浅析极限思想的产生与发展9(1)汇编
极限思想的产生与发展
极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。
关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。
是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。
极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。
公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。
对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
极限概念的产生与发展
但他们当时也还没有完全弄清楚极限的概念，没能把他们 的工作建立在严密的理论基础上，他们更多的是凭借几何和物 理直观去开展研究工作。
到了 18 世纪，数学家们基本上弄清了极限的描述性定义。 例如牛顿用路程的改变量 s 与时间的改变量 t 之比s t 表示物体的平均速度，让 t 无限趋近于零，得到物体的瞬时 速度，那时所运用的极限只是接近于直观性的语言描述：“如
lim f (x) A。这
xx0样的定义是严格Fra bibliotek，至今还被所有微积分的教科书（至少是
在本质上）普遍采用。
极限理论的建立，在思想方法上深刻影响了近代数学的
发展。
一个数学概念的形成经历了这样漫长的岁月，大家仅从
这一点就可以想像出极限概念在微积分这门学科中显得多
么重要了。
极限概念的产生与发展
极限概念的形成经历了漫长的岁月。 早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有 一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出 了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽。 我国三国时期的大数学家刘徽（约 225 年～295 年）的割 圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽 计 算 了 圆 内 接 正 3072 边 形 的 面 积 和 周 长 ， 从 而 推 得 3.141024< π <3.142704。在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹 才算到同样精确度的小数。"π"这扇窗口闪烁着我国古代数学家 的数学水平和才能的光辉。 16 世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了 生产力和自然科学的发展。17 世纪，牛顿（Newton）和莱布尼 兹（Leibniz）在总结前人经验的基础上，创立了微积分。
果当自变量 x 无限地趋近于 x0时，函数 f (x)无限地趋近于 A， 那么就说 f (x)以 A 为极限”。这种描述性语言虽然人们易于接 受，但是这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联 系，不能作为科学论证的逻辑基础。正因为当时缺少严格的极 限定义，微积分理论受到人们的怀疑和攻击。起初微积分主要 应用于力学.天文学和光学，而且出现的数量关系比较简单， 因此在那个时候，极限理论方面的缺限还没有构成严重障碍。
极限思想的产生和发展
想 的 问 题 ：
关键 词 ： 限 思 想 产 生 发 展 完 善 思 维功 能 极
１极 限思 想 的产 生 ． 与 一 切科 学 的思 想 方 法 一 样 ，极 限 思想 也是 社 会 实 践 的 产 物 。 限 的思 想 可 以追 溯 到 古代 ， 徽 的割 圆 术 就是 建 立 在 极 刘 直 观 基 础 上 的一 种 原 始 的 极 限 思 想 的 应 用 ；古 希 腊 人 的穷 竭 法 也 蕴含 了极 限 思 想 ， 由 于希 腊 人 “ 无 限 的恐 惧 ” 他 们 避 但 对 ． 免 明 显 地 “ 极 限 ” 而是 借 助 于 间 接 证 法 — — 归 谬 法 来 完 成 取 ， 有 关 的证 明 。 到 了 ｌ 世 纪 ，荷 兰数 学 家 斯 泰 文 在 考 察 三 角 形 重 心 的 过 ６ 程 中 改进 了古 希腊 人 的穷 竭 法 ， 借 助几 何 直 观 ． 他 大胆 地运 用 极 限思 想 思 考 问题 ． 弃 了 归缪 法 的证 明 。如 此 ， 就 在无 意 放 他 中 “ 出 了把 极 限 方法 发展 成 为 一 个 实用 概 念 的 方 向 ” 指 。 ２极 限 思 想 的发 展 ． 极 限 思 想 的进 一 步 发 展 是 与 微 积 分 的 建 立 紧 密 相 联 系 的。