高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式习题课件
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
[A A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
基础达标] )
1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
3．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( A． 3 C．3 B． 5 D．5
)
解析：选 B.设 m＝( x－5， 6－x)，n＝(1，2)， 则 m· n＝ x－5＋2 6－x≤|m||n|＝ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22＝ 26 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝ 时等号成立． 5
9 解：因为 a＞0，b＞0，且 a ＋b ＝ ， 2
2 2
所以 9＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2. 所以
3 a＋b≤3当且仅当a＝b，即a＝b＝2时取等号.
又因为 a＋b≤m 恒成立，所以 m≥3.
[B
能力提升]
1 2 1．设 x，y∈R＋，且 x＋2y＝36， 则x＋y 的最小值为________．
解析：因为 a2＋b2＝9，x2＋y2＝4， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2， 得 36≥(ax＋by)2，当且仅当 ay＝bx 时取等号， 所以 ax＋by 的最大值为 6，最小值为－6， 即 m＝6，n＝－6， 所以 mn＝－36.
答案：－36
8．若函数 y＝a x＋1＋ 6－4x的最大值为 2 5，则正数 a 的 值为________．
4 9 4．已知x＋y ＝2，x，y∈R＋，则 x＋y 的最小值是( 25 A． 2 5 C． 2 25 B． 4 D．5
人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件
补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析： 设A
C b12
a12
b22
a
2 2
bn2，an2则 ，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的 大小 关系 ,类 比考 虑与 下面 式子 有关 的有什 么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定 理1 (二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式) 若a, b, c, d都 是 实 数, 则 当 且 仅 当ad bc时, 等 号 成 立.
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式2一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4-5
2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用 柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式 两侧的数组．
1．设 a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则 a·b 的最小值为( )
A．18
B．6
C．－18
D.12
【解析】 |a·b|≤|a||b|， ∴|a·b|≤18. ∴－18≤a·b≤18，当 a，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18.
【答案】 C
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
阶
阶
段段一三二 一般形式的柯西不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点) 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 1 三维形式的柯西不等式 阅读教材 P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题． 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥ (a1b1＋a2b2 ＋a3b3)2 .当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时， 等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni ini ini ii ba b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1;（2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2.当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xb x a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(x b x b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=x bx a cos sin +≥(a 32+b 32)32. 于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以na a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a na a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a -c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a -c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入 下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式
(2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值. 解 由(1)知a＋b＋c＝4， 由柯西不等式得 14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1) ≥a2×2＋3b×3＋c×12 ＝(a＋b＋c)2＝16， 即14a2＋19b2＋c2≥87，
11 当且仅当22a＝33b＝1c， 即 a＝87，b＝178，c＝27时等号成立，
跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小 值为4. (1)求a＋b＋c的值；
解 因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 当且仅当－a≤x≤b时，等号成立. 又a＞0，b＞0， 所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值为a＋b＋c， 又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得 ai＝kbi (i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般形式的柯西不等式
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式知识导学案 新人教A版选修45
