2017-2018学年高考数学第05周解三角形周末培优试题文新人教A版

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2017-2018学年高中数学第一章解三角形阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版必修5

第一章解三角形(B 卷能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4C.π6D. π12解析：选A 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin 角△ABC ，所以A ＝π3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C C ＝3a sin ( ) A.π6 D.5π6c sin C ＝3a sin B ，由正弦定理可知a 2＋b 2－c20<C <π，所以C ＝π6.c ＝150，则△ABC 的形状是( )解析：选D 由正弦定理可得sin C ＝c sin B b ＝32.∵b <c ，∴C ＝60°或120°.从而A ＝90°或A ＝B ＝30°.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则 2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A.19B.13C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析：选C ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3＝a 2＋c 2－b 22ac，又因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以B ＝π3或2π3. a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )D.14解析：选D 因为sin A ＝3，由正弦定理得c ＝3a ，又因为b 2－a 2＝52ac ，所以b 2＝172a 2，由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋9a 2－172a 26a2＝14. 8．已知等腰三角形ABC 的面积为32，顶角A 的正弦值是底角B 正弦值的 3 倍，则该三角形一腰的长为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 6解析：选A 依题意b ＝c ，sin A ＝3sin B . 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝3b .∴三角形底边上的高h ＝ b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12b .又三角形的面积为32，∴32＝12×3b ×b 2， ∴b ＝ 2.9．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，其面积S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B.13或37 C.37 D.13解析：选D 因为S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝33，所以sin A ＝32，又因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos A ＝9＋16－2×3×4×12＝13，∴BC ＝13.10.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532m C ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－1922×15×10＝－12.∴sin ∠ACB ＝32. 又∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 11．在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：选A 由已知3b ＝23a sin B 可得bsin B＝a32，根据正弦定理知sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°.又cos B ＝cos C ，∴B ＝C . ∴A ＝B ＝C ＝60°或A ＝120°，B ＝C ＝30°，所以选A 项．12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1 α＝2sin α再由余弦定＝2－2cos α，故正方形的面积为2α＋2.分，把正确答案填在题中的横线上) ________．设BC 中点为D ，连结AD ，则AD ⊥BC .在Rt △ABD 中， cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14.设AB 中点为点E ，连结CE ，则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·c os B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2，∴CE ＝62a . 答案：62a 14．在△ABC 中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是－12，则△ABC 面积等于________．解析：由题意得：a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，则A 为最大角，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝c ＋2＋c 2－c ＋2c ＋c＝c 2＋4c ＋4＋c 2－c 2－8c －162c c ＋＝c 2－4c －122c 2＋4c ＝－12，即c 2－4c －12＝－c 2－2c .即c 2－c －6＝0. 解得c ＝3，或c ＝－2(舍)．∴a ＝7，b ＝5，A ＝120°.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝15 34.答案：15 3415．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，C ＝π3，则b ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12，因为a <c ，所以A ＝π6，B ＝π2，则b ＝c 2＋a2＝4.答案：416．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，对塔顶A 的仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°， ∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO .令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x .在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0.解得x ＝10，或x ＝－5(舍去)．所以塔高为10 m. 答案：10 m三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知 b ＝4, △ABC 的面积为6，求边长 c解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.3 2.，得c ＝10.A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足4a cos B .B 及正弦定理得 4sin A cos B －sin B cosC ＝sin C cos B ，∴4sin A cos B ＝sin(B ＋C )，即4sin A cos B ＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝14.(2)∵ac ＝12，b ＝32及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2＝24，由a 2＋c 2＝24及ac ＝12解得a ＝c ＝2 3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b 2＋c2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小； (2)如果cos B ＝63，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为cos B ＝63，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝33. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝3.因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以c 2－2c －5＝0，解得c ＝1±6，因为c >0，所以c ＝6＋1.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32＋32.20．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32， ∴C ＝π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3.(2)∵c ＝3，sin C ＝32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋ 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜A ＜π2， ∴32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，则△ABC 周长的取值范围是(321．(本小题满分12分)A ，B a ，b ，c .若mcos A ，sin A ，⎛cos A ，＝3，求b ＋c 的值．A ＝12，∴cos A ＝－2.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12bc ·sin 2π3＝3，∴bc ＝4.又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ， ∴16＝(b ＋c )2，故b ＋c ＝4.22．(本小题满分12分)如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)解：轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x，在△ABC 中，由正弦定理得BCsin ∠BAC ＝ABsin C ，即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433.在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝313(千米)．故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时).。

人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》综合检测题

11．在△ ABC 中，三内角 A，B，C 分别对应三边 a，b， c，tan C＝ 43， c＝8，则
△ABC 外接圆的半径 R 为( )
A．10 C．6
B．8 D．5
12．设锐角△ ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝1，B＝ 2A，则 b 的取值范围为 ( )
A．( 2， 3)
＝°°ssiinn
20 10
＝°°2cos
10
°(km)．
答案：C
10．在△ ABC 中， a、b、c 分别为角 A， B， C 所对的边，若 a＝2bcos C，则此
三角形一定是 ( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：因为 a＝2bcos C，所以由余弦定理得：
∴△ ABC 的周长是 10＋20＋ 20＝50.
答案：50
14．在△
ABC
中，
A＝120°，AB＝
5，
BC＝
7，则
sin sin
BC＝
________.
解析：由余弦定理，得 a2＝b2＋ c2－2bccos A，
即 49＝ b2＋25＋ 5b，解得 b＝3 或 b＝－ 8(舍去 )，
sin B b 3 所以 sin C＝c＝5.
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ ABC 中， sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在△ ABC 中， A＝60°， b＝ 6，c＝10，则△ ABC 的面积为 ( )

2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修5讲义：模块复习精要复习课(一)解三角形 Word版含答案

复习课(一)解三角形对应学生用书P56利用正、余弦定理解三角形对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．[典例]设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.[解](1)由a＝2b sin A，，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝12由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B＝π3或2π3. 答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ，即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sinB ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．试题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米．在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°，所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( )A ．12 B.212C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S △ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝⎛⎭⎫32a 2－a 2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( )A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45，所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb ，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝c b cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2. 答案：2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53，又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52.11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2 A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝⎛⎦⎤－12，1＋3.。

