概统7.2节

i=1 n
0, n 1σ 2 Xi X ~ N n
+∞
Ch7-63
1 E(| Xi X |) = ∫ | z | e ∞ n 1 2π σ n +∞ 1 e = 2∫ z 0 n 1 σ 2π n
z2 n1 2 σ2 n
dz
z2 n1 2 2 σ n
dz
2 = 2π
n 1 σ n
Ch7-64
若 E(θ ) =θ 则称 θ是θ 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等,但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
Ch7-48
例1 设总体X 的 k 阶矩 k = E( X )存在 ( X1, X2 ,, Xn ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n k 则 Ak = ∑Xi 是 k 的无偏估计量. . n i=1 证 由于 E( Xik ) = k i = 1,2,, n 因而
例3 设总体 X 的密度函数为
Ch7-52
x 1 θ x > 0, e f (x;θ ) = θ θ > 0 为常数 0 x ≤0 ( X1, X2 ,, Xn ) 为 X 的一个样本 θ 证明 X 与 n min{ X1, X2 ,, Xn}都是 的无偏
估计量 证
1 X ~ E θ E( X ) =θ
i=1
(2) 证明 = X 比 1 = ∑ci Xi 更有效
i=1
n
证 (1) E(1 ) = ∑ci E( Xi ) = ∑ci =
i=1 i=1
n
n
Ch7-57
例如 X ~ N( ,σ 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
2 1 1 = X1 + X2 3 3 1 3 2 = X1 + X2 4 4 1 1 3 = X1 + X2 2 2
Ch7-60
1 θ e 例8 X ~ f (x;θ ) = θ 0
x
x > 0, x≤0
θ > 0 为常数
则 X 是θ 的无偏,有效,一致估计量. 证 由例7 知 X 是θ 的无偏,有效估计量.
lim D( X ) =lim
n→∞
θ
2
n→∞
n
=0
所以 X 是 θ 的一致估计量, 证毕.
Ch7-61
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
Ch7-59
关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 由大数定律证明 阶矩的一致性估计量. 2. 设θ 是 θ 的无偏估计 量, 且 lim D(θ ) = 0, 则 用切贝雪夫不 n→∞ 等式证明 是θ 的一致估计量. θ 矩法得到的估计量一般为一致估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
故 E( X ) = E( X ) = θ X 是θ 的无偏估计量.
令
FZ (z) =1 P( X1 > z, X2 > z,, Xn > z)
n
Z = m X1, X2 ,, Xn } in{
Ch7-53
z <0 0 nz =1 ∏(1 P( Xi ≤ z)) = 1 e θ i=1 z ≥0 z <0 0 nz f Z (z) = n θ e z ≥0 θ θ n Z ~ E E(Z) = E(nZ) =θ 即 n θ 故 n Z 是θ 的无偏估计量.
1 n k 1 n k E( Ak ) = E( ∑Xi ) = ∑E( Xi ) n i=1 n i=1 1 = n k = k n
Ch7-49
特别地 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
1 2 样本二阶原点矩 A2 = ∑Xi 是总体 n i=1
n
二阶原点矩 2 = E( X ) 的无偏
2
n 所以, X 比n m X1, X2 ,, Xn}更有效. in{
Ch7-56
例6 设总体 X,且 E( X )= , D( X )=σ 2
( X1, X2 ,, Xn )为总体 X 的一个样本
n 1 (1) 设常数 ci ≠ i =1,2,, n. ∑ci =1. n i=1 n 证明 1 = ∑ci Xi 是 的无偏估计量
故
E k∑| Xi X | = k∑E | Xi X | i=1 i=1
n n
2 n 1 = kn σ 2π n
令
=σ
k=
π
2n(n 1 )
�
n n 解 E k∑| Xi X | = k∑E | Xi X | i=1 i=1 注意到 Xi X 是 X1, X2,…, Xn 的线性函数, 1 Xi X = ( X1 X2 + (n 1) Xi Xn ) n n 1 2 σ E(Xi X ) = 0, D( Xi X ) = n
1 n 1 n 2 2 2 证 前已证 ∑( Xi X ) = ∑Xi X n i=1 n i=1
E( Xi ) = E( X ) = , D( Xi ) = D( X ) = σ 2 σ E( X ) = E( X ) = , D( X ) =
n
2
Ch7-51
因而
1n 1n 2 2 2 E ∑( Xi X ) = ∑E( Xi ) E( X ) n i=1 n i=1 2 σ 2 2 2 = (σ + ) ( + ) n n 1 2 2 = σ ≠σ n 1 n 2 2 故 E ∑( Xi X ) = σ 证毕. n 1 i=1
补充题 设总体 X ~ N ( ,σ 2),
( X1, X2 ,, Xn ) 为 X 的一个样本,常数 k 取
何值可使 k∑| Xi X | 为σ 的无偏估计量
i=1
n
Ch7-62
补充题 设总体 X ~ N ( ,σ 2), ( X1, X2 ,, Xn ) 为 X 的一个样本,常数 k 取 何值可使 k∑| Xi X | 为σ 的无偏估计量
=1 P( X1 > z)P( X2 > z)P( Xn > z)
Ch7-54
有效性
定义 设 θ1 =θ1( X1, X2 ,, Xn )
θ2 =θ2 ( X1, X2 ,, Xn )
都是总体参数θ 的无偏估计量, 且
D(θ1) < D(θ2 )
则称 θ1比 θ2更有效.
Ch7-55
2
估计量
Ch7-50
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X1, X2 ,, Xn ) (n > 1) . 证明
1 n 2 2 (1) Sn = ∑( Xi X ) 不是 D( X )的无偏估量; n i=1
1 n S2 = ( Xi X )2是 D( X ) 的无偏估计量. (2) ∑ n 1 i=1
例5 设总体 X 的密度函数为
1 e f (x;θ ) = θ 0
x
θ
x > 0, x≤0
θ > 0 为常数
Байду номын сангаас
in{ 由例4可知, X 与 n m X1, X2 ,, Xn} 都 4 ,
是θ 的无偏估计量,问哪个估计量更有效?
θ , 2 解 D( X ) = D(nmin{X1, X2 ,, Xn}) =θ
都是 的无偏估计量
由例6(2) 知 3 最有效.
定义
一致性 设 θ = θ( X1, X2 ,, Xn ) 是总体参数θ
Ch7-58
的估计量. 若对于任意的θ ∈ Θ , 当n→ ∞时,
θ 依概率收敛于θ , 即 ε > 0, lim P(θ θ ) ≥ ε ) = 0
n→∞
则称θ 是总体参数θ 的一致(或相合)估计量.
Ch7-46
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1) 无偏性 常用 标准 (2) 有效性 (3) 一致性
Ch7-47
无偏性 定义