22配方法(三)

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华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法配方法》公开课课件_11

一元二次方程的解法
例2 用配方法解下列方你程知：道用配方法解一
(1) x2 -4x +1 = 0
元二次方程的步骤了
解: 移项,得 x2 - 4x =-1
吗？
1、移项：常数项移到方程右
方程左边配方，得
边.
x2 –2·x·2 + 22 = -1+ 22 2、配方：将方程左边配成一个
完全平方式。(两边都加上一次
例1. 解下列方程：
一元二次方程的解法
x2 + 2x = 5
思考：能否经过适当变形，将它们转化为 2 a
的形式，用直接开平方法求解？
解: 原方程两边都加上1，得
x2 + 2x +1 = 6 _(x__+_1_)_2 = __6__
即: __x_+_1_ = ±__√_6_ ∴ _x_1____6__1_ , _x_2 ____6__1
xΒιβλιοθήκη 52

41
2 4
x 5 41
2
2
x1

5 2
41
,
x2

5 2
41
课堂
演练三
一元二次方程的解法
试讨论关于x的一元二次方程 x2 -2x -m = 0的解的情况
小结
请你和同桌讨论一下： 1、配方法的步骤？2、我们在配方的过程中应该注意什么问题？
课堂作业:
一元二次方程的解法
演练二
用配方法解下列方程:
(1) x2 -2x -1 = 0 (2) x2–4 = 5x
解: x2 2x 1
3 x2 2x 111
解: x2 5x 4

22。3-4二次函数配方法专项练习试题

图象。
2
配方可得 y 1 x2 6x21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x21 的顶点是（6，3），对称轴 2
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y1x2 6x21 2
·· ·
··
3
·y
10
4
5
6
7
8
9
·· ·
y 1x2 3x4 2
yx2 5x-3
x25x （ -5） 2（ - -5） 2-3 22
（x25x25） -25-3 44
（x5）2 - 37 24
y-x212x9
（ -x21x 2） 9
（ -x2 1x2 3-6 3） 69 （ -x2 1x2 3） 6 （ 3 6 9 ）
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最值
yx22x2
y2x24x8
y2x2 8x
y 3x2 2x
yx22x
y

1x2 2
-2
x3
y1x24x3 2
2 抛物线如何 y2x24x5平移得到 y 2x2
范例
例2、画出 y1x2 6x21二次函数的
b 4ac b2

2a
,
4a

的对称轴是 x b 顶点 2a
1、二次函数 y = ax2 + bx + c (a、b、c为常数，a≠0)的图象是一条抛
物线，它的表达式也可以是 yaxh2 k ，
其中 h b ,k4acb2
2a
4a
2、二次函数 yax2bxc 的性质：

人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1

人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22章第2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘除，以及完全平方公式的基础上进行学习的。

配方法是一种解决问题的方法，通过构造完全平方公式，将问题转化为学生已经掌握的知识点，从而解决问题。

配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中有着广泛的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用整式的加减、乘除以及完全平方公式。

但是，对于配方法的原理和应用，他们可能还不太清楚。

因此，在教学过程中，需要通过具体例子让学生理解配方法的原理，并通过练习让学生掌握配方法的应用。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握配方法的原理，并能够运用配方法解决相关问题。

2.过程与方法：通过具体例子，让学生理解配方法的过程，并能够独立完成配方法的操作。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.配方法的原理理解2.配方法在解决实际问题中的应用五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过具体例子引导学生理解配方法，并通过练习让学生巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学PPT七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。

例如，解决方程x^2 -5x + 6 = 0。

2.呈现（15分钟）讲解配方法的原理，并通过PPT展示配方法的具体步骤。

配方法的步骤如下：（1）将方程写成完全平方的形式；（2）根据完全平方公式，构造出两个相同的因式；（3）将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式；（4）根据乘积等于0的性质，解出方程的解。

3.操练（15分钟）让学生独立完成配方法的操作，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）让学生解答一些相关的练习题，检验学生对配方法的理解和掌握程度。

