高一数学人教A版必修四教案：1.2.1 任意角的三角函数 Word版含答案

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【优质文档】人教A版数学必修四教案：1.2.1任意角的三角函数(2)

§1.2.1第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x 轴交x 轴于点M ，则请你观察: 根据三角函数的定义：|||||sin |MP y ；|||||cos|OM x 随着在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x 同理,当角的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMP y 4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）. 5.如何用有向线段来表示角的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有O x ya 角的终P TMAtany AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42，试比较,tan ,sin ,cos 的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】二、作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1)sin15、tan15（2）'cos15018、cos121（3）5、tan 52．练习三角函数线的作图.。

数学人教A版必修4教学设计：1.2.1任意角的三角函数 Word版含解析

教学设计1．2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时作者：范福太，上杭县明强中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖一、复习引入、回想再认(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？图1学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：sinα＝对边斜边，cosα＝邻边斜边，tanα＝对边邻边设计意图学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展)．温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少．二、引申铺垫、创设情景(情景2)我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对个别学生作启发引导．能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答．用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数．设计意图从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程．教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)：把锐角α安装(如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，构造一个Rt △OMP ，则∠MOP ＝α(锐角)，设P (x ，y )(x ＞0、y ＞0)，α的邻边OM ＝x ，对边MP ＝y ，斜边长|OP |＝r .图2根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数的比值：sin α＝斜边对边＝r y ，cos α＝斜边邻边＝r x ，tan α＝邻边对边＝xy . ？＝y r ？＝x r ？＝y x 设计意图此处做法简单，思想重要．为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形．初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数的定义．这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础．(情景3)思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin α＝MP OP＝y ； cos α＝OM OP＝x ； tan α＝MP OM ＝y x. 思考上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利于推广到任意角呢？本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化．图3三、探究新知1．探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如图4，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图4(1)y 叫做α的正弦(sine)，记做sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切(tangent)，记做tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P (x ，y )，从而就必然能够最终算出三角函数值．设计意图初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键．这样做能够使学生有效地增强函数观念．四、探索定义域(情景4)1.函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域．正弦函数sin α的对应法则是什么？正弦函数sin α的对应法则，实质上就是sin α的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y r 与之对应，即α→y r＝sin α. 2．布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围．关于sin α＝y r 、cos α＝x r ，对于任意角α(弧度数)，r ＞0，y r 、x r恒有意义，定义域都是实数集R .对于tan α＝y x ，α＝k π＋π2时x ＝0，y x 无意义，tan α的定义域是{α|α∈R ，且α≠k π＋π2}…… 教师指出：sin α、cos α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟．设计意图定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域．指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握．五、符号判断、形象识记(情景5)能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析，r ＞0，三角函数值的符号决定于x 、y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：图5sin α＝y r ：上正下负横为0；cos α＝x r：左负右正纵为0； tan α＝y x：交叉正负．设计意图判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求．要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键．六、例题讲解、理解记忆1．自学例1：求5π3的正弦、余弦和正切值． 2．例2：角α的终边经过点P (－3，－4)，求α的正弦，余弦及正切值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，又简单，更容易看清对应关系．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．如图6，设α是一个任意角，P (x ，y )是α终边上任意一点，点P 与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0，那么：图6①y r 叫做α的正弦，即sin α＝y r； ②x r 叫做α的余弦，即cos α＝x r； ③y x 叫做α的正切，即tan α＝y x(x ≠0)．这样定义三角函数，突出了点P 的任意性，说明任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P 在角的终边上的位置无关，教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点．3．例3：求下列三角函数值：(1)sin390°；(2)cos 19π6；(3)tan(－330°)．活动：引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明．由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．这个公式称为三角函数的“诱导公式一”．解：(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝12； (2)cos 19π6＝cos(2π＋7π6)＝cos 7π6＝－32； (3)tan(－330°)＝tan(－360°＋30°)＝tan30°＝33. 点评：本题主要是对诱导公式一的考查，利用公式一将任意角都转化到0～2π范围内求三角函数的值．七、课堂练习课本本节练习题1、2,3.处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义．强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π2、π、3π2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值．设计意图及时安排例题讲解，自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终．八、回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P ……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)设计意图遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．布置课外作业1．书面作业：习题1.2A组第1、2题．2．认真阅读本节“阅读与思考：三角学与天文学”，了解三角学在天文学中的重要作用．教学反思新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计．到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辩证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突．在这个立—破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成的，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思．这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解．再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的．培养数形结合的思想．第2课时作者：孟丽华教学背景1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学．借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具．2．学生学情分析：学习本节前，学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号，以及诱导公式一，为三角函数线的寻找做好了知识准备．高一上学期研究指、对数函数图象时，已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验．教学目标1．知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．2．能力目标：借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展探究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力．3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．教学重点难点1．重点：三角函数线的作法及其简单应用．2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来．教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学．2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展．3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点，展示自己的才能．教学过程一、设置疑问，实验探索(17分钟)，O为起点，M绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值．如：OM续表当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关二、作法总结，变式演练(13分钟)三、思维拓展，论坛交流(10分钟)1．让计算机软件和网络真正走入数学课堂，发挥它们的辅助作用．“让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题．本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求．几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学实验，探讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习．为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高．2．不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法．课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂，独立学习，所以不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法．本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路，让学生逐步领悟这种科学的研究方法，有利于他们今后能够独立地开展科研活动．3．使学生始终保持学习兴趣，快乐学数学．苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者．”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！附 1.2.1 任意角的三角函数第1课时作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖整体设计教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用．学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号．设计理念本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力．教学目标1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点与难点1．教学重点：任意角三角函数的定义．2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．教学过程第一部分——情景引入问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？图1设计意图高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知∠AOP ＝30°，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝h 0，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM .图2要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数．问题2：锐角α的正弦函数如何定义？学生自主探究：学生很容易得到图3sin α＝|MP ||OP |＝|MP |R⇒|MP |＝R sin α⇒|PH |＝h 0＋R sin α⇒h ＝h 0＋R sin α，所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h 为多少”．h 1＝h 0＋R sin30°；h 2＝h 0＋R sin45°.教师总结：t °在锐角的范围中，h ＝h 0＋R sin t °. 第三部分——引入新课问题3：请问t 的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想h ＝h 0＋R sin t °？分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．问题4：如图4建立直角坐标系，设点P (x P ，y P )，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?图4学生自主探究：sin α＝|MP ||OP |＝y PR，。