ｌ世 纪 的 欧洲 处 于 资 本 主义 萌 芽 时 期 ， 产 力 得 到极 大 的 ６ 生 发 展 ，生产 和 技 术 中 大 量 的 问 题用 初 等 数 学 的方 法 已无 法 解 决 ， 求 数 学 突破 只研 究 常 量 的 传 统 范 围 ， 提 供 能 够 用 以 描 要 而 述 和 研 究 运 动 、 化 过 程 的 新 工 具 ， 是 促 进 极 限 发 展 、 立 变 这 建 微 积分 的社 会 背 景 。 起 初 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 以无 穷 小 概 念 为 基 础 建 立 微 积 分 ． ・ 后 来 因遇 到 逻辑 困难 ，所 以在 他 们 的晚 期 都 不 同 程度 地 接 受 了极 限 思 想 。 牛 顿用 路 程 的改 变 量 与 时 间 的 改 变 量之 比表 示 运 动物 体 的 平均 速 度 ， 无 限趋 近 于零 ， 让 对求 极 限得 到 物 体 的 瞬 时速 度 ， 由此 引 出导 数 概 念 和微 分 学 理 论 。 意识 到极 限 并 他 概 念 的 重要 性 ， 图 以极 限 概 念作 为 微 积 分 的基 础 。 说 ： 两 试 他 “ 个 量 和 量之 比 ， 如果 在有 限时 间 内不 断 趋 于 相 等 ． 在 这 一 时 且 间 终 止前 互 相 靠 近 ， 得 其 差 小 于 任 意 给 定 的 差 ， 最 终 就 成 使 则
极限概念的历史演变及分析
极限概念的历史演变及分析极限概念是极其重要的数学概念，也是数学思想演化的核心之一。
极限概念多源自古代希腊数学家们讨论的概念，穿越数千年的历史，一直以来都受到广泛的重视。
它的发展涉及到几何学、微积分学和复变函数学中的许多概念，令人理解其重要性和前卫性。
本文将对极限概念的历史演变及其分析做一简要介绍。
极限概念起源于古希腊数学，最早出现在欧几里德的《几何原本》，在那里他提出了一种新的解决数学问题的方法，即通过极限定义接近量来求解数学问题，在那之后，古典数学大师笛卡尔将极限概念发挥到极致，通过它们开创了微积分学的先河。
从那时起，极限概念就作为古希腊数学的重要组成部分不断演化发展，并有更深入的发展，最终走向成熟。
19世纪，英国数学家利物浦在他的研究工作中，使用极限概念来探究“复变函数”的定义及其应用，解决了多维函数不可导性问题，并且开拓了极限概念在复变函数学上的应用。
此外，还有19世纪德国数学家弗兰克尔、拉格朗日，他们分别将极限概念应用在多变量的微积分学中，引领了20世纪的变分法的发展。
20世纪以来，极限概念得到了进一步的发展，俄罗斯数学家巴斯洛夫提出了“极限的普遍定义”，为数学定义极限提供了一个较为普适的思路。
20世纪30年代，德国数学家爱因斯坦系统地研究了极限概念，关于极限概念形式化和定义上，爱因斯坦提出了更为严谨的解释，从而为极限概念的下一次演变起到了关键性作用。
20世纪50年代以来，极限概念在数学上得到了更广泛的应用，极限概念的使用范围日渐扩大，涉及到几何学、微积分学和复变函数学等许多领域，并得到了更为完善的形式化处理，开创了极限概念在数学中的细致应用。
20世纪末，极限概念在计算机科学和统计学中也被广泛使用，极大地丰富了极限概念的功能及其应用场景。
总之，极限概念是一个非常有趣的概念。
它在古希腊时期就初步出现，在此之后不断的演变，应用范围也从微积分学、几何学等拓展到了现在的计算机科学和统计学等，极大地延伸了极限概念的可能性。
浅析极限思想的产生与发展9(1)
在现代数学中,求极限是最常见的问题.不管是求数列的极限，还是求函数的极限,方法有很多。有按照极限的定义求解极限的，有按照极限的运算法则求解极限的，有按照极限的等价定义来求解极限的等等。但是不管用什么方法求解极限，却是殊途同归的，最终都会回归到极限的本质。这也体现了极限中多样性与统一性的辩证统一关系。极限的本质，就是两个无穷逼近过程。而这两个无穷逼近过程，是紧密联系的，维尔斯特拉斯已经用代数的语言深刻的说明了这种联系。首先是自变量的无穷逼近，这是一个前提,是先决条件,在指明了自变量的变化趋势之后,我们要研究的就是因变量的变化趋势,也就是因变量的无穷逼近过程.归根到底，极限就是研究无穷逼近的过程，其中一个变量的无穷逼近导致了另一个变量的无穷逼近，而我们着重研究的就是因变量的无穷逼近。
无穷级数求和？
如果这样加括号求和得：
如果这样加括号求和得:
如果,在展式: 中令 得到和为
通过这个例子，可以看到同一级数，按照有限运算的法则去求，却得到不同的结果。实际上，由级数收敛的必要条件，我们知道这个级数是发散的。出现这个问题的根本原因，就是我们仍用有限运算的思维方式来理解无限过程，而极限却很好的解决了这一问题。极限是我们从认识有限到认识无限的一个极其重要的桥梁。究竟什么是极限？这一最根本的问题,起初在几个世纪内，数学家们只是给出一些直观性的语言描述,没有给出严格化的定义。直到维尔斯特拉斯，提出把极限概念代数化，才实现了极限定义彻底的严格化.
