Markowitz均值—方差投资组合方法的简单应用

Markowitz 均值—方差投资组合方法的简单应用摘 要：Markowitz 在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，本文对其理论模型进行了简单的应用，并提出一些思考，认为均值—方差模型在某种程度上的确为我们在进行投资组合时提供了一些参考，但是其中有些问题还是值得商榷的。

关 键 词：均值—方差模型 ；投资组合1.引言Markowitz 在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法可以说是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，他的理论的独特之处在于他认为分散化投资可有效降低投资风险，但一般不能消除风险，而且在其论文中证券组合的风险用方差来度量。

另外，他是第一个给出了分散化投资理念的数学形式，即“整体风险不低于各部分风险之和”的金融版本。

2.Markowitz 均值—方差模型的简单概述Markowitz 的投资组合理论基于一些基本的假设：（1）投资者事先就已知道投资证券的收益率的概率分布。

这个假设蕴涵证券市场是有效的。

（2）投资风险用证券收益率的方差或标准差来度量。

（3）投资者都遵守占优原则，即同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。

（4）各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或收益率之间的协方差来表示。

（5）每种证券的收益率都服从正态分布。

（6）每一个证券都是无限可分的，这意味着，如果投资者愿意的话，他可以购买一个股份的一部分。

（7）投资者可以以一个无风险利率贷出或借入资金。

（8）税收和交易成本均忽略不计，即认为市场是一个无摩擦的市场。

以上假设条件中,（1）-（4）为Markowitz 的假设,（5）-（8）为其隐含的假设。

假如我们从金融市场上已经选出了N 种证券，i x 表示投资到第i （N i ,,2,1 =）种证券的价值比率,即权数。

p 表示由这N 种证券构成的一个证券组合，组合中的权数可以为负，例如0<i x 就表示该组合投资者卖空了第i 种证券，将所得资金连同自筹资金买入其它的证券。

i r 表示第i 种证券的收益率，p r 表示证券组合p 的收益率。

由于受金融市场波动及投资者个人理财行为等多种因素的影响，这里的i r （N i ,,2,1 =），从而p r 一般呈现随机变化，从概率统计的角度来看，它们均是随机变量。

现在进一步假设X=()TN x x x ,,,21 为证券组合p 的资金投资比例系数向量（即权重向量），在一般的数理金融分析中也称X=()T N x x x ,,,21 为一个投资组合；r =()T N r r r ,,21为证券组合投资的收益率向量；μ=()T N μμμ,,,21 为r 的期望向量，即μ=()r E ；()N N j i N N ij r r Cov ⨯⨯==∑)),((σ，N j i ,,2,1, =。

下面定义几个基于均值-方差的计量指标：平均指标——用来度量证券组合的平均收益水平：期望收益率：p μ=()p r E ==∑=Ni ii r E x 1)(X Tμ；变异指标——用来度量证券组合投资的风险：2pσ=∑∑∑==≤<≤+=Nj i Ni Nj i ijji i i ijji x x x x x 1,11222σσσ= XT∑X 。

基于以上假设, Markowitz 的组合投资模型为: (1)允许卖空时的数学模型min 2p σ= X T∑X10=≥ιμT T X r X其中0r 为证券组合的预期收益率, T )1,,1,1( =ι。

这个模型有唯一的最优解：X *= B A A A T T 111)(---∑∑其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121N A μμμ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10r B (2)不允许卖空时的数学模型min 2p σ= XT ∑XNi x X r r X i T T ,.2,1,010=≥=≥ι 其中0r 为投资者所需的最低收益率，T)1,,1,1( =ι。

这个模型比（1）中的模型多了一个非负限制，也可以得到相应的解和有效边界，其中有效边界为由一系列开口向右的抛物线连接而成。

3.模型的应用本文中我们选择2010年02月25日统计的股票关注度排行中的10支股票作为研究对象。

由于2008年发生的金融危机对金融市场的打击非常大，影响也非常深远，以至于2009年的数据不是很具有代表性，加之2007年全年的牛市，所以我们舍弃2006年——2009年各股的数据，而选择2005年各股的月度收益率作为数据来进行实验。

