幂函数 反函数 反比例
6.幂函数、二次函数与反比例函数
5.(08’江西理,12）已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1， g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一 个为正数，则实数m的取值范围是( B ) A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(-∞,0)
f（x）=ax2+bx+c（a＞0） 在[n，m]的值域
f (x)在y轴右侧的图象是上升的曲线.
x 1 例3.作函数f ( x ) 的大致图象,并指出单调区间, x 1 求出x [1,1) (1, 2]时f ( x )的值域.
( x 1) 2 2 解 : f ( x) 1 x 1 x 1
由图象知 f ( x )的单调减区间是(,1)和(1, ).
2
a 6或
3
变式训练:
9 函数 f ( x ) 3 x 3 x 4m , x [ m ,1 m], 4 该函数的最大值是25.求m的值.
2 2
5 13 m bx+c满足条件 f(x-3)=f(5-x) ,且 方程f(x)=x有相等实根.
2
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|. [1, 1 ]
2
3.(2010’广东文,20)已知函数f (x)对任意实数 x 均有 f (x)=kf (x+2)，其中常数k为负数，且f (x)在区间 [0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).
3 (1)求f (-1), f (2.5)的值； k , 4k (2)写出f (x)在[-3,3]上的表达式，并讨论函数f (x)在
反比例函数. 2. 图象:
k0 k0
x
例.已知
f ( x) (m m) x
2
m2 2 m1
反比例函数与幂函数
7.(2010 年厦门模拟)定义：若存在常数 k，使得对定义域 D 内 的任意两个 x1 , x 2 ( x1 x 2 ) ，均有 | f ( x1 ) f ( x 2 ) | k | x1 x 2 | 成立，则称函数 f(x)在定义域 D 上满足利普希茨条件．若 函数 f ( x ) 值为________
4 .( 12 浦东模拟 ) 若 { 1, 3 ,
5.(12广一模)已知幂函数 y m 5 m 7 x
则实数 m 的值为
3
．
6 .已知 ( a 1)
1 3
(3 2 a )
1 3
，求 a 的取值范围
y＝xα
3. 五种幂函数的性质比较
y x
y
y x
y
2
y x
y
3
y x
y
1 2
y x
y
1
图象
O
x
o
o
x
x
o
x
o
x
定义域 值 域
R R
R
[0,+∞)
R R
[0, +∞) [0, +∞)
{x| x ≠ 0}
{ y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数 非奇非偶
增函数 增函数
奇函数
x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数 k 的最小
1 2
3.单调性： 在________________上是增函数；
( k ,0 )和 ( 0 , k ) 在 ________________上是减函数； ( , k ) 和 ( k , )
1．下列命题中正确的是( D ) A．当n＝0时,函数y＝xn的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0, 0)、 (1, 1)两点 C．幂函数的图象可能出现在第四象限 D．图象不经过点(－1, 1)的幂函数一定不 是偶函数
反函数的例子范文
反函数的例子范文反函数是指通过将函数的自变量和因变量互换位置，得到一个新的函数。
换句话说，如果函数f的定义域是X，值域是Y，那么反函数f^(-1)的定义域是Y，值域是X。
通过反函数，我们可以将函数的输入和输出进行互换。
下面是一些常见的反函数的例子：1.幂函数和对数函数一般来说，幂函数和对数函数是互为反函数的。
例如，幂函数f(x)= 2^x 的反函数是对数函数f^(-1)(x) = log2(x)。
对数函数的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)；而幂函数的定义域是实数集(-∞, +∞)，值域是正实数集(0, +∞)。
2.正弦函数和反正弦函数正弦函数f(x) = sin(x) 是周期为2π的函数，定义域是实数集(-∞, +∞)，值域是闭区间[-1, 1]。
它的反函数是反正弦函数f^(-1)(x)= arcsin(x)，定义域是闭区间[-1, 1]，值域是闭区间[-π/2, π/2]。
3.二次函数和平方根函数二次函数f(x)=x^2是一个带有对称轴的函数，定义域是实数集(-∞,+∞)，值域是[0,+∞)。
它的反函数是平方根函数f^(-1)(x)=√x，定义域是[0,+∞)，值域是实数集[0,+∞)。
4.指数函数和反指数函数指数函数f(x) = a^x 其中a > 0，a ≠ 1，定义域是实数集(-∞,+∞)，值域是(0, +∞)。
