【精品】2016年湖北省荆门市高一上学期期末数学试卷

2015-2016学年湖北省荆门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=sinx，x∈[0，]}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣1，0]D．[0，1）2．（5.00分）下列函数中，与函数y=﹣|x|的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．y= B．y=﹣C．y=1﹣x2D．y=x2﹣13．（5.00分）如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P（﹣，），则cos（π﹣θ）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5.00分）若a=50.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5.00分）已知O为坐标原点，=（1，2），=（﹣2，﹣1），则=（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5.00分）下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是（）A．在区间[﹣，]上单调递增B．值域为[﹣1，1]C．图象关于直线x=成轴对称D．图象关于点（﹣，0）成中心对称7．（5.00分）函数f（x）=为奇函数，若g（﹣2）=4，则a=（）A．﹣3 B．4 C．﹣7 D．68．（5.00分）已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣1，）C．[﹣，）D．（0，）9．（5.00分）幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a﹣=（）A．0 B．1 C．D．210．（5.00分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x）=，其中a，b∈R，若f（）=f（），则a+b的值（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．611．（5.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，则f （2016π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．12．（5.00分）已知a是方程x+lgx=4的根，b是方程x+10x=4的根，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2+（a+b﹣4）x，若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[，+∞） B．[2，+∞）C．（0，2]D．[﹣，﹣1]∪[，]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．14．（5.00分）直线y=2与函数y=tan x图象相交，则相邻两焦点间的距离是．15．（5.00分）如图，正方形ABCD的边长为3，M为DC的中点，若N为正方形内任意一点（含边界），则•的最大值为．16．（5.00分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数，给出下列四个函数：①y=sinx+1；②y=cos（x+）；③y=e x﹣1；④y=（x+1）2．其中为一阶格点函数的序号为（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=log a（x2﹣2x+5）（a＞0），若f（2）=，g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∩B=A，求实数k的取值范围．18．（12.00分）已知函数f（x）=sin（﹣ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若已知sinα+f（α）=，求的值．19．（12.00分）已知=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）（1）若∥，求y=f（x）的解析式（2）在（1）的条件下，若⊥，求x与y的值以及四边形ABCD的面积．20．（12.00分）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．21．（12.00分）某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记录发现，该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x （天）的函数关系近似满足P（x）=1+（k为正的常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：已知第2哦天的日销售量为126百元．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）给出以下三种函数模型：①Q（x）=a•b x；②Q（x）=a•l og b x；③Q（x）=a|x﹣25|+b．请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q （x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（Ⅲ）求该服装的日销收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（百元）的最小值．22．（12.00分）给出定义，若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则称函数y=g（x）的图象关于点（a，b）成中心对称，已知函数f（x）=（x≠1），定义域为A．（Ⅰ）判断y=f（x）的图象是否关于点（a，﹣2）成中心对称；（Ⅱ）当a=1时，求f（sinx）的值域；（Ⅲ）对于任意的x i∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n），如果x i∈A（i=2，3，4，…）构造过程将继续下去，如果x i∉A，构造过程将停止，若对任意x i∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的值．2015-2016学年湖北省荆门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=sinx，x∈[0，]}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣1，0]D．[0，1）【解答】解：由N中y=sinx，x∈[0，]，得到﹣1≤y≤1，即N=[﹣1，1]，∵M=（﹣1，1），∴M∩N=（﹣1，1），故选：A．2．（5.00分）下列函数中，与函数y=﹣|x|的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．y= B．y=﹣C．y=1﹣x2D．y=x2﹣1【解答】解：函数y=﹣|x|为偶函数，且当x＜0时，y=﹣|x|=x，为增函数，A．y=是奇函数，不满足条件．B．y=﹣是偶函数，当x＜0时，y=﹣=为减函数，不满足条件．C．y=1﹣x2是偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．D．y=x2﹣1是偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．