9.2三角形的内角和外角
三角形的内角和外角
三角形的内角和外角三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每条线段连接着两个不同的顶点。
与其他多边形相比，三角形有着独特的性质和特点。
其中，三角形的内角和外角是三角形研究中的重要概念之一，下面将对三角形的内角和外角进行详细探讨。
一、三角形的内角三角形的内角指的是三角形内部的角度，可以分为锐角、直角和钝角。
对于任意一个三角形ABC来说，它的三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
这三个内角的和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这个性质被称为三角形内角和定理。
在分类上，三角形的内角可以进一步细分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形是指三个内角都是锐角的三角形；直角三角形是指其中一个内角为直角的三角形；钝角三角形是指其中一个内角为钝角的三角形。
二、三角形的外角三角形的外角指的是三角形外部的角度，它是三角形每个内角的补角。
具体来说，在三角形ABC中，三个外角分别为∠D、∠E和∠F，且它们分别等于三个对应的内角的补角，即∠D = 180° - ∠A，∠E = 180° - ∠B，∠F = 180° - ∠C。
同样地，外角也可以根据大小进行分类。
对于三角形ABC来说，如果其中一个外角大于90°，则称这个三角形为非凸三角形；如果其中一个外角等于90°，则称这个三角形为鈍角三角形；如果所有外角都小于90°，则称这个三角形为凸三角形。
三、内角和外角的关系在三角形中，内角和外角有着一定的关系。
根据内角和外角的定义以及三角形内角和定理，可以得出以下结论：1. 内角和外角互补关系：三角形的内角和外角互为补角，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
2. 凹角和凸角的关系：凹角三角形的外角和为360°，凸角三角形的外角和为0°。
冀教版数学七年级下册9.2《三角形的内角和外角》教学设计2
冀教版数学七年级下册9.2《三角形的内角和外角》教学设计2一. 教材分析冀教版数学七年级下册9.2《三角形的内角和外角》是学生在掌握了三角形的基本概念、性质的基础上，进一步研究三角形的内角和外角的性质。
本节内容通过探究三角形的内角和外角，培养学生的观察、思考、归纳能力，为后续学习三角形的不等式、多变形几何等知识打下基础。
本节课的内容在整体教材中起到承上启下的作用，既是对前面知识点的巩固，又是为后面知识的学习做铺垫。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念、性质，对三角形有了初步的认识。
但学生在学习过程中可能对内角和外角的概念、性质理解不够深入，对内角和外角之间的联系和转化还不够明确。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采用适当的教学方法，引导学生深入理解三角形的内角和外角的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的内角和外角的性质，能够运用内角和外角的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的观察能力、动手能力、归纳能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：三角形的内角和外角的性质。
2.难点：内角和外角之间的联系和转化。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入内角和外角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣，培养学生自主探究的能力。
3.小组合作学习：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，提高学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形的内角和外角的性质。
2.教学素材：准备一些三角形图形，用于引导学生观察、操作。
3.教学视频：寻找相关教学视频，帮助学生更好地理解内角和外角的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入三角形内角和外角的概念，激发学生的学习兴趣。
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质三角形的内角和外角是三角形的基本性质之一，它们的和有着固定的关系。
本文将探讨三角形的内角和外角的性质以及相关的数学定理。
一、三角形的内角和外角的定义三角形由三条边和三个角组成。
其中每个角都有对应的内角和外角。
内角是指位于三角形内部的角，即由两条边组成的夹角。
外角是指位于三角形外部的角，即由一条边和与其相邻的内角组成的夹角。
二、三角形的内角和外角的关系1. 内角和定理对于任意三角形，其内角的和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
若设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理对于任意三角形，其外角的和也等于180度。
即三个外角的度数之和为180度。
若设三角形的三个外角分别为∠A'、∠B'、∠C'，则有∠A' +∠B' + ∠C' = 180度。
3. 内角和与外角和的关系对应一个内角和一个外角，它们的度数之和为180度。
即对于三角形的任意一组内角和外角，有∠A + ∠A' = 180度；∠B + ∠B' = 180度；∠C + ∠C' = 180度。
三、三角形的内角和外角的性质1. 三角形的内角性质a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：一个内角大于90度。
2. 三角形的外角性质a. 锐角三角形：三个外角都大于0度且小于180度。
b. 直角三角形：一个外角为90度。
c. 钝角三角形：两个外角大于90度且小于180度，一个外角为0度。
3. 三角形的内角和外角关系a. 两个内角的和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A +∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
b. 两个外角的和等于第三个外角。
即∠A' + ∠B' = ∠C'，∠A' +∠C' = ∠B'，∠B' + ∠C' = ∠A'。
9.2三角形的内角和外角(1)课件(冀教版七下)
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) B ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
方 法 三 A E
C
三角形内角和定理: 三角形内角和等于80°.9.2三角形的内角和外角（1）
旧知回顾
我们已经知道,任意一个三角形的内角 和等于180°.怎么证明这个结论呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角 和为180°.
验证：三角形的三个内角和是180°
A
B C A
A
B
图 1 B
C
B
B
图2
C
A
B
图3
C
结论：三角形的内角和等于1800.
