分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2010年卡西欧杯全国一等奖)
课件2：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
5×4×3×3= 180种等.
３.如右图,用5种不同颜色给图中的A、B、C
、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种
颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂
色方案有________种.
A
B
C
D
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成.第一步涂A有5
种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方
所以得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色
中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的
颜色,不同的涂色方案有多少种？
思考：
若用2色、4色、5色等,结
果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4×3×2×2 = 48、
，不同的路线有
条.
2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年
级的学生4名.
①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从
甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不
的专业选择共有多少种？
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案
中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方
法，在第3类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件
事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若
干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分类加法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
在数学中，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是两个重要的计数方法。 本演示将介绍它们的概念、应用和示例，并提供总结和应用建议。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种计数方法，它将问题分解为不同的分类，并将每个分类的计数结果相加，从而得到问 题的解答。
1
概念理解
了解如何将问题分类以及如何对每个分
应用案例
2
类进行计数。
探索实际应用中分类加法计数原理的例
子，如组队问题和物品组合问题。
3
加法计数实践
自己动手解决一些分类加法计数问题， 提升技巧。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种计数方法，它将问题分解为逐步计数的阶段，然后将每个阶段的计数结果相乘，从而 得到问题的解答。
概念介绍
了解如何将问题分解为多个 阶段以及如何对每个阶段进 行计数。
实际应用
探索分步乘法计数原理在实 际问题中的应用，问题 的练习，提高技能。
总结和应用建议
通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，我们能够更有效地解决各种计数问题。将这些方法应用于实 际生活和工作中，可以帮助我们更好地分析和解决问题。
灵活应用
理解如何根据具体问题选择合适 的计数原理，并将其灵活运用。
问题解决能力
培养分析和解决问题的能力，提 升数学思维。
成就感
获得解决问题的成就感，进一步 激发学习兴趣。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。
分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。
为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。
假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。
根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。
然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。
在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。
选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。
将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。
接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。
同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。
假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。
然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。
综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。
分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。
通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法，它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题，然后对每个子问题进行计数，并将计数结果相加得到最终的答案。
该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况，每种情况又可以用数学方法计数的情况。
以一个具体的例子来说明，假设有一个5人小组，要从10个人中选出3个人组成小组，要求其中必须包含代表A和代表B两人。