它的反函数是反指数函数f^(-1)(x) = loga(x)，定义域是(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
其中，底数a称为常数底数。
5.三角函数和反三角函数除了正弦函数和反正弦函数之外，余弦函数、正切函数、余切函数，也都有互为反函数的反三角函数。
例如，正切函数f(x) = tan(x) 的反函数是反正切函数f^(-1)(x) = arctan(x)，定义域是实数集(-∞, +∞)，值域是闭区间(-π/2, π/2)。
以上仅仅是一些常见的反函数的例子，实际上，反函数的概念和应用非常广泛，涉及到数学、物理、工程等多个领域。
幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质
幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质幂函数与反比例函数的像和性质一、幂函数的像和性质幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数常数，且x为定义域内大于0的实数。
幂函数的像和性质主要包括指数的正负和取值范围、幂函数的图像特征及对称性。
1. 指数的正负和取值范围当指数a大于0时，幂函数的定义域为正实数集(0, +∞)，这是因为幂函数要求x大于0，否则会得到非实数结果。
当指数a小于0时，幂函数的定义域为非零实数集R*，这是因为幂函数求倒数时，要求x不能等于0，否则会得到无穷大的结果。
根据指数的正负和取值范围的不同，幂函数的图像会有所区别。
2. 幂函数的图像特点当指数a大于1时，幂函数的图像呈现上开弯曲的形状，随着x的增大，函数值也越来越大，增长速度逐渐加快。
当指数a介于0和1之间时，幂函数的图像呈现上开但趋于平缓的形状，随着x的增大，函数值增长速度逐渐减慢。
当指数a等于1时，幂函数的图像为一条直线，斜率为1，函数值与x成正比。
当指数a小于0时，幂函数的图像呈现下开的形状，随着x的增大，函数值趋于0但不等于0。
3. 幂函数的对称性当指数为偶数时，幂函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)，图像关于y轴对称，左右两侧形状相同。
当指数为奇数时，幂函数具有原点对称性，即f(x)=-f(-x)，图像关于原点对称，左右两侧形状颠倒。
二、反比例函数的像和性质反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数常数。
反比例函数的像和性质主要包括定义域、图像特征及其与幂函数的关系。
1. 反比例函数的定义域反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数集，因为反比例函数的分母不能为零。
2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像为一个以原点为对称中心的一条曲线，其左右两侧的形状相似但关于y轴对称。
随着x的增大，函数值逐渐逼近0但不会等于0；随着x的减小，函数值也逐渐逼近0但不会等于0。
3. 反比例函数与幂函数的关系反比例函数是一种特殊的幂函数，可以看作是幂函数的特例。
幂函数与反比例函数的性质与计算
幂函数与反比例函数的性质与计算幂函数和反比例函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学与实际问题的解决中起着重要的作用。
本文将介绍幂函数和反比例函数的性质以及计算方法。
一、幂函数的性质与计算幂函数是指形如y = ax^n (a≠0, n为常数)的函数。
以下是幂函数的一些性质和计算方法：1. 幂函数的图像特点幂函数的形状取决于常数n的正负和大小关系：- 当n>0时，函数图像随着x的增大而上升，随着x的减小而下降，曲线经过点(0,0)；- 当n<0时，函数图像在定义域内与x轴分离，且随着x的增大而逐渐靠近y轴，在x轴的左侧有一个垂直渐近线；- 当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；- 当n为奇数时，函数图像具有一段特定的起伏。
2. 幂函数的计算方法对于幂函数的计算，主要包括以下几个方面：- 求函数的定义域和值域：对于幂函数y=ax^n，当a>0时，定义域是实数集R，值域取决于n的正负性；- 求函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数，即f(x) = f(-x)；- 求函数的单调性：当n>0时，函数严格单调递增；当n<0时，函数严格单调递减。
二、反比例函数的性质与计算反比例函数是指形如y = k/x (k≠0)的函数。
以下是反比例函数的一些性质和计算方法：1. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像是一个双曲线，其特点主要有：- 函数图像与坐标轴有两个渐近线；- 当x趋近于0时，y的值趋向于无穷大；- 当x趋近于无穷大时，y的值趋向于0。
2. 反比例函数的计算方法对于反比例函数的计算，主要包括以下几个方面：- 求函数的定义域和值域：反比例函数y=k/x中，定义域是x≠0，值域也是实数集R；- 求函数的对称轴：反比例函数关于y轴对称；- 求函数的单调性：反比例函数在定义域内是严格单调递减的。
