13.1.2命题与定理1

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13.1.2 公理、定理

2、作用：可作为判断其他命题真假的原始依据
3、回顾已学过的一些公理：
⑴一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
⑵两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
⑶全等三角形的对应边、对应角相等。
注：在本书中我们将这些真命题均作为公理
㈡定理：真命题
1、定义：用逻辑推理的方法证明得到的真命题
直角三角形的两个锐角互余。
活动：学生阅读课本，教师板书证明过程。
评析：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。
注：定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
三、随堂练习：
课本练习第பைடு நூலகம்、2题。
四、课时总结
1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。
2、可作为判断其他命题真假的原始依据
3、回顾已学过的一些定理
⑴两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
石狮蚶中教学笔记
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备注
⑵内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
⑶三角形的内角和等于180°。
⑷直角三角形的两锐角互余。
㈢例题与证明
例题：用“三角形的内角和等于180°”这条定理，证明命题：
石狮蚶中教学笔记
课题
公理、定理
教学目标
1、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。
2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；
3、初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
教学重点
知道什么是公理，什么是定理
教学难点

人教版八年级上册 13.1 命题、定理与证明(共33张PPT)

动手试一试：
证明：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
又∵∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=90°.
随堂练习
练习
把下列命题改成“如果……，那么……”的形式，并分别指出条件和结论.
（1）全等三角形的对应边相等；（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
（1）条件：如果两个三角形是全等三角形，结论：那么它们的对应边相等；
练习
把下列命题改成“如果……，那么……”的形式，并分别指出条件和结论.
（1）全等三角形的对应边相等；（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
（ 2）条件：如果在同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，结论：那么这两条直线平行.
练习
指出下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°；（3）三角形的外角和等于360°；（4）平行于同一条直线的两条直线相互平行.
（2）是假命题；（1）（3）（4）是真命题.
练习
把下列定理改成“如果……，那么……” 的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明（1）所示的定理.
CD分别相交于E、F，PQ与 A
E
B
AB、CD分别相交于E、G，
C
∠PEM=27°，∠DGQ=63°.
求证：MN⊥CD.
F GD
Q N
作业
PM
A
E
B
CF
证明： AB//CD（），

八年级数学上册第13章全等三角形13.1 命题、定理与证明 2定理与证明课件

已知、求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的
途径，写出证明过程.
第十一页，共二十二页。
根据下列命题，画出图形，并结合
图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等； 4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相
∴ OE⊥OF 2 第十七页，共二十二页。
如何(rúhé)判断一个命题是假命题？
只要举出一个例子（反例），
它符合(fúhé)命题的题设，但不满足结论就可以了.
第十八页，共二十二页。
判断下列(xiàliè)命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：
1)相等的角是对顶角； 2)同位角相等；
4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别(fēnbié)是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G CF
第十六页，共二十二页。
H D
例2.证明(zhèngmíng)：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角(bǔ ， jiǎo)
c
3a
1
2
b
第九页，共二十二页。
c
证明：∵a∥已b 知( (zhèngmíng)
∴∠3=∠2
3a
1
)2
b
(两直线平行(píngxíng)，同位角相) 等
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等)(xiāngděng)
∴∠1=∠2 ( 等量代换)

命题与定理知识点总结

命题与定理知识点总结命题和定理是数学中非常重要的概念，它们是推理和证明的基础，也是数学研究的重要工具。

在数学中，命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。

而定理则是已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

在数学中，命题与定理的概念有很重要的地位，下面我们将对命题与定理的知识点进行总结。

一、命题1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

命题是可以判断真假的陈述句，而不能同时为真和假的陈述句不能称为命题。

比如：“1+1=2”、“地球是圆的”等句子都是命题。

2. 命题的类型（1）简单命题简单命题是最基本的命题，它不含有任何连接词或者其他命题，并且可以明确的判断真假。

（2）合取命题合取命题由多个简单命题用“且”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的合取命题，只有所有的简单命题都为真时，该合取命题才为真，否则为假。

