2017_2018学年高中数学专题面面垂直的判定定理的应用课堂同步试题新人教A版
人教A版高中数学必修二直线、平面垂直的判定及其性质同步练习新人教A
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、P是△ABC所在平面α外一点，且P到△ABC三边．．的距离相等，PO⊥α于O，O在△ABC 内，则O是△ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心2、正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（）A、平面DD1C1CB、平面A1DB1C、平面A1B1C1D1D、平面A1DB3、已知平面α外的直线b垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b一定不平行于平面α，其中正确的结论有A、0个B、1个C、2个D、3个4、直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A、平行B、垂直C、在平面α内D、无法确定5、下面各命题中正确的是（）A、直线a，b异面，a⊂α，b⊂β，则α∥β；B、直线a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥β；C、直线a⊥b，a⊥α，b⊥β，则a⊥β；D、直线a⊂α，b⊂β，α∥β，则a，b异面.6、对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d.那么这样的直线b有（）A、1条B、2条C、3条D、无数条7、直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A、平行B、垂直C、在平面α内D、无法确定8、对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d那么这样的直线b有（）A、1条B、2条C、3条D、无数条二、填空题9、从点O出发的不共面的3条射线OA、OB、OC中，如果∠AOB＝∠AOC，则OA在平面BOC上的射影落在∠BOC的________．CC10、若∠AOB 在平面α内，OC 是α的斜线，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，OC 与α成45°角，则∠AOB ＝________．11、点A 、B ∈平面α，点P ∉α，线段AP 、PB 在α内的射影长分别为3和5，则线段AB 的最大值是________，最小值是________．12、PD 垂直于正六边形ABCDEF ，若正六边形边长为a ，PD ＝a ，则点P 到BC 的距离为________．13、边长为a 的正四面体A —BCD ，M 是棱AB 的中点，则CM 与底面BCD 所成的角的正弦值是________．三、解答题14、已知矩形ABCD 的边长AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，在CD 上截取CE ＝4cm ，以BE 为棱将矩形折起，使△BC′E 的高C′F ⊥平面ABED ，求：（1）点C′到平面ABED 的距离；（2）C′到边AB 的距离； （3）C′到AD 的距离．15、如图，已知ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，E 是SC 上一点． 求证：BE 不可能垂直于平面SCD ．参考答案C一、选择题1、B ；2、B ；3、B ；4、D ；5、C ；6、D ；7、D ；8、D 二、填空题9、平分线上 10、90° 11、8 2 12、27a 13、32 三、解答题14、解：（1）作FH ⊥AB 于H ，作FG ⊥AD 于G ， 则C′H ⊥AB ，C G AD '⊥,可算得cm，HB=2cm ， ∴C '到平面ABED 的距离为C F'=⑵C '到平面AB 的距离为C H'=cm ⑶C '到平面AD 的距离为C G '=15、解：用到反证法，假设BE ⊥平面SCD ，∵ AB ∥CD ；∴AB ⊥BE ．∴ AB ⊥SB ，这与Rt △SAB 中∠SBA 为锐角矛盾． ∴ BE 不可能垂直于平面SCD。
高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定课时作业含解析新人教A版必修2
2.3.1 直线与平面垂直的判定[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知直线l ⊥α，α∥β，则( ) A ．l ∥β B ．l β C ．l ⊥β D ．以上均有可能解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m ，n 分别平行于平面α内两条相交直线a ，b ，又l ⊥α，则l ⊥a ，l ⊥b ，所以l ⊥m ，l ⊥n ，所以l ⊥β.答案：C2．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直解析：若l ∥m ，则l ⊄α，∵m ⊂α，∴l ∥α，这与已知l ⊥α矛盾，所以直线l 与m 不可能平行．答案：A3．已知直线a 、b 和平面α，下列推理中错误的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b B.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥αC.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊥α⇒a ∥α或a ⊂α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b解析：当a ∥α，b ∥α时，a 与b 可能平行，也可能相交或异面，即D 推理错误．故选D.答案：D4．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．AC 1⊥BD 1解析：正方体中BD ∥B 1D 1，可知选项A 正确； 由BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1可得BD ⊥平面ACC 1； 从而BD ⊥AC 1，即选项B 正确；由以上可得AC 1⊥B 1D 1，同理AC 1⊥D 1C ， 因此AC 1⊥平面CB 1D 1，即选项C 正确； 由于四边形ABC 1D 1不是菱形， 所以AC 1⊥BD 1不正确．选D. 答案：D5．如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60° B．45° C ．30° D．120°解析：∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角， 在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ， 所以cos∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．在三棱锥P －ABC 中，最多有________个直角三角形．解析：不妨设PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则△APB ，△PAC 为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA ⊥面ABC ，由线面垂直的定义，可知PA ⊥BC ，若∠ABC ＝90°，则BC ⊥AB ，∴BC ⊥面PAB ，即∠PBC ＝90°，∴△ABC ，△PBC 为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：47．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m ，n 和平面α，若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α；③a ，b ，l 表示三条不同的直线，α表示平面，若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α；④若直线a 不平行于平面α，则直线a 垂直于平面α.