ，解得10n =. 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，求解通项公式，利用裂项求和根据等式求解项数. 19. 一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，共抗疫情。

2020年吉林省白山市高考数学四模试卷(文科)含答案解析

2020年吉林省白山市高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若集合A={x∈N|﹣1＜x＜5}，B={y|y=4﹣x，x∈A}，则（）A．A∪B={1，2，3}B．A=B C．A∩B={1，2，3}D．B⊆A3．下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=1﹣x2B．y=3x+3﹣x C．y=cos2x D．y=tanx4．2020年某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组抽取的人数为（）A．3 B．6 C．4 D．85．已知函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）下的最小正周期为π，则函数的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于点（，0）对称6．若双曲线C：mx2+y2=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，则m的值为（）A．﹣ B．C．﹣3 D．7．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．21πB．24πC．28πD．36π8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A．17 B．16 C．15 D．139．已知数列{a n}中，a1=2，=3，若a n≤100，则n的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．710．一锥体的三视图如图所示，设该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为m，n，则等于（）A．B．C．D．11．设a＞0，且x，y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（0，4]C．（﹣4，0] D．[4，+∞）二、填空题:本大题共4小题。

2020年吉林省长春市高考数学四模试卷(文科) (解析版)

2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x||x|≤1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1}2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）A．B．C．9D．123．已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．在复平面内，复数所对应的点为（2，﹣1），i是虚数单位，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i5．方程2x﹣2＝﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）6．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有3名男生，2名女生，现从中随机选出3人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的概率为（）A．B．C．D．7．已知向量＝（0，1），＝，•＝1，则△ABC面积为（）A．B．C．D．8．下列函数既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．y＝lnx3D．9．为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（π取3.1）（）A．1235B．1435C．1635D．183510．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b11．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则＝（）A．B．C．4D．12．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称；②函数f（x）在上单调递减；③圆C的面积为π．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线﹣＝l（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为．14．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是．15．已知cos（）＝，则sin2α＝．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线AN与BC所成角的余弦值为；若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}是等比数列，且公比q不等于1，a1＝2，3a3＝2a2+a4，数列{b n}满足．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求三棱锥P﹣CEF的体积．19．商务部会同海关总署、国家药监局于3月31日发布关于有序开展医疗物资出口的公告．如医疗物资出口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用．为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸：抽取次数12345678医疗物资尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次数910111213141516医疗物资尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，，，，其中x i为抽取的第i个医疗物资的尺寸，i＝1，2，3， (16)（Ⅰ）求（x i，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？附：样本（x i，y i）（i＝1，2，…，n）的相关系数．20．已知椭圆C：的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．21．已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+4，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，证明：当x＞0时，f（x）＞4（1﹣a2）（e a﹣1+1）．