2015.6.23 全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准

2015年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。

1.设a 、b 为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为2.若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(i 1,111⋅⋅⋅=++==+n n z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ,边DC 上（包含D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则向量与向量的数量积⋅的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+=y x y x y x K 所对应的平面区域的面积为7.设w 是正实数，若存在)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+wb wa ，则w 的取值范围是8.对四位数)9,,0,91(≤≤≤≤d c b a abcd ，若d c c b b a ><>,,，则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,则称abcd 为Q 类数.用)(),(Q N P N 分别表示P 类数和Q 类数的个数，则)()(Q N P N -的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本小题满分16分）若实数c b a ,,满足cbacba424,242=+=+，求c 的最小值。

10.（本小题满分20分）设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji求4321a a a a +++的值。

2015年全国高中数学联合竞赛试卷

2015 年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则⋅的最小值为．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集K={}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a c b a 424,242=+=+，求c 的最小值．10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i a a j i ，求4321a a a a +++的值．11．（本题满分20分）在平面坐标系xOy 中，21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．加试（A 卷）1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i n i ia n a a ε．2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈Y ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈Y ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少k n 个集合．3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ．。

2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．

答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ，于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被

2015年全国高中数学联赛试题答案

1≤i ≤ k
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ），故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2

2015全国高中数学竞赛试题

2015年全国高中数学竞赛试题一、简述：2015年全国高中数学竞赛试题，作为一场高水平的数学竞赛，其试题设计严谨，旨在全面检测参赛者在数学学科上的知识掌握、思维逻辑和问题解决能力。

试题内容通常涵盖代数、几何、数论等多个数学领域，要求参赛者具备扎实的数学基础和灵活的解题思维。

二、内容分析：该竞赛试题通常包含选择题、填空题和解答题等多种题型，每种题型都有其特定的考查重点。

选择题和填空题主要检测参赛者对数学基础知识点的掌握程度，而解答题则更注重对参赛者思维逻辑和问题解决能力的考查。

整体而言，试题内容既注重基础知识的考查，又强调对数学思想的深入理解和灵活运用。

三、特点分析：综合性强：试题往往融合了多个数学领域的知识点，要求参赛者具备全面的数学素养和跨学科的解题能力。

思维灵活：试题设计注重引导参赛者运用多种数学思想和解题方法进行问题求解，鼓励创新思维和发散性思维。

难度递进：试题难度通常呈现出递进的特点，从基础题到难题逐渐过渡，有利于全面评估参赛者的数学水平。

四、难易程度分析：整体而言，2015年全国高中数学竞赛试题的难度属于较高水平。

基础题部分主要考查参赛者的基本数学知识和解题技巧，难度适中；而难题部分则对参赛者的数学思维和问题解决能力提出了更高的要求，难度较大。

这种难度设计既保证了竞赛的区分度，又充分展现了数学学科的挑战性和趣味性。

需要注意的是，以上分析仅基于一般性的了解和推测，实际试题的难度和特点可能会有所不同。

因此，在准备此类竞赛时，建议参赛者充分熟悉竞赛要求和历年试题，制定科学的备考策略，全面提升自己的数学素养和解题能力。

由于我无法提供2015年全国高中数学竞赛的全部真实试题，我将根据该竞赛的一般特点和难度，为您模拟举例一些可能的试题。

请注意，以下试题仅为示例，并非真实的2015年竞赛试题。

2015年全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题1.若复数 (z) 满足 (z + |z| = 2 + i)，其中 (i) 是虚数单位，则 (z) 等于：A. (1 + i)B. (1 - i)C. (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i)D. (\frac{4}{3} + i)2.已知等差数列 ({ a_n }) 的前n项和为 (S_n)，若 (a_2 + a_4 = 10)，则 (S_5) 等于：A. 20B. 25C. 50D. 1003.设函数 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) 的图像关于原点对称，且 (f(x))在 (x = 1) 处的切线斜率为 -6，则下列说法正确的是：A. (a = 2, b = 0)B. (a = -2, b = 0)C. (a = 2, c = 0)D. (a = -2, c = 0)二、填空题1.设实数 (a, b, c) 满足 (a^2 + b^2 + c^2 = 1)，则 (ab + bc + ca) 的最大值是 _______。

2015年全国高中数学联赛试题及答案解析

5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即，得 VOABC abc 45 ．当，故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3

2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan

3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等比数列，所以所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析

