全国高中数学联合竞赛试题及参考答案6

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

全国高中数学联赛模拟试题及参考答案

全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中王全 710061 wangquan1978@。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案6

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一．选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b n＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(| x |－1)2＋(| y |-1)2＜2的整点(x，y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253．若(log23)x-(log53)x≥(log23)y--(log53)y-，则( )(A)x-y≥0 (B)x＋y≥0 (C)x-y≤0 (D)x＋y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，( )(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定二．填空题（满分54分，每小题9分）1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．2．已知θ＝arctg 125，那么，复数ii z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是______ ___． 3．在△ABC 中，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，若9a 2＋9b 2-19c 2＝0，则B AC ctg ctg ctg +＝__________．4．已知点P 在双曲线191622=-y x 上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P 的横坐标是_____．5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0中的a ，b ，c 是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____．6．已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H -AB -C 的平面角等于30︒, SA ＝23。

全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案20XX年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00―9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P ABCD中，∠APC=60°，则二面角A PB C的平面角的余弦值为（） A. 2. 设实数a使得不等式|2x a|+|3x 2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A. [ ,] 1 7B. 1 7C. 1 2D. 1 21133B. [ 11,] 22C. [ 11,] 43D. [ 3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。

则使不等式a 2b+100成立的事件发生的概率等于（）A. 52 81B. 59 81C. 60 81D. 61 814. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。

若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立，bcosc的值等于（）a11A. B. 22则C. 1 D. 15. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。

若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A( 3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D( 1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。

8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA 33，若AB AE AC AF 2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。

2020年全国高中数学联合竞赛一试试题卷(高联一试含答案及评分标准)

2020年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.在等比数列{}n a 中，1,13139==a a ，则13log 1a 的值为.2.在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，21,F F 为两个焦点.若02121=⋅+⋅BF BF AF AF ，则21F F AB 的值为.3.设0>a ，函数xx x f 100)(+=在区间(]a ,0上的最小值为1m ，在区间[)+∞,a 上的最小值为2m ，若1m 20202=m ，则a 的值为.4.设z 为复数，若iz z --2为实数(i 为虚数单位)，则3+z 的最小值为.5.在△ABC 中，4,6==BC AB ，边AC 上的中线长为10，则2cos 2sin66AA +的值为.6.正三棱锥ABC P -的所有棱长都为1，N M L ,,分别为棱PC PB PA ,,的中点，则该三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为.7.设0,>b a ，满足：关于x 的方程b a x x =++||||恰有三个不同的实数解321,,x x x ，且b x x x =<<321，则b a +的值为_____________.8.现有10张卡片，每张卡片上写有5,4,3,2,1中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为5,4,3,2,1的五个盒子中，规定写有j i ,的卡片只能放在i 号或j 号盒子中.一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法公共有____________种.二.解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ABC ∆中，,22sin =A 求CB cos 2cos +的取值范围.10.（本题满分20分）对正整数n 及实数)0(n x x <≤，定义1][][}{}){1(),(+⋅+-=x nx n C x C x x n f 其中][x 表示不超过实数x 的最大整数，][}{x x x -=.若整数2,≥n m 满足123)1,(2,()1,(=-+++nmn m f n m f n m f ，求)1,()2,(1,(mmn n f m n f m n f -+++ 的值.11.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，点C B A ,,在双曲线1=xy 上，满足ABC ∆为等腰直角三角2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 在等比数列{}n a 中，91313,1a a ，则1log 13a 的值为．答案：13．解：由等比数列的性质知219913aa a a ，故339121313a a a ．所以11log 133a ． 2. 在椭圆中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ，则12ABF F 的值为．答案：2．解：不妨设的方程为22221(0)x y a ba b ，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c ，2(,0)F c ，其中22ca b ．由条件知222221212()()()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ．所以2212222AB a b F F ． 3. 设0a，函数100()f x xx在区间(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,)a 上的最小值为2m ．若122020m m ，则a 的值为．答案：1或100．解：注意到()f x 在(0,10]上单调减，在[10,)上单调增．当(0,10]a 时，12(),(10)m f a m f ；当[10,)a 时，12(10),()m f m f a ．因此总有12()(10)2020f a f m m ，即100202010120aa，解得1a或100a ．4. 设z 为复数．若2iz z 为实数（i 为虚数单位），则3z 的最小值为．答案．解法1：设i(,)R z ab a b ，由条件知22222(2)i(2)(1)22Im Im0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ，故22a b ．从而22223(12)((3))(3)25zab ab，即35z．当2,2a b 时，3z 取到最小值解法2：由2iR z z 及复数除法的几何意义，可知复平面中z 所对应的点在2与i 所对应的点的连线上（i 所对应的点除外），故3z 的最小值即为平面直角坐标系xOy 中的点(3,0)到直线220xy 22325．5. 在ABC 中，6,4AB BC ，边AC 上的中线长为，则66sin cos 22A A 的值为．答案：211256．解：记M 为AC 的中点，由中线长公式得222242()BM AC AB BC ，可得222(64)4108AC．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB ，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A= 22222sin cos 3sin cos 2222A A A A231sin 4A213211cos 44256A． 6. 正三棱锥P ABC 的所有棱长均为1，,,L M N 分别为棱,,PA PB PC 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为．答案：3．解：由条件知平面LMN 与平面ABC 平行，且点P 到平面,LMN ABC 的距离之比为1:2．设H 为正三棱锥P ABC 的面ABC 的中心， PH 与平面LMN 交于点K ，则PH 平面ABC ，PK 平面LMN ，故12PK PH ．正三棱锥P ABC 可视为正四面体，设O 为其中心（即外接球球心），则O在PH 上，且由正四面体的性质知14OH PH ．结合12PK PH 可知OK OH ，。

