2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
课后篇巩固提升
1.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是()
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若m∥α,n∥α,则m∥n
D.若m∥α,m∥β,则α∥β
A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交,故A不正确;
选项C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面,
故C不正确;
选项D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交,故D不正确.故选B.
2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
AC⊥面PBC,所以AC⊥BC.
3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()
A.AH⊥平面EFH
B.AG⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF
D.HG⊥平面AEF
AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.
4.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的()
A.重心
B.内心
C.外心
D.垂心
,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP⊥平面PBC,BP⊥平面PAC,CP⊥平面PAB, 所以BC⊥OA,AB⊥OC,AC⊥OB,
所以点O是△ABC三条高的交点,即点O是△ABC的垂心,故选D.
5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=√6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
,连接AC.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=√2,PA=√6,
∴tan∠PCA=PA
AC =√6
√2
=√3.
∴∠PCA=60°.
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=.
B1C1⊥平面ABB1A1,
∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M,B1C1∩B1M=B1,
∴MN⊥平面C1B1M.
又C1M⊂平面C1B1M,
∴MN⊥C1M,
∴∠C1MN=90°.
°
7.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.
,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.
∵底面△A'B'C'是正三角形,
∴C'D⊥A'B'.
∵AA'⊥底面ABC,
∴A'A⊥C'D.
又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',
故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.
等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=√3
2
,
在Rt△BB'C'中,BC'=√B'B2+B'C'2=√5,
故直线BC'与平面ABB'A'所成的角的正弦值为C'D
'
=√15.
8.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为.
⊥平面ABC
⊂平面ABC}⇒
PA⊥BC
AC⊥BC
PA⋂AC=A
}⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
9.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形)
ABCD所满足的条件,使A1C⊥B1D1,可从结论A1C⊥B1D1入手.
∵A1C⊥B1D1,BD∥B1D1,∴A1C⊥BD.
又∵AA1⊥BD,而AA1∩A1C=A1,AA1⊂平面A1AC,A1C⊂平面A1AC,∴BD⊥平面A1AC,∴BD⊥AC.此题答案不唯一.
⊥AC(答案不唯一)
10.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(填序号)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1;
④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;
因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;
可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,
所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;
由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.
11.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.
求证:AE⊥SB,AG⊥SD.
SA ⊥平面ABCD ,
所以SA ⊥BC.
又BC ⊥AB ,SA ∩AB=A ,所以BC ⊥平面SAB.
又AE ⊂平面SAB ,所以BC ⊥AE. 因为SC ⊥平面AEFG ,所以SC ⊥AE. 又BC ∩SC=C ,所以AE ⊥平面SBC , 所以AE ⊥SB.同理可证AG ⊥SD. 12.
如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点. (1)求证:AD ⊥平面BCC 1B 1;
(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.
ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥平面ABC ,
∴BB 1⊥AD ,∵AB=AC ,D 是BC 的中点, ∴AD ⊥BC.又BC ∩BB 1=B , ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.
C 1D.由(1)A
D ⊥平面BCC 1B 1,
则∠AC 1D 即为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成的角. 在Rt △AC 1D 中,AD=√32,AC 1=√2,sin ∠AC 1D=AD
AC 1=√6
4,
即直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√64.。