第二学期半期考试高一数学试卷
高一数学半期试题
高一数学试题一、选择题（每题4分，满分40分） 1. 集合}{1-==x y x P ，集合}{1-==x y y Q ，则Q P 与的关系是（ ）A. Q P ⊆B. Q P ⊇C. Q P =D. ∅=⋂Q P2. 集合{}223,,21x A y y x R B x x x ⎧⎫+⎪⎪==∈=<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，则()R A C B = （ ）A. {}2>x xB. {}2≥x xC. {}32≤<x xD. {}32≤≤x x 3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 1=y ，xx y = B. x y =,33x y =C. 11+⨯-=x x y ,12-=x y D. x y =,()2x y =4.某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km(含3km)，以后每1km 为1.6元（不足1km ，按1km 计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x （km ）之间的函数图象大致为（ ）5.设B A f →:是集合B A 到的映射，其中}{0>=x x A ，R B =,且12:2--→x x x f ，则A 中元素21+的象和B 中元素1-的原象分别为（ ）A.2, 0 或2 B. 0 , 2 C. 0 , 0或2 D. 0 , 0或26.已知函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,1,0)(，当R x ∈时，()[]x g f ，()[]x f g 的值分别为（ ）A. 1 , 0B. 0 , 0C. 1 , 1D. 0 , 17.已知函数()223f x ax x =-+在()1,2上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A. 12a <B. 210≤<a C. 0a <或102a <≤D. 12a ≤8.设()x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A.()()x f x f -⋅是奇函数 B. ()()x f x f -⋅是奇函数 C. ()()x f x f --是偶函数 D. ()()x f x f -+是偶函数 9.设奇函数()x f 在()∞+，0上为增函数，且()02=f ，则不等式()()0<--xx f x f 解集为（ ）A. ()()∞+⋃-，，202B. ()()2002，，⋃-C. ()()∞+⋃-∞-，22,D. ()()202,，⋃-∞- 10.设函数()()∞+∞，在-x f 上满足以7,2==x x 为对称轴，且在[]7,0上只有()()031==f f ，试求方程()0=x f 在[]2012,2012-根的个数为（ ）A. 803个B. 804个C. 805个D. 806个 二、填空题（每题4分满分16分）11.若0>t ，则函数()2212x tx t x f --=的定义域为 ____________；12.已知奇函数()x f 在[]6,3上为增函数，在[]6,3上的最大值为8，最小值为-1.则()()263f f -+-=____________；13.若关于x 的不等式()()222210k x k x ---+≥解集为R ，则k 的取值范围是____________；14.若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(),αβ，其中0αβ<<，则关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集为____________.三、解答题（15﹑16题每题6分，17﹑18题每题10分， 19题12分，总分44分） 15.解不等式：2511x x --+>16.设函数2()1x f x x +=+，判断()f x 在()1,-+∞上的单调性，并证明.17.设集合{}2320A x x x =-+=，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=.（1）若A B ⊆，求a 的值；（2）若B A ⊆，求a 的值.18. 已知函数()122-+-=ax x x f ，若()x f 在[]1,1-上的最大值为()g a ，求()g a 的解析式.19.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()13f =，若[],1,1,0a b a b ∈-+≠时，有()()0f a f b a b+>+成立.（1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明；（2）解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若当[]1,1a ∈-时，()223f x m am ≤-+对所有的[]1,1-∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题（每题4分，满分40分）二、填空题（每题4分满分16分）11. []4,3t t - ； 12. 15- ；13. []2,3 ；14.11,βα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；三、解答题（15﹑16题每题6分，17﹑18题每题10分， 19题12分，总分44分） 15.解：1 当2x ≥时，原不等式等价为：2(5)11x x --+>即：711->x ∴∈∅2 当52x -<<时，原不等式等价为：()2(5)11x x ---+>即：7x <-x ∴∈∅3当5x ≤-时，原不等式等价为：()2(5)11x x --++>即：711>x ∴∈∅综上，原不等式的解集为∅.16.解：()f x 在()1,-+∞上是减函数. 证明: ()12,1,x x ∀∈-+∞,设12x x <则：()()()()()()()()1221121212122121221111x x x x x x f x f x x x x x ++-++++-=-=++++()()211211x x x x -=++()1212,1,10,10x x x x ∈-+∞∴+>+> ()()()()1221121200x x x x f x f x f x f x <∴->∴->∴>()f x ∴在()1,-+∞上是减函数.17.解：（1）由已知得{}1,2A =，因为A B ⊆所以1,2B B ∈∈，即：()()2221210122120a a a a a a a ⎧-+++=⎪⇒=⎨-+++=⎪⎩当1a =时，{}1,2B A ==，符合A B ⊆要求1a ∴=.（2） 方程()22210x a x a a -+++=判别式()()222141a a a ∆=+-+=>B ∴集合中一定有两个元素B A ⊆ B A = 221312a a a a +=⎧∴⇒=⎨+=⎩1a ∴=.18.解：()()122-+--=a a x x f1当1a ≤-时，()f x 在[]1,1- 上单调减，()()max 122f x f a ∴=-=--2 当11a -<<时，()f x 在[]1,a - 上单调增，在(],1a 上单调()()2max 1f x f a a ∴==-3当1a ≥时，()fx 在[]1,1- 上单调增，()()max122f x f a ∴==-()222,11,1122,1a a g a a a a a --≤-⎧⎪∴=--<<⎨⎪-≥⎩19.解：（1）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则[]21,1x -∈-， 又 ()f x 为奇函数，()()()()1212fx f x f xf x∴-=+-()()()121212fx f x x x x x +-=∙--，由已知得()()1212120,0fx f x x x x x +-=>-<-()()120,f x f x ∴-<即()()12f x f x <. ()f x ∴在[]1,1-上单调递增. （2）()f x 在[]1,1-上单调递增， 112113111221111x x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪∴-≤+≤∴-≤<-⎨⎪⎪-≤≤⎪-⎩∴不等式的解集为312x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭（3）()()11,f f x = 在[]1,1-上单调递增， ∴在[]1,1-上，()1f x ≤问题转化为2211m am -+≥，即220m am -≥对[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围.下面来求m 的取值范围. 设()220g a m a m =-∙+≥○1若0m =，则()00g a =≥，自然对[]1,1a ∈-恒成立. ○2若0m ≠，则()g a 为a 的一次函数，若()0g a ≥对[]1,1a ∈-恒成立， 则必须()10g -≥，且()10g ≥，2m ∴≤-或2m ≥. m ∴的取值范围是0m =或2m ≥.。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(word版)
第二学期期中考试 高一数学试题试题分值 150分 时间 120分钟一、选择题1、集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（ ）A 、}{21<<-x x B 、}{3215≤<-≤≤-x x x 或C 、}{15-≤<-x xD 、}{15-≤≤-x x2、已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A.513-B.513C.1213-3、在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.74、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =，则c =（ ）A.15B.16C.20D.5、已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为A 、23π B 、2π C 、3π D 、6π6、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===，则B =（ ）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 7、等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ） A.28 B.48 C.36 D.52 8、已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A. 33B. 3C. 1-D. 19、在△ABC 中，2,1AB AC AM AM +==，点P 在AM 上且满足2AP PM =， 则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．94 Ｂ．34 Ｃ．－34 Ｄ．－9410、已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象如右图所示：则b a x g x+=)(的图象是（ ）xyA 1OxyB 1OxyC1OxyD1O11、在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（ ） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π12、已知等差数列{}n a 满足2222699678sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（ ）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13、若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 14、在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：①1tan tan =B A ； ② 1sin sin 3A B <+≤1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+其中正确的序号是____________xy-11O15、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有 对.16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________. 三、解答题17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x x n =， 设函数1()2f x m n =⋅+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间．NCDAB19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足()2cos cos a c B b C -=．（1）求B 的值； （2）若3=b ，求c a 21-的取值范围．21、（12分）要将两种大小不同的钢板截成A B C 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A B C 、、三种规格的成品分别15，18，27块，各截这两种钢板多少张可得所需A B C 、、三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？213112C 规格B 规格A 规格第一种钢板第二种钢板规格类型钢板类型22、（本小题满分12分） 已知函数）（Z ∈=++-m x x f m m322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取 值范围 .第二学期期中考试 高一理科数学试题试题分值 150分 时间 120分钟 命题教师 侯思超一、选择题1、C2、C3、B4、C.5、A 、6、B.7、A8、C.9、Ｄ． 10、A 11、A.12、A.二、填空题 13、72514、②④ 15、2416. )43,1(]2,(----∞ 三、解答题 17.解析：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=【3分】()3342n a a n d n ∴=+-=-【5分】（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉即所以 所以88不是数列{}n a 中的项.【10分】 18.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，【4分】 ()2f x T π∴=最小正周期为【6分】(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈【9分】 由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈【12分】19.解析 ：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===又时符合，所以31n a n =-【3分】 2314b b b b =，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根， 41b b >又，所以解得142,16b b ==34182b q q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=【6分】（2）31,2n n n a n b =-=，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8n n n T n +⋅--⋅-（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅-【10分】所以1=(34)28n n T n +-⋅+.【12分】20.解析：（1）由已知()2cos cos a c B b C -= 得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= 【3分】 化简得1cos 2B =【5分】 故3B π=．【6分】（2）由正弦定理32sin sin sin 3a c bA C B====，得2sin ,2sin a A c C ==， 故122sin sin 2sin sin 2333sin cos 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 【9分】因为203A π<<，所以662A πππ-<-< 【10分】 所以133sin (,3)262a c A π⎛⎫-=-∈- ⎪⎝⎭【12分】 21、解：设所需第一种钢板x 张，第一种钢板y 张，共需截这两种钢板z 张，则目标函数为z x y =+约束条件为21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 【3分】可行域如下图2x+y =15x +3y=27x +2y=18xy =-x(185,395)yM 【5分】把z x y =+变形为v ，得到斜率为1-，在y 轴上截距为z 的一组平行直线，由上图可知，当直线z x y=+经过可行域上的点M 时，截距z 最小，解方程组327215x y x y +=⎧⎨+=⎩得点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于1839,55都不是整数，而此问题中最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。
2019-2020年高一数学下学期半期考试试题
2019-2020年高一数学下学期半期考试试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数列..,5,2,3,2,1，则22是该数列的（ ） .A 第8项 .B 第9项 .C 第10项 .D 第11项2.在ABC ∆中，若bB a A cos sin =，则=B （ ） .A ︒30 .B ︒45 .C ︒60 .D ︒903.化简=+-+SP QP PS OP （ ） .A QP .B OQ .C SP .D SQ4.已知数列}{n a 是正项等比数列，则下列数列不是等比数列的是（ ）.A }{n a .B }{na 1 .C }{2n a .D }{1+n a 5.a b a ⊥-==）（,21，则向量a 与b 的夹角为（ ）.A ︒30 .B ︒45 .C ︒60 .D ︒906.在等比数列}{n a 中，0>n a ，若991a a ,是方程016102=+-x x 的两个实数根，则=605040a a a （ ）.A 32 .B 64 .C 256 .D 64±7.在ABC ∆中，若A c b cos 2=，则这个三角形一定是( ).A 等腰三角形 .B 直角三角形 .C 等腰直角三角形 .D 等腰或直角三角形8.在数列}{n a 中，22==a a ，11，且())(,*N n a a nn n ∈-+=-+112，则 =10S （ ）.A 33 .B 34 .C 35 .D 379.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=,且C B A ,,三点共线（该直线不经过点O ），则=200S ( )100.A 101.B 200.C 201.D10.已知数列{}n a 的通项公式是32122-+-=n n a n ，其前n 项和为n S ，对任意的*,N n m ∈且n m <，则m n S S -的最大值是( ).A 21- .B 4 .C 8 .D 10二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡上相应位置.11.已知数列}{n a 满足()1111+-=++n n n a a )(*N n ∈，434=a ，则=5a . 12.123-=⋅=b a ,，则向量a 在向量b 方向上的投影为 .13.已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n 22-=，则这个数列的通项公式为 .14.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=， 60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高=AB ________.15.若等边A B C ∆的边长为32，平面内一点M 满足AC CB CM 3261-=,则=⋅MB MA ________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分) 已知),(21=a ，)2,3(-=，当k 为何值时 ①b a b a k 3-+与垂直； ②b a b a k 3-+与平行.17.(本小题满分12分) 在等比数列}{n a 中，,1625=a 公比3=q ，前n 项和为242=n S ，求首项1a 和项数n .18.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足53=A cos ，3AB AC ⋅=． ⑴求ABC ∆的面积； ⑵若1c =，求a 的值．19.(本小题满分12分) 已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和n S ，26,6133==S a . ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵记n a n b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T .20.(本小题满分13分) ABC ∆中内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量),s i n ,(B b m 3=),(cos 3c C n =，且a n m =⋅，若2=b ，3=ABC S ∆ ⑴求B =60； ⑵求ABC ∆的周长.621. (本小题满分14分) 对于数列}{n a ，定义}{n a ∆为数列}{n a 的一阶差分数列，其中n n n a a a -=+1∆，)(*N n ∈⑴若数列}{n a 的通项公式n n a n 213252-=)(*N n ∈，求}{n a ∆的通项公式； ⑵若数列}{n a 的首项是1，且满足n n n a a 2=-∆①求证：数列}{n n a 2为等差数列；②求}{n a 的前n 项和n S .。
7030高一数学第二学期半期考
xy Oxy Oxy OxyO高一数学第二学期半期考 高一数学(必修2)试题（完卷时间:120分钟；满分:150分）一、选择题（每小题12分，共60分，把答案填在Ⅱ卷中） 1. 直线10x y ++=的倾斜角是（ ）A.135°B. 45°C. 30°D. 60°2. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（ ）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与=+y x a 正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4. 下列命题中正确的是（ ） A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B ．棱锥的高线可能在几何体之外 C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥5. 已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γC ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥bD ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β6. 不论m 取任何实数，直线:20+-+=l mx y m 恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）A ． （-1，2） B.(-1,-2) C .(1 ,2) D. (1,-2)7. 已知直线3430+-=x y 与直线6140++=x my 平行，则它们之间的距离是（ ）A ．1710B ． 175C ．8D ．28. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面； ⑤若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ； 其中正确的命题的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.39. 若三棱锥P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点P 在底面ABC 上的射影一定是∆ABC的（ ）A. 外心B. 垂心C. 内心D. 重心10. 中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为（ ）A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：811. 直线x －2y +1=0关于直线x =1对称的直线的方程是（ ）A. x +2y －1=0B. x +2y －3=0C. 2x +y －1=0D. 2x +y －3=012. 已知点P 是圆(x －3)2+y 2=1上的动点，则点P 到直线y =x +1的距离的最小值是（ ）A. 3B. 22C. 22－1D. 22+1二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
