更相减损术原理PPT课件
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《更相减损术原理》课件
更相减损术在古代数学中占有 重要地位，对后世数学的发展 产生了深远影响。
更相减损术的起源和发展
更相减损术的起源可以追溯到《九章算术》中的“衰分”章，该章详细介绍了如何 使用更相减损术求解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
随着时间的推移，更相减损术逐渐发展完善，成为中国古代数学中的一种重要算法 。
未来发展趋势
大数据处理
随着大数据技术的不断发展，更 相减损术将更多地应用于大数据
处理领域，发挥其优势。
云计算应用
借助云计算平台，实现更相减损术 的云端计算，为更多用户提供服务 。
人工智能融合
更相减损术将与人工智能技术进一 步融合，推动人工智能领域的发展 。
对更相减损术的期望
拓展应用领域
希望更相减损术能够拓展到更多领域，解决更多 实际问题。
03
历史价值
更相减损术作为我国古代数学的重要成果，对于研究古代数学思想和算
法具有很高的历史价值。
缺点分析
局限性
更相减损术在处理负数和复数时存在困难，无法直接应用 。此外，对于一些特殊数（如质数），该算法需要进行特 殊处理，增加了运算的复杂性。
对初值敏感
更相减损术对初值的选择较为敏感，初值的不同可能导致 算法在局部最优解附近徘徊，无法收敛到全局最优解。
之一。
原理的数学表达
更相减损术的数学表达通常采
用欧几里得算法，其基本步骤
如下
01
1. 任意取两个正整数，分别记
作 a 和 b。
02
2. 如果 b 为0，那么 a 就是最
大公约数。
03
3. 如果 b 不为0，那么从 a 中
减去 b，记作 a := a - b。
04
1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(共32张PPT)
1.3
算法案例
第一课时 辗转相除法 与更相减损术、秦九韶算法
知识能力目标引航 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解其执行过程,并会求最 大公约数. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它提高计算效率的实质,并会求 多项式的值. 3.进一步体会算法的基本思想.
1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则返回第二步. ②程序框图如图所示.
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以 用更相减损术.用辗转相除法,即根据 a=nb+r 这个式子,反复相除,直 到 r=0 为止;用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个式子,反复相减,直到 r=0 为止.
题型二 求多项式的值 【例题 2】 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x 的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7 分别是多少,再针对这些式子进行计算.
秦九韶算法的关键在于把 n 次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
题型三
易错辨析
【例题 3】已知 f(x)=3x4+2x2+4x+2,利用秦九韶算法求 f(-2)的值. 错解:f(x)=((3x2+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50. 错因分析:所求 f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶 算法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有 x 的一次 项. 正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50.
算法案例
第一课时 辗转相除法 与更相减损术、秦九韶算法
知识能力目标引航 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解其执行过程,并会求最 大公约数. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它提高计算效率的实质,并会求 多项式的值. 3.进一步体会算法的基本思想.
1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则返回第二步. ②程序框图如图所示.
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以 用更相减损术.用辗转相除法,即根据 a=nb+r 这个式子,反复相除,直 到 r=0 为止;用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个式子,反复相减,直到 r=0 为止.
题型二 求多项式的值 【例题 2】 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x 的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7 分别是多少,再针对这些式子进行计算.
秦九韶算法的关键在于把 n 次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
题型三
易错辨析
【例题 3】已知 f(x)=3x4+2x2+4x+2,利用秦九韶算法求 f(-2)的值. 错解:f(x)=((3x2+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50. 错因分析:所求 f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶 算法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有 x 的一次 项. 正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50.