5.拓展（10分钟）讲解配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中的应用。

22第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程1

什么是学习力含义
管理知识的能力（利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力（学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极主动
以终为始
分清主次
不断更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
解：设总共有 x 只猴子，根据题意得
1 x 2 12 x. 即 x2 - 64x+768 ＝0. 8
解这个方程,得
x1 ＝48; x2 ＝16.
答:一共有猴子48只或16只.
课后练习
见章末练习
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴让你的青春少走弯路
小案例—哪个
是你
忙忙叨叨，起早贪黑，
上课认真，笔记认真，就是成绩不咋地……
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣（比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在背上刺下“精忠报国”四个字）；
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在编故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费
曼
学
习
法
费曼学习法--
简介理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman）
（图片来自网络）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔物理学奖，费曼不仅是一名杰出的物理学家，并且是一位伟大的教育家，他能用很简单的语言解释很复杂的概念，让其他人能够快速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观轻松的理解，这也是这个学习法命名的由来！

初中数学北师大版九年级上册《22用配方法求解一元二次方程(1)》教学设计

即x-3= ，或x-3=- ．
所以x1=3+ ，x2=3- ．
学生认真读题，思考并根据老师的提高，探究用配方的形式来解一元二次方程.
学生对两个根是否符合原题题意进行讨论.
学生观察后完成填空，并主动探究常数项与一次项系数之间的关系.
学生独立完成例题后，认真听老师的讲解.
学生独立完成后，班内交流.
探索配方法解一元二次方程
指出：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
练习：用配方法解一元二次方程.x2+2x+2=8x+4.
解：移项，得
x2+2x-8x=4-2．
即x2-6x=2．
两边都加(-3)2，得
x2-6x+(-3)2=2+(-3)2，
即(x-3)2=11．
两边开平方，得x-3=± ，
A．（x-2）2=1B．（x-2）2=5
C．（x+2）2=3D．（x-2）2=3
解：x2-4x+1=0，
移项：x2-4x=-1，
配方：x2-4x+4=-1+4，
即：（x-2）2=3．
故选：D.
Байду номын сангаас在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
认识到方程的根不一定都符合实际题意.
体会完全平方式中常数项与一次项系数之间的关系
掌握用配方法解一元二次方程的过程，并理解配方法的概念.
巩固学生用配方法解一元二次方程的解方程能力
课堂练习
1.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为()

九年级数学上册第22章一元二次方程的解法2配方法pptx课件新版华东师大版

【点拨】由已知得x2－2x＝3 599，配方得x2－2x＋1 ＝3 600，即(x－1)2＝3 600，开方得x－1＝±60，所以x1＝61，x2＝－59.因为a>b，所以a(－59)＝181.
16 ．将代数式 x2 － 10x ＋ 5 配方后，发现它的最小值为 __－__2_0___．
第22章一元二次方程
2．配方法
提示：点击进入习题
新知笔记
1 见习题
2 完全平方式；非负常数
1D 2B 3A
4C
5 见习题
答案显示
6 见习题 7A 8C 9D 10 见习题
11 见习题 12 D 13 A 14 A 15 181
答案显示
16 －20 17 1或－3
18 见习题
19 见习题
1．一元二次方程配方的方法：(1)当二次项系数为1时，方程两边都加上___一__次__项__系__数__一__半_______的平方；(2)当二次项系数不为1时，方程两边同时除以 ____二__次__项__系__数____，将二次项系数化为1后再配方．
4．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是( C ) A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝4 C．x2－4x＝3 D．x2＋2x＝5
5．【教材改编题】将下列各式配方：
(1)x2－4x＋___4___＝(x－__2____)2；
(2)x2＋12x＋__3_6___＝(x＋___6___)2；
(3)x2－
3 2
9
3
x＋___16___＝(x－___4___)2；
(4)x2＋2 2 x＋___2___＝(x＋____2__)2.
6．用配方法解方程： (1)【2021·厦门期末】x2－2x－5＝0；

