334直线的交点坐标与距离公式(小结)
两直线的交点坐标两点间的距离
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计算最小路径长度
在某些优化问题中，两点间距离公式可用于计算两点之间的最小路 径长度。
距离公式的几何意义
垂直距离
01
两点间距离公式所求得的值为两点间的垂直距离，即从一点垂
直向下（或向上）到另一点的长度。
连接两点的线段
02
两点间距离公式所求得的值为连接两点的线段的长度，该线段
通过两点的中点。
空间中两点间的距离
解析几何中的距离问题不仅涉及到平面上的 两点，还涉及到空间中的两点、点到直线的 距离、两平行线间的距离等。这些概念在解 决实际问题时非常重要，例如在测量、工程
、计算机图形学等领域中都有广泛应用。
空间几何中的距离问题
空间几何是研究空间中点、线、面等几何对象性质的学科。在空间几何中，两直线的交点坐标和两点 间的距离是基本问题。通过使用向量的概念和运算规则，可以解决这些问题。空间几何在解决实际问 题时非常有用，例如在航空航天、建筑学、物理学等领域中都有广泛应用。
03
在三维空间中，两点间距离公式同样适用，只是需要增加一个
高度坐标。
03
两直线的交点与两点间的距
离关系
交点到两点的距离相等性
总结词
两直线交点到两端点距离相等
详细描述
当两直线相交于一点时，该交点到两直线端点的距离相等，这是由于两直线在交 点处垂直相交，形成等腰三角形的性质。
交点在两点连线上
总结词
空间几何中的距离问题涉及到空间中的任意两点，需要使用三维坐标系和三维向量来解决。这些概念 在解决实际问题时非常重要，例如在计算两点间的最短路径、确定物体的位置和运动轨迹等方面都有 广泛应用。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
直线 l1,l2解方程 无 唯 组 穷 一多 解 解 ll11,,ll22重 相合 交
无解
l1,l2平行
举例
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y －2=0；l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
无解
l1,l2平行
3.3.2 两点间的距离
1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
P1P2x2x12y2y12
O P x2 y2
作
课本:P104 2；P106. 2
业
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
M1
O
Q
N1
M2 x P1
P 1 P 2x2x12y2y12
练习P106
P1P2x2x12y2y12
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
பைடு நூலகம்
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
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高三数学直线的交点坐标与距离公式
； / 设计师
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熘土豆丝嘛，也是咱娘最拿手的厨艺哇！”耿英瞪了弟弟一眼，说：“你奇怪什么啊？难道说俺们这些年在南边儿吃过这些菜吗？”耿 直忽然明白了，说：“可不是耶！江南没有土豆啊？”尚武说：“听也不曾听说过呢！”耿老爹说：“这土豆其实很好种的，估计江南 也应该能种！你走的时候带一些回去哇，试着种种！”尚武说：“唔，好好好，如果真能种得成，那可就太好啦！”大家一边吃饭，一 边继续聊着。耿正看到小妹妹耿兰一直拘谨地坐在那里默默地吃饭，就站起来探手给她的碗里夹一块儿红烧肉，亲切地说：“兰兰，这 是爹、大哥、二哥和姐姐啊，你怎么不跟俺们说话呢？”看到耿兰红着脸不敢抬头看大哥的样子，耿直摇着头说：“唉，兰兰啊，你忘 记了吗？咱爹带哥哥姐姐和俺走之前，你可是二哥的小尾巴呢！二哥在南边，像想娘一样想你„„”想起来离家一年之后的那个八月十 五夜里耿直哭着睡去的情景，耿老爹、耿正、耿英和耿直都声噎了„„郭氏赶快说：“兰儿，你成天跟娘念叨爹和哥哥姐姐们，这会儿 他们就在你的眼前儿了，你倒是叫啊！爹、大哥、二哥和姐姐想听呢！”耿兰怯怯地低着头小声儿说：“俺很想叫呢，可俺就是„„” 耿英含泪轻轻地推一推妹妹，小声说：“这是咱爹！你快叫啊！”耿兰慢慢地抬起头来，又怯怯地扭过头望着身旁慈祥的爹爹正眼含热 泪，满怀歉意和期待地看着自己„„她嗫嚅着，终于轻轻地叫了一声：“爹！”“哎！”耿老爹高兴地答应着，一串眼泪噗噜噜滚落下 来。他顾不上抬手擦去眼泪，就低头在耿兰的额头上轻轻亲了一下。看到妹妹转回头来看着哥哥耿正迟疑着，耿英又含泪低声儿催促她： “快叫大哥啊！”耿兰又轻轻地叫了一声：“大哥！”“哎！”耿正高兴地答应着，又往小妹妹的碗里夹了一大块烤鸭！急性子耿直等 不及了，说：“小尾巴，俺呢？”“二哥！”“哎！”耿直高兴地跳起来，满桌子寻找着说：“二哥看看俺的小尾巴最爱吃什么？”耿 英擦一把眼泪，笑着说：“行了哇小直子，你小尾巴的碗里好吃的多着呢，你就免了哇！”耿直也笑了，把胳膊搭在尚武的肩膀上，歪 着头说：“那二哥就送你一个更大的礼物，叫三哥！”“三哥！”“哎”尚武答应着，赶快站起身来给耿兰施礼！耿英忍不住笑出声 来，说：“俺说三弟啊，你在咱家门口已经给妹妹施过礼了，哪来的那么多礼节啊！快坐下吃饭哇！”尚武笑着坐下了。“姐 姐！”“哎！”耿英大声答应着抱住妹妹，在她的脸颊上“吧”地亲了一大口！郭氏擦去满脸的泪水，高兴地说：“好啦，俺们的兰儿 好不容易叫出口了！”说罢了，又转身招呼旁边桌上都停止了吃饭的董、耿两家人，高兴地说：“大家伙儿都快吃，这顿俺们等了快十 年的‘团圆面’，咱们可一定要吃
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的交点坐标与距离公式(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有A1a＋B1b＋C1＝0，A2a＋B2b＋C2＝0.2．两直线的位置关系方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行考点二：两点间的距离公式（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．直线460x y -+=和8180x y +-=与两坐标轴围成的四边形的面积为（）A ．2716B ．154C ．3316D ．3382．三条直线2x =，10x y --=，0x ky +=相交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．2D ．123．直线l 经过直线240x y -+=和直线20x y +-=的交点，且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为（）A ．320x y -+=B ．320x y ++=C ．320x y -+=D ．320x y ++=题型二：由直线交点个数求参数4．已知直线1:10mx y l m -+-=与射线2:20(0)l x y x --=≥恒有公共点，则m 的取值范围是（）A ．(,1](1,)-∞-⋃+∞B ．(,1][1,)-∞-+∞C ．[1,1)-D ．[1,1]-5．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭6．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是()A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭题型三：两点间的距离公式应用7．直线0l ：440x y --=与1l ：220x y --=及2l ：43120x y +-=所得两交点间的距离为（）A ．3172B ．3172C ．91714D ．3178．已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．已知点(),1M m -，()5,N m ，且25MN =，则实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3题型四：点到直线的距离问题10．已知点()1,1P ，直线:1l y kx =+，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．11[0,)(,1)22⋃11．已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（）A ．52B ．102C ．8D ．21012．已知点()1,2P ，则当点P 到直线240ax y +-=的距离最大时，a =（）A ．1B ．14-C ．14D ．5题型五：点、直线的对称问题13．点()1,2关于直线20x y +-=的对称点是（）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()2,114．已知点()4,2M 与()2,4N 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．60x y ++=B ．60x y +-=C ．0x y +=D ．0x y -=15．已知()20A ，，()60B ，，()04C ，，一条光线从点A 发出，经直线BC 反射后，恰好过原点O ，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．83B ．125C ．269D ．3611题型六：两条平行直线间的距离16．已知直线1l ：()()()324220x y λλλ++++-+=（R λ∈），2l ：20x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为（）A ．22B ．2C ．2D ．2217．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（）A ．52B ．54C ．102D ．10418．已知直线l 与直线1303l x y -+=：和2103l x y --=：的距离相等，则l 的方程是（）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．330x y --=D ．310x y -+=【双基达标】一、单选题19．已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A ．24B ．20C ．4D ．020．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭21．已知平面上两点(,2)A x x -，2(2B ，0)，则||AB 的最小值为（）A ．3B ．13C ．2D ．1222．