天津市北辰区2019届高三高考模拟考试数学(理)试卷含解析
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学模拟试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A、B全集U＝{1、2、3、4}，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A ∩∁U B＝（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅2．（3分）设变量x，y满足约束条件{x+y≤52x−y≤4−x+y≤1y≥0，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．453．（3分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．10C．﹣6D．﹣154．（3分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）设函数f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4），则函数y＝f（x）是（）A．奇函数，其图象关于点（π，0）对称B．奇函数，其图象关于直线x=π2对称C．偶函数，其图象关于点（π，0）对称D ．偶函数，其图象关于直线x =π2对称 6．（3分）已知函数f （x ）=x 3cosx 的定义域是（−π2，π2），当x i ∈(−π2，π2)，i ＝1，2，3时，若x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0，x 1+x 3＞0，则有f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）的值（ ） A ．恒等于零 B ．恒小于零 C ．恒大于零D ．可能小于零，也可能大于零 7．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2＝2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4√3D ．4√58．（3分）设f （x ）={x 2+1(x ≥0)4xcosπx −1(x ＜0)，g （x ）＝kx ﹣1（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣g（x ）在x ∈[﹣2，3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（2√2，113） B ．（2√2，113] C ．（2√3，4） D ．（2√3，4]二、填空题（将答案填在答题纸上） 9．（3分）设复数z 满足1+z 1−z=i 其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是 ．10．（3分）若（x +a√x3）8的展开式中x 4的系数为56，则实数a ＝ ．11．（3分）在极坐标系中，直线θ=π3(ρ∈R)被圆ρ＝2a sin θ（a ＞0）所截弦长为2√3，则a ＝ ．12．（3分）已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥面BCD ，∠BDC ＝90°，AB ＝BD ＝2，CD ＝1，则三棱锥的外接球的体积为 ． 13．（3分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞1，且a +b ＝1，则（2a+b ab−3）•c +√2c−1的最小值为 ．14．（3分）在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，若AO →=14AC →，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →+OB →+OD →|的最小值是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，角A ＝60°，且sin B +sin C =13√314． （1）求bc 的值；（2）若b ＜c ，求cos （2B +A ）的值．16．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． （1）求X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望．17．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，DE ＝EF ＝1，DC ＝2，∠EAD ＝30°． （1）求证：CD ⊥平面ADE ；（2）在线段BD 上是否存在点G ，使得平面EAD 与平面F AG 所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出DG DB的值；若不存在，说明理由．18．数列{a n }是公比为12的等比数列，且1﹣a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ，数列{b n }是等差数列，b 1＝8，前n 项和T n 满足T n ＝n λ•b n +1（λ为常数，且λ≠1）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及λ的值； （Ⅱ）令∁n =1T 1+1T 2+⋯+1T n ，求证：∁n ≤14S n ． 19．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，椭圆的左焦点为F ，椭圆上任意点到F 的最远距离是√6+2，过直线x =−a 2c 与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：C、F、B三点共线；（3）求△MBC面积S的最大值．20．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（2）若f（x）在x＝1处取得极值，判断当x∈（0，2]时，存在几条切线与直线y＝﹣2x 平行，请说明理由；（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞5 4．2019年天津市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为全集U ＝{1.2.3.4．}，且∁U （A ∪B ）＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}， B ＝{1，2}，所以∁U B ＝{3，4}，所以A ＝{3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}． 所以A ∩∁U B ＝{3}． 故选：A ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0，得如图所示的可行域，由{x +y =5−x +y =1解得A （2，3）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出S ＝﹣12+22﹣32+42的值， 可得：S ＝﹣12+22﹣32+42＝10． 故选：B ．4．【解答】解：由题意可得α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，若再满足a ⊥b ，则不能推得α⊥β； 但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a ⊥b 故“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件．5．【解答】解：f （x ）＝sin （2x +π4）+cos （2x +π4）=√2sin （2x +π4+π4）=√2sin （2x +π2）=√2cos2x ，则函数f （x ）是偶函数，当x =π2时，f （π2）=√2cos （2×π2）=√2cos π=−√2，则图象关于直线x =π2对称，故选：D ．6．【解答】解：因为当x ∈（−π2，π2）时，f （﹣x ）=−x 3cosx=−f （x ），所以函数y ＝f （x ）为奇函数， 当0＜x ＜π2时，f ′（x ）=x 2(3cosx+xsinx)cos 2x ＞0，所以函数y ＝f （x ）在（0，π2）为增函数， 又f （0）＝0，所以函数y ＝f （x ）在（−π2，π2）为增函数，又x 1+x 2＞0， 所以x 1＞﹣x 2，所以f （x 1）＞f （﹣x 2），即f （x 1）+f （x 2）＞0， 同理：f （x 2）+f （x 3）＞0，f （x 1）+f （x 3）＞0， 所以2（f （x 1）+f （x 2）+f （x 3））＞0， 即f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞0， 故选：C ．7．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为x =−p2，则p ＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a ＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y ＝±12x ，由双曲线的性质，可得b ＝1； 则c =√5，则焦距为2c ＝2√5；8．【解答】解：∵f （x ）={x 2+1(x ≥0)4xcosπx −1(x ＜0)，g （x ）＝kx ﹣1（x ∈R ），令函数y ＝f （x ）﹣g （x ）＝0，则x ≠0， 则k ={x +2x ，x ＞04cosπx ，x ＜0，令h （x ）={x +2x ，x ＞04cosπx ，x ＜0，则函数h （x ）的图象与y ＝k 在x ∈[﹣2，3]内有4个交点， 函数h （x ）的图象如下图所示：由图可得：k ∈（2√2，113]，故选：B ．二、填空题（将答案填在答题纸上） 9．【解答】解：由1+z 1−z=i ，得1+z ＝i ﹣iz ，∴z =−1+i 1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i ， ∴复数z 的虚部是1． 故答案为：1．10．【解答】解：由（x +a√x3）8的展开式的通项T r +1=C 8r x 8﹣r （√x3）r ＝a r C 8rx24−4r 3，令24−4r 3=4，解得r ＝3，即a 3C 83=56，则a ＝1，故答案为：1． 11．【解答】解：联立{ρ=π3ρ=2asinθ得ρ＝2a sinπ3=√3a ，√3a =2√3，解得a ＝2．故答案为：2 12．【解答】解：如图，∵AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥DC ，又∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC ，而AB ∩BD ＝B ， ∴DC ⊥平面ABD ，则DC ⊥AD ．∴AC 为三棱锥A ﹣BCD 的外接球的直径，∵AB ＝BD ＝2，CD ＝1，∴AC =√22+22+12=3． ∴三棱锥的外接球的半径为32．∴三棱锥的外接球的体积为V =43π×(32)3=92π． 故答案为：92π．13．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝1， ∴2a+b ab=2b+1a=2a+2b b+a+b a=2ab+2+1+b a =2a b +b a +3≥2√2a b ⋅ba +3＝2√2+3，∵c ＞1， ∴（2a+b ab−3）•c +√2c−1≥2√2•c +√2c−1=√2[2（c ﹣1）+1c−1+2] ≥√2[2√2(c −1)⋅1c−1+2] ＝4+2√2，其中等号成立的条件为：当且仅当{a +b =12a b =ba2(c −1)=1c−1，解得：a =√2−1，b ＝2−√2，c ＝1+√22，∴（2a+b ab−3）•c +√2c−1的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．14．【解答】解：建立以点B 为直角坐标系的原点，BA ，BC 所在直线为x ．y 轴的直角坐标系，由已知有B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），O （32，√32），D （cos θ，2√3+sin θ）， 则OA →+OB →+OD →=（cos θ−52，sin θ+√32），则|OA →+OB →+OD →|的几何意义为点E （cos θ，sin θ）与点F （52，−√32）的距离，又点E 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由圆的性质可得：|EF |的最小值为(52)2+(−32)2−1=√7−1， 即|OA →+OB →+OD →|的最小值是√7−1， 故答案为：√7−1．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【解答】解：（1）由正弦定理结合合分比的性质有：asinA=b+c sinB+sinC，则b +c =a(sinB+sinC)sinA =7×13√31422=13，由余弦定理有：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2＝（b +c ）2﹣2bc ﹣2bc cos A ， 则：72＝132﹣bc ﹣2bc ×12，据此可得：bc ＝40． （2）∵b +c ＝13，bc ＝40，b ＜c ，∴b ＝5，c ＝8，∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =1114，sin B =5√1314， 可得：cos2B ＝2cos 2B ﹣1=46196，sin2B ＝2sin B cos B =110√3196， ∴cos （2B +A ）＝cos2B cos π3−sin2B sinπ3=−7198．16．【解答】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4， P （X ＝0）=1C 84=170 P （X ＝1）=C 41C 43C 84=1670 P （X ＝2）=C 42C 42C 84=3670 P （X ＝3）=C 41C 43C 84=1670P （X ＝4）=1C 84=170 （2）此员工月工资Y 的所有可能取值有3500、2800、2100， P （Y ＝3500）＝P （X ＝4）=1C 84=170 P （Y ＝2800）＝P （X ＝3）=C 41C 43C 84=1670P （Y ＝2100）＝P （X ＝0）+P （X ＝1）+P （X ＝2）=5370EY =3500×170+2800×1670+2100×5370=228017．【解答】证明：（1）∵平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ， 正方形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面ADE ．解：（2）由（1）知平面ABCD ⊥平面AED ．在平面DAE 内，过D 作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），A （2，0，0），F （12，1，√32）， DB →=（2，2，0），AF →=（−32，1，√32），设DG →=λDB →=(2λ，2λ，0)，λ∈[0，1]，则AG →=（2λ﹣2，2λ，0），设平面F AG 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AF →=−32x +y +√32z =0n →⋅AG →=(2λ−2)x +2λy =0， 令x =−√3λ，得n →=（−√3λ，√3(λ−1)，2−5λ），平面EAD 的一个法向量m →=（0，1，0），由已如得cos30°=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|√3(λ−1)|√3λ2+3(1−λ)2+(2−5λ)2=√32， 化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得λ=13，∴DGDB =13．18．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }是公比为12的等比数列， 且1﹣a 2是a 1与1+a 3的等比中项，∴（1﹣a 2）2＝a 1（1+a 3），解得a 1=12，∴a n =(12)n ，（2分）由已知得{T 1=λb 2T 2=2λb 3，从而{8=λ(8+d)16+d =2λ(8+2d)， 解得λ=12，d ＝8，解得b n ＝8n ．（4分） （Ⅱ）c n =1T 1+1T 2+⋯+1T n =14（1−12+12−13+⋯+1n+1） =14(1−1n+1)，14S n =14[1−(12)n ]，（8分）c n ≤14S n ，即14(1−1n+1)≤14[1−(12)n ]， ∴n +1≤2n ，（9分）当n ＝1时，2n ＝n +1，（10分）当n ≥2时，2n ＝（1+1）n =C n 0+C n 1+⋯+C n n =1+n +…+1＞n +1．∴n +1≤2n 成立．∴∁n ≤14S n ．（12分）19．【解答】解：（1）由题意可得：{c a =√63a +c =√6+2a 2=b 2+c 2，解得：{a 2=6b 2=2c 2=4， 故椭圆的离心率为：x 26+y 22=1．（2）结合（1）中的椭圆方程可得：−a 2c =−62=−3，故M （﹣3，0）， 设直线l 的方程为x ＝ty ﹣3，联立直线方程与椭圆方程：{x =ty −3x 26+y 22=1可得： （t 2+3）y 2﹣6ty +3＝0．直线与椭圆相交，则：△＝36t 2﹣12（t 2+3），解得：t ＞√62或t ＜−√62．