三、幂函数与反比例函数的比较与应用幂函数和反比例函数在数学和实际问题中常常需要进行比较和应用。
初中数学 反比例函数是否可以是幂函数
初中数学反比例函数是否可以是幂函数
在初中数学中，反比例函数和幂函数是两种不同的函数类型，它们的定义和性质有所不同。
因此，反比例函数一般情况下不是幂函数。
反比例函数可以表示为y = k/x，其中k 是常数。
它的特点是x 和y 呈现出一种反比的关系，即当x 增大时，y 会减小；当x 减小时，y 会增大。
反比例函数的图像通常是一条双曲线，有两个渐近线。
幂函数则可以表示为y = ax^b，其中a 和b 是常数。
幂函数的特点是x 和y 呈现出一种幂的关系，即当x 增大时，y 的变化趋势由指数 b 决定。
幂函数的图像形状可以是直线、曲线或者是开口向上或向下的抛物线。
根据反比例函数和幂函数的定义和性质，我们可以看出它们的数学性质是不同的。
反比例函数没有幂函数的形式，而幂函数也不具备反比例函数的特点。
当然，也存在一种特殊情况，即当 b = -1 时，幂函数y = ax^(-1) 可以化简为反比例函数y = a/x。
在这种情况下，反比例函数可以被看作是幂函数的一种特殊情况。
总结起来，反比例函数一般情况下不是幂函数。
它们在定义和性质上有所不同。
在教学中，我们可以通过具体的例子和图像来说明反比例函数和幂函数的区别，帮助学生理解它们的特点和性质。
高中数学《反函数、幂函数》知识点
高中数学《反函数、幂函数》知识点
高中数学《反函数、幂函数》知识点
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以下是店铺收集整理的高中数学《反函数、幂函数》知识点，希望对大家有所帮助。
1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。
幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。
2 幂函数的.图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、
3、-1、时幂函数的图像和性质。
3 了解其它幂函数的图像和性质，主要有：
①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。
指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。
指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。
②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。
前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。
注意第四象限绝对不会有图像。
③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。
当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。
4 幂函数奇偶性的一般规律：
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。
⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。
⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域 x>0或x≥0，没有奇偶性。
⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。
⑸指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。
高一数学《反函数、幂函数》知识点
高一数学《反函数、幂函数》知识点高一数学《反函数、幂函数》知识点1反函数的定义设函数=f(x)的定义域是A，值域是．我们从式子=f(x)中解出x得到式子x=φ()．如果对于在中的任何一个值，通过式子x=φ()，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ()叫函数=f(x)的反函数，记作x=f-1()，习惯表示为=f-1(x)．注意：函数=f(x)的定义域和值域，分别是反函数=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函数存在的条按照函数定义，=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素，如果值域中的每一个元素也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素，通过对应法则=f(x)存在着一一对应关系，那么函数=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．3．函数与数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
幂函数与反比例函数的性质教学方法总结
幂函数与反比例函数的性质教学方法总结在数学教学中，幂函数和反比例函数是常见的两类函数。
幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数，而x是自变量；反比例函数则是指形如f(x) = a/x的函数，其中a是常数，x是自变量。
本文将就幂函数和反比例函数的性质以及相应的教学方法进行总结和探讨。
一、幂函数的性质：1. 定义域和值域：对于幂函数f(x) = ax^b，当b是整数时，函数的定义域为全体实数，值域则依赖于a的正负性质；当b是分数时，函数的定义域为使得x^b存在的实数集，值域也与a的正负性质相关。
2. 增减性和奇偶性：对于不等于0的幂函数，当b为正数时，函数在整个定义域上递增；当b为负数时，函数在整个定义域上递减。
而幂函数一般是奇函数或偶函数，具体取决于幂指数。
教学方法：1. 引导学生观察：通过给出具体的幂函数图像，引导学生观察函数在不同幂指数下的变化规律，进而推导出幂函数的增减性和奇偶性。
2. 给出具体例子：通过实际问题引出幂函数的应用，例如面积与边长的关系等，使学生能够将幂函数的性质应用到实际问题中。
二、反比例函数的性质：1. 定义域和值域：反比例函数f(x) = a/x的定义域为除去x=0的全体实数集，值域也依赖于a的正负性质。
2. 增减性和奇偶性：反比例函数在定义域内是单调递减的，并且是奇函数。
教学方法：1. 观察并比较：给出反比例函数图像，并与线性函数的图像进行比较，引导学生观察反比例函数的特点和与线性函数的区别。
2. 实际问题的应用：通过实际问题引入反比例函数的应用，如速度与时间、工人数量与完成工作所需时间等，使学生能够理解反比例函数的实际意义和应用方法。
综上所述，对于幂函数和反比例函数的教学，我们可以通过观察函数图像、给出具体例子以及引入实际问题的应用等方法来帮助学生理解和掌握这两类函数的性质。
同时，针对不同的年级和学生水平，可以适度地调整教学内容和深度，以确保教学效果的最大化。
反函数对数函数幂函数指数函数三角函数
反函数对数函数幂函数指数函数三角函数数学的世界就像一个神秘的迷宫，里面住着各种各样的函数。
有些像小精灵一样活泼，有些则像老爷爷一样沉稳。
咱们今天就来聊聊这些有趣的家伙。
首先要说的就是反函数。
听起来有点复杂，但其实它就像是镜子中的你。
你知道吗？如果你把一个数放进某个函数里，反函数就是把结果反过来，让你又能找到原来的数。
这就像在玩捉迷藏，找到藏起来的小伙伴，嘿嘿，真是太有意思了。
接下来是对数函数，哇，这个家伙可真是个怪物！它就像是数学界的侦探，专门用来解密一些事情。
你说它是干什么的？简单！它可以告诉你，咱们需要多少个相同的数才能得到一个大数。
比如，想知道2要乘几次才能变成8？对了，是3次！对数函数就像是给你点拨，让你找到答案的路。
听起来是不是特别酷呢？再聊聊幂函数，哇，这个家伙也很神奇。
它就像在变魔术，给你一颗数的力量，让它迅速变大，或者变小。
比如，你有个数2，乘以自己三次，变成了8！这个变换速度可真让人惊叹！幂函数就像个能量饮料，让你一口气提速，瞬间飙升。
这种力量，简直让人热血沸腾。
然后，我们不得不提到指数函数。
说到这个，大家是不是觉得它就像个超级英雄，飞速成长，势不可挡？是啊，指数函数就像是一个不断上涨的气球，越涨越大。
只要你稍微给点动力，它就会迅速飞向高空。
想象一下，数2，每次翻倍，短短几次就能变得让人瞠目结舌。
谁能想到，数学也能如此疯狂呢？再来看看三角函数，哇，这个就像个跳舞的小精灵，旋转、翻滚、摆动，简直不知疲倦。
它和我们的生活息息相关，无论是测量角度还是波动，都少不了它的身影。
记得小时候玩过的那种转盘游戏吗？三角函数就像那个转盘，一转就知道了多少乐趣。
它的周期性变化，真让人忍不住想要一试身手，体验一下它的舞蹈。
说到这些函数，有时候觉得它们就像一群有趣的小伙伴，各自有各自的个性。
反函数冷静理智，像个耐心的老师；对数函数聪明机智，像个机灵的侦探；幂函数则充满力量，像个激励的教练；指数函数则如飞翔的鸟儿，迅速又自由；三角函数则像一场精彩的表演，令人目不暇接。
函数的反函数和反比例关系
函数的反函数和反比例关系函数是数学中重要的概念之一，它描述了变量之间的关系。
而函数的反函数和反比例关系则是函数中的特殊情况，它们在解决实际问题时具有重要的意义。
本文将就函数的反函数和反比例关系展开讨论，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的反函数首先我们回顾一下函数的定义：函数是一种关系，它将一个定义域内的每个元素映射到一个值域内的唯一元素。
函数的反函数即为将这种映射关系反转过来，从值域的元素反推回定义域的元素。
如果函数f(x)的反函数为g(x)，则对于函数中的每个元素y，都有y=g(f(y))。
反函数的性质有以下几点：1. 原函数和反函数是一一对应的关系，即原函数中的每个元素都与反函数中的一个唯一元素对应。
2. 如果函数中的元素x1和x2不相等，则它们的映射结果f(x1)和f(x2)也不相等。
3. 函数f(x)的反函数g(x)的定义域和值域与f(x)的定义域和值域互换，即g(x)的定义域为f(x)的值域，g(x)的值域为f(x)的定义域。
反函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在密码学中，可以通过反函数来解密加密过的信息；在图像处理中，可以通过反函数来实现图像的还原和修复等。
二、反比例关系反比例关系是函数中的一种特殊情况，它描述了两个变量之间的关系，其中一个变量的值随着另一个变量的值的增加而减小，且它们的乘积为一个常数。