《更相减损术原理》课件
3. 相等后剩下的值即为它们的最大公约 数。
3. 在剩下的差中找公因数，进行约分。
3
小技巧
需要注意的是，更相减损术的运算结果 可能不是最简分数。可以用最大公约数 约掉结果的公因数。
应用实例
能源
更相减损术的原理可以应用于风力发电机和太阳能 板等领域，帮助我们计算能源之间的差距。
天文学
更相减损术可以帮助我们计算天上星球之间的距离， 并建立更准确的星图。
比例
将较大的数减去较小的数可 得到一个差，差将比原数小。
公因数
如果两个数拥有相同的公因 数，将它们约出来可得到更 小的数字。
步骤和运算规则
1
步骤
1. 找到两个要相减的数，记为a和b。
运算规则
2
2. 不断将a和b中的较大数减去较小数，
1. 在两个数的差中找公因数。
直到它们相等为止。
2. 将公因数约成一部分。
缺点
• 速度比较慢，适用性较局限 • 不容易应用于复杂的数学问题 • 不能够保证在所有的情况下都能得到最简结果
结论和总结
更相减损术虽然已经是过去的算法，但它的原理和思维方法依然有启发意义。我们可以通过了解更相减损术的 原理，更好地发掘数学和计算机背后的本质。
与其他计算方法的Biblioteka 较1 加法法则更相减损术比加法法则多 了很多步骤，但它的方法 更容易推广到更高级别的 数学概念中。
2 分治法
分治法更适用于更复杂的 问题，而更相减损术则更 适用于简单的计算。
3 辗转相除法
辗转相除法是一个更快速 的算法，但它的原理更难 以理解。
优缺点
优点
• 易于理解和学习 • 可以帮助我们更好地理解其他算法 • 适用于简单的计算或基础的数学问题
1.3.2 更相减损术ppt
1.3.2 更相减损术 辗转相减法
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副 置分 母、 子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以 等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2不断约简，使他们不同时是偶 数；若不是，则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或者这 个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数。
理论迁移
例1 分别用辗转相除法和更相减损 术求168与72的最大公约数. 辗转相除法：168=72×2+24
72=24×3+0 即：168和72的最大公约数是24
更相减损术:
168-72=96 96-72=24 72-24=48 48-24=24 即：168和72的最大公约数是24
1．用更相减损术求153与119的最大公约数.
例3 用更减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减: 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习： 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
2、更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给 定的两个数，用较大的数减去较小的数，然 后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
解：17 2．用更相减损术求2 004与4 509的最大公约数. 解：501
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副 置分 母、 子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以 等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2不断约简，使他们不同时是偶 数；若不是，则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或者这 个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数。
理论迁移
例1 分别用辗转相除法和更相减损 术求168与72的最大公约数. 辗转相除法：168=72×2+24
72=24×3+0 即：168和72的最大公约数是24
更相减损术:
168-72=96 96-72=24 72-24=48 48-24=24 即：168和72的最大公约数是24
1．用更相减损术求153与119的最大公约数.
例3 用更减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减: 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习： 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
2、更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给 定的两个数，用较大的数减去较小的数，然 后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
解：17 2．用更相减损术求2 004与4 509的最大公约数. 解：501
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
辗转相除法和更相减损法讲义PPT优秀课件
完整的过程 8251=6105×1+2146
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90
6105=2146×2+1813
135=90×1+45
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
90=45×2
显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
公约数。 (12)
更相减损术算法
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是
一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
8251=6105×1+2146
r=m MOD n
m=n
n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
第一步,给定两个正整数,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他
们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为 m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步; 否则,2^k *d(k是约简整数的2的个数)为所 求的最大公约数.