这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个情况：选出的小组中分为三种情况，即A和B分别在小组中被选中（情况1），A被选中但B没有被选中（情况2），B被选中但A没有被选中（情况3）。
（2）计算每个情况下的可能性：情况1中，需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人，共有8种选择方式；情况2和情况3中，需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人，共有C(8,2)=28种选择方式。
（3）求解最终答案：将每个情况下的可能性求和，即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。
通过以上步骤，我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。
分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题，并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。
该原理适用于问题可以划分为几个步骤，并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。
同样以例子来说明，假设有一个国际象棋棋盘，要求将8个皇后放置在棋盘上，使得彼此之间不能互相攻击。
这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个步骤：要放置8个皇后，可以将问题划分为逐行放置皇后，每行只能放置一个皇后的步骤。
（2）计算每个步骤的可能性：在棋盘上的第一行放置皇后，有8种选择；在棋盘上的第二行放置皇后，有7种选择；以此类推，最后一行只有一个位置可以放置皇后。
（3）求解最终答案：将每个步骤的可能性相乘，即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学
生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类加法计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
北 甲地 北 乙地 丙地
中
南 南
分析:
从甲地经乙地去丙地有两步, 第一步, 由甲地去乙地有3种方法, 第二步, 由乙地去丙地有2种方法, 所以 从甲地经乙地去丙地共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
分步乘法计数原理 ：
完成一件事需要两个步骤，做第一 步有m种不同的方法，做第二步有n
种不同的方法,那么完成这件事共有
例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. 注意区别“分类”与“分 (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
步”
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 解：完成这件事有两类方案， 不同地走法？
第一类，从甲地经乙地到丁地，共有 甲地 乙地
N1=2×3=6
第二类，从甲地经丙地到丁地，共有 N2=4×2=8 根据分类加法计数原理共有 N= N1+N2 =14种不同的走法
丙地
丁地
作业：习题1.1A组1，3，5
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理加法计数原理与乘法计数原理是统计学中研究组合问题的重要工具。
它们被用来研究不同数量的对象排列成容器的模式。
加法计数原理是指一个容器可以放置n个对象，所有可能出现的组合数量等于每种情况的数量相加，即n1+n2+…+ni。
而乘法计数原理是指一个容器可以放置n个对象，所有可能出现的组合数量等于每种情况的数量相乘，即n1×n2×…×ni。
加法计数原理也叫拆分法，它的思想是把一个问题拆分成多个子问题，并求解每一个子问题，然后将子问题解的和作为总问题的解。
它可以用于计算不同数量的对象排列成容器中所有可能出现的组合数量。
以容器里一次放入3种颜色的小球为例，一共有三种方案，一种为全部放入红球、一种放入蓝球、一种放入绿球。
使用加法计数原理，则可以将该总问题分解为三个子问题，分别求解全部放入红球、放入蓝球、放入绿球的方案数，然后将它们的解的和作为总方案数的解。
乘法计数原理也叫分步乘法计数原理，它的思想是求解一个总体的组合数量可以拆分为两个步骤，求总体中的每一个部分的组合数量，然后将各个部分的组合数量相乘，得出总体组合数量。
以容器里一次放入3种颜色的小球为例，使用分步乘法计数原理，则可以求出放入红球、蓝球、绿球的三种方案当中，第一个小球放入红球、第二个小球放入蓝球、第三个小球放入绿球的方案数，然后将它们的解的积即可求出总方案数的解。
总的来说，加法计数原理与乘法计数原理都可以用于研究不同数量的对象排列成容器中所有可能出现的组合数量。
加法计数原理是把一个总问题拆分成多个子问题，将每个子问题的解和起来即可求出总问题的解；乘法计数原理是把一个总体的组合数量可以拆分为两个步骤，求每一个部分的组合数量，然后将它们的积作为总体组合数量的解。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
1. 分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类 方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有Nm=+_n____种不同的方法. (2)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法 相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事.
2.分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事 共有N=__m_×__n__种不同的方法. (2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的 方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
1.你能否将分类加法计数原理、分步乘法计数原理进行推广？ 提示：(1)完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不 同方法，在第2类方案中有m2种不同方法……第n类方案中有mn 种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法. (2)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2 步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方法，那么完成这件 事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同方法.