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （x 1，﹣y 1），F （﹣c ，0），则：y 1y 2=3t 2+3，y 1+y 2=6t t 2+3， 故：k BF −k CF =y 2x 2+c −y 1x 1+c =y 2ty 2−3+c +y 1ty 1−3+c =2ty 1y 2+(c−3)(y 1+y 2)t 2y 1y 2+(c−3)t(y 1+y 2)+(3−c)2 =2t⋅3t 2+3+(c−3)⋅6t t 2+3t 2⋅3t 2+3+(c−3)⋅6t t 2+3+(3−c)2 将c ＝2代入上式可得：k BF ﹣k CF ＝0，故C 、F 、B 三点共线；（3）结合（2）中的结论可得：△BMC 的面积S ＝S △MAC ﹣S △BAC =12(x 1+3)⋅AC −12(x 1−x 2)•AC ＝（x 2+3）|y 1|＝ty 1y 2|=3|t|t 2+3≤2√3t =√32． 当且仅当t =±√3时等号成立，故△MBC 的面积的最大值为√32． 20．【解答】解：（1）f （x ）＝（x ﹣1）lnx ﹣（x ﹣a ）2（a ∈R ）．由f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴f ′（x ）＝lnx +x−1x −2（x ﹣a ）＝lnx −1x −2x +1+2a ≤0恒成立．令g （x ）＝lnx −1x −2x +1+2a ，则g ′（x ）=1x +1x 2−2=−(2x+1)(x−1)x 2（x ＞0）， 可得：x ＝1时，函数g （x ）取得极大值即最大值．∴g （x ）max ＝g （1）＝2a ﹣2≤0，解得a ≤1．a 的取值范围是（﹣∞，1]．（2）f （x ）在x ＝1处取得极值，则f ′（1）＝0，可得a ＝1．令f ′（x ）＝lnx −1x −2x +3＝﹣2，即lnx −1x −2x +5＝0．设h （x ）＝lnx −1x −2x +5，则h ′（x ）=1x +1x 2−2=−(2x+1)(x−1)x 2（x ＞0）． 故h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，注意到h （e ﹣5）＝﹣e 5﹣2e ﹣5＜0，h （1）＝2，h （2）＝ln 2+12＞0， 则方程lnx −1x −2x +5＝0在（0，2]内只有一个实数根，即当x ∈（0，2]时，只有一条斜率为﹣2且与函数f （x ）图象相切的直线． 但事实上，若a ＝1，则f ′（x ）＝lnx −1x −2x +3，f ″（x ）=−(2x+1)(x−1)x 2， 故函数f ′（x ）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减， 且f ′（1）＝0﹣1﹣2+3＝0，故函数f ′（x ）≤0在区间（0，2]上恒成立， 函数f （x ）在区间（0，2]上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线．（3）证明：若函数有两个极值点x 1，x 2，不妨设0＜x 1＜x 2，由（Ⅰ）可知a ＞1，且：f ′（x 1）＝lnx 1−1x 1−2x 1+1+2a ①，f′（x2）＝lnx2−1x2−2x2+1+2a②，由①﹣②得：ln x1x2+x1−x2x1x2−2（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）（1x1x2−2）=−ln x1x2＞0，∴1x1x2＜2．，即∴x1x2＞12＞1e．由①+②得：ln（x1x2）+2−x1+x2x1x2−2（x1+x2）+4a＝0．∴x1+x2=ln(x1x2)+2+4a1x1x2+2＞−1+2+42+2=54．∴x1+x2＞5 4．。
天津市北辰区2019-2020学年高考第四次模拟数学试题含解析
天津市北辰区2019-2020学年高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.2．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题. 3．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5C D 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 5．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 7．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 8．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 【分析】 【详解】 设cos {sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之，0a b ==满足sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.9．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．1112- B ．31- C ．221-D ．32【答案】C 【解析】 【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】 如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则1210 22211a bba++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得3ab=⎧⎨=⎩，即点()3,0C，所以，圆()()22121x y-+-=关于直线10x y--=的对称圆C的方程为()2231x y-+=，设点2,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y yMC y y⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当2y=±时，MC取最小值22，因此，min min1221MN MC=-=-.故选：C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．323B．643C．16 D．32【答案】A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.11．如图是二次函数2()f x x bx a=-+的部分图象，则函数()ln()g x a x f x'=+的零点所在的区间是（）A．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．(1,2)D．(2,3)【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2bx =，0(0)1<=<f a ， 1122<=<bx ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.12．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考数学(理)模拟题及答案带解析.docx
本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档,请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！2019年高考数学(理)模拟题及答案带解析【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 4 = {-2,-1,0,2,3},B = {y | y =对-1, x w 4},则 4 B 中兀素的个数是A. 2B. 3C. 4D. 52.,是虚数单位，复数z = a + i(^a e R)满足z2 + z = l-3i,贝!］忖=A.血或厉 B 2 或5 C. A/5 D. 53.设向量°与〃的夹角为0,且a = (-2,1), a + 2"(2,3),则cos& =A. —E B 2 C. D.5 5 5 2^5__5-A. 7B. -7C.75.《九章算术》中，将底面是直角二角形的直二棱柱称之为"堑堵",已知某"堑堵"的三视图如图所示，则该"堑堵" 的表面积为A. 4B. 6 + 4 血C. 4 + 4^2D. 26.已知数列｛a n｝,｛b n｝满足b n=a n+a n+l,则"数列匕｝为等差数列"是"数列｛$｝为等差数列"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，则输出的"A. 1 D.-8.在(x-2)10展开式中，二项式系数的最大值为a,含F项的系数为方，则2 = aA. —B. —C.D.21 80 80 21x — 2y— 5 W 09.设实数满足约束条件x+y-4<0 ,贝％ = /+尸的最小值为3.x+y-10>0A. VioB. 10C. 8D. 510.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A A/6 g V6 c 3V2 D 3V23龙6718^. 2 211.已知O为坐标原点，F是双曲线-与= l(a>0』>0)的左焦a b点，4,B分别为「的左、右顶点，P为厂上一点，且PF丄兀轴，过点4的直线/与线段PF交于点M ,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N,若|OE\ = 2\ON\ ,则「的离心率为A. 3B. 2C. -D.212.已知函数/(x) = ln(e' +e-') + x2 ,则使得/(2x) >/(x + 3)成立的■x的取值范围是A. (-1,3)B. (^0,-3)(3,+co)C. (-3,3)D. (YO,—1)(3,4W)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届天津市北辰区高三高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届天津市北辰区高三高考模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分别求解出和，根据交集定义求得结果.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题.2．若实数，满足条件，则的最大值为（）A．10 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，再将目标函数化为直线方程的斜截式，再画出直线，结合z的几何意义，从而得到将直线移动到过哪个点时取得最大值，接着联立方程组求得最优解，之后代入目标函数解析式，求得结果．详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：将目标函数化为，在图中画出直线，上下移动该直线，可以发现直线越往下，截距就越小，而目标函数z就越大，从而得到当直线过x轴与直线的交点时，截距达到了最小，从而z就取到最大，由，解得，此时，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解．3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.【详解】根据程序框图运行：输入，则，，，此时，循环；，，此时，循环；，，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构计算输出结果，属于基础题.4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系. 5．下列说法正确的是（）A．若为真命题，则，均为假命题；B．命题“，”的否定是“，”；C．等比数列的前项和为，若“”则“”的否命题为真命题；D．“平面向量与的夹角为钝角”的充要条件是“”；【答案】C【解析】根据含逻辑连接词的命题的真假性判断可排除；根据含量词命题的否定的知识可排除；当向量夹角为时可说明选项中的充要条件不成立，排除；通过判断原命题的逆命题为真，可知原命题的否命题为真，从而知正确.【详解】选项：为真，则为假，即至少有一个是假命题，可知错误；选项：原命题的否定为：，，可知错误；选项：若“”则“”的逆命题为：若“”则“”原命题的逆命题为真命题又逆命题与否命题同真假，可知原命题的否命题为真命题，可知正确；选项：当时，与夹角可能为，不是钝角，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的知识，涉及到四种命题之间的关系、含逻辑连接词的命题、含量词的命题的否定、充分条件与必要条件的判断的问题.6．已知函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，则的值可能为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据最值的位置可求得，从而得到；将代入函数可求得的值.【详解】由题意可知：则：，即当时，此时，满足题意由此可知，的一个可能值为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用三角函数的性质求函数解析式的问题，的求解主要通过函数的周期来确定，则通过函数上的点代入函数方程的方式来进行求解.7．已知双曲线：的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】根据渐近线方程和垂直关系可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，利用直线截圆所得弦长为可得关于的齐次方程，解方程求出.【详解】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：则直线方程为：，即由题意可知：圆的圆心，半径则圆心到直线的距离：整理可得：，即解得：或双曲线离心率本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率问题的求解，涉及到双曲线几何性质的应用、直线被圆截得的弦长问题，关键是能够通过直线被圆截得的弦长构造出关于的齐次方程，进而构造出关于离心率的方程，使问题得以求解.8．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.【详解】由题意知：，设以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，，设则，当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.二、填空题9．用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数：满足，其中是复数的共轭复数，则______。
2019年最新(统考)天津市高三第二次模拟考试数学试题(理)及答案解析
高二模考试 数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．656. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1；（Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f . ∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P . ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P . ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=，)4,0,3(1--=B ，01=∙B ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(m CD 0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=m ，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙m AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ， 因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=31. 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-. 所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=. 平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n C B ，02=∙n CD ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-. 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2.（2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xm x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019届天津市部分区高三联考一模数学(理)试题(解析版)
