导与练普通班2017届高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第6节空间向量及其运算课件理

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(课标通用)高考数学一轮复习第八章立体几何第6节空间向量及运算课件理

)
B．(－1，－3,2) D．( 2，－3，－2 2)
[解析]
[答案]
1 3 1 可知－2a＝－2，2，－1，选 C.
C
π 4．若向量 a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，且〈a，b〉＝3，则实数 z＝( A. 22 C．± 22 ) B．5 D．± 5
[解析] ＝
π a· b ∵cos〈a，b〉＝cos3＝|a|· |b|
2×1＋2×3＋0×z 1 2 2 2 2 2 2＝2，∴z＝± 22. 2 ＋2 ＋0 × 1 ＋3 ＋z
C
[答案]
5．有下列命题： ①若 p＝xa＋yb，则 p 与 a， b 共面； ②若 p 与 a， b 共面， → → → 则 p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则 P，M，A，B 共面； → → → ④若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB. 其中真命题的个数是( A．1 C．3 ) B．2 D．4
a1b1＋a2b2＋a3b3 ⑤a· b＝________________.
⑥设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， → ＝______________________ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 则AB ． ⑦cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 . 2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a · b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3
1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( )
→ ＋BC → ＋CD →＋ (2)若 A， B， C， D 是空间任意四点，则有AB → ＝0.( DA ) )
(3)对于向量 a， b，若 a· b＝0，则一定有 a＝0 或 b＝0.(

高三数学一轮总复习第七章立体几何7.6空间向量及其运算课件

→ (1)求AC1的长；
→
→
→
解析：(1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
④不正确。
16
课堂学案考点通关
考点例析通关特训
17
考点一
空间向量的线性运算
【例1】三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重 →→→ → →
心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG。
18
→ →→ 解析：MG＝MA＋AG ＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C。 →→ → OG＝OM＋MG ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C。
量。
(4)共面向量：□6 _平__行__于__同__一__平__面______的向量。
4
2．空间向量中有关定理及其推论
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 □7
_存__在__实__数__λ_，__使__a_＝__λ_b____。
→→ 推论：如图所示，点P在l上的充要条件是：OP＝OA＋ta，①
＝x
→ MA
＋y
→ MB
或对空间一点O有
→ OP
＝
□10
__O_→_M__＋__xM_→_A_＋__y_M_→_B______或O→P＝xO→M＋yO→A＋zO→B，其中□11 _x_＋__y_＋__z_＝_1___。
(3)空间向量基本定理：如果三个不共面向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底。

【高优指导】2017高考数学一轮复习第八章立体几何 8.6 空间向量及其运算课件理北师大版

-71 2 3 4 5
2.若x,y∈R,有下列命题: ①若p=xa+yb,则p与a,b共面; ②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③若��=x��+y��,则 P,M,A,B 共面; ④若 P,M,A,B 共面,则��=x��+y��.
其中真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )
关闭
①正确,②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不成立.③正确. ④中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则��=x��+y��不正确.
关闭
B
解析答案
1 2
2 1 2#43; �� + �� + �� + �� = a+ b+ c.
2 2 2 2
1
3
1
3
答案
-13考点1 考点2 考点3 知识方法易错易混
思考:如何利用空间向量的线性运算表示所需向量? 解题心得:1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量. 2.空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.
2
-4-
3.空间向量的运算 (1)空间向量的加减法及空间向量的数乘与平面向量的加减法及平面向量的数乘相同. (2)空间向量的数量积:空间向量 a,b 的数量积 a· b=|a||b|cos<a,b>,空间向量数量积与平面向量数量积的运算律相同. (3) 设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求 ��· �� = 0, 法向量的方程组为 . ��· �� = 0 4.空间向量中的有关定理 (1)定理:空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数 λ,使得 a=λb. (2)空间向量基本定理:如果向量 e1,e2,e3 是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 λ1,λ2,λ3,使得 a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.空间中不共面的三个向量 e1,e2,e3 叫作这个空间的一个基底.

近年届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第6讲空间向量及其运算练习理北师大版(2021年整

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第6讲空间向量及其运算一、选择题1。

(2017·铜川调研)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝（2，m，－m），且a∥b，则实数m的值等于（)A.错误!B。

－2 C。

0 D。

错误!或－2解析∵a∥b,∴错误!＝错误!＝错误!，解得m＝－2。

答案B2。

（2017·海南模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈错误!，错误!>的值为（)A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!解析如图，设正方体棱长为2，则易得错误!＝（2，－2，1)，错误!＝（2,2，－1），∴cos〈错误!，错误!>＝错误!＝－错误!，∴sin〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!。

答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么（) A。

错误!·错误!＜错误!·错误!B.错误!·错误!＝错误!·错误!C.错误!·错误!＞错误!·错误!D.错误!·错误!与错误!·错误!的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綊错误!CD，因为〈错误!，错误!>＝〈错误!,错误!〉＞90°，因为错误!·错误!＝0，∴错误!·错误!＜0，所以错误!·错误!＞错误!·错误!.答案C4。

高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第6节空间向量及其运算课件理(1)

(2)两点间距离公式的应用 ①求两点间的距离或线段的长度; ②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值; ③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
对称点坐标 (-x,-y,-z) (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (x,y,-z) (-x,y,z) (x,-y,z)
解:(2)因为 N 是 BC 的中点,
②点 P(x,y,z)与坐标原点 O 之间的距离为 A |OP|= x2 y2 z2 .
解析:关于y轴对称,横、竖坐标变为原来的相反数,纵坐标不变.
③coCs<a,b>= ab . | a ||b |
解析:如图,OE = 1 OA+ 1 OD 22
= 1 OA+ 1 OB + 1 OC = 1 a+ 1 b+ 1 c. 2 4 4 244
第6节空间向量及其运算
④a2= = ,|a|= a2 .
知识链条完善考点专项突破易混易错辨析
知识链条完善把散落的知识连起来
【教材导读】 1.在空间直角坐标系中,①在x轴上的点的坐标怎么记?②在y轴上的点的坐标怎么记?③在z轴上的点的坐标怎么记? 提示:①可记作(x,0,0).②可记作(0,y,0).③可记作(0,0,z). 2.空间中任意两个非零向量a,b共面吗? 提示:共面.
所以|CM|=
2 2 ( 1 ) 2 32 2
=
53 2
.
(其
夯基自测
(3) MP + NC1 . C
解析:①中四点恰好围成一封闭图形,正确; ②中当a,b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|,所以②不正确; ③中a,b所在直线可能重合,所以③不正确; ④中需满足x+y+z=1,才有P,A,B,C四点共面,④不正确. 故选C.