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
练一练
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理） ∠C= 90゜（已知） B ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质） 即∠A+∠B=90゜ A
C
课堂小结
E A F
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） 同理∠C=∠1 因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
三角形的内角和与外角性质
三角形的内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它的内角和与外角性质是研究三角形性质的重要内容之一。
本文将详细介绍三角形的内角和与外角性质，以及它们之间的关系。
一、三角形的内角和性质在一个三角形中，三个内角的和始终等于180度。
这一性质称为三角形的内角和性质。
以三角形ABC为例，角A、角B、角C分别表示三角形的三个内角。
则有以下等式成立：角A + 角B + 角C = 180°这一性质可以通过以下推论得到进一步的认识。
1. 正三角形的内角和性质正三角形是指三个内角均相等的三角形。
在一个正三角形中，每个内角都是60度，所以三个内角的和为：60° + 60° + 60° = 180°2. 直角三角形的内角和性质直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个内角的和为：90° + 角B + 角C = 180°∴角B + 角C = 90°3. 钝角三角形的内角和性质钝角三角形是指其中一个内角大于90度的三角形。
在钝角三角形中，另外两个内角的和为：角A + 钝角 + 角C = 180°∴角A + 角C = 钝角二、三角形的外角性质在一个三角形中，每个内角的补角称为该内角的外角。
根据三个内角和性质，可以得知：三角形的外角和等于360度。
以三角形ABC为例，角A、角B、角C的外角分别为角A'、角B'、角C'。
则有以下等式成立：角A + 角A' = 180°角B + 角B' = 180°角C + 角C' = 180°由此可知，角A' + 角B' + 角C' = 360°。
三、内角和与外角性质的关系三角形的三个内角与对应的外角之间存在着一定的关系。
1. 内角和与外角和的关系三角形的三个内角和等于三个外角和。
9.2《三角形的内角和外角》教案
《三角形的内角和外角》教案教学目标1、证明三角形内角和定理，并能简单应用这些结论．2、理解三角形的外角；3、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题．教学重点知道作辅助线证明三角形内角和定理，并能简单应用这些结论．掌握三角形的外角和三角形外角的性质．教学难点掌握由猜想到证明的过程，理解三角形的外角．教学设计三角形外角和定理一、情境创设1、三角形三个内角的和等于多少度？2．你是如何知道的？这个结论正确吗？二、探索活动：1．如何证明三角形内角和等于180°？2．你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现．(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起．3．你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？三、三角形内角和的证明证明，如图，延长BC至D，以C为顶点，CD为一边做∠B=∠2．则CE∥BA．(同位角相等，两直线平行)∴∠A=∠1．(两直线平行，内错角相等)∵B，C，D在一条直线上，(所作)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°．通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．四、课堂练习1．如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．2．在△ABC中，若∠A=65°，∠B=∠C，则∠B=_______．3．在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_______．4．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=__ _____．三角形外角五、导入新课如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？是∠A、∠B、∠C，它们的和是180°．若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？六、三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角．也就是三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．想一想，三角形的外角共有几个？共有六个．注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角．七、三角形外角的性质思考：如图，三角形ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是三角形ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中的基本图形，它由三条边和三个角组成。
而三角形的内角与外角是三角形的性质之一，它们具有一定的几何关系。
一、三角形的内角在三角形中，三个角的和总是等于180度。
这意味着每个角都占据了三角形总和的一部分。
我们将三角形的三个角分别记作角A、角B 和角C。
角A + 角B + 角C = 180度根据三角形内角和的性质，我们可以得出以下结论：1. 直角三角形：直角三角形的一个内角是90度，另外两个内角加起来也是90度。
2. 钝角三角形：钝角三角形的一个内角大于90度，另外两个内角加起来小于90度。
3. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角都小于90度。
二、三角形的外角三角形的外角是指位于三角形外部的角，它们与三角形的内角存在一定的几何关系。
根据三角形外角与内角的关系定理，我们可以得出以下结论：1. 三角形的外角等于两个与它不相邻的内角之和。
例如，设三角形ABC的三个内角分别为角A、角B和角C。
以角A为例，它的对应外角记作角D。
那么角D等于角B与角C的和。
角D = 角B + 角C2. 三角形的外角和等于360度。
若将三角形的三个内角分别对应地延长形成三个外角，这三个外角的和将等于360度。
角A' + 角B' + 角C' = 360度三、实际应用三角形的内角和外角的性质在实际应用中有着广泛的应用。
例如，航海中的航向角和航迹角就是基于三角形内角与外角的概念。
航向角是指飞行器或船只相对于地理北方向的角度。
它是由三角形的一个内角和一个外角组成，可以通过测量飞行器与北方之间的夹角来确定。
航迹角是指飞行器或船只航行方向与水平面之间的夹角，也是由三角形的一个内角和一个外角组成，用来计算飞行器或船只的航行方向。
除了航海中的应用，三角形的内角与外角的知识还在建筑、测量、工程等领域中有着重要的应用价值。
比如在建筑设计中，需要熟练掌握三角形的性质，以确保结构的稳定和增加建筑物的美观。
初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形9.2 三角形的内角和外角-章节测试习题(6)
