第4章 寿险精算现值 2.ppt
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人寿保险的精算现值
k 1 v qx k | k 0
n 1
A1 x:1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A
1 x:1
cx vqx
18
• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验 生命表CL1（2000-2003）和利率6%, 计 算： • (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。 • (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
பைடு நூலகம்
（2）给付现值函数Z
Z= 1* 0
V k 1 ,k=0,1,2,…n-1
,其他
16
(3)K、Z的分布律
K Z P(K=k)
0 v qx
1 v2 1|qx
2 ... n-1 v3 ... vn 2|qx … n-1|qx
17
2 n A1 EZ v * q v * q ... v *n1 | qx x 1 | x x:n
人寿保险趸缴纯保费
人寿保险精算现值
1
中英文单词对照
• 趸缴纯保费 • 精算现时值 • 死亡即刻赔付保险 • Net single premium • Actuarial present value • Insurance payable at the moment of death • Insurance payable at the end of the year of death
19
终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保险 期限为终身，死亡年末给付的寿险的趸 缴纯保费。 Ax EZ
v
k 0
k 1 k |
寿险精算寿险精算概述与利息理论PPT学习教案
到非常复杂的问题，如管理一项大的养老基 金，等
精算的研究对象是“不确定性”。
说明金融行为不确定性的一个很好的例子 就是保险合同。
在投保车辆盗窃险时，一辆超豪华轿车的拥 有者，与一辆普通的旧车车主相比较，应交 多少保费呢？哪一辆将被偷是不确定的，但 是研究一下这两种车过去被盗窃的规律，精 算师就可以为每一种确定一个合适的保
由名义利率表示的实际利率为
i (1 im )m 1 m
由实际利率表示的名义利率为
1
im m[(1 i)m 1]
第32页/共103页
例1-2. 某人准备按照10%的年利率存入银行 614元，每半年结转1次利息，试计算其5年后
的本利和。（两种解法）
第33页/共103页
解法一
每半年的实际利率为10%÷2=5% 5年一共包含10个半年 解因法此二，614×(1+5%)10 ≈1000元
计算现值时的利率是否就是贴现率？
在分期付款时，借款人在每次付款中的本金和利息分别是多 少？它们具有什么规律？如何计算借款人的贷款余额？
债券如何定价？等。
第12页/共103页
四. 生命表
➢ 生命表（Life table）又称生命表（mortality table）， 它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（ 如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生 存状况统计资料，编制成的统计表。
i=(1+2%) 4-1≈8.24%＞8%
第30页/共103页
⑶名义利率与实际利率的关系 im ：1年结转m次利息的名义利率
im ：每次结转利息的实际利率
m
(1 im )m m
： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值
1 i ：实际利率i的年末累积值
精算的研究对象是“不确定性”。
说明金融行为不确定性的一个很好的例子 就是保险合同。
在投保车辆盗窃险时，一辆超豪华轿车的拥 有者，与一辆普通的旧车车主相比较，应交 多少保费呢？哪一辆将被偷是不确定的，但 是研究一下这两种车过去被盗窃的规律，精 算师就可以为每一种确定一个合适的保
由名义利率表示的实际利率为
i (1 im )m 1 m
由实际利率表示的名义利率为
1
im m[(1 i)m 1]
第32页/共103页
例1-2. 某人准备按照10%的年利率存入银行 614元，每半年结转1次利息，试计算其5年后
的本利和。（两种解法）
第33页/共103页
解法一
每半年的实际利率为10%÷2=5% 5年一共包含10个半年 解因法此二，614×(1+5%)10 ≈1000元
计算现值时的利率是否就是贴现率？
在分期付款时，借款人在每次付款中的本金和利息分别是多 少？它们具有什么规律？如何计算借款人的贷款余额？
债券如何定价？等。
第12页/共103页
四. 生命表
➢ 生命表（Life table）又称生命表（mortality table）， 它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（ 如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生 存状况统计资料，编制成的统计表。
i=(1+2%) 4-1≈8.24%＞8%
第30页/共103页
⑶名义利率与实际利率的关系 im ：1年结转m次利息的名义利率
im ：每次结转利息的实际利率
m
(1 im )m m
： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值
1 i ：实际利率i的年末累积值
第4章 寿险精算现值 2.ppt
A
1 x:20
和 A
1 x:20
◆关于
A
(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元 的终身寿险现值以
A
(m) x
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax lim A
m
( m) x
A
( m) x
E (v
E (v i i
(m)
K S( m)
0, K 0,1, 2,, m 1 Z K 1 v , K m, mx 表示，有
x 1
k m
A E ( Z ) x m
显然有
v
k 1
M xm k qx Dx
Ax A
1 x:m
m Ax
5.延期m年的n年定期寿险
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
作业：1、对于两年定期寿险，死亡年末给付保险金， 若在第一年内死亡，给付保险金5000元，第二年内死 亡给付保险金10000元，并给出如下生命表