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8：（Ⅱ）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若实数a，b，c满足a+b+2c＝M，求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x||x|≤1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1}【分析】可解出集合A，然后进行并集、补集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴A∪B＝{x|x≤1}；∴∁U（A∪B）＝{x|x＞1}．故选：B．2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）A．B．C．9D．12【分析】根据题意，由等比中项的性质可得（a6）2＝a3×a9，变形计算可得答案．解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则有（a6）2＝a3×a9，变形可得a9＝＝＝12；故选：D．3．已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】直接求出|OP|，根据三角函数的定义，求出cosα的值即可．解：|OP|＝，所以cosα＝，故选A．4．在复平面内，复数所对应的点为（2，﹣1），i是虚数单位，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i【分析】由已知可得，然后利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．解：由题意得，，则z＝（1+i）（2﹣i）＝3+i，故选：D．5．方程2x﹣2＝﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【分析】利用函数零点的判定定理即可判断出．解：令f（x）＝2x+x﹣2，则f（0）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝2+1﹣2＝1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，①又∵2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）＝2x ln2+1＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点．②综上①②可知：函数f（x）＝2x+x﹣2在R有且只有一个零点x0，且x0∈（0，1）．即方程2x＝2﹣x的根所在区间是（0，1）．故选：B．6．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有3名男生，2名女生，现从中随机选出3人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的概率为（）A．B．C．D．【分析】记三名男生A，B，C，记二名女生为D，E，利用列举法能求出至少有一名女生的概率．解：记三名男生A，B，C，记二名女生为D，E，则选三人有（ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE）共10种方法，至少有一名女生有（ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE）共9种方法，所以其中至少有一名女生的概率为．故选：D．7．已知向量＝（0，1），＝，•＝1，则△ABC面积为（）A．B．C．D．【分析】将，看成基底，表示出，代入•＝1可求出，的夹角，则面积可求．解：易知||＝1，又•＝•（﹣）＝||•||cos∠BAC﹣||2＝1×cos ∠BAC﹣1＝1，则cos∠BAC＝，所以sin∠BAC＝则△ABC面积为||||sin∠BAC＝×1××＝．故选：C．8．下列函数既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．y＝lnx3D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数为奇函数，但不是单调函数，不符合题意；对于B，函数y＝，为奇函数，其导数，是单调增函数，符合题意；对于C，y＝lnx3，其定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝＝，为偶函数，不符合题意；故选：B．9．为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（π取3.1）（）A．1235B．1435C．1635D．1835【分析】根据圆柱的侧面积公式以及球的表面积公式，可计算出花柱的表面积，然后求出需要的鲜花朵数解：圆柱侧面积为，半球的表面积为，所以总面积为，所以大约需要鲜花10.85×150＝1627.5朵．故选：C．10．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】可以得出0＜log52＜1，log0.50.2＞1，ln（ln2）＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵0＝log51＜log52＜log55＝1，log0.50.2＞log0.50.5＝1，0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，∴c＜a＜b．故选：D．11．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则＝（）A．B．C．4D．【分析】根据条件画出示意图，设|AF|＝x，则|BF|＝3x，利用＝，求出x，进而求出比值．解：过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，），准线：y＝﹣，根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，由图可知：＝，即＝，解得x＝p，则＝＝．故选：A．12．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称；②函数f（x）在上单调递减；③圆C的面积为π．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．解：根据函数的图象与圆C的关系，得到点C为点M和点N的对称点．所以点C的横坐标x＝，即C（），函数的最小正周期为T＝2（）＝1．故①函数f（x）的图象关于点的横坐标为：n•+，当n＝2时，点（，0）成中心对称，故①正确．由于，所以，则，故单调增区间为（），故②错误．由于f（x）＝sin（2πx+φ），当x＝时，f（﹣）＝0，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2）．当x＝0时f（0）＝．所以|CM|＝＝．