2019届天津市部分区高三联考一模数学（理）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}01x x << B ．{}10x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】先化简集合A ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】集合{}{}2111A x x x x =<=-<<,{}02B x x =<<, ∴属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{}12A B x x ⋃=-<<，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果. 【详解】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =,() 2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值. 【详解】输入1,1n S ==， 第一次循环3,2S n ==； 第二次循环7,3S n ==； 第三次循环15,4S n ==； 第四次循环31,5S n ==， 退出循环，输出31S =,故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 【答案】D【解析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.6．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石 B ．169石C ．237石D ．338石【答案】A【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.7．已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C【解析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为53，利用排除法可得结果. 【详解】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.8．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】求出()'f x ,可得'2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，能确定()'f x 的解析式，分类讨论可确定()'f x 的符号，可得()f x 在()0,π上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 32ππ、、的大小关系，结合函数()f x 的奇偶性与单调性可得结果.【详解】()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()''cos 2f x f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()'2cos f x x x π=-，当2x π≤<π时，()2cos 0,'0x f x ≤>； 当02x π<<时，()2,2cos 2,'0x f x xπ><∴>， 即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，0log 1log 3log 1ππππ=<<=， 1103212πππ=<<<，即130log 32πππ<<<<，()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>. 故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． .二、填空题 9．i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】2-【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，再利用纯虚数的定义求解即可. 【详解】()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-， 2i1i a ++是纯虚数， 202a +∴=且202a -≠，2a =-∴.故答案为2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.11．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果. 【详解】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体1，体积为212123ππ⨯⨯⨯=.故答案为2π. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12．已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B两点，且AB ，则直线l 的斜率为_________.【答案】15±【解析】直线参数方程化为普通方程，圆方程化为标准方程求得圆心与半径，由AB ，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可.【详解】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=， 设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得15k =±.故答案为15±. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(][)12-∞-⋃+∞，， 【解析】利用绝对值三角不等式求得12x x --+的最大值为3，解不等式213a -≥，即可得结果 【详解】()()12123y x x x x =--+≤--+=，∴要使1221x x a --+≤-恒成立，则213a -≥，213a -≥或213a -≤-， 即2a ≥或1a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][)12-∞-⋃+∞，，.故答案为(][)12-∞-⋃+∞，，.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+，13DF DC =，则BE BF ⋅=_________. 【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，求得,BE BF 的坐标，从而可得结果. 【详解】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系， 菱形边长为2，60ABC ∠=，()(()(1,0,0,,1,0,A B C D ∴-，()12BE BA BD =+E ∴为AD 的中点，1,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,333BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭， 13315,,23BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，11522623BE BF ∴⋅=-+=.故答案为223. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，.（1）求的值； （2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，于是，解得或（舍去），故.（2）在中，，于是.根据正弦定理，得，.又为钝角，为锐角，即.从而，，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,A B C D四所高校中选2所.（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若甲必选A，记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）18；（2）43.【解析】（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中D高校的概率与乙、丙同学选中D高校的概率，判断X所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】（1）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则()11133322244418C C C P M C C C ==. （2）甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲， 乙、丙同学选中D 高校的概率为：13241=2C P P C ==乙丙， X 所有可能的取值为0,1,2,3，∴，有()2111011326P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()22111151112323212P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()11111111112=111=3223223223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()1111332212P X ==⨯⨯=;∴X 的分布列为∴()1511401236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB段DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】先利用线面垂直的性质证明直线PD ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，求得()0,2,1QB =-，利用0QB AD ⋅=，且直线QB ⊄平面PDC 可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，()2,2,2PB =-，由cos<,15PB AH >==， 解方程可得结果.【详解】 （1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=， 又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面. （2）()()2,2,2,=0,22PB PC =--，.设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量， 又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,n n n n n n ⋅>==⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-，又cos<,15PB AH>==，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a a +=+（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且1223,b a b S ==. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)nn n n c a b =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n T +-=-⋅-. 【解析】（1）先得到数列{}n a 是以2为公差的等差数列，由3412a a +=求出首项，可得{}n a 的通项公式，由1223,b a b S ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）由已知得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列.3412a a +=，121012a ∴+=，11a ∴=， 21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，12233,b a b S ===，2339b q S ∴===，3q ∴=， 3n n b ∴=.（2）由题意，得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，()()()()()23133353213nn T n ∴=⋅-+⋅-+⋅-+⋯+-⋅-， ()()()()()()23131333233213n n n T n n +∴-=⋅-+⋅-+⋯+-⋅-+-⋅-.上述两式相减，得()()()()()231432333213n n n T n +⎡⎤=-+-+-+⋯+---⋅-⎣⎦()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅- , ()1341388n n n T +-∴=-⋅- .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆经过点离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）直线的方程为， 代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.【详解】（1）由在椭圆上，.①由已知得，又，.②②代入①解得.椭圆的方程为.（2）假设存在常数，使得向量共线，，即.由题意可设的斜率为，则直线的方程为，③代入椭圆方程并整理，得，设，则有，.④在方程③中令得，的坐标为.从而，，., ⑤④代入⑤得，又，.故存在常数符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 20．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】 （1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=.从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ⊂，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
【精品高考数学试卷】2019天津市高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（5分）若集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}2．（5分）若f （x ），g （x ）均是定义在R 上的函数，则“f （x ）和g （x ）都是偶函数”是“f （x ）•g （x ）是偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0，则目标函数z ＝2x +y 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．74．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．635．（5分）设函数f （x ）＝sin x +√3cos x （x ∈R ），则下列结论中错误的是（ ） A ．f （x ）的一个周期为2π B ．f （x ）的最大值为2 C ．f （x ）在区间（π6，2π3）上单调递减D ．f （x +π3）的一个零点为x =π66．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石7．（5分）已知离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，若点P 是抛物线y 2＝12x 的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足PF 1⊥PF 2，则双曲线的方程是（ ） A ．x 216−y 29=1 B ．x 23−y 24=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 24−y 23=18．（5分）已知函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣π，π），且函数y ＝f （x +2）的图象关于直线x ＝﹣2对称，当x ∈（0，π）时，f （x ）＝πlnx ﹣f ′（π2）sin x （其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a ＝f （log π3），b ＝f （log 139），c ＝f （π13），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．（5分）i 是虚数单位，若2+ai 1+i是纯虚数，则实数a 的值为 ．10．（5分）在（x 2+1x）6的展开式中，含x 3项的系数为 ．（用数字填写答案） 11．（5分）已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ．12．（5分）已知直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A ，B 两点，且|AB |=√3，则直线l 的斜率为 ．13．（5分）若对任意的x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x +2|≤|2a ﹣1|恒成立，则实数a 的取值范围为 ．14．（5分）已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，BE →=12（BA →+BD →），DF →=13DC →，则BE →⋅BF →= ．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，c ＝3，cos A =−14． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．16．