二 一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3是实数，则(a 12+a 22+a 32)（b 12+b 22+b 32）≥__________,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2,3)时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3, …,b n 是实数，则 (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥_______,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2, …,n)时，等号成立. 知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征.对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究.一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用. 疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题. 2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见. 典题精讲【例1】 已知a,b,c∈R +，求证：（b a +c b +a c )(a b +b c +ca)≥9. 思路分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1=b a ,a 2=c b ,a 3=a c ,b 1=a b ,b 2=b c ,b 3=ca ,而a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=1，因而得证. 证明：由柯西不等式，知左边=［(b a )2+(c b )2+(a c )2］×［(a b )2+(b c )2+(ca )2］ ≥(a b ×b a +c b ×b c )+a c ×ca )2=(1+1+1)2=9.∴原不等式成立.绿色通道：由a,b,c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】 已知a,b,c∈R +，且a+b+c=1，求证：cb a 111++≥9. 思路分析：利用“1”的代换来构造柯西不等式. 证法一：c b a 111++=(a+b+c)(cb a 111++) =［(a )2+(b )2+(c )2］×［(a 1)2+(b 1)2+(c1)2］ ≥(a ×a 1+b ×b 1+c ×c1)2=(1+1+1)2=9. 证法二：a 1+b 1+c 1=(a+b+c)(a 1+b 1+c 1) =1+b a +c a +a b +1+c b +a c +bc +1=3+(b a +c a +c b +a c +b c +ab)≥3+66a b b c a c c b c a b a ⨯⨯⨯⨯⨯=3+6=9.【例2】 已知a 1,a 2, …,a n 都是正实数，且a 1+a 2+…+a n =1.求证：1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 思路分析：已知条件中a 1+a 2+…+a n =1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为,,322211a a a a a a ++, …,所以a 1+a 2+…+a n =1.应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得左边=1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- =［(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+ …+(a n-1+a n )+(a n +a 1)］× ［(211a a a +)2+(322a a a +)2+(433a a a +)2+…+(n n n a a a +--11)2+(1a a a n n +)2］×21=［(21a a +)2+(32a a +)2+…+(n n a a +-1)2+(1a a n +)2］×［(211a a a +)2+(322a a a +)2+…+（n n n a a a +--11）2+(1a a a n n +)2］×21≥［(21a a +×211a a a +)+(32a a +×322a a a +)+…+(n n a a +-1×n n n a a a +--11)+(1a a n +×1a a a n n +)］2×21=(a 1+a 2+…+a n )2×21=21=右边.∴原不等式成立.证法二：∵a∈R +,则a+a1≥2, a≥2-a1. 利用上面的结论，知4)22(22221121121112121a a a a a a a a a a a a a +-=+-≥+⨯=+ 同理，有43223222a a a a a a +-≥+,…411121n n n n n n a a a a a a +-≥+----,4121a a a a a a n n n n n +-≥+-. 以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21（a 1+a 2+…+a n ）=21. 证法三：对于不等式左边的第一个分式2121a a a +,配制辅助式k(a 1+a 2)，k 为待定的正数，这里取k=41,则412121++a a a (a 1+a 2)≥)(412212121a a a a a +⨯+=a 1. 同理，413222++a a a (a 2+a 3)≥a 2.……41121++--n n n a a a (a n-1+a n )≥a n-1，4112++a a a n n (a n +a 1)≥a n .以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21(a 1+a 2+…+a n ). ∵a 1+a 2+…+a n =1,∴1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 绿色通道：通过以上不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.【变式训练】 设x 1,x 2,x 3, …,x n 都是正实数，且x 1+x 2+x 3+…+x n =S.求证：12222121-≥-++-+-n Sx S x x S x x S x n n . 思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S-x 1+S-x 2+…+S-x n .证法一：根据柯西不等式，得左边=nn x S x x S x x S x -++-+-2222121=［(S-x 1)+(S-x 2)+ …+(S-x n )］×S n x S x x S x x S x S n n n )1(1][)1(12222121-=-++-+-- nn n x S x x S x x S x x S x S x S -++-+-⨯-++-+- 221122221][])()()[(≥2222111)]()()[()1(1nn n x S x x S x S x x S x S x x S S n -⨯-++-⨯-+-⨯--=S n )1(1-(x 1+x 2+…+x n )2=S n )1(1-×S 2=1-n S =右边.∴原不等式成立. 证法二：∵a∈R +，则a+a1≥2. ∴a≥2-a1. ∴22)1(12])1(2[1)1(1----=---⨯-≥--⨯-=-n x S n x x n x S n x x S x n n x x S x i i i i i i i i i . n 个式子相加，有])1()1()1([12121222221212222121--++--+----++-+-≥-++-+-n x S n x S n x S n x n x n x x S x x S x x S x n n n n =1)1(122-=----n Sn S nS n S .∴原不等式成立. 证法三：22)1(1-+-n x S x i i (S-x i )≥ 12)()1(1222-=--∙-n x x S n x S x i ii i . ∴22)1()1(2----≥-n x S n x x S x i i i i , ∴1)1()1(12)1(12212112-=----=----≥-∑∑∑===n S n S n n S n x S n x x S x ni i n i i ni i i . ∴原不等式成立.问题探究问题：全班同学的体重与年龄有某种关系，如果让每人的体重都去乘所有人的年龄，再求其和，就可以比较得出各班之间体重间的一些问题，问这种值最小是多少？ 导思：设其人数及年龄，利用柯西不等式解答.探究：设全班为60人，年龄设为x 1,x 2, …,x 60,对应的体重为y 1,y 2,…,y 60.则 （x 1+x 2+…+x 60）(y 1+y 2+…+y 60) ≥(60602211y x y x y x +++)2.∴最小值是(60602211y x y x y x +++ )2.。