高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算和空间位置关系学案理

§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．考点1 空间向量的线性运算空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量． (4)共面向量：________________的向量．答案：(1)大小方向 (2)相同相等 (3)平行或重合 (4)平行于同一个平面(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则化简AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.答案：AG →解析：AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.(2)[教材习题改编]如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可用a ，b ，c 表示为________．答案：－12a ＋12b ＋c解析：由图可知，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋12B 1D 1→＝BB 1→＋12(A 1D 1→－A 1B 1→)＝c ＋12(b －c )＝－12a ＋12b＋c .[典题1] (1)[2017·河南郑州模拟]如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.[答案] 56[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →23⎝⎭222＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.(2)如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②MP →＋NC 1→.[解] ①因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .②因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →2⎝⎭2＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . [点石成金] 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考点2 共线、共面向量定理的应用空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b ⇔存在唯一一个λ∈R ，使a ＝λb .(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c .空间向量理解的误区：共线；共面．给出下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；③已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c ；④若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.其中为真命题的是________. 答案：④解析：若a 与b 共线，则a ，b 所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故②不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一个向量p 才一定能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故③不正确；据向量运算法则可知④正确.[典题2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →.由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .[点石成金] 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面 PA →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x ) OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y ) OB →如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？解：∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知，向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．考点3 利用向量证明平行与垂直问题向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个．②平面的法向量直线l ⊥平面α，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量．(2)空间位置关系的向量表示答案：(1)①无数②无数[典题3] [2017·广东汕头模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[证明]以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)证法一：由(1)知，BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面PAB 的一个法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)．又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB ⊥平面PAD .证法二：如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →.∴BE ⊥DA .又PA ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面PAD . 又∵BE ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .[点石成金] 1.利用向量法证明平行问题的三种方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行． (2)证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行．2．利用向量法证明垂直问题的三种方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行； ②两个平面的法向量垂直.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .证明：以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4,0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)．(1)DE →＝(－2,4,0)，平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,4)，∵DE →·AA 1→＝0，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)， B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ∴B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF . B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴B 1F →⊥AF →，∴B 1F ⊥AF .∵AF ∩EF ＝F ，∴B1F⊥平面AEF.考点4 空间向量数量积的应用1.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).答案：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0正确使用空间向量的数量积．(1)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．答案：－13解析：a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，∴(a ＋b )·(a －b )＝－13.(2)已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案：－2515解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515.[典题4] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．[解] ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，∴|BD →|＝BD →2＝BA →＋AC →＋CD →2 ＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD→ ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉＝3＋2cos 〈BA →，CD →〉，∴|BD →|＝2或 2.∴BD 的长为2或 2.[点石成金] 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．3．可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AB →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证，MN ⊥CD .(2)解：由(1)可知，MN →＝12(q ＋r －p )， ∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22， ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a . (3)解：设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p ＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22， ∴cos θ＝23， ∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[方法技巧] 1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．[易错防范] 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．课外拓展阅读“两向量同向”意义不清致误分析[典例] 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[错因分析] 将a ，b 同向和a∥b 混淆，没有搞清a∥b 的意义：a ，b 方向相同或相反．[解析] 由题意知，a∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，①x 2＋y －2＝2x .②把①代入②，得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.[答案] 1,3温馨提醒1．两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．2．若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0，则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例且比值为正值．。

大高考2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第六节空间向量的应用课件理

的空间直角坐标系；
(2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标； (3)向量运算：进行相关的空间向量的运算； (4)翻译：将向量中的语言 “翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解.
F
3)，D( 3，－1，0)，C(0，2，0)， 3 ， 2
1 E0，， 2
3 3 1 3 → → ，所以EF＝，BC＝(0，2，，， 0 ， 0 ，－ 2 2 2 2
→ ·BC → ＝0.从而EF → ⊥BC → ，所以 EF⊥BC. 0)，因此EF
(a≠0，b≠0) ③cos〈a，b〉＝______________. (4)空间向量数量积的运算律
a· b＝b· a ； ①交换律：___________ a· (b＋c)＝a· b＋a· c； ②分配律：_________________ ③结合律：λ(a· b)＝(λa)· b＝a· (λb)(λ∈R).
〈 a，b〉＝0 时，a 和 b 同向；当______________ 〈a，b〉＝π 时，a 和 b 当 ___________
π 〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b. 反向；当_____________
(3)空间向量数量积的性质
a· a ； ①|a|＝_______
a· b＝0 ； ②a⊥b⇔_________
(2)[解]
在图中，平面 BFC 的一个法向量为 n1＝(0，0，1).
设平面 BEF 的法向量为 n2＝(x，y，z).
3 1 → 1 3 → 又BF＝，，0，BE＝0，，， 2 2 2 2
→ ＝0， n2·BF 由得其中一个 n2＝(1，－ 3，1). → n2·BE＝0
空间任一向量 p ，存在有序实数组 {x ， y ， z} ，使得 p ＝ xa＋yb＋zc 其中，{a，b，c}叫做空间的一个_______. 基底 ___________.

