计数原理1导学案

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导学案计数原理(日照实验高中导学案)

日照实验高中2007级导学案——计数原理1.1基本计数原理学习目标：1．能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；2．能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；3．会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用．学习重点难点：综合运用两个基本原理解决一些简单的实际问题．自主学习一．课堂引入：问题情境一：五一期间，某家庭自助旅游，欲从甲地去乙地，一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？问题情境二：后来听说丙地也是旅游胜地，于是改变行程，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，已知乙地到丙地一天中有飞机2班，轮船2班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到丙地共有多少种不同的走法？二．新课探究由情境一，你能归纳猜想出一般结论吗？分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，…，在第n类方式中有m n中不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 + m2 +…+ m n种不同的方法．要点分析：（1）分类；（2）相互独立；（3）N = m1 + m2 +…+ m n（各类方法之和）．由情境二，你能归纳猜想出一般结论吗？分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 ×m2 ×…×m n种不同的方法．要点分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；教师备课学习笔记ⅠⅡ（3）N = m 1 × m 2 × … × m n （各步方法之积）．三．例题解析：例1（1）在图Ⅰ的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？（2）在图Ⅱ的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？总结，提升：变式训练：如下图，从A 到B 共有多少条不同的线路可通电？（每条线路仅含一条通道）例2 为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A 到Z 这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？教师备课学习笔记变式训练：若在登陆某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX（如2a8t），第一位和第三位为0到9中的数字，第二位和第四位为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码最多有个？例3 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3盒，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有7 种．注明：本题可以列树状图．例4 等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的不同形状的三角形的种数为10 种．注明：注意到边长为正整数，周长不大于10，且任意两边之和大于第三边．按腰长分类，再分类计数，防止重复或遗漏．例5 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（三种作物必须都种植）注明：因有3种作物种植，需去掉只种两种作物的情况，这种情况易被忽略．答案：42种例5 现有高一年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组．（1）选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？（3）推选2人作代表发言，这2人需来自不同的组，有多少中不同的选法？注明：计数关键在于不重复不遗漏，我们常用分类或分步的方法将较复杂的问题分解成若干较简单的问题．答案：（1）24种；（2）504种；（3）191种．例6 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？注明：解决本题，容易得到以下错解：“分三步完成，先排首位有5种方法，再排个位有5种方法，最后排中间两位有8×7种方法，所以共有5×5×8×7 = 1400（个）．”产生以上错解的原因是：由题意，3、5、7这三个数既可以排在首位，也可以排在个位，因而首位与个位有可能重复．实际上，当首位为3、5、7时，末位只有4种方法．因此，首位是用3、5、7，还是用4、6，影响到第二步，即填个位的方法数，遇到此类情形，则要分类处理．答案：1232（个）．教师备课学习笔记课堂巩固：1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有种行车路线.2.某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为0），则该城市可以增加的电话部数是.3.72的正约数（包括1和72）共有个.归纳反思：合作探究：1.某电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？2.从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数cbxaxxf++=2)(的系数，可组成不同的二次函数共有个，其中不同的偶函数共有个. 教师备课学习笔记。