2017-2018学年高考数学大题精做03 三角函数与解三角形的综合问题(含解析)文新人教A版

精做03 三角函数与解三角形的综合问题1．在△ΑΒC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、.已知3cos()16cos cos --=B C B C . （1）求cos A ；（2）若3=a ，△ΑΒC 的面积为. 【答案】（1）13；（2）2,3==b c 或3,2==b c .由面积公式得1sin 2=bc A 6=bc ①. 由余弦定理得2222291cos 2123+-+-===b c a b c A bc ，则2213+=b c ②. 联立①②，可得2,3==b c 或3,2==b c .2．设△ΑΒC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求△ΑΒC 的周长的取值范围．【答案】（1）π3；（2）(23]，.【解析】（1 又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，又(0π)A ∈∵，，（2故△ΑΒC 的周长的取值范围是(23]，．3．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小；（2πcos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．【答案】（1）π4；（2）最大值为2，此时π5π,.312A B == 【解析】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >从而sin cos .C C =又cos 0,C ≠所以tan 1,C =则π4C =. （2）由（1）知3π.4B A =-πcos()cos(π)4A B A A -+=--πcos 2sin().6A A A =+=+3π0,4A <<ππ11π,6612A ∴<+< 从而当ππ,62A +=即π3A =时，π2sin()6A +取最大值2．πcos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==4．已知c b a ,,分别是△ΑΒC 的三个内角C B A ,,所对的边，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=⋅-.（1）求角C 的大小；（2）求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ΑΒC 的形状.【答案】（1）3π；（2△ΑΒC 为直角三角形..时，y 取得最大值△ΑΒC 为直角三角形.5．在ABC △中，，，分别是角A ，B ，C 的对边，且()3cos cos tan tan 11A C A C ⋅⋅⋅-=.（1（2，求ABC △的面积.【答案】（1）718-；（2）32.（2）由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅，6，函数()f x的图象关于直线=πx对称.（1）求函数()f x的最小正周期；（2）在△ΑΒC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，求△ΑΒC面积的最大值.【答案】（1（2【解析】（1（2）()12f x =311sin ,5264f A A π⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0A <<π,,663A A π∴-== 221,12a b c bc bc bc bc =∴=+-≥-=，即1,bc ≤当且仅当b c =时等号成立.1sin 2ABC S bc A ∴==≤△ △∴ABC 面积的最大值为7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （1）求角A 的大小；（2，ABC △的面积为，求b c +的值．【答案】（1（2）3.【解析】（1所以b ＋c ＝3．8．在△ΑΒC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab =c 2.（1）求C ；（2）设cos A cos B ＝5，2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值．【答案】（1）3π4；（2）1或4.【解析】（1）因为a 2＋b 2ab =c 2，所以由余弦定理有cos C =222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.因为3π4C =，所以A ＋B =π4，所以sin(A ＋B )=2.因为cos(A ＋B )=cos A cos B −sin A sin B ，即5－sin A sin B =2，则sin A sin B =代入①得tan 2α−5tan α＋4=0，解得tan α=1或tan α=4. 9．设()2sin cos cos 4π⎛⎫=-+⎪⎝⎭f x x x x . （1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求△ABC 面积的最大值.【答案】（1）(),44ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦k k k Z （2.【解析】（1）由题意知()1cos 2sin 2222π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-x x f x sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-. 由222,22ππ-+π≤≤+π∈k x k k Z ，可得,44ππ-+π≤≤+π∈k x k k Z ；由3222,22ππ+π≤≤+π∈k x k k Z ，可得3,44ππ+π≤≤+π∈k x k k Z . 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；所以△ABC. 10．在△ΑΒC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c，，，已知nc o s=4cos cos B C .（1）求角A 的大小；（2）若sin sin B p C =,且△ΑΒC 是锐角三角形，求实数p 的取值范围．【答案】（1）3π；（2）1(,2)2.∴实数p 的取值范围是1(,2)2.11．在△ΑΒC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos a B b A =.（1）判断△ΑΒC 的形状；（2.【答案】（1）等腰三角形；（2【解析】（1）由c o s c o s a B b A =及正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，即()s i n 0A B -=. 在△ΑΒC 中，有-π<-<πA B ，所以0A B -=，即A B =. 所以△ΑΒC 是等腰三角形. （2）由（1）知A B =, 则因为A B =，12．已知函数()2cos2f x x x ωω=-的图象关于直线π3x =对称，其中ω∈15()22-，. （1）求函数f (x )的解析式；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，锐角B 满足π()2123B f +=，b ，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）f (x )＝2sin π(2)6x -；（2）2.（2）由（1）知π()2sin 212B f B +==，所以sin B 因为B 为锐角，所以0＜B ＜π2，所以2cos 3B =，因为222cos 2a c b B ac+-=，所以222223a c b ac +-=，所以2242223ac a c ac =+-≥-，所以ac ≤3，当且仅当a =c ac 取到最大值3，所以ABC △面积的最大值为12ac sin B =1213．（2017·天津卷文）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）2）．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．14．（2016·浙江卷文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b +c =2a cos B .（1）证明：A =2B ；（2）若cos B =23，求cos C 的值．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =.故1cos 9A =-，sin A = 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 【思路点睛】（1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有Α，Β的式子，根据角的范围可证2ΑΒ=；（2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2Β，进而可得cos Α和sin Α，再用两角和的余弦公式可得cos C ．15．（2016·天津卷文）在ABC △中，内角C B A ,,所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin 2sin a B A =.（1）求B ；（2）若1cos 3A =，求sin C 的值.【答案】（1）π6B =；（2）16. 【解析】（1）在ABC △中，由B b A a sin sin =，可得A b B a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =，得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得π6B =；（2）由31cos =A ，可得322sin =A ，则sin sin[()]sin()C A B A B =π-+=+πsin()6A =+6162cos 21sin 23+=+=A A . 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.。

2017届高三数学-解三角形-专题练习-答案

2）因为3⋅=，BA BC=）可知cos Bac2017届高三数学专题练习解三角形解析【重点把关】1．解析：由正弦定理可得sin A===．因为a=<b=，所以0<A<，所以A=，故选B．2．解析：已知等式利用正弦定理化简得=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cos B==，因为B为三角形的内角，所以B=．故选C．3．解析：因为bcos B=acos A，所以sin Bcos B=sin Acos A，所以sin 2A=sin 2B，所以A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，即△ABC为等腰或直角三角形，故选C．4．解析：因为△ABC中，asin Asin B+bcos2A=a，所以根据正弦定理，得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A，可得sin B(sin2A+cos2A)=sin A，因为sin2A+cos2A=1，所以sin B=sin A，可得=．故选C．5．解析：因为在锐角△ABC中，sin A=，S△ABC=，所以bcsin A=bc×=，所以bc=3，①又a=2，A是锐角，所以cos A==，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+6(1+)=12，所以b+c=2，②由①②得解得b=c=．故选A．6．解析：因为b2+c2+bc-a2=0，所以cos A==-，所以A=120°．由正弦定理可得====．故选B．7．解析：因为82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D⇒cos D=-，所以AC==7．答案：78．解析：因为∠A=60°，所以∠BOC=120°．又·=-，设△ABC外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以·=R2·cos∠BOC=-．所以R=1．由正弦定理得，=2R，所以a=2×sin 60°=．由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2，所以b+c≤2，所以a+b+c≤3，即三角形ABC周长的最大值为3．答案：39．【能力提升】10．解析：依题意可知1-cos Acos B-cos2=0，因为cos2===，所以1-cos Acos B-=0，整理得cos(A-B)=1，所以A=B，所以三角形为等腰三角形．故选B．11．解析：因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos ∠DAC=，cos C=，所以sin ∠DAC=，sin C=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin ∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos ，即2=4x2+2x2-2×2x×x×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos =2+1-2××(-)=5，即AC=．答案：。