3.3极限概念的本质4
4极限思想的辩证理解4
4.1有限与无限的辩证统一4
4。2量变与质变的辩证统一5
4。3多样性与统一性的辩证统一5
4.4直与曲的辩证统一5
结论6
参考文献6
致谢7
极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前,其中著名的古希腊哲学家芝诺,提出了一个悖论,那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的,但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识,使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释,这也是人们第一次闯进极限这个领域。17世纪，牛顿和莱布尼茨分别创立了微积分，微积分的理论基础是极限论.此时极限概念虽然被提出来了，但是缺乏严格的定义。为了解决微积分存在的缺陷,在十八至十九世纪，数学家们寻求解决的办法。其中，柯西做出了开创性的工作，比较系统的阐述了极限理论。但是，柯西给出的极限定义仍是描述性语言,缺乏严密性。例如：要多小就有多小、无限趋近等描述性词语仍被使用。最后，维尔斯特拉斯把极限定义代数化，实现了彻底的严密化.
极限思想的产生和发展
极限思想的产生和发展微积分的建立跟极限思想的发展有着十分密切的联系。
自进入16世纪之后，欧洲就处于资本主义的萌芽时期，极大地发展了自身的生产力。
于是，在生产以及科学技术等方面均出现了许多诸如变力做功问题、最值问题、曲线的切线问题、力学中的速度问题等关于变量的问题。
这些问题已经不再是初等数学能够解决的，解决它们所需要的是全新的数学思想、数学方式方法等，必须要成功突破传统的常量研究范围，开发出可以用于对运用以及变化过程进行研究描述的新工具。
同时，这些问题的出现为发展极限思想提供了良好契机。
一、产生极限思想所有科学的思想方法均是源自人们对于社会实践的体验以及总结，极限思想也不例外。
极限思想的产生可以追根溯源到古代，在我国，极限思想于春秋战国时期就已萌芽，然而纵观史料，极限思想被局限于哲学的领域，并没有被运用到数学当中去，于是应用极限的方法对数学问题进行研究就更是无从谈起。
一直到后来的公元3世纪，我国魏晋时期的著名数学家刘徽对《九章算术》进行注释，并在其中创设出了“割圆术”。
刘徽的极限思想是这样表述的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。
因此，刘徽是在数学领域运用极限思想的第一人。
这种关于无限接近的思想正是后来极限概念得以建立的重要基础。
刘徽所创设的“割圆术”是对原始极限思想的一种有效运用。
在古希腊有着一种穷竭法，这其中也包含了极限的思想，但是希腊人对于极限是相当恐惧的，所以他们并不会明显地去求极限，而是依据归谬法这一间接的证明法完成对极限相关思想的论证。
直到16世纪荷兰的数学家斯泰文在对三角形的重心这一问题进行研究时对古希腊人的穷竭法做出改进，他思考问题所采用的是几何直观，并合理运用极限思想，撇开了对归谬法的运用。
因此，极限在斯泰文的研究之下演变成了一个实用的概念。
二、发展极限思想微积分的建立对极限思想的深层次发展起到了一定程度的促进作用。
最初，莱布尼茨、牛顿建立微积分所依据的是无穷小这一概念，但是后面遭遇了逻辑难题，因而在他们研究的晚期，他们都对极限思想有一定程度的接受。
古今中外极限思想的发展历程
古今中外极限思想的发展历程1、中国古代极限思想早在春秋战国时期（公元前770——前221），古人就对极限有了思考。
道家的庄子在《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。
意思是说，把一尺长的木棒，每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。
也就是说，剩余部分会逐渐趋于零，但是永远不会是零。
而墨家有不同的观点，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端”。
意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
道家是“无限分割”的思想，而墨家则是无限分割最后会达到一个“不可分”的思想。
公元３世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，他创造性地将极限思想应用到数学领域。
他设圆的半径为一尺，从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，用勾股定理算得圆内接正十二、二十四、四十八…边形的面积，内接正多边形的边数越多，内接多边形的面积就与圆面积越接近，正如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。
这已经运用了极限论的思想来解决求圆周率的实际问题了，“以至不可割，则与圆周合体”，这一思想是墨家“不可分”思想的实际应用。
祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。
”祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势既同，则积不容异”的结论。
意思是界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。
这正是“不可分”思想的延续。
1.2 古希腊极限思想公元三世纪，古希脂诡辩学家安提丰（Antiphon，约公元前430年）在求圆面积时曾提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过内接正多边形的面积来表示圆面积的方法，即“穷竭法”。