高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学案理新人教A版

8.6 空间向量及其运算考纲要求1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得______．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得______________．其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个______．推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝____________.2．两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA uu r ＝a ，OB uu u r＝b ，则______叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定____≤〈a ，b 〉≤____.若〈a ，b 〉＝____，则称向量a ，b 互相垂直，记作a⊥b .(2)两向量的数量积．两个非零向量a ，b 的数量积a·b ＝______________. (3)向量的数量积的性质(e 是单位向量)：①a·e ＝|a|______________；②a⊥b ⇔a·b ＝____；③|a |2＝a·a ＝____；④|a·b |____|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa )·b ＝λ(a·b )；②a ·b ＝______(交换律)； ③a ·(b ＋c )＝____________(分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a±b ＝____________________； λa ＝________________(λ∈R )； a·b ＝________________；a⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝____；a∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； |a |2＝a·a ⇒|a |＝a 21＋a 22＋a 23(向量模与向量之间的转化)；cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23.(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则A B →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( )．A ．1 B.15 C.35 D.753．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )．A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,24．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 的夹角的余弦值为__________．一、空间向量的线性运算【例1－1】如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 分别表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.【例1－2】已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__________.方法提炼空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．请做演练巩固提升1 二、空间向量的数量积【例2】已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB →＝a ，AC →＝b ，(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．方法提炼1．两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别．2．利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等．请做演练巩固提升3三、空间向量的坐标运算【例3－1】已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．【例3－2】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点．(1)求|BN →|；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M . 方法提炼空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．请做演练巩固提升2正确构建空间直角坐标系【典例】 (12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求OD →的坐标；(2)设AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．规范解答：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD sin 30°＝32. OE ＝OB －BD cos 60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即OD →的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(6分)(2)依题意，OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)，∴AD →＝OD →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC →＝OC →－OB →＝(0,2,0)．(8分)由AD →和BC →的夹角为θ，得cos θ＝AD →·BC →|AD →||BC →|＝－32×0＋－＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32202＋22＋02＝－105. ∴cos θ＝－105.(12分) 答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误； (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化．另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法．1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )．A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝132．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )．A ．－2B ．－143 C.145D ．23．如图，在30°的二面角αl β的棱上有两点A ，B ，点C ，D 分别在α，β内，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．4．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是__________．5．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(2)求BD1与AC夹角的余弦值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＝λb (2)p ＝x a ＋y b (3)p ＝x a ＋y b ＋z c 基底 x OA uu r ＋y OB uu u r ＋z OC uuu r2．(1)∠AOB 0 ππ2(2)|a||b|cos 〈a ，b 〉 (3)①cos 〈a ，e 〉 ②0 ③a 2④≤ (4)②b·a ③a·b ＋a·c3．(1)(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 0 基础自测1．A 解析：①错，向量a ，b 所在的直线可能重合；②错，向量a ，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a ，b ，c 要求不共面．2．D 解析：k a ＋b ＝(k －1，k,2),2a －b ＝(3,2，－2)． ∵(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.3．A 解析：∵a ∥b ，∴2μ－1＝0，∴μ＝12，排除C ，D 两项．代入A ，B 选项验证可得，λ＝2成立． 4．(5,13，－3) 解析：设D (x ，y ，z )，则AB uu u r ＝DC uuu r ，∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．5．－215 5 解析：∵a ·b ＝1×0＋2×2＋(－2)×4＝－4，且|a |＝12＋22＋(－2)2＝3，|b |＝0＋22＋42＝25，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－43×25＝－215 5.考点探究突破【例1－1】解：(1)AP uu u r ＝1AA uuu r ＋11A D uuuu r ＋1D P uuu r ＝a ＋c ＋12b .(2)1A N uuu r ＝1A A uuu r ＋AB uu u r ＋BN uuu r ＝－a ＋b ＋12c .(3)MP uuu r ＋1NC uuu r ＝1MA uuu r ＋11A D uuuu r ＋1D P uuu r ＋NC uuu r ＋1CC uuu r＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c . 【例1－2】－1 解析：∵A ，B ，C ，D 四点共面，∴OA uu r ＝m OB uu u r ＋n OC uuu r ＋p OD uuu r ，且m ＋n ＋p ＝1.由条件知OA uu r ＝(－2x )OB uu u r ＋(－3y )OC uuu r ＋(－4z )OD uuu r，∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1. ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.【例2】解：(1)∵c ∥BC uu u r，∴c ＝k BC uu u r，k ∈R .又∵BC uu u r＝(－2，－1,2)，∴可设c ＝(－2k ，－k,2k )．又∵|c |＝4k 2＋k 2＋4k 2＝3|k |＝3， ∴k ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB uu u r ＝(1,1,0)，b ＝AC uuu r＝(－1，0,2)，∴a ·b ＝－1，|a |＝2，|b |＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010.(3)∵k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1, 0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∵k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，解得k ＝2或k ＝－52.【例3－1】解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为cos θ＝5－12＋338·38＝－219.【例3－2】解：如图所示，建立以C 为原点的空间直角坐标系C xyz ，(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，则|BN uuu r |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴1BA uuu r ＝(1，－1,2)，1CB uuu r＝(0,1,2)． ∴1BA uuu r ·1CB uuu r ＝3，|1BA uuu r |＝6，|1CB uuu r|＝5，∴cos〈1BA uuu r ，1CB uuu r 〉＝1111||BA CB BA CB ⋅uuu r uuu ruuu r uuu r ＝3010.(3)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴1C M uuuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.又1A B uuu r＝(－1,1，－2)，∴1A B uuu r ·1C M uuuu r ＝－12＋12＋0＝0.∴1A B uuu r ⊥1C M uuuu r，即A 1B ⊥C 1M .演练巩固提升1．D 解析：由题图可知OG uuu r ＝OM uuu r ＋MG uuu r，而MG uuu r ＝23MN uuu r ，MN uuu r ＝MA u u u r ＋AB uu u r ＋BN uuu r＝12OA uu r ＋OB uu u r －OA uu r ＋12BC uu u r ＝－12OA uu r＋OB uu u r ＋12(OC uuu r －OB uu u r ) ＝－12OA uu r ＋12OB uuu r ＋12OC uuu r .OG uuu r ＝12OA uu r ＋21113222OA OB OC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭uu r uu u r uuu r＝16OA uu r ＋13OB uuu r ＋13OC uuu r .∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.2．D 解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)．由a ⊥(a －λb )得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.3.3－ 3 解析：∵BD ⊥AB ，CA ⊥AB ，∴AC uuu r 与BD uu ur 的夹角为30°.∵|CD uu u r|＝|CA uu r ＋AB uu u r ＋BD uu u r |，∴|CD uu u r |2＝|CA uu r ＋AB uu u r ＋BD uu u r |2＝|CA uu r |2＋|AB uu u r |＋|BD uu u r |2＋2CA uu r ·AB uu u r ＋2AB uu u r ·BD uu u r ＋2CA uu r ·BD uu u r＝3＋2|CA uu r|·|BD uu u r |cos 150°＝3－ 3.∴|CD uu u r|＝3－ 3.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：设OQ uuu r ＝λOP uu u r ＝(λ，λ，2λ)，则QA uu r ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB uu u r＝(2－λ，1－λ，2－2λ)． ∴QA uu r ·QB uu u r ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. ∴当λ＝43时，QA uu r ·QB uu u r 取最小值为－23.此时，OQ uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即Q 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.5．解：记AB uu u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA uuu r＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|1AC uuu r |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|1AC uuu r|＝6，即AC 1的长为 6.(2)1BD uuu r＝b ＋c －a ，AC uuu r ＝a ＋b ，∴|1BD uuu r |＝2，|AC uuu r |＝3，1BD uuu r ·AC uuur＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos〈1BD uuu r ，AC uuu r 〉＝11||||BD AC BD AC uuu r uuu ruuur uuu r ＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.。