所以圆C的面积为．故③正确．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线﹣＝l（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线﹣＝l（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x，可得a＝b，则c＝a，所以双曲线的离心率为：e＝＝．故答案为：．14．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是[0，1]．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s＝的值域，进而得到答案．解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s＝的值域，当t∈[﹣1，1）时，s＝e t﹣1∈[e﹣2，1），当t∈[1，3]时，s＝log3t∈[0，1]，故输出s的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．15．已知cos（）＝，则sin2α＝．【分析】先利用二倍角的余弦公式求得cos（2α+）的值，再利用诱导公式求得sin2α的值．解：∵cos（）＝，∴cos（2α+）＝2﹣1＝2×﹣1＝﹣，即﹣sin2α＝﹣，∴sin2α＝，故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线AN与BC所成角的余弦值为；若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是．【分析】连接DN，则异面直线AN与BC所成的角就是∠DAN，求解三角形可得异面直线AN与BC所成角的余弦值；取BB1的中点E，B1C1的中点F，连接EF，A1E，A1F，可得平面A1EF∥平面AMN，得点P在BB1与B1C1中点的连线EF上，设EF中点为H，则A1H最短，A1E或A1F同时最大，再由勾股定理求解得答案．解：连接DN，则异面直线AN与BC所成的角就是∠DAN，由正方体的棱长为2，计算得AN＝＝3，∴，即异面直线AN与BC所成角的余弦值为；取BB1的中点E，B1C1的中点F，连接EF，A1E，A1F，得EF∥MN，A1F∥AM，且A1F∩EF＝F，得平面A1EF∥平面AMN，得点P在BB1与B1C1中点的连线EF上，设EF中点为H，则A1H最短，A1E或A1F同时最大，，，．∴所求范围是．故答案为：；．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}是等比数列，且公比q不等于1，a1＝2，3a3＝2a2+a4，数列{b n}满足．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）先求出数列{a n}的通项公式，再直接利用定义证明数列为等差数列．（Ⅱ）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：（I）由a1＝2，3a3＝2a2+a4可得3•2q2＝2•2q+2q3，解得q＝2或q＝1（舍），即．已知数列{b n}满足，则b n＝log2a n，∴；即数列{b n}为等差数列且首项为b1＝log2a1＝1．（Ⅱ）由（I）可知，b n＝n．设；即数列的前n项和为S n＝c1+c2+c3+…+c n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求三棱锥P﹣CEF的体积．【分析】（I）证明：取PA的中点M，连结DM、EM．推导出四边形DFEM是平行四边形，从而EF∥DM，由此能证明EF∥平面PAD．（Ⅱ）三棱锥P﹣CEF的体积为：．解：（I）证明：取PA的中点M，连结DM、EM．∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，∴ME DF，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF∥DM，∵DM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，∴三棱锥P﹣CEF的体积为：．19．商务部会同海关总署、国家药监局于3月31日发布关于有序开展医疗物资出口的公告．如医疗物资出口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用．为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸：抽取次数12345678医疗物资尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次数910111213141516医疗物资尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，，，，其中x i为抽取的第i个医疗物资的尺寸，i＝1，2，3， (16)（Ⅰ）求（x i，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？附：样本（x i，y i）（i＝1，2，…，n）的相关系数．【分析】（I）由样本数据计算相关系数，即可得出结论；（Ⅱ）根据有关数据，分析即可．解：（I）由样本数据得（x，i）（i＝1，2，3，…，16）的相关系数为；由于|r|＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（Ⅱ）由于，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查．20．已知椭圆C：的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．【分析】（Ⅰ）通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为．求出a，b，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为（x0，y0），利用△＝0，推出直线OP 的斜率为，直线l的斜率为k，然后求解即可．解：（I）已知椭圆中2c＝2，且，又a2＝b2+c2，可得椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意：可设l的方程为y＝kx+m（k存在且k≠0）与椭圆C联立消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由直线l与椭圆C相切，可设切点为（x0，y0），由判别式△＝0可得m2＝1+2k2．解得因此，直线OP的斜率为，直线l的斜率为k，即直线OP与直线l的斜率之积为．21．已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+4，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，证明：当x＞0时，f（x）＞4（1﹣a2）（e a﹣1+1）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为只需证f（x）min＞4（1﹣a2）（e a﹣1+1），即证．