2017_2018学年高考数学大题精做04解三角形的实际应用(含解析)文新人教A版

精做04 解三角形的实际应用1．如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？【答案】15海里.代入并计算得15=AD ，即此时轮船距港口A 还有15海里．2．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达B 处，测得C 的仰角为β.AE DCBαβθ（1）求BC 的长；（2）若24,45,75,30l αβθ====，求信号塔CD 的高度.【答案】（1）sin()sin()l --αθβα；（2）2483-.【名师点睛】解三角形应用题的一般步骤：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．（3）选择正弦定理或余弦定理求解．（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．3．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．【答案】（1）15米；（2）10米．答：CE 的长为10米．4．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .并测量得到数据：90ACD ∠=，60ADC ∠=，30ACB ∠=，105BCE ∠=，45,CEB ∠=DC =CE =2（百米）．（1）求CDE △的面积；（2）求A ，B 之间的距离．【答案】（1）2平方百米；（2）2532-百米.【解析】（1）连接DE ，在CDE △中，=3609030105=135DCE ∠---，则112sin 222222CDE S DC CE DCE =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△（平方百米）.则235221220-=-=AB （百米）.5．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，,,A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点,A B 两地相距100米，60BAC ∠=，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30.（1）求,A C 两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC （已知声音的传播速度为340米/秒）. 【答案】（1）420米；（2）1403米．【解析】（1）设BC x =，由条件可知23404017AC x x =+⨯=+，在△ABC 中，由余弦定理，可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯∠，即2221100(40)2100(40)2x x x =++-⨯⨯+⨯，解得380x =. 所以38040420AC =+=（米）. 故,A C 两地的距离为420米．（2）在ACH △中，420AC =米，30,903060HAC AHC ∠=︒∠=︒-︒=︒，由正弦定理，可得sin sin AC HC AHC HAC =∠∠，即420sin 60sin 30HC=︒︒，所以14202140332HC ⨯==（米），故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．6．海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处（假设游船匀速行驶）.（1）求该船行驶的速度（单位：米/分钟）；（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远. 【答案】（1）20米/分钟；（2）65米.故又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，此时游船距离海岛65米. 7．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313km OM =，且AOM ∠=β．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2=α，3cos 13=β，15km AO =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路AB 段的长．【答案】（1）62km ;（2）302km .【解析】（1）在AOM △中，15AO =，AOM β∠=且3cos 13=β，313OM = 由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠223(313)1523131513=+-⨯⨯⨯ 13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=62AM ∴=，即大学M 与站A 的距离AM 为62km ；（2）3cos 13=β，且β为锐角， 2sin 13∴=β，在AOM △中，由正弦定理得，sin sin AM OM MAO=∠β,即623132sin 13MAO =∠，2sin 2MAO ∴∠=， π4MAO ∴∠=，π4ABO ∴∠=-α， tan 2=α，2sin 5∴=α，1cos 5=α， π1sin sin()410ABO ∴∠=-=α，又πAOB ∠=-α，2sin sin(π)5AOB ∴∠=-=α，在AOB △中，15AO =，由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即1521510AB =， 302AB ∴=，即铁路AB 段的长为302km ．8．如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米;（2）50万元.（2）解法一：在（1）的条件下，750m,1500m AB AC ==．由2133AD AB AC =+得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =+⋅+224411750750150015009929⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000=. 所以500AD =，所以1000500500000⨯=元，即建水上通道AD 还需要50万元．解法二：在ABC △中，222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅22750150027501500cos120=+-⨯⨯7507= 在ABC △中，222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅2227507507150027507507+-⨯⨯27=所以()250,2503D . 所以()()22250025030AD =-+- 500=.所以1000500500000⨯=元，即建水上通道AD 还需要50万元．9．（2014·上海卷理）如图，某公司要在AB 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米.设点AB 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）.【答案】（1）28.28米；（2）26.93米．【解析】（1）∵2αβ≥，且022βαπ<≤<， tan tan 20αβ∴≥>，即24003516400CDCD CD ≥>-，10．（2013·江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）1 040 m ；（2）3537；（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）在ABC △中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45. 从而sin B =sin[π－(A ＋C )]=sin(A ＋C )=sin A cos C ＋cos A sin C =531246313513565⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin =1040(m)63sin 565AC AB C B =⨯=⨯．所以索道AB 的长为1 040 m.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内．。

山东省菏泽市2017-2018学年高中数学第一章解三角形第二章数列周测题新人教A版必修5

解三角形.数列一、选择题(本大题共10小题，共50分)1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．4．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣5．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+18．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．39．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B．C．4n﹣1 D．10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱二、填空题(本大题共4小题，共20分)11．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．12．已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n= ．13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c= ．14．2011年3月11日，日本9.0级地震造成福岛核电站发生核泄漏危机．如果核辐射使生物体内产生某种变异病毒细胞，若该细胞开始时有2个，记为a0=2，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，…，记n小时后细胞的个数为a n，则a n= （用n表示）．三、解答题(本大题共4题，共50分)15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．17．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．一．填空题：（每题5分，共50分）二、填空题：（每题5分，共20分）11 12、13、 14、三、解答题（12+12+13+13共50分）15、16、17、解三角形.数列答案一．选择题（共10小题）1．B ；2．A ；3．B ；4．C ；5．D ；6．C ；7．A ；8．C ；9．D ；10．B ；二．填空题（共4小题）11．2；12．6或7；13．4；14．2n +1；三．解答题（共4小题）15. 解：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II ）由已知，1sin C 2ab =．又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．，解得，或，当时，当时，a n =（2n+79），b n =9•；（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1，∴c n ==，∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．17.解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．。

解三角形题型培优(学生版)