全国高中数学联合竞赛附答案

全国高中数学联合竞赛（9月19日上午9：00～11：00）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）若函数x x x f 2sin 2cos 811)(--=的最大值为a ，最小值为b ，则ba 1-等于（）（A ）18 （B ）6 （C ）5 （D ）0 （2）若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（）（A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++（3）已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于（）（A ）2005（B ）2004 （C ）1 （D ）0（4）已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(的反函数是)(1x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则（）（A ）)21,0(∈k （B ）)1,21(∈k（C ）)23,1(∈k（D ）)2,23(∈k（5）正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（）（A ）θγβα<<< （B ）γθβα<<< （C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<<（6）若对任意的长方体A ，都存在一个与A 等高的长方体B ，使得B 与A 的侧面积之比和体积之比都等于k ，则k 的取值范围是（）（A ）0>k （B ）10≤<k （C ）1>k（D ）1≥k二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1P 2P 3P AO BC4P 5P 6P（7）若关于x 的方程x ax a x =+-lg 1lg 2只有一个实数解，则a 的值等于．（8）在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于．（9）若正奇数n 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n 的最大值为．（10）设a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，且)(2)(2222n n n n n n c b a c b a ++=++，其中*N n ∈，2≥n ，则n 的值等于．（11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有对．（12）如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ∆，再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正21BP P ∆，再以2P 和B P2的中点C 为顶点作正32CP P ∆，…，如此继续下去．有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为21的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)36421,6463(； ④第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点2004P 的横坐标是20042004211-=x ．其中正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）已知函数a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称．（Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(1x g x f x F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．（14）设边长为1的正ABC ∆的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为1P ，2P ，…，1-n P ，若AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，求证：nn S n 62112-=．（15）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不等于0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=，},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（Ⅰ）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上；（Ⅱ）B A 至多有一个元素；（Ⅲ）当01≠a 时，一定有∅≠B A ．全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）（7）100 （8）55（9）17 （10）4 （11）174 （12）①②③④ 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）【解】（Ⅰ）由a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ），得)3(log )(1a x x fa -=-…………5分又函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称，则)()(1x a f x a g --=+-，于是，)(lo g)2()(1a x x a f x g a---=--=-．（a x -<）…………………………………10分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有)(log )3(log )()()(1a x a x x g x fx F a a -+-=--=-．要使)(x F 有意义，必须⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x又0>a ，故a x 3>． (15)分由题设)(x F 在]3,2[++∈a a x 上有意义，所以a a 32>+，即1<a ．于是，10<<a ． ……………………………………………………………………… 20分14．【证明】如图，设c AB =，b AC =，a BC =，令n=1，则p k c BP AB AP k k +=+=（0=k ，1，2，…，n ）其中，AP =0，AP n =． ∴)(])1([1p k c p k c AP AP k k +⋅-+=⋅-22)1()12(k k k -+⋅-+=（0=k ，1，2，…，n ） ……………5分又∵AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ， ∴2112)]1([)]12([p k k p c k c n S nk n k n ∑∑==-+⋅-+=222)(3)1)(1(n n n n n n -++⋅+= ……………………………………………10分22222231)(31)(nn n n n n n n n n -+⋅+=-+⋅+=． ………………………15分又∵1||||||===，与的夹角为60，∴nn n n n n S n 6211312122-=-++=． ……………………………………………………20分15．【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列}{n a 中，2)(1n n a a n S +=，所以，21nn a a n S +=．这表明点),(nS a n n 的坐标适合方程)(211a x y +=．所以，点),(nS a n n 均在直线)(211a x y +=上． ……………………………………………5分（Ⅱ）正确．设B A y x ∈),(，则),(y x 坐标中的x 、y 应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14,2121221y x a x y 的解．解这个方程组，消去y ，得42211-=+a x a ．（﹡）当01=a 时，方程（﹡）无解，此时，∅=B A ． …………………………………10分当01≠a 时，方程（﹡）只有一个解12124a a x --=，此时方程组也只有一个解，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.44,24121121a a y a a x 故上述方程组至多有一解，所以B A 至多有一个元素． ………………………………15分（Ⅲ）不正确．取11=a ，1=d ，对一切*N n ∈，有0)1(1>=-+=n d n a a n ，0>nS n．这时集合A 中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于011≠=a ，如果∅≠B A ，那么根据（Ⅱ）的结论，B A 至多有一个元素（00,y x ），而025241210<-=--=a a x ，043441210<-=-=a a y ．这样的A y x ∉),(00，产生矛盾．所以，11=a ，1=d 时，∅=B A ，故01≠a 时，一定有∅=B A 是不正确的． ……………………………………20分。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案题号一二总分1～89 10 11 12 得分评卷复核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是． 2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和，则k 的值为．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x + 的最大值是．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则常数C 的最大值是．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有11()()()20062005f x f y f xy x y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则所有满足条件的函数f 为．二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．10．（本题满分14分）数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．yxOF11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分）设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n4、365、10036、04a ≤<，b ＝07、4()()()()2sm n p m n p p m n n p m +++-+-+- 8、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．解当2πθ=时，22ABB A S p ''=． …………………（4分）当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-， ①22y px =， ②消去x 得，2220py y p k--=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③ 又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为12p y x y =，所以，AO 与准线的交点的坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅222121211()()2x x y y y y =-+-⋅- B /A /F BAO xy221211()12y y k =-+212122111()42y y y y k⎡⎤=++-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分）数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．解由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分）由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n是奇数．于是依次可得：1219111n a -=>， 12n-是偶数， 24198111111n a -=-=<，24n -是奇数， 2141118n a --=>，64n -是偶数， 681131188n a -=-=<，68n -是奇数， 618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数，1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分） 11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分）当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分）设]1,0[,∈b a ，求a 3a n-1a na 2a 1)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．解因为)1)(1(11b a ab b a S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++=1≤ ，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，ab x =，则abab ab ab ab b a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1( x x x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分）下证 211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ，所以 21155-≤T ，从而 25513-≥S ，当215-==b a 时等号成立，所以S 的最小值为25513-．……………（16分）。