设．根据函数的单调性证明即可．解：（I）f'（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a）＝0，x1＝0，x2＝2a当a＝0时，f'（x）≥0，f（x）单调递增．当a＞0时，x∈（﹣∞，0），（2a，+∞））时单调递增，x∈（0，2a）时单调递减．当a＜0时，x∈（﹣∞，2a），（0，+∞）时单调递增，x∈（2a，0）时单调递减．证明：（Ⅱ）∵f（0）＝4，由（I）知f（x）有3个零点，需a＞0且f（2a）＜0即a ＞1．当x＞0时，只需证．即证．设．由知，时单调递减时单调递增．∴，证毕．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8：（Ⅱ）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若实数a，b，c满足a+b+2c＝M，求a2+b2+c2的最小值．【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；（Ⅱ）由绝对值的三角不等式，求得f（x）的最小值M＝6，再结合柯西不等式，即可求解．解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．当x≤﹣时，不等式等价为﹣（2x﹣3）﹣（2x+3）≤8，解得﹣2≤x≤﹣；当﹣＜x＜时，不等式等价为﹣2x+3+2x+3≤8，解得﹣＜x＜；当x≥时，不等式等价为2x﹣3+2x+3≤8，解得≤x≤2；综上，不等式的解集为[﹣2，2]；（Ⅱ）由|2x﹣3|+|2x+3|≥|2x﹣3﹣2x﹣3|＝6，可得f（x）的最小值为M＝6，∵（a2+b2+c2）（12+12+22）≥（a+b+2c）2＝36，当且仅当“2a＝2b＝c”时取等号，∴a2+b2+c2≥6；即a2+b2+c2的最小值为6．。

吉林省长春市2020届高三质量监测(四模)数学(文科)试题(详解)

长春市 2020 届高三质量监测（二）文科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}A x x x …=-，{1,0,1,2,3}B =- ，则A B =IA. {0,1,2}B. {1,3}-C. {1,2}D. {0,1,2,3}2. 若1+(1)i (R),||2z a a z =-∈=，则 a =A. 0或 2B. 0C. 1或 2D. 13. 下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是 A. 2log 2x y = B. 21log ()2x y = C. 21log y x= D. 14y x = 4. 已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是A. 1aB. 3aC. 8aD. 10a5. 若单位向量12,e e 夹角为60︒，122-=a e e ，则||=aA. 4B. 2C. 3D. 16. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲7. 命题:p 存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立；:q 0a ∀>，()ln a x f x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是A. p q ∧B. ()()p q ⌝∨⌝C. ()p q ∧⌝D. ()p q ⌝∧8. 已知函数{|ln |,0()2(2),0x x f x x x x >=-+≤，则函数()3y f x =-的零点个数是A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知α为锐角，且sin()3tan()3sin()3παπαπα+=+-，则角α= A. 12π B. 6π C. 4π D. 3π 10. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C. 22D. 23 11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12(N )n n n a S n n ++=∈，则n S = A. 121n -+ B. 2n n ⋅ C. 31n - D. 123n n -⋅12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F,G 分别为棱11111,,A D DD A B 的中点，给出下列命题： ①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④ EF 和1BB 成角为4π. 正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y ………+⎧⎪-⎨-⎪⎩，则z x y =+的最大值为___________.14.曲线()2sin f x x =在3x π=处的切线与直线10ax y +-=垂直，则a =_________. 15. 在半径为2的圆上有,A B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为______.16. 三棱锥-A BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥-A BCD 体积的最大值为__________；三棱锥-A BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 __________.（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. （本小题满分 12 分）已知在△ABC 的三个内角分别为,,A B C ，2sin sin 2B A A =，1cos 3B =. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2AC =，求AB 长.。

吉林省2020年高考文科数学模拟试题及答案

吉林省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市2020届高三第四次质量监测数学文科试题(PDF版,含答案)

3 AF BF ，O 为坐标原点，则 | AF | | OF |
4
3
A.
B.
C. 4
3
4
5
D.
4
12. 函数 f (x) sin(Z x M ) 的部分图象如图中实线所示，图中的圆 C 与 f (x) 的图象交
于 M , N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是
① 函数 f (x) 的图象关于点 ( 4 , 0) 成中心对称； 3
3
A.
5
7
B.
10
4
C.
5
9
D.
10
7. 已知向量 AB (0,1) ，|AC| 7 ， AB BC 1 ，则△ABC 面积为
1
A.