【解析】完成从杭州到北京这件事有两类方案：第1类乘火车 有5种不同方法；第2类乘飞机有10种不同方法.所以从杭州到 北京共有5+10=15种方法. 答案：15
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相
同
用来计算完成一件事的方法种数
点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
求出每一步中的 方法数
结论
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
5．两个原理的联系与区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是 有关做一件事的 不同方法的种数 问题．区别在于： 分类加法计数原理针对的是 分类 问 题 ， 其 中 各 种 方 法 相互独立 ，其中任何一种方法都可以完成这件 事；分步乘法计数原理针对的是 分步 问 题， 各 个步骤 中的方法 互相依存 ，只有各个步骤都完成才算完 成这件事．
[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个？
[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原 理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了， 这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按 个位上的数字情况进行分类．
[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．
m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
3．分步乘计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×种n 不同的方法． 4．分类计数乘法原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的 方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn 种 不同的方法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70 种不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画， 由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝ 35种不同的选法．
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英 语书各一本，共有30种不同的取法．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 说课稿 教案 教学设计
分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识与技能分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．过程与方法通过对简单实例的分析概括，总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用的方法．情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力和分类讨论能力．教学重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．教学难点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．教学过程复习回顾提出问题1：某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？提出问题2：有一个班共有46名学生，其中男生有21名．(1)现要选派一名学生代表本班参加学校的学代会，则有多少种不同的选派方法？(2)若要选派男、女学生各一名代表本班参加学校的学代会，则有多少种不同的选派方法？活动设计：请同学分析思路和解法依据，并由另外的同学补充．活动成果：1．要完成领带和衬衣的搭配可以分两个步骤：第一步，选择一条领带，有4种不同的选择；第二步，选择一件衬衣，有6种不同的选择．根据分步乘法计数原理，共有4×6＝24种不同的搭配方法．2．(1)要选派一名学生代表本班参加学校的学代会有两类不同的选法：第一类，选男生，有21种不同的选择；第二类，选女生，有25种不同的选择．根据分类加法计数原理，共有21＋25＝46种不同的选择．(2)要选派男、女学生各一名代表本班参加学校的学代会，可以分成两个步骤：第一步，选男生，共有21种不同的选择；第二步，选女生，共有25种不同的选择．根据分步乘法计数原理，共有21×25＝525种不同的选法．设计意图：通过以上两个简单的问题，引导学生回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理．提出问题3：上一节课我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并将两个原理进行了推广，请同学们回忆我们推广的两个原理的内容，并回忆两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生回答，请不同的同学补充．活动成果：1．分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系：(1)相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题．(2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成．设计意图：检查学生对两个原理的掌握情况，为本节课的学习提供知识基础和方法提示．典型示例例1给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？思路分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，选中间字符；第三步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．解：第一步，先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7＋6＝13种不同的选法．