天津市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
南开中学2022—2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷考试时间：100分钟I 卷(共32分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回.一、单项选择题(共8题，每题4分，共32分)1. 下面关于平面向量的描述不正确的有()A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量CD 与向量DC 长度相等D ．两个非零向量a ，b ，若a +b =a -b ，则a ⊥b 2. 己知复数z 满足i -1 z =2，给出下列四个命题其中正确的是()A ．z =2B ．z 的虚部为-1C ．z =1+iD ．z 2=-2i 3.以下说法正确的是()①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥4．在平行四边形ABCD 中，AC =1,2 ，BD =-3,2 ，则AD =()A ．-1,2B ．-2,4C ．1,-2D ．2,-45. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c 2cos B +1 ,sin C =45，则sin B =()A ．1825B ．-2425C ．-1825D ．24256．在△ABC 中，AB =1,AC =4,∠BAC =π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD ⋅BC 的值为()A ．-163B ．163C ．-4D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE =45AB ，连接AC 、EF 交于点P ，若AP =411AC ，则点F 在AD 上的位置为()A ．AD 边中点B ．AD 边上靠近点D 的三等分点C ．AD 边上靠近点D 的四等分点D ．AD 边上靠近点D 的五等分点8. 如图，△ABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD =2，BD =1，点M 为线段CE 上的动点，则MA ⋅MC 的最小值为()A ．-254B ．2516C ．-2516D ．254II 卷(共68分)二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)9. 若i 是虚数单位，复数1+3i 2-i 3=.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是侧棱AA 1的中点，则平面B 1CE 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的周长是.11.已知点B (6,5)，若向量AB 与a =(2,3)同向，|AB |=213，则点A 的坐标为.12.已知a ,b ,c 分别为ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边，a =3，且(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ，则ΔABC 面积的最大值为.13. 三棱锥P -ABC 的顶点都在球O 的球面上，且AB =2AC =12，∠ABC =π6，若三棱锥P -ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为.14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：米)，三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ,B ,C 三点，且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°, 由点C 测得点B 的仰角为15°,BB ′与CC′的差为100，由点B测得点A的仰角为45°, 则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′为米.三、解答题(共3题，共44分)15．(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A=2sin B，c=7，求△ABC的面积.16．（15分）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.17. （15分）如图所示，某市有一块空地△OAB，其中OA=2km，∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N，都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．(1)当AM=1km时，求此时防护网的总长度.(2)若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案1-4ABCA5-8DBBC9．1+i10．32+2511. (2，-1)12．94313．192π14．100(3+2)15．(1)2π3(2)32【分析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；(2)先利用正弦定理将sin A=2sin B转化为a,b的关系，再结合(1)中的条件求出a,b，最后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)∵sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C=1-sin2B-1-sin2C=sin2C-sin2B,∴由正弦定理得a2+ab=c2-b2，即a2+b2-c2=-ab∴cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又C∈0,π，∴C=2π3；(2)∵sin A=2sin B，∴由正弦定理得a=2b①，又a2+b2-7=-ab②，由①②得a=2,b=1，∴S△ABC=12ab sin C=12×2×1×sin2π3=32.16.17. 【答案】(1)6km；(2)3倍；(3)当θ=15°时，S△OMN最小值为6-33km2．【分析】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得OM的值，利用勾股定理可得三角形OAM是直角三角形，可求θ的值，求得△OAN是等边三角形，即可得解．(2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求MNAM=3，由于以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．(3)由已知利用正弦定理求出OM，ON，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△OMN的面积关于θ的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【详解】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得，OM=22+12-2×2×1×cos60°=3，所以OM2+AM2=3+1=4=OA2，所以三角形OAM是直角三角形，所以∠OMA=90°，θ=30°．由于∠MON =30°，所以∠AON =∠A =60°，所以△OAN 是等边三角形，周长为2×3=6，也即防护网的总长度为6km ．(2)θ=15°时，在三角形OAM 中，由正弦定理得OM sin60°=AM sin15°⇒OM =AM ⋅sin60°sin15°，在三角形OMN 中，∠ONA =180°-60°-15°-30°=75°，由正弦定理得，MN sin30°=OM sin75°⇒MN =OM ⋅sin30°sin75°=AM ⋅sin60°⋅sin30°sin75°sin15°．所以MN AM =sin60°⋅sin30°sin75°sin15°=sin60°⋅sin30°cos15°sin15°=sin60°⋅sin30°12sin30°=2sin60°=3．以O 为顶点时，△OMN 和△OAM 的高相同，所以S △OMN S △OAM =MN AM=3，S △ONN =3S △OAM ，即人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的3倍．(3)在三角形OAN 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得，ON sin60°=2sin 90°-θ=2cos θ⇒ON =2sin60°cos θ=3cos θ．在三角形OAM 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得OM sin60°=2sin 180°-60°-θ =2sin θ+60°⇒OM =2⋅sin60°sin θ+60° =3sin θ+60°．所以S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin30°=14⋅3cos θ⋅3sin θ+60° =34⋅1sin θ+60° ⋅cos θ=34⋅1sin θcos60°+cos θsin60° ⋅cos θ=34⋅112sin θcos θ+32cos 2θ=34⋅114sin2θ+32⋅1+cos2θ2=34⋅114sin2θ+34cos2θ+34=32⋅112sin2θ+32cos2θ+32=32⋅1sin 2θ+60° +32=3⋅12sin 2θ+60° +3．由于∠AOM =θ，0°<θ<60°，所以当2θ+60°=90°，θ=15°时，S △OMN 最小值为3⋅12+3=3⋅2-32+3 2-3=(6-33)km 2．。
2022—2023学年度广东省茂名市第一中学高一第二学期期中考试数学试题及答案
茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。
浙南名校联盟2024年高一下学期4月期中联考数学试卷
2023学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()34i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A ．4−B ．45−C ．4i −D ．4i 5−2．如图，直角梯形O A B C ′′′′满足O A O C ⊥′′′′，2O A A B ′′′′==，3O C ′′=，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）A ．7B ．5+C ．11+D ．3．已知函数()()ln ,01,31,1,x x f x f x x <≤ =−> 则103f等于（ ） A ．9ln3−B ．9ln3C ．27ln3−D ．27ln34．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．2πBCD 5．在ABC △中，D 是AB 边上的一点，且CD 平分ACB ∠，若CA a = ，CB b = ，2b = ，1a =，则AD =（ ） A ．1324a b−+B ．1233a b+C ．1133a b−+D ．2133a b +6．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1a c =−，1b c =+，若ABC △为钝角三角形，则c 的取值范围为（ ） A ．()2,4B ．()1,3C ．()0,3D ．()3,47．已知四边形ABCD 内接于圆O ，且满足1AB =，3AD =，2BC CD ==，则圆O 的半径为（ ） ABCD8．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
上海宝山世外学校高中国内部2023-2024学年高一年级第二学期数学学科期中考试试卷答案
上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期期中考试 高一数学 试卷(考试时间: 120分钟 满分: 150分)班级 学号 姓名一. 填空题(本大题共有12题, 满分54分, 第1~6题每题4分, 第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知角α的终边经过点P(-3,4), 则cosα= .【答案】−35.2、复数 11−i的共轭复数的模是 .【答案】223、在复数范围内，方程.x²-2x+2=0的解为 .【答案】 1+3或 1−i.4.在△ABC 中, AB =c ,AC =b , 若点D 满足 BD =2DC ,则 AD =¯.【答案】23b +1c 5.已知 sin (π2+2α)=−13,则cos(π+2α)= 【答案】−136 关于x 的实系数一元二次方程. x²+kx +3=0有两个虚根x ₁和x ₂，若 |x 1−x 2|=22,则实数k= .【答案】 k =2或 k =−2.7.已知向量ā在向量b 方向上的投影向量为-2b ，且 |b |=3,则 a ⋅b =¯..(结果用数值表示)【答案】 −18.8 已知点A 的坐标为( (43,1),，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π/3至OB ，则点B 的坐标为【答案】1329.正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分【答案】 2710.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点, 现测得AB=5km, AD=7km, ∠ABD=60°,∠CBD=23°,∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为 km(精确到0.1km).【答案】5.811.在△ABC中, a=2, b=3, 若该三角形为钝角三角形, 则边C的取值范围是 .【答案】(1,5)∪(13,5).12 将函数f(x)=4cos(π2x)和直线g(x)=x-1的所有交点从左到右依次记为.A₁,A₂,……,Aₙ,若P的坐标为(0,5),则|PA1+PA2+⋯+PAn|的值为 .【答案】30二、选择题(本大题共有4题, 满分18分, 第13、14题每题4分, 第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列说法正确的是 ( )A. 四边形一定是平面图形B.不在同一条直线上的三点确定一个平面C.梯形不一定是平面图形D.平面α和平面β一定有交线【答案】B14. 设z₁、z₂为复数, 则.z21+z22=0是z₁=z₂=0的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C15.设函数f(x)=asinx+bcosx,其中a>0,b>0,若f(x)≤f(π4)对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是 ( )Af(π2)>f(π6)в f(x)的图像关于直线x=3π4对称C. f(x)在[π4,5π4]上单调递增D.过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像必有公共点【答案】D16 给定方程: (12)x+sin x−1=0,给出下列4个结论：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x₀是方程的实数根，则x₀>−1.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知复数z是纯虚数，(z+2)²−8i是实数.(1) 求z; (2) 若1z1=1z+2−z,求|z1|.【答案】z=2i，2824118. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知平面内给定三个向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1).(1) 若a=mb−nc,求实数m，n的值；(2) 若(a−kc)⋅(kb)<6,求实数k的取值范围.【答案】m=59,n=−89, (−2,32)19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.(1) 若c=2,C=π3,且△ABC的面积.S=3,求a, b的值;(2) 若sinC+sin(B--A)=sin2A, 判断△ABC的形状.【答案】a=b=2,△ABC 为等腰或直角三角形20. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知函数 f (x )=3sin ωx cos ωx +sin 2ωx−12(其中常数ω>0)的最小正周期为π.(1) 求函数y=f(x)的表达式;(2)作出函数y=f(x),x∈[0,π]的大致图像,并指出其单调递减区间;(3) 将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度得到函数y=g(x)的图像,若实数x ₁,x ₂满足. f (x₁)g (x₂)=−1,且 |x₁−x₂||的最小值是 π6,求φ的值.【答案】 y =f (x )=sin (2x−π6)， [π3 , 5π6]，φ=π3或 2π3【解析】(1)∵函数f (x )=3sin ωx cos ωx +sin 2ωx−12=32sin 2ωx +1−2cos 2ωx2−12=sin (2ωx−π6)(其中常数 ω>0)的最小正周期为 2π2ω=π,∴ω=1.函数 y =f (x )=sin (2x−π6).(2)作出函数 y =f (x ),x ∈[0,π]的大致图像:作图：2x-π6-π6π2π3π211π6xπ12π37π125π6πf(x)-12010—1-12作图：结合图像，可得其单调递减区间为[π3,5π6].(3)将y=f(x)=sin(2x−π6)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数y=g(x)=sin(2x+2−π6)的图像，若实数x₁, x₂满足f(x₁)g(x₂)=−1,则f(x₁)与g(x₂)一个等于1，另一个等于.−1,且|x₁−x₂|的最小值为|T2−φ|=π6,即|122π2−φ|=π6求得φ=π3或2π3.21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)在平面直角坐标系中，我们把函数y=f(x)，x∈D上满足.x∈N°,y∈N*(其中N⁺表示正整数)的点P(x,y)称为函数y=f(x)的“正格点”.(1)写出当m=π2时, 函数f(x)=sin mx, x∈R图像上所有正格点的坐标;(2)若函数f(x)=sinmx, x∈R,m∈(1,2)与函数g(x)=lgx的图像有正格点交点, 求m的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由.(3) 对于 (2) 中的m值和函数f(x)=sinmx, 若当x∈[0,59]时，不等式log a x>22f(x)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(4k+1,1)(k∈N),4,(2581,1)【解析】(1) 因为 m =π2,一所以 f (x )=sin π2x,所以函数 f (x )=sin π2x 的正格点为(1,1),(5,1), (9,1), ……, (4k+1,1)(k∈N).(2)作出两个函数图像，如图所示：可知函数. f (x )=sinmx,x ∈R,与函数 g (x )=lg x 的图像只有一个“正格点”交点(10,1),所以 2kπ+π2=10m,m =4k +120π, k ∈Z,又 m ∈(1,2),可得 m =9π20,根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4;(3)由 (2) 知 f (x )=sin 9π20x,x ∈(0,59]所以 9π20x ∈(0,π4],所以f (x )=sin 9π20x ∈(0,22],故22f (x )∈(0,12],当 a >1时，不等式 log a x >22f (x )不能恒成立，当 0<a <1时， 由下图可知log a 59>22sin π4=12,由loga 59>12=logaa,.综上，实数a的取值范围是2581<a<1。
安徽省马鞍山市重点中学2022-2023学年度高一下学期期中考试数学试题及参考答案
马鞍山市重点中学2022-2023学年度高一第二学期期中考试数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数12i z =-+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --2．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 3．已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，则AE AC ⋅等于（ ） A ．6B ．9C ．12D ．154．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．235．一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．103海里 B ．203海里 C ．102 海里 D ．202海里6．已知向量，若a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．52D ．2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知向量()()()2,13,21,1a b c =-=-=，，，则（ ） A ．//a b B ．()a b c +⊥ C ．a b c +=D ．53c a b =+10．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的模为13C ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限 11．在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >B ．若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形 C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形D ．若()()=0，则ABC 为直角三角形12．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若3a =3A π=，则（ ）A ．1R =B 32b <C ．bc 的最大值为3D ．223b c bc ++的取值范围为(]11,15三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．）13．已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=________．14．ABC 的内角A ,B ,C 的对边α,b ,c ,已知30B ︒=,3b =,3c =,则A =________. 15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN ．现选择点A 和另一座山顶点C 作为测量观测点，从A 测得点M 的仰角45MAN ∠=︒，点C 的仰角30CAB ∠=︒，测得75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，已知另一座山高400BC =米，则山高MN =_______米．16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，若ABC 的面积为2，则当ABC 的周长取到最小值时，ba=______．四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．） 17．已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值.18．已知：复数()22i1i 1iz =+++，其中i 为虚数单位． (1)求z 及z ；(2)若223i z az b ++=+，求实数,a b 的值．19．在ABC 中，sin 23sin C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63，求ABC 的周长．20．如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，12AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =，AD b =．（1）用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）若AF t AD =，求实数t 的值．21．在ABC 中，3A π=，2b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B 的大小； （2）ABC 的面积．条件①：2222b ac a c +=+；条件②：cos sin a B b A =．22．