2
B. 2 2
C. 3 2
D. 7 2
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8. 下列函数既是奇函数又是增函数的是
A. y cos(2x S ) 2
ex ex B. y
长春市 2020 届高三质量监测（四）
文科数学
本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘
贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。
D. {x | x ≤ 1或 0 x ≤1}

吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）含答案解析

吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）（解析版）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合A={﹣4，2，﹣1，5}，B={x|y=}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知复数z满足z=，则|z|=（）A．2 B． C．3 D．53．设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线m，n与平面α，β，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m⊥β，n∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f （）=（）A． B．1 C． D．28．已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．39．函数y=x+lnx2的大致图象为（）A．B．C．D．10．如图，从高为h的气球（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，则该桥的长可表示为（）A． h B． hC． h D． h11．棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点（不含A，B两点），点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a，b，则的最小值为（）A．2 B．C．D．12．M为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）右支上一点，A、F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．6二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知||=||=2，（﹣）=﹣2，则与的夹角为．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则使S n取最小值的n等于．15．已知圆C的圆心在直线2x+y﹣1=0上，且经过原点和点（﹣1，﹣5），则圆C的方程为．16．下列说法中正确的有：．座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数y=a x是增函数，而y=2x是指数函数，所以y=2x是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y与x是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50．其中拟合效果最好的是模型1．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知函数f（x）=cos（x+）+sinx．（1）利用“五点法”列表，并画出f（x）在[﹣，]上的图象；（2）a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边．若a=，f（A）=，求△ABC面积的取值范围．18．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见如表产品编号①②③④⑤电压（x）10 15 20 25 30电流（y）0.6 0.8 1.4 1.2 1.5（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流．现从上述5件产品中随机抽2件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率．（附：回归方程：，b=，a=，参考数据： =2250）19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2，∠DAC=30°，M为PB中点．（1）证明：AM∥平面PCD；（2）若三棱锥M﹣PCD的体积为，求M到平面PCD的距离．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l 交椭圆于A，B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l不垂直于x轴时，点A关于x轴的对称点为A′，证明直线A′B恒过定点，并求此定点坐标．21．已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=3x﹣2相切，求a的值；（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点M，MN垂直BA的延长线于点N．（1）求证：DA是∠CDN的角平分线；（2）求证：BM2=AB2+AM2+2ABAN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．，曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合A={﹣4，2，﹣1，5}，B={x|y=}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出B中x的范围，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由题意可知B={x|x≥﹣2}，因为集合A={﹣4，2，﹣1，5}，所以A∩B={﹣1，2，5}．则集合A∩B中元素的个数为3个故选C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z=，则|z|=（）A．2 B． C．3 D．5【分析】由已知的等式求出复数z，然后直接利用复数模的公式求模．【解答】解：复数z===2+i，则|z|==．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3．