人教版高中数学选修4-5 不等式 第三章 柯西不等式与排序不等式 第二节 一般形式的柯西不等式
新课导入回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式？设αβ是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.思考从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？0 xz y()123,,a a a α()123,,b b b βθ0 x y(),a b α(),c d βθ观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,3)时，等号成立.探究对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？教学目标知识与能力1.掌握一般形式的柯西不等式的内容.2.灵活应用柯西不等式.过程与方法1.通过二维柯西不等式推导出一般形式的柯西不等式.2.通过例题熟悉柯西不等式的应用.情感态度与价值观培养学生的逻辑思维能力.教学重难点重点运用柯西不等式分析解决一些简单问题.难点一般形式的柯西不等式的证明思路.柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+bn 2)≥(a1b1+a2b2+…+a nb n)2 (2)猜想分析如果设A=a12+a22+…+a n2,B=a1b1+a2b2+…+a n b n,C= b12+b22+…+b n2,不等式(2)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.证明当a=a2=…=a n=0或b1=b2=…=b n=0时，(2)式1显然成立.,a2,…,a n中至少有一个不为0，则设a1a12+a22+…+a n2>0.因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(a n x+b n)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0，即4(ab1+a2b2+…+a n b n)-14(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≤0.于是(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(a1b1+a2 b2+…+a n b n)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.此时，有唯一实数x ，使a i x=b i (i=1,2,…,n).若x=0，则b 1=b 2=…=b n =0,(2)式成立；若x≠0，则有 ，总之，当且仅当b i =0(i=1,2,…,n)或a i =kb i (i=1,2,…,n)时，等号成立. i i ia b b定理（一般形式的柯西不等式）设a1,a2,…,a n,b1,b2,…,b n都是实数，则(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(ab1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当1b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得a i=kb i(i=1,2,…,n）时，等号成立.例 1()1222221212,1.......n n n a a a a a a a a a n+++≤+++已知，...,为实数，试证：分析用n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a 12+a 22+…+a n 2) ≥(1×a 1+ 1×a 2+…+ 1×a n )2, 所以n(a 12+a 22+…+a n 2) ≥(a 1+a 2+…+a n )2 即证 明()()222212121.......n n a a a a a a n+++≤+++例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.分析上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.证 明()()()222222222a b c d b c d a ab c cd da ++++++≥+++根据柯西不等式，有()()2222222222,,,,a b c d a b c d b c d aa b c d ab bc cd da a b c d ab bc cd da===+++〉++++++〉+++因为是不全相等的正数，所以等式不成立，所以即例3已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2的最小值.分析由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题.()()()2222222123231,x y zx y z ++++≥++=根据柯西不等式，得解：2222221,,14123113.,,14714x y z x y z x y z x y z ++≥=====++所以当且仅当即时，取最小值课堂小结1.一般形式的柯西不等式:,a2,…,a n,b1,b2,…,b n都是实数，则设a1(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(ab1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当1b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得a i=kb i(i=1,2,…,n）时，等号成立.2.一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。
2022版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5
1
2
2
3
-1
1
1
1
(1
+
2
+
⋯+a
)=
, 当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立.
n
2
2
≥
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思 通过此题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其
他重要不等式来证明,构造出所需要的某种构造是证题的难点,因
此,对柯西不等式及其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变
A.1
B.-1
C.2
答案：C
)
D.-2
目标导航
1
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
1.一般形式的柯西不等式的应用
剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,
但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进展变化,拼凑出与
一般形式的柯西不等式相似的构造,才能应用,因而适当变形是我
们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应
2
(1+2 +3 +…+ )2
.