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【最新整理，下载后即可编辑】第十三章空间向量2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有和的量．基础过关知识网络考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直(2) 向量相等：方向且长度．(3) 向量加法法则：．(4) 向量减法法则：．(5) 数乘向量法则：．2．线性运算律(1) 加法交换律：a＋b＝．(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝．(a＋b)＝．(3) 数乘分配律：λ3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b等价于，使．存在实数λ(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在Rt∈使．4．共面向量(1) 共面向量：平行于的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b)，使P ．共面的充要条件是存在实数对(x,y共面向量定理的推论：．5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底：的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组z y x,,，使．空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组,x,zy使．6．空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角：．(2) 空间向量的长度或模：．(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝．空间向量的数量积的常用结论： (a) cos 〈a 、b 〉＝； (b) ⎪a ⎪2＝；(c) a ⊥b ⇔ ． (4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝．例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是 ( )A ．-21a ＋21b ＋c B ．21a ＋21b ＋cC ．21a -21b ＋cD ．-21a -21b ＋c解：A 例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1AA ===则c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面. ∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN∥平面FC ； (2) 求证：MN⊥AB；(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？A BC DA 1B 1解：(1) 设.)1(,BF k BC k MN k ACMC EB NB+-===则 (2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a,,21,)122(22=+-=k a k k 即当也即时AC AM 21=，a 22=例3. 已知四面体ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．证明：(1) AD⊥BC ⇔0=⋅．因为AB ⊥CD 0=⋅⇔CD AB ，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而0)()(=+⋅+=⋅DC BD BD AB BC AD ．所以AD⊥BC． (2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，+=＝32(AF EA +)＝32．变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：CG HC HG +=＝1GC +＝1FC GF HC ++＝FC A ++11＝GF EF +2，所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 21，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．解：设1m =B AC 234311111++=++=++=∴AFm AE m AG m AP 2343++=又∵E、F 、G 、P 四点共面，∴12343=++m m m1∴193=m ∴AP︰PC 1＝3︰16变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．证明：法一：)(21OC OB OM += )(21OC OA ON +=)(21+=+=∴ )(21AB OC ON QO QN -=+=0)41==⋅∴QN PM故QN PM ⊥法二：PM ·QN ＝(PQ ＋QM )·(QM ＋MN )＝)(21OC AB +·)(21BA OC + ＝)(4122AB OC -＝01．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c4l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，n 为与共线的向量，则｜||n .5．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d ||n o.第2课时空间向量的坐标运算设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝ (2) λa ＝． (3) a ·b ＝．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则＝，=AB ． AB 的中点M 的坐标为．例1.若a ＝(1,5,－1)，b ＝(－2,3,5)（1）若(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值；（2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值；（3）若a k k 的值．解：(1)31-=k ； (2)3106=k ； (3)278-=k 变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ．解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算课件

→ D．BD1
→→ → →→ → → → → 解析 BA＋BC＋DD1＝CD＋BC＋DD1＝BD＋DD1＝BD1.故选 D.
4．若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－
4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂ α
D．l 与 α 相交但不垂直
答案 B
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
→→ PA＝λPB且同过点 P
→→→ MP＝xMA＋yMB
→→ →
→→ → →
对空间任一点 O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点 O，OP＝OM＋xMA＋yMB
→→
→→→
对空间任一点 O，OP＝xOA＋(1 对空间任一点 O，OP＝xOM＋yOA＋(1
角度
基向量法
例 4 已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段 AC1 的长；
→ 解 (1) 如图所示，设AB＝a，
→
→
AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，
a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 □03 p＝xa＋yb＋zc .其中，{a，b，c}叫做空间的一
个 □04 基底
．
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝□05 xO→A＋yO→B＋zO→C .