设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，即可判断出结论．【解答】解：“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知直线m，n与平面α，β，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m⊥β，n∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定进行逐项分析或证明．【解答】解：对于A，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；对于B，∵n∥β，∴平面β内存在直线b∥n，∵m⊥β，b⊂β，∴m⊥b，又b∥n，∴m⊥n．故B正确．对于C，在直线m上取点P，过P作n的平行线n′，则n′⊥β．假设m∩α=A，n′∩β=B，α∩β=l，过A作AO⊥l于O，连结OB．∵α∩β=l，α⊥β，AO⊥l，AO⊂α，∴AO⊥β，又n′⊥β，∴AO∥n′，同理BO∥m，∴四边形AOBP是平行四边形，又m⊥α，AO⊂α，∴PA⊥AO，∴四边形AOBP是矩形，∴m⊥n′，又n∥n′，∴m⊥n．故C正确．对于D，当m⊂α时，显然结论不成立．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【分析】根据幂势同的定义，结合三视图的和直观图之间的关系进行求解即可．【解答】解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，正方体的条件为2×2×2=8，半圆柱的体积为=π，从而其体积为8﹣π．故选C．【点评】本题主要考查利用三视图求出几何体的体积，根据三视图确定几何体的直观图是解决本题的关键．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f （）=（）A． B．1 C． D．2【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，把点（0，1）代入求得A，可得f （x）的解析式，从而求得则f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得=﹣，∴ω=3．再根据五点法作图可得3+φ=π，求得φ=．再把点（0，1）代入，可得Asin=1，∴A=2，∴f（x）=2sin（3x+）．∴则f（）=2sin（+）=1，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，把点（0，1）代入求得A，求函数的值，属于基础题．8．已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．3【分析】由等比数列的性质可得：a1a5=a2a4=9，a2+a4=10，且{a n}单调递减，解出即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a5=a2a4=9，a2+a4=10，且{a n}单调递减，解得：a2=9，a4=1，可求得（舍掉）．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数y=x+lnx2的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】通过定义域和单调性来，利用排除法判断．【解答】解：由函数有意义可得x2＞0，∴f（x）的定义域为{x|x≠0}，排除A；y′=1+，∴当x＞0或x＜﹣2时，y′＞0，当﹣2＜x＜0时，y′＜0．∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，排除B，D．故选C．【点评】本题考查了函数图象的判断，主要从函数的定义域，单调性来判断，属于中档题．10．如图，从高为h的气球（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，则该桥的长可表示为（）A ． hB ． hC ．h D ．h【分析】先求出AB ，再在△ABC 中，求出BC ．【解答】解：由∠EAB=α，得∠DBA=α，在Rt △ADB 中，∵AD=h ， ∴AB=．又∠EAC=β，∴∠BAC=α﹣β．在△ABC 中，BC==h ．故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．11．棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含A ，B 两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为a ，b ，则的最小值为（） A ．2 B ．C ．D ．【分析】连结CE ，DE ，利用V A ﹣BCD =V E ﹣BCD +V E ﹣ACD 推出，利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：连结CE ，DE ，由正四面体棱长为1，O 为底面三角形BCD 的中心，正四角椎的高为：，由于V A ﹣BCD =V E ﹣BCD +V E ﹣ACD ，有，由可得，所以．故选：D ．【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．12．M 为双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（） A ．﹣1B ．2C ．4D ．6【分析】求出M 的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，即可求出双曲线C 的离心率．【解答】解：由题意，A （﹣a ，0），F （c ，0），M （，），由双曲线的定义可得=∴c 2﹣3ac ﹣4a 2=0， ∴e 2﹣3e ﹣4=0， ∴e=4．故选：C ．【点评】本题考查双曲线C 的离心率，考查双曲线的第二定义，正确运用双曲线的第二定义是关键．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知||=||=2，（﹣）=﹣2，则与的夹角为．【分析】利用向量的数量积，化简求解，代入向量的夹角公式，求解即可．【解答】解：由（﹣）=﹣2，得=﹣2， =2，所以，与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则使S n取最小值的n等于5．【分析】利用等差数列的性质判断数列的项与数列的单调性，然后求解即可．【解答】解：由题意S10=0，S15=25，可知，故数列{a n}是递增数列，所以a5＜0，a6＞0，所以使S n取最小值的n=5．故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的性质的应用，考查计算能力．15．已知圆C的圆心在直线2x+y﹣1=0上，且经过原点和点（﹣1，﹣5），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13．