（13分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A ，B ，C ，D 四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A 高校，他必选A 校，另在B ，C ，D 三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所． （i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA =π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． （Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，求线段DH 的长．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝a n +2（n ∈N *），a 3+a 4＝12，数列{b n }为等比数列，且b 1＝a 2，b 2＝S 3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（﹣1）n a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 19．（14分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）经过点P （﹣2，√63），离心率e =√63． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线（不经过点P 且不与x 轴重合）与椭圆交于A 、B 两点，与直线l ：x ＝﹣3交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3（k 3≠0），则是否存在常数λ，使得向量m →=（k 1+k 2，λ），n →=（k 3，1）共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（14分）设函数f （x ）＝ax ﹣2﹣lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}． 故选：D ．2．【解答】解：若f （x ）和g （x ）都是偶函数，则f （x ）•g （x ）是偶函数，即充分性成立， 当f （x ）和g （x ）都是奇函数时，满足f （x ）•g （x ）是偶函数，即必要性不成立， 即“f （x ）和g （x ）都是偶函数”是“f （x ）•g （x ）是偶函数”充分不必要条件， 故选：A ．3．【解答】解：作出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ， 平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y =22x −3y =9，解得，即A （3，﹣1）， 代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×3﹣1＝5． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为5． 故选：C ．4．【解答】解：当n ＝5时查询终止，则程序的功能是计算S ＝1+2+22+23+24＝1+2+4+8+16＝31， 故选：C ．5．【解答】解：f （x ）＝sin x +√3cos x =2sin(x +π3)．f （x ）的一个周期为2π，故A 正确；f （x ）的最大值为2，故B 正确； 由π6＜x ＜2π3，得π2＜x +π3＜π，∴f （x ）在区间（π6，2π3）上单调递减，故C 正确； f （x +π3）=2sin(x +2π3)，取x =π6时，函数值为2sin 5π6=1，故D 错误． 故选：D ．6．【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒， 这批米内夹谷约为：1536×18256=108（石）． 故选：A ．7．【解答】解：离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）可得c a=53，则b a=43，双曲线的一条渐近线方程为：4x ﹣3y ＝0，抛物线y 2＝12x 的准线：x ＝﹣3，可得P （﹣3，﹣4）， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），满足PF 1⊥PF 2，（3﹣c ，4）•（3+c ，4）＝0，解得c ＝5，则a ＝3；b ＝4；舍去的双曲线方程为：x 29−y 216=1．故选：C ．8．【解答】解：函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣π，π），且函数y ＝f （x +2）的图象关于直线x ＝﹣2对称，∴函数f （x ）为R 上的偶函数．当x ∈（0，π）时，f （x ）＝πlnx ﹣f ′（π2）sin x （其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），f ′（x ）=πx −f ′（π2）cos x ， 令x =π2，则f ′（π2）＝2， ∴f ′（x ）=πx−2cos x ， 当x ∈(0，π2]时，πx ≥2，2cos x ≤2．∴f ′（x ）=πx −2cos x ＞0．当x ∈(π2，π)时，πx＞0，2cos x ≤0．∴f ′（x ）=πx−2cos x ＞0． ∴x ∈（0，π）时，f ′（x ）=πx −2cos x ＞0． ∴函数f （x ）在x ∈（0，π）时单调递增． ∵a ＝f （log π3），b ＝f （log139）＝f （﹣2）＝f （2），c ＝f （π13）， ∵0＜log π3＜1＜π13＜2，∴a ＜c ＜b ． 即b ＞c ＞a ． 故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．【解答】解：∵2+ai 1+i=(2+ai)(1−i)(1+i)(1−i)=2+a 2+a−22i 是纯虚数，∴{2+a =0a −2≠0，即a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．10．【解答】解：由于（x 2+1x ）6的展开式的通项公式为 T r +1=C 6r •x 12﹣3r，令12﹣3r ＝3，解得r ＝3，故展开式中x 3的系数是C 63=20，故答案为：20．11．【解答】解：等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以√3为底面圆半径，以1为高的两个圆锥的组合体，∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为： V ＝2×13×π×(√4−1)2×1=2π． 故答案为：2π．12．【解答】解：根据题意，直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），圆的方程为x 2+y 2﹣4x +3＝0，若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A ，B 两点，则有（t cos α）2+（t sin α）2﹣4t cos αx +3＝0，变形可得t 2﹣4t cos αx +3＝0， 则有t 1+t 2＝4cos α，t 1t 2＝3，又由|AB |=√3，则有（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2＝16cos 2α﹣12＝3， 解可得cos 2α=1516，则有sin 2α=116， 则有tan α＝±√1515， 则直线l 的斜率tan α＝±√1515； 故答案为：±√1515． 13．【解答】解：由|x ﹣1|﹣|x +2|＝|x ﹣1|﹣|﹣2﹣x |≤|（x ﹣1）+（﹣2﹣x ）|＝3， ∴不等式|x ﹣1|﹣|x +2|≤|2a ﹣1|恒成立转化为|2a ﹣1|≥3成立， 即2a ﹣1≥3或2a ﹣1≤﹣3， 可得a ≥2或a ≤﹣1，故答案为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．14．【解答】解：由BE →=12（BA →+BD →），DF →=13DC →，可得点E 为线段AD 的中点，点F 为线段DC 的三等分点靠近点D 处，由菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，得：|BD →|＝2√3，∠ABD ＝30°，则BE →⋅BF →=12（BA →+BD →）•（BD →−13BA →）=12BD →2−16BA →2+13BA →⋅BD →=12×12−16×4+13×2×2√3×√32=223， 故答案为：223．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得： a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 又a ＝4，c ＝3，cos A =−14， 2b 2+3b ﹣14＝0， 解得b ＝2；（Ⅱ）由cos A =−14， 所以sin A =√154，由正弦定理得：a sinA=b sinB ， 得sin B =√158，又0＜B ＜π2， 所以cos B =78， 所以sin2B ＝2sin B cos B =7√1532，cos2B ＝2cos 2B ﹣1=1732， 所以sin （2B +π6）=√32×7√1532+1732×12=17+21√564， 故答案为：17+21√564．16．【解答】解：（I ）设甲、乙、丙三名同学分别选D 高校的概率为P =3363=18．（II ）（i ）设乙、丙未选D 高校的概率都为：∁32∁42=12．∴甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率=13×12×12=112． （ii ）X 的取值为0，1，2，3． P （X ＝0）＝（1−13）×12×12=16，P （X ＝1）=13×12×12+2×（1−13）×12×12=512， P （X ＝2）=13×12×12+13×12×12+（1−13）×12×12=13． P （X ＝3）=13×12×12=112． ∴随机变量X 的分布列为：X 0 1 23 P1651213112∴数学期望E （X ）＝0×16+1×512+2×13+3×112=43． 17．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ， ∵四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，AB ∩QA ＝A ，CD ∩PD ＝D ， ∴平面ABP ∥平面DCP ，∵QB ⊂平面ABQ ，∴QB ∥平面PDC ．解：（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0），Q （2，0，1）， PB →=（2，2，﹣2），PC →=（0，2，﹣2），PQ →=（2，0，﹣1）， 设平面PBC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=2x +2y −2z =0n →⋅PC →=2y −2z =0，取y ＝1，得n →=（0，1，1）， 设平面PBQ 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=2x +2y −2z =0m →⋅PQ →=2x −z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，2）， 设二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小为θ，由图形得θ为钝角，则cos θ=−|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=32⋅6=−√32，∴θ=5π6，∴二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小为5π6．（Ⅲ）点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，设DH ＝t ，则H （0，0，t ），A （2，0，0），AH →=（﹣2，0，t ），PB →=（2，2，﹣2）， ∴|cos ＜AH →，PB →＞|=|AH →⋅PB →||AH →|⋅|PB →|=4+2t√4+t ⋅√12=7√315， 解得t =32，∴线段DH 的长为32．18．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n }满足a n +1＝a n +2，则数列{a n }是公差为2的等差数列，又由a 3+a 4＝12，则a 3+a 3+d ＝12，解可得a 3＝5， 则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝2n ﹣1，又由数列{b n }为等比数列，且b 1＝3，b 2＝1+3+5＝9，则数列{b n }的公比为3， 则b n ＝3n ，（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，a n ＝2n ﹣1，b n ＝3n ，则c n ＝（﹣1）n a n •b n ＝（﹣1）n ×（2n ﹣1）×3n ＝（2n ﹣1）（﹣3）n ， 则T n ＝1×（﹣3）+3×（﹣3）2+……+（2n ﹣1）（﹣3）n ，① ﹣3T n ＝1×（﹣3）2+3×（﹣3）3+……+（2n ﹣1）（﹣3）n +1，②①﹣②可得：4T n ＝﹣3+2[（﹣3）2+（﹣3）3+……（﹣3）n ]﹣（2n ﹣1）×（﹣3）n +1=32−9×(4n−1)2×（﹣3）n ﹣1， 变形可得：T n =38−9×(4n−1)8×（﹣3）n ﹣1． 19．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得{4a 2+69b 2=1c a =√63a2=b 2+c 2，解得a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆的方程为x 26+y 22=1，（Ⅱ）假设存在常数λ，使得向量m →=（k 1+k 2，λ），n →=（k 3，1）共线， ∴k 1+k 2＝λk 3，由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k （x +2），① 代入椭圆方程并整理得（1+3k 2）x 2+12k 2x +12k 2﹣6＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=−12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，在方程①中，令x ＝﹣3得，M （﹣3，﹣k ），从而k 1=y 1−√63x 1+2，k 2=y 2−√63x 2+2，k 3=−k−√63−1=k +√63，∴k 1+k 2=y 1−√63x 1+2+y 2−√63x 2+2=k(x 1+2)−√63x 1+2+k(x 2+2)−√63x 2+2=2k−√63•x 1+x 2+4x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k −√63×−12k21+3k2+412k 2−61+3k 2−24k21+3k2+4=2k +2√63=2（k +√63）＝2k 3，∵k 3＝k +√63≠0， ∴k 1+k 2＝2k 3．故存在常数λ＝2符合题意20．【解答】解：（I ）f ′（x ）＝a −1x ，（x ＞0）．a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．a ＞0时，f ′（x ）=a(x−1a )x ，（x ＞0）．则f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增．（II ）a ＝1时，f （x ）＝x ﹣2﹣lnx （x ＞0）． f ′（x ）=x−1x ，（x ＞0）．则f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． x ＝1时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （1）＝﹣1． x →0+时，f （x ）→+∞；x →+∞时，f （x ）→+∞． ∴函数f （x ）存在两个零点．（III ）当a ＝1时，对∀x ∈（1，+∞），都有（4k ﹣1﹣lnx ）x +f （x ）﹣1＜0（k ∈Z ）成立，化为：4k＜lnx+lnx+3x=g（x），g′（x）=1x+1−(lnx+3)2=x−lnx−22．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，x∈（1，+∞），u′（x）＝1−1x＞0，∴函数u（x）在x∈（1，+∞）单调递增，u（3）＝1﹣ln3，u（4）＝2﹣2ln2，∴存在唯一的x0∈（3，4），使得u（x0）＝0，即x0﹣lnx0﹣2＝0，函数g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+lnx0+3x0=x0﹣2+x0−2+3x0=x0+1x−1∈（73，134），∵4k＜(x0+1x0−1)min，k∈Z．∴k的最大值为0．。
天津市高三模拟考试(理科)数学试卷-带答案解析