高考数学一轮复习专题八立体几何6空间向量及其运算精品特训理含解析

B. 5,5,2
C. 3,1,2
D. 5,5,2
6、已知向量
a
2,
3, 5
,
b
3,
x,
y
分别是直线
l1, l2
的方向向量,若
l1
/
/l2
,则(
)
A. x 6, y 15 B. x 3, y 15
2 C. x 3, y 15 D. x 6, y 15
2 7、已知空间三点坐标分别为 A(4,1,3), B(2,3,1),C(3, 7, 5) ，又点 P(x, 1,3) 在平面 ABC
③点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为 1, 2, 3 ;
④点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标为 1, 2, 3
其中正确说法的个数是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
3、在空间直角坐标系中,点 P 1, 2, 3 关于原点 O 的对称点坐标是(
)
A. 1, 2,3
B. 1, 2,3
C. (1, 2, 3)
14 答案及解析：
答案： 10 10
解析：
15 答案及解析：
答案：1. A2,0, 2, B1,1, 2,C 3,0, 4
a
AB
1,1,
0
,
b
AC
1,
0,
2
cos a,b
a b
1 0 0
10
a×b
2× 510Fra bibliotek2.∵
ka
b
k
1, k
, 2,ka
2b
k
2, k
,4
且
ka
b
ka
2b

高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量课时作业理

第6讲空间坐标系与空间向量1．下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC → B.OM →＝12OA →＋13OB →＋15OC →C.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0D.MA →＋MB →＋MC →＝02．(人教A 版选修21P97习题A 组T2改编)如图X861，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则下列向量与BM →相等的向量是( )图X861A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF →·DC →＝( )A.14 B ．－14 C.34 D ．－344．(2015年浙江)如图X862，三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．图X862 5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216a B.66a C.156a D.153a 6．(2016年山西太原模拟)如图X863，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )图X863A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1,1,2) 7．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________． 8．(2016年浙江)如图X864，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．图X8649．如图X865，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．图X86510．(2014年新课标Ⅰ)如图X866，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A A 1B 1C 1的余弦值．图X866第6讲空间坐标系与空间向量1．D 解析：∵M ，A ，B ，C 四点共面⇔OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，且x ＋y ＋z ＝1.∵MA →＋MB →＋MC →＝0⇔MA →＝－MB →－MC →.∴存在x ＝－1，y ＝－1，使MA →＝xMB →＋yMC →.∴MA →，MB →，MC →共面．∵M 为公共点．∴M ，A ，B ，C 四点共面．2．A 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB →1＋B 1M →＝AA →1＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．B 解析：∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点．∴EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF →＝12BD →. ∴EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14.4.78解析：如图D153，连接DN ，取DN 中点P ，连接PM ，PC ，则可知∠PMC 为异面直线AN ，CM 所成的角，易得PM ＝12AN ＝2，PC ＝PN 2＋CN 2＝2＋1＝3，CM ＝AC 2－AM 2＝22，∴cos ∠PMC ＝8＋2－32×2 2×2＝78，即异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78.图D1535．A 解析：MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13()AB →＋AD →＋AA 1→ ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a . 6．A 解析：由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，a 2.所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，|DP →|＝a ，|AE →|＝－2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2＋a 24＝8＋a22.又cos 〈D P →，A E →〉＝33，所以－＋0×1＋a 22a ·8＋a 22＝33. 解得a 2＝4，即a ＝2.所以E (1,1,1)．7. 2 解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2.∴|EF →|＝ 2.∴EF 的长为 2.8.66解析：设直线AC 与BD ′所成角为θ.设O 是AC 中点，由已知，得AC ＝ 6.如图D154，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－62，0.作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306.因此可设D ′⎝⎛⎭⎪⎫306cos α，－63，306sin α，则BD ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→||n |＝639－5cos α.所以cos α＝1时，cos θ取最大值66.图D1549．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°.(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22.(3)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，因为异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.10．(1)证明：如图D155，连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO .图D155因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO .故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.(2)解：因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌△BOC (SSS)．故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又OB ＝1，则OB 1＝33，OA ＝33.故A ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，33，B (1,0,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－33，0. AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，－33，A 1B 1→＝AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－33，B 1C →1＝BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33，0.设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0.同理可取m ＝(1，－3，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝17.所以结合图形知，二面角A A 1B 1C 1的余弦值为17.。

高三理数一轮复习第八章立体几何 8.6 空间向量及其运算

确关闭 B
解析答案
-11-
知识梳理双基自测
12345
3.(教材习题改编P92T3)如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线
段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为
.
关闭
设�� =a,�� =c,�� =d,由已知条件知
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
关闭
答案
-10-
知识梳理双基自测
12345
2.若 x,y∈R,有下列命题:
①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面;
②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb;
③若��=x��+y��,则 P,M,A,B 共面;
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第八章立体几何
8.6 空间向量及其运算
-4-
知识梳理双基自测
12345
1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的长度或模 . (2)相等向量:方向相同且模相等的向量.
(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ,则这些向量叫做共线向量或平行向量 ,a平行于b记作a∥b.
④若 P,M,A,B 共面,则��=x��+y��.
其中真命题的个数是( )
关闭
①正A确.1,②中若 a,Bb.共2 线,p 与 a 不C.共3 线,则 p=Dx.a4+yb 就不成立.③正