故选：C．3．（5.00分）如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P（﹣，），则cos（π﹣θ）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵角θ的终边与单位圆交于点P（﹣，），∴x=﹣，y=，r=|OP|==1，则cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣=，故选：B．4．（5.00分）若a=50.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a=50.5＞50=1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．5．（5.00分）已知O为坐标原点，=（1，2），=（﹣2，﹣1），则=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：==（﹣3，﹣3），∴||==3．=﹣2﹣2=﹣4．∴=﹣．故选：C．6．（5.00分）下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是（）A．在区间[﹣，]上单调递增B．值域为[﹣1，1]C．图象关于直线x=成轴对称D．图象关于点（﹣，0）成中心对称【解答】解：A．由kπ﹣＜x+＜kπ+，k∈Z，即kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，当k=0时，函数的单调递增区间为（﹣，），当k=1时，函数的单调递增区间为（，），故在区间[﹣，]上单调递增错误，故A错误，B．函数的值域为（﹣∞，+∞），故B错误，C．正切函数没有对称轴，故C错误，D．由x+=，得x=﹣+，即函数的对称中心为（﹣+，0），当k=0时，对称中心为（﹣，0），故图象关于点（﹣，0）成中心对称，故D正确，故选：D．7．（5.00分）函数f（x）=为奇函数，若g（﹣2）=4，则a=（）A．﹣3 B．4 C．﹣7 D．6【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2），即g（﹣2）+a=﹣（22﹣1）=﹣3，即a=﹣3﹣g（﹣2）=﹣3﹣4=﹣7，故选：C．8．（5.00分）已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣1，）C．[﹣，）D．（0，）【解答】解：由f（x）=，可得x≥1时，f（x）递增，且有f（x）≥0，由题意可得x＜1时，f（x）取得一切的负数，由f（x）=（1﹣2a）x+5a，x＜1，可得1﹣2a＞0，且1﹣2a+5a≥0，即为a＜，且a≥﹣，即﹣≤a＜；当1﹣2a≤0时，f（x）在x＜1不能取得一切的负数．综上可得a的范围是[﹣，）．故选：C．9．（5.00分）幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a﹣=（）A．0 B．1 C．D．2【解答】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M （，），N （，），分别代入y=x a，y=x b，a=，b=，∴a﹣=﹣=0．故选：A．10．（5.00分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x）=，其中a，b∈R，若f（）=f（），则a+b的值（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（）=f（），∴f（）=f（﹣2）=f（﹣），即=﹣a，即3a+2b=﹣8 ①，∵函数的周期是2，∴f（﹣1）=f（1），即﹣a==，即2a+b=﹣2 ②，由①②得则a=4，b=﹣10，即a+b=4﹣10=﹣6，故选：C．11．（5.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，则f （2016π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：由图象可得T==4（﹣），解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入（，0）可得0=sin（+φ），结合|φ|＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴f（2016π）=sin（4032π+）=sin=，故选：B．12．（5.00分）已知a是方程x+lgx=4的根，b是方程x+10x=4的根，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2+（a+b﹣4）x，若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[，+∞） B．[2，+∞）C．（0，2]D．[﹣，﹣1]∪[，]【解答】解：由程x+lgx=4得lgx=4﹣x，由x+10x=4得10x=4﹣x，记f（x）=lgx，则其反函数f﹣1（x）=10x，它们的图象关于直线y=x轴对称，根据题意，a，b为f（x），f﹣1（x）的图象与直线y=4﹣x交点A，B的横坐标，由于两交A，B点关于直线y=x对称，所以，B点的横坐标β就是A点的纵坐标，即A（a，b），将A（a，b）代入直线y=4﹣x得，a+b=4，则当x≥0时，f（x）=x2+（a+b﹣4）x=x2，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=x2=﹣f（x），即f（x）=﹣x2，x＜0，则f（x）=，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，即若对任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥f（x）恒成立，则x+t≥x恒成立，则t≥（﹣1）x，则x≤=（+1）t，∵x∈[t，t+2]，∴t+2≤（+1）t，即2≤t则t≥=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：由题意得：，解得：﹣1≤x＜1且x≠0，故答案为：[﹣1，0）∪（0，1）．14．（5.00分）直线y=2与函数y=tan x图象相交，则相邻两焦点间的距离是2π．【解答】解：因为直线y=2与正切曲线y=tan x相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，因为y=tan x的周期是=2π，所以直线y=2与正切曲线y=tan x相交的相邻两点间的距离是2π．故答案为：2π．15．（5.00分）如图，正方形ABCD的边长为3，M为DC的中点，若N为正方形内任意一点（含边界），则•的最大值为．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，则A=（0，0），M（，3），则=（，3），设N点坐标为（x，y），则=（x，y），，∴•=x+3y，设z=x+3y，平移目标函数，则过点（3，3）时有最大值，此时最大值，故答案为：．16．（5.00分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数，给出下列四个函数：①y=sinx+1；②y=cos（x+）；③y=e x﹣1；④y=（x+1）2．