已知m ，n 满足1m n +=，则点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．2223．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=24．已知()()0120A B ABC ，，，，的面积为5，则点C 的轨迹方程为（）A ．2120x y ++=或280x y ++=B ．2120x y +-=或280x y +-=C ．2120x y ++=或280x y +-=D ．2120x y +-=或280x y ++=25．若两条平行直线1:20(0)l x y m m -+=>与2:30l x ny +-=之间的距离是5，则m n +=（）A ．0B ．1C ．2-D ．1-26．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（）A ．23B ．25C ．2D ．427．过定点A 的直线0()x my m R -=∈与过定点B 的直线30()mx y m m R +-+=∈交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（）A ．10B ．10C ．25D ．2028．已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m，，若点()22，到直线l 的最大距离为2，则112A C+的最小值为（）A ．14B ．34C ．4D ．92【高分突破】一：单选题29．已知ABC 的顶点为A （2，1），B (-2，3)，C (0，-1)，则AC 边上的中线长为（）A ．3B ．32C ．4D ．4230．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（）A ．2130x y -+=B ．6220x y -+=C ．3150x y -+=D ．6270x y -+=31．已知直线1l 与2:230l x y --=平行，且1l 与2l 间的距离为5，则直线1l 的方程为（）A ．230x y +-=或290x y +-=B ．260x y --=或2120x y --=C ．220x y -+=或280x y --=D ．3.250x y -+=或3270x y --=32．已知直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则a 的值为（）A ．13-B ．13C ．3D ．3-33．已知点()1,2A ，()2,3B -，直线:l y x =，在直线l 上找一点P 使得PA PB +最小，则这个最小值为（）A ．34B ．25C ．10D ．234．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点(4,0),(0,4),(2,0)A B C -，则该三角形的欧拉线方程是（）A ．20x y +-=B ．210x y -+=C ．20x y -+=D ．220x y -+=35．已知直线1:240l kx y k +--=恒过点M ，直线2:1l y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为(4,6)，当||||PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为（）A ．27,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1712,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．127,55⎛⎫ ⎪⎝⎭36．若动点,A B 分别在直线1:60l x y +-=和2:20l x y +-=上，则AB 的中点M 到坐标原点的距离的最小值为（）A ．2B ．22C ．32D ．42二、多选题37．下列说法正确的是（）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x xy y x x--=--D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+=38．已知(4,3)A -，(2,1)B -和直线l ：4320x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为（）A ．21(,)33-B ．(1,4)-C ．6(1,)5D ．278(,)77-39．已知直线1:2310l x y +-=和2:4690l x y +-=，若直线l 到直线1l 的距离与到直线2l 的距离之比为1:2，则直线的方程为（）A ．2380x y +-=B ．4650x y ++=C ．69100x y +-=D ．1218130x y +-=40．（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（）A ．23180x y +-=B ．220x y --=C ．220x y ++=D ．2360x y -+=41．已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（）A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是2342．下列结论错误的是（）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30°B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是52D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5三、填空题43．已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为______．44．设10x y -+=，求222261034430229d x y x y x y x y =++-+++--+的最小值是___________.45．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________.46．已知()1,12A ，()3,4B ，过点()1,0-C 且斜率为k 的直线1l 与线段AB 相交，点()0,1D 到直线2:340l x y k ++=的距离为d ，则实数d 的取值范围是________________________.47．直线l 经过点()1,23P ，且分别与直线1:310l x y -+=和2:330l x y --=相交于A ，B 两点，若AB 4=，则直线l 的方程为________．四、解答题48．已知直线l 经过点()2,3P --．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．49．已知ABC 的三个顶点分别为()20A -，，()20B ，，()02C ，．（1）若过()12P ，的直线y ax b =+将ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从()10E ，点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．50．已知两定点()3,8A --，()10,4B 及两平行直线1:34100l x y ++=，2:34150l x y +-=，（1）求点()3,8A --关于点()10,4B 的对称点1A 的坐标；（2）求点()3,8A --关于直线1:34100l x y ++=的对称点2A 的坐标；（3）若点P ，Q 分别在直线1l ，2l 上，且1PQ l ⊥，求折线段APQB 的长度最短时直线PQ 的一般式方程．第11页共32页51．已知()3,4P 为正方形ABCD 的中心(A ，B ，C ，D 逆时针排列)，AB 边所在直线方程为380x y +-=．（1）求对角线AC ，BD 所在直线的方程；（2）已知()6,4Q 是一个定点，(),0M t 是x 轴上一个动点，过点M 作直线MN ，满足MN 与MQ 斜率之和为零，且直线MN 与正方形ABCD 有公共点．①求出直线MN 分别过正方形各顶点时，M 点的坐标；②写出实数t 的最大值与最小值(不需要过程，直接写出答案即可)．2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的交点坐标与距离公式【答案详解】1．B 【详解】直线8180x y +-=与x 轴的交点为904M ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线460x y -+=与y 轴的交点为302N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则229331300424MN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．如图所示：则由两点式可得直线MN 的方程为323924y x -=-，即4690x y +-=，由4608180x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得22x y =⎧⎨=⎩，此为两直线的交点()22P ，，根据点到直线的距离公式可得P 点到直线MN 的距离为2242629111113265246d ⨯+⨯-===+，故OMN PMN OMPN S S S =+ 四边形193131311131524224264=⨯⨯+⨯⨯=．故选：B 2．A解：设三条直线交于一点P ，则直线2x =，10x y --=，交于点P ，联立210x x y =⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)P ，∴直线0x ky +=过点P ，即20k +=，2k ∴=-故选:A ．3．A 【详解】联立24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得(0,2)P ，直线l 与直线350x y ++=垂直，则直线直线l 的斜率为3l k =，所以直线l 的方程为()230y x -=-，整理可得320x y -+=.故选：A.4．C 【详解】联立1020mx y m x y -+-=⎧⎨--=⎩，得11m x m --=-，∵直线1:10mx y l m -+-=与射线2:20(0)l x y x --=≥恒有公共点，∴101m x m --=≥-，解得11m -≤<.∴m 的取值范围是[)1,1-.5．C 【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意.当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C6．