在锐角△ABC 中，23a =，(2)cos cos b c A a C -=， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围.参考答案：1．D【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案. 【详解】因为复数12i z =-+，则12i z =--， 故选：D 2．D【分析】先求得a b -，然后求得a b -.【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以()22435-=+-=a b .故选：D 3．D【分析】数形结合知3AB AD ==，AB DC =，0AB AD ⋅=，2233DE DC AB ==，利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.【详解】方法一：因为四边形ABCD 为边长为3的正方形，所以3AB AD ==，AB DC =，0AB AD ⋅=，因为2DE EC =，所以2233DE DC AB ==， 则()()()()23AE AC AD DE AB AD AB AD AB AD ⋅=++=++ 2232215AB AB AD AD =⋅++=； 方法二：以D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为2DE EC =，所以点E 为线段DC 上靠近点C 的三等分点，则(0,0),(0,3),(3,0),(2,0)D A C E ，因为(2,3),(3,3)AE AC =-=-，所以6915AE AC ⋅=+=.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，属于基础题. 4．A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．C【分析】根据题意画出草图，确定BAC ∠、ABC ∠的值，进而可得到ACB ∠的值，根据正弦定理可得到BC 的值． 【详解】解：如图，由已知可得，30BAC ∠=︒，3570105ABC ∠=︒+︒=︒，140202AB =⨯=， 从而1801803010545ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 在ABC 中，由正弦定理sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，可得1sin30sin 452AB BC =⨯︒==︒ 故选：C ． 6．D【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出λ的取值范围. 【详解】()()()1,2,1,2a b λλλλλ+=+=++， 由题意得：()()1220λλ+++>且212λλ++≠，解得：53λ>-且0λ≠，故选：D 7．A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 8．C【分析】构建直角坐标系，令(cos ,sin )AP θθ=，[0,2)θπ∈，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得cos 2sin θμθλ=⎧⎨=⎩，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：(0,1),(2,0)AB AD ==，令(cos ,sin )AP θθ=，[0,2)θπ∈，由(),R AP AB AD λμλμ=+∈可得：cos 2sin θμθλ=⎧⎨=⎩，则cos 5sin )2θλμθθϕ+=+=+且1tan 2ϕ=，所以当sin()1θϕ+=时，λμ+5. 故选：C 9．BD【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可． 【详解】因为()()221310⨯--⨯-=≠，所以,a b 不平行，则A 错； 由()()()1,11,1110a b c +⋅=-⋅=-+=，所以()a b c +⊥，则B 正确； 由()1,1a b =-+，()1,1c =，故C 错；由()()53109,561,1a b c +=--+==，故D 正确. 故选：BD 10．AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+， 所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以23||2313z =+=z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误． 故选：AB 11．ACD【分析】利用正弦定理判断选项A ，利用数量积的性质判断选项B 和C ，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D ．【详解】解：A ：若a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，sin sin A B ∴>，则 A 正确；B ：若0a b ⋅>，则cos()0ACB π-∠>，cos 0ACB ∴∠<，即ACB ∠为钝角，ABC ∴为钝角三角形，故 B 错误；C ：若0a b ⋅=，则AC BC ⊥，ABC ∴为直角三角形，故 C 正确；D ：若()()0b c a b a c +-⋅+-=，则22()0b a c --=，2222a c b a c ∴+-=⋅，222cos 2a c b B a c+-=- ，由余弦定理知222cos 2a c b B a c+-=，cos cos B B ∴=-，则cos 0B =， (0,)B π∈，2B π∴=，ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选：ACD ． 12．ACD【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知1sin (,1)2B ∈，结合2sin b R B =即可求范围；由余弦定理及基本不等式求bc 的最大值，注意取最大的条件；由C 分析有222234()9b c bc b c ++=+-，结合正弦定理边角关系及,B C 的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围. 【详解】由题设，外接圆直径为22sin aR A==，故1R =，A 正确； 锐角ABC 中3090B ︒<<︒，则1sin (,1)2B ∈，故2sin (1,2)b R B =∈，B 错误；22222313cos 12222b c a b c A bc bc bc+-+-===≥-，则3bc ≤，当且仅当b c ==C正确；由C 分析知：222234()9b c bc b c ++=+-，而2sin ,2sin b B c C ==，又2(,)362B C πππ=-∈且(,)62C ππ∈，则22224(sin sin )42(cos 2cos 2)b c B C B C +=+=-+=42cos[()()]2cos[()()]B C B C B C B C -++--+-- 44cos()cos()B C B C =-+-242cos(2)3C π=+-，而22(,)333C πππ-∈-， 所以21cos(2)(,1]32C π-∈，则242cos(2)(5,6]3C π+-∈， 所以223(11,15]b c bc ++∈，D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：D 选项222234()9b c bc b c ++=+-，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将22b c +转化为三角函数性质求范围.13．35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得， ()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．14．90︒或30︒【解析】由正弦定理求A ，注意有两解．【详解】由正弦定理sin sin b c B C =得sin sin c B C b == 因为c b >，所以C B >，所以60C =︒或120°． A =90°或30°． 故答案为：90°或30°．【点睛】本题考查正弦定理，掌握正弦定理是解题关键．但要注意用正弦定理解三角形可能会有两解．15．【分析】在直角ABC 得AC ，在AMC 中，由正弦定理求得AM ，再在直角AMN 中，求得MN ．【详解】显然MN 与CB 平行且与,,AN AB BN 都垂直，30CAB ∠=︒，则2800AC BC ==， AMC 中，180756045AMC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin AM AC ACM AMC =∠∠得800sin 60sin 45AM =︒︒，AM =又直角AMN 中，45MAN ∠=︒，所以MN AM =故答案为：16 【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答. 【详解】由题意得4sin 5A =，因为1sin 22ABC S bc A ==，则5bc =，由余弦定理2223cos 25b c a A bc +-==，得22()16b c a +=+，即b c +=，则a b c a ++=而函数()f x x =()0,∞+上单调递增，即当a 最小时，ABC 的周长最小， 显然2216()420a b c bc +=+≥=，当且仅当b c =“=”，此时min 2a =，所以当ABC 的周长取到最小值时，b a =．17．(1)4(5,)D - (2)13k =-【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解； （2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -，所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--，因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩， 所以4(5,)D -.（2）由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =，所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=，因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-. 所以实数k 的值为13-.18．(1)13i z =+，z =(2)1a =，9b =【详解】（1）()()()()222i 1i 2i 1i 2i 2i i i 13i 1i 1i 1i z -=++=+=+-=+++-，则z （2）由（1）得：()()()()213i 13i 86i 3i 863i 23i a b a a b a b a ++-+=-++-+=+-+-=+， 82633a b a +-=⎧∴⎨-=⎩，解得：19a b =⎧⎨=⎩. 19．(1)6π (2)663【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=. （2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a ===，解得a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC的周长为6a b c ++=.20．（1）2AB b a =-，423EB a b -+=；（2）12t =． 【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）用,a b 分别表示向量FB ，EB ，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值.【详解】（1）由题意，D 为BC 的中点，12AE EC =，可得13AE AC =，AC a =，AD b =． ∵2AB AC AD +=，∴2AB b a =-，∴–EB AB AE = 123b a a =-- 423a b =-+ （2）∵AD A tb F t ==，∴–FB AB AF =()2a t b =-+- ∵423EB a b -+=，FB ，EB 共线， 由平面向量共线基本定理可知满足12423t --=-， 解得12t =． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 21．选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】选择条件①时：（1）利用余弦定理求出cos B 和B 的值；（2）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sin C ，计算ABC 的面积．选择条件②时：（1）由正弦定理求出tan B 和B 的值；（2）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sin C ，计算ABC 的面积．【详解】选择条件①：222b a c =+，（1）由222b a c =+，得222a c b +-=，所以222cos 2a c b B ac +-===； 又(0,)B π∈， 所以4B π=；（2）由正弦定理知sin sin a b A B =，所以sin sin b A a B==所以()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==所以ABC 的面积为11sin 22ABC S ab C ==△． 选择条件②：cos sin a B b A =．（1）由正弦定理得sin sin a b A B=， 所以sin sin a B b A =；又cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，所以tan 1B =；又(0,)B π∈， 所以4B π=；（2）由正弦定理知sin sin a b A B =，所以sin sin b A a B==所以()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==所以ABC 的面积为11sin 22ABC S ab C ==△． 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．22．（1）3π.（2）(6+ 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得1cos 2A =，可得3A π=； （2）利用正弦定理将l 表示为B 的函数，根据锐角三角形得B 的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）∵(2)cos cos b c A a C -=，2cos cos cos b A a C c A ∴=+，所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，所以2sin cos sin()B A A C =+，所以2sin cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =， 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=. （2）4sin a A ==， 所以4sin sin b c B C==,所以4sin b B =，24sin 4sin()3c C Bπ==-， 所以24sin 4sin()3l a b c B Bπ=++=+-6sinB B =+ )6B π=+ 因为△ABC 是锐角三角形，且3A π=，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<， 所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈， 所以(6l ∈+.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
余姚2023学年第二学期期中检测高一数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i22i z -=+，则z z -=（）A .i- B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（）A. B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意计算可得O C ''，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形O A B C ''''中，//O A B C ''''，24,2O A B C A B ''''='=='，则O C ==''直角梯形O A B C ''''对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，则有//,,24,242BC OA OC OA OA BC OC O C ''⊥====，所以该平面图形的高为42.故选：C.3.在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3BE ED = ，则AE =（）A.1142AD AC + B.1124AD AC +C.3144AD AC +D.1344AD AC +【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O 是AC 的中点，12AO AC ∴= ，又由3BE ED =可得E 是DO 的中点，11112224AE AD AO AD AC ∴=+=+ .故选：B.4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断即可.【详解】依题意可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生；对于A ：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A 正确；对于B ：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B 错误；对于C ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C 错误；对于D ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D 错误.故选：A5.已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．则AB 在BC上的投影向量为（）A.10310,55⎛ ⎝⎭B.10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.13,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．所以()1,1AB =-uu u r，()1,3BC =--，5cos ,5AB BC AB BC AB BC⋅〈〉==-⋅，所以向量AB 与BC的夹角为钝角，因此量AB 在BC上的投影向量与BC 方向相反，而cos ,55AB AB BC ⋅〈〉==，155BC == ，所以AB 在BC 上的投影向量为()11131,3,5555BC ⎛⎫-⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，故选：C6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对应的边，其公式为：ABCS ==若22sin sin C c A =，3cos 5B =，a b c >>，则利用“三斜求积术”求ABC 的面积为（）A.54B.34 C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可得2ac =，由余弦定理可得222625a cb +-=，在结合已知“三斜求积术”即可求ABC 的面积.【详解】解：因为22sin sin C c A =，由正弦定理sin sin a c A C=得：22c c a =，则2ac =又由余弦定理2223cos 25a cb B ac +-==得：22236255a c b ac +-==则由“三斜求积术”得45ABC S == .故选：D.7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.236,48s x =<B.236,48s x =>C.236,48s x ><D.236,48s x <>【答案】B 【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得()()()2221248148363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，而()()()4221222813628843668035s x x x +⎡-⎤=-+>⎣⎦-+ .【详解】设收集的48个准确数据为1248,,x x x ，所以124834383650x x x +++++= ，所以12481728x x x +++= ，所以124824483650x x x x +++++== ，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()22212481363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，()()()42222222183636(2436)(48136536)0s x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-++-+-+- ()()()222281413628848365360x x x ⎡⎤=+-+-+->⎣⎦ ，故选：B.8.在ABC 中，π6A =，π2B =，1BC =，D 为AC 中点，若将BCD △沿着直线BD 翻折至BC D '△，使得四面体C ABD '-的外接球半径为1，则直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值是（）A.3B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BC D '△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD △外接圆半径，由此可知ABD △外接圆圆心O 即为四面体C ABD '-外接球球心，由球的性质可知OG ⊥平面BC D '，利用C OBD O C BD V V ''--=可求得点C '到平面ABD 的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A =，π2B =，1BC =，2AC ∴=，又D 为AC 中点，1AD CD BD ∴===，则1BC C D BD ''===，即BC D '△为等边三角形，设BC D '△的外接圆圆心为G ，ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 中点H ，连接,,,,,C H OH OG OB OC OD ''，π6A =，1BD =，112sin BDOB A∴=⋅=，即ABD △外接圆半径为1，又四面体C ABD '-的外接球半径为1，O ∴为四面体C ABD '-外接球的球心，由球的性质可知：OG ⊥平面BC D '，又C H '⊂平面BC D '，OG C H '∴⊥，22333C G CH '===，1OC '=，3OG ∴=；设点C '到平面ABD 的距离为d ，由C OBD O C BD V V ''--=得：1133OBD C BD S d S OG '⋅=⋅ ，又OBD 与C BD ' 均为边长为1的等边三角形，3d OG ∴==，直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值为3d BC ='.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB 【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解.【详解】对于A ，平均数为12334536+++++=，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为3332+=，A 正确；对于B ，数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，B 正确；对于C ，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为3918312÷=++，C 错误；对于D ，乙数据的平均数为56910575++++=，乙数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.445⎡⎤-+-+-+-+-=>⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是甲组，D 错误.故选：AB.10.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，22sin a bc A =，下列说法正确的是（）A.若1a =，则14ABC S =△B.ABC 外接圆的半径为bc aC.c b b c+取得最小值时，π3A =D.