【分析】设圆心C（b，1﹣2b），利用圆的半径相等列出方程，求得b的值，可得圆心坐标和半径，即可得到圆的方程．【解答】解：由题意设圆的圆心C（b，1﹣2b），再根据圆过原点和点（﹣1，﹣5），可得C到原点的距离等于C到点（﹣1，﹣5）的距离，即b2+（1﹣2b）2=（b+1）2+（1﹣2b+5）2，解得b=2．可得圆心C（2，﹣3），半径=，则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，准确利用已知条件列出方程是解题的关键，是基础题．16．下列说法中正确的有：①③④．座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数y=a x是增函数，而y=2x是指数函数，所以y=2x是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y与x是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50．其中拟合效果最好的是模型1．【分析】①根据抽样的定义进行判断，②根据合情推理的定义进行判断，③根据类比推理的定义进行判断，④根据关指数的定义进行判断．【解答】解：由题意可知，①是系统抽样，正确；②推理过程是大前提错误，而不是小前提，错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知函数f（x）=cos（x+）+sinx．（1）利用“五点法”列表，并画出f（x）在[﹣，]上的图象；（2）a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边．若a=，f（A）=，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）化简函数f（x），利用“五点法”列表、画出f（x）在上的图象即可；（2）利用正弦定理，结合三角函数的恒等变换与角的取值范围，即可求出三角形面积S的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cos（x+）+sinx=cosxcos﹣sinxsin+sinx=cosx+sinx=sin（x+），利用“五点法”列表如下，x+0 π2πxy 0 1 0 ﹣1 0画出f（x）在上的图象，如图所示；（6分）（2）在△ABC中，a=，可知A=，由正弦定理可知===2，即b=2sinB，c=2sinC，∴S=bcsinA=bc=sinBsinC=sinBsin（﹣B），则S=sin2B﹣cos2B+=sin（2B﹣）+，其中，∴﹣＜2B﹣＜﹣＜sin（2B﹣）≤1∴0＜sin（2B﹣）+≤因此S的取值范围是．=Asin（ωx+φ）图象的应用问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是综合性题目．18．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见如表产品编号①②③④⑤电压（x）10 15 20 25 30电流（y）0.6 0.8 1.4 1.2 1.5（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流．现从上述5件产品中随机抽2件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率．（附：回归方程：，b=，a=，参考数据： =2250）【分析】（1）把数据代入相应的公式，即可求出回归方程；（2）经计算，产品编号为①③的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽2件共有如下10种情况，其中至少有一件是合格品有9种情况，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）b==0.044，a=1.1﹣0.044×20=0.22，所以回归直线，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培，（2）由R=可得，电阻分为为＜18， =， =＜18，=， =20经计算，产品编号为①③的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽2件共有如下10种情况：①②，①③，①④，①⑤，②③，②④，②⑤，③④，③⑤，④⑤，其中至少有一件是合格品有9种情况，故所求事件的概率为．【点评】本题考查了回归方程和古典概率的问题，关键是会运用公式，属于基础题．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2，∠DAC=30°，M为PB中点．（1）证明：AM∥平面PCD；（2）若三棱锥M﹣PCD的体积为，求M到平面PCD的距离．【分析】（1）取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD∥BC，通过证明NM∥AD，推出AM∥ND，即可证明AM∥平面PCD．，设点M到平面PCD的距离（2）利用三棱锥M﹣PCD的体积为，转化求解V B﹣PCD为h，通过体积，求解M到平面PCD的距离．【解答】（本小题满分12分）解：取PC的中点为N，连结MN，DN（1）∵M是PB的中点，∴∵AD∥BC，且BC=2AD，∴NM∥AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM∥ND，又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD所以AM∥平面PCD（6分）（2）∵M是PB的中点，∴∵所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD又∵，∴PD=2，∴S△PCD=1设点M到平面PCD的距离为h，则，∴，故M到平面PCD的距离为（12分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l 交椭圆于A，B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l不垂直于x轴时，点A关于x轴的对称点为A′，证明直线A′B恒过定点，并求此定点坐标．【分析】（1）判断AB⊥x轴时，|AB|最小，推出，利用ABF2的周长为4a，求解a，b，得到椭圆的方程．（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），A'（x1，﹣y1），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出A'B的斜率，求解直线方程，利用直线系求解直线结果的定点．