他先作圆内接正方形，然后将边数加倍，得到圆内接正八边形，再加倍得内接正十六边形，依次继续下去，以为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”。
极限思想的产生与发展
分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)极限思想的产生与发展姓名学号年级专业数学与应用数学系(院) 理学院指导教师2012年12月17日摘要极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究，并对其在数学分析中的应用展开探索。
关键词：极限思想；产生；发展；完善；应用ABSTRACTLimit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thought. Limit thought application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. This paper focuses on the ultimate idea generation and development research, and its applicationin inmathematical analysis explores.Key words: Limit thought；geneeration；development；perfection；application目录1.引言 (1)2. 极限思想的产生与发展 .......................................................... 错误!未定义书签。
探究极限思想的起源与发展
探究极限思想的起源与发展——感悟数学之美摘要：对极限思想的起源与发展进行探究，将极限的发展历程分为三个阶段，具体介绍了每个阶段的代表人物以及阶段特点，重点放在极限概念的演变上。
最后结合探究极限发展历程的经历，提出自己对数学之美的感悟。
关键词：极限思想；起源；发展如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一。
极限，单从字面上来讲，就足以让人浮想联翩，发散思维，引发出无限的想象。
“挑战极限，超越自我”曾是我们高三时期激励自己努力学习的铮铮誓言。
然而这只是生活中我们对极限的理解，还很幼稚很肤浅，与数学上所讲的“极限”还有很大的区别。
结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的起源与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究。
我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段——萌芽阶段、发展阶段、进一步发展完善阶段。
数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。
”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以上溯到2000多年前。
这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。
其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。
也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。
极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。
阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯1不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。
然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。
极限思想的产生和发展
如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一．结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的产生与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究．我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段——萌芽阶段、发展阶段、进一步应用完善阶段．
1极限思想的产生
Keywords:limit thought ;generation; development
绪论
极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹．极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照．
摘 要：本文主要论述极限思想的产生和发展历史．在极限思想产生和发展的每个阶段，介绍一些相关的数学家代表以及他们的理论．极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想．极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点．通过了解极限思想的产生和发展，让人们对学习关于极限思想的数学知识更有兴趣；通过了解极限思想的产生和发展，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确．在探求极限思想起源与发展的过程中，会发现数学这个美丽的世界，享受探求数学这个美妙的过程．