高考数学一轮复习第八章立体几何 8.6 空间向量及其

第八章立体几何 8.6 空间向量及其运算理1．空间向量的有关概念2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).【知识拓展】1．向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理：在空间中P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )1．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A ．a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案 C解析如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.2．(2016·大连模拟)向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对答案 C解析因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .故选C.3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是________________________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3210，225，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－225，22解析因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为－2＋－2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5)． 4.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 5．(教材改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________．答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题型一空间向量的线性运算例1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案 12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. (2)三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.解 (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c )＋(a ＋12c )＝32a ＋12b ＋32c . 题型二共线定理、共面定理的应用例2 (2016·天津模拟)如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形，所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12[12(OA →＋OB →)]＋12[12(OC →＋OD →)] ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维升华 (1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①PA →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →) 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面．从而点M 在平面ABC 内．题型三空间向量数量积的应用例3 (2017·济南月考)如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .(1)解设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c | ＝a ＋b ＋c2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝12＋12＋22＋－1－＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)解设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC 1→，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC1→||A 1D →|.∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D →|＝b －c2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－－＋22＝7.∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →＝|－22×7|＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明 ∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ，∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0， ∴AA 1→⊥BD →，∴AA 1⊥BD .思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.18．坐标法在立体几何中的应用典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .思想方法指导利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．规范解答(1)解如图，建立空间直角坐标系．依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →|＝－2＋－2＋－2＝ 3.[2分](2)解依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0，1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.[6分] (3)证明依题意得C 1(0,0,2)，M (12，12，2)，A 1B →＝(－1,1，－2)， C 1M →＝(12，12，0)．[9分]所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M .[12分]1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．(2017·郑州调研)已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3 答案 B解析由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145 D ．2答案 D解析由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.4.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED → ＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ，所以cos 〈AB →，CD →〉＝a ＋b ＋c b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°，故选C.6．(2016·深圳模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B的中点，则|MN →|为( ) A.216a B.66a C.156a D.153a 答案 A解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N (a ，a ，a 2)．设M (x ，y ，z )， ∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝ a －23a2＋a －a32＋a 2－a32＝216a . 7．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 答案锐角解析因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2 ＝AB →2>0，所以∠CBD 为锐角．同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角．8．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为______________．答案 14，14，14解析如图所示，取BC 的中点E ，连接AE .OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋12AE → ＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14.9．(2016·合肥模拟)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 答案 (3，－2,2) 解析因为a ∥b ，所以x－2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)． 10．(2016·天津模拟)已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________．答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．*11.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为________．答案 3解析 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，∴A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥平面DCC 1D 1，A 1M ∥平面D 1PQB 1.①③④正确．12.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 (1)设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c .EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14. (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14. (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.(4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.*13.(2016·沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． (1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 14.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，点M ，N 分别是A 1D ，B 1D 1的中点．(1)试用a ，b ，c 表示MN →； (2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1. (1)解 ∵A 1D →＝AD →－AA 1→＝c －a ， ∴A 1M →＝12A 1D →＝12(c －a )．同理，A 1N →＝12(b ＋c )，∴MN →＝A 1N →－A 1M →＝12(b ＋c )－12(c －a )＝12(b ＋a )＝12a ＋12b .(2)证明 ∵AB 1→＝AA 1→＋AB →＝a ＋b ， ∴MN →＝12AB 1→，即MN ∥AB 1，∵AB 1⊂平面ABB 1A 1，MN ⊄平面ABB 1A 1， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.。

(全国通用)2017版高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲立体几何中的向量方法(一)——