人教版高中数学必修四1.2任意角的三角函数1.2.1二含答案

1.2.1 任意角的三角函数(二) 课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是______；余弦函数y ＝cos x 的定义域是______；正切函数y ＝tan x 的定义域是_____________________________________________________________．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.一、选择题1. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4 D.3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α二、填空题7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为________． 8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.9．不等式tan α＋33>0的解集是______________． 10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．三、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．2．三角函数的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．1．2.1 任意角的三角函数(二)答案知识梳理1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } 2．MP OM AT MP OM AT作业设计1．C2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．]3．A [设α终边与单位圆交于点P ，sin α＝MP ，cos α＝OM ，则|OM |＋|MP |>|OP |＝1，即sin α＋cos α>1.]4．C [∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大， ∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.]5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D 正确．]6．A [如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.] 7.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 8.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 9.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z 解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z . 10.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1) 图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }． (2)图2 作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2. 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2. 13．解由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎨⎧ sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z . 14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

高中数学必修四教案-1.2.1 任意角的三角函数(6)-人教A版

任意角的三角函数【教学目标】1．理解三角函数定义。

三角函数的定义域，三角函数线。

2．理解握各种三角函数在各象限内的符号。

3．理解终边相同的角的同一三角函数值相等。

【能力目标】1．掌握三角函数定义。

三角函数的定义域，三角函数线。

2．掌握各种三角函数在各象限内的符号。

3．掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。

【教学过程】1．三角函数定义。

三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号。

诱导公式第一组。

2．确定下列各式的符号（1）sin100°·cos240° （2）sin5+tan53．x 取什么值时，xx x tan cos sin +有意义？ 4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<06．已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？讲解新课：1．求下列函数的定义域：（1）2cos 1y x =- （2）2lg(34sin )y x =-2．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？3．（1）若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)cos(sin θ)的符号；（2）若tan(cos θ)cot(sin θ)>0，试指出θ所在的象限，并用图形表示出2θ的取值范围。

4．求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ 证明：必要性：∵θ是第三象限角，∴⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ 充分性：∵sinθ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角。