π4A =时，c b b c+值为【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由正弦定理化简2sin a b C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，因为22sin a bc A =，由正弦定理可得sin 2sin sin a A b A C =，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则2sin a b C =，又因为1a =，故1sin 2C b =，故三角形面积为1111sin 12224ABC S ab C b b ==⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B ，2sin a b C =，则sin 2aC b=，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin cR C=，故22c bc R a a b==⨯，故B 正确；对C ，因为22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 42A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b c c b +取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b+的值为，故D 正确；故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B FB D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.【答案】19【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数为27n =，以及所求事件中包含的基本事件个数为3m =，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为3327n ==，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为3m =，则三人恰好参加同一个社团的概率为31279m P n ===.故答案为：19.13.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为______.【答案】3【解析】【分析】利用//CP CD ，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理把AP 、CD 用已知向量AB 、AC表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．【详解】 2AD DB =，∴23AD AB = ，//CP CD，∴存在实数k ，使得CP kCD = ，即()AP AC k AD AC -=- ，又 12AP mAC AB =+ ，则()12123m AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，∴11223m kk -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，34k ∴=，14m =，则()112423AP CD AP AD AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221111611π242cos 33433433AB AC AB AC =--⋅=--⨯⨯ ，故答案为：3．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为______.【解析】【分析】确定正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 与1AB C V 的交点E ，求出EP 确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥，而BD AC ⊥，1DD BD D =I ，1DD ，BD ⊂平面1BDD ，于是AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1AC AB A ⋂=，AC ，1AB ⊂平面1AB C ，因此1BD ⊥平面1AB C ，令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得111133AB C ABC S BE S BB ⋅=⋅ ，即)23142BE AB ⋅⋅=，解得BE AB ==而1BD ==1D E =，因为点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则EP ==因此点P 的轨迹是以点E 为半径的圆在1AB C V 内的圆弧，而1AB C V 为正三角形，则三棱锥1B AB C -必为正三棱锥，E 为正1AB C V 的中心，于是正1AB C V 的内切圆半径111323232EH AB =⨯⨯=⨯=，则cos 2HEF ∠=，即π6HEF ∠=，π3FEG ∠=，所以圆在1AB C V 内的圆弧为圆周长的12，即点P 的轨迹长度为12π2⋅=【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求||z ；（2）若复数2(i)z m +在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（2）()2,2-【解析】【分析】（1）设=+i ,R z a b a b ∈，，根据复数代数形式的乘法法则化简2i z +与(12i)z -，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出a b ，，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长；（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设=+i ,R z a b a b ∈，，()2i=2i z a b +++，因为2i z +为实数，所以20b +=，即2b =-所以(12i)(2i)(12i)42(1)i z a a a -=--=--+，又因为(12i)z -为纯虚数，所以40a -=即4a =，所以42z i =-，所以z ==.【小问2详解】由（1）知，42iz =+所以222(i)(42i i)16(2)8(2)i m m z m m +=++=-+++，又因为2(i)z m +在复平面上所对应的点在第一象限，所以216(2)08(2)0m m ⎧-+>⎨+>⎩，解得：22m -<<所以，实数m 的取值范围为()2,2-.16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知：数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为90820.20.40.5210-+⨯=，则10000.52520⨯=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖17.在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-；②2cos 0cos b a A c C--=；③向量()m c = 与(cos ,sin )n C B = 平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足______.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形,且2c =,求ABC 周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若AB 边中点为D ,求中线CD 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）【答案】（1）条件选择见解析,3π（2）2,6]+（3）3CD <≤【解析】【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和2c =，把ABC 周长转化成π4sin 26A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后再求解范围.（3）根据中线公式和正弦定理，把CD 转化成三角函数求解即可.【小问1详解】选①：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，()()()a c a c b a b ∴+-=-,即222c a b ab =+-，1cos 2C ∴=，()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选②：2cos 0cos b a A c C--=，2sin sin cos sin cos B A A C C-∴=,2sin cos sin cos sin cos B C A C C A ∴-=，1cos 2C ∴=,()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选③：向量()m c = 与(cos ,sin )n C B =平行，sin cos c B C ∴=,sin sin cos C B B C ∴=,tan C ∴=()0,πC ∈ ,π3C ∴=.【小问2详解】π,23C c == ,sin sin sin a b c A B C==,23sin )2sin())2sin )232a b c A B A A A A π∴++=++=+-+=+4sin(26A π=++. ABC 为锐角三角形,π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<，πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.ABC ∴周长的取值范围为2,6]+.【小问3详解】224a b ab =+- ，又由中线公式可得222(2)42()2(4)CD a b ab +=+=+，21624442·sin sin 33CD B A A π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭2161161142·sin cos sin 42·sin 23223426A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即254πsin 2336CD A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<,ππ5π2666A ∴<-<.3CD <≤.18.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，ABAC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，M ，N 分别是BC ，BA 中点.（1）求1A N 与1CC 所成角的余弦值；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成成角的余弦值；（3）求1CC 与平面1C MA 所成角的正弦值.【答案】（1）45（2）23（3）15【解析】【分析】（1）根据题意，证得11//MN A C 和11//A N MC ，得到1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，利用余弦定理，即可求解；（2）过M 作ME AC ⊥，过E 作1EF AC ⊥，连接1,MF C E ，证得ME ⊥平面11ACC A ，进而证得1AC ⊥平面MEF ，得到平面1C MA 与11ACC A 所成角即MFE ∠，在直角MEF 中，即可求解；（3）过1C 作1C P AC ⊥，作1C Q AM ⊥，连接,PQ PM ，由1C P ⊥平面AMC ，得到1C P AM ⊥和1C Q AM ⊥，得到AM ⊥平面1C PQ 和PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，求得23PR =，求得C 到平面1C MA 的距离是43，进而求得1CC 与平面1C MA 所成角.【小问1详解】解：连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，得//MN AC ，且12AC MN ==，在三棱台111ABC A B C -中，可得11//A C AC ，所以11//MN A C ，由111MN A C ==，可得四边形11MNAC 是平行四边形，则11//A N MC ，所以1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，由111CC A N C M CM ====，可得14cos5CC M ∠=.【小问2详解】解：过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ，连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又因为ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，因为1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，且,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，可得1AC MF ⊥，所以平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠，又因为12AB ME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=所以11sin EF CAC =⨯∠=，在直角MEF 中，90MEF ∠=，则MF ==2cos 3EF MFE MF ∠==.【小问3详解】解：过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R ，由11C A C C ==，1C M ==12C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，因为1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ ，又因为PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，因为1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，所以PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅==，因为2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43，设所求角为θ，则43sin 15θ==.19.如图①，在矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为CD 的中点，如图②，将AED △沿AE 折起，点M 在线段CD 上．（1）若2DM MC =，求证AD ∥平面MEB ；（2）若平面AED ⊥平面BCEA ，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥B DEM -的体积，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，169【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】如图，连AC ，交EB 于G ，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，AB EC ∴∥，且2AB EC =，2AG GC ∴=，又2DM MC =，AD MG ∴∥，又MG ⊂平面MEB ，AD ⊄平面MEB ，AD ∴∥平面MEB ．【小问2详解】存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直.在矩形ABCD 中，12DE DA AB ==，45DEA BEC ∴∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒，即AE EB ⊥，已知平面AED ⊥平面BCEA ，又平面AED 平面BCEA AE =，BE ∴⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，BE DE ∴⊥．①取AE 中点O ，则DO AE ⊥，平面AED ⊥平面BCEA ，平面AED 平面BCEA AE =，DO ∴⊥平面BCEA ，由（1）知当2DM MC =时，AD MG ∥，AD DE ⊥ ，MG DE ∴⊥．②而BE MG G ⋂=，,⊂BE MG 平面MEB ，DE ∴⊥平面MEB ，又DE ⊂平面DEB ，∴平面DEB ⊥平面MEB ．即当2DM MC =时，平面DEB 与平面MEB 垂直．依题意有DE AD ==4AE =，2DO =，(2222121116233333329B DEM B DEC D BEC BEC V V V DO S ---∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷
2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。
2021-2022学年广东省深圳市光明区高级中学高一下学期期中考试数学试卷含详解
光明区高级中学2021-2022学年第二学期期中考试试题高一数学一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 是虚数单位，复数4i1i -等于（）A.22i-- B.22i- C.22i-+ D.22i+2.已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（）A.()1,3- B.()3,1- C.()1,1- D.()2,2-3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（）A.0.12B.0.88C.0.28D.0.424.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，b =，3B π∠=，则A ∠为（）A.4π B.34π C.4π或34π D.6π5.已知5a ＝，4b ＝，且·12a b - ＝，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.35-b B.35bC.－34b D.34b 6.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）．A.13B.512C.49D.127.设D 为△ABC 所在平面内一点，且2BC CD =，则()A.1322=- AD AB ACB.1322AD AB AC=-+C.3122=+ AD AB AC D.3122AD AB AC =- 8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD为边长为P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（）A.[]6,0- B.25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]7,0-二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A.0a b a b ⊥⇔⋅=B.,λλ⇔∃∈=∥a b R b aC .若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = D.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球中至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A 与D 为对立事件B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件()1P C E = 11.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．下列四个论断正确的是()A.若A B >，则sin sin A B >B.()cos cos B C A+=C.若sin cos a bA B =，则π4B = D.60B =︒，4c =，2b =此三角形无解12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)2060,元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45B.估计中位数是4009C.估计平均数为43D.支出在[)50,60的频率为0.25三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设x R ∈，若复数()()132i z x x =++-在复平面上对应的点位于第四象限，则x 的取值范围是_________.14.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1500人､高二1200人､高三1800人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是___________.15.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为___________．16.在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ．（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．18.甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．19.已知(2,1)a =-，(1,)b m = ，(2,)c n = .（1）若a b ⊥ ，且()//a b c + ，求实数m ，n 的值；（2）若1n =，且()c a -与b 的夹角为60︒，求实数m 的值.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos ,63==B c .（1）若ABC 的面积为103，求a ；（2）若AC边上的中线BD =，求sin A 的值.21.在ABC 中，a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．22.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]频数（天）88162424a32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.光明区高级中学2021-2022学年第二学期期中考试试题高一数学一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 是虚数单位，复数4i1i -等于（）A.22i --B.22i- C.22i-+ D.22i+C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：4i 4i(1i)4i(1i)22i 1i (1i)(1i)2++===-+--+，故选：C ．2.已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA += （）A.()1,3- B.()3,1- C.()1,1- D.()2,2-D【分析】根据向量线性运算可得+=AB OA OB ，由坐标可得结果.【详解】()2,2+=+==-AB OA OA AB OB 故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（）A.0.12 B.0.88C.0.28D.0.42D【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解.【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，所以甲、乙两地都不下雨的概率为0.70.60.42p =⨯=故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率，属于基础题.4.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，b =，3B π∠=，则A ∠为（）A.4π B.34π C.4π或34π D.6πA【分析】已知两边和其中一边的对角，可用正弦定理求另一边的对角，其中要注意角的取值情况.【详解】在ABC 中，2a =，b =，3B π∠=，由正弦定理得：sin sin a b A B=，2sin sin 23sin 2a B A b π∴==a b < A B ∴<4A π∴=故选：A 5.已知5a ＝，4b ＝，且·12a b - ＝，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.35-bB.35bC.－34b D.34b C【分析】向量a 在向量b 上的投影向量等于与向量b 同向的单位向量和向量a在向量b 上的投影(实数)的向量的数乘积()2·a b bb，根据已知条件计算即得.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()2·123444a b b b b b=-=-⨯ ,故选：C6.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）．A.13B.512C.49D.12B【分析】列举出所有情况，找出第一次点数大于第二次点数的情况，按照古典概型求解即可.