数学问题杂谈 (12)

数学是精简实用、平实近人的。 数学是精简实用、平实近人的。 数学课程内容应当精中求简、删繁就简（不 数学课程内容应当精中求简、删繁就简（ 是删难就简）、以简驭繁（ ）、以简驭繁 是删难就简）、以简驭繁（以数学的核心概 念和基本思想，如数及其运算、函数、 念和基本思想，如数及其运算、函数、空间 观念、数形结合、向量、导数、统计思想、 观念、数形结合、向量、导数、统计思想、 算法等，作为主体) 算法等，作为主体)。 特别注意与学生思维发展水平相适应( 特别注意与学生思维发展水平相适应(例如统 计与概率内容的安排) 计与概率内容的安排)。
3.加强“思想性” 3.加强“思想性” 加强
以数学的概念、公式、法则、定义、 以数学的概念、公式、法则、定义、定理等组 骨架” 以数学的思考方法、 成“骨架”，以数学的思考方法、寻求一般性 模式的思想和追求简洁与形式完美的精神等作 为灵魂 利用“先行组织者” 利用“先行组织者”概述要研究的问题及研究 方法 循序渐进地安排核心数学概念和重要数学思想； 循序渐进地安排核心数学概念和重要数学思想； 强调数学本质，保证科学性； 强调数学本质，保证科学性；强调数学形式下 的思考和推理训练（以推理课为例） 的思考和推理训练（以推理课为例） 强调数学思想方法的渗透与概括（强调反思） 强调数学思想方法的渗透与概括（强调反思）
综合与分科 分科结构和综合结构各有利弊， 分科结构和综合结构各有利弊，并不存在 哪一个更好的问题。 哪一个更好的问题。重要的还是如何加强 联系。就当前的教材编写实践看，因为没 联系。就当前的教材编写实践看， 有足够的体现联系的素材和问题， 有足够的体现联系的素材和问题，综合结 构因为造成知识链的断裂（ 构因为造成知识链的断裂（讲一章代数后 接着安排几何，再接着要安排统计）， ），所 接着安排几何，再接着要安排统计），所 以弊大于利。应当说， 以弊大于利。应当说，综合结构比分科结 构更难组织，需要更多的时间来实验、 构更难组织，需要更多的时间来实验、探 索。 小学数学宜于用综合结构。 小学数学宜于用综合结构。
五、教学方法的多样、适切、灵活 教学方法的多样、适切、
多样、灵活： 多样、灵活：课堂教学中应当根据教学进程 的需要，恰当选择和灵活调整教学方法； 的需要，恰当选择和灵活调整教学方法； 适切： 适切：教学方法要为学生的数学认知活动服 适合内容的特点和学生的思维需要。 务，适合内容的特点和学生的思维需要。 教学方法改革核心是如何在接受式学习中融 入问题解决的成分， 入问题解决的成分，使启发式讲授教学与活 动式教学有机结合。 动式教学有机结合。
பைடு நூலகம்
当前值得重点考虑问题： 当前值得重点考虑问题：如何使活动式教学 真正有成效， 真正有成效，如何设法在学生学习中融入问 题解决的成分。这就要考虑： 题解决的成分。这就要考虑： 什么样的活动是有效的？ 什么样的活动是有效的？什么样的交流才是 真正的数学交流？ 真正的数学交流？什么样的探究才是真正的 数学探究？ 数学探究？ 有效的“活动”“探究”“问题解决” ”“探究”“问题解决 有效的“活动”“探究”“问题解决”等， 主要看学生思维的参与度， 主要看学生思维的参与度，要让学生真正通 过自己实质性的思维活动获取数学知识、 过自己实质性的思维活动获取数学知识、方 法和数学思想， 法和数学思想，并逐渐发展数学能力
需要注意的问题 1.教育就是积极推动学生发展，迁就学生发展 教育就是积极推动学生发展， 教育就是积极推动学生发展 水平（悠悠教育、快乐教育）是不正确的。 水平（悠悠教育、快乐教育）是不正确的。 2.各年龄段学生有能力在相对连贯的系统中学 各年龄段学生有能力在相对连贯的系统中学 习相应的内容，不要人为设置“螺旋” 习相应的内容，不要人为设置“螺旋”。 3.代数、几何、统计、概率、离散数学是相互 代数、 代数 几何、统计、概率、 联系的，数学概念可以有多种表达方式。 联系的，数学概念可以有多种表达方式。建 联系” 螺旋上升地认识数学概念” 立“联系”是“螺旋上升地认识数学概念” 的要义之一。 的要义之一。
2.强调问题性 2.强调问题性
以问题引导数学学习 看过问题三百个，不会解题也会问” “看过问题三百个，不会解题也会问” 在知识形成过程的“关键点” 在知识形成过程的“关键点”上，在解题 策略的“关节点” 策略的“关节点”上，在知识间联系的 联结点” 在数学问题变式的“ “联结点”上，在数学问题变式的“发散 在学生思维的“最近发展区” 点”上，在学生思维的“最近发展区”内 提问题，提好问题， 提问题，提好问题，使学生领悟提问的艺 逐步培养问题意识， 术，逐步培养问题意识，孕育创新精神
要防止教学目标“ 高大全” ， 有的甚至是 要防止教学目标 “ 高大全 ” 假大空” 目标“远大” 空洞， “假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚 例如，一堂课的目标中含有： 设。例如，一堂课的目标中含有： 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式； 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式； 培养学生勇于探索、创新的个性品质； 培养学生勇于探索、创新的个性品质； 体验数学的魅力，激发爱国主义热情； 体验数学的魅力，激发爱国主义热情； 等等。 等等。
