6 单因素拉丁方实验设计

从4个班随机选取32名学生，每个班8人，实验在星 期三、四、五、六下午分4次进行。 自变量：生字密度有A1、A2、A3、A4四个水平 无关变量：班级差异B1、B2、B3、B4四个水平 实验时间C1、C2、C3、C4四个水平 研究者首先构建一个4x4的拉丁方格标准块，将每个 班级的8名学生随机分配在C1、C2、C3、C4的拉丁方格 中，每个方格中的学生接受完全相同的实验条件，然后将 拉丁方格标准块随机化，并按随机块的方案实施实验 c1 c2 c3 c4 c4 c3 c1 c2 b1 a1 a2 a3 a4 b3 a2 a1 a3 a4 b2 a2 a3 a4 a1 b1 a4 a3 a1 a2 b3 a3 a4 a1 a2 b2 a1 a4 a2 a3 b4 a4 a1 a2 a3 B4 a3 a2 a4 a1
c1
b1 a1 S1 S2 a2 S3 S4 a3 S5 S6 a4 S7 S8
c2
a2 S9 S10 a3 S11 S12 a4 S13 S14 a1 S15 S16
c3
a3 S17 S18 a4 S19 S20 a1 S21 S22 a2 S23 S24
c4
a4 S25 S26 a1 S27 S28 a2 S29 S30 a3 S31 S32
注: F.01(3,16)=5.29; F.05(3,16)=3.24
5、平方和与自由度分解 SS处理间 df=p-1=3 SS总变异 df=np-1 =31
SSＡ df=p-1=3
SSB df=p-1=3
SS处理内 df=p（pn-1)=28
SSC df=p-1=3
SS残差 df=(p-1)(p-2)=6 SS单元内 df=p2(n-1)=16
拉丁方实验设计的简单评价：
优点：比完全随机、随机区组实验设计更加有效，可以分
离出两个无关变量
通过对方格单元内误差与残差做F检验，可以检验
实验设计的正确性
缺点：自变量与无关变量之间没有交互作用的假设在很多
情况下保证
要求无关变量与自变量的水平数必须相等，在一定
程度上也限制了拉丁方设计的使用
6、解释
A、各种平方和的含义
SS总变异：总平方和首先分解为处理间平方和与处理内平方和
SS处理间：所有由于实验处理引起的变异，处理效应,SSA SS处理内：处理内平方和分解为三部分：无关变量B、无关变量
C的平方和与误差平方和 SSB、SSC：无关变量的效应，该实验的总变异中由班级的 不同、实验时间不同引起的变异 SS单元内：方格单元内误差变异，被试之间的实验误差 SS残差：指除单元内误差变异外，总变异中其余的不能被实验 处理和无关变量解释的变异，包括A因素、无关变量B、C的交互作 用的残差
3、平方和的分解与计算
A、平方和分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模式
SS总变异=SS处理间+SS处理内
=SSA+（SSB+SSC+SS单元内+SS残差） B、平方和计算 SS总变异=[ABCS]—[Y]=268.875 SSA SSB SSC =[A]—[Y] =190.125 =[B]—[Y] =56.750 =[C]—[Y] =1.375
B、拉丁方实验的误差变异
首先进行F检验，以考察两个误差变异是否存在显著性差 异，F=MS残差/MS单元内，如果差异显著，表明实验设计是 不合适的；如果不显著，则两个误差项都可以用来作为F 检验的误差项，也可以合并，公式为：
SS残差 SS单元内 MS残差 pooled 0.966 2 p 1 p 2 p n 1
B、随机化：任意选择标准块，先随机化标准块的行，再 独立地随机化标准块的列
A B B A C D D C C D A B B A C D A D C B B C D A D C B A A B C D
C D
D C
B A
A B
B A
D C
D C
A B
4、适合检验的假说 A、处理水平的总体平均数相等，即： H0：μ1 =μ2 = …… =μp 或处理效应为0，即： H0： αj = 0 B、无关变量（横行）的总体平均数相等，即： H0：μ1 =μ2 = …… =μp 或无关变量B的效应等于0，即： H0：β k = 0 C、无关变量（纵列）的总体平均数相等，即： H0：μ1 =μ2 = …… =μp 或无关变量C的效应等于0，即： H0：γ l = 0 5、被试分配
处理水平随机分配给P2个方格单元，每行、每列中仅 出现一次，被试数量N=nP2
3、拉丁方的标准块及随机化
A、当拉丁方格中的第一行和第一列按字母顺序排列的时 候，叫做标准化方块，如2χ2，3χ3，4χ 4，5χ 5 A B A B B A C D D C B A C D B A D C A B A B C B C A C A B A B C D E B C D E C D E A D E A B E A B C
SS残差 ={[ABC]-[Y]}-SSA-SSB-SSC=10.250
SS单元内=SS总变异-SSA-SSB-SSC-SS残差=11.000
4、方差分析表及 解释
变异来源
平方和
自由度
均方
F
1.处理间 190.125 P-1=3 2.A(生字密度) 190.125 P-1=3 63.375 92.11** 3.处理内 78.750 P(n-1)=28 4.B(班级) 56.125 P-1=3 18.708 27.19 ** 5.C(实验时间) 1.375 (p-1)=3 0.458 0.67 6.残差 10.250 (p-1)(p-2)=16 1.708 2.48 7.单元内误差 11.000 p2(n-1)=16 0.688 8.合计 268.875 np2 -1=31
p k 1