22配方法教案改好

通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
四、课堂练习：
1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）
2、教材Ｐ34练习2
对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评。
通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第5题
六、本课小结：让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
幻灯片
教学过程：问题与情境师活动设计意图一、复习巩固：
我们已经学习过形如x2=p与
(mx+n)2=p的一元二次方程，解为
你能解出方程（1）x2－81＝0
（2）4x2-4x2+1=5的解吗？
学生独立解答，教师巡视指导，并请两位学生写在黑板上。
巩固加深上节课学习的内容。
二、学习新知：
1、方程x2-4x+1=0，x2-4x+1不能转化成完全平方公式时怎样解呢？从而引出课题。
教师：哪不一样？
学生：二次项系数不为1
教师：怎么办呢？
学生：化二次项系数为1。
教师：如何化二次项系数为1呢？
同桌讨论后教师指出。
在这我和教材例题有所不同，目的是把系数为1与系数不为1时的一元二次方程分类，这样利于学生的掌握。让学生能牢牢把握通过配方将原方程变为(x+k)2=a的形式解一元二次方程的方法。
22.2.1配方法――降次解一元二次方程
汉渠学校肖慧芳

22.2.2 配方法课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册

0，配方后得到的方程是（ D ）

A. + ＝28
B. − ＝28

C. + ＝1
D. − ＝1
典例导思
2. 一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0配方后得（ x －1）2＝
n ，则 m ＋ n 的值是 1 .
⁠
典例导思
题型二用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
C ）
典例导思
4. 解下列方程：
（1） x2－4 x ＋1＝0；
解： x1＝2＋，
x2＝2－ .
（2）2 x2＋ x ＝5 x ＋5；
解： x1＝1＋
x2＝1－

.

，

典例导思
（3）3 x2－6 x －2＝0；
解： x1＝1＋

，

x2＝1－
.

2

（4）－ x ＋ x －＝0.
＝1＋
，

即 −
＝ .

直接开平方，得 x －＝± .∴ x1＝3， x2＝－ .

典例导思
3. 一元二次方程 x2＋4 x ＋1＝0配方后可化为（
2
2
A. （ x ＋2）＝5
B. （ x －2）－5＝0
2
2
C. （ x ＋2）＝3
D. （ x －2）－3＝0

2
2
2
2
配方，得 x －4 x ＋2 ＝＋2 ，即（ x －2）＝ .

第 22 章配方法

第22 章（课）第2节一元二次方程配方法（初稿）第2课时总第 3 个教案主备人：学习目标：1、理解配方法，会利用配方法对一元二次式进行配方，会利用配方法解一元二次方程。

2、从特殊到一般的探索过程中，通过对比、转化、总结得出配方法一般步骤，锻炼学生数学抽象概括能力。

3、通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性，以及数学结论的确定性。

教学重点：用配方法解数字系数一元二次方程。

．教学难点：配方预习作业：预习书本p31-341、通过配成形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

配方是为了，把一个一元二次方程转化成两个来解。

2填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。

（1）x2+ 6x+ =(x+3)2(2) x2+8x+ =(x+ )2（3）x2-12x+ =(x- )2(4) x2-+ =(x- )23、用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化成，并把二次项系数；（2）移项，使方程左边只含有和，右边为。

（3）配方，方程两边都加上。

（4）原方程变为的形式。

（5）如果右边是非负数，就可用求出方程的解。

4、用配方法解方程：(1) x-4x=12 (2) (3)x+12x-100=05、用配方法解方程：(1)3x+6x-4=0 (2) 46、用配方法解方程：(1) x+4x-9=2x-11 (2)x(x+4)=8x+12教学设计过程：一：预习交流1、教师课前检查了解学生完成预习作业情况。

2学生围绕教材内容和预习作业题自学２ ---３分钟。

3教师精讲点拨预习作业．(掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。

)二：展示探究例1．用配方法解方程：(1)x2-8x+1=0 (2) x2-2x-1=0（巩固练习）(1)x2+10x+16=0 (2) x2-x-=0例2．(1)2x2+1=-3x (2)-2x2-8x+1=0（巩固练习）(1)3x2+6x-5=0 (2) 4x2-x-9=0例３(1) x2-6x+4=2x-1(2) 2x2-6x-4=-2x-3x-2（巩固练习）(1) x2+4x+8=2x+11(2) x(x-4)=2-8x例４1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）2已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是课堂小结:1、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。

