14.2_命题与证明1

触类旁通
命题可看做由题设（条件）和结论两部分 组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推 出的事项。 两直线平行，同位角相等。 如果两直线平行，那么同位角相等。 题设（条件） 结论
指出下列命题的题设和结论 1、如果两条直线相交，那么它们只 有一个交点； 两条直线相交 题设： 它们只有一个交点 结论：
⑴对顶角相等； 是
⑵画一个角等于已知角； 不是
⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a、b两条直线平行吗？ 不是 ⑸温柔的李明明。不是 ⑹玫瑰花是动物。 是 ⑺若a2＝4，求a的值。 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b。
是
判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示。
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?（× ） 2）两条直线相交，有且只有一个交点（√ ） 3）不相等的两个角不是对顶角（ √ ）
如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边就相等。
例1：将命题“三个角都相等的三角形是等边三角形” 改写成“如果、、、那么、、、”的形式， 并分别指出命题的题设和结论。
• 解：这个命题可以写成：“如果一个三角形的三 个角都相等,那么这个三角形是等边三角形”。这 个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等” 结论是“这个三角形是等边三角形”
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的 结构特征？与同学交流。 （1）如果两个三角形的三条边相等，那么 这两个三角形全等； （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么 这个三角形的两个底角相等； （3）如果一个四边形的对角线相等，那么 这个四边形是矩形；
学好要领 比一比下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判 断？哪些没有对事情作出判断？
（2）内错角相等。
（3）矩形的对角线相等
（4）如果a2=b2，那么a=b （5）经过一点确定一条直线。 发现知识：依据所学知识可以判断（1）（3）是正 确的，句子（2）（4）（5）是错误的，这几个句 子的特点是可以判断一件事情的正确或错误，这样 的句子就是命题。
命题： 判断正确或者错误的句子叫做命 题，正确的命题称为真命题，错 误的命题称为假命题。
可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行。 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的 句子叫做该名称或术语的定义。
例如: 1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人 民共和国公民” 是“ 中华人民共和国公民 ”的定义;
2、 “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是 “ 两点之间的距离 ”的定义;
小结:
1、命题：判断正确或错误的句子叫命题。 （1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成 “如果、、、那么、、、”的形式 2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断 其他命题真假的根据的命题，叫做公理。 3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。 4、判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命 题不成立就可以了，这种方法称为举反例； 而判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑 推理的方法证明（公理和定理都是真命题）
直角三角形的两个锐角互余
A
已知：如图，在直角三角形ABC中， C 求证：A B 90
90
证明： A B C 180 又 C 90
C
B
A B 90
学有所成
本节课你学到什么？
定义的含义：规定某一名称或术语的意义的 句子； 命题的概念：对某一件事情作出正确或 不正确的判断的句子； 命题的结构：通常命题是由条件和结论 两部分组成。
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的 条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步 一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
l3
3 1 2
l1
l2
第一步：
根据题意，画出图形
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
指出下列命题的条件和结论，并改写成“如 果……那么……”的形式： ⑴同位角相等，两直线平行； 条件是： 同位角相等 结论是： 两直线平行 改写成： 如果同位角相等，那么两直线平行。
⑵三条边对应相等的两个三角形全等； 条件是： 两个三角形的三条边对应相等 结论是：这两个三角形全等 改写成： 如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个
命题一般都写成“如果……,那么……”的形式。你能在 下面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗?
(1)熊猫没有翅膀； 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。
(2)对顶角相等； 如果两个角是对顶角，那么它们就相等。 (3)全等三角形的对应边相等；
如果两个三角形全等，那么它们的对应边就相等。
(4)平行四边形的对边相等；
做一做
指出下列命题的条件和结论，并改写 “如果„„那么„„”的形式： ⑴两条边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等；
如果两个三角形有两条边和它们的夹角对 应相等，那么这两个三角形全等。
⑵直角三角形两个锐角互余。
如果两个角是一个直角三角形的两个锐角， 那么这两个角互余。
证明几何命题的一般格式：
1.根据题意,画出图形;
2.分清命题的条件和结论，结合 图形，在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论。 3.在“证明”中写出推理 过程。且每一步推理都要 有依据
关于辅助线：
• 辅助线是为了证明需要在原图上添画的 线.（辅助线通常画成虚线） • 它的作用是把分散的条件集中，把隐含 的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. • 添加辅助线，可构造新图形，形成新关 系，找到联系已知与未知的桥梁，把问 题转化，但辅助线的添法没有一定的规 律，要根据需要而定,平时做题时要注 意总结.
考考你
请说出下列名词的定义： ⑴无理数：
无限不循环小数叫做无理数。 直角三角形。
⑵直角三角形： 有一个角是直角的三角形叫做
⑶一次函数： ⑷压强：
一般地，形如y＝kx＋b（k、b都是 常数且k≠0）叫做一次函数。 单位面积所受的压力叫做压强。
[思考]
试判断下列句子是否正确？
（1）两条直线相交，只有一个交点。
三角形全等。
（3）在同一个三角形中，等角对等边； 条件是：同一个三角形中的两个角相等 结论是：这两个角所对的两条边相等 改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这
两个角所对的边也相等。
（4）对顶角相等。 条件是： 两个角是对顶角 结论是： 这两个角相等 改写成： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
l3
3 1
l1
条件： 已知： 如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
结论： 求证： ∠2=∠3 第二步：
2
l2
在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
l3
已知： 如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
4）一个平角的度数是180度（√ ） 5）相等的两个角是对顶角（√ ） 6）取线段AB的中点C；（ × ） 7）画两条相等的线段（ × ）
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
命题是由题设（或条件）和结论两部分组成 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 用“如果”开始的部分是题设，用“那么” 开始的部分是结论． 例如，在命题（1）中， “两个三角形的三条边相等”是题 设，“两个三角形全等”是结论。
3 1 2
l1
求证： ∠2=∠3 证明： ∵∠1=∠2
（ 已知 ）
l2
∠1=∠3 （对顶角相等） 在“证明”中写出推理过程， ∴∠2=∠3
第三步：
并且步步有依据。
经过刚才三站的“证明”之旅， 你能说出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整的几何命题证明 需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形。 （2）在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论。 （3）在“证明”中写出推理 过程，并且步步有据。
反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任 何判断，那么它就不是命题。 例如： （1）你喜欢数学吗？ （2）作线段AB=CD
你能举出一些命题吗? 举出一些不是命题的语句.
下列句子哪些是命题？是命题的，指出 是真命题还是假命题？
是 真命题 1、猪有四只脚； 真命题 2、三角形两边之和大于第三边； 是 不是 3、画一条曲线； 假命题 4、四边形都是菱形； 是 5、你的作业做完了吗？ 不是 6、同位角相等，两直线平行； 是 真命题 是 真命题 7、对顶角相等； 8、多边形的内角和等于180度； 是 假命题 9、过点P做线段MN的垂线。 不是
2、如果∠1=∠2，∠2=∠3， 那么∠1=∠3； 题设：∠1=∠2，∠2=∠3
结论：∠1=∠3
3、两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补，那么这两条直线平行; 两条直线被第三条直线所截， 题设：
同旁内角互补 结论： 这两条直线平行
4、如果两条平行线被第三条直线所截， 那么内错角相等； 题设： 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 结论：