C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-,令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C -根据题意,作出如下图像:(0,2)C -,()2,3A -∴根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==-- (0,2)C -,()3,2B ∴根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==-直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点则5423a -<<故选:C.7．C 【详解】由440220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得6747x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即直线0l 与1l 的交点坐标64,77A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由44043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线0l 与2l 的交点坐标3,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22634917||272714AB ⎛⎫⎛⎫=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 8．B 【详解】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =- ，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.9．C 【详解】因为22||(5)(1)MN m m =-+--22826m m =-+，所以2282625m m -+=，即2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C 10．C 【详解】点()1,1P 到直线:10l kx y -+=的距离2||1k d k =+，当0k =时，0d =，当0k ≠时，2111d k =+，恒有2111k +>，于是得01d <<，综合得01d ≤<，所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[0,1).故选：C 11．C 【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=.由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=---，即()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D 到直线,AB AC 的距离相等，所以()()()()()()()()22228118113131263633333126a a a a a a a a a a -⨯--⨯+--⨯--⨯--=-+--+-，22161622233281021640a a a a a a -⋅-=-+-+，由于83a ≠，所以上式可化为222281021640a a a a ⋅-+=-+，两边平方并化简得2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC 的距离为22521162615-=+，而()()22613426BC =-+-=，所以116268226ABCS ∆=⨯⨯=.故选：C12．B 【详解】因为直线恒过定点4)0,A（，则当PA 与直线垂直时﹐点P 到直线的距离达到最大值，此时过P A 、的直线的斜率为2,-所以直线240ax y +-=的斜率为12，即122a -=，所以14a =-.故选：B ．13．B 【详解】解：设点()1,2A 关于直线20x y +-=的对称点是(),B a b ，则有211122022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0a =，1b =，故点()1,2关于直线20x y +-=的对称点是()0,1.故选：B.14．D 【详解】()4,2M ,()2,4N∴MN 的中点为(3,3)，42124MN k -==--， ()4,2M 与()2,4N 关于直线l 对称，∴l 过点(3,3)，且斜率为1，∴直线l 的方程为33y x -=-，即0x y -=，故选：D15．D 【详解】()60B ，，()04，C ，∴直线BC 的方程是164x y+=，即23120x y +-=， 光线经直线BC 反射后，恰好经过原点O ，∴原点O 关于直线BC 的对称点在入射光线上，设原点O 关于直线BC 的对称点是()00x y ，，则0000322312022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得04813x =，07213y =，入射光线经过点()20A ，，∴入射光线所在的直线的斜率为7236134811213k ==-，故选：D 16．B 【详解】由12//l l 得32422112λλλ++-+=≠-，解得1λ=，所以直线1l ：550x y +=，即0x y +=，所以1l 与2l 间的距离为222d -==，故选B ．17．D【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离14104364d +==+．故选：D 18．D设所求直线l 方程为：30x y c -+=，因为直线l 与1:330l x y -+=；2:310l x y --=距离相等，所以311010c c ---=，解得1c =，所以所求直线方程为：310x y -+=，故选：D.19．D 【详解】由两直线垂直得24(5)0m ⋅+⨯-=，解得10m =，所以原直线一可写为10420x y +-=，又因为垂足为()1,p 同时满足两直线方程，所以代入得1014202150p p n ⨯+-=⎧⎨⨯-+=⎩，解得212p n =-⎧⎨=-⎩，所以-10-1220m n p +=+=，故选:D 20．D联立方程组330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得3333,11k x y k k +-==++，因为两直线的交点位于第二象限，可得3301k +<+且3301k k ->+，解得1k <-，设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<，即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.故选：D.21．D 【详解】根据题意，平面上两点(,2)A x x -，2(2B ，0)，则222223211||()(2)2()2444AB x x x =-+-=-+，则有1||2AB ，则||AB 的最小值为12，故选：D.22．C 【详解】将1n m =-代入直线方程，得(2)20x m y --+=，所以直线20mx y n -+=必过定点(2,2)，故点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为22(21)(21)2-+-=.故选:C 23．C 【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1，故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=.故选：C.24．D 【详解】()()0120A B ，，，，则22215AB =+=，设C 到AB 边所在直线的距离为d ，由ABC 的面积为5，得1552d ⨯⨯=，即25d =；∴顶点C 的轨迹是与AB 所在直线平行且与直线AB 距离为25的两条直线；直线AB 的方程为121x y+=即220x y +-=，设点C 所在直线方程为20x y c ++=，2255c +∴=，解得12c =-或8c =，∴点C 的轨迹方程为2120x y +-=或280x y ++=；故选：D 25．A 【详解】由题意两直线平行，则112n=-，2n =-，又355m d +==，而0m >，所以2m =．所以0m n +=．故选：A ．26．B 【详解】设直线210x y ++=与直线2340x y c -+=的交点为A ，则2210340x y x y c ++=⎧⎨-+=⎩，解得2225310c x c y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故2223,510c c A +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理设直线210x y ++=与直线1340x y c -+=的交点为B ，则1123,510c c B +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线230x y ++=与直线1340x y c -+=的交点为C ，则1169,510c c C +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线230x y ++=与直线2340x y c -+=的交点为D ，则2269,510c c D +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，由菱形的性质可知BD AC ⊥,且,BD AC 的斜率均存在，所以1BD AC k k ⋅=-，则22222112393910101010126265555c c c c c c c c ------⋅=-++++-+--+-，即()()221221361416c c c c --=-⎡⎤--⎣⎦，解得1225c c -=故选：B.27．B 【详解】解：动直线0x my -=过定点()0,0A ，动直线30mx y m +-+=化为()130m x y -++=，令1030x y -=⎧⎨+=⎩，解得1x =，3y =-，故定点()1,3B -.当0m =时，直线方程为0x =，30y +=，此时两直线垂直；当0m ≠时，由两直线的斜率之积为()1211k k m m=⨯-=-可知两直线垂直，∴PA PB ⊥，222||||10PA PB AB ∴+==，故答案选：B.28．C 【详解】由题可知()22222m =-+，所以2m =，所以21A C +=．()11112·224222C A A C A C A C A C⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2C A =，即14A =，12C =时，取等号．故选：C ．29．B 【详解】设AC 的中点为D ，因为A （2，1），C (0，-1)，所以()1,0D ,所以AC 边上的中线长()()22213032BD =--+-=.故选：B 30．