章节测试题1.【题文】若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是______．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=______．（用α、β表示）【答案】∠APB=α－β∠P5=α－β【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠MAC＋∠NCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠MAC＋∠NBC；（2）根据角平分线的定义表示出∠PAC＋∠PBC，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（3）根据（2）的结论分别表示出∠P1、∠P2…，从而得解．【解答】解：（1）∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，∴∠MAC＋∠NCB＝∠EAC＋∠FBC＝β，∵AM∥BN，∴∠C＝∠MAC＋∠NCB，即α＝β；（2）∵∠EAC的平分线与∠FBC平分线相交于P，∴∠PAC＋∠PBC＝∠EAC＋∠FBC＝β，∴∠C＝∠APB＋（∠PAC＋∠PBC），∴α＝∠APB＋β，即∠APB＝α－β；（3）由（2）得，∠P1＝∠C－（∠PAC＋∠PBC）＝α－β，∠P2＝∠P1－（∠P2AP1＋∠P2BP1），＝α－β－β＝α－β，∠P3＝α－β－β＝α－β，∠P4＝α－β－β＝α－β，∠P5＝α－β－β＝α－β．2.【题文】如图，在△ABC中，∠B=50°，∠AEC=80°，CE平分∠ACB，求∠A 和∠BCE的度数．【答案】70°，30°【分析】根据三角形外角的性质得出∠BCE＝∠AEC－∠B，由CE平分∠ACB，求得∠BCA的度数，根据三角形内角和定理就可以求出∠A．【解答】解：∵∠B＝50°，∠AEC＝80°，∴∠BCE＝∠AEC－∠B＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠BCE＝60°，∴∠A＝180°－∠B－∠BCA＝70°．3.【题文】如图，在中，平分，且，求的度数．【答案】72°【分析】先根据角平分线定义得到∠BAD=∠BAC，再利用三角形内角和定理得到∠BAC+∠B+∠C=180°，加上∠B=3∠BAD，所以2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，解得∠BAD=18°，则∠B=54°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=3∠BAD，∴2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴∠BAD=18°，∴∠B=3∠BAD=54°，∴∠ADC=∠BAD+∠B=18°+54°=72°．4.【题文】认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题. 探究1：如图(1)在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180°－∠A)=90°－∠A.∴∠BOC=180°－(∠1+∠2)=180°－(90°－∠A)=90°+∠A探究2：如图(2)中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.【答案】∠BOC=∠A.【分析】根据提供的信息，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC 与∠A的关系；【解答】解：结论：∠BOC=∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD．又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1．∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A，即∠BOC=∠A．5.【题文】如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACE平分线交于D，求∠D的度数．【答案】25°．【分析】根据角平分线的性质可得∠4=∠ACE，∠2=∠ABC，利用三角形外角的性质，找出∠D和∠A的关系，即可求∠D的度数．【解答】解：∵∠ABC的平分线BD与△ACB的外角∠ACE的平分线CD相交于点D，∴∠4=∠ACE，∠2=∠ABC，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D=∠4﹣∠2，=∠ACE﹣∠ABC，=（∠A+∠ABC）﹣∠ABC，=∠A+∠ABC﹣∠ABC=∠A，∵∠A=50°，∴∠D=25°．6.【题文】某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触焦的危险？请说明理由.【答案】（1）BP=7海里；（2）没有危险，理由见解析.【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解．（2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°,从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小.【解答】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30°∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°-15°=15°，∴∠PAB=∠APB∴BP=AB=7（海里）（2）过点P作PD垂直AC，则∠PDB=90°∴PD=PB=3.5＞3∴没有危险7.【题文】如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数．【答案】66.5°【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66.5°；故答案是：66.5°．8.【题文】如图，在△ABC中，∠C=90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数．【答案】45°．【分析】先利用三角形外角性质求出∠EAB+∠FBA=270°，DA,DB是角平分线，所以∠DAB+∠DBA=135°，易得∠D度数.【解答】解：根据三角形的外角性质，∠EAB=∠ABC+∠C，∠ABF=∠BAC+∠C，∵AD、BD分别是∠EAB，∠ABF的平分线，∴∠DAB+∠DBA=（∠ABC+∠C+∠BAC+∠C）=（∠ABC+∠BAC）+∠C，∵∠C=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°﹣90°=90°，∴∠DAB+∠DBA=×90°+90°=135°，在△ABD中，∠D=180°﹣135°=45°．9.【题文】如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.【答案】(1) (2) (3)【分析】如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.【解答】解：在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∵BP与CP是△ABC的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-α．在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-α）=90°+α．∴β=90°+α．故答案为：β=90°+α．如图（2），结论：∠BPC=∠A．证明如下：∠P=∠1-∠2=（∠ACD-∠ABC）=∠A．∴β=α；故答案为：β=α；如图（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，∴∠CBP=（∠A+∠ACB），∠BCP=（∠A+∠ABC），∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-（∠ABC+∠ACB），∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-（∠ABC+∠ACB）=90°-α，即β=90°-α．故答案为：β=90°-α．10.【题文】已知∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，求∠BDC的度数．【答案】110°.【分析】连接AD并延长，利用三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可证得：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C=110°.【解答】解：连接AD，并延长．∵∠3＝∠1＋∠B，∠4＝∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠3＋∠4＝(∠1＋∠B)＋(∠2＋∠C)＝∠B＋∠BAC＋∠C，∵∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，∴∠BDC＝110°.11.【题文】如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE 的延长线交BC的延长线于点G.求证：(1)∠EGH>∠ADE；(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形的外角性质得出∠EGH>∠B，再根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案；（2）根据三角形的外角性质得出∠BFE=∠A+∠AEF，∠EGH=∠B+∠BFE，根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案．【解答】证明：(1)因为∠EGH是△FBG的外角，所以∠EGH>∠B.又因为DE∥BC，所以∠B＝∠ADE.所以∠EGH>∠ADE.