人教A版高中数学必修四 1-2-1 任意角的三角函数学案含答案精品

1.2.1 任意角的三角函数（学案）一、学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.二、自主学习1．三角函数的定义:以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．设角α的终边上任一点P(x，y)，OP＝r(r≠0)，则定义：(1)余弦函数：________叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝________.(2)正弦函数：________叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝________.(3)正切函数：________叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝________.2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号4．诱导公式(一)终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k ·2π)＝________，cos(α＋k ·2π)＝________，tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z .三、合作探究探究1.(1)已知角α的终边经过点P (－3,4)，则sin α的值等于( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45(2)已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．探究2.(1)已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则 y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3(2)若sin 2α>0，cos α<0，试确定α所在的象限．探究3.求值：(1)sin(－1 740°)cos 1 470°＋cos(－660°)·sin 750°＋tan 405°；(2)sin217π4＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6tan 9π4.四、学以致用1.如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－332.已知角α的终边经过一点P (1，a )且cos α＝13，则a ＝________. 3.确定下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°； (2)sin 7π8·tan 7π8； (3)cos 6·tan 6.五、自主小测1．已知角α终边经过P (32，12)，则cos α＝( ) A.12 B.32 C.33 D ．±122．cos(－11π6)等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－323．已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角4．当α为第二象限时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是__________． 5．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．6.已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．参考答案1.【解析】由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 【答案】 B2.【解析】 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32. 【答案】 C3.【解析】由cos θtan θ＜0知，cos θ与tan θ异号，所以θ在第三或第四象限．【答案】 C4.【解析】因为α为第二象限角，所以|sin α|sin α＝1，|cos α|cos α＝－1. 【答案】 25.【解】 ∵角α的终边过点P (5，a )且tan α＝－125，∴a 5＝－125，∴a ＝－12. 因此r ＝|OP |＝52＋a 2＝13，sin α＝－1213，cos α＝513，故sin α＋cos α＝－1213＋513＝－713. 6.【思路探究】此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．【解析】点P 到原点的距离r ＝－32＋m 2＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m 2＝24m ，解得m ＝0或m ＝± 5. (1)当m ＝0时，cos θ＝－33＝－1，tan θ＝0. (2)当m ＝5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝5－3＝－153. (3)当m ＝－5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝－5－3＝153.。

高中数学人教A版必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数第2课时教案

4-1.2.1 任意角的三角函数（二）方案二：【学情分析】：（适用于平行班）三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）培养学生善于观察、勇于探索的数学能力，学习转化思想，提高解题能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：通过对有向线段的复习，分解教学难点，同时引导学生动手画图操作，通过观察、分析，获得新知.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“引出问题、温故知新、分解难点、引导讨论、巩固应用”——启发式教学（2）学法选择：类比，达到知识迁移；动手实验，以理解知识；分析讨论，学会应用知识.【课前准备】：课件教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，l=α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.六、巩固训练，提高能力例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）136π-．学生先做,然后投影展示一个学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.解：图略．例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)32sinπ与54sinπ;(2) cos32π与cos54π; (3) tan32π与tan54π解：如图可知：32sinπ>54sinπcos32π>cos54πtan32π< tan54π学生先做，教师引导学生利用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想．例3利用三角函数线画出适合下列条件的角α的终边：（1）21sin=α；（2）21cos-=α；（3）1tan=α.共同分析（1），设角α的终边与单位圆交于P(yx,),则αsin=y,所以要作出满足21sin=α的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为21的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.巩固新知，提高运用知识的能力体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.oBAT2T1P2 P1M2M1。

最新人教A版高中数学必修4讲义：第一章 1.2 1.2.1 第一课时三角函数的定义与公式一 Word版含答案

1．2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义[点睛]三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22[典例] 设a α＋2cos α的值等于( )A ．25B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)，所以r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512， ∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13， ∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. ∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限．又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0. ∴α2在第二象限． [答案] (1)D (2)B[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限．答案：四[典例] (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，32 B ．⎝⎛⎭⎫－12，32 C ．⎝⎛⎭⎫－32，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1B ．－1C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5.6．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713. 答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋ cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的11 值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

高一数学人教A版必修四教案：任意角的三角函数 Word版含答案

任意角的三角函數教學目的：知識目標：1.復習三角函數的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式； 2.利用三角函數線表示正弦、余弦、正切的三角函數值；3.利用三角函數線比較兩個同名三角函數值的大小及表示角的範圍。

能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數值，從而使學生對三角函數的定義域、值域有更深的理解。

德育目標：學習轉化的思想，培養學生嚴謹治學、一絲不苟的科學精神；教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。

教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。

授課類型：新授課教學模式：講練結合教具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：1．三角函數的定義及定義域、值域：練習1：已知角α的終邊上一點()P m ，且sin α=cos ,sin αα的值。

