三角函数的值域与最值

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三角函数的定义域、值域

23
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4；当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本，后面的老师还会讲到
课堂小结

三角函数定义域和值域

三角函数定义域和值域sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕；tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R；cotx的定义域为x不等于kπ,值域为R；y=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]。

三角函数（也叫做“圆函数”）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。

三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。

更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为Rcotx的定义域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图像单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字一，连结顶点三角形。

向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。

三角函数的最值-高中数学知识点讲解

三角函数的最值1．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】3例 1：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x＝2+2cos（2x +2휋4）．解：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x =1―푐표푠2푥2―푠푖푛2푥1+푐표푠2푥2+ 2•2=32+12（cos2x﹣sin2x）=32+2cos（2x +2휋4）．3故答案为：2+2cos（2x +2휋4）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例 2：函数y＝sin2x﹣sin x+3 的最大值是．解：令 sin x＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是t =1 2∴当t =12时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1 时或t＝1 时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1 时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1 时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1 时y 的值即 sin x＝﹣1 时，函数的最大值为 5．这个题就是典型的换元，把 sin x 看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．1/ 2【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．2/ 2。

三角函数最大值最小值

三角函数最大值最小值引言三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

其中一个重要的问题就是如何确定三角函数的最大值和最小值。

本文将详细介绍三角函数的最大最小值及其求解方法。

正弦函数(sin)的最大最小值正弦函数是一个周期函数，它表达了一个圆的边缘点在坐标系中的y坐标值。

正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

可以通过以下推导来证明：首先，正弦函数在任意时刻的值都在-1和1之间，即 -1 ≤ sin(x) ≤ 1。

这是因为正弦函数是周期为2π的函数，而在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。

其次，为了找到正弦函数的最大值和最小值，我们需要找到函数在一个周期内的关键点。

正弦函数的关键点就是最大值和最小值所对应的点。

在一个周期内，正弦函数的最大值出现在x = π/2 + 2πn 的点，最小值出现在x = -π/2 + 2πn 的点，其中n为整数。

综上所述，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

余弦函数(cos)的最大最小值余弦函数是正弦函数的补函数，它也是一个周期函数，定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。

余弦函数的最大值和最小值与正弦函数相同。

可以通过以下推导来证明：余弦函数在任意时刻的值也都在-1和1之间，即 -1 ≤ cos(x) ≤ 1。

这是因为余弦函数也是一个周期为2π的函数，在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。

与正弦函数类似，余弦函数的最大值出现在x = 2πn 的点，最小值出现在x = π + 2πn 的点，其中n为整数。

综上所述，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。

正切函数(tan)的最大最小值正切函数是一个非周期函数，定义域不包括π/2 + kπ (其中k为整数)，值域是全体实数。

正切函数并没有最大值和最小值。

可以通过以下推导来证明：首先，正切函数的定义域是除去一些特殊点的全体实数。

三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型（1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型，可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法题型一借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-，故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+，由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________．【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ，所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++，因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+，所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-，当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

第四章专题研究三角函数的值域与最值

2＝1
授人以渔
1＋k 4± 7 解之得 k＝ 3
课时作业
4－ 7 4＋ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ ， ] 3 3
高考调研· 新课标高考总复习
高三数学（理）
第四章
专题研究
课前自助餐
sinx (2)f(x)＝ cosx
sinx≤cosx sinx>cosx
作出图象 2 由图象知，－1≤y≤ 2
授人以渔
探究3 借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．
课时作业
高考调研· 新课标高考总复习
高三数学（理）
第四章
专题研究
课前自助餐
专题训练
授人以渔课时作业
高考调研· 新课标高考总复习
课时作业
高考调研· 新课标高考总复习
高三数学（理）
第四章
专题研究
题型三数形结合求三角函数的值域
课前自助餐
授人以渔
2－sinx 例 3 (1)求函数 f(x)＝的值域． 2＋cosx 1 1 (2) 已知 f(x) ＝ (sinx ＋ cosx) － |sinx － 2 2 cosx|，求 f(x)的值域． 2－sinx 【解析】 (1)函数 f(x)＝，可看作 2＋cosx 点(2,2)(－cosx，sinx)两点连线的斜率．点(－cosx，sinx)的轨迹为 x2＋y2＝1.
高三数学（理）
第四章
专题研究
专题研究
课前自助餐
三角函数的值域与最值
专题要点
1.
函数定义域值域 y＝sinx R [－1,1] cosx R [－1,1] tanx π {x|x≠kπ＋，k∈Z} 2 R