反比例关系可以用以下公式表示：y = k/x，其中k为常数。
反比例关系的性质有以下几点：1. 变量x和y之间的乘积始终为一个常数k，即xy=k。
2. 当x增加时，y减小；当x减小时，y增加。
3. 当x等于0时，y不存在；当y等于0时，x不存在。
反比例关系在实际问题中也具有重要的应用，例如在物理学中，经典力学中的牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例关系；在经济学中，供给与需求的关系也满足反比例关系。
通过学习函数的反函数和反比例关系，我们能够更好地理解数学中的变量关系，解决实际问题中的相关计算和分析。
高中数学函数知识点知识点总结(反比例函数、对数函数、幂函数……)
高中数学函数知识点知识点总结（反比例函数、对数函数、幕函数）姓名：___________扌旨导: __________日期：___________一次函数”(-)函数・1、确定函数定义域的方法："(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；J(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；"(3 )关系式含有二欠根式时,被开放方数大于等于零；"(4)关系式中含有指数为孝的式子时,底数不等于零；"(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义・J(二)—次函数Q1, 一次函数的定义“—般地,形如尸仗"(上,是常数，且斤工O )的函数，叫做一次函数，其中X是自变量。
当“°时，一次函数尸肚,又叫做正比例函数.亠(1)-次函数的解析式的形式是V= kx+ b I要判断一Φ函数是否是一次函数.就是判断是否能化成以上形式.Q(2)当“° , “°时，尸心仍是一次函数,(3)当"O , & =O时，它不是一次函数2⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数22、正比例函数及性质＜」一般地，形如y=kx(k是常数f kH0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数屮WW注：正比例函数TS形式y=⅛ (k不为零)Q) k不为零②X指数为1③b取零门k<0时，直线y=kx经过二四象限r从左向右下降，即随X増大y反而减小，(1)解析式:y=kx ( k是常数f k≠0)÷j⑵必过点：（0. 01 （I f k）^⑶走向：k>0时.图像经过一、三象限；k<0时.图像经过二、四象限S⑷增减性:k>0 , y随X的增大而增大；k<0 . y随X増大而减小相⑸倾斜度:Ikl越大r I匠y轴；Ikl越小『越接近对叶3.一次函数及性质Q→S½ ,形如y=kx + b（k,b是常数r k≠O）f SP^yDi≡×的一次函数•当 b=0时r y=kx* WvV VVWΛΛ* * VAA.亠b即y=kx f所以说IE比例函数是一种特殊的一次函数屮注：一次函数Tg形式y=l密妁（k不为零）①k不为零②X指数为1③b取任意实数=一次函数y=k×÷b的图象是经过（0.b）和（--f 0）两点的一条直线f我们称它为VW√V√VKZ⅝A 3直线y=kx+b它可以看作由直线y=k×平移Ibl个单位长度得到.（当b>0时，向上平移;当V√√VvVV⅛A WW√■b<0时■向下平移）卩(1) 解析式：y=kχ÷b(k. b 是窜数 r k≠ OWWhA %^Z ⅛ΛA(2) 必曲:(0,b)和(+ .0) “(3 )走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0f 图象经过第二、四象限'•b>0 r 图象经过第一、二象限；b<0 ,图象坯过第三、四象限<k>0 C O 宜线经过第一・二三象限 b>0 λ >0 C O 貢线经过第一.三.四象限÷,b<0fJt < 0L Co 直线经过第一・二四象限 b > 0 ⅛ <0LCO 直线经过第二三、四象限， b<0(4 )増减性:k>0 . y 隧X 的増大而増大；k<0 , y 随X 増大而减小屮<J(6 )图像的平移:当b>0时.将直线y=kx ^[≡象向上平移b 个单位；卩当b <0时.将直线y=kκ的图象向下平移b 个单位•根据几何知识：经过两点能画出一条直线r 并且只能画出一条直线f 即两点确定一条直 线I 所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可•一般情况下：是先选取(5 )倾斜度:IICl 越大,图剝 近于y 轴；|町越小，图象越接近于X 轴*（b \它与两坐标轴的交点√0,b）f k丿•即横坐标或纵坐标为0的点屮5、正比例函数与一次函数之间的关系Q一次函数y⅛x÷b的图象是一条直线■它可以看作是由直线y=⅛∖平移Ibl个单位长度而得到（当b>0时’向上平移；当b<0时.向下平移N6、正比例函数和一次函数及性质36、直线y =k x x + b l( Λl≠ O )与 F= k2x +b2 ( k2≠ Q )的位置关系 A(1)两直线平行o Jt I= &且知≠ bf(2)两直线相交OhHh2(3 )两直线重合u> Jt l=处且久=b2v(4)两直线垂直o火禹=一13人用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：，(1)根据已知条件写岀含有待定系数的函数关系式；，(2 )将X. y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；Q(3)解方程得出未知系数的值；“(4)将求岀的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式J8、一^-次方程与一次函数的关系。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第八节反比