5.解三角形1.解三角形6大常考题型【知识必备】1、正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A=bsin B=csin C=2Ra2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C变形(1)a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C；(2)sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B=b sin A，b sin C=c sin B，a sin C=c sin Acos A=b2+c2-a22bc；cos B=c2+a2-b22ac；cos C=a2+b2-c22ab2、三角形面积公式：S△ABC=12ah(h表示边a上的高)；S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；3、解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形a =b sin A b sin A <a <b a ≥关系式b a >b a ≤b解的个数一解两解一解一解无解4、实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．(4)坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，5、相关应用(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a :b :c =sin A :sin B :sin C②大边对大角大角对大边a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos i 为坡度)．坡度又称为坡比．Ba +b +c③合分比：sin A +sin B +sin Ca +b =sin A +sin B b +c =sin B +sin C a +c =sin A +sin C a =sin A b =sin B c =sin C=2R (2)△ABC 内角和定理：A +B +C =π①sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ⇔c =a cos B +b cos A 同理有：a =b cos C +c cos B ，b =c cos A +a cos C .②-cos C =cos (A +B )=cos A cos B -sin A sin B ；A +tan ③斜三角形中，-tan C =tan (A +B )=1Btan -tan ⋅A tan B⇔tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C④sin A +2B =cos C 2；cos A +2B=sin C 2⑤在ΔABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B =π3,A +C =2π3.Z 【题型精讲】题型一:【已知边角元素解三角形】必备技巧已知边角元素解三角形技巧正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．1.1(多选)(山东济南一模)在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C1.2(多选)(重庆市高三二模)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=60°，b=2，c=3+1，则下列说法正确的是A.C=75°或C=105°B.B=45°C.a=6D.该三角形的面积为3+1 21.3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin A=35,A=2B，角C为钝角，b=5.(1)求sin(A-B)的值；(2)求边c的长.Z【跟踪精练】1.3.1在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(a+b)2-c2=ab，则C=（）A.π6 B.π3或2π3 C.2π3 D.π6或5π61.3.2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=π3，a=23，b=22，则B=（）A.π4 B.π3 C.π4或3π4 D.π3或2π31.3.3△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（）A.5B.10C.52 D.102题型二:【已知边角关系解三角形】必备技巧已知边角关系解三角形正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．1.1在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知2cos C a cos B+b cos A=c．(1)若cos A=64，求sin2A+C的值；(2)若c=7，△ABC的面积为332，求边a，b的值．21a △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 1.2的面积为2-b 2sin C .(1)证明：sin A =2sin B ；(2)若a cos C =32b ，求cos A .Z 【跟踪精练】ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设(sin B -sin C )2=sin 2A 1.2.1-sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a +b =2c ，求sin C ．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，b tan A +b tan B 1.2.2=3ccos A．(1)求角B ；(2)D 是AC 边上的点，若CD =1，AD =BD =3，求sin A 的值．题型三:【判断三角形形状】必备技巧判断三角形形状的方法(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A +B +C =π这个结论．在△ABC 中，已知a 2+b 2-c 2=ab ，且2cos A sin B =sin C 1.1，则该三角形的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形在△ABC 中，已知(b +c -a )(b +c +a )=3bc ，且2cos B sin C =sin A ，则△ABC 1.2的形状为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形Z 【跟踪精练】对于△ABC ，有如下四个命题1.2.1:①若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形，②若sin B =cos A ，则△ABC 是直角三角形③若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形④若acos 2A =b cos 2B =cC cos 2，则△ABC 是等边三角形.其中正确的命题序号是1.2.2a在△ABC 中，已知a +b =tan Ab +tan B ，则△ABC 的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形题型四:【三角形解的个数问题】1.1已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A.a =3，b =4，A =π6 B.a =4，b =3，A =π3C.a =1，b =2，A =π4D.a =2，b =3，A =2π31.2△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A =30°，a =3，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（）A.3<b ≤6B.3<b <6C.b <6D.b ≤6Z 【跟踪精练】1.2.1在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A.b =10,A =45°,C =70°B.a =60,c =48,B =60°C.a =5,b =7,c =8D.a =14,b =16,A =45°1.2.2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，满足条件a =3，A =60°的三角形有两个，则b 的取值范围是（）A.2,3B.3,33C.3,23D.22,23题型五:【解三角形中的最值范围问题】方法技巧解三角形中最值范围问题基本处理方法1、用余弦定理结合基本不等式求解，2、要求的量转化为某角的三角函数，求函数的最值或值域。