解析：①正确；对于②，若直线n ⊂α，也可满足m ⊥n ，m ⊥α，此时n ∥α不正确；对于③，只有a ，b 相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．答案：①8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B 1D 1，则B 1D 1是BD 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠BD 1B 1是BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．在Rt△BD 1B 1中， tan∠BD 1B 1＝BB 1B 1D 1＝13＝33， 则∠BD 1B 1＝30°. 答案：30°三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.求证：SD ⊥平面SAB .证明：∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，CD ＝1， ∴底面ABCD 为直角梯形，AD ＝－2＋22＝ 5.∵侧面SAB 为等边三角形，∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，∴AD 2＝SA 2＋SD 2， ∴SD ⊥SA .连接BD ，则BD ＝22＋12＝5，∴BD 2＝SD 2＋SB 2， ∴SD ⊥SB .又SA ∩SB ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .10．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，且AB ＝4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD ＝DB .(1)求证：CD ⊥平面PAB ；(2)求直线PC 与平面PAB 所成的角．解析：(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点． 又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB . 由3AC ＝BC 知， ∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO .因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面PAB . (2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角， 又△AOC 是边长为2的正三角形， 所以CD ＝ 3在Rt△PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3， 所以tan∠CPD ＝CD PD ＝33，∠CPD ＝30°， 即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·淮安一中月考]在四面体P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝CA ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，下列结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．BC ⊥平面PAE C ．DF ⊥平面PAED ．AE ⊥平面APC解析：因为D ，F 分别为AB ，AC 的中点， 所以DF ∥BC ，故BC ∥平面PDF ，故A 项正确． 又AB ＝AC ，PB ＝PC ，E 为BC 的中点， 所以AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAE ， 又DF ∥BC ，所以DF ⊥平面PAE ，故B 、C 项正确．由于AE 与AP 不垂直(否则，等腰三角形PAE 将有两个直角)，故AE 与平面APC 不垂直．选D.答案：D12．已知点O 为三棱锥P －ABC 的顶点P 在平面ABC 内的射影，若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的________心；若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 为△ABC 的________心；若P 到三边AB ，BC ，CA 的距离都相等且点O 在△ABC 的内部，则O 为△ABC 的________心．解析：因为PA ＝PB ＝PC ，所以OA ＝OB ＝OC ，O 是△ABC 的外心； 若PA ⊥BC ，又PO ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥PO .所以BC⊥平面PAO.所以BC⊥AO.同理AC⊥OB.所以O是△ABC的垂心．若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC 的内心．答案：外垂内13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.证明：连接PE，EC.∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AD，PA⊥AB.在Rt△PAE，Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.14．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD ＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解析：(1)如图所示，由于AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP ＝AD AP ＝55. 所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明：因为AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ，所以PD ⊥平面PBC .(3)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 内的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故四边形DABF 为平行四边形，故BF ＝AD ＝1， 由已知，得CF ＝BC －BF ＝2. 又AD ⊥DC ，AD ∥BC ，故BC ⊥DC .在Rt△DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25，在Rt△DPF 中，可得sin∠DFP ＝PD DF ＝55. 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.。
2017-2018学年高中数学人教B版2练习：1.2.3第二课时平面与平面垂直课下检测含解析
一、选择题1．(2010·山东高考）在空间，下列命题正确的是( ）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中平行直线的平行投影不一定重合,有可能平行，B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行、相交，C项中垂直于同一个平面的两个平面可能平行、相交，D项正确．故选D.答案：D2．如果直线l，m与平面α,β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：∵m⊥γ，m⊂α，l⊂γ,∴α⊥γ，m⊥l，B错，有可能m⊂β;C 错，有可能m⊂β；D错，有可能α与β相交．答案：A3．如图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB,AD＝CD，E是AC的中点,则下列命题中正确的是（)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析:由AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点．∴BE⊥AC、DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE。