D解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '，所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=.故选：D.31．C 【详解】解：设1:20l x y c -+=，1l 与2l 间的距离为5．|3||3|5145c cd ++∴===+，即|3|5c +=，得35c +=或35c +=-，即2c =或8c =-，即线1l 的方程为220x y -+=或280x y --=，故选：C ．32．B 【详解】解：直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则231l l k k ⨯=-，即23l k =，∵直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，∵由3010ax y x y -+=⎧⎨+-=⎩得2131x a a y a ⎧=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩得交点坐标43,11a a a -⎛⎫- ⎪++⎝⎭，在直线1l 上取点()0,3，设该点关于l 对称的点为()P m n ,，则()31022311m n n m+⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪⎩，得2,1m n =-=，故23113221l aa k a +-+==-++，解得13a =，故选：B.33．B 【详解】解：设A 关于直线y x =的对称点的坐标为,A a b '（），则212112122b a a b b a -⎧=-⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=++⎩⎪=⎪⎩，∴PA PB +最小22(22)(31)25BA '=--+-=．故选：B34．C 【详解】解：因为ABC 的顶点(4,0),(0,4),(2,0)A B C -，所以三角形的重心坐标为24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，AC 的中垂线方程为1x =-，1AB k =，AB 的中点坐标为()2,2-，所以AB 的中垂线方程为()212y x -=-+，即y x =-，所以三角形的外心为直线1x =-与y x =-的交点()1,1-，所以三角形的欧拉线方程为()()41311213y x --=+---，整理得20x y -+=故选：C 35．B 【详解】直线1l ：240kx y k +--=，即()1240k x y -+-=，令10x -=，求得1x =，2y =，可得该直线恒过点()1,2M .直线2l ：1y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为()4,6，故M 、N 都在直线2l ：1y x =-的上方．点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为()'3,0M ，则'M N 直线方程为036043y x --=--，即618y x =-.把'M N 直线方程和直线2l ：1y x =-联立方程组，求得175125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为1712,55⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B36．B 【详解】根据题意，可得M 的集合为与直线1l 和2l 距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为:0l x y m ++=，由|6||2|22m m ++=，可得|6||2|m m +=+，解得4m =-，可得:40l x y +-=，所以M 到原点的距离的最小值为|4|222=.故选：B.37．AB 【详解】解：对于A ，当0x =时，2y =-，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确，对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x y a a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误，故选：AB 38．BD 【详解】设点P 的坐标为(,)a b ，线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-，31142AB k -+==--，∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=，∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=，又点(,)P a b 到直线l ：4320x y +-=的距离为2，∴22432243a b +-=+，即43210a b +-=±，联立可得1a =-、4b =-或277a =、87b =-，∴所求点P 的坐标为(1,4)-或278(,)77-，故选：BD.39．BD 【详解】设直线:460l x y m ++=，2m ≠-且9m ¹-，直线l 到直线1l 和2l 的距离分别为12,d d ，由题知：121636m d +=+，291636m d +=+，因为1212d d =，所以22916361636m m ++=++，即229m m +=+，解得5m =或133m =-，即直线l 为4650x y ++=或1218130x y +-=。
直线的交点坐标与距离公式知识点总结
直线的交点坐标与距离公式知识点总结直线是数学中重要的几何概念之一，我们经常会遇到需要求两直线交点坐标或者计算直线间距离的问题。
为了解决这类问题，学习直线的交点坐标与距离公式是非常必要的。
本文将对这些知识点进行总结。
直线方程的表示形式在讨论直线的交点坐标与距离公式之前，我们首先需要了解直线可以用哪些形式表示。
1. 斜截式一条直线可以通过截距和斜率来表示。
斜截式一般形式为：y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 一般式一条直线也可以用一般式表示，一般形式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C是实数。
3. 点斜式直线还可以用点和斜率来表示。
点斜式的一般形式为：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点，k是斜率。
直线交点坐标的计算当我们需要求两条直线的交点坐标时，可以利用直线的方程进行计算。
假设有两条直线L1和L2，它们分别由以下方程表示：L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2交点的坐标可以通过以下步骤计算：1.将两条直线的方程联立，得到方程组。
m1x+c1=m2x+c22.将方程组中的未知数消去，求解出x的值。
3.将求得的x值代入任意一条直线方程中，求解出y的值。
4.得到交点的坐标(x,y)。
直线间距离的计算当我们需要求两条直线之间的距离时，可以使用以下公式计算。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1:Ax+By+C1=0L2:Ax+By+C2=0直线L1和L2之间的距离可以通过以下公式计算：$d = \\frac{|C_2 - C_1|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$这个公式的推导过程比较复杂，在此不做详细说明。
只需记住这个公式，我们就可以计算两直线间的距离了。
举例说明为了更好地理解直线的交点坐标与距离公式，让我们通过一个具体的例子来说明。
假设有两条直线L1:y=2x+1和 $L_2: y = -\\frac{1}{2}x + 3$，我们想要求它们的交点坐标和距离。
直线的交点坐标与距离公式(2)
复习引入
直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 形式 y—y1=k(x—x1) y=kx＋b y—y1 x—x1 = y2—y1 x2—x1 x y ＋ =1 a b Ax+By+C=0 限制条件 不含垂直于 x 轴的 直线 不含垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于坐标 轴 不包括垂直于坐标 轴和过原点的直线 无限制
【例 3】 求经过点(2,3), 且经过两条直线 l1: x-3y-4=0, l2: 5x+2y+6=0 交点的直线方程.
A1x+B1y+C1=0 方程组 的解 A2x+B2y+C2=0
一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
两条直线 l1 , l2 的公共点 直线 l1 , l2 的位置关系
例题选讲
【例 1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标. (1) l1: x-y=0, (2) l1: 3x-y+4=0, (3) l1: 3x+4y-5=0, l2: 3x+3y-10=0. l2: 6x-2y-1=0 l2: 6x+8y-10=0.
例题选讲
【例 3】 求经过点(2,3), 且经过两条直线 l1: x-3y-4=0, l2: 5x+2y+6=0 交点的直线方程.
探究 2
当 λ 变化时, 方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示什么图 形？图形有何特点？
拓展：过两条直线 l1: A1x+B1y+C1=0 和 l2: A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,或 A2x+B2y+C2=0, 其中 λ∈R.
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式一、目标认知1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.二、知识要点梳理知识点一：直线的交点：求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为.要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为.要点诠释：此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离.知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数要保持一致.三、规律方法指导应用解析思想解决问题的基本步骤：第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.第二步：进行有关的代数运算.通过各点的坐标、各图形方程之间的各种运算，求得所需结果的代数形式.通过运算可求得各个点、直线间的距离、角度、直线的斜率、截距、直线方程及两直线的交点等.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.通过计算结果说明某几何结论成立.四：经典例题透析类型一：求交点坐标判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.类型二：求两点间的距离在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程类型三：求点到直线的距离求点P(3，-2)到下列直线的距离：类型四：求两平行直线间的距离求两条平行线间的距离.思路点拨：求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.解析：方法一：若在直线上任取一点A(2，1)，则点A到直线的距离就是所求的平行线间的距离，所以.方法二：设原点到直线的距离分别为，则即为所求.所以.方法三：利用公式.。