2017-2018学年高考数学大题精做05 三角函数与其他知识的综合(含解析)文新人教A版

精做05 三角函数与其他知识的综合1．已知向量a =1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )=a ·b . （1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.（1）f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.（2）∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，得当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x =0时，f (x )取得最小值，为f (0)=12-. 因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.2（1）求()f x的单调递增区间；（2成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1（2）()14-，.∴()[]12f x ∈，，得()33m f x m -<<+，∴3132m m -<⎧⎨+>⎩，，∴14m -<<，即实数m 的取值范围是()14-，.3．在ABC △中，角A 的对边长等于2，向量2=(2,2cos 1)2B C +-m ，=(sin ,1)2A-n . （1）求⋅m n 取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求ABC △的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）由题意得2=2sin (2cos 1)2sin cos()222A B C A B C +⋅--=-+m n . 因为A B C ++=π，所以B C A +=π-，于是2213=2sin cos 2sin 2sin 12(sin )222222A A A A A ⋅+=-++=--+m n . 因为(0,)22A π∈，所以当且仅当1sin 22A =，即3A π=时，⋅m n 取得最大值32.故⋅m n 取得最大值时的角3A π=.4．在中，角的对边分别为，且cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列．（1）求角的大小；（2）若，，求+AB AC 的值．【答案】（1）π3；（2）.【解析】（1）由cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列，可得cos cos 2cos b C c B a A +=，故sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，所以()sin 2sin cos B C A A +=，又A B C ++=π，所以()sin sin B C A +=，所以()222222++2||2cos AB AC AB ACAB AC AB AC AB AC AB AC A ==++⋅=++⋅()22230c b bc b c bc =++=+-=，故+30AB AC =．【名师点睛】利用正、余弦定理解三角形问题，注意使用“边转角、角转变”，注意减元，求角时注意角的范围.利用余弦定理时注意到22,,b c bc b c ++三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意.5．已知函数()21cos cos (0)2f x x x x =-+>ωωωω，与图象的对称轴3x π=相邻的的零点为12x π=. （1）讨论函数在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；（2）设ABC △的内角，，的对应边分别为，，，且，，若向量()1,sin A =m 与向量()2,sin B =n 共线，求，的值.【答案】（1）在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.（2），.【解析】（1）()1cos 21222x f x x +=-+ωω12cos 22x x =-ωω sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ω.由与()f x 图象的对称轴π3x =相邻的零点为π12x =，得12ππππ423124ω⋅=-=，所以，即()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.所以当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.（2）()sin 2106f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πC <<，所以112666C πππ-<-<，从而262C ππ-=，解得3C π=.因为向量()1,sin A =m 与向量()2,sin B =n 共线，所以sin 2sin B A =，由正弦定理得，2b a =， ① 由余弦定理得，2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ② 由①②解得1,2a b ==.6．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点(),a b 在直线()s i n s i n s i n s i n x A B y B c C -+=上. （1）求角C 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形且满足，求实数m 的最小值.【答案】（1（2）实数m 的最小值为2.（2当且仅当a b =即ABC △为正三角形时，实数m 的最小值为2. 7．已知向量()3sin ,cos αα=a ，()2sin ,5sin 4cos ααα=-b ，3π 2π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，α，且⊥a b ．（1）求tan α的值；（2）求cos 23απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）43-；（2）.【解析】（1）∵⊥a b ， ∴0⋅=a b ．（2）∵3π 2π2⎛⎫∈⎪⎝⎭，α， ∴3ππ24∈（，）α．由4tan 3=-α，求得1tan 22=-α，或tan 22=α（舍去）．∴sincos 22==αα，则cos 23απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 2323-=αα12=．8．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，对一切实数x 恒成立. （1）求cos C 的取值范围；（2）当C 取最大值，且ABC △的周长为9时，求ABC △面积的最大值，并指出面积取最大值时ABC △的形状.【答案】（1（2，ABC △为等边三角形. 【解析】（1）当c o s 0C =时，sin 1C =，对一切实数x 不恒成立，当cos 0C ≠时，应有2cos 04sin 6cos 0C C C >⎧⎨=-≤⎩∆， ∴2cos 02cos 3cos 20C C C >⎧⎨+-≥⎩，解得或cos 2C ≤-(舍去)， ∵0πC <<，即cos C 的取值范围是9．已知函数()()sin (0,0,0f x A x b A ωϕωϕ=++>><<π,)b 为常数的一段图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()f x 在y 轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{}n a ，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项1a ，试求数列的前n 项和n S ．【答案】（1（2）21964n n ⋅π+. 【解析】（1）由图可知()51523,22A b +-=-===，所以2ω=，所以函数()f x 的解析式为113n ++--10．（2017·江苏卷）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又，所以5π6x =．11．（2015·广东卷理）在平面直角坐标系xOy 中,已知向量()π,sin ,cos ,0,2()x x x ==∈m n . （1）若⊥m n ,求tan x 的值;（2）若m 与n 的夹角为π3,求x 的值. 【答案】（1）1；（2）5π12. 【解析】（1）∵⊥m n ,∴0⋅=m n .0x x =, ∴tan 1x =.（2）∵m 与n 的夹角为π3,∴sin 122cos ,112x x -⋅<>===⋅⨯m n m n m n , 故π1sin 42()x -=. 又2()π0,x ∈, ∴πππ,4()44x -∈-,ππ46x -=,即5π12x =, 故x 的值为5π12. 12．（2014·山东卷理）已知向量(,cos 2)m x =a ，(sin 2,)x n =b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）1m n ==；（2）[,],2k k k ππ-π∈Z .由题意知()()2sin(22)6g x f x x ϕϕπ=+=++，设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知2011x +=，所以00x =，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）. 将其代入()y g x =得sin(2)16ϕπ+=，因为0ϕ<<π，所以6ϕπ=，因此()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=，由222,k x k k π-π≤≤π∈Z ，得,2k x k k ππ-≤≤π∈Z ，所以，函数()y g x =的单调递增区间为[,],2k k k ππ-π∈Z .。

标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5：阶段质量检测(一) 解三角形

阶段质量检测（一）解三角形(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形． 2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.7．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63D.66解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22AB ·AD＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C. ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则这个三角形的形状是________．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，三角形ABC 为等边三角形．答案：等边三角形10．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则A ＝________，a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3.答案：30° 1∶1∶ 311．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则B ＝________，△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：π3 3412．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________，三角形的形状为________．解析：∵b ＝2a ，由正弦定理，得sin B ＝2sin A ，又B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即12sin A ＋32cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝33.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°，B ＝90°.答案：30° 直角三角形13．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC 的最大值是________．解析：由题意得， 12bc sin A ＝12a 2⇒bc sin A ＝a 2，因此AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝b c ＋c b ＋a 2bc ＝b 2＋c 2＋a 2bc ＝a 2＋2bc cos A ＋a 2bc ＝2cos A ＋2sin A ＝22sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤22，从而所求最大值是2 2.答案：2 214．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则sin C ＝________，c ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：5665 14515．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)．答案：36三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A＝5. 17.(15分)如图，观测站C 在目标A 的南偏西20°方向，经过A 处有一条南偏东40°走向的公路，在C 处观测到与C 相距31 km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20 km 到达D 处，此时测得C ，D 相距21 km ，求D ，A 之间的距离．解：由已知，得CD ＝21 km ，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝－17. 设∠ADC ＝α，则cos α＝17，sin α＝437，在△ACD 中，由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CD sin ∠CAD，得AD sin (60°＋α)＝21sin 60°，所以AD ＝423sin(60°＋α)＝423⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝15(km)，即所求D ，A 之间的距离为15 km.18.(15分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：由题意知AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40，所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120° ＝402＋402－2×40×40×⎝⎛⎭⎫－12＝402×3，所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝60×43＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200，所以PC ＝407海里．19．(15分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2A ＋B )＝2sin A ＋2cos(A ＋B )sin A .(1)求ab 的值； (2)若△ABC 的面积为32，且a ＝1，求c 的值．解：(1)∵sin(2A ＋B )＝2sin A ＋2cos(A ＋B )sin A ， ∴sin [A ＋(A ＋B )]＝2sin A ＋2cos(A ＋B )sin A ， ∴sin(A ＋B )cos A －cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，∴a b ＝12.(2)∵a ＝1，∴b ＝2，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2×sin C ＝32，所以sin C ＝32，cos C ＝±12，当cos C ＝12时，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝12，∴c ＝ 3.当cos C ＝－12时，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝－12，∴c ＝7.故c ＝3或c ＝7.20．(15分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)解：(1)依题意得2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝1， ∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2 2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝2＋6 4，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第1章解三角形 1-1 第2课时含答案精品