33 ,
.
22
于是每个小三角形的面积为
1 2
×4×
3 2
= 3，
所以阴影部分的面积为 3 × 8 = 24.
y
33 A,
22
O
x
7. 设 ω 为正实数，若存在 a, b(π ⩽ a < b ⩽ 2π)，使得 sin ωa + sin ωb = 2，则 ω
的取值范围是
.
解答
依题意，存在
k, l
∈
Z，使得
设 A(x1, y1), B(x2, y2), F1(−1, 0)，则
y1
+
y2
=
2km −k2 + 2,
y1y2
=
m2 − 2. k2 + 2
且 ∆ = 4k2m2 − 4(k2 + 2)(m2 − 2) = 8(k2 − m2 + 2) > 0.
于是
kAF1
+
kBF1
=
y1 x1 +
1
+
y2 x2 +
−
1 2
=
1007
⇒
z2015
=
2015
+
1007i.
4. 在矩形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，边 DC 上 (包含点 D、C) 的动点 P 与
CB 延长线上 (包含点 B) 的动点 Q 满足 |D# P»| = |B# Q»|，则向量 P# A» 与向量
#» PQ
的数量积
#» #» PA · PQ
为满足 d = 0 的 P 类数的个数，记 A 为满足 d = 0 的 P 类数的集合.

2015数学高中联赛试题及答案

2015数学高中联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(2) \)的值。

A. -1B. -15C. 7D. 15答案：B2. 若\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。

A. 1B. 4C. 9D. 16答案：C3. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，点P(1,2)在圆上，求过点P的切线方程。

A. \( y = x + 1 \)B. \( y = -x + 3 \)C. \( x + y - 3 = 0 \)D. \( x - y + 1 = 0 \)答案：C4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \sin2\alpha \)的值。

A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. -1D. -\( \sqrt{2} \)答案：A5. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 37B. 38C. 39D. 40答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( \log_{2}8 + \log_{4}16 = x \)，求\( x \)的值。

答案：38. 已知\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \)的和为S，求S的值。

答案：小于5但大于4.59. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)且\( x + y = 12 \)，求\( x \)和\( y \)的值。

2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ．先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4

cos 2 sin 2 sin
sin 2

(1 sin )(1 cos2 )