第二步，中间字符和末位字符各有9种不同的选法．根据分步乘法计数原理，最多可以有13×9×9＝1 053种不同的选法，即最多可以给1 053个程序命名．例2核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分．一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．总共有4个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？思路分析：用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据．第1位第2位第3位第100位↑↑↑↑4种4种4种4种解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如上图所示．从左到右依次在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法．根据分步计数原理，长度为100的所有可能的RNA分子种数为.例3电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？思路分析：由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．解：(1)用下图来表示一个字节．第1位第2位第3位第8位↑↑↑↑2种2种2种2种一个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256个不同的字符．(2)由(1)知，用一个字节所能表示的字符不够6 763个，我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符．前一个字节有256种不同的表示方法，后一个字节也有256种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256×256＝65 536个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 763.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示．理解新知提出问题：分析以上三个例题，总结这三个例题的共同特点．活动设计：先独立思考，后分组讨论，最后学生总结．活动成果：这三个问题的解决都是分步完成的，在计算每一步的方法时都采用了分类加法计数原理．由此可知，在解决计数问题时，往往要两个原理一起使用．重要的是，在解决时，是先分步还是先分类．【巩固练习】1．乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有几项？2．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？【答案】1.45 2.30【拓展实例】三个比赛项目，六人报名参加．(1)每人参加一项有多少种不同的方法？(2)每项1人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？(3)每项1人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？思路分析：(1)可以分成六个不同的步骤完成，每个人选择一个项目为一个步骤；(2)可以分成三个不同的步骤，每项选择一个人报为一个步骤；(3)可以分成三个不同的步骤，每项选择一个人报为一个步骤，但每步所选之人不同．解：(1)完成这件事可以分成六个不同的步骤：第一步，第一个人报一个项目，有3种不同的选择；第二步，第二个人报一个项目，有3种不同的选择；第三步，第三个人报一个项目，有3种不同的选择；第四步，第四个人报一个项目，有3种不同的选择；第五步，第五个人报一个项目，有3种不同的选择；第六步，第六个人报一个项目，有3种不同的选择．根据分步乘法计数原理共有3×3×3×3×3×3＝36种不同的方法．(2)完成这件事可以分成三个不同的步骤：第一步，第一个项目选择一个人报，有6种不同的选择；第二步，第二个项目选择一个人报，有6种不同的选择；第三步，第三个项目选择一个人报，有6种不同的选择．根据分步乘法计数原理，共有6×6×6＝63种不同的方法．(3)完成这件事可以分成三个不同的步骤：第一步，第一个项目选择一个人报，有6种不同的选择；第二步，第二个项目从剩下的5个人中选择一个人报，有5种不同的选择；第三步，第三个项目从剩下的4个人中选择一个人报，有4种不同的选择．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120种不同的方法．点评：在使用两个原理解决计数问题时，一定要从完成这件事的角度考虑，以此作为分类和分步的依据．【变式演练】将3种作物种植在如图所示的4块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？(三种作物必须都种植)解法一：可以分4个步骤完成这件事：每一步种一块地．种第一块，有3种作物可供选择；种第二块地，有2种作物可供选择；种第三块地，有2种作物可供选择；种第四块地，有2种作物可供选择；根据分步乘法计数原理，可得共有3×2×2×2＝24种不同的种法．但是在所有的种法中，包含了只种两种作物的情况，应该去掉．若只种两种作物，可以分4个步骤完成这件事：每一步种一块地．种第一块，有3种作物可供选择；种第二块地，有2种作物可供选择；种第三块地，有1种作物可供选择；种第四块地，有1种作物可供选择；根据分步乘法计数原理，可得共有3×2×1×1＝6种不同的种法．综上，满足条件的种法共有24－6＝18种．解法二：分两大类完成这件事：第一类，第三块地和第一块地种植作物一样，分成四个步骤：第一步，种第一块地，有3种作物可供选择；第二步，种第二块地，有两种选择；第三步，种第三块地，有一种选择；第四步，种第四块地，只能种剩下的一种作物，有一种选择．根据分步乘法计数原理，这一类共有3×2×1×1＝6种不同的种法．第二类，第三块地和第一块地种植作物不一样，分成四个步骤：第一步，种第一块地，有3种作物可供选择；第二步，种第二块地，有两种选择；第三步，种第三块地，有一种选择；第四步，种第四块地，有2种作物可供选择．根据分步乘法计数原理，这一类共有3×2×1×2＝12种不同的种法．然后将这两类相加，共有6＋12＝18种不同的种法．点评：完成这件事的计数，必须两个原理结合使用，可以先分类再分步，也可以先分步再分类．无论采用哪种方法，都要做到：“考虑全面，不重不漏．”达标检测1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A．53种B．35种C．3种D．15种2．由数字2,3,4,5可组成______个三位数，______个四位数，______个五位数．3．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？【答案】1.B 2.434445 3.34课堂小结1．知识收获：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的初步应用．2．方法收获：解决计数问题时先分步后分类的方法．3．思维收获：化归思想．。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