（3）析取命题析取命题是由多个简单命题用“或”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的析取命题，只有有一个简单命题为真时，该析取命题就为真，否则为假。

（4）否定命题否定命题是由一个简单命题用“非”连接而成，形式为~p，这种形式的否定命题，当原命题为真时，否定命题为假，当原命题为假时，否定命题为真。

二、定理1. 定理的定义定理是数学中已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题。

在数学上，定理是通过数学推理和证明得出的数学结论。

2. 定理的特点（1）定理是经过证明的命题定理是经过严格的数学证明和验证的，它是数学研究的成果之一。

（2）定理可以用来解决问题定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题，它是数学研究的重要工具。

（3）定理可以推广和应用定理可以根据特定的条件进行推广和应用，可以在实际问题中得到应用。

三、命题与定理的关系1. 命题与定理的联系命题与定理是数学中非常重要的概念，它们有着密切的联系。

命题是数学研究的基础，而定理则是通过命题推理和证明得出的数学结论。

命题和定理

学生：科目：数学教师：第阶段第次课 2013年月日课题：命题与定理授课内容：（一）、命题1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．（二）、互逆命题1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．(三)例题例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）对顶角相等．（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．例2、写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。

1、自然数必为有理数； 2、若|a|＝|b|，则a ＝b ； 3、若a ＝b ，则a 3＝b 3；4、若x ＝a ，则2()0x a b x ab -++=；解：1、逆命题为：有理数必为自然数。

原命题为真命题，逆命题为假命题；2、逆命题为：若a ＝b ，则|a|＝|b|。

13.1.1命题&13.1.2公理与定理

13.1.1命题【学习目标】1.理解并掌握命题的概念。

2.命题的分类3.根据已学知识和经验去判断一个命题的真假【教学重点】：命题的概念、命题的组成及命题的真假【教学难点】：命题的概念、命题的组成及命题的真假【学法指导】讲练结合【自学指导、合作探究】一、自学指导思考：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180°”、“等腰三角形的两个底角相等”等．根据我们学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（）（2）两直线平行，同位角相等；（）（3）同旁内角相等，两直线平行；（）（4）平行四边形的对角线相等；（）（5）直角都相等．叫做命题．称为真命题，称为假命题．拓展：要判断一个命题是真命题要以有逻辑推理的方法加以论证，要判断一个命题是假命题只需举一个反例加以说明即可。

注意：1、命题包含两层含义。

（1）命题必须是一个完整的陈述句。

（2）命题必须对某个事件作出肯定或否定判断2、在命题中不存在“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语，语句是问句不是命题。

3、命题构成：许多命题是由题设（或已知条件）结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

4、命题分类：{真命题：正确的命题称为真命题、假命题：错误的命题叫假命题}二、合作探究例1(B)把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．练习1A) 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论．（1）全等三角形的对应边相等；（2）平行四边形的对边相等．2(B)指出下列命题中的真命题和假命题．（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°．【展示质疑、教师点拨】1.(A)下列命题是真命题的是（）A．任何数的绝对值都是正数。

B．任何数的零次幂都等于1。

C．互为倒数的两个数的和为零。

13.1.2线段垂直平分线的性质

点P在线段BC的垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
A
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB(？) 同理 PB=PC.
A
C
B
N
[探究2]
• 如左图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1， P2 ，P3 ，…是L上的点，分别量一量点 P1 ， P2 ，图2 P3 ，…到A与B的距离，你有什么发现？结论：线段垂直平分线上的
点与这条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 M
点P在线段 AB的垂直平分线上
?
PA=PB
几何语言叙述: ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 A
C
B
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。
2、如图线段MN被直线AB 垂直平分，则ME=NE。
3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。
线段的垂直平分线
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
分析：
M
A

八年级数学上册第13章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明导学课件

第十一页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
第十二页，共十七页。
13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
第九页，共十七页。
13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据：已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以了．
第八页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什么？ [全品导学号：90702083]
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第13章全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：