2 sin
cos2

2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表

全国高中数学联赛试卷解析

2015 年全国高中数学联合比赛（A 卷）参照答案及评分标准一试说明：1. 评阅试卷时，请依照本评分标冶填空题只设。

分和香分两档；其余各题的评阅，请严格依照本评分标准的评分品位给分，不要增添其余中间品位 .2. 假如考生的解答方法和本解答不一样，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分，解答题中第9 小题 4 分为一个品位，第 10、11 小题该分为一个品位，不要增添其余中间品位．一、填空题：本大题共 8 小题，每题 8 分，满分 64 分．1．设 a,b 为不相等的实数，若二次函数 f ( x) x 2 ax b 知足 f ( a) f (b) ，则 f (2)答案：4. 解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得ab a ，22即 2a b 0 ，所以 f (2)4 2a b4 ．2．若实数知足 cos tan ，则 1cos 4的值为．答案： 2.sin解：由条件知， cos 2sin，频频利用此结论，并注意到 cos 2 sin 2 1，得 1cos 4cos 2sin 2sin 2(1sin)(1 cos 2 )sinsin2 sincos 22 ．3．已知复数数列 z n 知足 z 1 1, z n 1zn 1 ni(n 1,2, ) ，此中 i 为虚数单位， z n 表示 z n 的共轭复数，则 z 2015 ．答案： 2015 + 1007i ．解：由己知得，对全部正整数 n ，有zn 2zn 11 ( n 1)i z n 1 ni 1 (n 1)i z n2 i ,于是 z2015 z 1 1007 (2 i ) 2015 1007i ．4．在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1，边 DC 上（包括点 D 、C ）的动点 P与 CB 延伸线上（包括点 B ）的动点 Q 知足条件 DP BQ ，则PA PQ 的最小值为．答案 3．4解：不如设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l )．设 P 的坐标为（ t , l)（此中 0 tuuur uuur2），则由 | DP || BQ |得 Q 的坐标为（ 2，uuur uuur (2 t , t 1) , 所以，- t ) ，故 PA ( t, 1), PQuuur uuur( t) (2 t) ( 1) ( t 1) t 2 t 1 (t1)2 3 3 ． PA PQ 1 uuur uuur 3 ．2 4 4当 t时， ( PA PQ)min2 45．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．答案： 2．解：设正方体为 ABCD-EFGH ，它共有 12 条棱，从中随意55拿出 3 条棱的方法共有 C 123 =220 种．下边考虑使 3 条棱两两异面的取法数．因为正方体的棱共确立 3 个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），拥有同样方向的 4 条棱两两共面，所以拿出的 3 条棱必属于 3 个不一样的方向．可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法．不如设取的棱就是 AB ，则 AD 方向只好取棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能．当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别只好是 CG 或 DH ．由上可知， 3 条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为 82 ．220 556．在平面直角坐标系 xOy 中，点集 (x, y) ( x 3y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平面地区的面积为．答案：24．解：设K 1{( x, y) || x | |3y | 6 0} ．先考虑 K 1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 , 故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知， K 1 对应的地区是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．同理，设K 2 {( x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K 2 对应的地区是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．由点集 K 的定义知， K 所对应的平面地区是被 K 1 、K 2 中恰巧一个所覆盖的部分，所以此题所要求的即为图中暗影地区的面积 S ．因为直线 CD 的方程为 x 3y 6 ，直线 GH 的方程为 3x y 6 ，故它们的交点 P 的坐标为 ( 3 , 3 ) ．由对称性知， S 8S CPG 8 1 4 3 24 ．2 22 27．设为正实数，若存在实数 a,b( a b 2 ) ，使得 sin a sin b 2 ，则的取值范围为．答案： w [ 9 , 5) U [13, ) ．解： sin a sin b 2 知， sin a sin b 1 ，4 2 4而 si a, b [ w ,2w ] ，故题目条件等价于：存在整数 k, l (k l ) ，使得w2k2 2l 2w． ①2当 w 4 时，区间 [ w,2w ] 的长度不小于 4 ，故必存在 k,l 知足① 式．当 0 w 4 时，注意到 [ w ,2w ] (0,8 ) ，故仅需考虑以下几种情况：(i) (ii)(iii)w2 5 2w ，此时 w 1 且 w 5无解；224w59 2w ，此时9w5 ;2 2 42w9 13 2w ，此时13w9,得13w 4 ．22424综合 (i) 、 (ii) 、 (iii)，并注意到 w4亦知足条件，可知w [ 9 , 5) U [13, ) ．4 248．对四位数 abcd ( 1 a 9,0 b ， c, d 9 ) ，若 a b, b c, c d, 则称 abcd 为 P 类数；若 a b,b c,c d ，则称 abcd 为 Q 类数，用 N(P)和 N(Q)分别表示 P 类数与 Q 类数的个数，则 N(P)-N(Q) 的值为．答案： 285．解：分别记 P 类数、 Q 类数的全体为 A 、B ，再将个位数为零的 P 类数全体记为 A 0 ，个位数不等于零的尸类数全体记为A 1 ．对任一四位数 abcdA1 ，将其对应到四位数 dcba ，注意到 a b, b c, c d 1 ，故 dcba B ．反之，每个 dcba B 独一对应于从中的元素 abcd ．这建立了 A 1 与 B 之间的一一对应，所以有N (P) N(Q) | A| |B| |A 0| |A 1| |B| |A 1|．下边计算 | A 0 | 对任一四位数 abc0 A 0 , b 可取 0, 1 ，， 9，对其中每个 b ，由 b a 9 及 b c 9 知， a 和 c 分别有 9 b 种取法，从而9b) 2 9k 2 9 10 19285 ．|A 0|(9b 0k 16所以， N(P) N(Q) 285 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。

2015全国高中数学联赛

点 F1 的直线 l 与椭圆交于两个不同的点 A、B，焦点 F2 到直线 l 的距离为 d ．如果直线
AF1、l、BF1 的斜率依次成等差数列，求 d 的取值范围.
加试 1.设 a1 , a2 , , an ( n 2) 为实数. 证明：可以选取 1 , 2 , , n 1,1，使得
1 i n
2
n 明：存在 x Ai ，使得 x 属于 A1 , A2 , , An 中的至少个集合. k i 1
n
A
上一点， 3.如图，△ ABC 内接于 ⊙ O ，P 为弧 BC 点K 在线段 AP 上，使得 BK 平分 ABC. 过 K、 P、 C 三点的圆 Γ 与边 AC 交于点 D，联结 BD ，与圆 Γ 交于点 E ，联结 PE 并延长，与边 AB 交于点 F . 证明： ABC 2FCB. 4.求所有具有下述性质的正整数 k ：对任意正整数 n ，都有 2
n n n ai i ai (n 1) ai2 . i 1 i 1 i 1
2.设 S A1 , A2 , , An ( n 2) ，其中， A1 , A2 , , An 为 n 个互不相同的有限集合，满足对任意 Ai A j S ，均有 Ai A j S . 若 k min Ai 2 ( X 表示有限集合 X 的元素个数.)，证
.
3.已知复数数列 z n 满足 z1 1， z n 1 z n 1 n i( n 1,2, ) ，其中 i 为虚数单位， z n 表示 z n 的共轭复数，则 z 2015 的值为 .
4.在矩形 ABCD 中， AB 2 ， AD 1，边 DC 上的动点 P 与 CB 延长线上的动点 Q 满足

