第二章 单自由度系统20120306

n
2g 3 R r
作业 2——1、2、5、10、12、16
弹簧等效
并联
mg k k 2k
mg K eq
K eq 2k
K eq 2k
弹簧等效
mg k11 k2 2
mg K eq
1 2
1 1 1 K eq k1 k2
x Ae nt sin(d t )
0 tg x0
1
0 tg x0
1

例1
建立如图所示系统的运动方程，试确定临界阻尼系数和有阻尼固有频率。
解
ml ka ca
2 2 2
2


ca 2 a k 2 0 l m l m
e jt cos t j sin t
实际解取复数解的虚部
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
假定方程的特解为 xs (t ) Xe jt 式中 X 为复振幅。代入振动微分方程
m x c x kx Fe jt


( 2 m jc k ) Xe jt Fe jt
对数衰减率
xi Aenti sin d ti
ti 3T
ti
ti 3T
xi 3T Ae
xi xi 3T
ln xi xi 3T
n ti 3T
sin d ti
en 3T
3nT
对数衰减率
ln
xi nT xi T

e jt cos t j sin t
e jt cos t j sin t
x e nt B1 B2 cos d t j B1 B2 sin d t
B1与B2共轭
x Ae
n t
sin(d t )
有阻尼固有圆频率
1 1 1 K eq k1 k2
梁的等效弹簧刚度
悬臂梁端点静挠度
f
mgl 3 mg 3EI K eq
K eq
3EI l3
mg
简支梁中点静挠度
mgl 3 mg f 48EI K eq
48EI K eq 3 l
端面扭转角
Ml
GI P
G ——剪切弹性模量
I P ——抗扭截面惯性矩
x(t ) xh (t ) xs (t ) Ae
n t
sin(d t )
F ( k m) c
2 2 2 2
sin(t )
由初始条件 x 0 x0 , x 0 x0 可以确定待定参数A和

单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
o t
o
M x c x kx me 2 sin t
方程稳态响应可表示为：


M m
x(t ) X sin(t )
对比力载荷强迫振动
(k 2 m) 2 2 c 2 m 2 e me 2 M X (k 2 M ) 2 2c 2 (1 2 )2 (2 ) 2
x
v
tm 0.3( s )
xmax
v
d
entm sin d tm 0.529(cm)
d
e
n
2d
0.526(cm)
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
F： 激振力幅值 ω：激振力频率 通解＝齐次方程通解＋非齐次方程特解
单自由系统的振动分析
M
0
自由振动微分方程

m x c x kx 0
无阻尼自由振动方程：
2 x n x 0

C
K
方程解：
A
x x n
2 0 2 0
2
x A sin n t
固有圆频率：
arctan
n x0
x0
固有频率：
k n m
rad / s
n f 2
Hz
例：求倒摆的振动微分方程和固有频率
系统运动方程：
2 ML2 L mL Mg sin Ka tan a mgL sin 3 2

化简上式，得振动微分方程：
Ka 2 m M m 3 M Lg 2 0 2 L
单自由度有阻尼自由振动
利用对数衰减率求阻尼比
xi ln nT xi T
1 2 d nT n 2 2
ti 3T


4 2 2
例2
一个粘性阻尼单自由度系统，在振动时测出周期为1.8s,相邻两振幅之比
为4.2:1。求此系统的无阻尼固有频率。
由 x 0，得最大振幅发生在 tm
根据题意有：
c 0.1 2 mk

1
d
arctan
d n
注意：最大振幅并不发生在
sin d t 1 即 t
此时：
n
k 4.9( s 1 ) m
2 1
时， 2d
d 1 n 4.875( s )
d 1 2 n
单自由度有阻尼自由振动
x e nt B1 B2 cos d t j B1 B2 sin d t
ent B3 cos d t B4 sin d t
n t
e
x0 n x0 sin d t x0 cos d t d
2 2 n n
1
2
不属于振动
单自由度有阻尼自由振动 j 1 当 1时
2 1,2 n
j x Be
1
1 2 n t j 1 2 n t

e
n t
B e
1
j B e
2
1 2 n t

B2 e
j 1 2 n t
随着时间的增加，xh(t)将趋于消失，所以将有
x(t ) xs (t )
X F ( k 2 m) 2 2 c 2 X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
F ( k m) c
2 2 2 2
sin(t )
F
振幅