其中为一阶格点函数的序号为①③（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：对于y=sinx+1，只有x取整数0时，纵坐标y才能取到整数，是1，故①为一阶格点函数；对于y=cos（x+），其图象是由y=cosx的图象向左平移单位得到的，不经过任何格点，故②不是格点函数，对于f（x）=e x﹣1，其图象是函数y=e x图象向下平移1个单位长度，只过（0，0）点一个格点，故③是一阶格点函数，∵对于y=（x+1）2，不妨令x=﹣1，0，1，2，3，…，y=0，1，4，9，…故函数y=x2有无数个格点，排除④；故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=log a（x2﹣2x+5）（a＞0），若f（2）=，g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∩B=A，求实数k的取值范围．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log a（x2﹣2x+5），满足f（2）=，∴log a5===，∵a＞0，a≠1，可得：a=2．…（5分）（Ⅱ）∵x∈[1，3]，则x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∈[4，8]，∴由（Ⅰ）可得：f（x）=log2（x2﹣2x+5）∈[2，3]，∴A=[2，3]，∵当x∈[1，3]时，g（x）单调递增，g（x）=2x﹣k∈[2﹣k，8﹣k]，∴B=[2﹣k，8﹣k]，∵f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，A∩B=A，∴A⊆B，∴2﹣k≤2，8﹣k≥3，∴解得：k∈[0，5]．…（10分）18．（12.00分）已知函数f（x）=sin（﹣ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若已知sinα+f（α）=，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（﹣ωx）=cosωx，故其周期为，最大值为1．设图象上最高点为（x1，1），与之相邻的最低点为（x2，﹣1），则|x2﹣x1|==．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为=，解得ω=1，∴函数f（x）=cosx．（Ⅱ）∵sinα+f（α）=，∴sinα+cosα=，两边平方可得：1+2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，cosα﹣sinα=±，∴===±．19．（12.00分）已知=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）（1）若∥，求y=f（x）的解析式（2）在（1）的条件下，若⊥，求x与y的值以及四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴=++=（6，1）+（x，y）+（﹣2，﹣3）=（x+4，y﹣2），∴=（﹣x﹣4，﹣y+2）；又∵∥，∴x（﹣y+2）﹣y（﹣x﹣4）=0，解得y=﹣x；（2）∵=+=（x+6，y+1），=+=（x﹣2，y﹣3），且⊥，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0；∴，解得或；当x=﹣6，y=3时，=（0，4），=（﹣8，0），四边形ABCD的面积为||||=×4×8=16；当x=2，y=﹣1时，=（8，0），=（0，﹣4），四边形ABCD的面积||||=×8×4=16．20．（12.00分）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴ω•≤，∴0＜ω≤．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位，可得y=2sin2（x+）的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin2（x+）+1的图象，令2sin（2x+）=0，可得2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故g（x）的图象的对称中心为（﹣，1），k∈Z，故g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（﹣，1）．21．（12.00分）某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记录发现，该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x （天）的函数关系近似满足P（x）=1+（k为正的常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：已知第2哦天的日销售量为126百元．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）给出以下三种函数模型：①Q（x）=a•b x；②Q（x）=a•log b x；③Q（x）=a|x﹣25|+b．请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q （x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（Ⅲ）求该服装的日销收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（百元）的最小值．【解答】解：（1）依题意有：f（20）=P（2）•Q（20），即（1+）×120=126，所以k=1．…（2分）（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选③Q（x）=a|x﹣25|+b．…（4分）从表中任意取两组值代入可求得：Q（x）=﹣|x﹣25|+125=125﹣|x﹣25|．…（6分）（3）∵Q（x）=125﹣|x﹣25|=，∴f（x）=．…（8分）①当1≤x＜25时，x+在[1，10]上是减函数，在[10，25）上是增函数，所以，当x=10时，f（x）min=121（百元）．…（10分）②当25≤x≤30时，﹣x为减函数，所以，当x=30时，f（x）min=124（百元）．…（11分）综上所述：当x=10时，f（x）min=121（百元）．22．（12.00分）给出定义，若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则称函数y=g（x）的图象关于点（a，b）成中心对称，已知函数f（x）=（x≠1），定义域为A．（Ⅰ）判断y=f（x）的图象是否关于点（a，﹣2）成中心对称；（Ⅱ）当a=1时，求f（sinx）的值域；（Ⅲ）对于任意的x i∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n），如果x i∈A（i=2，3，4，…）构造过程将继续下去，如果x i∉A，构造过程将停止，若对任意x i∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的值．【解答】（1）∵f（x）=，∴f（a+x）+f（a﹣x）=+=﹣+=﹣2﹣﹣++﹣2=﹣4=2×（﹣2），由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，﹣2）成中心对称．（3分）（2）当a=1时，f（x）====﹣2﹣，设t=sinx，则﹣1≤t＜1，则则函数f（x）在﹣1≤t＜1上为增函数，则当x=﹣1时取得最小值，此时y=﹣2+1=﹣1，则y≥﹣1，即函数的值域为[﹣1，+∞）（7分）（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴f（x）=≠a对任意x∈A恒成立．∴方程=a无解，即方程（a+2）x=a2+a﹣1无解或有唯一解x=a．∴或，由此得到a=﹣2或a=﹣1（13分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。