例: 设（35）投保5年两全保险，保险金额为1 万元， 预定利率为6%，保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
A35 : 5 A
4
1 35 : 5
A
k
1 35 : 5 5 5
v
k 0
k 1
q35 v
p35
1 4 k 1 5 ( v d35 k v l40 ) l35 k 0
●
第四章 人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档
已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概 率，就可以得出期望给付额
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
保险精算第4章(3)
i=10%，求这一保单的精算现值。
64
解： 20000 A40 20000 vk1 q k| 40 20000 vk1 k|q40
k0
k0
q k| 40
k
p40 q40k
l40k l41k l40
1 ,(0 k 65) 65
于是20000
A40
20000
64
（
1
）k + 1
4
一、终身寿险
模型：(x)，bk 1, k 0,1, ,贴现函数vk1 于是 Zk 1 vk1; k 0,1, ,
精算现值E(Zk ) vk1 k|qx k0 记为 Ax
5
Ax表示x岁投保，保险金额为1个单位的终身寿险， 并在死亡年度末给付的保单的精算现值。
A v q x
k0
k 1 k|
x
v k 1
k0
dxk lx
lx Ax v k1d xk k0
表明：lx在 x 投保终身寿险的趸缴纯保费总额正好
等于生命表中在死亡年度末死亡人数的单位赔付。
6
例4.8：某人在40岁时买了保险额为20000元的终身
寿险，死亡年度末给付，假设他的生存函数可以表示
为
x
lx
1000
(1
) 105
4
解：
1000
A1 55:5|
50000
v k 1 k p55 q55k
k0
1000
k
4
0
1 1.06
k
1
l55 k l55
l55k l55k 1 l55 k
1000
k
4 0
1 1.06
k
保险精算人寿保险的精算现值讲解
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保 险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在 第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期 寿险的组合。
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期寿险
延期m年的终身寿险/延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险
4.1.2 n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付 保险金的险种，又称为n年死亡保险。
保险精算
第四章 人寿保险的精算现值
第四章 人寿保险的精算现值
4.1 死亡即付的人寿保险 4.2 死亡年末给付的人寿保险 4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保
险的精算现值的关系 4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
4.1 死亡即付的人寿保险
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
死亡年末给付的计算原理同死亡即刻给付 4.2.1 定期寿险 4.2.2 终身寿险 4.2.3 两全保险 4.2.4 延期寿险
延期m年的终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年两全保险
4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末副人寿 保险的精算现值的关系
人寿保险的基本概念及其精算学PPT(31张)
受益人是指人身保险合同中由被保险人或 者投保人指定的享有保险金请求权的人，投保 人、被保险人可以为受益人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。
寿险精算学4
定义
所谓生存年金（life annuity）是以被保险人存活为条件， 间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保险 金的保险类型。
生存年金通常出现在生存保险场合
比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公 司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保 险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙 在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存 给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下 的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的 系列付款就构成了生存年金。
2
方法二：
Ax 1 a x 1 v 2 ax E 2 V a r aT
2T
1 E v 2
2
2T
1
2
Ax
2
2
2
Ax 1 2 a x
2 2
2
Ax ( Ax )
2
(1 2 a x ) (1 a x )
步骤 1 a
T
1 v
T
步骤 2
a x E (a )
T
步骤 3
a
0
T
fT (t ) d t
以生存给付 事件发生为 考虑线索
计算当期生存 给付的现值
考虑该次生存赔 付发生的概率， 计算该年金现值 的期望值
a x E (v )
T
a x E (a )
T
v
a
T
T
0
fT (t ) d t
2T
2 (a x )
所谓生存年金（life annuity）是以被保险人存活为条件， 间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保险 金的保险类型。
生存年金通常出现在生存保险场合