(2)因为∠BFE是△AFE的外角，所以∠BFE＝∠A＋∠AEF.因为∠EGH是△BFG的外角，所以∠EGH＝∠B＋∠BFE.所以∠EGH＝∠B＋∠A＋∠AEF.又因为DE∥BC，所以∠B＝∠ADE，所以∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.12.【题文】如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE 的度数．【答案】10°.【分析】由∠BAC=80°，AE平分∠BAC，可得：∠BAE=40°，结合∠AEC=∠B+∠BAE及∠B=60°，可得∠AEC=100°；由AD⊥BC可得∠ADE=90°，再由∠AEC=∠DAE+∠ADE，就可计算出∠DAE的度数.【解答】解：∵∠BAC=80°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°+40°=100°.∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°.∵∠AEC=∠DAE+∠ADE，∴∠DAE=∠AEC-∠ADE=100°-90°=10°.13.【题文】一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．【答案】50°，理由见解析.【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3-∠2等于∠1的邻补角的度数．【解答】解：小刚的答案为50°．理由如下：如图，设∠1的邻补角为∠4，∵∠1=130°，∴∠4=180°-130°=50°，∵∠3是人字架三角形的外角，∴∠3=∠2+∠4，∴∠4=∠3-∠2=50°，∴∠3比∠2大50°．14.【题文】如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数．【答案】66.5°【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66.5°；故答案是：66.5°．15.【题文】如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F. （1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？【答案】【答案:（1）∠F=（∠B+∠D）；（2）3.【分析】（1）由三角形内角和外角的关系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分线的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．（2）设∠B=2α，则∠D=4α．利用（1）中的结论和已知条件来求x的值．【解答】解： 1）∠F=（∠B+∠D）；理由如下：∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，∴∠D+∠1=∠3+∠F①同理，∠2+∠F=∠B+∠4 ②又∵∠DEA，∠BCA的平分线相交于F，∴∠1=∠2，∠3=∠4；∴①﹣②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴设∠B=2α，则∠D=4α，∴∠F=（∠B+∠D）=3α，又∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴x=3．16.【题文】如图，在△ABC中，∠1 是它的一个外角，点E为边AC上一点，延长BC到点H，连接EH．求证：∠1＞∠2．【答案】证明见解析．【分析】根据三角形外角的性质解答即可.【解答】证明：如图，在△ABC中，∠1＞∠3，在△DCE中，∠3＞∠2，所以∠1＞∠2．17.【题文】证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC的三个外角．求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．【答案】证明见解析.【分析】根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.【解答】∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．18.【题文】如图，在△ABC中，∠A＝20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA 中，DE是CA边上的高，又有∠EDA＝∠CDB，求∠B的大小．【答案】∠B＝60°.【分析】∠A＝20°，DE是CA边上的高，所以∠EDA＝∠CDB=90°-20°=70°，根据外角的性质得∠CDB=∠A+∠DCE=70°，所以∠DCE=∠BCD=50°，所以∠B=180°-∠BCD-∠CDB=60°.【解答】∵DE是CA边上的高，∴∠DEA＝∠DEC＝90°.∵∠A＝20°，∴∠EDA＝90°－20°＝70°.∵∠EDA＝∠CDB，∴∠CDE＝180°－70°×2＝40°.在Rt△CDE中，∠DCE＝90°－40°＝50°.∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA＝2∠DCE＝2×50°＝100°.∴∠B＝180°－∠BCA－∠A＝60°.19.【题文】如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC.求∠4的度数．【答案】45度【分析】由三角形外角的性质易得∠3的度数，再由已知条件可得∠2的度数，这样就可求得∠ABC的度数，由BE平分∠ABC可得∠EBA的度数，最后由∠4=∠2+∠EBA 可得∠4的度数.【解答】解：∵∠1=∠3+∠C，∠1=100°，∠C=80°，∴∠3=20°.∴∠2=∠3=10°.∴∠BAC=∠2+∠3=30° .∴∠CBA=180°-∠C-∠BAC=70°∵BE平分∠CBA，∴∠EBA=∠CBA=35° .∴∠4=∠EBA+∠2=45°.20.【题文】如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于一点F，∠A=63°，∠ACD=34°∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFC的度数。
三角形的内角和外角
三角形的内角和外角三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。
在三角形内部，存在三个内角，而在三角形外部，也存在着三个外角。
本文将深入讨论三角形的内角和外角的性质和关系。
一、三角形内角的性质1. 内角定义：三角形内角是三角形的内部角度，具体可分为三个角度，分别记为∠A、∠B和∠C，对应于三角形的三个顶点A、B和C。
2. 内角和定理：在任意三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
3. 内角的大小：根据内角和定理可知，对于普通三角形，其中至少一个内角小于90度，至少一个内角大于90度。
4. 直角三角形内角：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，另外两个内角之和必然为90度。
5. 三角形内角的分类：根据大小可将三角形的内角分为锐角、直角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其余两个内角分别为钝角；当三角形中的一个内角为直角时，其余两个内角都为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其余两个内角都为锐角。
二、三角形外角的性质1. 外角定义：三角形外角是指三角形的一个内角的补角，即等于360度减去该内角的度数。
2. 外角和定理：在任意三角形ABC中，三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 外角与内角的关系：三角形内角与其对应的外角之和为180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
4. 外角的分类：根据大小可将三角形的外角分为锐角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其对应的外角也为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其对应的外角也为钝角。
三、三角形内角和外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意三角形ABC中，三角形内角和其对应的外角之和等于180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
《三角形的内角和外角》PPT课件
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个 三角形这边的中线.