九年级数学上册第22章 22.2 的解法 22.2.2 配方法同步练习3

配方法解一元二次方程1．用配方法解方程01322=--x x ，应该先把方程变形为( )． A.98)31(2=-x B.98)31(2-=-x C.910)31(2=-x D.0)32(2=-x 2．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( )．A.(x ＋2)2＝1B.(x －2)2＝1C.(x ＋2)2＝9D.(x －2)2＝9 3．x x 212-配成完全平方式需加上( )． A.1 B.41 C.161 D.81 4．若x 2＋px ＋16是一个完全平方式，则p 的值为( )．A.±2B.±4C.±8D.±165．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( ) A.31)3(2=-x B.31)1(32=-x C.(3x －1)2＝1 D.32)1(2=-x 6．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A.－2B.－4C.－6D.2或67．将4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A.14xyB.－14xyC.±28xyD.08．用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0，其配方正确的是( )． A..44)2(22q p p x -=+ B..44)2(22q p p x -=-C..44)2(22p q p x -=+ D..44)2(22p q p x -=- 9.—元二次方程(2x －1)2＝(3－x)2的解是x 1＝_____________，x 2＝_____________.10.在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a ☆b ＝a 2－b 2，则方程7☆x ＝13的解为x ＝_____________. 11.若(x 2+y 2－1)2＝16，则x 2+y 2＝_____________.12.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是_____________. 13.已知实数x 满足4x 2+4x+1＝0，则代数式122x x+的值为_____________. 14.如果一个三角形的三边长均满足方程x 2－10x+25＝0，那么此三角形的面积是_____________.15.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的实数a 2－2b+3.若将实数对(x ，－2x)放入其中得到－1，则x ＝_____________.16.用配方法解下列方程.（1）x 2+2mx －n 2＝0；（2）4x 2－7x －2＝0.17.阅读材料：用配方法求最值.已知x ，y 为非负实数，∵2220x y +-+-=≥，∴x y +≥x ＝y ”时，等号成立.示例：当x>0时，求14y x x=++的最小值.解：1446y x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭≥，当1x x =，即x ＝1时，y 的最小值为6.（1）尝试：当x>0时，求21x x y x++=的最小值. （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n 年的保养、维护费用总和为210n n +万元.问：这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用n=所有费用之和年数）？最少年平均费用为多少万元？参考答案1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ．5．D ． 6．D ． 7．C ． 8．A ． 9. 43－2 解析方程两边开平方得2x －1＝±(3－x)，即：当2x －1＝3－x 时，43x =；当2x －1＝－(3－x)时，x ＝－2. 10.±6 解析因为规则为a ☆b ＝a 2－b 2，所以由方程7☆x ＝13可得49－x 2＝13，整理得x 2＝36，所以x ＝±6.11.5 解析直接开平方得x 2+y 2－1＝±4，∴x 2+y 2＝5或－3.又∵x 2+y 2≥0，∴x 2+y 2＝5.12.13 解析 x 2－6x+8＝0配方得(x －3)2＝1，解得x 1＝2，x 2＝4.当x ＝2时，2+3<6，此时不能组成三角形，所以舍去；当x ＝4时，三角形的周长为3+4+6＝13.13.－2 解析由4x 2+4x+1＝0，得(2x+1)2＝0，所以2x ＝－1，故121122x x +=--=-.14. 解析由x 2－10+25＝0，得(x －5)2＝0， ∴x 1＝x 2＝5.∵三角形的三边长均满足方程x 2－10x+25＝0，∴此三角形是以5∴三角形的面积152=⨯=. 15.－2 解析由题意得x 2－2x(－2x)+3＝－1，整理得x 2+4x+4＝0，解得x 1＝x 2＝－2.16.解：（1）移项，得x 2+2mx ＝n2，配方，得x 2+2mx+m 2＝n 2+m 2，即(x+m)2＝m 2+n 2，所以x m +=，所以1x m =-，2x m =--.（2）方程两边都除以4，得271042x x --=，移项，得27142x x -=，配方，得22277174828x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2781864x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，开平方，得7988x -=±，即7988x -=或7988x -=-. 所以x 1＝2，214x =-. 注意：利用配方法解一元二次方程应注意以下两点：①当方程的二次项系数不是1的时候，一定要先将二次项系数化为1，再进行配方；②在二次项系数是1的前提下，将常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方.17.思路建立（1）要求21x x y x++=的最小值，题中给出配方法的应用示例，根据示例得11y x x =++，然后应用配方法，求出当x>0时，21x x y x++=的最小值即可. （2）要求最少年平均费用，首先根据题意，求出年平均费用21010.41010102n n n n n n ⎛⎫+=++÷=++ ⎪⎝⎭，然后求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可.解：（1）211113x x y x x x ++==++≥≥， ∴当1x x=，即x ＝1时，y 的最小值为3.（2）年平均费用210110.410 2.5101022n n n n n n ⎛⎫+=++÷=++ ⎪⎝⎭≥≥， ∴当1010n n=，即n ＝10时，报废最合算，最少年平均费用为2.5万元.。