∴平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥BDE.答案：C4．如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的( )A．内心B．垂心C．外心D．重心解析：三侧面两两垂直，则三条侧棱也两两垂直，∴PC⊥平面PAB,∴AB⊥PC，作PO⊥平面ABC于O，则AB⊥PO，∴AB⊥平面POC,∴AB⊥OC,同理，OB⊥AC,∴O为△ABC的垂心．答案：B二、填空题5．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β;③n⊥β；④m⊥α.以上四个论断中的三个作为条件,余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________．解析：由线面垂直性质定理和判定定理知：α⊥β,m⊥α，n⊥β可推得m⊥n，即：②③④⇒①。
高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定习题新人教A版必修2
2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b别离和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点动身，别离在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的极点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②解析：选B 由二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b别离垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不必然垂直于二面角的棱，故③不对；由概念知④正确．故选B.2．一个二面角的两个半平面别离垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A．相等B．互补C．不肯定D．相等或互补答案：C3.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选C 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选A ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( )解析：选C 如右图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD . 又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22. ∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2.二、填空题6．通过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个． 解析：设面外的点为A ，面内的点为B ，过点A 作面α的垂线l ，若点B 恰为垂足，则所有过AB 的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B 不是垂足，则l 与点B 肯定唯一平面β知足α⊥β.答案：1个或无数个7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 解析：如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为1，极点A 在底面BCD 上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成二面角的平面角． 在Rt △AEO 中，AE ＝32，EO ＝13ED ＝13·32＝36， ∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝13.答案：138．在一个倾斜角为60°的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成30°角的道路上坡，行走100 m ，实际升高了________ m.解析：如右图，构造二面角α－AB －β，在直道CD 上取一点E ，过点E 作EG ⊥平面β于G ，过G 作GF ⊥AB 于F ，连接EF ，则EF ⊥AB .∴∠EFG 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠EFG ＝60°.∴EG ＝EF ·sin 60°＝CE ·sin 30°·sin 60° ＝100×12×32＝253(m)．答案：25 3 三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .证明：连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线， ∴EF ∥SC . ∵SC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EDB . ∴平面EDB ⊥平面ABCD .10．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E . ∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ， ∴A ′M ⊥CD .在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ， ∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .。
2017-2018学年高中数学人教A版必修2练习：第15课时平
第15课时平面与平面垂直的判定课时目标平面垂直的判定定理，知α⊥β，所以B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确．故选B.4．如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，则四棱锥P－ABCD的五个面中互相垂直的有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案：D解析：由题意，得平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面P AB，平面P AD⊥平面PCD，平面PBC⊥平面P AB，共5对．5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定答案：D解析：反例：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D－AA1－E与二面角B1－AB－D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.6．如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA 的中点，则下列结论中不一定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDF⊥平面ABC答案：D解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面P AE.