A
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线
∴<A+<B+<ACB=180°（等量代换）
例1 在△ABC中，<A=30°,<B=65°,求
<C的度数。
A
解：∵< A=30°,<B=65°(已知)
B
C
又∵< A+<B+<C=180°(三角形三
内角之和等于180°)
∴<C=180°-< A-<B =180°-30°-65° =85°
例2 如图，<BCD=92°,<A=27°,
三角形的高、中线与角平分线
相关知识回顾
1.垂线的定义：当角两是条直直角线时相，交就所说成这的两四条个直角线中互，相有垂一直个，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。 3.角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
,
∠2 ∠4
1 ∠ABC 2
A
F
E
A F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
拓展练习
三角形的外角和内角
三角形的外角和内角三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角所组成。
在探索三角形的性质时，外角和内角是必须要了解的重要概念。
一、三角形的内角三角形的内角是指三角形内部的角度。
一般来说，三角形的内角和等于180度。
以三角形ABC为例，角A、角B和角C是三角形的内角。
根据三角形内角和定理，我们可以得出如下公式：角A + 角B + 角C = 180度这个公式适用于任意的三角形，无论其类型。
例如，当三角形是等边三角形时，三个内角都是60度；当三角形是直角三角形时，一个内角是90度，而其他两个内角的和为90度。
二、三角形的外角三角形的外角是指由三角形的其中一个内角所延长所得的角度。
外角与内角的关系是相互补角关系，即它们的和等于180度。
以三角形ABC为例，我们可以得到以下外角的定义：外角A = 角BCA的补角外角B = 角CAB的补角外角C = 角ABC的补角根据相互补角的性质，我们得出如下关系：外角A + 角A = 180度外角B + 角B = 180度外角C + 角C = 180度三、三角形内角和外角的关系三角形的内角和外角之间存在一定的关系。
由于外角和内角的和等于180度，所以可以得出如下结论：内角A + 外角A = 180度内角B + 外角B = 180度内角C + 外角C = 180度这个结论表明，对于任意一个三角形，其内角和外角相互补角。
四、三角形的性质与应用三角形的内角和外角以及它们之间的关系在几何学中具有重要的应用。
首先，通过计算三角形的内角和，我们可以确定该三角形的类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
这有助于我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
其次，外角的概念被广泛应用于角的测量和构造。
我们可以利用外角的性质来解决一些几何问题，如角的平分、垂直角以及角的和与差等。
总结：三角形的外角和内角是三角形中的重要概念。
内角之和始终等于180度，而外角是内角的相补角。
理解和应用三角形的内角和外角的关系，对于几何学的学习和问题解决都具有重要的意义。
冀教版数学七年级下册三角形的内角和外角(一)课件
内容
三角形的内角 和等于180°.
通过作辅助线，借助平 行线转移角，得出定理
应用
求三角形的 内角度数.
谢 谢！
对于这种拼接方法，BC和CE在同一 条直线上吗？为什么？
A
D
3 12
B
CE
自主探究2
对于这种拼接方法，BC和CE在同一 条直线上吗？为什么？
A
D
3 12
B
CE
互动辨析2
对于这种拼接方法，BC和CE在同一 条直线上吗？为什么？
A
D
3 12
B
CE
展示评价2
对于这种拼接方法，BC和CE在同一 条直线上吗？为什么？
B
A C
互动辨析3
小组内交流，交流结果以小组为单位Pad拍 照上传
已知：△ABC
A
说明： ∠A+∠B+∠C=180°
B
C
展示评价3
已知：△ABC
说明： ∠A+∠B+∠C=180°
B
A C
A
D
1
E 2
A
E
1
B
CB
2
C
D
平行线也可以实现角的转移！
三角形内角和定理：
A
三角形的内角和等于180°.
几何语言：
创设问题1
射线AD和射线AE在同一条直线上吗？为什么？
DA
E
2
3
1
B
C
自主探究1
射线AD和射线AE在同一条直线上吗？为什么？
DA
E
2
3
1
B
C
互动辨析1
射线AD和射线AE在同一条直线上吗？为什么？
七年级数学下册课件(冀教版)三角形的内角和外角
总结
判定一个角是三角形的外角的三个条件：一 是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角 形的一条边；三是另一边是三角形的另一条边的 延长线．
∠A 等于( A )
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
7 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C 等于( C )
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
知识点 2 三角形内角和的应用
例2 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC
的形状，并说明理由．
导引：引用辅助量x °，用x °表示出△ABC 的三个内角， 在△ABC 中，运用三角形内角和定理构造方程，解 方程后，求出△ABC 中各角的度数，再判断△ABC
5 直角三角尺和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( C ) A．60° B．50° C．40° D．30°
6 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE，CD 相交于 点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( C )
A．118° B．119° C．120° D．121°
解：(1)如图，过A 作AF∥BD，∴∠BAF＝∠ABD＝40°. 显然AF∥EC，∴∠CAF＝∠ECA＝50°.∴∠BAC＝ ∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°.∴△ABC 为直
角三角形．
(2)∵∠DBC＝75°，∠DBA＝40°，∴∠ABC＝ ∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.∴在Rt△ABC 中，∠BCA＝90°－∠ABC＝90°－35°＝55°.