浅谈极限思想
浅谈极限思想作者：陶茂恩来源：《今日湖北·下旬刊》2014年第01期摘要极限思想谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。
本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题和函数极限概念小结极限思想应用的举例。
关键词极限函数导数所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
一、极限思想的产生与发展1、极限思想的由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
2、极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。
极限概念的产生与发展
即如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ，总存在一个 正数 ，使得对于适合不等式0 x x0 的一切 x，所对
应的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) A ，则常数 A 就
叫做
y f (x)当
x x0 时的极限，记作
随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益 复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围。在 这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的 极限定义就显得十分迫切需要。Morris Kline 在《古今数学 思想》中说“随着微积分的概念与技巧的扩展，人们努力去 补充被遗漏的基础。在牛顿和莱布尼兹不成功地企图去解释 概念并证明他们的程序是正确的之后，一些微积分方面的书 出现了，他们试图澄清混乱，但实际上却更加混乱。”经过 100 多年的争论，直到 19 世纪上半叶由于对无穷级数的研究， 人们对极限概念才有了较明确的认识。1821 年法国数学家柯 西（Augustin-Louis Cauchy）在他的《分析教程》中进一步 提出了极限定义的 方法，把极限过程用不等式来刻划，后经 德国数学家维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）进一步加工，
但他们当时也还没有完全弄清楚极限的概念，没能把他们 的工作建立在严密的理论基础上，他们更多的是凭借几何和物 理直观去开展研究工作。
到了 18 世纪，数学家们基本上弄清了极限的描述性定义。 例如牛顿用路程的改变量 s 与时间的改变量 t 之比s t 表示物体的平均速度，让 t 无限趋近于零，得到物体的瞬时 速度，那时所运用的极限只是接近于直观性的语言描述：“如
lim f (x) A。这
xx0
样的定义是严格的，至今还被所有微积分的教科书（至少是
极限思想的起源及其大意
一、极限思想的起源以及它的大意极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。
【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。
设原槌之长为一个单位长，用 n x 表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则x n n =12。
显然，当n 无限地增大时，n x 趋近于零。
所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。
对 n x 的这一变化趋势，我们一般采用记号0lim =x 来表示。
x -1，【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。
其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了12的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了122距离，…，如此下去。
这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。
最初龟兔之间的相距11=x第一段路程兔子所用时间为t 112=，龟兔之间还相距x 212= 第二段路程兔子所用时间为t 2212=，龟兔之间还相距x 3212=………第n 段路程兔子所用的时间为t n n =12，龟兔之间还相距x n n +=112前n 段路程兔子所用时间的总和为)(1211211212121212112n T n n n n 对任意的<-=--=+++=+显然，当n →∞时，1→n T ，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。
在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离 x n n +=112无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。
三、极限思想在数学史上所取得的成就在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。