【详解】不妨用(),x y 表示两次投掷的基本事件，其中x 代表第一次投掷的点数，y 代表第二次投掷的点数．故所有投掷的结果所包含的基本事件有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，……，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共36种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，共15种．所以第一次点数大于第二次点数的概率1553612P ==．故选：B ．7.设D 为△ABC 所在平面内一点，且2BC CD =，则()A.1322=- AD AB ACB.1322AD AB AC=-+C.3122=+ AD AB ACD.3122AD AB AC=- B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于2BC CD =，所以D 在BC 的延长线上，12AD AC CD AC BC =+=+ ()113222AC AC AB AB AC =+-=-+.故选：B8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（）A.[]6,0- B.25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]7,0-C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量,AP CP的坐标，计算AP CP ⋅，结合二次函数的知识求得结果.【详解】由题意可知，BCD △为等边三角形，则有60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，在Rt △ABD 中，3tan 3023AD BD =⨯== ,24AB AD ==；如图以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则有()0,4A ，()3,0C ，由于60DBC ∠=︒，故可设P 点坐标为()3x ,且03x ≤≤，所以()34AP x x =- ，()23,3CP x x =-，所以(23343AP CP x x x x ⋅=-+-223346344274x x x ⎛- ⎭=⎝=--，因为03x ≤≤，当334x =时，22743344x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭-取得最小值274-，当0x =时，22743344x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭-取得最大值为0，所以2704AP CP -≤⋅≤，故选：C.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A.0a b a b ⊥⇔⋅= B.,λλ⇔∃∈=∥a b R b a C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ AB【分析】A ．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.【详解】A.因为a b ⊥ ，所以,90= a b ，则0a b ⋅= ，故正确；B.若,a b为非零平面向量，且ab，由共线向量定理知：,R b a λλ∃∈=，故正确；C.若a c b c ⋅=⋅ ，则()0c a b ⋅-= ，则()c a b ⊥- ，故错误；D.()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，故错误；故选：AB10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球中至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A 与D 为对立事件 B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件()1P C E = AD【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，逐项验证得出答案.【详解】 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故选项A 正确；B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故选项B 错误；C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故选项C 错误；P （C ）631=155=-，P （E ）1415=，8()15P CE =，从而()P C E P = (C )P +(E )()1P CE -=，故选项D 正确故选：AD ．11.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．下列四个论断正确的是()A.若A B >，则sin sin A B >B.()cos cos B C A+=C.若sin cos a bA B =，则π4B = D.60B =︒，4c =，2b =此三角形无解ACD【分析】根据正弦定理和三角形性质可判断ACD ，根据三角形内角和及三角函数诱导公式可判断B ．【详解】对于A ，若A B >，则a >b ，根据正弦定理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，若()()cos cos πcos B C A A +=-=-，故B 错误；对于C ，若sin cos a b A B =，则根据正弦定理得sin sin sin cos A BA B =，即tan B =1，∵B 是三角形内角，故π4B =，故C 正确；对于D ，若60B =︒，4c =，2b =，则根据正弦定理得342sin 1sin sin 2b cC B C⨯=⇒==>，故△ABC 无解，故D 正确．故选：ACD ．12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)2060,元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45B.估计中位数是4009C.估计平均数为43D.支出在[)50,60的频率为0.25CD【分析】利用最高矩形的中点求得众数，判断出A ；根据中位数是把频率分布直方图分成面积相等的两部分的平行于y 轴的直线横坐标，求得中位数，判断出B ；利用矩形的面积和求得支出在[)50,60的频率，判断出D ，利用平均数公式求得平均数，判断出C ．【详解】解：最高的矩形为第三矩形，其横坐标中点为45，故估计众数为45，A 正确；第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是10.700.30-=；前面两个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4:5即可，∴中位数是4400401099+⨯=,B 正确．由()1100.010.0240.0360.3-⨯++=，则[)50,60部分的频率为0.3，故D 错误；平均数为()100.01250.024350.036450.35543.6⨯⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 错误；故选：CD ．三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设x R ∈，若复数()()132i z x x =++-在复平面上对应的点位于第四象限，则x 的取值范围是_________.2-13⎛⎫⎪⎝⎭,【分析】根据复平面各象限的复数的特征，得10320x x +>⎧⎨-<⎩，解不等式组得概念即可求出结果.【详解】因为复数()()132i z x x =++-在复平面上对应的点位于第四象限，所以10320x x +>⎧⎨-<⎩，解得213x -<<，故答案为：21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.14.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1500人､高二1200人､高三1800人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是___________.20【分析】分层抽样，高三按比例180021500120018005=++抽取即可.【详解】由题知高三占比180021500120018005=++，所以抽取250205⨯=人.故答案为：20.15.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为___________．3【分析】根据条件求出x ，然后可算出答案.【详解】由题意，可得该组数据的众数为2，所以232322x +=⨯=，解得4x =，故该组数据的平均数为122451046+++++=．所以该组数据的方差为2222221(14)(24)(24)(44)(54)(104)96⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，即标准差为3．故答案为：316.在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+，∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+，∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++，∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=，因为23sin sin 22sin 2b A C B B B ==⨯=，∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号，∴ac 的最小值为为12.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 22sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ．（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．（1）a =4（2）54【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.【详解】解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；（2）由12z z =()()()()134134343434342525ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数，得{340340a a -=+≠，即34a =，∴|z 1|=|314i -54=．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．18.甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．（1）13（2）12【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【小问1详解】乙随机抽取的两张卡片，基本事件为{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，其中和为偶数的事件为：{}{}1,3,2,4，所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为2163=【小问2详解】甲、乙分别取出一张卡，基本事件为()()()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,4,1,4,2,4,3,4,4，其中乙的数字小的事件为：()()()()2,1,4,1,4,2,4,3，所以乙获胜的概率为4182=.19.已知(2,1)a =-，(1,)b m = ，(2,)c n = .（1）若a b ⊥ ，且()//a b c + ，求实数m ，n 的值；（2）若1n =，且()c a -与b 的夹角为60︒，求实数m 的值.（1）2m =，6n =-；（2）m =【分析】（1）根据a b ⊥ ，得2110m -⨯+⨯=，根据()//a b c + ，得23(1)0n ⨯--⨯=，即可得答案；（2）根据向量夹角公式可得()cos 60||c a bc a b -⋅︒=-‖，再将向量的坐标代入运算，即可得答案；【详解】触：（1）若a b ⊥，则2110m -⨯+⨯=，解得2m =.因此(1,2)b =，所以(1,3)a b +=- .由()//a b c +，得23(1)0n ⨯--⨯=，解得6n =-.（1）若1n =，则(2,1)c =，得(4,0)c a -= .又因(1,)b m = ，故()4104c a b m -=⨯+⨯=，而||4c a -=，||b =由题意得()cos 60||c a bc a b -⋅︒=- ‖，12=，解得m =.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos ,63==B c .（1）若ABC 的面积为103，求a ；（2）若AC边上的中线BD =，求sin A 的值.（1（2）14【分析】（1）由三角形的面积公式可求解；（2）由BD 为AC 边上的中线，则有1()2BD BA BC =+，可得2a =，再根据余弦定理及正弦定理可求解.【小问1详解】因为cos ,(0,)6π=∈B B所以sin 6B =，因为103=ABC S，所以110sin ,233==ac B c，所以a =.【小问2详解】因为BD 为AC 边上的中线，所以1()2BD BA BC =+，则()222211()244=+=+⋅+ BD BA BC BA BA BC BC 因此()2221||2cos 4=++ BD c ca B a ，即213285433⎛⎫=++⎪⎝⎭a a 化简得238280,(2)(314)0,0+-=-+=>a a a a a ，所以2a =，由余弦定理2222cos b a c ca B =+-，解得228,33==b b ，由sin sin a b A B =，即22123sin 306A =sin 14A =.21.在ABC 中，a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．o 120，等腰三角形【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得222a b c bc =++，在利用余弦定理，求解1cos 2A =-，即可求解角A 的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得0sin sin sin(60)B C B +=+，即可求解sin sin B C +的最大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-故1cos 2A =-，0120A =（2）由（1）得：0031sin sin sin sin(60)cos sin sin(60)22B C B B B B B +=+-=+=+故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.考点：正弦定理；余弦定理.22.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]频数（天）88162424a32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a 和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X （单位：个）为该沙难的人数（X 为10的倍数，如有8006人，则X 取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y 为该店每日的利润（单位：元），求Y 和X 的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.（1）频率分布直方图答案见解析，48a =，65%分位数是1.1（2）10000(10000)1.55000(010000)X Y X X >⎧=⎨-≤≤⎩，概率为0.65【分析】（1）利用总人数即可求出a 的值，利用分位数的计算方法求解65%分位数即可；（2）分两段求解Y 与X 的关系，然后得到分段函数的解析式，利用古典概型的概率公式求解即可．【小问1详解】解：由总人数为160知160881624243248a =------=.由图表知道人数在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%，我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，0.650.51.00.2 1.10.80.5-+⨯=-，所以65%分位数是1.1.画出频率分布直方图如下所示：【小问2详解】解：由题意知：当10000≥X 时，10100010000=⨯=Y 元.当10000<X 时，1010005 1.550001010⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭X X Y X ，所以10000(10000)1.55000(010000)X Y X X >⎧=⎨-≤≤⎩.设销售的利润不少于7000元的事件记为A ，实际上得到8000≥X ，此时()(244832)1600.65=++÷=P A .。
2023年上海松江二中高一下期中数学试卷及答案
松江二中2022学年第二学期期中考试高一数学考生注意：1.试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟；2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括三部分；3.答题前，务必在答题纸上填写姓名、班级和考号.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.半径为2且周长为6的扇形的面积是__________．2.设集合{}12|A x x =<<－，{}|B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是________．3.已知向量1(4,3)e =- ，2(2,1)e m m =+- ，且12//e e，则实数m 的值为_____．4.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A =，则ABC 的形状是________三角形．5.若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则α=__________.6.方程π12x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的解为_______．7.不等式3lg 3xx +≤的解集是__________．8.函数ππ()2sin()0,0,22f x x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则⋅=ωϕ____．9.菱形ABCD 的边长为4，30BAD ∠=︒，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AB AN ⋅的最大值为______．10.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则OM ON +=_______.11.设平面向量a ，b ，c 满足：3a = ，b c= ，1a b -= ，b c ⊥ ，则b c - 的取值范围是__________．12.记()(){|sin A f x x θωθ==+为偶函数，ω是正整数}，()(){|10}B x x a x a =---<，对任意实数a ，满足A B ⋂中的元素不超过两个，且存在实数a 使A B ⋂中含有两个元素，则ω的值是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（）A.sin y x =B.2log y x =C.cos y x x =-D.e e x xy -=-14.若π3π,22⎛⎫∈⎪⎝⎭α，且π3cos 2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α可以为（）A.6-B.89C.18-D.1718-15.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足112663OP OB OC =++，则△ACO 与△CBP 面积比为（）A.5:6B.3:4C.2:3D.1:216.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知O 是坐标原点，(2,3),(1,4)OA OB ==，（1）求向量OB 在OA方向上的投影向量的坐标和数量投影；（2）若3OC OA = ，3OD OB = ，2OE OA OB =+，请判断C 、D 、E 三点是否共线，并说明理由.18.已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.（1）求()cos αβ-的值；（2）求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.19.如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长||AB =，记弓形花园的顶点为M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，使得喷泉M 与山庄O 的距离最大？喷㬌M 与山庄O 的距离最大？20.已知函数()sin cos sin cos 1(,,R)f x a x b x c x x a b c =+++∈.（1）当0a b ==，1c =时，求函数()y f x =的单调增区间；（2）当1a =，0c =时，设()()1g x f x =-，且函数()g x 的图像关于直线π6x =对称，将函数()y g x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()y h x =，求解不等式()1h x ≥；（3）当3a =，2b =，0c =时，若实数m ，n ，p 使得()()1mf x nf x p +-=对任意实数x 恒成立，求cos 2023pm n+的值.21.已知函数()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++，且π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求a 的值，并求出()y f x =的最小正周期（不需要说明理由）；（2）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域；（3）是否存在正整数n ，使得()y f x =在区间[]0,πn 内恰有2025个零点，若存在，求由n 的值；若不存在，说明理由.松江二中2022学年第二学期期中考试高一数学考生注意：1.试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟；2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括三部分；3.答题前，务必在答题纸上填写姓名、班级和考号.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.半径为2且周长为6的扇形的面积是__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意求得弧长2l =，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的弧长为l ，由题意可得226l ++=，即2l =，又由扇形面积公式，可得扇形的面积为1122222S lr ==⨯⨯=.故答案为：22.设集合{}12|A x x =<<－，{}|B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是________．【答案】()1,-+∞【解析】【分析】A B ⋂≠∅，故1a >-，得到答案.【详解】{}12|A x x =<<－，{}|B x x a =<，A B ⋂≠∅，故1a >-.故答案为：()1,-+∞3.已知向量1(4,3)e =- ，2(2,1)e m m =+- ，且12//e e，则实数m 的值为_____．【答案】10【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标表示，即可求解【详解】解：因为12//e e，所以()()4132m m -=-+，即3644m m --=-，解得10m =，故答案为：10.4.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A =，则ABC 的形状是________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】由cos cos a B b A =结合正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，即in 0()s A B -=，结合A 、B 范围即可得到答案.