全国高中数学联合竞赛(含答案)

全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1.函数()142-+=x x x x f 是（）（A ）是偶函数但不是奇函数（B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）既不是奇函数也不是偶函数2. 已知()x f 对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ，若()20030=f ，则()2004f =（）（A ）2002 （B ）2003 （C ）2004 （D ）20053. 已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）（A ）0≤m ≤4 （B ）1≤m ≤4 （C ）m ≥4或m ≤0 （D ）m ≥1或m ≤0 4. 母线长为6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（）（A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）32 6. 函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（）（A ）2732 （B ）2716 （C ）278 （D ）274 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。

7. 已知函数()x xx f 22333+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1011010121011f f f = . 8. 不等式22-x ≤12+x 的解集为 .9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有个.10. 若0<a ，b ，c <1满足1=++ca bc ab ，则cb a -+-+-111111的最小值是 . 11. 已知正四棱锥V －ABCD 的棱长都等于a ，侧棱VB ，VD 的中点分别为H 和K ，若过A 、H 、K 三点的平面交侧棱VC 于L ，则四边形AHLK 的面积为 .12. 已知a 、b 、x 是实数，函数()122+-=ax x x f 与函数()()x a b x g -=2的图象不相交。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案9

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案注:本试卷可使用计算器.一、选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。

1、 ,a b 为实数，集合{},1,,0,:b M P a f x x a ⎧⎫==→⎨⎬⎩⎭表示把集合M 的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a b +=（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1±2、（A （B ）1cos 20sin 20︒-︒（C ）1 （D ）1-3、已知(0,1),(2,2),(4,6)A B C --，则AB 在AC方向上的投影为（A（B ）（C （D ）4、在数列{}n a 中，1111,,4n n a a a +==+则99a = （A ）125504 （B ）2500 （C ）124504（D ）24015、已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足(1)()(1)f x f x f x +=--对任意的x R ∈都成立。

若sin(9),sin(9)A x B x ωϕωωϕω=++=+-，则A 与B 的大小关系是（A ）A B > （B ）A B = （C ）A B < （D ）不确定6、设,,a b c 为实数，440,20a b c a b c -+>++<。