另外，由于杰瑞股份（002352）、中国平安（601318）、上海凯宝（300039）、中国建筑（601668）、獐子岛（002069）在2005年没有数据，所以我们舍弃这些股票而继续选择接下来的股票进行实验，以补足10支股票。

我们从中挑选的十支股票的月度收益率如表2所示。

表2 各股月收益率：（2005-01-01——2005-12-31）据Markowitz 的均值—方差模型，在假设给定的各个证券组合的预期收益率0r 下，计算得到投资组合X *，进而求出投资组合的风险，也就是投资组合的标准差p σ，即可得出以标准差为风险度量的均值—方差模型的有效前沿。

本文中，我们选择在不允许卖空条件下计算得到证券组合的预期收益率和标准差，并利用画图工具绘出有效前沿的基本走势如下图1所示。

图1根据上图观察，可以看出，以标准差为风险度量的均值—方差模型的有效前沿的基本形状为一弹丸状曲线的一部分。

因此，在实际操作中，我们就可以参考上图的有效前沿，来根据投资者的偏好，选择合适的投资组合配置。

4.对Markowitz 均值—方差模型的思考Markowitz 提出：若是定义方差为风险值（measure for risk ）,则个别资产的风险可分为两部分：非系统风险（nonsystematic risk ）与系统风险（systematic risk ），前者为个别资产特有的风险，可以借着与投资组合内其他资产的互有涨跌而抵消；后者则为整个经济体系的风险，为投资组合内各资产所共有，因此无法借着 分散投资而抵消。

以相同权数的投资组合为例，我们可以发现在一个分散良好的投资组合里，个别资产本身的方差对投资组合方差的影响会随着组合内资产数目的增加而减少，最后只会与资产间的方差有影响。

令 1n P i ii R w R ==∑ 而且 11nii w ==∑则 1222p1111σσσσj j in n n n ni j ijij ij iii j i i w w w w w =≠======+∑∑∑∑∑设若此投资组合为相同权数的投资组合：121n w w w n==⋅⋅⋅==，则： 122221111j j in n nij pi i i σσσn n =≠===+∑∑∑定义：{}222max 12max ,,,nσσσσ=⋅⋅⋅，则 max2max 221111nnii i σσσn n n==<=∑∑ 当n 很大时，2211nii σn=∑趋近于零，亦即个别资产自身的方差对投资组合的方差几乎无影响，而定义1211j j in n ij ij i σσn n =≠==-∑∑，则当n 很大时，1222111()j j i n n ij ij i σn n σn n =≠==-∑∑会趋近于ij σ，因此当投资组合内资产数目很大时，2p σ趋近于ij σ，亦即投资组合的方差（风险）只与资产间的方差有关，而与个别的方差无关。

由以上的分析，我们可以知道个别资产的风险是与其他资产的共方差。

资产本身的方差因为可借着分散投资而消减，因此不是风险，交易的对方也不会对之给予任何补偿。

；另外，当资产数目增加时，投资组合的标准差下降，但至某程度即停止下降，此时的标准差为系统风险。

一般以为当投资组合内的股票数目增加至20以上时，投资组合的标准差就下降的十分有限。

参考文献:[1] 严明义．证券组合投资分析． 第4版． 西安：西安交通大学出版社，2000． [2] 张宗新．投资学[M]． 第3版． 上海：复旦大学出版社，2006． [3] 张国平．高级财务管理[M]． 第5版． 西安：西安交通大学出版社，2004．作者简介: 柳春,男, 西安交通大学经济与金融学院, 硕士研究生。

Abstract : Markowitz, founder of the modern portfolio theories, put forward the mean-variation model at first in 1952, which became the classical research method in the corresponding fields and symbolized the beginning of modern portfolio theories. This article hassome simple application of the theory and explores some new ideas. To some extent, the theory really gives us some references when we look for the portfolio of return maximum and risk minimum, but some issues are still worth to further discuss.Key words: mean-variation model; portfolio。