第八节 反比例函数与幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．知识梳理 一、反比例函数1．定义：形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做________函数，其定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．2．反比例函数的图象和性质．(1)图象：双曲线，它们的渐近线是两条坐标轴，对称中心是________．(2)性质：当k >0时，函数在区间()－∞，0和()0，＋∞上是减函数；当k <0时，函数在区间________和________上是增函数．二、 幂函数1．定义：形如y ＝x α(α是常数，x 是自变量)的函数叫做幂函数．其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数α取值的不同而不同．2．幂函数的图象(如右图)．3．幂函数的性质.函数性质y＝x y＝x2y＝x3Y＝x12y＝x－1定义域R R R{x|x≥0}________ 值域R R R________{y|y≠0} 奇偶性__________________________________单调性递增区间(－∞，＋∞)递增区间________递减区间________递增区间________递增区间(0，＋∞)递减区间________，________ 公共点(1,1)一、1.反比例 2.(1)原点(0,0)(2)(－∞，0)(0，＋∞)二、3.{x|x≠0}{y|y≥0}奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(0，＋∞)(－∞，0)(－∞，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)基础自测1．函数y＝x－1的图象可看成是由幂函数y＝x的图象()A．向左平移1个单位长度得到B．向右平移1个单位长度得到C．向上平移1个单位长度得到D．向下平移1个单位长度得到解析：y＝x＝x.故选B.答案：B2．已知幂函数f(x)＝xα部分对应值见下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2} D ．{x |－4≤x ≤4}解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝22，∴α＝12.∴f (|x |)≤2可化为|x |12≤2.∴|x |≤4.∴其解集为{x |－4≤x ≤4}．故选D.答案：D3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________．解析：由m 2－3m ＋3＝1且m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合． 答案：1或24．函数f (x )＝1x ＋2＋1图象的对称中心的坐标是___________________．解析：因为y ＝1x 的对称中心是(0,0)，将y ＝1x 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到f (x )＝1x ＋2＋1的图象，所以f (x )＝1x ＋2＋1图象的对称中心是(－2,1)．答案：(－2,1)1．函数y ＝x 的图象是( )解析：取x ＝18，－18，则y ＝12，－12，选项B ，D 符合；取x ＝1，则y ＝1，选项B 符合题意．故选B.答案：B2．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q两点，则线段PQ 长的最小值是______．解析：设经过原点的直线与函数的交点为⎝⎛⎭⎫x ，2x ，⎝⎛⎭⎫－x ，－2x ，则PQ ＝ (2x )2＋⎝⎛⎭⎫4x 2≥4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝±2时取等号．答案：41. (2012·河南四校联考)已知函数f (x )＝x ＋mx，x ∈(0，＋∞)(m >0)，若不等式f (x )<4的解集非空，则( )A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m <4D ．m <2解析：因为f (x )＝x ＋m x ，x ∈(0，＋∞)(m >0)，所以f (x )＝x ＋mx ≥2m ，即函数f (x )min ＝2m ，若不等式f (x )＜4有解，则有2m <4，解得m <4.