第一章 1.1 第2课时A 级基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝导学号 68370053( C )A ．1010B ．105C ．3 1010D ．55[解析] 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5．∴AC ＝5．由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，∴sin A ＝BC sin BAC ＝3×225＝3 1010．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝－ac ，则角B 的值为导学号 68370054( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] ∵a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，又∵a 2＋c 2－b 2＝－ac ， ∴2ac cos B ＝－ac ，∴cos B ＝－12，∵0°<B <180°，∴B ＝120°．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为导学号 68370055( D )A ．518B ．34C ．32D ．78[解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D ．4．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为导学号 68370056( B ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不存在[解析] ∵c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．∵a <b <c ，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形．5．(2016·山东文，8)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝导学号 68370057( C )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4．6．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 的度数为导学号 68370058( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[解析] ∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝(3－1)2＋(3＋1)2－(6)22(3－1)(3＋1)＝12，又∵0°<B <180°，∴B ＝60°．二、填空题7．(2015·天津理，13)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知△ABC 的面积为315 ，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为__8__．导学号 68370059[解析] 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝2bc ＝24，得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8． 8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__120°__．导学号 68370060[解析] ∵3sin A ＝5sin B ， ∴3a ＝5b ，∴b ＝35a ．又∵b ＋c ＝2a ，∴c ＝2a －b ＝75a ．由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋925a 2－4925a 265a 2＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°．三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．导学号 68370061[解析] 由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， ∴16＝36－2bc ×54，∴bc ＝8．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6bc ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2． ∵b <c ，∴b ＝2，c ＝4．10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c ．导学号 68370062[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C ＝π6或5π6．当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2．当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27．B 级素养提升一、选择题1．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于导学号 68370063( D ) A ．－32B ．－23C ．23D ．32[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos<AB →，AC →>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos<AB →，AC →>＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14．故AB →·AC →＝3×2×14＝32．2．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为导学号 68370064( B )A ．322B ．332C ．32D ．3 3[解析] 如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4． ∵cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝32．故BD ＝AB ·sin A ＝3×32＝332． 3．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为导学号 68370065( B )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3．4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝导学号 68370066( A )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ．二、填空题5．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝__12∶9∶2__．导学号 68370067[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k (k >0)，由余弦定理，得cos A ＝25k 2＋36k 2－16k 22×5k ×6k ＝34，同理可得cos B ＝916，cos C ＝18，故cos A ∶cos B ∶cos C ＝34∶916∶18＝12∶9∶2．6．(2017·浙江卷，14)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2．点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是2__，cos ∠BDC ＝4__．导学号 68370068[解析] 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC ．由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14，所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC＝12×2×2×154＝152．因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10．由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104．三、解答题7．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79．导学号 68370069 (1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9．由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3． (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429．由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，3∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227．C 级能力拔高1．(2017·全国卷Ⅰ理，17)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知△ABC 的面积为a 23sin A．导学号 68370070(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解析] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A ．由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A3sin A ．故sin B sin C ＝23．(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12．所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3．由题意得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8．由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9．由bc ＝8，得b ＋c ＝33．故△ABC 的周长为3＋33．2．(2017·全国卷Ⅱ理，17)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2．导学号 68370071(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ． [解析] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517．故cos B ＝1517．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，217又S △ABC ＝2，则ac ＝172．由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c 2)－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×(1＋1517)＝4．所以b ＝2．。

高考数学第05周解三角形周末培优试题文新人教A版

第05周解三角形（测试时间：60分钟，总分：90分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1,30a b A ===，则B =A ．60或120B ．60C ．120D ．30或150【答案】Ab a >，∴60B =︒或120，故本题选A.2．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2c =，221a b =+，则cos a B =A ．58 B ．54C ．52D ．5【答案】B【解析】由余弦定理得，2222212cos 154cos a b a c ac B a a B=+=+-+=+-554cos 0cos 4a B a B ⇒-=⇒=,故选B. 3．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于A ．32 BC ．43D 【答案】B【解析】2sin 23sin b A a B =4sin cos 3sin 4sin sin cos 3sin sin b A A a B B A A A B ⇒=⇒=2224cos 343,2b c a A bc+-⇒=⇒⋅=2c b =∴， B.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 4．在中，，，分别为角，，的对边，若2a b +=，，则角的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得，又()2221211cos 12222a b ab c ab C ab ab ab +---===-≥-,时等号成立.所以120C =︒时为最大值.选C ．5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()sin sin 2sin2C B A A +-=，且2c =则ABC △的面积为A ．3BC D 【答案】A6．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，60,1A b ==，，则ABC △外接圆的直径是AB ．3C D 【答案】D【名师点睛】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基础题；由已知利用三角形面积公式可解得c ，由余弦定理即可求得a 的值，利用正弦定理即可得ABC △外接圆的直径2R .7．在中，若，,则一定是A ．钝角三角形B ．正三角形C ．等腰直角三角形D ．非等腰直角三角形【答案】B【解析】在ABC △中,∵22,sin sin sin a b c A B C =+=,∴由正弦定理可得2a =b +c ,且a 2=bc .再由余弦定理可得：()2222222222421cos 2222b c bc a b c a a a a A bc bc a +--+---====,3A π∴=. 再根据()()22224440b c b c bc a a -=+-=-=，可得b =c ，故ABC △一定是等边三角形，故本题选择B 选项.【名师点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．8．在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若s i n，a c +的取值范围是A ．⎝B ．32⎛⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】A 【解析】cos cos B b +πcos 2,,21,3sin b B B B R B+=∴=∴==π02A <<故选A.【名师点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若::7:8:13a b c =，则C =__________. 【答案】120【解析】设7,8,13a k b k c k ===120.10．已知ABC △的内角所对的边分别为，若3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则=____________. 【答案】34π11．如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】由正弦定理有：10sin sin 45k A =，则，，结合图象可得，当时满足题意，此时.12．ABC △的三个内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，R 是ABC △的外接圆半径，则下列四个条件：（1）()()3a b c a b c ab +++-=；（2）sin 2cos sin A B C =；（3）cos ,cos b a C c a B ==；（4有两个结论：甲：ABC △是等边三角形；乙：ABC △是等腰直角三角形. 请你选出给定的四个条件中的两个作为条件，两个结论中的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题是__________．【答案】（1）（2）⇒甲或（2）（4）⇒乙或（3）（4）⇒乙【解析】以（1）（2）作为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：由()()3a b c a b c ab +++-=，变形得：22223a b ab c ab ++-=,即222a b c ab +-=，C 为三角形的内角，∴C =60°，又()sin sin sin cos cos sin 2cos sin A B C B C B C B C =+=+=，∴()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=，∵B C -π<-<π，∴B −C =0，即B =C ，则A =B =C =60°，∴ABC △是等边三角形；以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由如下：化简得：()sin sin sin cos cos sin 2cos sin A B C B C B C B C =+=+=，即()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=， ∵B C -π<-<π，∴B −C =0，即B =C ，∴b =c ，)22222442a c b R b R R R⎛⎫⋅-=-⋅⎪⎝⎭，又b =c ，∴222a b b -=-，即2a =，∴a =，∴a 2=2b 2,又2222b c b +=，∴a 2=b 2+c 2，∴90A ∠=︒，则三角形为等腰直角三角形；以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由如下：)22222442a c b R b R R R⎛⎫⋅-=-⋅⎪⎝⎭，，又2222cos b c a ab C =+-，由cos cos b a C c a B ==，，根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos B A C C A B ==：，，sin cos sin cos B B C C =，∴sin 2sin 21B C ==，∴45B =︒，则三角形为等腰直角三角形.故正确的命题是：（1）（2）⇒甲或（2）（4）⇒乙或（3）（4）⇒乙.三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos πb A c a B =+-.（1）求角B 的大小；（2）若4b =，ABC △的面积为，求ABC △的周长.【答案】（1（2）4+ 【解析】（1）∵()()cos 2cos πb A c a B =+-， ∴()()cos 2cos b A c a B =+-，由正弦定理可得：()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--， ∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=. 又角C 为ABC △内角， ∴sin 0C >，又()0,πB ∈， ∴2πB =．（24ac =，又()222216b a c ac a c ac =++=+-=，∴a c +=所以ABC △的周长为4+14．已知锐角ABC △中内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，满足226cos a b ab C +=，且.（1）求角C 的值；（2()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围.【答案】（1（2【解析】（1）因为226cos a b ab C +=，由余弦定理知2222cos a b c ab C +=+，所以2cos 4c C ab=，则由正弦定理得：2c =，（2π3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω，所以()0.2f A -<<即()f A 15．如图所示，MCN 是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为ABC ，并在区域CDE 建立水上餐厅.已知120ACB ∠=，30DCE ∠=.（1）设AC x =，AB y =，用x 表示y ，并求y 的最小值；（2）设ACD θ∠=（θ为锐角），当AB 最小时，用θ表示区域CDE 的面积S ，并求S 的最小值.【答案】（1）y =y 的最小值为（2）S =S 的最小值为8-（2）由（1）可知，4AB AC BC ===，所以30BAC ∠=︒，在ACD △中，由正弦定理，sin 4sin 302sin sin(150)sin(150)AC DAC CD ADC ⋅∠︒===∠︒-︒-θθ，在ACE △中，由正弦定理，sin 4sin 302sin sin(120)sin(120)AC EAC CE AEC ⋅∠︒===∠︒-︒-θθ，所以，11sin2sin(150)sin(120)S CD CE DCE =⋅⋅∠==︒-⋅︒-θθ．因为θ为锐角，所以当π4=θ时，S 有最小值8-。