高中数学：第一章计数原理1.1导学案

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)[学习目标]1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．[知识链接]1．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？答分10步．第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种；第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种；…第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．故共有乘客下车的可能方式有5×5×5×…×5,10个＝510(种)．2．从1，2，3，4，7，9六个数中，任意两个不同数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数有多少？答(1)当取的两数中有1时，且1只能为真数，此时不管取哪一个数为底数对数的值都为0.(2)当两数都不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴即所有不同的对数的值的个数为1＋5×4－4＝17.[预习导引]1．两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．2．两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到不重不漏；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤完整.要点一两个计数原理在排数中的应用例1 数字不重复的四位偶数共有多少个？解(1)0在末位时，十、百、千分别有9，8，7种排法，共有9×8×7＝504(个)．(2)0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位分别有8，7两种排法．∴共有4×8×8×7＝1 792(个)．由(1)(2)知，共有符合题意的偶数为504＋1 792＝2 296(个)．规律方法排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用．跟踪演练1 用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．要点二抽取(分配)问题例2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16种 B．18种 C．37种 D．48种答案 C解析法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．法二(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．规律方法解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪演练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5；分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1，2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1，3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1，4)，选法有3×2×1＝6(种)．分类还有以下几种情况：(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)；共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得：共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．要点三涂色问题例3 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？解(1)如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植．因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6(种)．(2)如图2，当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18(种)种植方法．规律方法(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．(2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．跟踪演练3 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．要点四种植问题例4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．解法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种)．规律方法按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．跟踪演练4 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答)．答案42解析分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(2)若第三块田放a：第四块有b或c2种方法：①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有( )A．48种 B．24种 C．14种 D．12种答案 A解析从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数为( )A．125 B．15 C．100 D．10答案 C解析若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：第一步：对于系数a有4种不同的选法；第二步：对于系数b有5种不同的选法；第三步：对于系数c有5种不同的选法．由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100(个)．3．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项．答案24解析要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．4．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？解(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列，组合问题，尤其是较复杂的排列，组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．一、基础达标1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是( )A．26 B．24 C．20 D．19答案 D解析单位时间内传递的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19，故选D.2．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为( )A．2 B．4 C．8 D．15答案 D解析完成xy这件事分两步：第一步：从集合{1，2，3，4}选一个数，共有4种选法；第二步：从集合{5，6，7，8}选一个数，共有4种选法．共有4×4＝16(种)选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15.3．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是( )A．100 B．90 C．81 D．72答案 C解析分两步：第一步选b，∵b≠0，所以有9种选法；第二步选a，因a≠b，所以有9种选法．由分步乘法计数原理知共有9×9＝81(个)点．4．(2013·福建理)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13 C．12 D．10答案 B解析①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解，此时b取4个值，故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1，显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵(a，b)共有3×4＝12个实数对，此时(a，b)的取值为12－3＝9(个)．∴(a，b)的个数为4＋9＝13.5．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种．答案96解析完成承建任务可分五步：第一步，安排1号有4种；第二步，安排2号有4种；第三步，安排3号有3种；第四步，安排4号有2种；第五步，安排5号有1种．由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96(种)．6．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．答案242解析分三类，第一类：取数学书和语文书，有10×9＝90(种)；第二类：取数学书和英语书，有10×8＝80(种)；第三类：取语文书和英语书，有9×8＝72(种)，故共有90＋80＋72＝242(种)．7．若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有多少对？解把六棱锥的棱分成三类：第一类，底面上的六条棱所在的直线共面，则每两条之间不能构成异面直线．第二类，六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线．第三类，结合图形可知，底面上的六条棱所在的直线中的每一条与之不相交的四条侧棱所在的四条直线中的每一条才能构成异面直线．再由分步乘法计数原理，可构成异面直线6×4＝24(对)．二、能力提升8．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．24种B．30种C．36种D．48种答案 D解析共有4×3×2×2＝48(种)．9．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有( )A．18条B．20条C．25条D．10条答案 A解析第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．10．如图是5个相同的长方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些长方形，使每个长方形涂一种颜色，且相邻长方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．答案 1 280解析涂第一个长方形时有5种方法；涂第二个长方形时颜色与第一个不同，有4种方法；由于颜色可以反复使用，因此第三个、第四个、第五个长方形各有4种涂法．由分步乘法计数原理知，所有的涂色方法共有5×4×4×4×4＝1 280(种)．11．有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同方法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？解 (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．12．从{－3，－2，－1，0，1，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？解因为抛物线经过原点，所以c ＝0，从而知c 只有1种取值．又抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 顶点在第一象限，所以顶点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＞0，4ac －b 24a ＞0，由c ＝0解得a <0，b >0，所以a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1，2，3}，这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值来确定：第一步：确定a 的值，有3种方法；第二步：确定b 的值，有3种方法；第三步：确定c 的值，有1种方法．由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N ＝3×3×1＝9(条)．三、探究与创新13．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．解 (1)如图，由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 必须颜色相同，B ，D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)法一由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B，D颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法；根据分步乘法计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．法二分两类．第一类，C与A颜色相同．由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×1×2＝120(种)方法；第二类，C与A颜色不同．由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×2×1＝120(种)方法；由分类加法计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法．11。

1.1 计数原理(导学案)