故选C.答案：C2. (2012·青岛期末)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：①f (x )＝x ＋1x(x >0)；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ；④φ(x )＝ln x ．其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．②④D ．①④解析：g (x )＝x 3通过点(1,1)，(2,8)等，故不是一阶整点函数；h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x通过点(－1,3)，(－2,9)等，故不是一阶整点函数．故选D.答案：D。
2.2.4 反比例函数与幂函数(理)
2.2.4 反比例函数与幂函数知识要点梳理（一）反比例函数1.反比例函数的定义：形如(,0,ky k R k k x=∈≠是常数)的函数叫反比例函数，其定义域{|,0}x x R x ∈≠但.2. 反比例函数的图像和性质：（1）图像：双曲线；它们的渐近线是两条坐标轴。
对称中心是原点（0，0）（2）性质：当k>0时，函数在区间()(),00,-∞+∞和上是减函数；当k<0时，函数在区间()(),00,-∞+∞和上是增函数。
（二）幂函数1.幂函数的定义：形如(,y x R ααα=∈是常数,x 是自变量)的函数叫反比例函数。
其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。
其定义域随着常数α取值的不同而不同。
2．幂函数的图象和性质：在y x α=中，当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线． 疑难点、易错点剖析1.写反比例函数的单调区间时，如当k>0时，函数的递减区间是()(),00,-∞+∞和；当k<0时，函数的递增区间是()(),00,-∞+∞和，值得注意的是不能写成()(),00,-∞⋃+∞，可用逗号分隔开。
2．注意幂函数(,y x R ααα=∈是常数)与指数函数(01)xy a a a =>≠且的区别：幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数；而指数函数是底数是常数，自变量则处在幂指数位置。
3.现阶段只研究幂函数(,y x R ααα=∈是常数)中的α是有理数的情形，且考纲明确要求掌握如下几种特殊的幂函数y x α=如：α=1，2，3，-1，-2，12，12-，13，23的图像及特征。
幂函数()f x x α=,具有性质：()()(),f xy f x f y =.()()()x f x f y f y =，'(1)f α=。
3.2.4 反比例函数与幂函数
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与幂函数有关的复合函数问题
已知函数y＝
4
15 + 2x－x 2 ．
（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 【思路分析 思路分析】换元将函数转化为幂函数问题，利用复合函数 思路分析 的单调性、幂函数性质解决。 解：利用换元法，令t＝15+2x－x2，则y＝
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5、作幂函数的图象时，要联系函数的定义域、单调性、奇偶性等，先作出幂函数在 第一象限的图象，然后根据函数的性质就可作出它在定义域内完整的图象. 6、幂函数图象的分布规律 : 在直线x = 1的右侧，随着幂指数的由小到大，函数图象 自下向上 分布. 7、在幂函数y = x, y = x 2 , y = x3 , y = x , y = x −1中，为奇函数的是 为偶函数的是 是 y=x
的函
2. 反比例函数的图像和性质： 反比例函数的图像和性质： （1）图像：双曲线；它们的渐近线是两条坐标轴。对称中心是原点 ）图像： （0，0）。 （2）性质：当k>0时，函数在区间 ( −∞, 0 ) 和 ( 0, +∞ ) 上是减函数； ）性质： 当k<0时，函数在区间 ( 0, +∞ ) 和 ( −∞, 0 ) 上是增函数。
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二. 幂函数
1.幂函数的定义：形如 y = xα (α ∈ R, α 是常数,x是自变量) 的函数叫 幂函数的定义： 幂函数的定义 幂函数。其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。其定义域随着 常数 α 取值的不同而不同。
2、 幂函数的图象都过定点 (1,1) . 3、 幂函数y = xa (a为常数)在第一象限的单调性:当a > 0时在第一象限为增函数, , 当a < 0时, 在第一象限, 幂函数为减函数且以两条坐标轴为渐近线 . 4、 幂函数的图象一定会出现在 第一 象限，一定不会出现在第 四 象限幂函数 . 的图象最多只能同时出现在 两 个象限 .
9.幂函数与反比例函数(9.28)
(m Z ) 是
4
偶函数,且在(0,+∞)上是减函数. (1)求函数f(x)的解析式;