1 +2 +3 +…+
21
1
22
2
+ +…+
2
+…+
·
2
(1 + 2 +
= (1 + 2 +
⋯+an)2.
∵b1,b2,…,bn 为正数,∴b1+b2+…+bn>0.
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式习题课件新人教A版选修4_5
解析：选 A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2 ≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21 ＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1， 当且仅当 ai＝kxi (i＝1，2，…，n)时，等号成立， 所以 a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是 1.故选 A.
3．已知 x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为( )
)
A．1
B．4
C．6
D．9
解析：选 C.由柯西不等式得
(a＋b＋c)1a＋4b＋9c
＝[( a)2＋( b)2＋( c)2]·
1a2＋
4b2＋
92 c
≥
a·1a＋
b·2b＋
c·3c2＝36.
即 61a＋4b＋9c≥36.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式
[A 基础达标]
1．设 a，b，c 为正数，且 a＋b＋4c＝1，则 a＋ b＋ 2c的最
大值为( )
A．
10 2
B． 10
C．2 10
D．3 10
解析：选 A.由柯西不等式，得( a＋ b＋ 2c)2
≤12＋12＋
222[(
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选 B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y
＋4z)2，
又 x2＋3y2＋4z2＝2 所以 2×8≥(x＋3y＋4z)2.
所以|x＋3y＋4z|≤4.
当且仅当 x＝ 33y＝22z，即 x＝y＝z＝12时取等号．
4．设 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则1a＋4b＋9c的最小值为(
)
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3_2一般形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修4_5
3.2 一般形式的柯西不等式课后导练基础达标1设A=a 2+b 2+c 2,B=ab+bc+ca(a,b,c∈R ),则A 、B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B解析:(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.答案:C2若a,b,c>0且ab+bc+ca=1,则a+b+c 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.3解析:(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2=1.∴a 2+b 2+c 2≥1.从而(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3. ∴a+b+c≥3.答案:D3若a≠b,则a 2+3b 2与2b(a+b)的大小关系为( )A.a 2+3b 2>2b(a+b)B.a 2+3b 2<2b(a+b)C.a 2+3b 2≥2b(a+b)D.a 2+3b 2≤2b(a+b)解析:(a 2+3b 2)2=(a 2+b 2+2b 2)(b 2+a 2+2b 2)>(ab+ba+2b 2)2=4b 2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),∴a 2+3b 2>2b(a+b).答案:A4若a,b ，c ＞0，则M=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2),N=9abc 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M≥ND.M≤N解析:∵(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ac)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.∴(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c)(bc+ac+ab) ≥(ab c ac b bc a ∙+∙+∙)2 =(abc 3)2=9abc.∴M≥N.答案:C5设a,b,c>0，M=ab+bc+ca+c 2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN 与P 的大小关系是( )A.MN>PB.MN≤PC.MN≥PD.MN<P解析:MN=(ab+bc+ca+c 2)·(ab+a+b+1) =abc(c 1+a 1+b 1+ab c )(1+a+b+ab)≥abc(c 1+1+1+c )2=abc(c1+1+1+c )(c +1+1+c 1)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.答案:C综合运用6已知A 、B 、C 是三角形三内角的弧度数，则C B A 111++与π9的大小关系为( ) A.C B A 111++≥π9 B.C B A 111++≤π9C.C B A 111++>π9 D.C B A 111++<π9解析:∵A＋B ＋C ＝π, ∴(A+B+C)(C B A 111++)≥(1+1+1)2=9. ∴C B A 111++≥π9.等号当且仅当A ＝B ＝C=π3时取得.答案:A7a 、b 、c∈R +，求证：)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++.证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［a c c b b a +++++111］≥(1+1+1)2=9. ∴)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++.等号当且仅当a=b=c 时取得.8a∈R ，求证:(1+a+a 2)2≤3(1+a 2+a 4).证明:3(1+a 2+a 4)=(1+1+1)(1+a 2+a 4)≥(1+a+a 2)2.9设a 、b 、c∈R +，求证：ab c ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2.证明:(bc+ac+ab)(ab c ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2.