第八章立体几何第6讲立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直练习理新人教A 版基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1. 平面a 的法向量为（1 , 2,— 2），平面3的法向量为（一2,— 4, k ），若a//B ，贝U k =（）A.2B. — 4C.4D. — 2—2 — 4 k解析 a // 3 ,「•两平面法向量平行，二= —2，二k = 4. 答案 C2. 若辰入&并卩壷则直线 AB 与平面CDE 勺位置关系是（）A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析 •/ AB=入CU 卩CE 二AB CD 走共面•则AB 与平面CDE 勺位置关系是平行或在平面内•答案 D3. 已知平面a 内有一点M 1 , 点P 中，在平面 a 内的是（ A. F （2 , 3 , 3） C.R — 4 , 4 , 0）—1 , 2),平面a 的一个法向量为)B.F ( — 2 , 0 , 1)D. F (3 , — 3 , 4) n = (6 , — 3 , 6),则下列解析逐一验证法，对于选项A , M F = (1 , 4 ,1),辰n= 6—12 + 6= 0，二M p_n ,•••点F在平面a内，同理可验证其他三个点不在平面a内.答案A4.如图，在长方体ABC—ABCD 中，AB= 2 , AA =^3 , AD= 2灵,F为GD的中点，M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为（）A.平行 B.异面 C.垂直 D.以上都不对解析 AM= AA + AM k AA + DP = DD + DI AA + ^AB • AM//DP ,AM//面DCC 1, AM//面DPQB ①③④正确答案 C二、填空题6. 已知直线l 的方向向量为 V = (1 , 2 , 3),平面a 的法向量为u = (5 , 2, — 3),贝y l 与 a 的位置关系是 __________ .解析 T V 'U = 0, •• V 丄 U ,「.I //a 或 I ? a .答案 I //a 或I ? a7. (2016 •青岛模拟)已知 AB= (1 , 5, — 2) , B C = (3 , 1, z ),若AB 丄 BC, EJ F = (x — 1, y ,—3),且BP!平面ABC 则实数x + y= ____________ .解析以D 点为原点，分别以 DA DC DD 所在直线为x , y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz ,依题意，可得，D (0 , 0 , 0) , R0, 1 , 3) , Q0, 2 , 0) , A (2 2 , 0 , 0) , M .2 , 2 , 0). ••• PM= ( 2 , 2 , 0) — (0, 1, 3) = ( 2 , 1 , — 3), AM= ( 2, 2, 0) — (2 2, 0 , 0) = ( — 2, 2, 0), • PM - AM= ( 2 , 1, — 3) - ( — 2 , 2 , 0) = 0 , 即 PML AM 二 AMIL PM 答案 C5.如图所示，在平行六面体 ABC — A BCD 中，点M P, Q 分别为棱AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ① AM// DP ; ② AM// BQ ③AM//平面DCCD ; ④AM//平面DPQB 以上正确说法的个数为( A. 1B.2C.3D.4 所以A i M// D P,由线面平行的判定定理可知, 3 0, M H"3+ 5-2z = 0,解析由条件得x — 1 + 5y + 6= 0,3 (x—1)+ y —3z= 0,& /口40 15 40 15 25解得x= 7, y =—〒,z = 4,「. x+ y =〒——=〒.“亠25答案y8. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB= (2 , —1 , —4) , X t= (4 , 2 , 0）, X F=（—1 , 2, —1）. 对于结论：①APL AB②AP I AD③AP是平面ABCD勺法向量;④AP// BD其中正确的序号是_________ .解析•/ XB- AP= 0 , XD- A F= 0, ••• ABL AP AD L AP 则①②正确又AB^Abr平行，• At是平面ABC啲法向量，则③正确.由于BD= AD—AB= (2 , 3 , 4) , ( — 1 , 2, —1),••• B［与AP不平行，故④错误•答案①②③三、解答题9. （2016 •北京房山一模）如图，四棱锥P—ABCD勺底面为正方形,侧棱PAL底面ABCD且PA= AD= 2 , E, F , H分别是线段PAAB的中点.求证：（1） PB//平面EFH⑵PDL平面AHF证明建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.• A(0, 0 , 0) , B(2 , 0 , 0) , C(2, 2 , 0), D(0, 2 ,0 , 2), E(0, 0 , 1), F(0, 1, 1), H(1 , 0 , 0).(1) ••• PB= (2 , 0, —2) , EH= (1 , 0, —1),• PB= 2E H, • PB// EH•/ PB?平面EFH 且EH?平面EFH •- PB// 平面EFH ⑵PD= (0 , 2, —2) , X H= (1 , 0 , 0), X F= (0, 1, 1),PD ・ AF = O X 0+ 2X 1+ ( — 2) X 1= 0,PD- AH = O X 1 + 2X 0+ ( — 2) X 0= 0,••• PDL AF, PDL AH,又•: AF P AH= A,「. PDL 平面 AHF10. (2016 •日照调研)如图所示，四棱锥P-ABCD 勺底面是边长为方形，PA! CD PA= 1, PD= 2, E 为 PD 上一点，PE= 2ED(1) 求证：PAL 平面ABCD(2) 在侧棱PC 上是否存在一点 F ,使得BF//平面AEC 若存在, 点的位置，并证明；若不存在，说明理由(1)证明 •/ PA= AD= 1, PD= 2 ,• PA + AD = PD ,即卩 PAL AD又 PAL CD ADA CD= D,「. PAL 平面 ABCD⑵ 解以A 为原点，AB, AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则 A (0 , 0 , 0) , B (1 , 0 , 0),C (1 , 1, 0), P (0, 0 , 1),E 0 , I , 3 ,辰(1 , 1 , 0),T 2 1AE = |0 , 3 , 3 .设平面AEC 的法向量为n = (x , y , z ),则 r A^0'即 r + y ",令 y = 1,贝U n = ( — 1, 1 , — 2).n ・ A E= 0 , 2y + Z = 0 ,假设侧棱 PC 上存在一点 F ,且 0=入CR 0 w 入w 1),使得BF//平面AEC 则BF ・n = 0.又 T BF = BC + CF = (0 , 1, 0) + (—入，—入，入)=(—入，1 —入，入), •- BF • n =A.+ 1 一入一 2 入=0 , ••入=2 ,•存在点F ,使得BF//平面AEC 且F 为PC 的中点.能力提升题组(建议用时：20分钟)••• CD 是平面BBCC 的法向量，且 MN 平面 BBCC,A.相交 D.不能确定解析分别以CB 、CD , CC 所在直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，如图， •/ AM= AN=¥a ,又 C (0 , 0, 0) , D (0 , a , 0),• CD = (0 , a , 0),1 1.如图，正方形 ABCDf 矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB= • 2, AF = 1, M 在EF 上,且AM/平面BDE 则M 点的坐标为（） A.(1 , 1, 1)B. 子,#, 1 解析设AC 与BD 相交于O 点，连接OE 由AM/平面BDE 且AM ?平C. D. 面 ACEF 平面 ACE R 平面 BDE= OE 二 AIM/ EQ又Q 是正方形ABCD 寸角线交点, ••• M 为线段EF 的中点•在空间坐标系中，E （0 , 0, 1） , FC 2, 2, 1）.M 的坐标寻今,1 . 由中点坐标公式，知点答案 C12.（2016 •衡水中学调研）如图所示，在正方体 ABC B A BCD 中，棱长为 a , M N 分别为AB 和 AC 上的点，AM= AN^-^，贝U MN 与平面 BBCC 3 的位置关系是（）a3, 0,2a .B.平行C.垂直—> —> —> —> • MN- CD = 0,.・.MNLCD.••• MN/ 平面 BBCC 答案 B 13.如图，正方体 ABC D ABCD 的棱长为1, E, F 分别是棱 BC DD 上的点，如果 BE 丄平面ABF 贝U CE 与 DF 的和的值为解析以DA , DC , DD 分别为x , y , z 轴建立空间直角坐标系, 设 CE= x , DF = y , 则易知 E (x , 1 , 1), B (1 , 1, 0) , F (0, 0 , 1 — y ) , B (1 , 1 , 1), • E5E = (x — 1, 0 , 1), • F B- (1 , 1 , y ), 由于BE 丄平面ABF 所以 FB- B 1E = (1 , 1 , y ) •(x — 1, 0 , 1) = 0? x + y = 1. 答案 1 1 4.(20 14 •湖北卷改编)如图，在棱长为2的正方体 ABC D A BCD 中, E , F , M N 分别是棱AB AD AB , AD 的中点，点P , Q 分别在棱 DD , BB 上移动，且 DP= BQ=入(0 v 入 v 2). (2)是否存在入，使平面EFP Q 平面PQMN 若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由NP= ( — 1, 0,入一2).当入=1 时，F P = ( — 1, 0 , 1),因为 BC = ( — 2 , 0 , 2), 所以BC = 2F P,即BC // FP 而FP ?平面EFPQ 且BC ?平面 ⑵解设平面EFPC 的一个法向量为 n = (x , y , z ),(1)当入=1时，证明：直线BC //平面EFPQ (1)证明以D 为由已知得巳2 , 2, 0) , C (0 , 2 , 2),日2 , 1 , 0) , F (1 , 0) , R0, 0,入),M 2, 1 , 2) , N(1 , 0 , 2) , BC = ( — 2 , 2) , F P = ( — 1, 0,入),Ffe = (1 , 1, 0) , M N = ( — 1, — 1, 0), EFPQ 故直线BC //平面EFPQ (FE - n = 0 , 则由T 可得 FP- n = 0 , 3E c yjX + y= 0，—于是可取n=(入，—入，1).—x+ 入z = 0.PQM 的一个法向量为 m =（入一2, 2—入，1）. —2, 2—入，1） •（入，一入，1） = 0,即卩入（入一2）—入（2 —入）+ 1 =0,同理可得平面贝U n r n =（入解得入=1 土使平面EFP Q 平面PQM.N。