郭雄
教学目标：（1）知识与技能：理解并能利用两个计数原理解决简单的计数问题；
（2）过程与方法：通过让学生亲身体验概念生成的过程，提高学生的归纳概括能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
（3）情感态度与价值观：通过学生熟悉的例子，让学生真切感受到数学知识与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学难点：正确理解“完成一件事情”的含义，能正确区分“分类”与“分步”
教学程序：。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
当要确定一个组合的数量时，分类加法计数原理就可以归结到两种状态：
1）它的子集的数量可以用加法的方式表示
2）它的数量受它的子集的数量的影响，以及它子集之间的关系。
因此，如果要确定一个总体的数量，就要先获得它包含的子集的数量，然后把子集的数量相加得到总体的数量。
分步乘法计数原理又叫乘法定理，也是组合数学中关于组合数学性质
的一个定理，它的基本思想是：一个总体有一定的数量和性质。
这种性质
可以是概率、数量或其他特性。
它可以使用乘法的方式表示。
当要确定一个组合的数量时，分步乘法计数原理就可以归结到两种状态：
1）它的子集的数量可以用乘法的方式表示
2）它的数量受它的子集的数量的影响，以及它子集之间的关系。
因此，如果要确定一个总体的数量，就要先获得它包含的子集的数量，然后把子集的数量相乘得到总体的数量。
分类加法技术原理与分步乘法计数原理
欢迎来到本次演示，今天我们将介绍分类加法技术原理和分步乘法计数原理， 以及它们在实际应用中的价值和局限性。
分类加法技术原理
分类加法技术是一种用于求解复杂问题的数学方法。通过将问题划分为多个简单部分，然后将这些部分相加，我们 可以更轻松地找到问题的解决方案。
划分问题
优势和局限性
优势
可以将复杂问题简化为易于理解和解决的部分。 提供了一种有序和系统的解决问题的方法。 可以帮助我们更好地理解问题的本质和结构。
局限性
可能无法应用于所有类型的问题。 可能需要额外的计算和耗费更多的时间。 可能需要具备一定的数学能力和分析思维。
总结和结论
分类加法技术和分步乘法计数原理是强大的数学工具，能够帮助我们更好地 解决复杂问题。无论是在项目管理、编程、市场营销还是教育领域，它们都 发挥着重要的作用。
将个子问题找到相应的解 决方案。
合并结果
将所有子问题的解决方案相加， 得到整个问题的解。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种用于计算乘法问题的有效方法。通过将乘法问题分解为多个简单的乘法步骤，我们可以 更容易地进行计算。
1
分解因数
将乘法问题的因数分解成多个较小的数字。
分类加法技术的应用场景
1 项目管理
2 编程
将一个大型项目拆分为多个任务，然后逐步完成 并整合。
将复杂的编程问题分解为多个小的子问题，然后 逐个解决。
3 市场营销
4 教育
将一个市场营销计划分为多个阶段和策略，并分 别执行。
将一个复杂的概念分解为多个简单的步骤，以便 更好地传授给学生。
分步乘法计数的实际案例
2
逐步计算
依次计算每个较小数字的乘积。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
2 示例案例
我们将通过一些具体的案例来演示分类加法计数原理的应用，以加深理解。
分步乘法计数原理介绍
现在，我们来学习分步乘法计数原理，了解它的定义及应用场景，并通过实例来进一步理解。
1 定义及应用场景
2 示例案例
分步乘法计数原理是一种将多个步骤分 别计数再相乘的方法，通常用于解决复 杂的计数问题。
通过一些具体的案例，我们可以更好地 理解分步乘法计数原理的应用和实际效 果。
分类加法计数原理与法计数原理和分步乘法计数原理的相似之处和不同之处。
共同点
两种计数原理都用于解决复杂计数问题，并能够得到准确的结果。
分类加法计数原理与分步 乘法计数原理课件
欢迎来到分类加法计数原理与分步乘法计数原理的课件！在这个课件中，我 们将深入探讨这两个重要的计数原理，并比较它们的共同点和不同点。
分类加法计数原理介绍
在这一部分，我们将学习分类加法计数原理的定义及其应用场景，并通过一些示例案例来帮助理 解。
1 定义及应用场景
实际应用举例
我们将通过一些实际应用的案例来展示这两 种计数原理的实际效果。
不同点
分类加法计数原理适用于将多个分类的计数结果相加，而分步乘法计数原理适用于将多个步 骤的计数结果相乘。
结论
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在不同的场景下都发挥着重要的作用。
适用场景
分类加法计数原理适用于需要将多个分类的 计数结果相加的问题。分步乘法计数原理适 用于需要将多个步骤的计数结果相乘的问题。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
我国“知名人士”——小明的生 活
京A
1. 花坛装点方法
RMB.5.007
计思数考问：题如共个和果有：性一用多化组计4少汽 （种算种车3不完个不牌同成）同照的阿一的由花拉件装一色伯点事组装数方的（点字法3方花组个？坛法成），数，英的这文种字问办母题
数字给北京部分景点编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的 方式给北京部分景点编号，总共能编出多少种 不同的号码？
字母
BCEFDA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
BACEFD1111 BACEFD2222 BACEFD3333 BACEFD4444 BACEFD5555 BACEFD6666 BACEFD7777 BACEFD8888 BACEFD9999
乌市
火车1
火…车2
火车5
飞机1
飞…机2
飞机10
自驾游1
北京
分析：完成从乌鲁木齐到北京这件事有3类方案， 所以，从乌市到北京共有5 + 10 +1= 16种方法.
分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案,
在第1类方案中有m1种不同的方法, 在第2类方案中有m2种不同的方法，……， 在第n类方案中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有 N= m1 +m2 +…+mn
种不同的方法.