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（导学案）编写人：樊一斌校对：高二数学组班级姓名【学习目标】（目标就是方向！） 1、通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题. 【知识清单】（积跬步能至千里！请大家勇敢的迈出第一步！） 1、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，第1类方案中有种不同的方法，第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N = 种不同的方法，这一原理叫做分类加法计数原理.若第1类有1m 中不同的方法，第2类有2m 种不同的方法，…，第n 类有n m 种不同方法，则一共有种不同的方法. 2、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2类步有种不同的方法，那么完成这件事共有N = 种不同的方法，这一原理叫做分步乘法计数原理.请你仿照1对分步乘法计数原理进行推广： 3、分类、分步的技巧和要求(1)在解决计数问题时最重要的是在开始计算前要仔细分析； (2)分类要做到“ ”； (3)分步要做到“ ”. 【探究分析】（思考使人睿智，真理越辩越明！） 1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系【典例精析】（经典！经典！真经典！！）题型一：分类计数原理例1、从甲地到乙地每天有火车10班，分机3班，轮船2班，汽车15班，问：一天内乘坐不同班次的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？变式：某班男生26人，女生14人，从中选1人担任数学兴趣小组的组长，共有不同选法种？题型二：分步计数原理例2、有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.从盒子里任取红、白、黄色小球各一个，有多少种不同取法？变式：在A B C D E 、、、、五位候选人中，选出正、副班长各一人的选法共有多少种？题型三：两个计数原理的综合应用例3、现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加社会实践活动. (1)选其中一人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的负责人，有多少种不同选法？变式：甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？常见题型一：数字排列问题例4、用012345、、、、、可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数？常见题型二：种植问题例5、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中白菜必须种植，不同的种植方法有几种？常见问题三：涂色问题例6、用红黄绿黑四种颜色涂入到五个区域内，要求相邻的连个区域的颜色都不相同，这有多少种不同的涂色方法？【知能达标】（对你们来说是小意思啦!） 1、书架上下层分别放有5本不同的科技书和4本不同的文学书，从中选一本科技书和一本文学书，不同的选法有（）A ．30种 B ．32种 C ．18种 D ．50种 2、从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同的走法种数是（） A ．9 B ．1 C ．24 D ．33、有 3封信，任意投入到5个信箱中，则不同的投法为（） A ．729 B ．125 C ．15 D ．274、从5个学生中选出2人，其中一人做班长，另一人做团支书，则不同的选法有（） A 、20 B 、10 C 、25 D 、都不对5、已知：{}{}{}123013412a b k ∈-∈∈，，，，，，，，，则方程222()()x a y b k -+-=所表示的不同的圆的个数有（） A ．24 B ．18 C ．9 D ．146、从A 村到B 村道路有2条，从B 村到C 村的道路有3条，从A 村直接到C 村的道路有2条，那么从A 地到C 地不同的走法种数是（）A ．6B ．7C ．8D ．127、用012345、、、、、可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？8、5名同学参加跳高、跳远、100米短跑和1500米长跑四项比赛，每项比赛都没有两个冠军.那么一共有种不同的冠军获得情况.9、3男3女共6人排成一排照相，男生要排在一起，女生也要排在一起，共有多少种不同的排法？10、某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中6个焊接点，如果某个焊接点脱离，整个电路就会不通，先发现电路不通了，那么焊接点脱离的可能情况共有种.11、某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各一人，有多少种不同的选法？12、A B C D E 、、、、五个人排一个5天的值日表，每天有一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻两天不能由同一个人值，那么值日表排法总数为多少种？【高考链接】（我们的目的地！） 1、（2008年全国）如图，一环形花坛分成A B C D 、、、四块.每一块里种1种花且相邻的两块不能种相同的花，则不同的种法总数为（） A ．96B ．84C ．60D ．48。

1.1计数原理导学稿

1．1计数原理【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材（P2—P10），用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答；2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时再做，对于选作部分BC 层可以不做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

4.预习指导：认真学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理；归纳总结两个基本原理的概念．【学习目标】1. 理解计数原理的概念，掌握基本计数原理解决问题的方法。

2.自主学习、合作交流，总结归纳两个基本原理的概念。

3.激情投入、高效学习，对两个基本概念有清楚的认识，体现生活中数学的广泛性。

预习案一、预习自学：【基础知识梳理】分类加法计数原理完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m 种方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有N=_________种不同的方法.分步乘法计数原理完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m 种不同的方法，完成第2步有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有N=__________种不同方法。

【难点正本、疑点清源】1．分类加法计数原理针对的是_______问题：完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2．分步计数原理针对的是问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：______________________________________________________________________________________________.4.分类要做到________________，分步要做到________________.二、预习自测1．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少不同的走法？.2．一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .3．从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。

计数原理(日照实验高中导学案)

