材料力学 第七章 弯曲内力

F x const ，即剪力图为水平直线。相应的弯矩 在无分布载荷作用的梁段 qx 0 ， 图为直线，其斜率则随 F 值而定。
S S
2.均布载荷作用梁段 在均布载荷作用的梁段， qx const 0 ，即剪力图为倾斜直线，其斜率随 q 值而 定，而相应的弯矩图则为二次抛物线。显然，当分布载荷向上q 0 时，弯矩图为凹 曲线；反之，当分布载荷向下 q 0 时，弯矩图为凸曲线。在 F 0的横截面处，弯矩 图相应存在极值点。
(a) (b)
M
C
0
计算弯矩 M ，式中 C 为所切横截面的形心
例7-1 图7-6a所示外伸梁，承受集中力 的集中力偶作用，试计算横截面 与
D的剪力和弯矩。截面
F E
与矩为 M e Fl 、横截面
A
A
A 代表距横截面
无限近并位于其右侧的截面；截面
D
D 代表距横截面
无限近并位于其左侧的横截面。
Fy 0
,
F FB FAy 0 FAy 2F
，
(3)
②计算横截面
截面Biblioteka E 的剪力与弯矩（ C 为截面 E 的形心）。
，
FAy ，
, SE
E 左段受力 M e
y
FSE ，
7-6b）。 M（图 E
(4)
F
M
0
，
FAy F 0
FSE 2F
C
。
0
，
l FAy M e M , E 0 2
7.2.3剪力、弯矩函数与剪力、弯矩图
FS FS x
(e)
M M x
(f)
剪力、弯矩沿梁轴变化的解析表达式，分别称为 剪力函数与弯矩函数。
表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线，分别称为 剪力图与弯矩图。
画剪力图和弯矩图时应注意： ⑴ 剪力图画在原图的下面，弯矩图画在剪力图的下面， 和 xM 。 上下对齐，并标出坐标轴 x FS
2
0
(b)
由式(b)并略去二阶微量
x qdx 2 2 ，得
dM FS dx
(7-2) (7-3)
d2M q dx 2
(a)直梁 (b) 直梁微段两侧的内力 图7-8剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系
图7-9
x
处
x
长的一段梁
7.3.2 利用剪力、弯矩与载荷集度间的微、积分关系绘制剪力与弯矩图 1.无分布载荷作用梁段
(a)
(b)
(c) 图7-6 例7-1
(d)
解： 截面法。 ①计算支座约束力。 外伸梁受力
F，
，
M e，
FAx， FAy， FB（图7-6a）。
, 。 (2) (1)
F
x
0
FAx 0 FAx 0
M A 0, F 2l M e FB l 0。
FB 3F
，
P1 q P2
M
纵向对称面
7.1 梁的约束与类型
以轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件，称为梁。
图7-1 梁的计算简图
7.1.1支座形式与支座约束力
（1） 活动铰支座 （2） 固定铰支座 （3） 固定端
图7-2 支座形式及其约束力
7.1.2梁的类型
利用平衡方程即可确定全部支座约束力的梁，称为静定梁。最常见的静定梁有以下三种。
（1）简支梁 （2）悬臂梁 （3）外伸梁
如果梁上支座约束力的数目，超过有效平衡方程的数目，则仅靠平衡方程不能求 解。仅靠平衡方程尚不能确定全部支座约束力的梁，称为静不定梁或超静定梁。
图7-3 静定梁的类型
7.2剪力与弯矩
7.2.1剪力与弯矩符号规定
图7-4 剪力与弯矩
规定：剪力左上右下为正“+”(图7-5a)，即截面在左侧向上为正，截面 在右侧向下为正。 弯矩左顺右逆为正“+”(图7-5b)，即截面在左侧顺时针为正，截 面在右侧逆时针为正。按此规定图7-5中所示之剪力与弯矩均为正。
(5)
ME 0
③计算横截面
截面
A 的剪力与弯矩（ C1 为截面
FAy FSA 0
A 的形心）。
A 左段受力 M e， FAy ， FSA ，
M A（图7-6c）。
, (6)
F
y
0
，
FSA 2F
。 ，
MC1 0
,
FAy Me M A 0
M A Fl
。
(7)
④计算横截面 截面
D的剪力与弯矩（ C2 为截面
F ， FSD ，
D的形心）。
D 右段受力
,
M D （图7-6d）。
(8)
Fy 0
M
C2
F FSD 0
FSD- F
0
，
， (9) ,
F M D 0
M D- 0
。
7.3.1剪力、弯矩与载荷集度间的微、积分关系
的正向为自左向右，载荷集度则规定为方向向上者为正。 微段处于平衡状态，平衡方程为
F
y
0
FS qdx FS dFS 0
dFS q dx
(a) (7-1)
M
C
0
M dM FS dx qdx dx M
坐标轴
S
3.线性分布载荷作用梁段 最常见的非均布载荷为线性分布载荷，其表达式为
q ax b
(k)
S
式中，a 与 b 为常数。由于载荷集度 q 是 x 的一次函数，梁的剪力 F 必为 x 的二次函数，而弯 矩 M 则为 x 的三次函数，即剪力图为二次抛物线，弯矩图为三次曲线。
⑵ 须标出剪力 FS 和弯矩
M
的正负号，用小圆圈住。
⑶ 要标出剪力 FS 和弯矩 M 的区域用细竖线表示。 ⑷ 要标出剪力 FS 和弯矩 M 的单位。 ⑸ 要标出剪力 FS 和弯矩 M 突变处的值。
图7-7 例7-2
7.3剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
在外载荷作用下，梁内产生剪力与弯矩。本节研究剪力、弯矩与载荷集度 三者间的关系，及其在绘制剪力与弯矩图中的应用。
图7-5 剪力与弯矩符号规定
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
7.2.2截面法 （1）截，在需求内力的横截面处，假想地将梁切开。 （2）取，原则上取受力简单的部分作为研究对象，并弃去另一部分。 （3）代，用作用于截面上的规定正向剪力 （4）平，由平衡方程 Fy 0
############################### # 子曰：“默而识之，学而不厌， # # 诲人不倦，何有于我哉？”# ###############################
第7章 弯曲内力
工程实例
平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。