【详解】因为cos cos a B b A =，由正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，即in 0()s A B -=，又(0,)A π∈，(0,)B π∈，所以(,)A B ππ-∈-，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形.故答案为：等腰【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，涉及到两角差的正弦公式，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题.5.若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以3πtan ,36αα==.故答案为：π66.方程π12x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的解为_______．【答案】3π4x =【分析】根据给定条件，利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解作答.【详解】依题意，π2cos(22x -=，而π(,π)2x ∈，即ππ(0,)22x -∈，因此ππ24x -=，解得3π4x =，所以所求方程的解为3π4x =.故答案为：3π4x =7.不等式3lg 3xx +≤的解集是__________．【答案】(]0,1【解析】【分析】设()3lg x f x x =+，判断其单调性，根据函数的单调性即可求得不等式.的解集.【详解】由题意可设()3lg x f x x =+，定义域为(0,)+∞，由于3,lg x y y x ==在(0,)+∞都单调递增，故()3lg x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，且(1)3f =，故不等式3lg 3x x +≤的解集是(]0,1，故答案为：(]0,18.函数ππ()2sin()0,0,22f x x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则⋅=ωϕ____．【答案】2π3-【解析】【分析】由函数()f x 的图象，求得πT =，得到2πT ω=，再由5π(212f =，求得π3ϕ=-，【详解】由函数()y f x =的图象，可得111π5ππ212122T =-=，即πT =，所以2π2Tω==，即()2sin(2)f x x ϕ=+，又由5π()212f =，可得5π5πsin(2)sin()1126ϕϕ⨯+=+=，解得5ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，可得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以ππ3322()ωϕ⋅-=⨯=-.故答案为：2π3-.9.菱形ABCD 的边长为4，30BAD ∠=︒，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AB AN ⋅的最大值为______．【答案】16+##16+【解析】【分析】设(01,01)AN xAB y AD x y =+≤≤≤≤，根据数量积的运算律得到16A x B AN =⋅+，即可得解.【详解】设(01,01)AN xAB y AD x y =+≤≤≤≤，则()AB AN AB x AB y AD ⋅=⋅+ 2xAB y AB AD=+⋅ 2cos x AB y AB A BA D D=∠+⋅2164cos3016x y x =+⨯⨯︒=+，所以当1x =，1y =时，AB AN ⋅取得最大值16+．故答案为：16+．10.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则OM ON +=_______.【答案】π【解析】【分析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,进而求解即可【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以(),0OM ON π+=,所以||OM ON π+=,故答案为:π【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想11.设平面向量a ，b ，c满足：3a = ，b c = ，1a b -= ，b c ⊥ ，则b c - 的取值范围是__________．【答案】⎡⎣【解析】【分析】根据题设条件，设出,,a b c的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设(3cos ,3sin )a θθ=，(,0),(0,)b t c t == ，R t ∈.根据1a b -=r r ，即(3cos ,3sin )1t θθ-=，即()223cos (3sin )1t θθ-+=，整理得286cos t t θ+=.显然0t ≠，否则(0,0)0b ==，1a b a -==r r r ，与已知矛盾，故286cos t t θ+=可得28cos 6t tθ+=.由28cos 16t t θ+=≤，即2680t t -+≤，故()()240t t --≤，解得24t ≤≤.故(),b c t t ⎡-=-=∈⎣.故答案为：⎡⎣12.记()(){|sin A f x x θωθ==+为偶函数，ω是正整数}，()(){|10}B x x a x a =---<，对任意实数a ，满足A B ⋂中的元素不超过两个，且存在实数a 使A B ⋂中含有两个元素，则ω的值是__________．【答案】4、5、6【解析】【分析】根据()()sin f x x ωθ=+偶函数，ω是正整数，推断出θ的取值范围，相邻的两个θ的距离是22πω，依照题意列不等式组，求出ω的值．【详解】由题意得{}|1B x a x a =<<+．∵()(){|sin A f x x θωθ==+为偶函数，ω是正整数}，∴21{|,,*}{|,,*}22k A k k Z N k Z N πθωθπωθθπωω+==+∈∈==∈∈，∵对任意实数a ，满足A B ⋂中的元素不超过两个，且存在实数a 使A B ⋂中含有两个元素，∴A 中任意相邻的两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1．∴212{2212πωπω<⨯≥，解得2πωπ<≤，又*N ω∈，∴4,5,6ω=．答案：4,5,6．【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和周期性，以及根据集合的运算关系，求参数的值，关键是理解212{2212πωπω<⨯≥的意义，强调抽象思维与灵活应变的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（）A.sin y x =B.2log y x =C.cos y x x =-D.e e x xy -=-【答案】D 【解析】【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数sin y x =在定义域R 上不是严格的单调函数，不符合题意；对于B 中，函数2log y x =的定义域为(0,)+∞，所以为非奇非偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()cos f x x x =-，可得()()cos()cos f x x x x x f x -=---=--≠，所以函数()f x 不是奇函数，不符合题意；对于D 中，函数()1e ee exxx x f x -=-=-，在定义域R 上严格的单调递增函数，且()()()e e e e xx x x f x f x ---=-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，符合题意.故选：D.14.若π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，且π3cos 2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α可以为（）A.6-B.89C.18-D.1718-【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式得到()2223cos sin sin )2αααα-=-，即可得到cos sin 6αα+=或cos sin 0αα-=，再将上式平方即可得解；【详解】因为π3cos 2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()2243cos sin cos co c ππ4ssin os αααα-=-，所以()2223cos sin (cos sin )2αααα-=-，即()()3cos sin cos sin (cos sin )2αααααα-+=-，解得2cos sin 6αα+=或cos sin 0αα-=，当2cos sin 6αα+=时，()281cos sin 1αα+=，2281cos 2cos sin sin 1αααα++=，即11sin 218α+=，解得17sin 218α=-；当cos sin 0αα-=时，()2cos sin 0αα-=，22cos 2cos sin sin 0αααα-+=，即1sin 20α-=，解得sin 21α=.故选：D15.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足112663OP OB OC =++，则△ACO 与△CBP 面积比为（）A.5:6B.3:4C.2:3D.1:2【答案】D 【解析】【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得2OP OA =，故P 为OA 中点，进而可得面积比.【详解】由O 是△ABC 的重心，得0OA OB OC ++=，而112663OP OB OC =++，则64OB OC OP OA +=- ，故2OP OA =，所以点P 为OA 中点，即点P 、点O 为BC 边中线的两个三等分点，所以211323ACO ABC ABC S S S =⨯= ，23CBP ABC S S = ，所以△ACO 与△CBP 面积比为1:2.故选：D16.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52【答案】C 【解析】【分析】由题意可可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】解：2cos |Z 2a a b n a b n b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭ ，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭．又由||||0a b >，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2t b a = ，且0m t ≥>又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出3,1m t ==所以322m a b == ．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知O 是坐标原点，(2,3),(1,4)OA OB ==，（1）求向量OB 在OA方向上的投影向量的坐标和数量投影；（2）若3OC OA = ，3OD OB = ，2OE OA OB =+，请判断C 、D 、E 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）坐标2842,1313⎛⎫⎪⎝⎭，数量投影是141313（2）共线，理由见解析【解析】【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解；（2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到3CD CE =，即可求解.【小问1详解】解：由向量(2,3),(1,4)OA OB ==，可得213414OA OA OB =⋅=⨯+⨯= 则投影向量的坐标是||cos OB OA < ，2842,1313||||||OA OA OB OA OB OA OA OA ⋅⎛⎫>⋅=⋅= ⎪⎝⎭，数量投影是||cos OB OA <，13||OA OB OB OA ⋅>== ，即向量OB 在OA 方向上的数量投影是141313.【小问2详解】解：C 、D 、E 三点共线，理由：向量(2,3),(1,4)OA OB ==，因为3OC OA = ，3OD OB = ，2OE OA OB =+，可得(6,9)OC = ，(3,12)OD = ，(5,10)OE =，所以(3,3)CD OD OC =-=- ，(1,1)CE OE OC =-=-，可得3CD CE =，所以C 、D 、E 三点共线.18.已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，5sin 5β=-.（1）求()cos αβ-的值；（2）求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【答案】（1）10（2）1-，3π4【解析】【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【小问1详解】π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，72sin 10α∴=，2cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=-，cos β∴=，25257210cos()cos cos sin sin 51051010αβαβαβ∴-=+=⨯-=-.【小问2详解】由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-<，3π24αβ∴-=.19.如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长||AB =，记弓形花园的顶点为M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，使得喷泉M 与山庄O 的距离最大？喷㬌M 与山庄O 的距离最大？【答案】（1）||OA θ=，π||6OB θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）当||||OA OB ==+OM 的最大值4+.【解析】【分析】（1）根据题意和正弦定理，即可求得||OA θ=，π||6OB θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）在OMB △中，由余弦定理化简得到22π||2283OM θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图像与性质，即可求解.【小问1详解】解：在OAB 中，由正弦定理得||||||sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，因为6AOB π∠=，||AB =，所以56OAB πθ∠=-，所以||OA θ=，5ππ||66OB θθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】解：因为||AB =，π6MAB MBA ∠=∠=，所以||||2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理易知222π||||||2||||cos 6OM OB BM OB BM θ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+⎪⎝⎭，即22πππ||48sin 4cos 666OM θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ππ48sin 2428263θθ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ24cos 222833θθ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π1πcos 2sin 2282323θθ⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦2π2283θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π2π7π2,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π23sin 21,32θ⎡⎫⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，当2πsin 213θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即5π12θ=时，2||OM取最大值28+即OM取最大值4+此时5πππ||1264OA ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭5ππππ||12643OB ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当||||OA OB ==+OM取最大值4+.20.已知函数()sin cos sin cos 1(,,R)f x a x b x c x x a b c =+++∈.（1）当0a b ==，1c =时，求函数()y f x =的单调增区间；（2）当1a =，0c =时，设()()1g x f x =-，且函数()g x 的图像关于直线π6x =对称，将函数()y g x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()y h x =，求解不等式()1h x ≥；（3）当3a =，2b =，0c =时，若实数m ，n ，p 使得()()1mf x nf x p +-=对任意实数x 恒成立，求cos 2023pm n +的值.【答案】（1）πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）22π,π2π,Z 3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（3）11012-【解析】【分析】（1）根据题意得到1()sin 212f x x =+，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）根据题意得到1322b +=b =，得到π()2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图象的变换求得()2sin π6h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由不等式()1h x ≥，即π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即可求解；（3）化简得到())1f x x ϕ=++，求得())1f x p x p ϕ-=+-+，转化为cos )sin()sin cos()(1)0m n p x p x m n ϕϕ++-+++-=，得到方程组，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：当0a b ==，1c =时，可得函数1()sin cos 1sin 212f x x x x =+=+，令ππ2π22π,Z 22k x k k -≤≤+∈，所以单调增区间为πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】解：当1a =，0c =时，可得sin cos ()()1)x b x x g x f x θ=-=+=+，其中tan b θ=，因为()g x 关于直线π6x =对称，可得max π()6g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭1322b +=b =，所以π()sin 2sin 3g x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()y g x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()2sin π6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()1h x ≥，即π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则ππ52ππ2π,Z 666k x k k +≤+≤+∈解得22ππ2π,Z 3k x k k ≤≤+∈，所以不等式的解集为()22π,π2πZ 3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；【小问3详解】解：当3a =，2b =，0c =时，则()3sin 2cos 1f x x x =++，可得())1f x x ϕ=++，则())1f x p x p ϕ-=+-+，其中π02ϕ<<且2tan 3ϕ=，于是()()1mf x nf x p +-=，sin()sin()1x x p m n ϕϕ+++-++=，sin()sin()cos sin cos()(1)0x x p p x m n ϕϕϕ+++-+++-=，cos )sin()sin cos()(1)0m n p x p x m n ϕϕ++-+++-=.由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 0(1)sin 0(2)10(3)m n p n p m n +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，若0n =，则由（1）知0m =，显然不满足（3）式，故0n ≠，所以由（2）知sin 0p =，故ππ2p k =+或π2Z ,p k k =∈，当2πp k =时，cos 1p =，则（1）、（3）两式矛盾，故2,Z p k k ππ=+∈，cos 1p =-由（1）、（3）知12m n ==，所以cos 120231012p m n =-+.21.已知函数()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++，且π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求a 的值，并求出()y f x =的最小正周期（不需要说明理由）；（2）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域；（3）是否存在正整数n ，使得()y f x =在区间[]0,πn 内恰有2025个零点，若存在，求由n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）9a =-，函数()f x 的最小正周期为πT =（2）1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数506n =，理由见解析【解析】【分析】（1）根据π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入即可求解a 的值．因为sin cos sin 2x x x 、、的周期是都π，故得函数()f x 的最小正周期；（2）根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++，设πsin cos4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，转化为二次函数求解；（3）分类讨论π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，将()y f x =转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而得解.【小问1详解】函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，∵π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴πππsincos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-，所以()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++，因为sin cos sin 2x x x 、、的周期是都π，又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数()f x 的最小正周期为πT =.【小问2详解】若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++，设πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，则2sin22sin cos 1x x x t ==-，所以()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣，所以其值域为1,1316⎡--⎢⎣；【小问3详解】存在正整数506n =，使得()0f x =在区间[]0,πn 内恰有2025个零点．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++．设πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则2sin22sin cos 1x x x t ==-，于是()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+，令24950t t -+=，得1t =或54t ⎡=∈⎣，此时π0,2x =，或00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭或0π2x x =-，其中0π52sin 48x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++．设(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，则2sin22sin cos 1x x x t ==-，于是()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+，令249130t t --+=，解得1t =或(134t =-∉，故()f x 在π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭没有实根．综上，()0f x =在[)0,π上有4个零点，又()f x 的最小正周期为πT =，而202545061=⨯+，所以函数在[]0,506π有2025个零点．。