因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。
微积分学中的极限思想分析
微积分学中的极限思想分析引言微积分学是数学的一个重要分支，它研究的对象是变化和无限小量。
极限是微积分学中的重要概念，它是无穷小量的一种特殊性质，也是微积分学中的基础概念之一。
极限思想的提出和发展，为微积分学的建立奠定了重要基础，对于理解微积分学的核心思想和方法至关重要。
本文将从极限的历史发展、基本概念和应用等方面对极限思想进行分析，希望能够对极限思想的重要性和深刻内涵有一个全面的了解。
一、极限思想的历史发展极限思想的历史可以追溯到古希腊时代。
古希腊数学家阿基米德是第一个提出近似于π的方法的人，他利用一个等边多边形外接圆和内接圆的面积逼近圆的面积，从而提出了π的近似值。
这种方法可以看作是极限思想的雏形，虽然当时并没有明确的极限概念，但这种近似思想为后来的极限概念的发展奠定了基础。
17世纪，微积分学的开创者牛顿和莱布尼兹在处理曲线的面积和斜率问题时，引入了极限的概念。
莱布尼兹将极限概念系统地应用于微分学中，提出了微分的定义，并将微分和积分统一起来，从而创立了微积分学。
而极限的概念也逐渐成为微积分学的核心概念之一。
19世纪，柯西对极限进行了严格的定义和证明，确立了极限的基本概念和性质。
他在其著作《解析学纲要》中系统地构建了极限的理论体系，为后来的数学家们提供了重要的参考和借鉴。
柯西还提出了完备性原理，这为实数系的建立和极限概念的进一步发展提供了重要的理论支持。
20世纪，微积分学得到了极大的发展和应用，在物理学、工程学、经济学等领域得到了广泛的应用。
极限思想也在这一过程中得到了深化和拓展，不仅在理论研究中起着重要的作用，而且在实际问题的建模和求解中也发挥着重要作用。
极限思想的历史发展可以看作是微积分学发展的一个缩影，同时也反映了人类对无穷和无限小量认识的不断深化和拓展。
二、极限的基本概念1. 极限的定义极限是微积分学中的一个重要概念，它描述的是函数在某一点或者某一区间内的变化趋势。
通俗地说，极限就是描述一个函数在某一点附近的表现。
极限思想的产生和发展
极限思想的产生和发展摘要：极限谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。
本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。
关键词：极限思想产生发展完善思维功能1.极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
2.极限思想的发展正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。
英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。
这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
3.极限思想的完善到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。
其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。
”它接近于极限的正确定义。
然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。
事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。
极限思想的产生与发展
毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 131002145姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要：................................................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
极限思想的辩证思考以及诠释
极限思维与创造
极限思维激发了人们的创新意识 和创造力。通过对极限问题的探 讨和研究，人们不断提出新的理 论和观点，推动了科学技术的发 展和创新。
极限思维与哲学思考
极限思维引发了人们对哲学问题 的思考和探讨。例如，关于无穷 小、连续性等问题的研究促使人 们对绝对与相对、有限与无限等 哲学问题进行深入思考，为哲学 的发展提供了新的思路和方法。
极限思想的应用领域
在数学领域，极限思想被广泛应 用于微积分、实数理论、概率论 等领域。
在工程学领域，极限思想被用于 优化设计、可靠性分析、控制系 统等领域。
极限思想在数学、物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛 的应用。
在物理学领域，极限思想被用于 研究质点运动、弹性力学、流体 力学等问题。
在经济学领域，极限思想被用于 研究市场均衡、经济增长、风险 管理等问题。
极限思想与连续性原则
极限思想是连续性原则的延伸
连续性原则是指事物的发展是连续不断的，而极限思想则是 对这种连续性进行深入探讨的工具。通过极限思想，我们可 以更好地理解事物的变化趋势、行为的极限以及这些极限附 近的行为特性。
极限思想在连续性中的应用
在许多实际问题的解决中，如物理学中的运动问题、工程学 中的优化问题等，极限思想都发挥了重要的作用。在这些领 域中，极限常常被用来描述变量在特定条件下趋近于某个值 时的行为特性。
要点二
极限思想的基本概念