因为BC ∥DF，所以DF⊥平面P AE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面P AE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.二、填空题(每个5分，共15分)中，二面角B－A1D1－C1即半平面A1B1C1D1与A1D1CB，所以∠BA1B1即二面角B－A的大小为45°.ABCDEF的底面是正六边形，)．DE，的平面角．中，AB是底面圆的一条直径，且点求证：平面VAC⊥平面⊥平面ABC，∴VO⊥AC.ABCD是正方形，的中心，求VO与平面ABCDAB⊥平面VAD.，则O为正方形ABCD所成的角．a2，所成的角为60°.A作线段P A⊥平面)∵AB⊥BC，AB⊥QB，且BC⊂平面QBC，BQ⊂平面QBC∴AB⊥平面QBC，则AB⊥QC∴PQ⊥QC，∴∠BQC为平面ABP与平面CDP所成二面角的平面角∵BQ＝AB＝BC，∴△BCQ是等腰直角三角形，故∠BQC＝45°.13．(15分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到点P的位置，且PC＝PB.(1)若F是BP的中点，求证：CF∥平面APE；(2)求证：平面APE⊥平面ABCE.证明：(1)取AB的中点G，连接GF，GC.∵EC∥AG，EC＝AG，∴四边形AECG为平行四边形，∴AE∥GC.在△ABP中，GF∥AP，又GF∩GC＝G，AE∩AP＝A，∴平面APE∥平面FGC.又CF⊂平面FGC，∴CF∥平面APE.(2)取AE的中点O，连接PO，又P A＝PE，∴PO⊥AE.取BC的中点H，连接OH，PH，∴OH∥AB，∴OH⊥BC.∵PB＝PC，∴BC⊥PH.又PH∩OH＝H，∴BC⊥平面POH，从而BC⊥PO.又BC与AE相交，∴PO⊥平面ABCE.又PO⊂平面APE，∴平面APE⊥平面ABCE.。
2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)2：课时跟踪检测(十二)直线与平面垂直的判定含解析
课时跟踪检测（十二) 直线与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是（)A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B A中,由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β,符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意,故选B.2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D 在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1A，B1B与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线平行；A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.3．下列四个命题中，正确的是（)①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直;②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D ①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是( ）A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析:选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC。
∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC。
5.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（)A．60° B．45°C．30° D．120°解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO,所以cos∠ABO＝错误!，即∠ABO＝60°.6．已知直线l，a，b,平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α,b⊂α,l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA ＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB 中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°。
面面垂直的判定习题详细答案推荐课件
所以VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4.…………………………………12分
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件 是( ) (A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n⊂α (C)m∥n,n⊥β,m⊂α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β
2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互 相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对
【规范解答】线面垂直的综合应用 【典例】(12分)如图所示，已知三 棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4， AB=20，D为AB的中点，且△PDB是 正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角D-AP-C的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积.
在Rt△BSC中，∵SB=SC=a，∴SD=2 a ，
2
BD=B C 2.在a Rt△ABD中，AD= 2 a ，
22
2
在△ADS中，∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°，即二面角A-
BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
方法二：(利用判定定理) ∵SA=SB=SC，且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC，∴点A 在平面SBC上的射影为△SBC的外心. ∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中 点，∴AD⊥平面SBC. 又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.
5.如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO= π ，斜边AB=4，Rt△AOC
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可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是
直二面角，D是AB的中点.
求证：平面COD⊥平面AOB.
【证明】由题意知，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角 B-AO-C的平面角，又二面角B-AO-C是直二面角， ∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB. ∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.