3.3直线的交点坐标与距离公式
∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
当λ变化时，方程 变化时，
3x+4y−2+λ(2x+y+2) =0
表示什么图形？图形有何特点？ 表示什么图形？图形有何特点？
当 变 时方 λ 化 , 程 3 +4y−2+λ 2x+y+2 =0 x ( ) 表 什 图 ? 形 何 点 示 么 形图 有 特 ?
练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的
坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0; 解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2） （２）方程组无解，两直线无交点。 l1‖l2 l1与l2重合 （３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交点。
例题分析
例2 :已知点A(−1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA |=| PB |, 并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有 设所求点为 ，
|PA |= (x + 1)2 +(0 − 2)2 = x 2 + 2x + 5 |PB |= (x − 2)2 +(0 − 7 )2 = x 2 − 4x + 11
解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0 得 x= －2 y=2
-2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式知识要点梳理知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.①若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；②若有，则方程组无解，此时两直线平行；③若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标。
要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数。
知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为。
要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为。
要点诠释：①此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离。
②点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离。
知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为。
要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数要保持一致。
经典例题透析类型一：求交点坐标判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.。
类型二：求两点间的距离在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程。
类型三：求点到直线的距离求点P(3，-2)到下列直线的距离：类型四：求两平行直线间的距离求两条平行线间的距离。
思路点拨： 求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.题组一 两条直线的交点问题1．若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋l 2y x k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2 2．若y ＝a |x |的图象与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A ．0<a ．a ＝1题组二 有关直线的对称问题3．直线l ：4x ＋3y －2＝0 )A ．4x ＋3y －4＝0B ．4x ＋3y －12＝0C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝04．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．题组三 有关距离问题5．已知点A (－3，－4)，B (6,3)则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D ．79或136．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2题组四 综 合 问 题7．若k ，－1，b ( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)8．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 39．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．10．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1<C 2<C 3<…<C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．直线的交点坐标与距离公式练习一、选择题1．两条平行线l 1：3x ＋4y ＋c 1＝0，l 2：6x ＋8y ＋c 2＝0之间的距离是 ( )A ．d ＝|c 1－c 2|5B ．d ＝|2c 1－c 2|10C ．d ＝|2c 1－c 2|5D ．以上皆非 2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为 ( )A.13B.43C.23D.534．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于 ( ) A.m 2＋n 2 B.m 2－n 2 C.－m 2＋n 2 D.m 2±n 25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)二、填空题6．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为______． 7．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________．8．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．三、解答题9．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．10．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．.直线的交点坐标与距离公式练习答案1、解析：l 2：3x ＋4y ＋c 22＝0，∴d ＝|c 1－c 22|5. 答案：B 2、解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1， 因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，所以交点在第二象限． 答案：B3、解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，a ＝23. 答案：C4、解析：因为直线x m ＋y n＝1可化为nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式，得 d ＝|(m －n )n ＋(－m )m －mn |m 2＋n2. 答案：A5、解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B6、解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113， 解得c ＝2或－6，所以c ＋2a ＝±1.7、解析：数形结合所求点即为过P 点垂直于已知直线的交点，可得P ′(5，－3)．答案：(5，－3)8、解析：设所求直线l ：x －y ＋m ＝0，由|m ＋2|2＝22，∴m ＝2或－6.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09、解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k2，解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10、解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k 1＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1. ①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0. ②由①②得43953435x y x x y y -+-⎧'=⎪⎪⎨++⎪'=⎪⎩③ ④ (1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 11、解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x +y -5)+λ(x -2y )=0，即(2+λ)x +(1-2λ)y -5=0， 221055(2)(1)λλλ+-++-=3.即2λ2-5λ+2=0，∴λ=2或12. ∴l 方程为x =2或4x-3y -5=0.(2)由250,20,x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max =|PA 10。