f ( x) x
b (2)讨论 g( x ) a f ( x ) 的奇偶性. xf ( x )
a 0, b 0时，既奇又偶；a 0, b 0时，奇函数； a 0, b 0时，偶函数；a 0, b 0时,非奇非偶.
幂函数与反比例函数
幂函数
1.定义:形如 y = x a 的函数称为幂函数.
注意：a可以等于0和1.
2.图象: 函数y = x a 在第一象限的图象
y
a0 a1
0a 1 (1,1)
o
x
y轴左侧的图象可由奇偶性根据对称性作出
f 3.幂函数 （x） x (a, b互质) 的奇偶性
(1)a是奇数,b是奇数时, f(x)是奇函数;
定义域为{ x R | x 0}
1 f ( x ) 2 是偶函数 x
在(,0)上是增函数在(0, )上是减函数
x 1 例2.作函数f ( x ) 的大致图象,并指出单调区间, x 1 求出x [1,1) (1, 2]时f ( x )的值域.
( x 1) 2 2 解 : f ( x) 1 x 1 x 1
(2)a是奇数,b是偶数时, f(x)是偶函数; (3)a是偶数,b是奇数时, f(x)是非奇非偶函数.
b a
性质：
定义域 值域 奇偶性
yx
yx
2
yx
3
yx
1 2
yx
1
R R
R
[0,)
R R
[0, )
( , 0) (0, ) ( , 0)
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〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．
(图象关． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若
p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q
p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q
p y x =是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数
,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．
反函数
反函数的基本知识点
一．定义：设式子)(x f y =
表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ϕ=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数 ，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==ϕ，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。
（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域，
()图象在点图象上）在（点几何语言：
)(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f
b a f --='⇔==⇔=
（3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．
二．求反函数的一般步骤
（1） 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域
（2） 由)(x f y =的解析式求出)(y x ϕ=
（3） 将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义
域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）
分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。
三．掌握下列一些结论
（1） 单调函数⇒一一对应⇔有反函数
（2） 周期函数不存在反函数
（3） 若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数
（4） 证明)(x f y =的图象关于直线x y =对称，只需证)(x f y =的反函数和
)(x f y =相同。
反比例函数
反比例函数
一、基础知识
1. 定义：一般地，形如x k y =
（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x k y =还可以写成kx y =1-
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.
⑵比例系数0≠k
⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x
k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x
k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4
5. 求出k ）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函
数x
k y =中的两个变量必成反比例关系。