解：由題設知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =從而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=當0m =時，r x ==cos 1,tan 0x yxαα==-==；當m =r x ==cos tan x y r x αα====；當m =r x ==cos tan x y r x αα==== 2．三角函數的符號：練習2：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α終邊所在的象限；（3）試判斷tan ,sin cos 222ααα的符號。

3．誘導公式：練習3：求下列三角函數的值：（1）9cos4π，（2）11tan()6π-，（3）9sin 2π．二、講解新課：當角的終邊上一點(,)P x y 1=時，有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數線。

1．單位圓：圓心在圓點O ，半徑等於單位長的圓叫做單位圓。

2．有向線段：坐標軸是規定了方向的直線，那麼與之平行的線段亦可規定方向。

規定：與坐標軸方向一致時為正，與座標方向相反時為負。

3．三角函數線的定義：設任意角α的頂點在原點O ，始邊與x 軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P (,)x y ，過P 作x 軸的垂線，垂足為M ；過點(1,0)A 作單位圓的切線，它與角α的終邊或其反向延長線交與點T .由四個圖看出：當角α的終邊不在坐標軸上時，有向線段,OM x MP y ==，於是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====．我們就分別稱有向線段,,MP OM AT 為正弦線、余弦線、正切線。

高中数学必修四人教A版教案1-2任意角的三角函数-1-1

1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时三角函数的定义1.知识与技能(1)掌握任意角的三角函数的定义.(2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一.2.过程与方法(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力.(2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式.(2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式.公式一是本小节的另一个重点.难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号.三角函数符号的由来sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦,他是十五世纪西欧数学界的领导人物,他于1464年完成的著作《论各种三角形》,1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科.cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现.secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯·芬克首创,最早见于他的《圆几何学》一书中.cosecant(余割)一词为锐梯卡斯所创,最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书.1626年,阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin ”“tan ”“sec”.1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos ”“cot”“csc”.但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来.1949年至今,我国数学书籍中“cot”改为“ctg”;“tan ”改为“tg”,其余四个符号均未变.这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan ”而无“tg”按键的缘故.。

高一数学人教A版必修四教案：第一章三角函数 Word版含答案

三角函数模块专题复习——任意角的三角函数及诱导公式一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数的基础知识及简单应用.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：掌握三角函数的基础知识及简单应用，培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、教学重点与难点教学重点:三角函数的图形和性质.教学难点: 三角函数的图形和性质.四．要点精讲1．任意角的概念旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。

规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径。

高中数学人教A版必修四教学案：1.2任意角的三角函数-含答案

第1课时三角函数的定义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 11～P 15的内容，回答下列问题．如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P (a ，b )，它与原点的距离r ＝a 2＋b 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？提示：sin_α＝MP OP ＝b r ，cos_α＝OM OP ＝a r ，tan_α＝MP OM ＝ba.(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？提示：不会随P 点在终边上的位置的改变而改变．(3)若将点P 取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tan α各为何值？提示：sin_α＝b ，cos_α＝a ，tan_α＝ba.(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？提示：上述结论仍然成立．(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝yx .2．归纳总结，核心必记 (1)任意角的三角函数的定义(3)规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (4)公式一①终边相同的角的同一三角函数的值相等． ②公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .[问题思考]。

统编通用版高考全套电子教案之高一数学人教A版必修四教案：第一章三角函数Word版含答案

.本
节教材通过 4 个例题 ,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用
,在素材的选择上注意了
广泛性、真实性和新颖性 ,同时又关注到三角函数性质 (特别是周期性 )的应用 .
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题
,培养他们综合应用数学和其他学科的知
识解决问题的能力 .培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力
X轴
| k 180 , k Z
Y轴坐标轴
| k 180 90 , k Z | k 90 , k Z
2． α 、、 2α 之间的关系。
2
若 α 终边在第一象限则轴。
终边在第一或第三象限；
2
2α 终边在第一或第二象限或
y 轴正半
若 α 终边在第二象限则轴。
终边在第一或第三象限；
2
2α 终边在第三或第四象限或
，相位是 x ，

初相是；其图象的对称轴是直线
x
k
(k Z ) ，凡是该图象与直线 y B 的交点都
2
是该图象的对称中心。 4．由 y＝ sinx 的图象变换出 y＝ sin(ω x＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途
径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”
题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。
三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关 . 我们只需计算点到原点的距
离r
x2 y2 , 那么 sin
y , cos x2 y2

人教A版数学必修四教案：1.2.1任意角的三角函数(1)

1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？yP（a，b）rO M借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。