比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公 司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保 险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙 在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存 给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下 的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的 系列付款就构成了生存年金。
2
方法二：
Ax 1 a x 1 v 2 ax E 2 V a r aT
2T
1 E v 2
2
2T
1
2
Ax
2
2
2
Ax 1 2 a x
2 2
2
Ax ( Ax )
2
(1 2 a x ) (1 a x )
步骤 1 a
T
1 v
T
步骤 2
a x E (a )
T
步骤 3
a
0
T
fT (t ) d t
以生存给付 事件发生为 考虑线索
计算当期生存 给付的现值
考虑该次生存赔 付发生的概率， 计算该年金现值 的期望值
a x E (v )
T
a x E (a )
T
v
a
T
T
0
fT (t ) d t
2T
2 (a x )
保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值
k 0 n 1
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
人寿保险精算现值
其精算现值以 m A x 表示，有
x1
mAx E(Z) vk1kqx km
显然有 Ax A1x:mmAx
5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起 的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为
0 , K 0 ,1 ,2 , ,m 1 Z vK 1 ,K m ,m 1 , ,m n 1
A 4 10:35%k 40vk1kq40k 401.01 5k1dl44 00 k
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s(x) 1 x , 105
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
注: 在符号 A 1 中，令n=1，即得 A 1 ，在
A A1 A 1
35 :5
35 :5
35 :5
4
v k 1 k q35 v 5 5 p35
k0
1 l35
4
( v k 1d 35k
k 0
v5l40 )
4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为
0, K0,1,2,L,m1 Z vK1, Km ,m1,L
机变量为 ZvK1 ，它的期望就是其精算现值.
因为 所以
P (Kk) kpxqx k kqx
A xE (Z)k x0 1vk 1kqxl1 xk x0 1dxkvk 1
●赔付现值随机变量的方差：
V(a Z )r E (Z 2) [E (Z )2 ]
E(Z2)
v2(k1)kqx
e q 2(k1) kx
vk1, k0,1,2,,n1 Z
第四章寿险精算(人身保险-南开大学,李秀芳)
9093.465 8531.089 8277.164 8039.333 7816.236 7606.652
9577.175 10000
9317.294 10000
9194.765 10000
9076.836 10000
8963.274 10000
8853.86 10000
人身保险
14
利润现值表
利率
2003年
人身保险
3
寿险公司风险类型
C1：资产贬值风险 C2：定价不足风险 C3：利率变动风险 C4：一般经营风险 C5：汇率风险
2003年
人身保险
4
C1：资产贬值风险
如债券、抵押贷款、股票、不动产和其它投资发生损失而 造成的风险，由于利息支付违约或本金违约，或由于市场 价值的损失而造成的风险。C1风险影响寿险公司的资产而 不包括负债。控制C1风险是投资管理部门的职责。审慎的 投资分析和信用分析是控制C1风险的最好方法，而在操作 中可以通过评估投资风险而投资于高质量的资产。
372.9029 381.7385
5% 377.6005 386.5342
385.7004 394.8721 404.2662 413.8842 423.7237 433.7912 444.0879 454.6161 465.3796
390.796 400.0765 409.5824 419.3152 429.2723 439.4603 449.8805 460.5353 471.4284
比较典型的C1风险包括：
资产市场价值的损失（不包括利率变动引起的损失）； 借方对于利息的违约； 借方对于本金的违约等。
2003年
人身保险
5
美国高利率债券资产违约率分布
c4人寿保险的精算现值
根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：
（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分， 可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定 期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分， 可分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险 （狭义）、生存保险和两全保险。
=
n 0
vt
t
pxuxt
dt
=
n 0
e
t t
pxuxt
dt
• v e ,δ 为利力。
2020/12/16
33
fT
(t)
F
(x)
)
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t pxxt
ln(1 i) 1 e
1 i
2020/12/16
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
2020/12/16
11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
2020/12/16
9
本章的基本思路
• 确定随机变量T(x)或K(x)
• 写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或 ZK+1
它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数
的随机变量 .