辗转相除法与更相减损术 课件
辗转相除法与更相减损术
问题导学 (1)什么叫辗转相除法？ (2)什么叫更相减损术？ (3)辗转相除法与更相减损术的区别是什么？
1．辗转相除法 辗转 相除 法又 叫_欧__几__里__得___ 算法 ，是一 种求 两个 正整 数的 __最__大__公__约__数__的古老而有效的算法． (1)算法思想 对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不 为零，则将余数和较小的数构成新的数对，继续上面的除法， 直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大 公约数．
2．更相减损术 更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求 两个正整数的__最__大__公__约__数__的算法． (1)算法思想 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用 2 约 简；若不是，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所 求的最大公约数．
(3)程序框图和相应程序 程序框图如图所示，程序如下．
辗转相除法与更相减损术(求最大公约数)
用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减 损术检验所得结果． 【解】 用辗转相除法： 612＝468×1＋144，468＝144×3＋36，144＝36×4， 即 612 和 4步骤 根据上面的算法思想，我们可以整理出更相减损术的算法步骤 如下： 第一步，输入两个正整数 a，b. 第二步，判断 a 是否不等于 b，若是，则执行第三步；否则执 行第四步． 第三步，判断 a 是否大于 b，若是，则 a＝a－b，返回第二步； 否则执行 b＝b－a，返回第二步． 第四步，输出 a 的值．
【答案】 A
利用辗转相除法或更相减损术求最大公约数的算法思想设计算 法程序与框图体现了数学文化与现代数学的高度融合．解决此 类问题可以从算法本身出发，根据算法解决，若能够掌握辗转 相除法与更相减损术的算法思想，读懂程序框图的含义，求解 问题更准确，这是数学文化背景下的典型应用．
问题导学 (1)什么叫辗转相除法？ (2)什么叫更相减损术？ (3)辗转相除法与更相减损术的区别是什么？
1．辗转相除法 辗转 相除 法又 叫_欧__几__里__得___ 算法 ，是一 种求 两个 正整 数的 __最__大__公__约__数__的古老而有效的算法． (1)算法思想 对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不 为零，则将余数和较小的数构成新的数对，继续上面的除法， 直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大 公约数．
2．更相减损术 更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求 两个正整数的__最__大__公__约__数__的算法． (1)算法思想 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用 2 约 简；若不是，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所 求的最大公约数．
(3)程序框图和相应程序 程序框图如图所示，程序如下．
辗转相除法与更相减损术(求最大公约数)
用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减 损术检验所得结果． 【解】 用辗转相除法： 612＝468×1＋144，468＝144×3＋36，144＝36×4， 即 612 和 4步骤 根据上面的算法思想，我们可以整理出更相减损术的算法步骤 如下： 第一步，输入两个正整数 a，b. 第二步，判断 a 是否不等于 b，若是，则执行第三步；否则执 行第四步． 第三步，判断 a 是否大于 b，若是，则 a＝a－b，返回第二步； 否则执行 b＝b－a，返回第二步． 第四步，输出 a 的值．
【答案】 A
利用辗转相除法或更相减损术求最大公约数的算法思想设计算 法程序与框图体现了数学文化与现代数学的高度融合．解决此 类问题可以从算法本身出发，根据算法解决，若能够掌握辗转 相除法与更相减损术的算法思想，读懂程序框图的含义，求解 问题更准确，这是数学文化背景下的典型应用．
更相减损术
更相减损术
1 简介
更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
2 算法思想
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。
求“等数”的办法是“更相减损”法。
更相减损术原理
更相减损术原理更相减损术，又称为欧几里得算法，是一种用于求解最大公约数的古老而有效的方法。
它的原理简单而精妙，可以通过一系列的减法操作来找到两个数的最大公约数。
在这篇文档中，我们将深入探讨更相减损术的原理，并通过实例来展示其应用。
首先，让我们来了解更相减损术的基本原理。
假设有两个正整数a和b，其中a大于b。
我们可以通过以下步骤来求解它们的最大公约数：1. 如果a和b相等，那么它们的最大公约数即为它们的值；2. 如果a和b不相等，那么我们可以计算它们的差值，即a减去b，然后用较小的数和这个差值再次进行比较；3. 重复以上步骤，直到两个数相等为止。
通过这样的逐步减法操作，最终我们可以得到a和b的最大公约数。
这个过程中，我们不断地用较大的数减去较小的数，直到它们相等为止，这就是更相减损术的核心原理。
接下来，让我们通过一个具体的例子来演示更相减损术的应用。
假设我们要求解36和24的最大公约数，我们可以按照以下步骤进行：1. 36 24 = 12。
2. 24 12 = 12。
3. 12 12 = 0。
在这个例子中，我们通过连续的减法操作，最终得到36和24的最大公约数为12。
这个过程清晰地展示了更相减损术的原理和应用。
除了求解最大公约数外，更相减损术还可以用于其他数论问题的求解，比如判断两个数是否互质、计算两个数的最小公倍数等。
它的简洁而高效的特点使得它在数学领域得到了广泛的应用。
总之，更相减损术是一种古老而有效的求解最大公约数的方法，它通过连续的减法操作，可以快速而准确地找到两个数的最大公约数。
通过本文的介绍和实例演示，相信大家对更相减损术的原理和应用有了更深入的理解。
希望本文能够帮助大家更好地掌握这一数学方法，为日后的学习和应用打下坚实的基础。
人教A版高中数学必修三课件1.3.1更相减损术
例1.试求98与63的最大公约数.