典例分析
例1 A旅行社： B旅行社：
故宫 天安门广场 天坛 北海公园
奥林匹克公园 颐和园 景山公园 鼓楼 故宫
如果从中选择一个景点参观，共有多少种选法？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【问题6】你能进一步推广到有3类方案的 情况吗？m类方案呢？
推广 1 完成一件事有三类不同的方 案，在第 1 类方案中有 n1 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n2 种不同的方法， 在第 3 类方案中有 n3 种不同的方法，那么完成 这件事共有 N=n1+ n2+ n3 种不同的方法。
推广 2 完成一件事有 m 类不同的方案， 在第 1 类方案中有 n1 种不同的方法，在 第 2 类方案中有 n2 种不同的方法， ……， 在第 m 类方案中有 nm 种不同的方法，那 么完成这件事共有 N=n1+ n2+……+nm 种不同的方法。
沧州市第一中学
赵寿锋
1.1 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
【问题1】2010南非世界杯是今年体育界的一大盛 事。开赛前，中央电视台某记者通过网络测试了 解到观众最感兴趣欧洲球队和美洲球队如下： 欧洲球队 美洲球队 德国 巴西 英格兰 阿根廷 西班牙 乌拉圭 意大利 法国 他决定从这些球队中选择一个跟踪采访，试问： 他有几种选择方式？
【例题】书架的第一层有4本不同的计算机书，第二层有 3本不同的文艺书，第三层有2本不同的体育书。 （1）从书架中任取1本书，有 种不同的取法； （2）从书架的第1，2，3层各取一本书，有 种不 同的取法； （3）从书架中任取2本不同学科的书，有 种不同 的取法。
分类加法计数原理 联系
分步乘法计数原理
【问题11】咱们班共有男生30名，女生20名， 从班上选出1名男生和一名女生担任节目主持 人，有多少不同的选法？ 【问题12】你能举一些生活中类似的例子吗？
【问题13】这些例子有哪些共性？你能试着归 纳出一个一般的命题吗？
分步乘法计数原理：完成一件事有两个步骤，做第 1 步有 n1 种不同的方法，做第 2 步有 n2 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=n 1 n2 种不同的方法。
【问题2】暑假马上到了，你要从沧州到北京去看 清华园，有两种交通工具供选择：长途汽车、旅 客列车，已知当天长途汽车有5班，旅客列车有3 班。问共有多少种不同的选择？
汽车5班
火车3班
【问题3】咱们班共有男生30名，女生20名， 从班上选出1名同学当班长，有多少不同的 选法？
【问题4】你能举一些生活中类似的例子吗？
【问题5】这些例子有哪些共性？你能试着归纳 出一个一般的命题吗？
分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案， 在第 1 类方案中有 n1 种不同的方法，在第 2 类方案 中有 n2 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n1+ n2 种不同的方法。
【问题1】2010南非世界杯是今年体育界的一大盛 事。开赛前，中央电视台某记者通过网络测试了 解到观众最感兴趣欧洲球队和美洲球队如下： 欧洲球队 美洲球队 亚洲球队 德国 巴西 韩国 英格兰 阿根廷 日本 西班牙 乌拉圭 意大利 法国 他决定从这些球队中选择一个跟踪采访，试问： 他有几种选择方式？
反思小结：
分类的基本原则是：“不重不漏”
【问题9】2010年南非世界杯前四强是： 荷兰、西班牙、德国、乌拉圭，当四强刚 刚产生后，你能计算冠亚军的可能情况有 多少种吗？
冠军
亚军
西班牙
荷兰
树形图
德国 乌拉圭
【问题10】暑假来了，要从沧州到北京旅游， 若想中途参观南开大学，已知从沧州到天津 有5种乘车方式，从天津到北京有4种乘车方 式，试问：要从沧州到北京共有多少种不同 的方法？
【问题13】你能进一步推广到有3个步骤的情 况吗？m个步骤呢？
推广 1 完成一件事有三个步骤，做第 1 步有 n1 种不同的方法，做第 2 步有 n2 种不 同的方法，做第 3 步有 n3 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=n1 n2 n3 种不同的方法。
推广 2 完成一件事有 m 个步骤， 做第 1 步有 n1 种不同的方法，做第 2 步有 n2 种不同的方 法，……，做第 m 步有 nm 种不同的方法，那 么完成这件事共有 N=n1 n2 …… nm 种不同的方法。
都需要完成一件事，并计算其方法数
完成一件事情,共分n个 步骤，关键词是“分 步”、 “乘法” 只有每个步骤完成了， 才能完成这件事情。
完成一件事情共有n类 区别一 办法，关键词是“分 类”、“加法” 每类方案中的每种方法 区别二 都能独立完成这件事情。
区别三 各类办法相互独立
各个步骤相互依存
书面作业：课本Ｐ6 1-3题 阅读作业：课本Ｐ11-12 研究与发现 “子集的个数有多少”
【问题7】世界杯开赛前，新浪网和搜狐网在网上 分别进行了“本届世界杯你最支持的球队”的评选 活动，位于前五位的结果如下： 新浪网 搜狐网 德国 巴西 阿根廷 巴西 乌拉圭 西班牙 意大利 西班牙 法国 荷兰 试问：如果你从这两个网站的评选结果中挑选一支 你最支持的球队，有多少种选法？
【问题8】由此你能试着总结应用分类加法计 数原理需要注意的问题吗？