ZT bT vT
定义给付现值函数： ZK1 bK1vK1
2020/12/16
（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分， 可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定 期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分， 可分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险 （狭义）、生存保险和两全保险。
=
n 0
vt
t
pxuxt
dt
=
n 0
e
t t
pxuxt
dt
• v e ,δ 为利力。
2020/12/16
33
fT
(t)
F
(x)
)
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t pxxt
ln(1 i) 1 e
1 i
2020/12/16
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
2020/12/16
11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
2020/12/16
9
本章的基本思路
• 确定随机变量T(x)或K(x)
• 写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或 ZK+1
它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数
的随机变量 .
ZT bT vT
定义给付现值函数： ZK1 bK1vK1
2020/12/16
保险精算人寿保险的精算现值PPT学习教案
范围内的死亡均给付保险金的险种。
vt假基定v本:t (x,函)t投数保关0延系期m年的终身寿险，vt保,险t金额m1元。
1 , t m bt 0 , t m
zt
bt vt
0
,
tm
第33页/共41页
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0, T m
vT
,
T
m
m Ax 表示延期m年的终身寿险的精算现值。
120 60
第29页/共41页
例2答案
(3)满足P(Z ) 0.9的 .
0.9
0.9
解：P(Z
) 0.9
P(vT
) 0.9
P(T ln v ln ) 0.9
ln
P(T ) 0.9
令h
ln
0.9
ln v
ln v
即P(T h)
f (t)dt
hT
1 60 dt
h 60
第20页/共41页
4.1.2 n年定期寿险的精算现 值定义
保险人只对被保险人在投保后的n年 内发生的保险
责任范围内的死亡给付保险金的险 种，又称为n年 假基定本bvtt期:函数(死vx1t0关) 亡投,,系, 保tt保tn险年0nn定。期寿险zt，保bt险vt 金 额0v1t元,,。ttnn
第21页/共41页
0
t
px
xt dt
A A 1 x：mn |
1 x：m|
第35页/共41页
例4
(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额1元，保险金
在死亡时立即给付，Z表示签单时死亡给付的现值随
机
0.06, s(x) e , x 0.04x 0。
第四章 人寿保险的精算现值(2013.3.27)
v vt ,t n
t
vn ,t n
第四章 人寿保险的精算现值
人寿保险精算现值概述
一、什么是人寿保险？
狭义——是以被保险人在保障期内是否死亡
作为保险事故的一种保险
广义——是以被保险人的生命作为保险事故
的一种保险。它包括以保障期内被保险人死
亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期
内被保险人生存为保险事故的生存保险和两
全保险
本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值
二、终身寿险的精算现值 1.定义——什么是终身寿险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则
bt 1, t 0
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0
3.赔付现值变量
Zt bt .vt vt , t 0
寿险精算
18
4.趸缴纯保费的厘定
寿险精算
26
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
e 2 t
m
fT
(t )dt
E(zt
)2
•记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t )dt
• 所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
寿险精算
27
• 延期m年的n年定期寿险：
e 60 t 1 dt
0
60
e 60 2 t
0
1 60
dt
( Ax )2
1 e60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
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k 1
(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为
Ax : n v
k 0
n 1
k 1
k qx v n px
n 1 x:n
A
其中 A 精算现值。
1 x: n
1 x:n
A
表示1单位元给付纯生存险的
☆两全保险现值随机变量的方差
设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年定 期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值随 机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