又bc+ac+ab≤a 2+b 2+c 2,∴(a 2+b 2+c 2)(ab c ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2,即abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2. 拓展探究10设n 是不小于2的正整数，证明2221211174<+++++≤n n n . 证明: ∵(nn n 212111+++++ )·［(n+1)+(n+2)+…+2n］≥(1+1+…+1)2=n 2, n n n 212111+++++ ≥1322)2()1(2+=+++++n n n n n n 742323211=+≥+=--n 由柯西不等式,nn n 212111+++++ ≤])2(1)2(1)1(1)[111(222222n n n ++++++++ 22)211(])2)(12(1)2)(1(1)1(1[=-=-++++++∙<n n n n n n n n n n 备选习题11已知非负数x i (i=1,2,3,…,n)满足x 1+x 2+…+x n =1, 求证：n x x x n ≤+++21(n∈N *). 证明:))(1111()(12121n n x x x x x x n n +++++++=+++=∙ 221)(n x x x +++≥ =n x x x +++ 21∴原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p. 求证：p c p b p a p 3≤-+-+-. 解析:设z c p y b p x a p =-=-=-,,, 记c p b p a p -+-+-=s,则x+y+z=s,x 2+y 2+z 2=p.（注:a+b+c=2p ）由柯西不等式得s 2=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3p ⇒s≤p 3, 即p c p b p a p 3≤-+-+-13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3...(1)x 2+y 2+z 2=3 (2)x 5+y 5+z 5＝3…（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3×3, 上式等号成立的充要条件是111z y x ==,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1).14设x i ∈R +（i=1,2,…,n），试证(x 1+x 2+…+x n )［n x x x 11121+++ ］≥n 2. 证明:［(1x )2+(2x )2+…+(n x )2］［(11x )2+(21x )2+…+(nx 1)2］ ≥［1x ·11x +2x ·21x +…+n x ·n x 1］2 =(1+1+…+1)2.15设a,b,c∈R +，试证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:［(c b a+)2+(a c b +)2+(ba c +)2］ ［(cb +)2+(ac +)2+(b a +)2］≥(a+b+c)2, 即(ba c a cbc b a +++++222)(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2. 故2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.16设a,b,c,d ＞1，且log a (bcd)≤9,试证log b a+log c a+log d a≥1. 证明:［(a b log )2+(a c log )2+(a d log )2］ ［(b a log )2+(c a log )2+(d a log )2］ ≥(log b a·log a b+log c a·log a c+log d a·log a d)2=(1+1+1)2=9, log b a+log c a+log d a ≥)(log 9log log log 9bcd d c b a a a a =++≥1.。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
2 1 2 2 2 n 1 2 n
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,...,n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第3讲柯西不等式与排序不等式课件理新人教A版选修4_5
第 3 讲 柯西不等式与排序不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥__(_a_c_＋__b_d_)2__，当
且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)(二维变式) a2＋b2· c2＋d2≥_|_a_c＋__b_d_|_， a2＋b2· c2＋d2 ≥_|a_c_|＋___|b_d_|．
2．设 x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求 x－2y＋2z 的最大值 与最小值．
解：根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2 ＋y2＋z2)， 即(x－2y＋2z)2≤9×25， 所以－15≤x－2y＋2z≤15， 故 x－2y＋2z 的最大值为 15，最小值为－15.
(3)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤__|α_||_β_|_，当且仅当 β 是零向量，
或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．
(4)定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ∈ R ， 那 么 x21＋y21 ＋ x22＋y22 ≥ _____（__x_1－___x_2）__2_＋__（__y_1－__y_2_）__2__．
利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21＋a22＋…＋ a2n)a121＋a122＋…＋a12n≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式 时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
[通关练习] 1．设 x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求 x2＋y2＋z2 的最小值．
解：考虑以下两组向量 u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)， 根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2， 得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)， 即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)， 将 2x－y－2z＝6 代入其中，得 36≤9(x2＋y2＋z2)， 即 x2＋y2＋z2≥4， 故 x2＋y2＋z2 的最小值为 4.