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法配方法》教学案例_7

一元二次方程的解法（配方法）教学设计教学目标：（一）知识与技能：1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。

2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

（二）过程与方法目标：1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想。

2、在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程的过程，培养学生用转化的数学思想解决实际问题的能力。

（三）情感,态度与价值观启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的能力。

教学重点、难点：重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用用配方法解一元二次方程。

难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。

教学方法：根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。

教学过程一复习旧知用直接开平方法解下列方程：①(x+5)2＝9② (3x+2)2-49=0总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+n）2=a(a≥0)的方程。

二创设情境，设疑引新在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决。

问题：要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m²，场地的长和宽应各是多少？解：设场地的宽为xm,则长为 .根据长方形面积为16m²，得：x(x+6)=16即 x²+6x-16=0三新知探究思考：怎样解方程 x2＋6x-16＝0 ？能把方程 x²+6x-16=0转化成(x+n)²=a 的形式吗？共同探索：x2＋6x-16＝0移项：x2＋6x＝16两边加上3^2：x2＋6x+3^2=16+3^2（X+3)2=25开平方,得：（X+3)=5或（X+3)=-5所以：X=2或X=-8把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练•(1)x2＋8x＋ =(x＋ )2•(2)x2－4x＋ =(x－ )2• (3)x 2－6x ＋ =(x － )2• 思考：当二次项系数是1时，常数项与一次项的系数有怎样的关系？• 规律：当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方。

人教版数学九年级上册22一元二次方程的解法-基础版1直接开平方配方法

第12章第2节一元二次方程的解法11.直接开平方法定义：方程左边是含有X 的完全平方式，右边是非负数，可以直接降次，转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得出原方程的解。

平方根定义：若X 2 = a ，则X 叫a 的平方根，记作X = ±%,a （a > 0）。

3 .直接开平方法的使用条件: ①方程左边是含有未知数的完全平方的形式; ②方程右边是非负数。

4 .直接开平方法的各种形式:@(X + a )2 = p (p > 0)— X =±','p -a;④(ax + m )2 = (bx + n )2 — ax +m = ±(bx + n )。

5 .直接开方法的步骤：①左边开方；②右边先写“ 土 ”，再开方。

（如果有系数，对系数也要开方）6 .易错点：①直接开方时，遗漏负的平方根；②遇字母不讨论范围。

题型一一： X 2 = p （p > 0）— X = 士 J p口例题一元二次方程X 2 = 1的解是（） A. x = 1 B. x = -1C. x = 1, x = —1D. x = 0口练习1.方程X 2 = 4的解是（）2.直接开平方法的理论根据是：平方根的定义。