y
np
yijkl
[B] 40
2
40 1331.25 24 24
2 2
2 2
n p p i 1k 1 l 1

np
[C ] 48
50 1276.500 24 24
单因素拉丁方实验设计
一、基本概念
1、拉丁方设计是一个含P行、P列，把P个字母分配给方 格的管理方案。可分离出两个无关变量的效应，一个在横 行分配，一个在纵列分配，自变量的水平则分配给方格的 每个单元
2、适用情境：
研究中有一个自变量(有两个或多个水平)
还有两个无关变量（有两个或多个水平）
假定处理水平与无关变量之间没有交互作用
b2
b3
b4
6、实验设计模型 YiJkl = μ + αj +βk +γ l+εpooled (i=1,2,……,n; j=1,2, ……,p) (k=1,2, ……,p;l=1,2, ……,p) 其中：YiJ：被试 i 在处理水平 j 上的分数 μ ：总体平均数 αｊ：水平j的处理效应 β k ：水平K的无关变量B的变异 γ l：水平L的无关变量C的变异 εpooled：误差变异，包括：方格单元内误差变异 和残差变异 二、单因素拉丁方验设计与计算举例 （一）研究的问题与实验设计 文章生字密度对阅读理解的影响研究
c2
a2 5 a1 5 a4 25
c3
a3 11 a2 7 a1 11
c4
a4 17 a3 13 a2 10
Σ
40
b2
40
a1 a2 a3 a4 np=8 35 31 56 80
b3
63
b4
a2 9
a3 15
a4 23
a1 12
59
Σ
48
50
52
52
202
2、各种基本量的计算 n p p k1 l1 yijk l 3 6 4 202.000 i 1
（二）实验数据及计算
c1 c2
a2 2 3 a1 2 2 a4 12 13 a3 8 7
c3 c4
a3 6 5 a2 4 3 a1 5 6 a4 12 11 a4 9 8 a3 7 6 a2 6 4 a1 7 5
b1
b2
b3
b4
a1 3 4 a4 8 7 a3 8 9 a2 5 4
c1
b1 N=2 a1 7 a4 15 a3 17
n p p i 1 k 1 l 1

yijkl 7 5 [ ABC ] 1533.000 n 2 2
2
P J 1

2 n p p ijk l i 1k 1 l 1
y

np
2 n p i 1l 1 ijkl
352 312 A 1465.250 2 4 2 4

p n p i 1k 1 l 1
yijk l 202 y 2 1275.125 2 2 4 np
2 2
n p p 2 ijkl i 1k 1 l 1
y
ABCS 3 6 1544.0
2 2
2 2