4.1 死亡年末赔付的人寿保险
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将 在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
引例： 假如有100个40岁的人投保了1000 元5年定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如 果预定年利率为3%，各年预计的死亡人数分别 为1、2、3、4、5，求这一保单的趸缴纯保费。 死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签 约时的整值剩余寿命加1。
2
Var ( Z ) Ax ( Ax )
2
2
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
精算现值以
v , k 0,1, 2,, n 1 Z 0, k n, n 1, 1 Ax : n 表示，有
)
1 S ( m )
K 1
) E (1 i )
Ax
4.2 死亡即付的人寿保险
死亡即付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。
死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的剩余寿命。
k q x
m Ax
m 0
标准递减的定期寿险
1 1 1
bK 1 n K
1 1
1 1
… … …
1 1
1
x
x+1
x+2
x+n-1
x+n
以 ( DA)
现值，有
1 x:n
表示标准递减的定期寿险精算
( DA)
1 x:n
(n k ) v
k 0
n 1
k 1 k
qx A
A
1 x:20
和 A
1 x:20
◆关于
A
(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元 的终身寿险现值以
A
(m) x
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax lim A
m
( m) x
A
( m) x
E (v
E (v i i
(m)
K S( m)
0, K 0,1, 2,, m 1 Z K 1 v , K m, m 1,
其精算现值以
m
Ax 表示，有
x 1
k m
A E ( Z ) x m
显然有
v
k 1
M xm k qx Dx
Ax A
1 x:m
m Ax
5.延期m年的n年定期寿险
k 1 k 0
1 x k 1 1 x v d x k x Cx k v k 0 v k 0 Mx 1 Ax x Cx k v lx k 0 Dx
4.延期m年终身寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付延期m年
终身寿险，现值随机变量为
例: 某40岁的人投保了1万元 5 年定期寿险， 保险金在死亡年末给付， i=5%。根据中国人 寿保险业经验生命表(1990-993)(男女混合), 计算趸缴纯保费。
注: 在符号 A1 中，令n=1，即得 A1 ，在 x :1 x:n 人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一 保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死 亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。
例: 设（35）投保5年两全保险，保险金额为1 万元， 预定利率为6%，保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
A35 : 5 A
4
1 35 : 5
A
k
1 35 : 5 5 5
v
k 0
k 1
q35 v
p35
1 4 k 1 5 ( v d35 k v l40 ) l35 k 0
N x Dx k
k 0
●转换函数
Rx M x k (k 1)Cx k
k 0 k 0
它是生命表x岁的人未来在死亡年末1单 位元标准递增死亡赔付在0岁时的现值。
例如：
Ax v
k 0
k 1 k
qx
lx Ax v d x k
●赔付现值随机变量的方差：
Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )]
2
2
E (Z ) v
2 k 0
2
2( k 1) k
qx e
k 0
2 ( k 1) k
qx
E (Z ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
记
2
Ax E ( Z ) ，有
x 17 18 19 20 21 22 23
lx 1000 9950 9920 9910 9900 9890 9880
3、现年35岁的人购买了一张终身寿险பைடு நூலகம்单。该保单 规定，被保险人在第1年内死亡，给付1000元，以后 每年的死亡赔付额以6%的增长率递增。假设死亡给 付发生在保单年度末，利率为6%。试求其趸缴纯保 费。 4、设 Ax 0.25， Ax20 0.40, Ax:20 0.55, 试计算
标准递增的终身寿险
Z ( K 1)v
K 1
,
1
1 1
K 0,1, 2,
…
…
1 1 1 … … …
1 1
1 1
…
… …
x
x+1 x+2
x+n-1 x+n
其精算现值以 ( IA) x 表示，有
( IA) x E ( Z ) (k 1)v
k 0 k 1
mn
Ax E ( Z ) A
1 x : m n
m n 1 k m
v
1 x:m
k 1
k qx
A
M x m M xmn Dx
看104页例5.6
6.标准变额寿险
如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。 如果赔付额 bK 1 K 1，K是从投保开始到 死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