日照实验高中2007级导学案——计数原理1.2.1 排列学习目标：1．正确理解排列的概念，了解树形图及字典排序法；2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题，使学生逐步学会分析问题的方法，提高解决问题的能力．学习重点难点：排列的概念及写排列问题．自主学习:一．课堂引入：前面我们认识了计数的两个基本原理，下面来研究关于计数的一类常见问题：问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？（20）问题二：用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？（20）问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？（20）这三个问题有什么共同特点？能否对上面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？二．新课探究一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）．概念说明：（1）元素不能重复；（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同；（4）m＜n时的排列叫做选排列，m≤n时的排列叫做全排列；（5）为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“数形图”或“字典排序法”．为了研究问题的方便，我们给出下面概念及符号：一般地，我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个教师备课学习笔记数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号nm A 表示．思考：（1）“排列”与“排列数”有何区别与联系？（2）运用分步乘法计数原理或枚举法（字典排序或数形图），我们可以求出排列数．试求35A 及55A ．三．例题解析：例1 分析下列问题，那些是求排列数问题？（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？（3）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（4）用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（5）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（6）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？答案：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）不是．拓展：求出上面问题的答案．答案：（1）60；（2）125；（3）48；（4）60；（5）5；（6）10．例2 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：直接法（优先考虑特殊位置）由于百位上的数字不能是0，因此，为了得到这个三位数，第一步：先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有19A 种选法．第二步：再排十位和个位上的数字，是从余下的9个数字中任选2个的一个排列，有29A 种选法．根据分步计数原理，所求的三位数的个数是19A ·29A = 9×9×8 = 648．解法2：直接法（优先考虑特殊元素）由于0是一个特殊元素，因此可先排这个特殊元素．符合条件的三位数可以分为教师备课学习笔记3类：第一类：每一位数字都不是0的三位数有39A 个；第二类：十位数字是0的三位数有29A 个；第三类：个位数字是0的三位数有29A 个．根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是39A +29A +29A = 648．解法3：间接法（先求排列总数，然后去掉不符合条件的，间接求得答案）从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为310A ，其中0在首位的排列数为29A ，这些排列不能构成三位数，因此，所求的三位数的个数是：310A －29A = 648．答可以组成648个没有重复数字的三位数．例3 7位同学站成一排．（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解：（1）相邻问题可以采用“捆绑法”，但要注意捆绑在一起的元素也要排序！答案：1440种；（2）不相邻问题可以采用“排除法”或“插空隙法”，前者是一种间接法，后者是一种直接法；答案：3600种；（3）可以按“位置的特殊性”或“元素的特殊性”进行特殊考虑．答案：960种．课堂巩固：（1）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？答案：240种．（2）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？答案：2400种．（3）6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有多少种？（答案：33332A A ）（4）某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？（答案：2880）教师备课学习笔记归纳反思：合作探究：用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数.（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个四位偶数？(3) 问（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一列，问第85项是什么？教师备课学习笔记。

2019-2020学年高中数学第一章计数原理 1.1 计数原理(2)导学案新人教A版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学第一章计数原理 1.1 计数原理（2）导学案新人教A版选修2-3【学法指导】阅读，练习，记忆●为必背知识【教学目标】①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；【教学重点】：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)【教学难点】：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解【教学过程】 1，分类加法计数原理●分类加法计数原理，，，。

（两类不同方案中的方法互不相同）●分步乘法计数原理，，，。

课本例3：课本例4：●用两个计数原理解决计数问题是，重要的是在开始计算之前要进行仔细分析需要分类还是分步。

分类要做到。

分步要做到。

、课本12页习题1.1 A组课后练习与提高一、选择题1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）．A．种B．种C．种D．种2．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（）．A．种B．种C．18种D．36种3．已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）．A．18 B．10 C．16 D．144．用1，2，3，4四个数字在任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（）．A．8个B．9个C．10个D．5个二、填空题1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数，_______个四位数，________个五位数．２．用1，2，3…，9九个数字，可组成__________个四位数，_________个六位数．３．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_______种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有_________种不同的选法．４．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_______种．三、解答题1．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的对数值？2．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？。