3.3直线的交点坐标与距离公式(使用)
l1与l2平行 l1与l2相交
例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标
l1 : x y 0 (1) l 2 : 3x 3 y 10 0 l1 : 3x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0
l1 : 3x 4 y 5 0 (3) l2 : 6 x 8 y 10 0
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q P(x0,y0)
O
S
L:Ax+By+C=0
x
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
练习2
d
| Ax0 By 0 C | A B
3.3.1 两条直线的交点坐标
复习
名 称 条 件 方程 适用范围
点斜式 点P(x0,y0)和斜率k
斜率k, 斜截式 y轴上的纵截距b
y y0 k ( x x0 )
y kx b
有斜率的 直线 有斜率的 直线
y y1 x x1 不垂直于x、 两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) y2 y1 x2 x1 y轴的直线
2 2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
例题分析
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 的 ABC 面 积 y
A
h C O
B
x
两条平行直线间的距离：
直线的交点及距离公式
直线的交点坐标与距离公式小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m ，然后又向西走了8 m ，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，用向量的方式来解决．1．两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0． 当方程组__有唯一__解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组__无__解时，l 1与l 2平行； 当方程组__有无数组__解时，l 1与l 2重合． 2．两点间的距离公式两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝． 3．坐标法(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立__坐标系__，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．预习自测1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( B ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3.故选B ．2．已知M (2,1)、N (－1,5)，则|MN |＝__5__. [解析] |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．3．求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－35y ＝－75．∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －(－75)＝－3[x －(－35)]．即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．4．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( B )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2∴k l ＝2.∴l 的方程为y ＋2＝2(x ＋1)，即2x －y ＝0． 解法2：设l ：2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0． ∵l 过原点∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l 方程为2x －y ＝0．命题方向1 ⇨两直线的交点问题典例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0．[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0 ①2x ＋2y ＋3＝0 ②，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0 ①2x －2y ＋2＝0 ②，①×2得2x －2y ＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．『规律方法』 两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 〔跟踪练习1〕(1)已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点坐标为( C ) A ．(－1，13)B ．(1，13)C ．(13，1)D ．(－1，－13)(2)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( C ) A ．6 B ．－24 C ．±6D ．以上都不对[解析] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝03x ＋5y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝1，故交点为(13，1)．(2)分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m3由题意得－12m ＝－m 3解得m ＝±6.命题方向2 ⇨平面上两点间的距离典例2 已知A (a,3)和B (3,3a ＋3)的距离为5，求a 的值. [思路分析] 利用两点间距离公式列方程解得a 的值． [解析] ∵|AB |＝(a －3)2＋(3－3a －3)2＝5 即5a 2－3a －8＝0，∴a ＝－1或a ＝85．『规律方法』 两点间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．〔跟踪练习2〕已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为__(－5,0)或(11,0)__．[解析]设点P的坐标为(x,0)，由|P A|＝10得(x－3)2＋(0－6)2＝10解得x＝11或x＝－5．∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．典例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0).(1)判定△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[解析](1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝(－1－1)2＋[3－(－1)]2＝20＝2 5|AC|＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝ 5|BC|＝[3－(－1)]2＋(0－3)2＝25＝5∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵k AB＝3－(－1)－1－1＝－2，k AC＝0－(－1)3－1＝12∴k AB·k AC＝－1∴AB⊥AC∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5．『规律方法』三角形形状的判定方法：(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．〔跟踪练习3〕已知点A (1,2)、B (3,4)、C (5,0)则△ABC 的形状为( C ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] ∵|AB |＝(4－2)2＋(3－1)2＝2 2 |AC |＝(0－2)2＋(5－1)2＝2 5 |BC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5 ∴|AC |＝|BC |．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．典例4 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0共有三个不同的交点，则a 的取值范围为( D )A ．a ≠±1B ．a ≠1且a ≠－2C ．a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[错解] 选A 或选B[错因分析] 在解题过程中，若由①处得a ≠1且a ≠－2，错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．由②处得a ≠±1，错选A ，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．[解析] 因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2.①(2)若l 1∥l 2，由a ×a －1×1＝0，解a ＝±1，② 当a ＝1时，l 1与l 2重合．(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，解得a ＝1 当a ＝1，l 2与l 3重合．(4)若l 1∥l 3，则a ×1－1×1＝0得a ＝1 当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2； 当a ＝－2时，三条直线交于一点所以要使三条直线共有三个交点，需a ≠±1且a ≠－2．[正解] D 〔跟踪练习4〕若三条直线l 1：4x ＋y ＋4＝0，l 2：mx ＋y ＋1＝0，l 3：x －y ＋1＝0不能围成三角形，求m 的值．[错解] 当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l 1与l 3不平行．当l 1∥l 2时，m ＝4；当l 2∥l 3时，m ＝－1．