Ax E (Z )
x 1
k 0
x 1 1 k 1 k 1 v k qx d x k v lx k 0
例: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元的 终身寿险，假设生存函数为
x S ( x) 1 105
保险金在死亡年末给付，利率i=10%，求这 一保单的精算现值。
A
1 x :1
vqx e q x
试计算上例中的保单自40岁~45岁各年 龄的自然保费之总额，并与上例中的趸缴纯 保费进行比较，看他们之间有什么联系？
3.两全保险：定期寿险与生存保险的合险。
对(x) 的1单位元n年两全保险，死亡年末1单位
元赔付现值随机变量为
v , k 0,1, 2,, n 1 Z n v , k n, n 1,
1.终身寿险 对(x) 的1单位元终身寿险，死亡即付现值 随机变量为
Z v , T 0 T的概率密度为 t p x x t ，其精算现值 Ax 为
T
Ax E (Z ) v fT (t )dt v t px x t d t
t t 0 0
Var ( Z ) Var ( Z1 Z 2 ) Var ( Z1 ) Var ( Z 2 ) 2 E ( Z1 ) E ( Z 2 )
Z2 的方差为
Var ( Z 2 ) E ( Z 2 ) [ E ( Z 2 )]
2 2n 2n n
2 2
v n p x [v n p x ] v n px n qx
第4章
寿险精算现值
精算现值（Actuarial present value）是 保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴纯 保费（Net single premium） 。
● ●
4.1 死亡年末赔付的人寿保险 4.2 死亡即时赔付的人寿保险
教学要求
通过本章学习，使学生认识基本寿险产品， 掌握寿险产品趸缴净保费的计算方法和计算原 理，掌握一些复杂情况下的近似计算技术。要 求学生要能够利用基本的计算原理独立地进行 一些难度适中的实例计算，解决一些实际问题。
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
作业：1、对于两年定期寿险，死亡年末给付保险金， 若在第一年内死亡，给付保险金5000元，第二年内死 亡给付保险金10000元，并给出如下生命表
延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起
的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n
(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为
Ax : n v
k 0
n 1
k 1
k qx v n px
n 1 x:n
A
其中 A 精算现值。
1 x: n
1 x:n
A
表示1单位元给付纯生存险的
☆两全保险现值随机变量的方差
设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年定 期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值随 机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
4.1 死亡年末赔付的人寿保险
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将 在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
引例： 假如有100个40岁的人投保了1000 元5年定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如 果预定年利率为3%，各年预计的死亡人数分别 为1、2、3、4、5，求这一保单的趸缴纯保费。 死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签 约时的整值剩余寿命加1。
2
Var ( Z ) Ax ( Ax )
2
2
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
精算现值以
v , k 0,1, 2,, n 1 Z 0, k n, n 1, 1 Ax : n 表示，有
)
1 S ( m )
K 1
) E (1 i )
Ax
4.2 死亡即付的人寿保险
死亡即付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。
死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的剩余寿命。
k q x
m Ax
m 0
标准递减的定期寿险
1 1 1
bK 1 n K
1 1
1 1
… … …
1 1
1
x
x+1
x+2
x+n-1
x+n
以 ( DA)
现值，有
1 x:n
表示标准递减的定期寿险精算
( DA)
1 x:n
(n k ) v
k 0
n 1
k 1 k
qx A
A
1 x:20
和 A
1 x:20
◆关于
A
(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元 的终身寿险现值以
A
(m) x
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax lim A
m
( m) x
A
( m) x
E (v
E (v i i
(m)
K S( m)
0, K 0,1, 2,, m 1 Z K 1 v , K m, m 1,
其精算现值以
m
Ax 表示，有
x 1
k m
A E ( Z ) x m
显然有
v
k 1
M xm k qx Dx
Ax A
1 x:m
m Ax
5.延期m年的n年定期寿险
k 1 k 0
1 x k 1 1 x v d x k x Cx k v k 0 v k 0 Mx 1 Ax x Cx k v lx k 0 Dx