求三角函数的值域(最值)题型例析

3c
2
2
1
3
3
s
i
n2
x c
o
s2
x +
=
3 =
2
2
2
s
i
n2
x-
(
3
7π
π
。由 0≤x ≤
,可得
+
2
1
2
3
)
π
π
5π
3
,所以 - ≤ 2
x ≤
≤
3
3
6
2
s
i
n2
x-
(
π
π
≤1,所以 0 ≤ s
i
n2
+
x3
3
)
(
)
[
;
当定义域为某个给定
-|A|+k,
|A|+k]
函数的单调性求值域。
题型 2:
(
或 y=Ac
Aω≠0)
o
s(
ωx+φ)
+k(
Aω≠0)
例1
(32π-x) - 3 cosx + 3。当 x ∈
[0,712π] 时,函数 f(x)的最小值和最大值分
s
i
n
2
。
别为
解:
函数 f(
x)= (-s
i
nx)(-c
o
sx)-
1
3
(
o
s2x+ 3= s
i
n2
xc
o
s2
x+1)+
i
n(
ωx+φ)
+k 或y=Ac

三角函数的定义域、值域和最值讲解

三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。

通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。

sinx换为cosx也可以。

③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。

⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。

三角函数的定义域值域与单调性

三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。

本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。

1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。

正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。

2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。

与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。

3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。

正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。

总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。

余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。

其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。

正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。

值域是全体实数。

正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。

通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。

三角函数的值域和最值

y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1
3.正切函数
y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最
值.
4. asinx+bcosx型函数
asin x bcosx a2 b2 sinx (其中φ由 tan b
6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、
d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)
+B的式子，
，
求最值时不能忽视对定义域的思考
2. 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值 . 又若x∈[0，π/2]呢?
第5课时三角函数的值域和最值
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析
要点·疑点·考点
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1.正弦函数
y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1 .
2.余弦函数
【解题回顾】上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数. 此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间 [-1，1]上的最值问题解决.
延伸·拓展
返回
5.在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC
上．
(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q

第五章三角函数+章末总结课件-2025届高三数学一轮复习

此时，只需满足
x轴 =
π
+k4 π−φ
2
ω
π
4
− x轴 ≥
x轴 ≥
π
,
6
π
x轴 − ,
9
π π
即可使得( ， )是f
9 6
x 的一个单调区间，将
=
π
2
（【抓关键】由ωx轴 + φ = + k 4 π ，k 4 ∈ 可得）
π
π k3 π
+k
π−
+ 2
4
2
4
ω
,k 3 ,k 4 ∈
18+36k
代入上述不等式组，解得
≤ ωπ − <
7π
,解得2
3
8
3
8
3
≤ ω < ，故ω ∈ [2, ).
kπ
2
> 0，
π
3
例14 (2024·安徽省六校教育研究会测试)已知函数f x = cos(ωx − ) −
区间[0, π]上恰有三个零点，则ω

[, )
的取值范围是______.

π
3
π
3
1
2
ω>0 在
π
3
【解析】令t = ωx − ,因为x ∈ [0, π],所以t ∈ [− , ωπ − ]，于是
T，n
4
2n−1 2π
⋅ ，n
4
ω
π π
又( ， )是f
9 6
x
= k1 + k 2 ),k 3 ∈ ，
∈ + ,
∈ + ,化简得ω = 2n − 1，n ∈ + .

