两点边值差分算法

(exp(A+0.5*h)/(h*h)+2.0*(A+h)/h)*exp(A);
for(i=2;i<n;i++)
{
f[i]=(i*i*h*h+(2.0*A+4.0)*i*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+i*h))*exp(A+i*h);
}
f[n]=(n*n*h*h+(2.0*A+4.0)*n*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+n*h))*
0.363636 1.438551 1.438916 0.000365
0.454545 1.575457 1.575847 0.000390
0.545455 1.725392 1.725784 0.000391
0.636364 1.889597 1.889966 0.000368
0.727273 2.069429 2.069750 0.000321
}
x[n]=y[n];
for(i=n-1;i>=1;i--)
{
x[i]=y[i]-beta[i]*x[i+1];
}
}
int main(int argc,char *argv[]) //椭圆型方程两点边值问题！在此我们假设u(x)是给定的函数，因此我们可以求得准确的
{ //误差估计来加深我们对这一方法及其理论准确性的理解。令u(x)=exp(x),q(x)=x^2
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.047619 1.048771 1.048792 0.000021
0.095238 1.099921 1.099960 0.000040
0.142857 1.153565 1.153620 0.000055
0.190476 1.209826 1.209894 0.000069
0.818182 2.266375 2.266621 0.000245
0.909091 2.482065 2.482205 0.000140
n为10时最大误差：0.000391
误差2-范数e[0]：0.000291
输入划分区间等份的点数n(输入0结束程序）：
20
输入区间左端点的值A：
0
输入区间右端点的值B(输入0结束程序)：
}
a[n]=-exp(A-0.5*h+n*h)/(h*h)-2*(A+n*h)/h;
b[n]=(exp(A+0.5*h+n*h)+exp(A-0.5*h+n*h))/(h*h)+(A+n*h)*(A+n*h);
f[1]=(h*h+(2.0*A+4.0)*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+h))*exp(A+h)+
其中步长 。记h =x - x ，称h = maxh 为网格最大步长。取相邻节点x ，x 的中点x = x +x )( i = 1 , 2 ,…, N)，称为半整数点。
三．离散格式
1.直接差分化
将方程（1）在节点 离散化，当 足够小时，得到逼近方程（1）的差分方程：
（3） ，
式中 。
差分方程（3）当 时成立，加上边值条件 ，得到关于 的线性代数方程组：
if(scanf("%lf",&A)) printf("输入区间右端点的值B(输入0结束程序)：\n");
while(scanf("%lf",&B)&&B&&n)
{
h=(B-A)/(n+1);
b[1]=(exp(A+1.5*h)+exp(A+0.5*h))/(h*h)+(A+h)*(A+h);
c[1]=2.0*(A+h)/h-exp(A+1.5*h)/(h*h);
return 0;
}
例2令函数u(x)=exp(x)，函数q(x)=exp(x)，函数r(x)=0，函数p(x)=x，其中区间端点A=0,B=1。
程序结果如下：
输入划分区间的点数n(输入0结束程序)：
10
输入区间左端点的值A：
0
输入区间右端点的值B(输入0结束程序)：
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.380952 1.463678 1.463940 0.000262
0.428571 1.535063 1.535315 0.000252
0.476190 1.609930 1.610170 0.000240
0.523810 1.688448 1.688674 0.000227
0.571429 1.770795 1.771006 0.000211
n为10时最大误差：0.000937
误差2-范数e[0]：0.000696
输入划分区间的点数n(输入0结束程序）：
20
输入区间左端点的值A：
0
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.047619 1.048771 1.048961 0.000190
0.095238 1.099921 1.100161 0.000240
for(i=2;i<n;i++)
{
b[i]=(exp(A+0.5*h+i*h)+exp(A-0.5*h+i*h))/(h*h)+(A+i*h)*(A+i*h);
a[i]=-exp(A-0.5*h+i*h)/(h*h)-2*(A+i*h)/h;
c[i]=2.0*(A+i*h)/h-exp(A+0.5*h+i*h)/(h*h);
exp(A+n*h)-(2.0*(A+n*h)/h-exp(A+n*h+0.5*h)/(h*h))*exp(B);
catchup();
printf("xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]\n");
tem=0;
T=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
temp=exp(A+i*h);
void catchup() //用追赶法解对角占优的三对角线方程组
{
int i;
beta[1]=c[1]/b[1];
for(i=2;i<n;i++)
{
beta[i]=c[i]/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);
}
y[1]=f[1]/b[1];
for(i=2;i<=n;i++)
{
y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);
（4） ，
，
2.积分插值法
用中心差分格式来代替方程（1）中函数导数在x 的值得到它的差分方程：
（5） ，
，
四．数值例子
例1令函数u(x)=exp(x)，函数q(x)=x^2，函数r(x)=4x，函数p(x)=exp(x)，其中区间端点A=0,B=1。
程序结果如下：
输入划分区间等份的点数n(输入0结束程序）：
0.090909 1.095169 1.095915 0.000746
0.181818 1.199396 1.200299 0.000903
0.272727 1.313542 1.314479 0.000937
0.363636 1.438551 1.439466 0.000915
0.454545 1.575457 1.576314 0.000857
0.476190 1.609930 1.610038 0.000108
0.523810 1.688448 1.688556 0.000108
0.571429 1.770795 1.770901 0.000106
0.619048 1.857158 1.857262 0.000103
0.666667 1.947734 1.947832 0.000098
0.714286 2.042727 2.042818 0.000090
0.761905 2.142353 2.142434 0.000081
0.809524 2.246838 2.246908 0.000070
0.857143 2.356418 2.356475 0.000056
0.904762 2.471343 2.471383 0.000040
0.952381 2.591873 2.591895 0.000021
n为20时最大误差：0.000108
误差2-范数e[1]：0.000080
log(e[0]/e[1])：1.290559
以上数值结果是通过直接差分方法用C++编程求得的。
附录1：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
k++;
printf("\n");
printf("输入划分区间等份的点数n(输入0结束程序）：\n");
if(scanf("%d",&n)) printf("输入区间左端点的值A：\n");
if(scanf("%lf",&A)) printf("输入区间右端点的值B(输入0结束程序)：\n");