极限思想是一种通过考察变量在某一 趋势下的行为，并对其取值进行估计 或逼近的思想方法。它提供了研究函 数性质、进行近似计算、推导极限定 理等的重要工具。
要点三
极限思想的应用
极限思想广泛应用于数学、物理学、 工程学、生物学等众多领域。它不仅 用于解决实际问题，还对理论物理、 化学、生物学等学科的发展起到了重 要的推动作用。
高等数学中极限思想的浅析
高等数学中极限思想的浅析微积分学教育教学中构建学生“数学极限思想”的研究微积分学作为数学学科的重要组成部分，对于培养学生的数学素养和解决实际问题具有重要意义。
然而，微积分学具有一定的难度，学生在学习过程中经常遇到困难。
为了帮助学生更好地理解和掌握微积分学知识，本文将探讨在微积分学教育教学中如何构建学生的“数学极限思想”。
数学极限思想是指通过研究变量在无限变化过程中的趋势，用极限值来描述变量的变化规律。
在微积分学中，极限概念是非常重要的基础知识，许多微积分学概念和定理都涉及到极限思想。
因此，构建学生的数学极限思想对于学好微积分学具有重要意义。
在微积分学教育教学过程中，可以从以下几个方面入手构建学生的数学极限思想：引入极限概念在微积分学教学中，首先要让学生了解极限的概念。
教师可以介绍一些实际例子，如速度、加速度、曲线斜率等，通过这些例子让学生感受到极限的思维方式。
无限与有限的对立统一教师要帮助学生理解无限和有限的对立统一。
虽然学生在初学微积分学时很难理解无限的概念，但可以通过有限次运算来获得无限次运算的结果。
例如，利用极限的运算性质求出函数在某一点的极限值，这个极限值是无限次运算的结果，但可以通过有限次的计算得到。
理解极限的思维方式学习微积分学需要掌握极限的思维方式。
极限思想是通过研究变量在无限变化过程中的趋势，用极限值来描述变量的变化规律。
教师可以通过具体例子帮助学生理解极限的思维方式，例如利用极限的定义证明函数的连续性、导数和定积分等微积分学基本概念。
应用极限思想解决实际问题学习微积分学的目的是为了解决实际问题。
教师可以通过一些实际例子来让学生感受到极限思想的应用。
例如，利用极限的思想解决经济增长、人口增长等问题；又如，利用极限的定义证明物理中的基本定理，如能量守恒定律等。
在实际教学过程中，教师可以根据具体的教学内容和学生的实际情况选择合适的教学方法。
例如，可以采用探究式教学法、案例分析法、问题解决法等多种教学方法，帮助学生深入理解极限思想，并培养其应用微积分学知识解决实际问题的能力。
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题 目： 浅析极限思想的产生与发展学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 班 级：2011级1班 姓 名：季满 学 号： 20110501005 指导教师： 曹志军2015 年 5月 20 日毕 业 论 文浅析极限思想的产生和发展【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。
由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。
极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。
极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。
本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。
【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一The emergence and development of the limit idea 【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the further development with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics. The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize the infinite from limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognize the unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.【Key Words】limit thought ；development ；dialectics ；dialectical unity目录1 引言 (1)2极限思想的发展分期 (1)2.1极限思想的萌芽时期 (1)2.2极限思想的发展时期 (2)2.3极限思想的完善时期 (2)3极限思想的本质探索 (3)3.1有限运算的规律不能用于无限运算 (3)3.2极限概念的代数化 (3)3.3极限概念的本质 (4)4极限思想的辩证理解 (4)4.1有限与无限的辩证统一 (4)4.2量变与质变的辩证统一 (5)4.3多样性与统一性的辩证统一 (5)4.4直与曲的辩证统一 (5)结论 (6)参考文献 (6)致谢 (7)石家庄学院毕业论文1引言极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别创立了微积分，微积分的理论基础是极限论。
此时极限概念虽然被提出来了，但是缺乏严格的定义。
为了解决微积分存在的缺陷，在十八至十九世纪，数学家们寻求解决的办法。
其中，柯西做出了开创性的工作，比较系统的阐述了极限理论。