2017-2018学年高中数学 专题 面面垂直的判定定理的应用课堂同步试题 新人教A版
面面垂直的判定定理的应用高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线（2017山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD .（1）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（2）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析.（2）因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点,所以EM BD ⊥,又1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1,A E BD ⊥ 因为11//,B D BD 所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【解题必备】用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决.学霸推荐1．如图，过点S 引三条不共面的直线,,,SA SB SC 其中90,60BSC ASC ASB ∠=︒∠=∠=︒，且SA SB SC ==a =.求证：平面ABC ⊥平面BSC .2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是中点，作，交于点.(1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求证：平面.3在SHA △中，22212AH SH a ==, 22SA a =, ∴222SA SH AH =+,∴AH SH ⊥.又SH BC H =,∴AH BSC ⊥平面.又AH ABC ⊂平面，∴平面ABC ⊥平面BSC.(2)∵，且底面, ∴△PDC 为等腰直角三角形， 又是中点，∴, ∵底面为正方形，∴,又,,平面,而平面，,又,平面,而平面，故平面平面.(3)由(2)知，平面，平面，, 又,,平面.。
2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：2.3.4 平面与平面垂直的性质 Word版含解析
第二章 2.32.3.4A 级 基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则导学号 09024587( C ) A ．m ∥β B ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不一定垂直[解析] 如图，∵α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，∴m ⊥β.2．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列命题中正确的是导学号 09024588( B ) A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β D ．若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥βm ∥n ⇒m ⊥β m ⊂α⇒α⊥β， ∴B 正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则导学号 09024589( C )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD ．过a 的平面与过b 的平面垂直[解析] α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，a ⊥b ，当α∩β＝a 时，b ⊥α；当α∩β＝b 时，a ⊥β，其他情形则未必有b ⊥α或a ⊥β，所以选项A 、B 、D 都错误，故选C ．4．如右图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面P AC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是导学号 09024590( D )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[解析] ∵平面P AC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面P AC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC .∴∠ACB ＝90°.∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．已知直线m ，n 和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂a ，要使n ⊥β，则应增加的条件是导学号 09024591( B )A ．m ∥nB ．n ⊥mC ．n ∥αD ．n ⊥α[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n ⊥β，应有n 与交线m 垂直，∴应增加条件n ⊥m .6．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ︰A ′B ′等于导学号 09024592( A )A ．2︰1B ．3︰1C ．3︰2D ．4︰3[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ︰A ′B ′＝2︰1. 二、填空题7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：导学号 09024593 ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是__①③__.[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β l ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D ． 8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的__垂__心.导学号 09024594[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥P A ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥P A ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面P AH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD .导学号 09024595[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACD AB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD . 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ⊥PD ，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.导学号09024596(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.[解析](1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD.又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又P A⊥PD，且P A⊂平面P AB，AB⊂平面P AB，AB∩P A＝A，∴PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，∴平面P AB⊥平面PCD.B级素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：导学号09024597①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为(B)A．1B．2C．3D．4[解析]根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．2．在空间中，下列命题正确的是导学号09024598(D)A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是导学号09024599(D)A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面P AD[解析]因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面P AD，则AD ⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．二、填空题4．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝__45°__.导学号09024600[解析]如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.∵△P AD 是等边三角形，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面AC ，平面P AD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面P AD ， ∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ. 在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ， ∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.5．(2016·四川文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .导学号 09024601[解析] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ， 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以P A ⊥平面ABCD . 从而P A ⊥BD . 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂平面PBD . 所以平面P AB ⊥平面PBD .C 级 能力拔高1．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .导学号 09024602(1)求证AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．[解析] (1)证明：设G 为AD 的中点，连接BG 、PG ，∵△P AD 为正三角形，∴PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点， ∴BG ⊥AD .又BG ∩PG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB . ∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB .(2)当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD . 证明如下：在△PBC 中，∵F 是PC 的中点，∴EF ∥PB .在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.2．(2016·泰安二中高一检测)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点.导学号09024603(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．[解析](1)如图所示，取CD的中点E，连接PE、EM、EA.∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∵PE⊥AM.∴四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)由(1)可知，EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．在Rt△PEM中，tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.。
2017-2018学年高中数学专题面面垂直的性质定理的应用课堂同步试题新人教A版
面面垂直的性质定理的应用典例在线(2017新课标全国n)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底1面ABCD, AB =BC = —AD,NBAD =NABC = 90：2(1) 证明：直线BC//平面PAD ;(2) 若△ PCD的面积为2J , 求四棱锥ABCD的体积•【参考答案】(1)见试题解析；(2)「.【试題解析】(1)在平面ABCD內”因所以BCi/AD.^C^平面PQ ,QU平面PAD,故方C"平面马ID(2)取切的中点胚酸忿G CM,由AB=BC=^ADRBCI/AD J仙CMXT得四边砒伽为正£方形，则CM丄血＞/vz 一因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD平面PAC T平面ABC=AD所以PM L AD PM丄底面ABCD因为CM u底面ABCD，所以PML CM设BC=x,贝U CMx, CD^, PM揖耳,PC=PD=2x.取CD的中点N,连结PN 贝U PNL CD 所以1以" ..U 1 <14 ,因为△PCD的面积为，所以•、, —； , _ r解得x=-2 (舍去)，或x=2,于是AB=BC=2, AD=4, PMZ揖,1 2 x (2 + 4) 厂厂所以四棱锥P-ABCD勺体积' :1.. I .【解题必备】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，一十上2基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.学霸推荐it1•如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD _平面ABCD , AB// DC,△ PAD是等边三角形，已知BD =2 AD =8, AB=2DC=4 ,5.J JF 、J(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBL平面PAD(2)求四棱锥P - ABCD的体积.2.如图，三棱柱ABC-ABC 中，侧面AACC丄侧面ABBA, AC=AA=/^AB / AAC=60°, AELAA, H为棱CC的中点，D为BB的中点.B⑴求证：AD丄平面ABH(2)若AB騷,求三棱柱ABC-ABC的体积•1.【解析】(1)在厶ABD 中，T AD=4, BD=8, AB=4、, 5 ,2 2 2••• AD BD =AB ,••• AD _ BD.又•••平面PAD _平面ABCD ,平面PADR平面ABCD=AD，BD 平面ABCD ,• BD _平面PAD.又BD二平面MBD ,•平面MBD _平面PAD .（2）过尸作尸。
人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含答案
人教版高中数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为()A.40°B.50°C.90°D.150°2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m∥α,α∥β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α∥β⇒n⊥β;③m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为()A.72°B.90°C.108°D.180°5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是()图L8-6-10A.60°B.45°C.30°D.120°6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法中正确的是()图L8-6-11A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则()图L8-6-12A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E为CD的中点,则()A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)图L8-6-1310.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形.(1)求证:AB⊥平面PBC;(2)求点P到平面ABC的距离.图L8-6-1414.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.图L8-6-15=3 ,点P在棱AB 15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sinθ的最大值为.图L8-6-1616.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;(2)当△VAB是边长为22的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.参考答案与解析1.B[解析]若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.2.D[解析]若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n⊂β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.3.C[解析]∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.4.B[解析]当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时,直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.5.A[解析]∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.故选A.6.A[解析]由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.7.D[解析]取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB⊂平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴ = ,即1 = 2,∴AE·CD=2.故选D.8.B[解析]连接AE.因为AB=2AD,E为CD的中点,所以 = =2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)10.垂直[解析]∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO ⊥平面ABCD.11.32[解析]记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则13a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且tan∠SCO=3 =32.12[解析]如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O= 1 =13.解:(1)证明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.(2)设点P到平面ABC的距离为h.