【解答】解：（1）因为AB是过焦点F1的弦，所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为，由题意可知，再由椭圆定义知，△ABF2的周长为4a，所以，所以椭圆的方程为，（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1），则，化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0所以①，②则，∴A′B的方程为．化简有，将①②代入可得，所以直线A′B恒过定点（﹣4，0）．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=3x﹣2相切，求a的值；（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得a的方程，解得a=2；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，分a＞0，a=0，a＜0，求出单调区间，可得最值，由不等式恒成立的解法，即可得到所求范围．【解答】解：（1）f（x）=x+alnx的导数为f′（x）=1+，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+a=3，解得a=2；（2）f′（x）=1+，x＞0，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且值域为R；当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，（﹣a，+∞）上单调递增．则当a＞0时，f（x）≥a不可能恒成立；当a=0时，f（x）=x≥0，成立；当a＜0时，f（x）在x=﹣a处取得最小值f（﹣a），则只需f（﹣a）≥a，即﹣a+aln（﹣a）≥a，所以ln（﹣a）≤2，解得a≥﹣e2，所以﹣e2≤a＜0．综上所述：a的范围是[﹣e2，0]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点M，MN垂直BA的延长线于点N．（1）求证：DA是∠CDN的角平分线；（2）求证：BM2=AB2+AM2+2ABAN．【分析】（1）由AB是圆O的直径，得∠ADM=90°，又MN垂直BA的延长线于点N，得∠ANM=90°，可得M、N、A、D四点共圆，然后利用等量关系求得∠ADC=∠ADN，可得DA是∠CDN的角分线；（2）由M、N、A、D四点共圆，得ABNB=BMBD，B、C、A、D四点共圆，得MDMB=MAMC，联立可得MDMB+MBBD=MAMC+ABBN，从而得得BM2=MA2+AB2+MAAC+ABAN，再由B、C、M、N四点共圆，得MAAC=ABAN，可得BM2=AB2+AM2+2ABAN．【解答】证明：（1）∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，即∠ADM=90°，又MN垂直BA的延长线于点N，即∠ANM=90°，∴M、N、A、D四点共圆，∴∠MDN=∠NAM，∵∠BAC=∠NAM，∠BAC=∠BDC，∴∠BDC=∠MDN，又∠ADM=∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADN，∴DA是∠CDN的角分线；（2）∵M、N、A、D四点共圆，∴ABNB=BMBD，①∵B、C、A、D四点共圆，∴MDMB=MAMC，②①+②有：MDMB+MBBD=MAMC+ABBN，得BM2=MA（MA+AC）+AB（AB+AN）=MA2+AB2+MAAC+ABAN，∵B、C、M、N四点共圆，∴MAAC=ABAN，∴BM2=AB2+AM2+2ABAN．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查了四点共圆的条件，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．，曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，两边同乘ρ，然后求解直角坐标方程．（2）求出直线参数方程，代入圆的方程，根据直线参数方程t的几何意义，求解|PA|2+|PB|2即可．【解答】（本小题满分10分）解（1）由曲线C的极坐标方程可得，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135°，所以直线l的参数方程为为参数）．将为参数）代入x2+y2=2x+2y，有，设A，B对应参数分别为t1，t2，有，根据直线参数方程t的几何意义有，|PA|2+|PB|2=．（10分）【点评】本题考查圆的极坐标方程以及直线的参数方程的应用，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范围；（2）求出t的最大值为T，化简a2+b2=T，利用基本不等式证明：≤．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|2﹣x|≥|x+1+2﹣x|=3，所以t≤3．证明：由（1）知T=3，所以a2+b2=3（a＞0，b＞0）因为a2+b2≥2ab，所以，又因为，所以（当且仅当a=b时取“=”）．（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的值应用，基本不等式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力，转化思想的应用．。

吉林省长春市2020届高三第四次质量监测数学文科试题(含答案)

3
A.
5
7
B.
10
4
C.
5
9
D.
10
7. 已知向量 AB (0,1) ，|AC| 7 ， AB BC 1 ，则△ABC 面积为
1
A.
2
B. 2 2
C. 3 2
D. 7 2
文科数学试题第 1 页 / 共 4 页
8. 下列函数既是奇函数又是增函数的是
A. y cos(2x S ) 2
ex ex B. y
程为 y x ，则双曲线的离心率为___________.
是
14. 执行如图所示的程序框图，若输入 t [1,3] ，则输出 s 的
取值范围是________________.
s et1
开始
输入 t
t 1?
否
s log3 t
15. 已知 cos(T S ) 1 ，则 sin 2T ______________. 43
3 AF BF ，O 为坐标原点，则 | AF | | OF |
4
3
A.
B.
C. 4
3
4
5
D.
4
12. 函数 f (x) sin(Z x M ) 的部分图象如图中实线所示，图中的圆 C 与 f (x) 的图象交
于 M , N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是
① 函数 f (x) 的图象关于点 ( 4 , 0) 成中心对称； 3
吉林省长春市 2020 届高三质量监测（四）
文科数学
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