解： 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减
∵ 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7
∴98与63的最大公约数为7
练习：用更相减损术求下列各组数的最大公约数. （1）225，135；（2）84，72； （3）8251，？最大公约数呢？
为什么？ （1）112、42；（2） 42、70.
解：∵ 112-42=70
gcd(112,42)=gcd(42,70)
70-42=28 42-28=14 28-14=14
=gcd(42,28) =gcd(28,14) =gcd(14,14) =14
∴112与42的最大公约数为14
gcd(a，b)表示正整数a与b的最大公约数
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的 差与原来较小的数相比较，并再次以较大 的数减去较小的数，一直重复这个步骤到 所得的数相等为止，则这个数（等数）或 这个数与约简的数的乘积就是所求的最大 公约数.
比较辗转相除法与更相减损法的区别
1 都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法 以除法为主，更相减损法以减法为主，计算次 数上辗转相除法计算次数较少，特别当两个数 字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
2 从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是 以相除余数为0而更相减损法则以减数与差相等 而得到。
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更相减损术原理解释
更相减损术是中国古代一种用于求两个正整数最大公约数的算法，也称为“相减法”。
其原理可以简单地解释如下：
假设有两个正整数a和b，其中a>b。
用较大的数a减去较小的数b，得到一个新的差c。
如果c等于0，则说明a和b的差是0，即a和b相等，此时a（或b）就是它们的最大公约数。
如果c不等于0，则用较小的数b和差c进行相减，得到新的差d。
重复以上步骤，继续用较小的数和差进行相减，直到得到的差为0为止。
最后的差为0时，说明上一步得到的差即为a和b的最大公约数。
更相减损术的思想是通过反复减去两个数中较小的一个，直到两个数相等或差为0。
在此过程中，每一步都使得较大的数变得更小，最终得到它们的最大公约数。
尽管更相减损术是一种古老的算法，但它在古代是一种有效的方法，用于求解整数的最大公约数。
然而，由于这种算法的迭代过程相对较慢，对于大的数值计算不够高效。
现代计算机通常使用更高效的算法（如欧几里得算法或辗转相除法）来求解最大公约数。
1.3算法案例--辗转相除法与更相减损术PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
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更相减损，求其等 也。以等数约 之。——《九章算 术》
第二步：以较大的数减较小 的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小 数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则 这个等数就是所求的最大公 约数。
其中所说的“等数”，就是 最大公约数。求“等数”的 办法是“更相减损”法，实 际上就是辗转相除法。
更相减损术是辗转相除法（欧几里德算法， Euclid algorithm）的一个特例，
它的原理是(a,b)=(a-nb,b)
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4
下面我们来证明：(a,b)=(a-nb,b) 证：不妨设d是a,b的最大公因子。 即a=rd,b=sd,并且 其中(r,s)=1,即存在x,y,使得xr+ys=1. 从而
更相减损术原理
—研究性学习
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1
求98与63的最大公约数
方法一：
7 98 63 14 9
方法二：
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2
更相减损术是出自《九章算术》的一 种求最大公约数的算法，它原本是为 约分而设计的，但它适用于任何需要 求最大公约数的场合。
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3
更相减损术的原理： (a,b)=(a-b,b) 这里将gcd (a,b)简记为(a,b).
a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(rns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1 于是:d=(a-nb,b) 于是得证。
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5
九章算术
可半者半之，不可
翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整
半者，副置分母、 数；判断它们是否都是偶数。
子之数，以少减多，
若是，则用2约简；若不是 则执行第二步。
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10
理论迁移： 用更相减损术求168与93的 最大公约数。
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11
更相减损术:168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3.
所以168与93的精最品ppt 大公约数是3 12
m=n
否
输出m 结束
=
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8
该程序框图对应的程序如何表述?
INPUT m，n WHILE m>n
k=m-n IF n>k THEN
mn==kn ELSEm=k
END IF WEND PRINT m END
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用更相减损术求98与63的最大公约 数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并 展转相减 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7。
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6
第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
第二步，计算m-n所得的差k. 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表
示，小者用n表示.
第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等 于 m；否则，返回第二步.
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7
该算法的程序框图如何表示？
开始
输入m，n
m=k
否
m≠n 是
k=m-n
n>k 是