由(1)知AB⊥平面PBC,由V P-ABC=V A-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·AB,即13×12×1×2×h=13×12×2×21,解得h=3,则点P到平面ABC的距离为3.14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D,DB⊂平面BB1D1D,DD1⊂平面BB1D1D,所以AF⊥平面BB1D1D.(2)连接D1B,D1C,如图所示.因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1,D1C⊂平面D1DCC1,所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC= 1 =2.15[解析]依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(0<x ≤4a).在三角形PBE中,∠PBE=π3,由余弦定理得PE= 2+ 2- .因为AO⊥平面BCD,PH∥AO,所以PH⊥平面BCD,所以PH⊥HE,所以∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角θ.在三角形AOB,又 = 4 ,所以所以sinθ= =中,x=2a时,sinθ16.解:(1)DE⊥平面VBC,证明如下:∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,AC⊂平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE∥AC,∴DE⊥平面VBC.(2)∵△VAB是边长为22的正三角形,∴VB=VA,又∠VCB=∠VCA=90°,VC=VC,∴△VBC≌△VAC,∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8,∴AC=BC=2,∴VC=(22)2-22=2.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE=12AC=1,∴四面体V-DEB的体积V V-DEB=V D-VBE=13×S△BEV×DE=13×12×S△VBC×DE=13×12×12×2×2×1=13.。
2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)2：课时跟踪检测(十三)平面与平面垂直的判定含解析
课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．从空间一点P向二面角α。
l。
β的两个面α，β分别作垂线PE,PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α。
l。
β的平面角的大小是（）A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定解析:选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°。
2．如果直线l,m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m ⊥γ，那么必有（)A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交;D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是（)A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β,a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β,∴l ⊥β，∴α⊥β。
4．如图,四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A.BCD，则在几何体A.BCD中，下列结论正确的是( ）A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析:选D 由已知得BA⊥AD,CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD,∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC。
5．在正方体ABCDA1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1.BD。
A的正切值为( )A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1。
2017-2018学年高二数学必修2课时跟踪检测：(九) 平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．5对解析：选D ∵DA ⊥AB ，DA ⊥PA ，∴DA ⊥平面PAB .同理BC ⊥平面PAB ，又AB ⊥平面PAD ，∴DC ⊥平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面BCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PBC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ，共5对．6．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z ，叫作x ，y ，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ， ∴△AMD 为直角三角形，AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝22a ×2＝a . 答案：a8．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后BC ＝________.解析：由题意知，BD ⊥AD ，由于平面ABD ⊥平面ACD . ∴BD ⊥平面ADC .又DC 平面ADC ，∴BD ⊥DC . 连接BC ，则BC ＝BD 2＋DC 2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.答案：19．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝2，2可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.层级二应试能力达标1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA 的中点，则下列结论中不一定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选D因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB ＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为PC平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．解析：如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OBβ，OCβ，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OAα，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD.又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.8．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN ∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.又A′N平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.。
2017-2018学年高中新课标 数学A版 必修②课时作业：2-
C．0 D．2
解析：因为直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，
所以 ＝1，所以a＝0，
又直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，所以－ ＝1，所以b＝－2，因此a＋b＝－2.
答案：B
12．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为 ，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为－ .又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为y－(－3)＝－ ×，即3x＋2y＋12＝0.
答案：3x＋2y＋12＝0
8．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝__，解得 或 .
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
∴a＝2，b＝－2.
(2)∵l1∥l2，∴a－b(a－1)＝0，③
由题意知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为 ，
则 × × ＝2，
得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
答案：B
5．下列直线中，与已知直线y＝－ x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是()
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－ ，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中，正确的是()
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