八年级数学第13章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明数学

12/13/2021
基本事实、定理、命题的关系：
真命题命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）定理（正确性通过推理证实）
12/13/2021
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3， 2×3+1=7， 2×3×5+1=31， 2×3×5×7+1=211，
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？试一试：
A
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
注意: 如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证, 我们要证明这个命题,必须: 1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母. 2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证. 3.如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、定理、性质等直接进行证明了.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝1 ∠BOC.
2
∴∠1 ＋ ∠2 ＝ 1
（ ∠AOB ＋
＝1
2
∠AOC
＝
1 2
2
×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
12/13/2021
O
∠BOC
B F C
）
2.用演绎推理证明下面的定理：（1）同旁内角互补两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°.
12/13/2021
当堂练习
1.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC．
E
求证：OE⊥OF．
分析：要证明OE⊥OF，只要证明 ∠EOF＝ 90°，即∠1＋∠2＝ 90°即 A

华师大版数学八年级上册13.1《命题、定理与证明》教学设计

华师大版数学八年级上册13.1《命题、定理与证明》教学设计一. 教材分析《命题、定理与证明》是华师大版数学八年级上册第13.1节的内容。

本节内容是学生学习数学证明的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。

本节内容主要包括命题、定理与证明的定义，以及如何写出完整的证明过程。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念和运算规则有一定的了解。

但学生在逻辑思维和证明方面可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握证明的方法。

三. 教学目标1.了解命题、定理与证明的定义，理解它们之间的关系。

2.学会写出完整的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.通过对本节内容的学习，使学生能够运用证明的方法解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：命题、定理与证明的定义，证明过程的写法。

2.难点：理解命题的假设和结论，掌握证明的方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究命题、定理与证明的关系。

2.通过实例分析，让学生了解证明的过程和方法。

3.利用小组合作学习，培养学生团队合作精神，提高学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，内容包括命题、定理与证明的定义及示例。

2.准备一些实际的数学问题，用于引导学生进行证明练习。

3.准备黑板，用于板书重要的概念和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际的数学问题，引导学生思考如何用数学语言来描述这些问题，从而引入命题的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT讲解命题、定理与证明的定义，让学生理解它们之间的关系。

同时，给出一些简单的命题和定理，让学生初步了解证明的过程。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试对给出的命题进行证明。

教师巡回指导，解答学生的问题，并引导学生写出完整的证明过程。

4.巩固（10分钟）让学生自主完成一些证明练习题，检验学生对证明方法的掌握程度。

13.1.2命题、定理与证明

自学指导二：
认真阅读课本P57第三段到“读一读”的内容，并认真思考下面的问题，4分钟后看谁能回答。 1、什么叫证明？ 2、证明：“直角三角形的两个锐角互余”。 3、归纳证明的一般步骤。
证明及证明的一般步骤（难点）

证明：推理的过程叫做证明。证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。
填一填
在下面的括号里，填上推理的依据。已知：如图，∠A+∠B=180° 求证：∠C+∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC（） ∴∠C+∠D=180°（）
说一说
命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例。
证一证
三角形的外角和等于3600
§13.1.2定理与证明
学习目标
1、了解定理的含义，对定理的概念有正确的理解。 2、知道一些基本事实，会证明一些简单的命题并且掌握证明的步骤和书写格式。
自学指导一：
请大家认真阅读课本P55—P57第二段的内容，并认真思考下面的问题，5分钟后看谁能回答。 1、课本所列举的基本事实有哪些？ 2、什么叫定理？定理的作用有哪些？ 3、思考题的三个结论分别正确吗？
本节课你有什么收获或感想？你还有什么疑问？
作业
1、课本P58练习第1题； 2、课本P58习题第3题. 3、选做题：对于同一平面内的三条直线a、b、c，有以下五个论断：（1）a ∥b,(2) b ∥c,(3)a⊥b(4)a ∥ c ,(5)a⊥c 请你以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个真命题并证明.