4.延期m年终身寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付延期m年
终身寿险，现值随机变量为
例: 某40岁的人投保了1万元 5 年定期寿险， 保险金在死亡年末给付， i=5%。根据中国人 寿保险业经验生命表(1990-993)(男女混合), 计算趸缴纯保费。
注: 在符号 A1 中，令n=1，即得 A1 ，在 x :1 x:n 人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一 保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死 亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。
例: 设（35）投保5年两全保险，保险金额为1 万元， 预定利率为6%，保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
A35 : 5 A
4
1 35 : 5
A
k
1 35 : 5 5 5
v
k 0
k 1
q35 v
p35
1 4 k 1 5 ( v d35 k v l40 ) l35 k 0
N x Dx k
k 0
●转换函数
Rx M x k (k 1)Cx k
k 0 k 0
它是生命表x岁的人未来在死亡年末1单 位元标准递增死亡赔付在0岁时的现值。
例如：
Ax v
k 0
k 1 k
qx
lx Ax v d x k
●赔付现值随机变量的方差：
Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )]
2
2
E (Z ) v
2 k 0
2
2( k 1) k
qx e
k 0
2 ( k 1) k
qx
E (Z ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
记
2
Ax E ( Z ) ，有
x 17 18 19 20 21 22 23
lx 1000 9950 9920 9910 9900 9890 9880
3、现年35岁的人购买了一张终身寿险பைடு நூலகம்单。该保单 规定，被保险人在第1年内死亡，给付1000元，以后 每年的死亡赔付额以6%的增长率递增。假设死亡给 付发生在保单年度末，利率为6%。试求其趸缴纯保 费。 4、设 Ax 0.25， Ax20 0.40, Ax:20 0.55, 试计算
标准递增的终身寿险
Z ( K 1)v
K 1
,
1
1 1
K 0,1, 2,
…
…
1 1 1 … … …
1 1
1 1
…
… …
x
x+1 x+2
x+n-1 x+n
其精算现值以 ( IA) x 表示，有
( IA) x E ( Z ) (k 1)v
k 0 k 1
mn
Ax E ( Z ) A
1 x : m n
m n 1 k m
v
1 x:m
k 1
k qx
A
M x m M xmn Dx
看104页例5.6
6.标准变额寿险
如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。 如果赔付额 bK 1 K 1，K是从投保开始到 死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
Ax E (Z )
x 1
k 0
x 1 1 k 1 k 1 v k qx d x k v lx k 0
例: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元的 终身寿险，假设生存函数为
x S ( x) 1 105
保险金在死亡年末给付，利率i=10%，求这 一保单的精算现值。
A
1 x :1
vqx e q x
试计算上例中的保单自40岁~45岁各年 龄的自然保费之总额，并与上例中的趸缴纯 保费进行比较，看他们之间有什么联系？
3.两全保险：定期寿险与生存保险的合险。
对(x) 的1单位元n年两全保险，死亡年末1单位
元赔付现值随机变量为
v , k 0,1, 2,, n 1 Z n v , k n, n 1,
1.终身寿险 对(x) 的1单位元终身寿险，死亡即付现值 随机变量为
Z v , T 0 T的概率密度为 t p x x t ，其精算现值 Ax 为
T
Ax E (Z ) v fT (t )dt v t px x t d t
t t 0 0
Var ( Z ) Var ( Z1 Z 2 ) Var ( Z1 ) Var ( Z 2 ) 2 E ( Z1 ) E ( Z 2 )
Z2 的方差为
Var ( Z 2 ) E ( Z 2 ) [ E ( Z 2 )]
2 2n 2n n
2 2
v n p x [v n p x ] v n px n qx
第4章
寿险精算现值
精算现值（Actuarial present value）是 保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴纯 保费（Net single premium） 。
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4.1 死亡年末赔付的人寿保险 4.2 死亡即时赔付的人寿保险
教学要求
通过本章学习，使学生认识基本寿险产品， 掌握寿险产品趸缴净保费的计算方法和计算原 理，掌握一些复杂情况下的近似计算技术。要 求学生要能够利用基本的计算原理独立地进行 一些难度适中的实例计算，解决一些实际问题。
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
作业：1、对于两年定期寿险，死亡年末给付保险金， 若在第一年内死亡，给付保险金5000元，第二年内死 亡给付保险金10000元，并给出如下生命表
延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起
的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n