天津市高三模拟考试（理科）数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．集合{}24A x x => 和 {}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}52x x -<<-B ．{}22x x -<<C ．{}21x x -<<D ．{}21x x -≤<2．若21:|34|2,:02p x q x x -<<--，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2114cos 22x x x xf x ---+=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．为了了解一片经济林的生长情况 ，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ） ， 所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示 ，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm 的棵数是（ ）A ．18B ．24C ．36D ．485．当曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点时， 实数k 的取值范围是（ ） A ．3(,0)4-B ．35,4[)12-C ．3[1,)4--D ．3(,]4-∞-6．设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x y a b == 2a b +=，则11x y+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知双曲线22:1124x y C -= ，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（ ）A ．2+B ．C ．8D ．108．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象 若()g x 在5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则ω的最大值为（ ） A ．14B ．34C ．12D ．19．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃ 且n a <127232mn ab k +-< 则实数k 的取值范围为（ ）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．已知i 为虚数单位 则复数2021i =_______.11．若2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 则展开式中常数项是__________． 12．已知2x > 则42x x +-的最小值是______．13．圆柱的体积为34π 若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上 则该球的体积为____________.三、双空题14．某志愿者召开春季运动会 为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍 欲从4名男志愿者 3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长 则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数 则()E X =___________.15．已知平面四边形ABCD AC BD ⊥ 3AB = 2AD = 712DC AB =则BAD ∠=______；动点E F 分别在线段DC CB 上 且DE DC λ= CF CB λ= 则AE AF ⋅的取值范围为____.四、解答题16．记ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c 已知点D 为AB 的中点 点E 满足2AE EC = 且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．(1)求A ；(2)若BC =DE =求ABC 的面积． 17．如图,正三棱柱111ABC A B C 中,E 是AC 中点．(1)求证:1AB 平面1BEC ;(2)若2AB =,1AA ,求点A 到平面1BEC 的距离;(3)当1A A AB 为何值时,二面角1E BC C --18．已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---. (1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形且点D 在第一象限 求点D 的坐标； 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 公差0d > 且231424,10a a a a =+=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()*12111N n nT n S S S =++⋯+∈ 求n T ． 20．已知函数()2e xf x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0x >时 ()3e 2e xf x ≥-．参考答案与解析1．D【分析】解出集合A 利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】24x > 则2x >或<2x - 则{2A xx =<-∣或2}x > R{22}A x x =-≤≤∣{51}B x x =-<<∣ 则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ 故选：D. 2．B【分析】首先解不等式得到p ⌝：2x ≥或23x ≤q ⌝：2x ≥或1x ≤- 再根据包含关系即可得到答案. 【详解】|34|2x -< 得2342x -<-< 即223x << 即p ⌝：2x ≥或23x ≤.由2102x x <--得220x x --< 即12x -<< q ⌝：2x ≥或1x ≤-.因为{|2x x ≥或1}x ≤-{|2x x ≥或2}3x ≤所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件． 故选：B 3．C【分析】由已知可得 ()04f = 可得出A 、B 项错误；根据()π0f > 可得出D 项错误. 【详解】由已知可得 ()f x 定义域为R 且()21104cos0442210f --+==+= 所以A 、B 项错误；又()()()()2211114cos 4cos 2222x x x x x x x xf x f x -------+-+-===++ 所以()f x 为偶函数. 又()22π1π1π1π1π4cos ππ4π02222f ------+-==>++ 所以D 项错误 C 项正确.故选：C. 4．B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可. 【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于100cm 的棵数为：(0.0150.025)106024+⨯⨯=故选：B 5．C【分析】作曲线y =24y kx k =++的图象 计算出直线24y kx k =++与曲线y =时对应的实数k 的值 数形结合可得结果.【详解】对方程y =224y x =- 即()2204y x y +=≥所以曲线y 224x y +=的上半圆对直线方程变形得()24y k x =++ 该直线过定点()2,4P - 且斜率为k 如下图所示：当直线24y kx k =++与半圆y 2= 解得34k =-当直线24y kx k =++过点()2,0A 时 440k += 解得1k =-.由图形可知 当曲线y 24y kx k =++有两个相异的交点时 31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：C 6．C【分析】先解出,x y 再根据对数性质化简 最后根据基本不等式求最值. 【详解】3log 3,log 3x y a b a b x y ==∴==333log l 1og log ()1a b ab x y∴+=+=29a b ab +=≤（当且仅当2a b =时取等号）因此3log 1192y x +≤=即11x y+的最大值为2 故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值 考查综合分析求解能力 属中档题. 7．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离 利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++' 利用当,,P F E '三点共线时 2F a PE P ++'取得最小值 即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b == (40)F ，设双曲线左焦点为(40)F '-，不妨设一条渐近线为:b l y x x a =-= 即0x = 作PE l ⊥ 垂足为E 即||PE d = 作F H l '⊥,垂足为H 则||2F H '==因为点P 为C 左支上的动点所以2PF PF a '-= 可得2PF a PF '=+ 故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'由图可知 当,,P F E '三点共线时 即E 和H 点重合时 2||a PE F P ++'取得最小值最小值为2||2F H '⨯=即||d PF +的最小值为2 故选：A ． 8．B【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+ 结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式 由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4444x πωπππωωπ<-+<+ 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以4πωππ+≤ 304ω<≤ 所以ω的最大值为34.故选：B. 9．A【分析】易知0k > 由表达式画出函数图像 再分类讨论y k =与函数图像的位置关系 结合不等关系即可求解【详解】易知当0k > 0x 时 22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时 22724k k k << 得1427k <<,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根即2220x kx k k ++-=的两根 故22mn k k =-； 而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<即2644850k k -+< 解得1588k << 所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时 22k k 且0k > 得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-< 得51162k <≤.所以 k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系 数形结合思想 分类讨论思想 属于中档题 10．i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==； 故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算 考查了虚数单位i 的性质 是基础题． 11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得n 的值 然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 所以2256n= 故8n = 即该二项式为882223x x x -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝设其展开式的通项为1k T + 则1k T +=()()()2216282338811kk k kkk k k C xx C x----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当216203k k --=时 即6k = 此时该项为()668128C ⨯-=故答案为：28. 12．6【分析】根据给定条件 利用均值不等式计算作答.【详解】2x >则44(2)22622x x x x +=+-+≥=-- 当且仅当422x x =-- 即4x =时取“=” 所以42x x +-的最小值是6. 故答案为：6 13．43π 【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高 由勾股定理求出球的半径 根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h圆柱体积为34π 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭1h = 设球半径为R 则()22221R =+244R = 可得1R =∴球的体积为34433R ππ= 故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质 以及柱体与球体的体积公式 意在考查综合运用所学知识解答问题的能力 考查了空间想象能力 属于中档题. 14．217 97##219 【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率 由古典概型概率公式计算事件0,1,2,3X =的概率 再由期望公式公式得结论．【详解】由题意三人全是男志愿者 即事件X 0= 34374(0)35C P X C === 21433718(1)35C C P X C ===()12433712235C C P X C === 33371(3)35C P X C ===181219()1233535357E X =⨯+⨯+⨯= 再记全是男志愿者为事件A 至少有一名男志愿者为事件B 4()(0)35P A P X ===34()1(3)35P B P X =-== 4()235(|)34()1735P AB P A B P B ===．故答案为：217；97． 15．2π3##120︒ 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到1cos 2BAD ∠=- 求出2π3BAD ∠= 建立直角坐标系 写出点的坐标 表达出向量,AE AF 的坐标 从而求出向量数量积的关系式 求出取值范围. 【详解】712AC AD DC AD AB =+=+BD AD AB =- 所以()22757121212AC BD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭57554cos 9cos 0121242AB AD BAD BAD =-⋅⋅∠-⨯=--∠= 解得：1cos 2BAD ∠=-因为()0,πBAD ∠∈ 所以2π3BAD ∠=以A 作坐标原点 AB 所在直线为x 轴 垂直AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系 则()()(30,0,3,0,,4A B DC ⎛- ⎝因为DE DC λ= CF CB λ= 01λ≤≤ 所以设((),,E m F n t由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：714m λ=-39,,44nt λ⎛⎛-= ⎝⎝解得：93,44n t λ=+= 所以)279363639144416164AE AF λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、26318116264λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当12λ=时 26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值 最小值为8164 当0λ=或1时 取得最大值 最大值为94所以AE AF ⋅的取值范围是819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：2π3 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．(1)2π3A =；【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得sin A A = 进而求角的大小；（2）在△ABC 、△ADE 中应用余弦定理可得2219b c bc ++=、32b c =求出b 、c 再由三角形面积公式求面积.（1）由πA B C ++=得：()()cos cos cos sin a B C a B C A C -++-=- 即2sin sin cos sin a B C A C =-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =在△ABC 中sin 0B > sin 0C > 故sin A A = 则tan A =因为()0,πA ∈ 所以2π3A =． （2）在△ABC 中 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得2219b c bc ++=在△ADE 中 由余弦定理得2247943b c bc ++= 所以()22224794319b c bc b c bc ++=++ 化简得225224810b bc c --= 即()()2326270b c b c -+= 所以32b c = 代入2219b c bc ++=得：3b = 2c =则△ABC 的面积12πsin 3sin 23ABC S bc A ===． 17．