则下列四个结论中正确的是（A ）2b ac ≤ （B ）2b ac > （C ）20b ac a >>且（D ）20b ac a <<且 7、设()sin f x x x =，若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12()()f x f x >，下列结论中必定成立的是（A ）12x x > （B ）120x x +> （C ）12x x < （D ）2212x x > 8、曲线5sin(2)6y x π=+与直线y x =的交点个数是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89、函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（A ）364 （B ）182 （C ）91 （D ）无法计算 10、O 是平面上一定点，,,A B C 平面上不共线的三个点，动点P 满足(),c o s c o s A B A C O P O A R A B A B C A C B C Aλλ=++∈，则P 的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心二、填空题目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。

全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

1、浙江省高中数学竞赛试题2、河北省高中数学竞赛试题3、全国高中数学联赛广东省预赛4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题5、浙江省高中数学竞赛试题6、湖北省高中数学竞赛试题7、全国高中数学联合竞赛一试试题8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷10、全国高中数学联赛山东省预赛试题11、全国高中数学联赛江西省预赛试题12、全国高中数学联赛山西省预赛13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题16、新知杯上海市高中数学竞赛试题17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（） A.B.C. 3D.21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案7

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2} (D)∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)634．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6．设5sin 5cos ππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( ) (A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000︒)=__________.8．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则n n n a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________.9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10．在椭圆12222=+b y a x(a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________.11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14．若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15．已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+b y a x(a ＞b ＞0)。

历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)

A．M P NB．M N PC．P N MD．A、B、C都不成立
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
命题甲：θ> ；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与x轴交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求的值.
16.设为实数，若对任意的实数恒成立，其中
求的最大值和的最小值
2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题
草考答案及评分标准
一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴M∪N∪P=I； ⑵N≠Ø． ⑶M≠Ø． ⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4
解：均正确，选D．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案5

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，b n=a3n-2+a3n-1+a3n，...，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则（）(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤04.给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，（）(A)命题I正确，命题II不正确(B)命题II正确，命题I不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)答案不确定二、填空题(每小题9分，共54分)已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是____。

1.已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z＝(cos2θ +i sin2θ )/(239+i)的辐角主值是____。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案题号一二总分1～89 10 11 12 得分评卷复核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是． 2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和，则k 的值为．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x + 的最大值是．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则常数C 的最大值是．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有11()()()20062005f x f y f xy x y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则所有满足条件的函数f 为．二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．10．（本题满分14分）数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．yxOF11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分）设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n4、365、10036、04a ≤<，b ＝07、4()()()()2sm n p m n p p m n n p m +++-+-+- 8、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．解当2πθ=时，22ABB A S p ''=． …………………（4分）当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-， ①22y px =， ②消去x 得，2220py y p k--=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③ 又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为12p y x y =，所以，AO 与准线的交点的坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅222121211()()2x x y y y y =-+-⋅- B /A /F BAO xy221211()12y y k =-+212122111()42y y y y k⎡⎤=++-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分）数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．解由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分）由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n是奇数．于是依次可得：1219111n a -=>， 12n-是偶数， 24198111111n a -=-=<，24n -是奇数， 2141118n a --=>，64n -是偶数， 681131188n a -=-=<，68n -是奇数， 618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数，1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分） 11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分）当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分）设]1,0[,∈b a ，求a 3a n-1a na 2a 1)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．解因为)1)(1(11b a ab b a S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++=1≤ ，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，ab x =，则abab ab ab ab b a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1( x x x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分）下证 211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ，所以 21155-≤T ，从而 25513-≥S ，当215-==b a 时等号成立，所以S 的最小值为25513-．……………（16分）。

2020年全国高中数学联合竞赛一试试题及答案(A卷)

2020年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3)[解] 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a ，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（ B ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． [解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为（ A ） A ．764 cm 3或586 cm 3B ．764 cm 3C ．586 cm 3或564 cm 3D ．586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A ．(0,)+∞ B． C． D．)+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,2211.22q q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或q <<11(,)22．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 . [解] 由题意知12()(1)nn n n f x a x aaa b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如 ||||******** 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”． “每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+．答12图1答12图 2[解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=， 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因 11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则222211(3)22PP PO OP r r r =-=-=．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答 12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 226PM PP MPP r r =⋅==，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-．答13图小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分） 1PAB P EF S S ∆∆-223(26))a a r =--23263ar r =-．又1r =，6a =124363183PAB PEF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+．[证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，22(0x x >． …15分所以2x >，即x <x >．故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x x x ， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x<+， …15分即222()10x x +->，解得2x >(2x <舍去)，故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分题15图 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y by b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--2448≥=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分。