教学目标的准确、具体、 教学目标的准确、具体、有用
准确：要准确地反映“课标” 准确：要准确地反映“课标”的要求 具体：要用可操作性语言， 了解”“ ”“理 具体：要用可操作性语言，对“了解”“理 ”“掌握”“灵活应用 掌握”“灵活应用” 解”“掌握”“灵活应用”等做出具体界定 实用， 实用，要阐述清楚经过教学后学生的变化 教学目标的制定反映了教师对数学、 教学目标的制定反映了教师对数学、教材以 及学生的理解的整体水平， 及学生的理解的整体水平，是教学水平的集 中体现。那种“一步到位” 中体现。那种“一步到位”的教学目标显然 不符合要求，也是教学水平不高的表现。 不符合要求，也是教学水平不高的表现。
5．问题要有意义、适度、恰时恰点 问题要有意义、适度、
有意义：问题要反映当前学习内容的本质； 有意义：问题要反映当前学习内容的本质； 适度：提问要把握好“ 使学生处于“ 适度：提问要把握好“度”，使学生处于“跳一跳 摘果子”的状态； 摘果子”的状态； 恰时恰点：要在学生处于思维困惑时提出问题， 恰时恰点：要在学生处于思维困惑时提出问题，使 问题能够启发和引导学生的数学思维活动。 问题能够启发和引导学生的数学思维活动。 构建恰时恰点的问题（系列） 构建恰时恰点的问题（系列）是有效教学的基本线 问题引导学习” 索，“问题引导学习”应是教学的一条基本原则
三、数学课程的结构问题
给学生结构性的数学知识非常重要——结构 给学生结构性的数学知识非常重要——结构 —— 创新要慎重。 创新要慎重。 关键：内容呈现方式的创新， 关键：内容呈现方式的创新，特别是素材更 新和过程“再发现” 新和过程“再发现”。 螺旋式与直线式 螺旋式的理由： 学习从属于发展” 螺旋式的理由：“学习从属于发展”，思维 和智力发展具有年龄特征； 和智力发展具有年龄特征；数学概念可以在 不同层次上得到表征。 不同层次上得到表征。
二、数学课程内容——保持高标准 数学课程内容 保持高标准
数学课程不能以人人学会作为设置理念， 数学课程不能以人人学会作为设置理念，内容的选 择不能以哪些更容易为原则， 择不能以哪些更容易为原则，否则将是没有终点的 退却。 退却。 对学生学习相对高深内容的期待， 对学生学习相对高深内容的期待，对培养学生的数 学学习兴趣、 学学习兴趣、增强学生对自己数学学习能力的信心 有重要影响。 有重要影响。 高标准——符合学生认知发展水平、学生经过真正 符合学生认知发展水平、 高标准 符合学生认知发展水平 的努力能够达到的标准。 的努力能够达到的标准。 课堂教学中， 课堂教学中，教师应当通过适当的方式让学生知道 对数学学习的高标准。 对数学学习的高标准。
4.加强联系性 4.加强联系性
推广 类比 当前内容 特殊化 类比
课堂教学的“六字经” 课堂教学的“六字经”
问题引导学习 教学重心前移 典型丰富例证 提供概括时机 保证思考力度 加强思想联系 使用变式训练 强调反思迁移
欢迎批评指正 谢 谢！
七、改革的几个基本点
1.加强“亲和力” 1.加强“亲和力” 加强 选择与数学本质紧密相关的 （1）选择与数学本质紧密相关的、典型 丰富的和学生熟悉的素材。 的、丰富的和学生熟悉的素材。 知识的引入强调背景，使教材、 （2）知识的引入强调背景，使教材、教 学生动、自然而亲切， 学生动、自然而亲切，让学生感到知识的 发展水到渠成而不是强加于人。 发展水到渠成而不是强加于人。 （3）以适当的方式启发学生更深入的数 学思考，不断引发学习激情。 学思考，不断引发学习激情。
需要注意的问题： 需要注意的问题： 1.为 情境”而情境， 数学化”搞成“ 1.为“情境”而情境，把“数学化”搞成“去数学 化”。 2.情境复杂化 造成学生对背景理解的困难， 情境复杂化， 2.情境复杂化，造成学生对背景理解的困难，干扰 对数学本质的理解。 对数学本质的理解。 3.任何情境 联系实际、探究活动等， 任何情境、 3.任何情境、联系实际、探究活动等，都应以是否 有利于学生理解和掌握数学知识为标准。 有利于学生理解和掌握数学知识为标准。离开知 识的掌握，学生的一切发展都将落空。 识的掌握，学生的一切发展都将落空。数学课要 教数学。 教数学。 4.并不是所有内容的学习都要联系实际 并不是所有内容的学习都要联系实际， 4.并不是所有内容的学习都要联系实际，数学内在 的逻辑发展是数学学习的最主要线索。 的逻辑发展是数学学习的最主要线索。 陈省身： 数学学得深了才有应用” 陈省身：“数学学得深了才有应用”。
六、教学过程有效、开放、重点突出 教学过程有效、开放、
有效：通过教学能确保达成教学目标， 有效：通过教学能确保达成教学目标，保证 课堂教学的效率和效果。 课堂教学的效率和效果。 开放：学生有广阔、独立的数学思维空间， 开放：学生有广阔、独立的数学思维空间， 有机会经过自己的独立思考获得对数学知识 的理解。 的理解。 重点突出： 重点突出：教学要抓住数学核心概念和思想 方法。 方法。