① X 2 = p (p > 0)— X = 士 W p ；③(mX + n )2 = p (p > 0)— X = -^A. x = 4, x = —4B. x = x = 22 .方程x 2 —3 = 0的根是（） A. x = 3 B. x =3, x =- 33 . 一元二次方程：x 2= 9的解是（ C. x 1 = 2,x 2 = —2 D. x 1 = 4,x 2 = 1C. x = v 3）D. x = J3,x =- J3D. 9题型二：（x + a ）2 3 = p T x = ± %pp - a口例题方程（x + 2l = 4的根是（）A. x 1=4, x 2= - 4B. x 1=0, x 2= - 4口练习（mx + n \ = p f mx + n 二±4 P T x =-_n mC. x 1=0, x 2=2D. x 1=0, x 2=4A.x 『6, x 2= - 6 B. x I =x 2= - 6 C. x 『-3, x 2= - 9 D. x 『3, x 2= - 9D. x 『-1, x 2=5D x 1 =-7'2 -1, x 2 =-V2 +1题型三：（ax + m）2=（bx + n）2口例题方程Q - 2、=（2 x + 3）的根是（口练习1 .用直接开平方的方法解方程（2x +1） = x 2做法正确的是（2 .用直接开平方的方法解方程Q x +1] = 36做法正确的是（3 .方程（2x + 3、— 25 = 0的根为4 .方程（2x + 51 = 0的解是§知识小结方法进行求解一元二次方程的方法。

22.2.3 配方法

（来自《点拨》）
知1－练
1 填空：
(1)x2＋6x＋( )＝(x＋____)2；
(2)x2－8x＋( (3)x2＋ 3 x＋(
2 (4)4x2－6x＋(
)＝(x－____)2； )＝(x＋____)2； )＝4(x－____)2 ＝(2x－____)2.
（来自教材）
知1－练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
知2－导
例2 解方程： x2+2x＝5.
知2－讲
思考：要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为
(
)2＝a 的形式．那么，怎么实现呢？
为此，通常设法在方程两边同时加上一个适当
再减去一次项系数一半的平方，而方程是两边同时加上一次项系数一半的平方．
知1－讲
例1 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空． (1)x2＋10x＋___2_5____＝(x＋____5____)2； (2)x2＋(__±__1_2___)x＋ 36＝[x＋(___±__6___)]2; (3)x2－4x－5＝(x－_____2___)2－___9___．

3 2

3 2
2

1 4

3 2
这方例2 ,里？5题应回(1该顾)的怎例解样4和答配，
即

x

3 2
2

10 4
.
归纳一下：配方时，方程两边加

专题(三) 配方法的应用公开课获奖课件

类型四利用配方法和非负数的性质求值在含有几个未知字母的一个等式中，利用配方法将等式化为几个非负数的和等于 0，求未知字母的值解决问题 5．已知△ABC 的三边 a，b，c，满足 a2－6a＋b2－8b＋ c－5＋25＝0，请判定△ABC 的形状．
解：由已知可得 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0，
解：－2x2＋5x－4＝－2(x2－52x＋2)＝－2[(x2－52x＋1265)－2156＋2]＝
－2(x－54)2－78，∵(x－54)2≥0，∴－2(x－54)2≤0，∴－2(x－54)2－78＜0，
即－2x2＋5x－4 的值总是负数，当 x＝54时，－2x2＋5x－4＝－78最大
类型三用配方法比较代数式的值的大小 4．求证：不论x为何值时，多项式2x2－4x－1的值总比x2－6x－6的值大．解：(2x2－4x－1)－(x2－6x－6)＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4， ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋4≥4＞0， ∴(2x2－4x－1)－(x2－6x－6)＞0，即2x2－4x－1＞x2－6x－6
2．解方程 3x2－2x－1＝0. 解：移项得 3x2－2x＝1，系数化为 1 得 x2－23x＝13，配方得(x－13)2＝49，直接开平方得 x－13＝值将代数式利用完全平方公式将其配方，利用a2≥0确定代数式的最值 3．用配方法证明：无论x取何值时，代数式－2x2＋5x－4的值总是负数，并求出它的最大值．
九年级上册华师版数学
第22章一元二次方程
专题(三) 配方法的应用
类型一用配方法解方程解一元二次方程时，可将二次项系数化为1，利用配方法将方程化为(x＋p)2＝q(q≥0)的形式求解
1．用配方法解关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 时，此方程可变形为( D )