七年级数学下册第九章《三角形》9.2三角形的内角和外角三角形“五心歌”素材(新版)冀教版
七年级数学下册第九章《三角形》素材：
三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清，
(H为垂心，点A.F、H、E共圆，
点E.H、D.C共圆，
点F、B.D.H共圆)
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．
0为三角形外心
旁心
三角形有三内角，尚有外角两个三，
三对外角平分线，两两相交有一点，
点点命名曰“旁心”，只因能作旁切圆．。
高中几何知识解析三角形的内角和外角
高中几何知识解析三角形的内角和外角三角形是几何学中常见的图形，具有丰富的性质和特点。
其中，三角形的内角和外角是三角形性质中的重要概念。
本文将对三角形的内角和外角进行解析。
一、三角形的内角和外角定义1. 内角：指三角形内部的角度，由三个顶点所对应的边构成。
三角形的内角和为180°。
设三角形的三个内角分别为α、β、γ，则α + β + γ = 180°。
2. 外角：指三角形某一个内角的补角，即该角与三角形对应顶点的连线所分割的补角。
三角形内角的补角即为外角。
设三角形的三个内角分别为α、β、γ，对应的三个外角分别为α'、β'、γ'，则α' = 180° - α，β' = 180° - β，γ' = 180° - γ。
二、三角形内角和外角的性质1. 内角和性质：三角形的内角和为180°。
无论三角形形态如何变化，三个内角的和始终等于180°。
这一性质被称为三角形内角和定理或角和定理。
2. 外角和性质：三角形的外角和等于360°。
即三个外角的和始终等于360°。
这一性质被称为三角形外角和定理。
3. 外角与相关内角的关系：三角形的外角与对应的内角有一定的关系。
具体而言，三角形内角与对应外角之和等于180°。
即α + α' = β +β' = γ + γ' = 180°。
三、三角形内角和外角的应用1. 内角和：由三角形的内角和定理可知，当已知一些内角的数值时，可以通过计算来确定其他内角的数值。
这对于解决三角形相关问题非常有用。
2. 外角和：由三角形的外角和定理可知，当已知一些外角的数值时，可以通过计算来确定其他外角的数值。
这对于解决三角形相关问题同样非常有帮助。
3. 内角与外角关系：由内角与外角之和等于180°的性质可知，可以根据已知条件来确定三角形内角与对应外角的数值关系。
初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形9.2 三角形的内角和外角-章节测试习题(14)
章节测试题1.【答题】如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则的度数是（）A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】如图，由题意可知∠1、∠3、∠3是△GIH的外角，所以∠1+∠2+∠3=360°，再根据三角形外角的性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，即可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．选B.2.【答题】如图，△ABC中，∠A＝40°，BD、CE是角平分线，则∠BEC＋∠BDC＝（）A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质和角的平分线解答即可．【解答】解：是角平分线，由三角形的外角性质得,选C.3.【答题】如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B＝90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于（）A. 90°B. 135°C. 270°D. 300°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：在中，选C.4.【答题】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（）A. ∠1＝∠2＋∠AB. ∠1＝2∠A＋∠2C. ∠1＝2∠2＋2∠AD. 2∠1＝∠2＋∠A【答案】B【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：∵在四边形BCDE中，∠B+∠C+∠BED+∠EDC=360°，则2∠A+180°+∠2+180°-∠1=360°，∴可得∠1=2∠A+∠2，故选：B.5.【答题】下列叙述中：如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为（）A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°【答案】B【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】如图，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.选B.6.【答题】在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°,则∠D=（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】D【分析】根据三角形外角的性质和角的平分线解答即可．【解答】如图所示：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠2+2∠1+∠A=180°，∴∠2+∠1=90°-∠A，又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，∴90°-∠A+∠BOC=180°，∴∠BOC=90°+∠A=120°，而∠A=60°，∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，∴2∠D=∠A，即∠D=∠A.∵∠A=60°，∴∠D=30°．选D.7.【答题】满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. ∠B+∠A=∠CC. ∠A=∠B=∠CD. 一个外角等于与它相邻的内角【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理和外角的性质解答即可．【解答】A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5，由三角形内角和定理可得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故不表示直角三角形；B.∠B+∠A=∠C，可得∠C=90°，是直角三角形；C. ∠A=∠B=∠C，可得∠C=90°，是直角三角形；D. 一个外角等于与它相邻的内角，则这个角为90°，是直角三角形；选A.8.【答题】如图，AB∥CD，且∠1=15°，∠2=35°+a，∠3=50°-a，∠4=30°-a,∠5=20°.则a的值为（）A. 20°B. 25°C. 40°D. 35°【答案】A【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质解答即可．【解答】延长GF交AB于Q，延长FG交CD于N，则∠NGH=180°−∠3，∠NMH=180°−∠5，∵AB∥CD，∴∠EQF=∠GNM，∴∠2−∠1=360°−∠NGH−∠4−∠NMH，∴∠2−∠1=360°−(180°−∠3)−∠4−(180°−∠5)，即∠2−∠1=∠3+∠5−∠4，∵∠1=15°，∠2=35°+α，∠3=50°−α，∠4=30°−α，∠5=20°，∴35°+a−15°=50°−a+20°−(30°−a)，解得：a=20°，选A.9.【答题】在三角形的三个外角中，锐角最多只有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】C【分析】根据三角形外角解答即可．【解答】解：根据三角形的内角和是180°可知，三角形内角最多只能有1个钝角，所以在三角形的三个外角中，锐角最多只有1个．选C.10.【答题】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【分析】根据三角形外角的性质和角的平分线解答即可．【解答】(1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确。
三角形的内角和外角
C
A
∴∠C＝180°－﹙∠A＋∠B ﹚
∵∠A＝30°，∠B＝65°，﹙已知﹚
∴∠C ＝180°－﹙30°＋65°﹚＝85°
课本105页A组1(3)
在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= 1 ∠B= 1 ∠ C，求∠ C 的
2
3
度数？
解:设∠A=x°, 那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得: x 2 x 3 x 1 8 0
于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等).
A
E
12
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° B
CD
（ 平角的定义 ）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换 ）
证法2
已知:如图,△ABC . 求证:∠A +∠B +∠C =180°.