2017-2018学年高中数学必修2课时达标检测十五 直线与
课时达标检测（十五）直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题课）一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α答案：A2.如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案：C3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( )A．②③B．①③C．②④D．③④答案：D4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案：C二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7．如图所示，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A BCDE .则平面ABC 与平面ACD 的关系是________．答案：平面ABC ⊥平面ACD8.如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，则二面角C BD A 的平面角的正切值为________． 答案：233三、解答题9.如图，四棱锥P ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ；(2)平面EFG ⊥平面EMN .证明：(1)法一：如图，取PA 的中点H ，连接EH ，DH .因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .法二：如图，连接CF .因为F为AB的中点，所以AF＝12 AB.又CD＝12 AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.10.如图，AE C是半径为a的半圆，AC为直径，点E为A C的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝5a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．解：(1)证明：∵FC⊥平面BED，BE⊂平面BED，∴EB⊥FC.又点E 为A C 的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD .∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ，∴DC DE ＝CH BE. 在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2 ＝BE 2＋ 2BC 2＝5a ，∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a . ∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED .∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2， ∴FH ＝1055a . ∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a 1055a ＝22121a . ∵C 是BD 的中点，∴B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .。
2017-2018学年高中数学 专题 面面垂直的性质定理的应用课堂同步试题 新人教A版
面面垂直的性质定理的应用高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（2017新课标全国Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD-中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,1,2AB BC AD BAD==∠90.ABC=∠=︒（1）证明：直线BC∥平面PAD;（2）若△PCD的面积为P ABCD-的体积.【参考答案】（1）见试题解析；（2）.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD ，因为CM ABCD ⊂底面，所以PM ⊥CM . 设BC =x ，则CM =x ，CD =，PM =，PC =PD =2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以.因为△PCD 的面积为，所以，解得x =−2（舍去），或x =2，于是AB =BC =2，AD =4，PM =，所以四棱锥P −ABCD 的体积.【解题必备】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 学霸推荐1．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，,AB DC PAD ∥△是等边三角形，已知=2=8=2BD AD AB DC ，（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．2．如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C ⊥侧面ABB 1A 1,AC =AA 1=AB ,∠AA 1C 1=60°,AB ⊥AA 1,H为棱CC 1的中点,D 为BB 1的中点.(1) 求证:A 1D ⊥平面AB 1H ; (2) 若AB =,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.1．【解析】（1）在ABD △中，∵=4=8AD BD AB ，，∴222=AD BD AB +，∴.AD BD ⊥ 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面=ABCD AD ，BD ABCD ⊂平面，∴BD ⊥平面.PAD 又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD .2．【解析】(1)如图,连接AC 1,因为1△ACC 为正三角形,H 为棱CC 1的中点,所以AH ⊥CC 1,从而AH ⊥AA 1, 又平面AA 1C 1C ⊥平面ABB 1A 1,平面AA 1C 1C ∩平面ABB 1A 1=AA 1,AH ⊂平面AA 1C 1C , 所以AH ⊥平面ABB 1A 1,又A 1D ⊂平面ABB 1A 1,所以AH ⊥A 1D . ① 设AB =a ,因为AC =AA 1=AB ,所以AC =AA 1=2a ,DB 1=a,111111DB A B B A AA ==. 因为AB ⊥AA 1,所以平行四边形ABB 1A 1为矩形,所以∠DB 1A 1=∠B 1A 1A =90°, 所以1111△∽△A DB AB A ,所以∠B 1AA 1=∠DA 1B 1,又∠DA 1B 1+∠AA 1D =90°,所以∠B 1AA 1+∠AA 1D =90°,故A 1D ⊥AB 1. ② 由①②及AB 1∩AH =A ,可得A 1D ⊥平面AB 1H.经计算AG =,11112△A B C S =A 1B 1·A 1C 1=×2=,所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V =·AG =.方法二：如图,取AA 1的中点M ,连接C 1M ,则C 1M ∥AH ,所以C 1M ⊥平面ABB 1A 1.因为AB =,所以AC=AA1=2,C1M=A1C1sin 60°=2×2=所以·C1M =3=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V =3.。
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面面垂直的判定定理的应用
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
（2017山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD .
（1）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;
（2）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析.
（2）因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点,所以EM BD ⊥,
又1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1,
A E BD ⊥ 因为11//,
B D BD 所以11111,,
EM B D A E B D ⊥⊥
又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM
又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD .
【解题必备】用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决.
学霸推荐
1．如图，过点S 引三条不共面的直线,,,SA SB SC 其中90,60BSC ASC ASB ∠=︒∠=∠=︒，且
SA SB SC ==a =.求证：平面ABC ⊥平面BSC .
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是中点，作，交于点.
(1)求证：平面； (2)求证：平面平面
(3)求证：平面.
在SHA △中，22212
AH SH a ==, 22SA a =, ∴222SA SH AH =+,∴AH SH ⊥.
又SH BC H =,∴AH BSC ⊥平面.
又AH ABC ⊂平面，∴平面ABC ⊥平面BSC .
(2)∵，且底面, ∴△PDC 为等腰直角三角形， 又是中点，∴,
∵底面为正方形，∴,
又,,平面,
而平面，,
又,平面,
而平面，故平面平面.
(3)由(2)知，平面，平面，, 又,,平面.。