三角函数值域

三角函数值域
三角函数是数学中重要的一部分，它与角度有关，可以计算出角度对应的正弦、余弦和正切值。

三角函数的定义域是角度的值域，即角度的取值范围。

首先，三角函数的定义域是以角度的取值范围来表示的，可以分为极角和三角角。

极角的取值范围是从零度到360度，而三角角的取值范围是从-90度到90度。

因此，三角函数的值域也就是以上两种角度的取值范围。

其次，在三角函数的值域中，正弦函数、余弦函数和正切函数的取值范围是不同的。

正弦函数的取值范围是-1到1之间，余弦函数的取值范围是-1到1之间，而正切函数的取值范围是无穷大到无穷小之间。

最后，三角函数的值域也可以以弧度来表示，弧度是一种度量单位，其取值范围从零弧度到2π弧度，而正弦函数、余
弦函数和正切函数的取值范围则是-1到1之间。

总之，三角函数的值域是以角度或弧度为基础的，正弦函数、余弦函数和正切函数的取值范围则不尽相同。

需要注意的是，三角函数的值域不仅仅限于角度，它还可以使用弧度来表示。

3三角函数的值域与最值

三角函数的值域与最值【知识回顾】1. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

2. 化二次或高次函数，如y=x x 2cos 2sin - 【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ______．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 _____ ．5.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k(cosx －1)的最小值是 _____ ．6.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为________．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)，x∈R (其中A>0，ω>0,0<ϕ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)． (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．例4．扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值．，ABORS PQ【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________．2．已知函数()3s i n f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=m a x MN _________．3．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是_____________．4．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．8．（1）已知(0,)θπ∈，函数y =的最大值是_______. （2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x=+的最小值是____________. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ_____________ ． 10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．11．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合；（2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4π内有实根，求实数a 的取值范围.专题十二：三角函数的值域与最值【知识回顾】3. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解例1：求函数cos 2y x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3。

结合图形可知，此函数的值域是[33-。

解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴sin()x φ+=由|sin()|1x φ+=≤22(2)1y y ⇒≤+，解得：33y -≤≤[33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式212sin ttx +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2213t yt=--则有2320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由24120y =-≥△，33y ⇒-≤≤故所求函数的值域是[,]33-。

求三角函数最值及值域常用的策略

师说新语３３２０１９年第２５期求三角函数最值及值域常用的策略◎ 任彩霞/平遥现代工程技术学校三角函数的最值问题是三角函数中重要的一个知识点，题型较多、方法较碎，是同学们学习的一个难点，由于题型灵活，容易考查思维能力，因而也是高考中热点题型，现对三角函数最值求法中常见的策略加以归类，常用方法加以总结，以达快速正确求解。

一、利用三角函数的有界性求最值1、形如y=asinx+bcosx+c 型，引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c ，再求值域。

例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域解：f(x)=2sinx+21cosx －23sinx=（2－23）sinx+21cosx=)sin()21()232(22φ++−x ，故f(x)∈[]2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型，通过降幂转化为Asinx+Bcosx ，再求值域。

例2、f(x)=23asinx·cosx-2asin 2x+1（a>0）的值域解：f(x)= 3asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+6π)-a+1∵a>0，sin(2x+6π)-a+1∴f(x)∈[-3a-1，a+1]二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型，令sinx=t 转化为二次函数再求值域。

例3、k<-4，求y=cos 2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos 2x-1+kcosx-k y=2cos 2x+kcosx-k-1，设t=cosx ，t ∈[-1,1]则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－4k，由于k<-4，则－4k >1，故当t=1时，ymin=1，当t=－1时，ymax=1－2k ，即y ∈[1,1-2k]2、形如y=asinx·cosx+b （sinx ±cosx ）+c 型，令sinx ±cosx=t转化为二次函数在]2,2[−上的值域问题例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的值域。