22、配方法2

配方法的拓展与解析配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

配方法的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ； a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab 。

配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。

在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。

经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。

在应用配方法解一元二次方程（ax 2+bx+c=0）时有两种做法：一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x ＋m)2=n(n ≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。

典型例题：2x 2+6x-3=0解法1：移项得：2x 2+6x=3两边同时除以2得：2332=+x x 两边同时加2)23(得:4923)23(322+=++x x所以：415)23(2=+x开方得：21523=+x 或21523-=+x解得：2153,215321--=+-=x x 另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。

解法2：移项得：2x 2+6x=3 原方程变为：222)223(3)223(22322)2(+=+••+x x 即原方程化为：430)2232(2=+x两边同时开方得：2302232=+x 或2302232-=+x 解得：2153,215321--=+-=x x 与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法配方法》公开课课件_25

解一元二次方程 ---配方法
1、直接开平方法：
一般地,对于形如x2=p 或(x+n)2=p(p≥0）的方程, 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
二元、三元一次方程组
一元二次方程
消元
降次
一元一次方程
（１）方程 x2 0.25 的根是 X1=0.5, x2=－0.5
（２）方程 2x2 18 的根是 X1＝3， x2＝—3 （3）方程 (2x 1)2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
2
=(x
1 3 )²
常二数次项(5项等)4系于x²数+一4为x次+11项的²=系完(2数全x+一平1半方)²的式平：方
例1、解下列方程：
(1)x 2 4x 4 5 (2)x 2 6x 4 0
(1)x2 4x 4 5 解：（x 2)2 5 x 2 5或x 2 5 x1 2 5，x2 2 5.
例2、用配方法解下列方程：
2x²+1=3x

巩固练习2：
(1)-x²+10x-16=0 (2)2x²-2x- =0 (3)x²-10=-2x (4)4x²+8x-3=0
（5）3x²-6x+4=0
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x n)2 p 的形式，那么就有： (1)当p 0时，方程有两个不等的实数根 x1 n p，x2 n p； (2)当p 0时，方程有两个相等的实数根 x1 x2 ( n p ) n； (3)当p 0时，方程无实数根。
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
巩固练习1：

上册第22章第16课时用配方法将二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式

3．已知二次函数 y＝x2－6x＋8. (2)写出 y 随 x 增大而减小时，自变量 x 的取值范围．
解：由 y＝(x－3)2－1，得图象的对称轴为直线 x＝ 3.
∵a＝1＞0，∴当 y 随 x 的增大而减小时，自变量的取值范围是 x＜3.
4．当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度 h(m) 与时间 t(s)的关系可以用公式 h＝－5t2＋150t＋10 表示．经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
7．已知抛物线 y＝－x2＋2x＋3. (5)观察图象，当 0≤x≤3 时，当 x＝33 时，y 的最小值是 00 ，当 x＝1 1 时，y 的最大值是 4 4 ．
第16课时
用配方法将二次函数化成y＝a(x－h)2＋k的情势
核心提要典例精炼变式训练基础巩固能力拔高拓展培优
利用配方法将二次函数的一般式 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)化成顶点式 y＝a(x－h)2＋k 及简单应用．
知识点 1 用配方法化成顶点式(一提二配三化) ☞ 例 1 利用配方法将下列二次函数的一般式化成顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)y＝12x2－6x＋21； y＝12x2－6x＋21＝12(x2－12x)＋21＝12(x－6)2＋3.开口向上，对称轴为直线 x＝6，顶点坐标为(6，3)．
知识点 2 关于顶点式的简单应用 ☞ 例 2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度 y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离 x(m)之间满足 y＝－12x2＋2x. (1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
解：将 y＝－12x2＋2x 化为顶点式为 y＝－12(x－2)2＋2. ∵－12＜0，∴当 x＝2 时，y 最大＝2. 答：喷嘴能喷出水流的最大高度是 2 m.