2014届高考数学一轮复习讲义：第二章 2.1 平面向量的概念及线性运算

变式训练 1
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同，则 a＝b； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反； → → (6)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一 条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等．
→ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB、BD共线，又∵它们有公共点 B，
∴A、B、线，
∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝± 1.
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
1．向量的有关概念 名称 向量
忆一忆知识要点
定义 既有 大小 又有方向的量； 向 量的大小叫做向量的长度 (或称为模) 长度为 0 的向量； 其方向 是任意的
备注 平面向量是自由向量
零向量
记作 0
单位向量
非零向量 a 的单位向量 长度等于1个单位 的向量 a 为± |a|
方法与技巧
1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的 技能，也是向量坐标形式的基础． → → 2． 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题． 如AB∥CD → → 且 AB 与 CD 不共线，则 AB∥CD；若AB∥BC，则 A、B、 C 三点共线．
失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大 小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也 满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向 量的相反向量，导致错误．
解
(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小．
(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关．
(3)正确． (4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行． (5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的． → → (6)不正确，因为AB 与CD 共线，而 AB 与 CD 可以不共线即
2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律
(1)交换律： 加法 求两个向量 和的运算
平行四边形 三角形
a＋b＝b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝
a＋(b＋c) ．
要点梳理
求 a 与 b 的相 减法 反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差
忆一忆知识要点
a－b＝a＋(－b)
平面向量的共线问题
例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线， → → → (1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
解决点共线或向量共线问题，要结合向量共线定理进行． → → → (1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， → → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)
变式训练 2
如图所示，△ABC 中，在 AC 上取一点 N， 1 使得 AN＝ AC，在 AB 上取一点 M，使得 3 1 AM＝ AB，在 BN 的延长线上取点 P，使得 3 1 → → → NP＝ BN，在 CM 的延长线上取点 Q，使得MQ＝λCM时，AP＝ 2 → QA，试确定 λ 的值． 1 → → 1→ → → → 1 → → 解 ∵AP＝NP－NA＝ (BN－CN)＝ (BN＋NC)＝ BC， 2 2 2 → → → 1→ → QA＝MA－MQ＝ BM＋λMC， 2 1→ → → → 1→ 又∵AP＝QA，∴ BM＋λMC＝ BC， 2 2 1 → 1→ 即 λMC＝ MC，∴λ＝ . 2 2
探究提高
(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系， 能 熟练地找出图形中的相等向量， 并能熟练运用相反向量将加减法 相互转化． (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量 的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④ 化简结果．
变式训练 2
在△ABC 中，E、F 分别为 AC、AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G → → → 点，设AB＝a，AC＝b，试用 a，b 表示AG.
答案 ②③
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． a a (5)非零向量 a 与 的关系是： 是 a 方向上的单位向量． |a| |a|
→ → 又∵A、M、D 三点共线，∴AM与AD共线． → → ∴存在实数 t，使得AM＝tAD， 1 即(m－1)a＋nb＝t－a＋2b. 1 ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋ tb. 2
[3 分]
[5 分]
m－1＝－t ∴ ，消去 t 得，m－1＝－2n， t n＝ 2 即 m＋2n＝1. ① [7 分] 1 1 → → → 又∵CM＝OM－OC＝ma＋nb－ a＝m－4a＋nb， 4 1 1 → → → CB＝OB－OC＝b－ a＝－ a＋b. 4 4 → → 又∵C、M、B 三点共线，∴CM与CB共线． [10 分] → → ∴存在实数 t1，使得CM＝t1CB， 1 1 ∴m－4a＋nb＝t1－4a＋b 1 1 m－ ＝－ t1 4 4 ∴ ，消去 t1 得，4m＋n＝1. ② [12 分] n＝t1 1 3 → 1 3 由①②得 m＝ ，n＝ ，∴OM＝ a＋ b. [14 分] 7 7 7 7
AB∥CD.(7)正确． (8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等．
向量的线性运算
例2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 → → BE 上一点，且 GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用 a，b 表示 → → AD，AG.
结合图形性质， 准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键． → ＝1(AB＋AC)＝1a＋1b； → → 解 AD 2 2 2 → ＝AB＋BG＝AB＋2BE＝AB＋1(BA＋BC) → → → → AG → → → 3 3 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 ＝ AB＋ (AC－AB)＝ AB＋ AC＝ a＋ b. 3 3 3 3 3 3
→ → → → → AG＝AB＋BG＝AB＋λBE → λ → → ＝AB＋ (BA＋BC) 2 λ → λ → → ＝1－2AB＋ (AC－AB) 2 → ＋λ AC＝(1－λ)a＋λb. → ＝(1－λ) AB 2 2 解
→ ＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋m(CA＋CB) → → → → 又AG → → → 2 → ＋mAB＝ma＋(1－m)b， → ＝(1－m) AC 2 2 m 1－λ＝ 2 2 → ＝1a＋1b. ∴ ，解得 λ＝m＝ ，∴AG 3 3 3 λ 1－m＝ 2
批阅笔记
(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复 杂，有一定的难度．(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口， 亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、 减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在 解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解， 这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视 A、 M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何特征．(4)方程思想是解决 本题的关键，要注意体会．
探究提高
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与 三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出 三点共线． (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝ 0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0，当且仅当 λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a、 b 不共线．
思想与方法
用方程思想解决平面向量的线性运算问题
→ 1→ （14 分)如图所示，在△ABO 中，OC＝ OA， 4 → 1→ → OD＝ OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OA＝a， 2 → → OB＝b.试用 a 和 b 表示向量OM.
审题视角
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领， 要 尽可能地转化到平行四边形或三角形中去． → → (2)既然OM能用 a、b 表示，那我们不妨设出OM＝ma＋nb. (3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解．
③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c， ∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a ＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分 条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.
规范解答 → 解 设OM＝ma＋nb， → → → 则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. 1 → → → 1→ → AD＝OD－OA＝ OB－OA＝－a＋ b. 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线，∴AM与AD共线． → → ∴存在实数 t，使得AM＝tAD， 1 即(m－1)a＋nb＝t－a＋2b.
平面向量的概念辨析
例 1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 → → AB＝DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b， b＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确的序号是________．