人教版高中数学选修第三讲.柯西不等式与排序不等式ppt课件
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设
x1,
2 1
y
2 1
1
,
x 2,
2 2
，那么 y2 R
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y
2 2
11
2. 已知a b 1, 求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二.一般形式的柯西不等 式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式:
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式：
m ( a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd | m | a | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n |
2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b) ( ) 4 a b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 2.
故x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤λ 恒成立时，
应有
λ≥
3 2.
因此 λ 的取值范围是 23，＋∞.
应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的 特点“创造性”应用定理．
[再练一题] 2．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围.
已知 a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则 a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最 大值是( )
A．1
B．2
C．3
D.4
【解析】 (a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1 ＝1，当且仅当ax11＝ax22＝…＝axnn＝1 时取等号，
已知 x，y，z∈R＋且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小值是( )
A．1
1 B.3
2 C.3
D．2
【解析】 根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝13(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥13(1×x
＋1×y＋1×z)2＝13(x＋y＋z)2＝13. 【答案】 B
教材整理 2 一般形式的柯西不等式 阅读教材 P38～P40，完成下列问题． 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当 bi＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝ kbi (i＝1,2，…，n)时，等号成立．
运用柯西不等式求参数的取值范围
已知正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝xyz，且不等式x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤λ 恒成立，求 λ 的取值范围．
【精彩点拨】 “恒成立”问题需求x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x的最大值，设法应用 柯西不等式求最值．
【自主解答】 ∵x>0，y>0，z>0.
【导学号：32750052】
【解】 由 a＋b＋c＋d＝3，得 b＋c＋d＝3－a， 由 a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得 2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， (2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2]．
阶
阶
段
段
一
三
二 一般形式的柯西不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
上一页
返回首页
下一页
1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点) 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 1 三维形式的柯西不等式 阅读教材 P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题． 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥ (a1b1＋a2b2 ＋a3b3)2 .当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时， 等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常 数结果．同时，要注意等号成立的条件．
[再练一题] 1．已知 x＋4y＋9z＝1，求 x2＋y2＋z2 的最小值．
【解】 由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)． 又 x＋4y＋9z＝1， ∴x2＋y2＋z2≥918，(*) 当且仅当 x＝4y＝9z时，等号成立， ∴x＝918，y＝429，z＝998时，(*)取等号． 因此，x2＋y2＋z2 的最小值为918.
[探究共研型] 利用柯西不等式证明不等式
探究 在一般形式的柯西不等式中 ，等号成立的条件记为 ai＝kbi(i＝ 1,2,3，…，n)，可以吗？
[小组合作型] 利用柯西不等式求最值
已知 a，b，c∈(0，＋∞)，1a＋2b＋3c＝2，求 a＋2b＋3c 的最小值及 取得最小值时 a，b，c 的值．
【精彩点拨】 由于1a＋2b＋3c＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来， 利用柯西不等式求解．
【自主解答】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴
且 x＋y＋z＝xyz.
∴y1z＋x1z＋x1y＝1.
又x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x
≤12
1＋ xy
1＋ yz
1 zx
＝121· 1xy＋1· 1yz＋1· 1zx
≤1212＋12＋12x1y＋y1z＋z1x12＝ 23， 当且仅当 x＝y＝z，即 x＝y＝z＝ 3时等号成立．
∴x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x的最大值为
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是 1.
【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
1a＋2b＋3c
·(a
＋
2b
＋
3c)
＝
[
1 a
2
＋
( 3c)2]
≥
1 a·
a＋
2 b·
2b＋
3 c·
3c2
＝(1＋2＋3)2＝36.
2 b
2
＋
又1a＋2b＋3c＝2，
3 c
2
][(
a )2 ＋ (
2b )2 ＋
∴a＋2b＋3c≥18， 当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立， 综上，当 a＝b＝c＝3 时， a＋2b＋3c 取得最小值 18.