2 k (1 2 n )2 2 c 2 k 2
解：
系统自由振动的微分方程为：

m x c x kx 0 x 0 n x0 x ent x0 cos d t sin d t d x0 0，x0 v 初始条件下的响应为： v nt v nt x e sin d t , x e (d cos d t n sin d t ) d d
式中，等效静位移 X 0 F k ， 频率比 / n 振幅放大因子
M X 1 X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
X 1 X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
M
振幅放大因子
/ n
等效静位移
从而得到
F X Xe j k 2 m jc
式中X为振幅，是复振幅 X 的模，即
X X
F ( k 2 m) 2 2 c 2
c k 2m

为相角，是复振幅 X 的幅角，有
arctg X tan 1
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
因此，方程的特解 xs (t ) X e jt Xe j e jt Xe j t 方程的通解为（取虚部）
mg
固有频率：
Mg
n
Ka 2 m M m 3
M Lg 2 2 L
rad / s
例：求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率
系统的动能为
系统的动能为
2 1 1 3W 2 2 2 T mo1 J o1 R r 2 2 4g
M
GI P Keq l
扭转刚度 K eq
GI Pwk.baidu.coml
单自由度有阻尼自由振动
以静平衡位置为原点，列运动微分方程：
m k x cx mg x
m cx kx 0 x

标准形式方程
2 x 2n x n x 0

固有圆频率
X0 F k
频率比
简谐激励下的强迫振动
共振条件
dM 0 d
* 1 2 2 1
M max M * 1 2 1 2
旋转不平衡质量引起的强迫振动
系统的振动微分方程
单自由系统
me 2
x
e m
d 2x d2 ( M m) 2 m 2 ( x e sin t ) c x kx dt dt
a n l
c a k k 2n 2 cc l m m 2l a 2c cc mk 2n 2 l m a 1 a 2c ac 2n l 2 m 2l mk
a d 1 n l
2
k ca m 2ml
2
单自由度有阻尼自由振动
2
2 1 n


单自由度有阻尼自由振动
解的讨论：
1,2 2 1 n


当 1时，1 2 n
x B1 B2t e nt
不属于振动
当 1时，1、2都是负实数
x B1e B2e
1t 2t
1 t B e 1 t Be
n
k m
阻尼比

c 2 mk
=
c cc
临界阻尼系数
cc
单自由度有阻尼自由振动
2 x 2n x n x 0
运动方程的解 常系数线性齐次微分方程通解
x Bet
2 2 2n n 0
特征方程
解得其特征根为
1,2
2 2 2n 4 2n 4n
X
F
m 2 e me 2 M X (k 2 M ) 2 2c 2 (1 2 )2 (2 ) 2
系统的振动放大因子为：
MX me
d XM 0 d me 1 * 1 2 1 2 XM 1 M * me max 2 1 2


x(t ) xh (t ) xs (t )
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
齐次方程


m x c x kx 0
齐次方程通解


xh (t ) Aent sin(d t )
Fsint
A：振幅
：阻尼比
d 1 2 n：有阻尼固有圆频率
：相位角
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
用复指数法求特解 xs (t )
jt 设激振力 F t Fe
jt 假定方程的特解为 xs (t ) Xe


Fsint
解
ln 4.2 1.435

4
2 2
0.22265
n
2 T 1
2
1.14 3.58
作业 2——3、10、11、12、16、30b
例2-31：质量m=2000kg,以匀速度v=3cm/s运动，与弹簧k，阻尼器c相撞 后一起做自由振动。请问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振 幅是多少？已知 k 48020 N / m, c 1960 N s / m。
系统的势能为 U W R r 1 cos 2W R r sin 2
由于圆柱体作微振动，故系统的最大动能

2
Tmax
系统的最大势能
3W 2 R r n 2 A2 4g
1 U max W R r A2 2
由机械能守恒，有 Tmax U max ，解的系统的固有频率为