高中数学第一章计数原理简单计数问题导学案

§4 简单计数问题自主整理1。

区别排列问题与组合问题的关键是元素是否_____________________.2。

解决相邻元素问题的方法是____________________。

3.解决元素不相邻问题的方法是____________________。

4。

有特殊要求的元素问题常用____________________。

5。

有特殊要求的位置问题常用____________________。

6.无序平均分组问题常用____________________。

7.相同元素分组问题常用____________________。

8.“至多”“至少”问题常用____________________。

高手笔记1.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列。

它主要用于解决“元素相邻问题".例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m（m≤n）个元素必相邻的排列有A11+-+-m n m n·A m m个。

其中A11+-+-m n m n是一个“整体排列”，而A m m则是“局部排列”.2.插空法:先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”。

运用插空法解决“元素不相邻问题”时，要同时借助框图和数数法求解。

3.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则。

4。

调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有A n n种,m(m 〈n)个元素的全排列有A m m种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法。

高中数学第一章计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案新人教A版选修

湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）【学习目标】1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理;2了解分类、分步的特征，合理分类、分步；3.体会计数的基本原则:不重复,不遗漏.重点:归纳地得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理.能应用它们解决简单的实际的问题.难点：正确的理解“完成一件事情"的含义。

根据实际问题的特征,正确地区分“分类”与“分步”。

【使用说明与学法指导】1。

课前用20分钟预习课本P2-5内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2。

独立思考,认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1。

分类加法计数原理（1）分类加法计数原理:如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么,完成这件工作共有N= 种不同的方法.（2）分类加法计数原理针对的是“分类"问题,其中各种方法相互独立．．．．．．．．．．．．．．．．．．，用其中任何一种方法都可以做完这件事．．．．．．．．．。

2.分步乘法计数原理（1）分步乘法计数原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么,完成这件工作共有N= 种不同方法。

高中数学第一章计数原理1排列与组合1组合课堂导学案

1.2。

2 组合课堂导学三点剖析一、组合数的运算【例1】已知m nm m n C C C •=-107116，求mC 8.解析:m 的范围｛x ｜0≤m≤5,m ∈Z ｝，由已知，!6)!6(!5)!5(!m m m m ---=!710!)!7(7⨯-⨯m m ，即60—10（6—m ）=（7—m ）（6-m). 得m=21或m=2，又m ∈［0，5]，则m=2， ∴m C 8=28C =28.温馨提示用mmm nm nA A C =计算具体的组合数，用)!(!!m n m n Cm n-=证明有关组合数的代数式,有时还用到组合数的性质化简。

二、有限制条件的组合问题【例2】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要选派5名参加赈灾医疗队。

(1）某内科医生必须参加,某外科医生不能参加，有多少种选法？（2）至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法? 解析：（1）某内科医生参加，某外科医生不参加，只需从剩下的18名医生中选4名即可。

故有418C =3 060（种）.(2）解法一：依据组合问题分类讨论原则.至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.共有112C·48C+212C·38C+312C·28C+412C·18C=14 656（种）.解法二：依据组合问题不符合条件的用剔除原则,事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的对立面是“全部为内科医生或外科医生，”共有512C+58C种选法，则5C—（512C+58C)=14 656(种)。

20温馨提示题目中含有“含”与“不含”,“最多”与“至少”等问题。

解“含有"一般是先将这些元素取出，不足部分由另外元素补充，“不含”，可将这些元素剔除，再从剩下的元素中取；解“最多”与“最少"问题,可用直接法分类求解，也可用间接法求解.三、分组、分配问题【例3】有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本,一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本。

河北省邢台市沙河市高中数学第一章计数原理1.1计数原理(1)导学案(无答案)新人教A版选修2-3

§1。

1计数原理（1）【学法指导】阅读，练习,记忆●为必背知识【教学目标】①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；【教学重点】:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理（乘法原理)【教学难点】：分类计数原理（加法原理)与分步计数原理(乘法原理）的准确理解【教学过程】 1，分类加法计数原理（1）提出问题问题1。

1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码？答： . （2）发现新知●分类加法计数原理，，，。

(两类不同方案中的方法互不相同）（3）知识应用学习课本3页例1.解:变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有多少种？答： .如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？●一般归纳：完成一件事情,有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法。

那么完成这件事共有：（）种不同的方法。

●理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事。

2，（1）提出问题问题2。

1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以，1A ，2A …的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：（2）发现新知●分步乘法计数原理，， , 。

（3)知识应用例1。

设某班有男生30名,女生24名。

现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？●一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有（）种不同的方法.●理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点（课本6页）4，当节练习课本6页练习1,2，3尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。