分析:延长BC到D,过点C作射线 CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了 B ∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
一、问题导入
1、三角形的三个内角之和等于多少
度？
180°
2、你知道为什么三角形的三个内角
之和等于180°？如何验证三角形三
个内角和是180°。
量
锐角三角形
拼
3
1
2
3
平角=1800
折 1
1
2
2
3
3
二、探索新知
我们可以用 还可以用折 在我们所学
度量法验证 纸拼图的方 的几何知识
是否等于
法
中，遇到过
A
E
1
32
C
D
证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)
三角形的内角与外角
三角形的内角与外角引言：三角形是几何学中非常基础的概念，是许多几何问题的基础。
在学习三角形的时候，一个非常重要的概念就是内角和外角。
本教案将带领学生全面了解三角形的内角和外角的定义、性质以及其应用。
一、内角和外角的定义（300字）1.1 什么是内角在三角形中，两条边形成的角被称为内角。
三角形的每个内角的度数之和为180度。
1.2 什么是外角在三角形上，将三角形的一条边延长形成的角被称为外角。
三角形的每个外角与其相对的内角补角之和为180度。
二、内角和外角的性质（500字）2.1 内角和外角的关系三角形的内角和外角有以下关系：- 内角和外角的和等于180度- 三角形的每个内角和其相对的外角之和等于180度- 三角形的两个内角的和大于第三个内角2.2 内角和外角的计算方法- 内角的计算：通过已知的定理或角度的定义，可以计算三角形的内角。
例如，对于等边三角形，每个内角都是60度。
- 外角的计算：外角等于与其相对的内角的补角。
可以通过计算内角的补角来得到外角的度数。
2.3 内角和外角的应用- 内角的应用：在建筑设计、地理测量等领域中，我们经常需要测量和计算三角形的内角。
- 外角的应用：在导航、航海等领域中，外角的概念也有广泛的应用。
通过测量外角，我们可以确定船只或飞机的航向。
- 内角和外角的关系也有应用于定理的证明以及数学分析等领域。
三、内角和外角的实例分析（800字）3.1 理论分析通过以上对内角和外角的定义和性质的分析，我们了解到它们的重要性和应用。
理论分析也帮助我们深入地理解三角形的内角和外角之间的关系。
3.2 实际问题解决通过实际问题的解决，让学生运用所学知识，进一步理解内角和外角的重要性和应用。
例题一：已知三角形两个内角分别为60度和80度，求第三个内角的度数。
解题思路：根据内角的性质，三角形的每个角的度数之和为180度，所以第三个内角的度数为180度-60度-80度=40度。
例题二：已知三角形的一个内角为45度，求其相对的外角的度数。
9.2三角形内角和外角——内角 教学设计
9.2三角形的内角和外角—内角衡水市安平县北郭村农业中学姜俊娜教学目标：1、掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证明。
2、能应用三角形内角和定理解决问题。
3、参与课堂活动，逐步提高动手操作能力，培养合作解决数学问题的意识。
4、通过对几何问题的演绎推理，体会证明的必要性，培养学生的逻辑推理能力。
重点：三角形的内角和定理。
难点：三角形内角和定理的推理过程。
教学方法：1、让学生从丰富的剪拼活动中发展思维的灵活性、创造性，为下一环节“说理”证明做好准备，使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有所期待。
2、利用信息技术手段，在课堂中添加有趣的课堂活动，激发学生的兴趣。
3、实验法、谈论法。
教学流程：一、创设问题情景，导入新课教师：在小学，我们已经学习三角形的内角和了，那么，三角形的内角和是多少呢？学生：180°。
教师：设置背景为“夏季运动会，看谁能第一个到达终点”的热身PK游戏引入本节课题，游戏的内容设为判断对错：1、三角形的内角和是180°。
2、三角形越大，它的内角和就越大。
3、钝角三角形的内角和比锐角三角形的大。
4、一个直角三角形中可以有两个直角。
5、把一个三角形纸片剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和都等于180°。
教师：多媒体展示学习目标，并让我们打开回忆大门，在小学是用什么方法来验证的呢？借助多媒体让学生用量角器量一量、看视频折一折、动手剪一剪再拼一拼进行回顾验证。
【设计意图】从学过的知识引入符合学生的认知规律，且小学已知三角形三个内角和是180°，热身PK游戏不仅复习了旧知，还激发了学生对本节课探究的强烈兴趣。
二、探究新知（一）、学习探究一教师:在刚才剪拼的过程中，同学们给出了自己的方法，一起再回忆一下（屏幕保留刚才剪拼的图形），要证三角形内角和是180°，观察原三角形，三个内角间没有什么关系，但是观察拼后的图形发现，三个内角拼成了什么样子的角呢？从这种剪拼过程中，你能得到什么启示？其中哪两条直线是平行的？学生：与180°有关的角是平角或两条平行线间的同旁内角，所以，把三个内角拼成了平角或两条平行线间的同旁内角，在这种剪拼过程中平移角时出现了平行线。
三角形的内角和与外角的性质
9.1.2三角形的内角和与外角的性质合格：能说出来三角形的内角和等于
思考：直角三角形的两个锐角关系？
应用：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ACD=∠B，说明：CD垂直于AB.
的大小能确定吗？
1.直角三角形的一个锐角的度数是72°，那么另一个锐角的度数是（）
A.9°
B.18°
C.27°
D.36°
2.如果三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角和为180°，那么这个外角的度数为（）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.如图在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
4.如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，
∠D=25°,求∠1的度数
1.在△ABC中，如果∠BAC、∠ABC、∠ACB相邻的外角之和比为4:2:3，那么∠BAC的度数为（）
A.20°
B.40°
C.70°
D.80°
2.如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数。
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C
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2.已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形 是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？ 解： 是钝角三角形
∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角和.）
已知一个外角是55°
∴这个三角形的另一个内角是135°. ∴这个三角形是钝角三角形.
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3.如图，∠DAC，∠EBA，∠FCB分别是△ABC 的三个外角，求∠DAC+∠EBA+∠FCB的度数 . D 解： ∵∠DAC、∠EBA、∠FCB A
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三角形的内角和等于180°.
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
先独立思考， 然后师友讨论， 看哪组方法最 多
C
B
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E
A
F
2
B
1
C
证法1：过A作EF∥BA.