2017_2018学年高中数学周测试题3新人教A版

周测试题3高考频度：★★★★★难易程度：★★★☆☆典例在线1．、是两条异面直线，是不在，上的点，则下列结论成立的是A ．过且平行于和的平面可能不存在B ．过有且只有一个平面平行于和C ．过至少有一个平面平行于和D．过有无数个平面平行于和2．直线平面，内有条直线交于一点，则这条直线中与直线平行的直线A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有3．如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若△△A B CABCSS'''=,则PA'∶AA'=A．43B．349C．78D．344．下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．如图1所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿AE ,AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,如图2所示,那么,在四面体AEFH 中必有A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面6．在四棱锥中,底面是正方形,底面分别是棱的中点,过的平面分别交直线于两点,则A ．6B ．4C ．3D ．27．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面1ABC ，则线段EF 的长度等于_______.8．如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上的一点,E ,F 分别是点A 在PB ,PC 上的射影,给出下列结论:①AF ⊥PB ;②EF ⊥PB ;③AF ⊥BC ;④AE ⊥平面PBC .其中正确命题的序号为_______.(填所有正确命题的序号)9．如图，在四棱锥–P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =∠PAB =90°，BC =CD =12AD .E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°. 在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由.10．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD平面PBC l =.∥；（1）求证：BC l（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.11．如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点.求证:（1）GE∥平面BB1D1D1;（2）平面BDF∥平面B1D1H.12．如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.13．如图，一个侧棱长为l 的直三棱柱111C B A ABC 容器中盛有液体（不计容器厚度）.若液面恰好分别过棱1111,,,C A C B BC AC 的中点G F E D ,,,.（1）求证：平面//DEFG 平面11A ABB ；（2）当底面ABC 水平放置时，求液面的高.14．如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =CB =1,BA =2,AB ∥DC ,∠BCD =90°,点E ,F ,G分别是线段AB ,PC ,DE 的中点.（1）求证:FG ∥平面PAB ; （2）求证:DF ⊥平面PB15．如图，斜三棱柱111ABC A B C 中，点1,D D 分别为11,AC AC 上的点.（1）当1111A D D C 为何值时，1BC ∥平面11AB D ？（2）若平面1BCD ∥平面11AB D ，求ADDC的值.16．如图,在三棱柱中,各个侧面均是边长为2的正方形,D 为线段AC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面；（2）求证：直线A∥平面；（3）设M 为线段上任意一点,在1△BC D 内的平面区域(包括边界)是否存在点E ,使,并说明理由.1．【答案】A【解析】过点作、的平行线、,则直线，确定唯一的平面，又，，当，时，，都平行于平面;当或时，过点且平行于和的平面不存在，故选A ．3．【答案】D【解析】由平面α∥平面ABC ,得AB ∥A 'B ',BC ∥B 'C ',AC ∥A 'C '，由等角定理得∠ABC =∠A 'B 'C '，∠BCA =∠B 'C 'A ',∠CAB =∠C'A 'B ',从而'''△∽△ABC A B C,''△∽△PAB PA B,△△A B CABCSS'''=()2=()2=,所以PA'∶AA'=3∶4,故选D.4．【答案】B【解析】①中，如下图（1），连接AC，易证明平面ABC平面MNP，故有AB∥平面MNP；④中，如下图（2），取AC、BC的中点分别为D、E，连接DE、DN、EP，易证明四边形DEPN为平行四边形，故DE∥平面MNP，又AB DE∥，故有AB∥平面MNP．（1）（2）5．【答案】A【解析】由题意可知，AH⊥EH，AH⊥FH，由直线与平面垂直的判定定理可知AH⊥平面EFH，则A正确.6．【答案】C【解析】如图所示，连接BD，易知BD、FN互相平行， BD与平面EFNH平行，可得N是CD 的中点，CN=2；连接AC交FN于点R，在平面PAC中，过R作直线与PC平行，交PA于一点即为M，由题意易得PM=1，则.8．【答案】①②③【解析】因为PA 垂直于圆O 所在的平面,所以PA ⊥平面ABC ,即PA ⊥BC ,又因为AB 是圆O 的直径,所以BC ⊥AC ,所以BC ⊥平面PAC ,又AF ⊂平面PAC ,所以AF ⊥BC ,又AF ⊥PC ,所以AF ⊥平面PBC ,所以AF ⊥PB .又因为AE ⊥PB ,所以PB ⊥平面AEF ,即PB ⊥EF .故填①②③. 9．【解析】在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M （M ∈平面PAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC =ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ，所以CM ∥平面PBE .（说明：延长AP 至点N ，使得AP =PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点） 10．【解析】（1）因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .又平面PAD平面PBC l =，BC ⊂平面PBC ，所以BC l ∥.（2）MN ∥平面PAD .证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接AE ，EN .∵,E N 分别为,PD PC ，∴AM EN =∥，即四边形AMNE 为平行四边形，∴AE ∥MN ，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，.∴MN∥平面PAD.11．【解析】（1）如图.过G作GM∥B1C1交B1D1于M,连接BM.由于G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,且GM∥B1C1,所以M为B1D1的中点,GM=12B1C1.又E为BC的中点,BE∥B1C1,BE=12B1C1,所以GM∥BE,GM=BE,故四边形BEGM是平行四边形,即GE∥BM.又BM⊂平面BB1D1D,GE⊄平面BB1D1D,∴GE∥平面BB1D1D.（2）∵BB1∥DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,∴BD∥B1D1.又BD⊄平面B1D1H,B1D1⊂平面B1D1H,∴BD∥平面B1D1H.如图,取DD1的中点N,连接AN,则易得D1H∥AN,BF∥AN,∴D1H∥BF.又BF⊄平面B1D1H,D1H⊂平面B1D1H,∴BF∥平面B1D1H.∵BD∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.12．【解析】（1）取的中点，的中点，连接，如图.∵分别是和的中点，∴，且，，且.又∵为正方形，∴，.∴且，∴为平行四边形，∴，又平面，∴平面.13．【解析】（1）∵E D ,分别为BC AC ,的中点，∴DE 是ABC △的中位线，∴AB DE //.又⊄DE 平面11A ABB ，⊂AB 平面11A ABB ，∴//DE 平面11A ABB .∵,D G 分别为11,AC AC 的中点，又11AACC ∥，∴1DG AA ∥，又/DG ⊂平面11A ABB ，1AA ⊂平面11A ABB ，∴//DG 平面11A ABB ，又D DG DE = ，∴平面//DEFG 平面11A ABB .14．【解析】（1）如图,连接CE ,因为DC =1,BA =2,AB ∥DC , E 是线段AB 的中点，所以AE ∥DC ,且AE =DC ,所以四边形AECD 为平行四边形.连接AC ,则点G 为AC 的中点.在△PAC 中,点F ,G 分别是线段PC ,AC 的中点,所以FG ∥PA . 又FG ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB , 所以FG ∥平面PAB .（2）因为PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,所以BC ⊥平面PCD . 因为DF ⊂平面PCD ,故BC ⊥DF .因为PD =DC ,F 是线段PC 的中点,所以DF ⊥PC . 又PC ∩BC =C ,所以DF ⊥平面PBC .15．【解析】（1）如图，取1D 为线段11AC 的中点，此时11111A D =D C ，连接1A B ，交1AB 于点O ，连接1OD ，由三棱柱的性质，知四边形11A ABB 为平行四边形，所以，点O 为1A B 的中点. 在11A BC △中，点1O D ，分别为111A B AC ，的中点，所以11OD BC ∥. 又1OD ⊂平面11AB D ，1/BC ⊂平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D . 故11111A D =D C 时，1BC ∥平面11AB D .16．【解析】（1）因为三棱柱的侧面是正方形,所以,又，所以.因为底面ABC,所以由已知可得,底面ABC为正三角形.因为D是AC中点,所以因为,所以BD⊥平面.（2）如图,连接交于点O,连接OD.显然点O为的中点.因为D是AC中点,所以A∥OD.又因为平面,A平面,所以直线A∥平面.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修5 阶段质量检测一