(1)证明见解析(3)1【分析】(1) 连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF ,根据中位线即可证明1EF AB ∥,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BEC ABE S S ,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A 长度,找到平面1EBC 及平面1BC C 的法向量,建立等式,求出1,AB A A 长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF 如图所示:因为三棱柱111ABC A B C所以四边形11BB C C 为平行四边形所以F 为1CB 中点因为E 是AC 中点所以1EF AB ∥因为EF ⊂平面1BEC ,1AB ⊄平面1BEC所以1AB 平面1BEC ;（2）由题知,因为正三棱柱111ABC A B C所以1CC ⊥平面ABC且ABC 为正三角形因为2AB =,1AA所以BE =1EC 1BC 所以1BEC △为直角三角形11322BEC S =112ABE S =⨯△ 记点A 到平面1BEC 的距离为h则有11A BEC C ABE V V --= 即111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即131323h ⨯⨯=解得h =故A 到平面1BEC （3）由题,取11A C 中点为H ,可知1EH CC ∥所以EH ⊥平面ABC因为ABC 为正三角形,E 是AC 中点所以BE AC ⊥故以E 为原点,EC 方向为x 轴,EH 方向为y 轴,EB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系不妨记1AB a,A A b所以1300000000222a a a E ,,,B ,,,,b,,,,C C 1133,,0,0,,0,,0222,a a ab EB b BC CC记平面1EBC 的法向量为()111,,x n y z =则有100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020a x by z ⎧+=⎪⎪=取12x b ,可得()2,,0b a n =-;记平面1BC C 的法向量为()222,,m x y z =则有1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2x =可得()3,0,1m =;因为二面角1E BC C --所以cos ,m nm n m n ⋅===解得: a b = 即当11A AAB =时,二面角1E BC C --18．(1)斜率为1 倾斜角为π4；(2)()3,5；【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得AB 的斜率 进而求得倾斜角；（2）根据平行四边形对边平行 可得对边斜率相等 设(),D x y ,由斜率公式列出方程组即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知直线AB 的斜率为4122-=--直线倾斜角范围为[0,π) 所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）如图 当点D 在第一象限时 ,CD AB BD AC k k k k ==设(),D x y 则11114212y x y x -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪--+⎩ 解得35x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为()3,5；19．(1)2n a n =(2)1n nT n =+【分析】（1）利用等差数列下标和性质得2310a a += 联立解得234,6a a == 求出d 值 写出通项即可；（2）利用等差数列前n 和公式求得(22)(1)2n n n S n n +==+ 则1111n S n n =-+ 最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）等差数列{}n a 公差0d > 23142324,10a a a a a a =+=+=． 解得234,6a a == 或236,4a a == 但此时20d =-<故2d = ()()224222n a a n d n n ∴=+-=+-=（2）12422a a d =-=-= 则(22)(1)2n n n S n n +==+ 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．(1)3e 2e 0x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出切线的斜率 再求出切点即得解；（2）令()()3e 2e x F x f x =-+ 利用导数求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题得()22e e x x f x x x '=+ 所以()13e f '=又()1f =e 所以切线方程为()e 3e 1y x -=- 即3e 2e 0x y --=.（2）证明：令()()23e 2e e 3e 2e x x x F x f x x =-+=-+()()()()222e e 3e e 23e 31x x x x x F x x x x x x x '=+-=+-=+-当()0,1x ∈时 ()0F x '< 当()1,x ∈+∞时 ()0F x '>．所以()F x 在()0,1上单调递减 在()1,+∞上单调递增．所以当0x >时 ()min ()10F x F == 0x ∴>时 ()0F x ≥故当0x >时 ()3e 2e x f x ≥-.。
2019年高考数学模拟试题含答案
---- 专业文档 - 可编辑 --2019 年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合 A { x x 2 2x 3 0} ， B { 2,3,4} ，则 (C R A) B = A． { 2,3} B． { 2,3,4} C． { 2} D．2．已知 i 是虚数单位，z 1 ，则 z z =3 i1 1A． 5 B． 10 C．D．10 5 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为P(1,1) ，则输出的n 值为A． 3 B．4 C． 5 D． 6ED C--FA B（第 3 题）（第 4 题）4．如图，ABCD 是边长为8 的正方形，若DE 1 EC ，且 F 为 BC 的中点，则 EA EF3高三数学（理）科试题（第 1 页共 6 页）------ 专业文档 - 可编辑 --A． 10 B．12 C．16 D． 20x y 25．若实数 x, y 满足 y x 1 ，则 z 2 x 8 y的最大值是y 0A． 4 B．8 C．16 D． 326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A． 16 5 8 2 32B． 32 5 32C． 16 2 32D． 16 5 16 2 327. 5 张卡片上分别写有0， 1， 2， 3 ， 4，若从这 5 张卡片中随机取出 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和大于 5 的概率是1 1 3 4A．B． C ． D ．10 5 10 58．设 Sn 是数列 { an } 的前 n 项和，且 a1 1， an 1 S n Sn 1 ，则 a5 =A．9.函数1 1B．1 C ． D ．1 30 30 20 201 xf x ln 的大致图像为1 x--10. 底面为矩形的四棱锥P ABCD 的体积为8，若 PA 平面 ABCD , 且 PA 3 ，则四棱锥P ABCD 的外接球体积最小值是高三数学（理）科试题（第 2 页共 6 页）------ 专业文档 - 可编辑 --25A． B ． 125 C ． 125 D ． 256 611. 已知抛物线 y2 2 px p 0 , 过焦点且倾斜角为30 °的直线交抛物线于A,B 两点，以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为3 3A． x 1 B ． x C． x D ． x 32 312. 已知函数 f ( x) x2ln x （ x 2 ），函数g( x) x 1 ，直线y t 分别与两函数交于2 2A, B 两点，则AB 的最小值为1 3A．B． 1 C ．D． 22 2二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．13. 设样本数据 x1，x2，... ，x2018的方差是 5，若 y i3x i1（ i 1,2,...,2018 ），则 y1，y2， ... ，y2018的方差是 ________14.已知函数 f ( x) sin x3 cos x （0 ），若 3 ，则方程 f (x)1 在 (0, ) 的实数根个数是 _____15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，... ， 9 填入 3 3 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 ( 如图） . 一般地，将连续的正整数1， 2，3，?，n2填入 n n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方 . 记 n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n ( 如：在 3 阶幻方中，N315 ) ，则 N5 =_______--ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别π16. 已知为 a ， b ， c，且 c 1 ， C ．3高三数学（理）科试题（第 3 页共 6 页）------ 专业文档 - 可编辑 --若 sin C sin( A B ) sin 2B ，则ABC 的面积为三、解答题：本大题共 6 小题，其中17-21 小题为必考题，每小题12 分，第 22 — 23 题为选考题，考生根据要求做答，每题10 分．17.( 本小题满分12 分)设数列 { a n } 是公差为 d 的等差数列.( Ⅰ ) 推导数列{ a n } 的通项公式；( Ⅱ ) 设 d 0 ，证明数列{ a n1} 不是等比数列.18． ( 本小题满分12 分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40 名学生 ( 其中男、女生各占一半) 进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为 5 组： [0 ，5)， [5 ， 10) ， [10 ， 15) ， [15 ，20) ， [20 ， 25] ，得到如图所示的频率分布直方图．--( Ⅰ ) 写出女生组频率分布直方图中 a 的值；( Ⅱ ) 在抽取的40 名学生中从月上网次数不少于20 的学生中随机抽取 2 人，并用X 表示随机抽取的 2 人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.( 本小题满分12 分)在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB AC AA1 2 ， BA CA 。
天津市北辰区2019-2020学年第四次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市北辰区2019-2020学年第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数2iiz -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i iz i i i i i--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 2．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1， 所以max 112z i -=+=. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.3．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183 B ．163C ．143D ．123【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【详解】将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则34863R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球3a=226R =2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为234163a =故选：B ． 【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．4．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =I （ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x x 禳镲<-睚镲镲铪C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C【解析】 【分析】由题意和交集的运算直接求出A B I . 【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.5．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【答案】C 【解析】 【分析】将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得m 的取值范围. 【详解】依题意()()222113311x x x x x f x x x ++++++==++ 121x x =+++， 则()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增，当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.6．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A．2y x =±B．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 7．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±=D ．20x y ±=【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.8．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5 B ．11 C ．20 D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值. 【详解】等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小， 又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，即()()()()()222111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=，所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,14a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()()()219n 25252n n n S n -=+⨯-=--+.故n S 的最大值为525S =. 故选：D本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+ B ．6C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 10．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x „ C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x „ D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x „【答案】C 【解析】 【分析】套用命题的否定形式即可. 【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”. 故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.11．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u uu r u u u rB ．3788BA BC -u uu r u u u rC ．3788BA BC +u uu r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.12．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届天津市部分区高三第二次模拟考试数学(理)试卷及解析
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】
,选B.