高考数学一轮复习第八章立体几何第六节空间向量及其运算学案理含解析

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：第六节空间向量及其运算[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.2.会推导空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.空间向量及其运算未单独考查.1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算‖知识梳理‖1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相1平行或重合共面向量平行于2同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使3a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝4x a＋y b空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝5x a＋y b＋z c推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→且x＋y＋z＝1 ►常用结论1．当p，a，b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p，a，b所在三条直线共面的充要条件．2．推论与共面向量定理实质是一样的，只是形式不同，是证明P ，A ，B ，C 四点共面的重要理论依据和判定方法．2．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔6a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝7a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算 a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝8(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝9(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒10a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔11a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0夹角公式 cos 〈a ，b 〉＝12a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23►常用结论设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.这一形式不能随便写成a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.只有在b 与三个坐标轴都不平行时，才能这样写，这是因为：若b 与坐标平面xOy 平行，则b 3＝0，这样a 3b 3就无意义了．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )(2)对于向量a ，b ，若a ·b ＝0，则一定有a ＝0或b ＝0.( )(3)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( )(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( )(5)两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1，0，－1)，v 2＝(－2，0，2)，则l 1与l 2的位置关系是平行．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、走进教材2．(选修2－1P 104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不对答案：C3．(选修2－1P 118A 6改编)已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案：π2三、易错自纠4．(2019届济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断解析：选B 因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．5．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)．若a ，b ，c 共面，则实数λ等于( )A ．627B ．637C ．607D ．657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.6．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1解析：选C 因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，故x ＝12，y ＝12.故选C ．考点一空间向量及其运算|题组突破|1.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c解析：选A BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →＝( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －12cD ．23a ＋23b －12c解析：选B 由题意得，MA →＝13OA ，BN →＝12BC →，如图所示，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .故选B ．►名师点津用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二共线、共面向量定理的应用|题组突破|3．若A (－1，2，3)，B (2，1，4)，C (m ，n ，1)三点共线，则m ＋n ＝________．解析：∵AB →＝(3，－1，1)，AC →＝(m ＋1，n －2，－2)，且A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4. ∴m ＋n ＝－3. 答案：－34．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，得OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，所以MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内． ►名师点津证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →即可．对空间任意一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面．考点空间向量数量积的应用——变式探究【例】如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 两两夹角均为60°，MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB ．同理可证MN ⊥CD ． (2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝⎛⎭⎫q －12p ＝12⎝⎛⎭⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p＝12⎝⎛⎭⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎫a 2－ a 24＋ a 22－ a 24＝ a 22. 又|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝ a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23.因此异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.|变式探究|1．在本例条件下，试求AM →·AN →. 解：由题意得，AM →＝12p ，AN →＝12(q ＋r )，∴AM →·AN →＝14p ·q ＋14p ·r ＝ a 24.2．在本例条件下，试求|MN →|.解：由题意得MA →＝－12p ，AN →＝12(q ＋r )，∴MN →＝MA →＋AN →＝－12p ＋12q ＋12r ，∴|MN →|2＝⎪⎪⎪⎪－12p ＋12q ＋12r 2＝12a 2.∴|MN →|＝22a .►名师点津空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．|跟踪训练|如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →.解：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)由题意，得EF →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12c －12a ，BA →＝－a ，所以EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14. (2)EG →·BD →＝(EA →＋AG →)·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝－14＋12＋14－14＋12－14＝12.考点空间向量的创新应用【例】 (2019届湖南三湘名校第三次联考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面A 1B 1C 1D 1上，且AP ⊥平面MBD 1，线段AP 的长度的取值范围为( )A ．[1， 2 ]B ．[1， 3 ]C ．⎣⎡⎦⎤22，2 D ．⎣⎡⎦⎤62，2[解析] 以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设P (a ，b ，1)，M (0，1，t )(0≤t ≤1)，易知A (1，0，0)，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，则AP →＝(a －1，b ，1)，BD 1→＝(－1，－1，1)，MD 1→＝(0，－1，1－t )．∵AP ⊥平面BMD 1，∴AP ⊥BD 1，AP ⊥MD 1，即⎩⎪⎨⎪⎧AP →·BD 1→＝0，AP →·MD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a －b ＋1＝0，－b ＋1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝t ＋1，b ＝1－t ，∴AP →＝(t ，1－t ，1)，∴|AP →|＝t 2＋（1－t ）2＋1＝2⎝⎛⎭⎫t －122＋32. 又知0≤t ≤1，∴当t ＝12，即M 是CC 1的中点时，|AP →|取得最小值为62.当t ＝0或1，即M 与点C 或点C 1重合时，|AP →|取得最大值 2. ∴线段AP 的长度的取值范围为⎣⎡⎦⎤62，2，故选D ． [答案] D ►名师点津以D 为原点，建立合适的空间直角坐标系，设出点P 与点M 的坐标，利用AP ⊥平面MBD 1，得出点P 与点M 坐标之间的关系，从而利用两点间的距离公式表示出|AP →|，最后利用函数思想求|AP →|的取值范围．|跟踪训练|如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ． 3B ． 2C ．1D ．3－ 2解析：选D 由题意得，BF →·FE →＝0，FE →·ED →＝0，BF →·ED →＝－22，∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，∴|BD →|＝3－ 2.故选D ．结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。