2020-2021第二学期高一数学半期考联考试卷(含答案)
高一数学试题第 7 页 （共 8 页）
即 3 BE2 1 BE ，解得 BE 2 （负值已舍去） 所以 BE 的长度是 2km . …………5 分
（2）设 ABE ，因为∠BAE 60 ，所以 AEB 120 ，
在
△ABE
中，由正弦定理得
sin
AB AEB
sin
AE ABE
sin
BE BAE
12.设向量 a (k,2) , b(1,1) ,则下列叙述错误的是 ( )
A.若 k<-2,则 a 与 b 的夹角为钝角
B. a 的最小值为 2
C.与 b 共线的单位向量只有一个为
D.若 a 2 b ,则 k=2 或-2
三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 i 为虚数单位，则复数 z＝ 2 在复平面内对应的点的坐标为
4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为棱 A1B1, BB1,CC1,C1D1 的中点, 则下列结论中正确的是( )
A.AD1∥平面 EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面 EFGH∥平面 A1BCD1
5.在△
th 中，向量 t与 h满足湥
t t
h h
·th
，且 t · th
AB
3 2
，
OC
9 2
，
AO
3
3 2
，
…………5 分
以 O 为原点，以 BC，OA 所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： …………6 分
高一数学试题第 页 （共 8 页）
则
D
1,
3
3 2
，设
M
x,
浙东北联盟(ZDB)四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
浙东北联盟（ZDB ）2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试卷（答案在最后）命题学校：总分150分考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知向量()5,12a =，则与向量a反向的单位向量的坐标为（）A.512,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ D.512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】与向量a方向相反的单位向量为a a- 求解即可.【详解】因为()5,12a =，所以13a ==，与向量()5,12a =方向相反的单位向量为512,1313a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故选：B2.设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面α内，则“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】若l m ⊥且l n ⊥，当//m n 时，直线l 可以与平面α平行，此时//l α，不能推出l α⊥，若l α⊥，m ，n 是平面α内两条不同的直线，则l m ⊥，l n ⊥，所以“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分的条件.故选：B3.已知一个正方体的外接球的体积为92π，则这个正方体的体积为（）A.3B.278C.D.8【答案】C 【解析】【分析】根据正方体性质，223d a =,由外接球体积求出半径得出直径，最后得出边长，即可求出体积．【详解】根据正方体性质，球心在体对角线中点上，体对角线长为外接球直径d ，半径设为r ，边长为a ，则222223d a a a a =++=.根据题意39π4π23r =，解得32r =，则3d =，则293a =，则a =3V a ==故选：C.4.已知a = 3a b ⋅=- ，则向量b 在向量a 上的投影向量为（）A.a-rB.13aC.b- D.13br 【答案】A 【解析】【分析】利用投影向量公式可求向量b 在向量a上的投影向量.【详解】向量b 在向量a上的投影向量为a b a a a a⋅==-，故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别是棱11B C ，1C C ，1B B ，AB 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】分别取,CD BC 的中点,N Q ，连接,,,,,FN EQ QN EN GF HN ，由题意可知异面直线EF 与GH 所成的角（或其补角）即为EF 与FN 所成的角（或其补角），求出,,EF FN EN ，由余弦定理求解即可.【详解】分别取,CD BC 的中点,N Q ，连接,,,,,FN EQ QN EN GF HN ，由正方体的性质知：//,HN GF HN GF =，所以四边形GHNF 是平行四边形，所以//GH FN ，所以异面直线EF 与GH 所成的角（或其补角）即为EF 与FN 所成的角（或其补角），即为EFN ∠，设正方体的棱长为2，EF FN QN ===，EN ==所以22221cos242EF FN EN EFN EF FN +--∠====-⋅，所以异面直线EF 与GH 所成的角为π3.故选：C .6.若两个非零向量a 与b满足2a b a b b +=-= ，则向量a b + 与a b - 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用模长公式结合数量积公式求解即可．【详解】因为2a b a b b +=-=，两边平方，得到2222|2||2|0a b a b a a b b a a b b a b +=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅= 2222|2|4||a b b a a b b b +=⇒+⋅+=，即22||3||a b = ，即||||a b = (1),又a b + ＝2b (2)，a b -=2||b (3)．并且()()22·||cos a b a b a b a b a b θ+-=-=+-，则22||||cos ||||a b a b a b θ-=+- ，将(1),(2),(3)代入，得到222||1cos 24||b b θ== ，(0,π)θ∈，则π3θ=．故选：B.7.已知某圆台的上、下底面半径分别为1r 、2r ，且213r r =，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A.13π9B.20π9C.26π9D.26π3【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解12,r r ，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处，设球O 与母线AB 切于M 点，所以OM AB ⊥，所以121OM OO OO ===，所以1AOO 与AOM 全等，所以1AM r =，同理2BM r =，所以1214AB r r r =+=，过A 作2AG BO ⊥，垂足为G ，则2112BG r r r =-=，122AG O O ==，所以222AG AB BG =-，所以()()22211144212r r r =-=，所以133r =，所以2r =所以该圆台的体积为()2212121211126πππ2313339V O O r r r r ⎛⎫=⋅++=⨯++= ⎪⎝⎭.故选：C8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π.如图，已知ABC 和ADE V 都是正三角形，4AB =，2AE =，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是ACE △内的任意一点，则PA PC PE ++的最小值为（）A.5B.26C.33 D.27【答案】D 【解析】【分析】将PEC 绕点E 顺时针旋转60︒到QEF △，根据两点之间线段最短结合余弦定理可求PA PC PE ++的最小值，或者建立平面直角坐标系，根据费马点的性质结合圆的方程可求费马点的坐标，从而可求PA PC PE ++的最小值，也可以费马点的几何特征结合正弦定理可求,,PA PC PE 的值，从而可求PA PC PE ++的最小值.【详解】由题设有60EAC ∠=︒，而2,4AE AC ==，由余弦定理可得164423EC =+-⨯=所以222CE AE AC +=，故ACE △是直角三角形，且90AEC ∠=︒，60EAC ∠=︒.法一：几何法将PEC 绕点E 顺时针旋转60︒到QEF △，则,QF CP PE PQ ==，则PA PC PE PA QF PQ AF ++=++≥，当且仅当,,,A P Q F 四点共线时等号成立，此时180120APE QPE ∠=︒-∠=︒，180120CPE FQE PQE ∠=∠=︒-∠=︒，即P 为费马点时，PA PC PE ++取最小值，因为3EF EC ==9060150AEF ∠=︒+︒=︒，所以2537AF =+=.，故当且仅当P 为费马点时，PA PC PE ++取最小值且最小值为27.法二：解析法以点E 为原点建立平面直角坐标系，且()2,0A -，(0,23C ，由费马点的定义知点P 满足120APE CPE ∠==︒，故P 在以AE为弦且半径为11232r ==的劣弧上，设圆心为()()1,0M m m -<，而2413m +=，故3m =-，故31,3M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故圆()224:133M x y ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭，同理P 也在以CE为弦且半径为11222r ==的劣弧上，其方程为()(22:14N x y -+-=，由22224(1)3(1)(4x y x y ⎧⎛+++=⎪ ⎨⎝⎪-+-=⎩可得20y +=，再代入其中一式解得47x =-，7y =（0,0x y ==舍）所以取最小值时PE =，PA =PC =，故PA PC PE ++取最小值且最小值为法三：代数法设AEP θ∠=，则90PEC θ∠=︒-，由费马点的性质可得60PAE θ∠=︒-，30PCE θ∠=-︒（3060θ︒<<︒），由正弦定理可得()2sin 60sin120PE θ=︒-︒且()sin 30sin120PE θ=-︒︒，故()()sin 30sin 60θθ-︒=︒-，整理得到11cos sin 2222θθθθ-=-，解得2sin θθ=，即sin θθ==，此时()2sin 601sin12022PE θ⎛⎫︒-===︒而2sin sin120AP θ==︒2sin sin120PC θ==︒故PA PC PE ++的最小值为故选：D .【点睛】思路点睛：对于给定条件的几何问题，我们可以根据几何对象的性质结合正弦定理或余弦定理求解几何量，或者利用旋转构造最值线段.二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若{}12e e，是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）A.{}1212e e e e +- ，B.{}1221e e e e --，C.{}21122364e e e e --，D.1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.【详解】对于A ，若存在实数λ，使得()1212e e e e λ+=- ，则11λλ=⎧⎨=-⎩，无解，所以12e e + 与12e e - 不共线，可以作为平面的基底，故A 错误；对于B ，因为()1221e e e e -=-- ，则12e e - 与21e e -是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B 正确；对于C ，因为()2112123642e e e e -=--u u r u r ur u u r ，则2123e e - 与1264e e - 是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C 正确；对于D ，因为12121333e e e e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭u r u u r u r u u r ，则123e e - 与1213e e -ur u u r 是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D 正确.故选：BCD.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且π4A =，b =，若ABC 有且仅有一个解，则c a -的可能取值有（）A.0B.4-C.32D.【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角形解的个数可得ππ0,42B ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，再根据正弦定理结合三角变换可求c a -的取值范围.【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=，故sin 2a B A ==，因为ABC 有且仅有一个解，故a b ≥或sin 2a b A =⨯=，由a b ≥可得A B ≥，由2a =可得sin 1B =，结合B 为三角形内角可得π2B =，故ππ0,42B ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，由正弦定理得ππsin sin sin 44c a B B ⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦){}cos 12222tan 420sin 2B B B -⎡=+=-∈-⋃⎣，而2>，35424022--=<，故3422-<<，故选：ABC.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是线段11B C 的中点，F 是线段1CC 的中点，P 是线段1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为6B.1B PC ∠可能是直角C.三棱锥A PEF -的体积为定值D.PEF !的周长的最小值为252【答案】ACD 【解析】【分析】求出等边11C A D 的高，即可判断A ；在矩形11A B CD 中假设1B PC ∠为直角，推出矛盾，即可判断B ；证明1A D//平面AEF ，即可判断C ，四边形1A DFE 求出PE PF +的最小值，即可判断D.【详解】对于A ，因为11C A D 为边长为22的等边三角形，所以1C P 的最小值即该等边三角形的高，即()1min322cos302262C P === ，故A 正确；对于B ：在矩形11A B CD 中112A B CD ==，1122A D B C ==，若190B PC ∠=︒，即1B P PC ⊥，此时11B A P PDC ∽，所以111B A A PPD CD=，则22PDPD -=，则240PD -+=，因为(2Δ4480=--⨯=-<，所以方程无解，即1B PC ∠不可能是直角，故B 错误；对于C ：连接1B C ，则1//EF B C ，又11//B C A D ，所以1//EF A D ，EF ⊂平面AEF ，1A D ⊄平面AEF ，所以1A D//平面AEF ，又P 是线段1A D 上的一个动点所以点P 到平面AEF 的距离为定值，又AEF △的面积为定值，所以三棱锥A PEF -的体积为定值，故C 正确；对于D ：因为==EF ，如下图，在四边形1A DFE 中EF =1A D =，1A E DF ===，作点F 关于1A D 的对称点F '，连接F E '交1A D 于点P ，此时PE PF +取得最小值，最小值为线段EF '的长度，又(122DM =-=，所以322FM ==，所以2FF FM '==，所以EF =='所以PEF !的周长的最小值为D 正确.故选：ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.水平放置的ABC 斜二测直观图为A B C ''' ，已知2A B B C ''''==，60A B C '''∠=︒，则ABC 的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，水平放置的ABC 斜二测直观图为A B C ''' ，则直观图的面积122sin 260A B C S S '︒'''==⨯⨯⨯= ，则ABC 的面积为S '==.故答案为：13.已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出圆柱侧面展开图的周长利用基本不等式可得答案.【详解】设圆柱的母线长为()0a a >，则圆柱的底面直径为1a，所以该圆柱侧面展开图的周长为12π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a a当且仅当1π=a a即a =等号成立.故答案为：.14.已知向量a ，b ，c满足4a = ，2b = ，,3a b π= ，()()20a c b c -⋅-= ，则a c ⋅ 的取值范围为______.【答案】[]420，【解析】【分析】由题意可得：4a b ⋅=，设(),c x y = ，()4,0a = ，(b = ，由()()20a c b c -⋅-= 可得：()(2234x y -+-=，从而可得：4a c x ⋅=，进而可求出结果.【详解】由题意可得：14242a b ⋅=⨯⨯= ，设(),c x y = ，()4,0a = ，(b = ，()4,a c x y -=--，()22,b c x y -=- ，()()20a c b c -⋅-= ，()()()420x x y y ∴---=，整理得：()(2234x y -+-=，所以4a c x ⋅=，因为232x -≤-≤，所以15x ≤≤，所以4420x ≤≤，即a c ⋅的取值范围为[]4,20.故答案为：[]4,20.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量(),1a x = ，()2,3b =-r ，()6,1c =-.（1）求满足2c a yb =+的实数x ，y 的值；（2）若()4//a c b +，求实数x 的值.【答案】（1）2x =，1y =-（2）2x =-【解析】【分析】（1）运用向量相等条件可解；（2）运用向量平行坐标表示可解．【小问1详解】因为(),1a x = ，()2,3b =-r，则()222,23a yb x y y +=-+ ，又()6,1c =-，2c a yb =+ ，所以226231x y y -=⎧⎨+=-⎩，解得2x =，1y =-；【小问2详解】因为(),1a x = ，()6,1c =-，则()446,3a c x +=+ ，又()4//a c b +，()2,3b =-r ，所以46323x +=-，解得2x =-.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，1AB MN ⊥.（1）证明：MN ⊥平面1AB M ；（2）求1C 点到平面1AB M 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）利用直三棱柱的构造特征，结合线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由（1）中信息，结合相似三角形的性质求出BC ，再利用等体积法求解即得.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，由2AB AC ==，M 是BC 的中点，得AM BC ⊥，由1BB ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，得1B B AM ⊥，而11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂平面11BCC B ，则AM ⊥平面11BCC B ，又MN ⊂平面11BCC B ，则AM MN ⊥，而1AB MN ⊥，11,,AB AM A AB AM =⊂ 平面1AB M ，所以MN ⊥平面1AB M .【小问2详解】在矩形11BCC B 中，由（1）知1AM B M ⊥，1MN B M ⊥，1B MB MNC ∠=∠，于是直角1B BM 与直角MCN △相似，则1BM CNB B CM=，即·2BM CM =，因此2BM MC ==22BC =2AM =，16B M =，11111222BCC B MB C S S == ，11312MB A S AM B M =⋅= ，设1C 点到平面1AB M 的距离为d ，由1111C MB A A MB C V V --=，得1111133MB A MB C d AM S S ⋅=⋅ ，3222d =33d =，所以点1C 到平面1AB M 的距离为33.17.某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：100AB AD ==米，160BC =米，2120BAD BCD ∠∠==︒.（1）求cos BDC ∠的值；（2）若点,E F 分别为边,BC CD 上的点，且80CE =米，60CF =米，又点I 在以C 为圆心，CF 为半径的圆弧FG 上（BCD △内部），准备将四边形CEIF 区域种植郁金香.设ECI ∠θ=，求四边形CEIF 的面积关于θ的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）【答案】（1）35（2）()13sin S θϕ=+，其中ϕ为锐角且33tan 5ϕ=，最大值为13【解析】【分析】（1）由余弦定理可求BD ，由正弦定理可求sin BDC ∠，故可求cos BDC ∠，（2）由面积公式可求ECI S △，FCI S △，再利用辅助角公式可得S 及其最大值.【小问1详解】在ABD △上，由余弦定理BD ==在BCD △上，由正弦定理160200sin sin60BDC ∠==︒，所以4sin 5BDC ∠=，而160BD BC =>=，故π3BDC BCD ∠∠<=，故3cos 5BDC ∠=.【小问2详解】因为ECI ∠θ=，所以60FCI ∠θ=︒-，060θ︒<<︒，18060sin 2400sin 2ECI S θθ=⨯⨯=△，()()16060sin 601800sin 602FCI S θθ=⨯⨯︒-=︒- ，所以四边形CEIF 区域面积()12400sin 1800sin 602400sin 1800cos sin 22S θθθθθ⎛⎫=+︒-=+- ⎪ ⎪⎝⎭1500sin θθ=+()3005sin θθ=+()θϕ=+≤（平方米），其中ϕ为锐角且33tan 5ϕ=，因为3315<<，故4560ϕ︒<<︒，故当90θϕ=︒-时，S 有最大值且最大值为平方米.18.如图在直角梯形ABCD 中，2BC AD =，2BC CD ==，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量AF 与BE夹角α的余弦值；（2）若向量BH xBD y AC =+，求实数x ，y 的值；（3）若向量BP 与CP的夹角为β，求cos β的最小值.【答案】（1）2114（2）23x =，415y =（3）0【解析】【分析】（1）点B 为原点，BC 、BA分别为x 、y 轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可；（2）由平面向量基本定理可得324BH BA BC λλ=+，由A ，H ，C 三点共线求出4=5λ，由此可求出实数x ，y 的值；（3）法一：点O 为BC 中点，因为2AO =，所以以BC 为直径的圆与圆A 外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设DAP θ∠=，π0,2θ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，则()cos 3sin P θθ，求出BP ，CP，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】易得90ABC BAD ∠=∠=︒，且BCD △为正三角形，所以AB =，AC =以点B 为原点，BC 、BA分别为x 、y轴正方向建立平面直角坐标系，(()()(,2,0,0,0,2,,A C B AC =(3,,22D E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得2,AF AC ==，(12BE = ，所以cos 14AF BE AF BE α⋅====⋅.