【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.已知函数 ，若关于x的方程 恰有三个不同的实数根a，b，c，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先作图，再确定 关系以及范围，即得结果.
【详解】作图可得， ，所以 ，选D.
二、填空题。
9.已知i是虚数单位，则 ________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数除法运算法则求解.
【详解】 .
【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C种型号的产品中抽取________件.
当i=4时， ，故选C。
4.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数与指数函数单调性确定大小.
【详解】因 ， ，
所以 ，选A.
5.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以线段 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为（）
1.已知全集 ，集合 ， ，则 =（）
A.{0，4}B.{0，1，4}C.{1，4}D.{0，1}
【答案】B
【解析】
【分析】
先求全集，再求交集，最后根据补集得结果.
【详解】因为 ， ,
所以 = {0，1，4}，选B.
天津北辰区朱唐庄中学 2019-2020学年高三数学理模拟试题
天津北辰区朱唐庄中学 2019-2020学年高三数学理模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知P是圆x2+y2=1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）A．1 B．C．2 D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求．【解答】解：由于圆心O（0，0）到直线的距离d==2，且圆的半径等于1，故圆上的点P到直线的最小距离为 d﹣r=2﹣1=1，故选A．2. 与不等式同解的不等式是A． B．C． D．参考答案：B略3. 设集合则个数为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6参考答案：B略4. 已知集合，则下列关系式错误的是（）A． B．C． D．参考答案：A试题分析：因为，而，即B、C正确，又因为且，所以，即D正确，故选A. 1考点：集合与元素的关系.5. 在中，则的面积为（）A. 3B. 4C. 6D.参考答案：A略6. 设集合A｛a, b｝，则满足A∪B ｛a, b, c, d｝的集合B的子集最多个数是（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：C略7. 下列四个图中,函数的图象可能是（）参考答案：【知识点】函数的图象．L4【答案解析】C 解析：当x＞0时，y＜0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．8. 在中，,，则面积为A．B． C．D．参考答案：B略9. 设命题p：{x| |x|＞1}；命题q：{x| x2 + 2x–3＞0}，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：解析：由|x|＞1得p：A={x| x>1或x<-1},又由x2 + 2x–3＞0得q：B={x| x>1或x<-3}；显然B是A的真子集，故q是p的充分不必要条件，从而是的充分不必要条件，故应选A.10. 如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是( )A. EF∥平面B. 异面直线CD与所成的角为90°C. 异面直线EF与所成的角为60°D. 直线与平面BCD所成的角为30°参考答案：C【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A、B、C、D 进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项A：因为E、F是AD、BD中点，所以，因为平面，平面，所以EF∥平面，所以选项A正确；选项B：因为平面⊥平面BCD，平面平面BCD，且∠BDC＝90°，即，又因为平面BCD，故平面，故，所以异面直线CD与所成的角为90°，选项B正确；选项C：由选项B可知平面，所以，因为AD＝CD＝2，即＝CD＝2，所以由勾股定理得，，在中，BC＝，在中，，故，即，因为，所以，故选项C错误；选项D：连接因为所以因为是中点，所以，因为平面⊥平面BCD，平面平面BCD，又因为平面，故平面，所以即为直线与平面BCD所成的角，在中，，，所以，所以，故直线与平面BCD所成的角为30°，故选项D正确，本题不正确的选项为C，故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，则．参考答案：12. 已知，，则向量在向量上的投影为。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题(天津卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题（天津卷）一、选择题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4} 【答案】D【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D. 【考点】集合运算2．设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17 【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B. 【考点】线性规划3．在△ABC中，若AB ，120C ∠= ,则AC= （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 【考点】余弦定理4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B【解析】试题分析：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B.【考点】循环结构流程图5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n ＜0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 【考点】充要关系6．已知双曲线2224=1x y b -（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x - （B ）22344=1y x - （C ）2224=1x y b - （D ）2224=11x y - 【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线渐近线7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811 【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.【考点】向量数量积8．已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a ＞0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C【解析】试题分析：由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C. 【考点】函数性质综合应用二、填空题9．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．【考点】复数相等10．281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.（用数字作答）【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．【考点】二项式定理11．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2．【考点】三视图12．如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE 的长为__________.【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB是直径，则BC =AD =BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =1x=，解得x =【考点】相交弦定理13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->或化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<，即答案为13(,)22．【考点】利用函数性质解不等式14．设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B.设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为p 的值为_________.【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得EF CFEA AB=，即2EF CF EA AF ==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=所以132p ⨯=，p =【考点】抛物线定义三、解答题15．已知函数f （x ）=4tanxsin （2x π-）cos （3x π-）（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性 试题解析：（Ⅰ） 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （Ⅱ）解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式16．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望 试题解析：解：（Ⅰ）由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===，()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】概率，概率分布与数学期望 17．如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O-EF-C 的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）21【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n A D n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面C E F 的法向量，则220n E F n C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin,OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值为（Ⅲ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫=⎪⎝⎭，因此222cos ,BH n BH n BH n⋅<>==-⋅所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为21. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题18．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.（Ⅰ）设22*1,n n nc b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列； （Ⅱ）设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k k T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论. 试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和19．设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B，从而34122+-=k ky B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程20．设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ） 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331aa +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<aa .试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20ax =-， 进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又b a ax x a b x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300 )(33200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 )()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当343<≤a 时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([a f a f -+，因此|}392||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a a b a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . （3）当430<<a 时，23313310<+<-<aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， )331()3321()0(a f a f f +=-<，)331()3321()2(a f a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）集合M ＝{y |y ＝ln （x 2+1）}，N ＝{x |2x ＜4}，则M ∩N 等于（ ） A ．[0，2]B ．（0，2）C ．[0，2）D ．（0，2]2．（5分）设变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0，则目标函数z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．−6639B ．−135C ．﹣2D ．23．（5分）下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ＞0； ②命题p ：|2x ﹣1|≤1，命题q ：11−x＞0，则p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝±4； 其中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，则φ等于（ ） A ．π3B ．π6C ．π2D ．π46．（5分）已知a =log 130.60.3，b =log 1214，c =log 130.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a7．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√22xB ．y =±√2xC ．y =±√33xD ．y =±√3x8．（5分）已知函数f(x)={|log 3(2−x)|，x ＜2−(x −3)2+2，x ≥2，g(x)=x +1x −1，则方程f （g （x ））＝a 的实根个数最多为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）若z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，则a •b ＝ ．10．