[错因分析] 错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标，同时满足第三条直线即可．[正解] 显然l 1与l 3不平行，当l 1∥l 2或l 2∥l 3时，不能构成三角形，此时对应m 的值分别为m ＝4，m ＝－1；当直线l 1，l 2，l 3经过同一个点时，也不能构成三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，4x ＋y ＋4＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，代入l 2的方程，得－m ＋1＝0，∴m ＝1． 综上可得m ＝4或－1或1．[警示] 解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况．直经方程的设法技巧与直线系方程直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．(1)已知l ：y ＝kx ＋b ，与l 平行的直线方程设为y ＝kx ＋b 1；与l 垂直的直线方程设为y ＝－1kx ＋b 1(k ≠0)．(2)已知l ：Ax ＋By ＋c ＝0，与l 平行的直线方程设为Ax ＋By ＋C 1＝0，与l 垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋C 2＝0．(3)过定点P (x 0，y 0)的直线方程(斜率存在时)可设为y －y 0＝k (x －x 0)． (4)与x 轴交于点(x 0,0)的直线方程可设为x ＝my ＋x 0．(5)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2相交于点P ，则过点P 的直线方程设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2)．(6)斜率为k 的直线方程设为y ＝kx ＋b ．典例5 已知直线l 1：x －2y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －8＝0.求经过l 1，l 2的交点且与已知直线3x ＋4y －2＝0平行的直线l 的方程.[思路分析] 可先求l 1与l 2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．[解析] 解法一：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝02x ＋3y －8＝0，得x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2的交点为(1,2)∵直线l 过点(1,2)且与直线3x ＋4y －2＝0平行 ∴设方程为3x ＋4y ＋c ＝0，把(1,2)代入得：c ＝－11 ∴所求方程为：3x ＋4y －11＝0．解法二：∵l 过l 1与l 2的交点，∴设l 的方程为x －2y ＋3＋λ(2x ＋3y －8)＝0 即(2λ＋1)x ＋(3λ－2)y ＋(3－8λ)＝0 ∵l 与直线3x ＋4y －2＝0平行 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋13λ－2＝－348λ－33λ－2≠12，∴λ＝10∴l 的方程为x －2y ＋3＋10(2x ＋3y －8)＝0，即3x ＋4y －11＝0． 〔跟踪练习5〕求过两直线3x ＋4y －2＝0与2x ＋y ＋2＝0的交点且垂直于直线6x －7y －3＝0的直线方程．[解析] 解法一：设过两直线交点的直线方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0． 整理为一般式，得(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y －2＋2λ＝0，其斜率为－3＋2λ4＋λ.而直线6x －7y －3＝0的斜率为67，由垂直条件可得67×(－3＋2λ4＋λ)＝－1，解得λ＝2．故所求直线方程为(3＋2×2)x ＋(4＋2)y －2＋2×2＝0，即7x ＋6y ＋2＝0．解法二：将两直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－2,2)．由于所求直线与直线6x －7y －3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x ＋6y ＋m ＝0.而此直线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m ＝0，所以m ＝2．故所求的直线方程为7x ＋6y ＋2＝0．1．直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0相交，则交点是( B ) A ．(2，－2) B ．(－2,2) C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．2．已知点A (2k ，－1)、B (k,1)，且|AB |＝13，则实数k 等于( A ) A ．±3B ．3C ．－3D ．0[解析] 由题意得(2k －k )2＋(－1－1)2＝13 解得k ＝±3．3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－4，－4)、B (2,2)、C (4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( A )A ．26B ．65C ．29D ．13[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)． ∴|CD |＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26 故选A ．4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0过定点__(－1，－2)__.[解析] 把直线方程整理为2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，所以，不论λ取何值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0过定点(－1，－2)．A 级 基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为( C ) A ．2 B ．1 C ．5D ．5[解析] N (－1,2)，|ON |＝(－1)2＋22＝ 5.故选C ． 2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于( C ) A ．－3 B ．5 C ．－3或5D ．－1或－3[解析] 由两点间的距离公式知|AB |＝(－1－2)2＋(b －1)2＝b 2－2b ＋10 由5＝b 2－2b ＋10 解得b ＝－3或b ＝5．3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是( A ) A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( B ) A ．－2 B ．－12C ．2D ．12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ．5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7．6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( C ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5D ．210[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝25．二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__.[解析](a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2解得a ＝12．8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__.[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23．9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.[解析] 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c 2，令x ＝0，y ＝c ，所以12⎪⎪⎪⎪c ·⎝⎛⎭⎫－c 2＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0． 解法2：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1．变形得bx ＋ay －ab ＝0．由条件知⎩⎨⎧b 2＝a－1①12|ab |＝9②由①得b ＝－2a 代入②得a 2＝9∴a ＝±3．当a ＝3时，b ＝－6，当a ＝－3时，b ＝6 ∴所求直线方程为2x －y ±6＝0． 三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝02x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13y ＝8m －13．∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限∴⎩⎨⎧m ＋13>08m －13<0，解得－1<m <18．∴m 的取值范围是(－1，18)．B 级 素养提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( C ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2)D ．210，(1，－2)[解析] |AB |＝(－4－2)2＋(1－3)2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( B )A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[解析] 根据两点间的距离公式|PQ |＝(m －1)2＋(1－2m )2＝5m 2－6m ＋2＞10，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－45或m＞2．3．(2016～2017·宿州高一检测)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( B )[解析] l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a由图A 中l 1知，－b >0，与l 2中－b <0矛盾，排除A ；同理排除D ．