但是，柯西给出的极限定义仍是描述性语言，缺乏严密性。
例如：要多小就有多小、无限趋近等描述性词语仍被使用。
最后，维尔斯特拉斯把极限定义代数化，实现了彻底的严密化。
近年来，关于极限思想的研究越来越多，目前国内外的许多专家学者在这一领域做了大量的工作，如白淑珍的《对极限思想的辩证理解》，阐述了极限思想是有限与无限、过程与结果、量变与质变的对立统一。
郑承民的《极限思想的演变及其应用》阐述了极限运算是微积分运算的基础。
蒋峰，蒋永红《极限思想中认知层次探析》阐述了极限思想的认知过程和在教学中的渗透过程。
本文追溯了极限思想发展的历史过程，并撷取一些非常典型的例子来探究极限思想的发展过程。
通过研究极限思想的演变过程，更加深刻的理解了它的本质，，更加清晰的阐述了对它的辩证理解。
2极限思想的发展分期微积分的理论基础是极限论，而极限理论的形成不是一蹴而就的，人们经历了漫长的认识过程。
大体可以分为三个时期：由远古的萌芽时期、到中世纪后随着微积分的建立极限思想进一步发展、再到18世纪后微积分的严格化促使极限思想达到完善化。
2.1极限思想的萌芽时期极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，以中国古代的祖冲之、刘徽，古希腊的芝诺等为代表。
古希腊著名哲学家芝诺提出了四个著名的悖论。
其中一个悖论是：运动不存在。
假设物体从A点运动到B点，它要想到达B点处，就必须先到达AB的中点处，而要想到达中点处，就必须先到达四分之一处，如此下去，无穷无尽，运动的物体永远也跑不动，所以运动不存在。
悖论本身的逻辑没有错，但是却违反了常理。
要想澄清这个悖论，需要极限、连续等概念。
古代的中国，刘徽发明的割圆术也是极限思想的应用，割圆术的要旨就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。
祖冲之继承并发展了刘 徽的割圆术，求得了圆周率的上下限。
这些研究成果，都体现着极限这种思想。
2.2极限思想的发展时期微积分的建立促进了极限思想的进一步发展。
17世纪，出现了大量的新问题，例如：求曲线的切线、函数的极值、物体运动的瞬时速度等。
牛顿在研究物体的运动时，创立了微积分，微积分算法的论证基础是无限小量。
牛顿首创了用ο表示x 的无限小且最终趋于零的增量，这实际上就是初步的无穷小量定义，并且把无限小增量作为《分析学》的基本概念。
但是牛顿过度依赖无限小量并且随意忽略无限小量，引起了人们的争议。
为此，他创建了一种新方法，叫“首末比方法”,用现代的话说，就是：求自变量与因变量变化之比的极限。
牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中也有等价的表述，量以及量之比，若在很小的时间间隔内相互接近且其差可小于任意给定的正量，则最终相等。
这可以说是给出的最早的极限定义。
莱布尼茨极限思想的运用，则是对曲线的切线、面积、体积等问题的研究，是对几何问题的思考。
他继承并发展了巴罗、帕斯卡的特征三角形的方法，提出了自己的特征三角形，极大的推广了这个方法。
特征三角形需要曲线的法线，而法线依赖于切线。
切线是纵坐标之差与横坐标之差变成无穷小时的比。
但是由于两者都对无穷小量认识不够深刻，导致微积分理论是不严格的。
虽然人们当时未能解决微积分的理论基础，但是18世纪的数学家们以过人的胆识和魄力，用微积分解决了很多现实问题，开创了很多新的数学分支。
微积分的严格化，极限理论的完善，随着历史的脚步，带到了下一个世纪。
2.3极限思想的完善时期极限思想的完善与微积分的严格化是密切联系的。
19世纪，柯西给出了极限一个定义，但他只是定性的描述了什么是极限，而没有进行定量地刻画。
定义为，如果某变量无限趋近于一常数，并和这个常数的差越来越小，这个常数就是极限值。
定义存在的缺陷就是，无限趋近，越来越小等词语给人以直观想象的感觉，没有明确的标准来说明，缺乏严密性，因此不能用于数学命题的证明。
例如，数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的极限是1，假如说0.9999999也是该数列的极限，那么我们就无法用这个极限的定义来否定它。
所以，柯西的极限定义需要精确化。
这一任务，留给了下一个伟大的德国数学家维尔斯特拉斯。
维尔斯特拉斯把这种描述代数化，给出了完善化的极限定义。
他给出的极限定义是，0,,N ε∀>∃当n N >时，总有n a a ε-<，就说a 是数石家庄学院毕业论文列{}n a 的极限。
与柯西的定义不同的是，他只用了“任意”和“存在”等词语，就是这种词语的改变，却使极限理论实现了彻底的完善化，给微积分提供了严格的理论基础。
实际上，柯西与维尔斯特拉斯给出的极限定义，在基本精神上，他们是一致的，只不过，后者的定义更加的精确。
维尔斯特拉斯不仅定性的描述了极限，而且也定量地刻画了极限。
3极限思想的本质探索极限思想的产生和发展，为我们认识无限世界提供了有力的工具。
19世纪是分析学严密化的时代，极限概念使之代数化，让我们知道极限过程包含自变量无穷逼近和因变量无穷逼近两个过程。
极限概念代数化后，我们可以深刻的理解了无穷小量，即极限值为零的量。
3.1某些有限运算的规律不能用于无限运算有限运算的规律不能简单的用于无限运算。
例如：1231(1)(1)(1)(1)n +-+-+-++-+ 无穷级数求和？如果这样加括号求和得：123[1(1)][(1)(1)]0+-+-+-+=如果这样加括号求和得：12341[(1)(1)][(1)(1)]1+-+-+-+-+= 如果，在展式：2311()1n x x x x x =-+-++-++ 中令1x =得到和为12通过这个例子，可以看到同一级数，按照有限运算的法则去求，却得到不同的结果。