【小问2详解】()1322224BH BE BD BC BA BC BC BA BC λλλλλ⎛⎫==+=++=+ ⎪⎝⎭，又因为A ，H ，C 三点共线，所以3124λλ+=，解得4=5λ.()12BH xBD y AC x BA BC y BC BA⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭()2x x y BA y BC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，25325x y x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得23x =，415y =【小问3详解】法一：点O 为BC 中点，因为2AO =，所以以BC 为直径的圆与圆A 外切.因为圆周角大于圆外角，所以BPC ∠的最大值为90︒，即cos β的最小值为0.法二：设DAP θ∠=，π0,2θ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭且如（1）所建平面直角坐标系，则()cos sin P θθ-，()cos sin BP θθ∴= ，()cos sin CP θθ=-.22cos 2cos 3sin BP CP θθθθ⋅=-++-()42cos 44sin 06πθθθ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当π3θ=时，BP CP ⋅ 取到最小值0，所以cos β的最小值为0.19.如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA PD ⊥，且44AD AB ==，2PA =，PC =，点E 为AD 中点，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B PC E --的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且FG PB ⊥，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）58（3）5【解析】【分析】（1）结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得；（2）面面垂直的性质定理PH ⊥平面ABCD ，线面垂直的判定定理得AD ⊥平面PHK ，HM ⊥平面PBC ，线面平行的判定定理得//AD 平面PBC ，作EN PC ⊥垂足为N ，由等面积法得求出EN 可得答案；（3）作GI ⊥平面ABCD ，在平面PAB 作GJ PB ⊥交AB 于点J ，设线FJ 交线BH 于点L ，由线面垂直的判定定理得⊥FJ 平面BGL ，得≤IL IF ，90∠∠∠≤=- GFI GLI GBL ，求出cos ∠GBL 可得答案.【小问1详解】PA PD ⊥，PD ∴=则22213PC PD CD =+=，CD PD ∴⊥，又CD AD ⊥ ，=PD AD D ⋂，、⊂PD AD 平面PAD ，CD \^平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】侧棱PA PD ⊥，点E 为AD 中点.，2AE PE ==，2PA =，PAE ∴ 为正三角形，取AE 中点H ，则PH AD ⊥，1AH =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，HK ⊂平面ABCD ，所以PH HK ⊥，PH =，在BC 边上取1BK =，连接HK ，可得四边形ABKH 是长方形，可得HK AD ⊥，又= PH HK H ，、⊂PH HK 平面PHK ，所以AD ⊥平面PHK ，作HM PK ⊥，垂足为M ，HM ⊂平面PHK ，AD HM ⊥ ，BC HM ∴⊥，又= BC PK K ，、⊂BC PK 平面PBC ，HM ∴⊥平面PBC ，且2HM =，又//AD BC ，AD ⊄Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，//AD ∴平面PBC ，所以点E 到平面PBC 的距离2d =，且点E 的投影在PBC 内，在PCE 中，2PE =，EC =，由余弦定理得cosPEC ∠=，作EN PC ⊥垂足为N ，由等面积法得EN ==，所以二面角B PC E --的大小α的正弦值39sin 8d EN α==，5cos 8α=；【小问3详解】作GI ⊥平面ABCD ，则//GI PH ，BH 为PB 在平面ABCD 内的射影，所以点B ，I ，H 共线，再在平面PAB 作GJ PB ⊥交AB 于点J ，又FG PB ⊥ ，= FG GJ G ，、⊂FG GJ 平面GFJ ，PB ∴⊥平面GFJ ，设线FJ 交线BH 于点L ，则BG FJ ⊥，又GI FJ ⊥ ，= GI BG G ，、⊂GI BG 平面BGL ，FJ ∴⊥平面BGL ，⊂BL 平面BGL ，得FJ BL ⊥，IL IF ∴≤，90∠∠∠∴≤=- GFI GLI GBL ，又因为cos5BH GBL BP∠===，所以FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值为5，当点F 为线BH 与AC 的交点时取到最大角.【点睛】方法点睛：求二面角的方法：1.概念法，概念法指的是利用概念直接解答问题；2.空间变换法，空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法；3.空间向量法.。
宁夏银川市第二中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
绝密★启用前银川二中2021-2022学年第二学期高一年级期中考试数学试题注意事项：1.本试卷共22小题，满分120分。
考试时间为120分钟。
2.答案写在答题卡上的指定位置。
考试结束后，交回答题卡。
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（）A ．12π-B ．12πC ．6π-D ．6π2．直线013=+的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．65π3．已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（）A ．10-B ．2-C ．0D ．84．若圆1:221=+y x C 与圆086:222=+--+m y x y x C 外切，则m =（）A ．21B ．19C ．9D ．-115．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为()A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y x D ．023=+-y x 6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a =)A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．航海中，我们一般用海里作为描述船只航行的路程，规定当沿地球表面走过的弧长所对的圆心角为1分(1度的60分之一）时，该弧的弧长为1海里，已知1海里=1.852公里，则由此你可以推算出地球的半径大约等于多少公里（）A.6371B.6731C .7361D.76318．直线3)1()2(=-++y a x a 与直线02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，则a 等于()A.1B.-1C.±1D.-29．若直线kx y =与圆1)2(22=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为()A ．4,21=-=b k B ．4,21-==b k C ．4,21==b k D ．4,21-=-=b k 10.已知实数y x 、满足052=++y x ,那么22y x +的最小值为()A.55 B.5C.52 D.511.已知动点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离满足MO M 2A =，则在O ，A ，M 三点所能构成的三角形中面积的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=.设点(),0T t 满足：圆M 上存在点P ，使30MTP ∠=︒，则实数t 的取值范围是（）A ．6⎡-⎣B ．6⎡+⎣C ．6⎤-⎦D ．6⎡⎤⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13.与直线l ：0532=++y x 平行，且与l 的直线方程是________________.14.已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则圆C 的方程为__________________.15.平面直角坐标系内有四个定点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6）,在四边形ABCD 内求一点P ，使PD PC PB PA +++取得最小值时P 的坐标为____________.16.求曲线y x y x 2222+=+所围成的图形的面积是___________________.三、解答题：本大题共56分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分8分）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为012=+-y x ，∠A 的平分线所在直线的方程为0=y ，若点B 的坐标为），（2 1.（1）求直线BC 的方程；（2）求直线AB 的方程．18.（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点分别为()()()12,14,32A B C -，，，.（1）求ABC ∆外接圆M 的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)，且与圆M 相交所得的弦长为l 的方程.D CBA19.（本小题满分8分）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.20.（本小题满分10分）求圆心在直线04=--y x 上，并且经过圆04622=-++x y x 与圆028622=-++y y x 的交点的圆的方程.21.（本小题满分10分）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.（1）求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标；（2）当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.22.（本小题满分12分）已知线段AB 的端点B 的坐标是），（15，端点A 在圆4)3(1:221=-+-y x C ）（上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值．B(5,1)yxPAO绝密★启用前银川二中2021-2022学年第二学期高一年级期中考试数学答案注意事项：3.本试卷共21小题，满分120分。
2021-2022年高一第二学期数学期中考试试卷
高一第二学期数学期中考试试卷(满分:100分 考试时间:120分钟)一、 选择题（共15小题，每小题3分，满分45分。
将唯一．．正确的答案填在答题卷答题卡对应的题号下。
） 1. 若11sin 1cos 22-=+-+θθθθctg tg ，则θ角所在的象限是（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若角α的终边在射线)0(2≥-=y x y 上，则αsin 的值为（ ）（A ）25（B ）5 （C ）55 （D ）5523. 下列命题中正确．．的是（ ）（A ）直平行六面体是长方体 （B ）对角面是全等的矩形的四棱柱是长方体（C ）侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 （D ）底面是矩形的直四棱柱是长方体4. 圆锥的侧面积为80，其侧面展开图的扇形圆心角为︒135，则圆锥底面面积为（ ）（A ）15 （B ）60 （C ）40 （D ）305. 下列函数中同时满足①在区间)2,0(π上是增函数；②以π为周期；③是偶函数三个条件的是（） （A ）tgx y = （B ）x y cos 2-= （C ）|cos |x y = （D ）|sin |x y = 6. )22sin(π+=x y 的图象的一条对称轴的方程是（ ）（A ）2π-=x （B ） 4π-=x （C ） 8π=x （D ） 45π=x7. 满足23cos -=x 的x 的集合是（ ）（A ）},652|{Z k k x x ∈+=ππ （B ）},672|{Z k k x x ∈+=ππ（C ）},612|{Z k k x x ∈±=ππ （D ）},61)12(|{Z k k x x ∈±+=ππ8. 在ABC ∆中，若B tg A tg 22-=，则ABC ∆的形状一定是（ ）（A ）钝角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）正三角形9. 一个三棱锥中，两组相对棱所成的角都是︒90，则另一组相对棱所成的角为（ ）（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒3010. 已知圆台上、下底面半径之和等于母线长的2倍，其侧面积为450π，母线与底面所成的角为θ，。
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一中四校联考2005～2006学年华安、连城永安、漳平第二学期半期考试高一数学试卷(本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)考试时间：120分钟 满分：150分）命题人：漳平一中 叶培杰 审题人：漳平一中 苏德林第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、角θ为第二象限角的充分必要条件是（ ）A 、0tan 0sin >>θθ且B 、0cot 0sin >>θθ且C 、0tan 0sin <>θθ且D 、0cos sin <⋅θθ2、化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、sin4＋cos4B 、sin4－cos4C 、cos4－sin4D 、－sin4－cos43、)619sin(π-的值是（ ） A 、21 B 、－21 C 、23 D 、－23 4、若cot130°＝a ，则cos50°是（ ）A 、21aa + B 、－21aa +C 、±21aa +D 、±aa 21+5、已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A 、第一与第二象限角 B 、第二与第三象限角 C 、第一与第三象限角 D 、第一与第四象限角 6、方程2x ＝cosx 的解有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无穷多个 7、若)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，当12π=x 时取最大值y ＝2，当127π=x 时取最小值y ＝－2，则函数的解析式是（ ）A 、)32sin(2π+=x y B 、)62sin(2π-=x y C 、)62sin(2π+=x yD 、)32sin(2π-=x y8、函数)32sin(3π-=x y 的图像可以由函数y ＝3sin2x 的图像经过下列哪种变换得到（ ）A 、向右平移3π单位B 、向右平移6π单位C 、向左平移3π单位D 、向左平移6π单位9、下列函数中，在（0,2π）内单调递增，且以π为周期的偶函数是（ ）A 、y ＝tan|x|B 、y ＝|tanx|C 、y ＝cot|x|D 、y ＝|cotx|10、在△ABC 中若2cossin sin 2AC B =，则此三角形为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形11、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππB 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππC 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ12、已知f （x ）是定义在（－3,3）上的奇函数，当0<x<3时，f （x ）的图像如图所示，那么不等式f （x ）cosx<0的解集是（ ）A 、（－3，－2π） （0，1） （2π，3） B 、（－2π，－1） （0，1） （2π，3）C 、（－3，－1） （0，1） （1，3）D 、（－3，－2π） （0，1） （1，3）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卷的横线上）13、已知tan α＝43，则cos α－sin α＝ 14、已知cos α＝71，cos(βα+)＝－1411，且)2(0,πβα∈、，则cos β＝15、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)（x ∈R ）有下列命题： ①由f(x 1)＝f(x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos(2x －6π) ③y ＝f(x)的图象关于点（－6π，0）对称； ④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称。
其中正确的命题的序号是 。
（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 16、函数y ＝2＋sinx ＋cosx ＋sin2x 的最大值为 。
高一数学试卷第2页(共4页)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒18、（本小题满分12分）证明cos 2sin2sin 2cos βθβθβθ-+-=-19、（本小题满分12分）下图，它表示电流强度I ＝Asin(ϕω+t )在一个周期内的图象。
（1） 试根据图象写出y ＝Asin(ϕω+t )的解析式（其中0＜ϕ＜π）； （2） 在任意一段1003秒的时间内，电流强度I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？ 20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2asin 2x －2π］，值域为［－5,4］,求a 、b 的值。
21、（本小题满分12分） 设α、β、γ（0, 2π），且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值。
22、（本小题满分14分）如果方程)0(012sin 42022cos 422πθθθ<<=-+=+-x x x x 与方程有一根互为倒数， 求θ的值。
一中四校联考2005～2006学年华安、连城永安、漳平第二学期半期考试卷高一数学试卷参考答案及评分说明二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、±51 14、2115、②③ 16、3＋2 三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17、（本题满分12分） 解：原式＝︒︒+︒+︒5cos 2)10tan 31(80sin 50sin 2…………………………………………4分＝︒︒︒+︒⨯︒+︒5cos 210cos 10sin 310cos 80sin 50sin 2……………………………………………6分＝︒︒+︒5cos 2)40sin 50(sin 2……………………………………………………………………8分＝︒︒+︒5cos 2)50cos 50(sin 2……………………………………………………………………10分＝︒︒+︒5cos 2)4550sin(22……………………………………………………………………11分＝2 …………………………………………………………………………………………12分 18、（本小题满分12分） 证明：cos θ－cos β ＝cos （22βθβθ-++）－cos （22βθβθ--+）……………………………………5分＝cos 2cos 2βθβθ-+－sin 2sin 2βθβθ-+－（cos 2cos 2βθβθ-+＋2sin 2sin βθβθ-+） ………………………………………………………………………………………………10分 ＝－2sin2sin2βθβθ-+…………………………………………………………………12分注：本题选自教材P46 3（3） 19、（本小题满分12分）（1）观察得：A ＝3。
…………………………………………………………………2分∵,100350120121=-=T ………………………………………………………………4分 ∴T ＝503。
∴ω＝3100T 2ππ＝. ………………………………………………………5分 ∴I ＝)t 3100sin(3ϕπ＋ ………………………………………………………………6分 ∵图象经过（0501，） ∴.05013100或＝＋πϕπ⨯………………………………………………………………7分 ∴).(323舍＝－或＝πϕπϕ…………………………………………………………… 8分 ∴I ＝).3t 3100sin(3ππ＋………………………………………………………………9分 (2)∵T ＝,1003503＞…………………………………………………………………… 10分 ∴在任意一段1003秒的时间间隔内，I 不能既取得最大值3，又取得最小值－3。
………12分20、（本小题满分12分）解：f(x)＝2asin 2x －2b asinxcosx 3+＝a(1－cos2x)－b x 2asin 3+…………………………………………………………2分＝－2a(b a x)2sin 23x 2cos 21+++…………………………………………………4分 ＝－2asin （2x ＋6π）＋b ＋a ……………………………………………………………5分 ∵0≤x ≤2π ∴6π≤2x ＋6π≤67π ∴－21≤sin(2x+6π)≤1 ………………7分又∵a ≠0∴当a ＜0时，2a ＋b ≤f(x) ≤b －a.而已知函数值域为［－5，4］，…………………8分 ∴⎩⎨⎧=--=+452a b b a ⇒⎩⎨⎧=-=13b a ……………………………………………………………9分 当a ＞0时，b －a ≤f(x)≤2a ＋b …………………………………………………………10分∴⎩⎨⎧-=-=+542a b b a ⇒⎩⎨⎧-==23b a …………………………………………………………… 11分 综上a ，b 的值为：⎩⎨⎧=-=13b a 或⎩⎨⎧-==23b a ………………………………………………12分21（本小题满分12分） 解∵)2,0(πγβ∈、α、∴0＜sin α＜1 0＜sin γ＜1 0＜sin β＜1………………………………2分参考答案第2页(共4页)由sin α+sin γ=sin β 得sin β＞sin α ∵α、β（0,2π） ∴β＞α ∴0＜β－α＜2π……………………………………………………6分 又由⎩⎨⎧+αγγαcos cos cos sin sin sin ＝ββ＝＋得⎩⎨⎧-=-=②① ββαγαγcos cos cos sin sin sin …………………………………………………7分由（1）2＋（2）2 得1＝2－2cos(β－α)………………………………………………………………………10分 即cos （β－α）＝21………………………………………………………………… 11分 β－α＝3π………………………………………………………………………………12分 22、（本小题满分14分） 解：非零1x 为第一个方程的根，11x 的第二个方程的根，则……………………………………1分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅⋅+⋅=+- ② ①012sin 1412022cos 4121121θθx x x x ……………………………………………………………3分 由②得 ③022sin 4121=++-θx x …………………………………………………………5分①+③得4)2sin 2(cos 41=-θθx即θθ2sin 2cos 11-=x 代入②得…………………………………………………………7分 012sin )2sin 2(cos 4)2sin 2(cos 22=-⋅-⋅+-θθθθθ即012sin 42cos 2sin 4)2sin 2cos 21(22=--⋅+-θθθθθ412sin 2=∴θ…………………………………………………………………………………10分 212sin ±=∴θ…………………………………………………………………………………11分πθ<<0πθ220<<∴参考答案第3页(共4页)611,67,65,62ππππθ=∴……………………………………………………………………13分1211,127,125,12ππππθ=∴……………………………………………………………………14分说明：第1、5、13、14、18分别是课本改编题或原题。