在图C 中，由l 1知－b <0，与l 2中，－b >0矛盾，排除C ．选B ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( B )A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1 ∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2 将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12 ∴m －n ＋p ＝20． 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－32<a <2__.[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋12x ＋3y ＝a，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27.交点在第四象限，所以⎩⎨⎧2a ＋37>0a －27<0，解得－32<a <2．6．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是__12__.[解析] 由题意得|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．C 级 能力拔高1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.[解析] 解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2∴k AP ＝1－20＋4＝－14故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0．解法二：设所求直线l 方程为： y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0，得N (73k －1，10k －13k －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0，得M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)．∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0，解得∴k ＝－14． 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0．2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m 所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM 所以k AC ·k DM ＝－1 即3－00－5·3－05－x＝－1． 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM |＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3345．。
两直线的交点坐标两点间的距离
当直线与x轴相交时，其纵坐标y必定 为0。因此，我们可以将y=0代入直线 的方程中，解出x的值，即为交点的横 坐标。
与y轴交点
总结词
求直线与y轴的交点，即令x=0，解出对应的y值。
详细描述
当直线与y轴相交时，其横坐标x必定为0。因此，我们可以将x=0代入直线的方程中，解出y的值，即为交点的纵 坐标。
特殊情况处理
总结词
当直线与坐标轴的交点在原点时，需要特别处理。
详细描述
当直线过原点时，即交点的横坐标和纵坐标都为0，此时我们需要将x和y都设为0，然后解出对应的值。 需要注意的是，这种情况下的解可能不唯一，需要结合直线的其他条件来确定具体的交点。
04
实际应用举例
解析几何问题
解析几何问题中，两直线的交点坐标是一个重要的概念。通过求解两直线的方程，我们可以找到它们 的交点坐标。这种方法在解决几何问题时非常有用，例如确定两条直线的交点、判断两条直线是否平 行或垂直等。
两直线的交点坐标还可以用于解决一些复杂的地理问题，例如计算地球上任意两点之间的最短路径、分析人口分布规律等。
感谢观看THANKSຫໍສະໝຸດ 两直线的交点坐标两 点间的距离
• 两直线的交点坐标 • 两点间的距离公式 • 直线与坐标轴的交点 • 实际应用举例
目录
01
两直线的交点坐标
直线方程
直线方程一般式
$y = mx + c$，其中m是斜率，c是截距。
直线方程点斜式
$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中(x_1, y_1)是直线上 的一个点。
直线方程截距式
$x/a + y/b = 1$，其中a、b分别是直线在x轴和y 轴上的截距。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的一般式方程分别为：Ax + By = C 和 Dx + Ey = F
将两个方程相减或相加，得到一个一元一次方程，解得交点的x或y坐标
将得到的x或y坐标代入任意一个原方程，解得另一个坐标
得到交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)
特殊情况的处理
两条直线平行的情况：此时它们的交点坐标为无穷远点，即坐标为(∞, ∞)。
公式推导过程中涉及到的数学知识点包括向量、三角函数和代数运算
距离公式的应用场景
计算线段的中点坐标
计算两点间的距离
判断点与线之间的距离
计算多边形的面积
距离公式的几何意义
公式适用于平面和三维空间中的两点距离计算
几何意义是将两点的距离量化为一个数值
公式中的平方和表示线段的平方长度
两点间的距离公式是连接两点的线段的长度
公式中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别表示两点的坐标
公式表示点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离
公式可用于计算任意两点间的距离
两点间距离公式的推导
两点间距离公式推导的起始点是欧几里得几何的基本假设
通过勾股定理和三角函数推导出两点间距离公式
公式形式为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
两条直线垂直的情况：此时它们的交点坐标为原点(0, 0)。
两条直线重合的情况：此时它们的交点坐标为无穷多个，即任意坐标点。
两条直线相切的情况：此时它们的交点坐标为切点，需要根据具体情况计算。
03
两点间的距离公式
点坐标的表示方法
两点间的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
3.3直线的交点坐标与距离公式(2)
答案 : 1, 4
A
A’
四.直线关于直线对称问题 例4.已知直线l1 : 2 x y 4 0, 求l1关于直线 l : 3 x 4 y 1 0 对称的直线l2方程.
答案 : 2 x 11 y 16 0
L2 A’ L M L1 A O
方法总结 : 转化为点的对称问题
(3)A’在L2上
(4)由O,A’求出直线L2
几种常用的特殊对称 : (1) A(a , b)关于x轴的对称点为A(a , b); ( 2) B(a , b)关于y轴的对称点为B( a , b ); (3)C (a , b)关于直线y x的对称点为C (b, a ); ( 4) D(a , b)关于直线y x的对称点为D( b, a ); (5) P (a , b)关于直线x m的对称点为P ( 2m a , b ); (6)Q(a , b)关于直线y n的对称点为Q (a , 2n b );
答案 : y 2 x 4; y 2 x 4;
2 19 答案 : , 5 5
练习4 : 作业本P 45, T 10 如图, 射线OA, OB分别与x轴正半轴成 45 和30 的角, 过点P (1, 0)作直线AB分别交OA, OB于点A, B ,当AB的中点C 恰好落在直线 1 y x上时, 求直线AB的方程. 2
练习3 : 作业本P 45, T11 已知ABC的一个顶点为A （3， 1），B 被y轴平分，C 被直线y x平分, 求直线BC 的方程。
答案 : y 2 x 5
A''
y
B
O
A'
xAΒιβλιοθήκη C两直线的交点坐标
(2)
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（2）直线BC的方程
2. 两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )间的距离为
Байду номын сангаас
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
3.点P(x0, y0 )到直线l：Ax By C 0的距离
d | Ax0 By0 C | A2 B2
4.两平行直线间距离
L1:Ax+By+C 1
0,
L2
直线的交点坐标与距离公式 （小结）
• 一复习
1.两条直线L1： A1x B1 y C1 0 L2: A2 x B2 y C2 0
如何求交点坐标？
联立方程组
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
求得交点坐标
（1）l1和l2相交 方程组有唯一解 （2）l1和l2平行 方程组无实数解 （3）l1和l2重合 方程组有无数组解
• 例2
（1）求在X轴上与点A（5，12）的距离为13 的点的坐标？
（2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5) 间的距离为10，求点P的纵坐标？
（3）求点P(-5,7)到直线12x+5y-3=0的距离
（4）求两条平行直线3x-2y-1=0与6x-4y+1=0 间的距离
• 例3，已知三角形ABC的顶点A(5,1),AB边上 的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边 上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0
:
Ax+By+C 2
0则L1和L2的距离为？
d | C1 C2 | A2 B2
• 二，例题讲解 例1。求满足下列条件的直线的方程 (1) 经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0 的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0 (2) 经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交 点，且平行于直线4x-3y-7=0