阶段质量检测（一）解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A.π4或3π4 B.3π4 C.π4D.π6解析：选C 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选B ∵sin A ＝sin C 且A ，C 是三角形内角， ∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．3．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78 C ．－87D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78. 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋22D ．2 3解析：选B ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选 D 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋mk ，3mk >m k ＋，∴k >12.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c，即cos A ＝b c，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形． 9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534 C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534. 11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时解析：选B 在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时． 12.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36 C.63D.66解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22AB ·AD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a22×32a ·32a＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C .∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 314．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的值为________．解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab＝13，所以cos C ＝13.答案：1315．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：14516．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°， ∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)．答案：36三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A＝5. 18.(12分)如图，观测站C 在目标A 的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C 处观测到与C 相距31 km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20 km 到达D 处，此时测得C ，D相距21 km ，求D ，A 之间的距离．解：由已知，得CD ＝21 km ，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝－17.设∠ADC ＝α，则cos α＝17，sin α＝437，在△ACD 中，由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CDsin ∠CAD ，得AD＋α＝21sin 60°，所以AD ＝423sin(60°＋α)＝423⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝15(km)，即所求D ，A 之间的距离为15 km.19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2π3，sin A ＝45，b ＝2 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝2π3，sin A ＝45，∴C ＝π3－A ，cos A ＝35， ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝32cos A －12sin A ＝33－410.(2)由(1)知sin C ＝33－410，又∵B ＝2π3，b ＝23， ∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝165， ∴S ＝12ab sin C ＝12×165×23×33－410＝72－32325.20．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．解：(1)∵cos A ＝2cos 2A2－1，∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12，∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．21.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P ，C 间的距离．解：由题意知AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40，所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120°＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝402×3，所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝60×43＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200，所以PC ＝407海里．22．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cosA ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)解：(1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A＝2 2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。

2017-2018学年高中数学(人教B版)5阶段质量检测(一)解三角形含答案

阶段质量检测（一）解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，A＝错误!，BC＝3，AB＝错误!，则C＝( ）A。

错误!或错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：选C 由BCsin A＝错误!，得sinC＝错误!。

∵BC＝3，AB＝错误!，∴A〉C，则C为锐角，故C＝错误!.2．在△ABC中，sin A＝sin C,则△ABC是( ）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：选B ∵sin A＝sin C且A，C是三角形内角，∴A＝C或A＋C＝π(舍去）．∴△ABC是等腰三角形．3．在△ABC中,a＝k，b＝3k(k＞0），A＝45°，则满足条件的三角形有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选A 由正弦定理得错误!＝错误!,∴sin B＝b sin Aa＝错误!＞1，即sin B＞1,这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝（）A．±错误!B。

错误!C．－错误! D.错误!解析:选A 因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，解得sin B＝错误!.因为b>a，所以B〉A，故B有两解，所以cos B＝±错误!。

5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为( )A．－错误!B。

错误!C．－错误! D.错误!解析：选B 设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ,则腰长为2a,由余弦定理得，cos θ＝错误!＝错误!.6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a ＋c，B＝30°，△ABC的面积为错误!，那么b等于（）A。

错误!B．1＋错误!C.错误!D．2错误!解析：选B ∵S△ABC＝错误!ac sin B，∴ac＝6。

又∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c）2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6错误!，∴b2＝4＋2错误!,∴b＝1＋错误!。

2017-2018学年高考数学 第05周 解三角形周末培优试题 文 新人教A版

2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版必修5

人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》综合检测题

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