2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2015年全国高中数学联赛（B 卷）（一试）一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x xa x f x，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围是 2：已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值是4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得121100a a a a k >+⋅⋅⋅++的最小正整数k 的值是6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为7：设P 为椭圆13422=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为8：正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,，则1≥+ji OA OA 的概率为二、解答题9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+（1）求{}n a 的通项公式；（2）如果存在实数c 使得c a ki i<∑=11对所有正整数k 都成立，求c 的取值范围10：（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值 11：（本题满分20分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，存在经过点F 的一条直线l 交椭圆于B A ,两点，使得OB OA ⊥，求该椭圆的离心率的取值范围（加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数c b a ,,都有：21)()()()()()(222222≥-+-+--+-+-a c c b b a ab c ac b bc a ，并确定等号成立的充要条件2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，设I 为其内心，设D 为ABC ∆内的一个点，满足D C B I ,,,四点共圆，过点C 作BD 的平行线，与AD 的延长线交于E求证：CE BD CD ⋅=23：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组)2015,,)(,,(>c b a c b a 满足：4：（本题满分50分）给定正整数)2(,n m n m ≤≤，设m a a a ,,,21⋅⋅⋅是n ,,2,1⋅⋅⋅中任取m 个互不相同的数构成的一个排列，如果存在{}m k ,,2,1⋅⋅⋅∈使得k a k +为奇数，或者存在整数)1(,m l k l k ≤<≤，使得l k a a >，则称m a a a ,,,21⋅⋅⋅是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。

2015全国高中数学联赛一试（A卷）试题及其解答

2015全国高中数学联赛一试（A卷）试题及其解答2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)2014全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答2014全国高中数学联赛加试(A卷)试题及其解答2014全国高中数学联赛一试、加试(B卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）不等式题的解参考文献:宋庆 2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing张云华：2015全国高中数学联赛一试(A卷) 第9题解2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）第1,2题的详解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）第3题的参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）第4题的解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）8题的详解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）解析几题的解原解有误,现修正.参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing张云华：2015全国高中数学联赛一试(A卷)第10题解2015全国高中数学联赛一试(A 卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A ）8题的详解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 S qing张云华:求最小值2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)张云华 :2015全国高中数学联赛一试(A卷) 第10题一变式2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)anzhenping 问题2494 2015年全国高中数学竞赛第一试第9题背景杏坛孔门 2015年全国高中数学联赛A卷试题及其解答yellow19811024 2015年全国高中数学联赛A卷第7题解答。

2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2015年全国高中数学联赛（B 卷）（一试）一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x xa x f x，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值围是2：已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值是4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得121100a a a a k >+⋅⋅⋅++的最小正整数k 的值是6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为7：设P 为椭圆13422=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,，1≥+的概率为二、解答题9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式；（2）如果存在实数c 使得c a ki i<∑=11对所有正整数k 都成立，求c 的取值围10：（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值11：（本题满分20分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，存在经过点F的一条直线l 交椭圆于B A ,两点，使得OB OA ⊥，求该椭圆的离心率的取值围（加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数c b a ,,都有：21)()()()()()(222222≥-+-+--+-+-a c c b b a ab c ac b bc a ，并确定等号成立的充要条件 2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，设I 为其心，设D 为ABC ∆的一个点，满足D C B I ,,,四点共圆，过点C 作BD 的平行线，与AD 的延长线交于E 求证：CE BD CD ⋅=23：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组)2015,,)(,,(>c b a c b a 满足：1,1,1++-ab c ac b bc a4：（本题满分50分）给定正整数)2(,n m n m ≤≤，设m a a a ,,,21⋅⋅⋅是n ,,2,1⋅⋅⋅中任取m 个互不相同的数构成的一个排列，如果存在{}m k ,,2,1⋅⋅⋅∈使得k a k +为奇数，或者存在整数 )1(,m l k l k ≤<≤，使得l k a a >，则称m a a a ,,,21⋅⋅⋅是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。