∴∠B=∠2(两直线平行，内错角相等) ， ∠C=∠1(两直线平行，内错角相等) . 又∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
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主备人 甄俊芬 授课人 甄俊芬 2016.4.2
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知识回顾
1.三角形的有关概念 2.练习： （1）已知三角形的两边分别是12cm和 15cm，则第三边a的取值范围（ ） （2）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和 5cm，则三角形的周长为（ ）cm
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3.三角形三个内角和是（
∠4
．
A
3
B
4
1 2
D
C
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课堂练习
练习2 如图，说出图形中∠1 的度数． 1
（ 1）
30°
60°
（ 2） 35°
60°
1
1
（ 3） （ 4）
15°
30° 1
45°
50°
图中∠1的度数依次为：90°，85°， 95°，45°．
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课堂练习
练习3 80° 60° 1 （ 1） 2 如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数： 2 1 2 40° （ 3）
均为△ABC的外角 ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB ∠EBA=∠BAC+∠ACB ∠FCB=∠ABC+∠ABC ∴ ∠DAC+∠EBA+∠FCB
E B
第（3）题
C
F
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC ） ∴ ∠DAC+∠EBA+∠FCB=360°
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分层作业： 1、学师完成课本A组、B组， 学友完成课本A组。 2、完成新方案中9.3预习方案
E A
1 2 3
C
D
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运用三角形的外角的性质
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角， 它们的和是多少？ 解法一： = 2（∠1 +∠2 +∠3）． ∵ ∠1 +∠2 +∠3 =180°， ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180° =360°. F E A
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推 论可以作为进一步推理的依据．
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例2 如图9-2-7，∠BCD=92°， ∠A=27°，∠BED=44°，求： (1)∠B的度数． (2) ∠BFD的度数． 解：(1)在△ABC中， ∵∠BCD=∠A+∠B（三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和）， ∠BCD=92°，∠A=27°，（已知） ∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.
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在这里，为了证明的需要，在原来的图 形上添画的线叫做辅助线.在平面几何 里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，转化为一个 平角或同旁内角互补，这种转化思想是数 学中的常用方法.
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例1 如图9-2-5，在△ABC中，
∠A=30°，∠B=65°，求
大家谈谈： 1、一个三角形的内角最多有几个直角，最多有 几个钝角？ 2、一个三角形能不能三个内角都是锐角？
三个内角都是锐角的三角形叫锐角 三角形，有一个内角是直角的三角 形叫直角三角形，有一个内角是钝 角的三角形叫钝角三角形。
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三角形的分类
1.按边分
斜三角形 等腰三角形 三角形 等腰三角形 等边三角形
B
D
C
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1.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上， ∠DBC =112°，∠A=35°.求∠C. 解： ∵∠A+∠C=∠DBC（三角形的一个外 角等于与它不相邻的两个内角和.）
∴∠A+∠C=112° ∴∠A=35 °（已知） ∴∠C=112°-35 ° ∴∠C=77°
A 第（1）题 B D
（3）一个三角形中最多有 （4）一个三角形中最多有
（5）一个三角形中至少有
（6）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至 少为 60° .
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1.在△ABC中，∠B=62°24′，∠C=28°52′，求 ∠A 的度数.
解： ∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和 定理)， ∴∠A=180 °-(∠B+∠C ). ∵∠B=62°24′，∠B＝ 28°52′ (已知). ∴∠A=180 °-( 62°24′+28°52′)， ∴∠A=180 °-91°16′， ∴∠A=88°44′.
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2.在△ABC中，∠C=36° ∠A与∠B 的比是 1:2，求∠A，∠B 的度数. 解： ∵∠A+∠B+∠C=180° (三角形 的内角和定理) ，
∴∠C=180 °-(∠B+∠A)， ∵∠B=2∠A (∠A与∠B 的比是1:2). ∴∠C=180 °-3∠A， ∵∠C=36 °. ∴∠A=(180 °-36°) ÷3， ∴∠A=48°， ∴∠B=96°.
1
B
2
3
C
D
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运用三角形的外角的性质
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角， 它们的和是多少？
解法二： 由∠1 +∠BAE =180°， ∠2 +∠CBF =180°， ∠3 +∠ACD =180°， 得∠1 +∠2 +∠3 + ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540°．
B C D
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探索与证明三角形的外角的性质
问题 如图，∠ACD 与∠A，∠B 的位置是怎样 的？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？你能证明 你的结论吗？
如图， ∵ ∠ACD +∠ACB =180°， ∠A +∠B +∠ACB =180°， ∴ ∠ACD =∠A +∠B． B
A
C
D
F
E A
1
B
2
3
C
D
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运用三角形的外角的性质
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角， 它们的和是多少？ 解法二： 由∠1 + ∠2 + ∠3 =180°， 得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540°- 180° =360°. F E A
1
B
2
3
C
D
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探索与证明三角形的外角的性质
如图，三角形ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD
是三角形ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？ 如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
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探索与证明三角形的外角的性质
三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
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如图所示，将∠3与∠2的 公共边延长，它与b所夹的 角为∠4. ∠3与∠4的大小 有什么关系？为什么？
交流预习
∠3=∠4，∵a∥b，根据“两直线平 行，同位角相等”，可知， ∠3=∠4.
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你现在能确定这个三角形的内角和了吗？
∵a∥b，所以根据“两直线平行，同旁内 角互补”，可知，∠1+∠2+∠3=180°， 即：三角形内角和为180°.
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第二课时
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理解三角形的外角的概念
问题 如图，把△ABC 的一边BC 延长，得到 ∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？
概念： 三角形的一边与另一边的 延长线组成的角，叫做三角 形的外角．
B
A
C
D
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探索与证明三角形的外角的性质 问题 如图，∠ACD 与∠ACB 的位置 是怎样的？ ∠ACD 与∠ACB 有什么数量关系？ A ∠ACD（外角）+ ∠ACB （相邻的内角）=180°．
1 40° 30° （ 2）
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运用三角形的外角的性质
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角， 它们的和是多少？
解法一： ∵ ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD B = （∠2 +∠3）+（∠1 +∠3） F + （∠1 +∠2）
∠C的度数． 解：∵∠A＋∠B＋∠C=180°（三角形内角和定理）， ∴∠C=180°-（∠A+∠B). ∵∠A=30°，∠B=65°，（已知）