三角函数和反三角函数的定义域和值域

三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。

理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。

二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。

这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。

2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。

正切函数的取值范围是整个实数集。

3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。

反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。

这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。

三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。

在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。

2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。

通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。

四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。

理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。

未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。

10,三角函数的值域与最值

§4.6 三角函数的值域与最值【复习目标】1．根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。

【重点难点】化归思想及其运用途径【课前预习】1．函数yx cos x的最大值是_____，最小值是_____；函数y =24(cos)5x-＋_____，最小值是_____；函数y=的最大值是，最小值是。

2．若||4xπ≤，2()cos sinf x x x=+的最小值是（）A．12 B．12-C．－1 D．123．函数y=—2sin x值域是（）A．[—3 ，—1] B．[—1，3] C．[0 ，3] D．[—3 ，0] 4．函数y=log2 (1＋sin x) ＋log2 (1—sin x)，当x∈[时的值域为（）A．[—1 ，0] B．(]1,0- C．[)0,1 D．[0 ，1]实用文档实用文档5．求下列函数的值域（1）3sin 4cos y x x =- （2）sin 3cos ()22y x x x ππ=+-≤≤【典型例题】例1 求下列函数的最值（1）y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 （x ∈R ）；（2）y =2sin 1sin 3+-x x例2 求 y = 1＋sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的最值例3 扇形AOB 的半径为1，圆心角为3π，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。

【巩固练习】1．已知方程sin2x＋cos x＋a = 0有实数解，则a的取值范围是______________。

2．y=3sin（x+200）+5 sin (x+800)的最大值是（）A、7 D、8【本课小结】【课后作业】1．设函数y= a cos x＋b（a、b为常数）的最大值为1，最小值为—7，求函数a cos x＋b sin x的最大值和最小值。

2．若x∈(0，π)，求函数y3．求函数y = (sin x—2) (cos x—2)的最大、最小值。

三角函数的值域(最值)

6
62
........ ........
f ( ) 3 ........................
62
6
可看出最大值为 y 3sin = 3，最小值为
因此，值域为 [ 2 , 2] 6 2
y 3sin( )=- 3，
62
33
1 小练习
正弦、余弦，正切
求下列三角函数的值域：
y cos(x ), x [ , ]
3
3
设x =，y cos , [2 , 4 ]
3
33
值域为[1, 3 ] 2
y 2sin(x ), x [0, ]
4
设x =，y 2sin , [ , 3 ]
4
44
值域为[ 2,1]
y tan(x ), x [ , ]
3
32
设x =，y tan , [0, ]
3
y cos x, x [ , ] 3
y tan x,
x [ , ]
3
....
........
值域为[1, 1] 2
y 2sin x, x [ , ] 3
值域为[ 3, 0]
........
y 2sin x,
x
[
,
]
3
......
值域为[0, 2]
与左边相反值域为[2，0]
2 三角函数
重点
非标准函数值域求解
3
解：
画出标准图画图
标出范围
பைடு நூலகம்
标点
檫去多余图像
檫图
难
........
....................... f ( ) 1
2

三角函数的值域

A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
答案A
解析因为0≤x≤9，所以－ ≤ － ≤ ，所以－ ≤sin ≤1，则－ ≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－ .
跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sin ，其中x∈ ，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是．
答案
解析∵x∈ ，∴x＋ ຫໍສະໝຸດ ，∵当x＋ ∈ 时，f(x)的值域为，
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－ .
∴函数的值域为 .
三角函数的值域
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
例1(1)函数y＝cos 2x＋2cosx的值域是()
A．[－1,3]B.
C. D.
答案B
解析y＝cos 2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2 2－，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为 .
(2)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()
∴由函数的图象(图略)知， ≤a＋ ≤ ，
∴ ≤a≤π.
(2)(2018·通辽质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为．
答案
解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，且－ ≤t≤ .