（5分）已知a =∫ π0sinxdx ，则(ax x )5的二项展开式中，x 2的系数为 ．11．（5分）已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ． 12．（5分）直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数），圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，则实数a ＝ ．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则1x+xy 的最小值 ．14．（5分）在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45°，高为m ，Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，AC →+AD →=2AE →设AE →⋅AQ →的最小值为f （m ），若关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S △ABC =25√34，且a ＝5，求b +c ． 16．（13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）用X 表示抽取的4人中B 组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB =π3，AD ＝2，AM ＝1，E 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）设数列{a n }满足a 1＝2，且点P(a n ，a n+1)(n ∈N ∗)在直线y ＝x +2上，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝3b n ．（Ⅰ）数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ⋅(b n −(−1)n )}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（14分）已知椭圆W ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点P(√2a ，√3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ． ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |．20．（14分）函数f(x)=(n −mlnx)x 1n ，其中n ∈N *，x ∈（0，+∞）．（Ⅰ）当n＝2时，f（x）在[1，e]上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝1时，①n为定值，求f（x）的最大值；②若n＝2，lna≥1，求证：对任意k＞0，直线y＝﹣kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：M ＝{y |y ≥0}，N ＝{x |x ＜2}； ∴M ∩N ＝[0，2）． 故选：C ．2．【解答】解：变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0的可行域如下图所示：由图可知，由{2x +3y −6=03x −2y +6=0得A （−613，3013），由{2x +3y −6=0x −y +1=0解得B （35，85）目标函数z ＝x ﹣2y 化为y =12x −z2，平移直线经过的B 时，目标函数取得最大值：z ＝x ﹣2y 取最大值：−135． 故选：B ．3．【解答】解：①：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ≥0，故①错误， ②由|2x ﹣1|≤1，得﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， 由11−x＞0，得1﹣x ＞0得x ＜1，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件，故②错误，③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝b 5q 2；即b 7与b 7同号，则b 7＝4，故③错误，故真命题的个数为0个， 故选：A ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝1，k ＝1 S ＝2，不满足条件S ＞10，k ＝2，S ＝6 不满足条件S ＞10，k ＝3，S ＝15满足条件S ＞10，退出循环，输出k 的值为3． 故选：B ．5．【解答】解：将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，可得y ＝cos （2x +2φ−π6）的图象，根据已知得到函数y =cos(2x +π3)的图象， ∴2φ−π6=π3，∴φ=π4， 故选：D ．6．【解答】解：a =log 130．60.3=0.3log 130.6，b =log 1214=2，c =log 130．50.4=0.4log 130.5； ∵0＜log 130.6＜log 130.5＜1；∴0＜0.3log 130.6＜0.4log 130.5＜1；∴a ＜c ＜b ． 故选：C ．7．【解答】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ， 由题意可得AC ⊥BC ， 可得四边形F ABC 为矩形， 即有|AF |＝|BC |， 设|AC |＝m ，|BC |＝n ，可得n ﹣m ＝2a ，n 2+m 2＝4c 2，12mn ＝2a 2，即有4c 2﹣8a 2＝4a 2，即有c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程为y ＝±√2x ． 故选：B ．8．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：由z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ， 得（a +bi ）（1﹣2i ）＝（a +2b ）+（b ﹣2a ）i ＝8﹣i ， ∴{a +2b =8b −2a =−1，解得a ＝2，b ＝3． ∴ab ＝6． 故答案为：6．10．【解答】解：已知a =∫ π0sinxdx =−cos x |0π=2，则(ax +x )5=(2x x)5 的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 5r •25﹣r•x 5−3r2， 令5−3r 2=2，求得r ＝2，可得展开式中x 2的系数为C 52•23＝80， 故答案为：80．11．【解答】解：圆柱的底面半径为2，则底面直径为4， 又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形， 如图：则圆柱的外接球的半径为r =12√42+22=√5． ∴该圆柱的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π． 故答案为：20π．12．【解答】解：直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数）化为普通方程，得：2ax +y −1=0，圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)化为普通方程，得：（x +2）2+（y ﹣2）2＝8， 圆心C （﹣2，2），半径r ＝2√2，∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，∴圆心C （﹣2，2）到直线2ax +y −1=0的距离：d =|−2×2a +2−1|√4a2+1=√2，解得实数a ＝﹣4±2√6． 故答案为：﹣4±2√6．13．【解答】解：x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则2x •4y ＝2， ∴x +2y ＝1， ∴1x +x y=x+2y x+x y=1+2y x +x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2，当且仅当2y x =x y时，即x =√2−1，y =2−√22取等号， 故答案为：2√2+114．【解答】解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以AB 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 由已知可得：A （﹣2，0），B （2，0），D （m ﹣2，m ），C （2﹣m ，m ）， ∵AC →+AD →=2AE →， ∴E 为DC 的中点， ∴E （0，m ），由Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，故当Q 落在D 点时，AE →⋅AQ →取最小值f （m ）， ∵AE →=（2，m ），AD →=（m ，m ）即f （m ）＝（2，m ）•（m ，m ）＝m 2+2m ，（0＜m ＜2）； 关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，即m 2+（2﹣k ）m +3＝0在（0，2）上有两个不等式相等的实根，∴{△=(2−k)2−12＞00＜−2−k 2＜24+2(2−k)+3＞0解得：k ∈（2+2√3，112）∴实数k 的取值范围是（2+2√3，112）．故答案为：（2+2√3，112）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2， ∴2b(2b−c)cosA2ab=a 2+b 2−c 22ab，………（1分）∴（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，………（2分）∴由正弦定理得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，………（3分） ∴即：2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin B ，………（4分） ∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0，………（5分） ∴cosA =12，………（6分） ∵0＜A ＜π，∴A =π3．………（7分） （Ⅱ）∵S △ABC =12bcsinA =25√34，………（8分） ∴bc ＝25，………（9分）∵cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−252×25=12，………（10分） ∴b 2+c 2＝50，………（11分）∴（b +c ）2＝b 2+c 2+2bc ＝100，………（12分） 即：b +c ＝10．………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数n =C 94，事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，则事件A 包含的基本事件个数m =C 31C 21C 42，∴事件A 发生的概率P(A)=C 31⋅C 21⋅C 42C 94=36126=27⋯⋯⋯（3分）（列式（2分），结果1分） （Ⅱ）X 可能取值为0，1，2，3………（4分） P(X =0)=C 64⋅C 30C 94=15126=542⋯⋯⋯（5分）（列式（1分），结果1分） P(X =1)=C 63⋅C 31C 94=60126=1021⋯⋯⋯（7分）（列式（1分），结果1分） P(X =2)=C 62⋅C 32C 94=45126=514⋯⋯⋯（9分）（列式（1分），结果1分） P(X =3)=C 61⋅C 33C 94=6126=121⋯⋯⋯（11分）（列式（1分），结果1分）∴X 的分布列为X 0123P 5421021514121EX =0×542+1×1021+2×514+3×121=43⋯⋯⋯（13分）（列式（1分），结果1分） （本题得数不约分不扣分） 17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………（1分）又EF ⊂平面MEC ，………（2分）AN ⊄平面MEC ，………（3分） 所以AN ∥平面MEC ………（4分）解：（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =π3，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ． 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM ∩平面ABCD ＝AD ， ∴DN ⊥平面ABCD ………（5分）如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），E(√3，0，0)，C （0，2，0），M(√3，−1，1)，B(√3，1，0)，N （0，0，1）设平面MBC 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)， MB →=(0，2，−1)，BC →=(−√3，1，0)，{MB →⋅n 1→=0BC →⋅n 1→=0，∴{2y −z =0−√3x +y =0，∴n 1→=(1，√3，2√3)⋯⋯⋯（6分）ME →=(0，1，−1)⋯⋯⋯（7分）cos ＜ME →，n 1→＞=ME →⋅n 1→|ME →||n 1→|=−√32⋅4=−√68⋯⋯⋯（8分） ∴ME 与平面MBC 所成角的正弦值√68⋯⋯⋯（9分） （Ⅲ）设P(√3，−1，ℎ)，CE →=(√3，−2，0)，EP →=(0，−1，ℎ) 设平面PEC 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)则，{CE →⋅n 1→=0EP →⋅n 1→=0∴{√3x −2y =0−y +ℎz =0令y =√3ℎ，∴n 1→=(2ℎ，√3ℎ，√3)⋯⋯⋯（10分）又平面ADE 的法向量n 2→=(0，0，1)，cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√3√7ℎ+3=12⋯⋯⋯（11分）解得，ℎ=3√77⋯⋯⋯（12分）， ∵3√77＞1， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3．………（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知：对于数列{a n}：∵点P(a n，a n+1)(n∈N∗)在直线y＝x+2上，∴a n+1＝a n+2∴a n+1﹣a n＝2（n∈N*）．∴{a n}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝a1+（n﹣1）2＝2n．对于数列{b n}：∵b1＝3，b n+1＝3b n，∴{b n}是以b1＝3为首项，3为公比的等比数列．∴b n=3n．（Ⅱ）由题意及（1）知：对于一般项：a n⋅(b n−(−1)n)=2n⋅(3n−(−1)n)=2n⋅3n−(−1)n⋅2n．由题意，可设{2n•3n}的前n项和为T n′=2⋅31+4⋅32+6⋅33+⋯+2(n−1)⋅3n−1+ 2n⋅3n①3T n′=2⋅32+4⋅33+6⋅34+⋯+2(n−1)⋅3n+2n⋅3n+1②①﹣②得−2T n′=2⋅31+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−2n⋅3n+1，∴−2T n′=6(1−3n)1−3−2n⋅3n+1=−3+(1−2n)⋅3n+1，∴T n′=32+(n−12)⋅3n+1．同理，可设{（﹣1）n•2n}的前n项和为T n''，∴当n为偶数时，T n″=−2+4−6+8−⋯−2(n−1)+2n=2⋅n2=n，当n 为奇数时，n +1为偶数，则：T n +1″＝2+4﹣6+8﹣…﹣2n +2（n +1）=2⋅n+12=n +1． ∴T n ''＝T n +1''﹣2（n +1）＝n +1﹣2n ﹣2＝﹣n ﹣1． ∵T n ＝T n ′﹣T n ″．∴T n ={32+(n −12)⋅3n+1−n(n 为偶数)52+(n −12)⋅3n+1+n(n 为奇数)．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知e =c a =√22，a 2＝b 2+c 2，得b ＝c ，a =√2c ， ∵△PF 1F 2为等腰三角形， ∴|F 1F 2|＝|F 2P |，则(2c)2=(√2a −1)2+(√3)2解得c ＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆W 方程为x 22+y 2=1（Ⅱ）①由题意可得直线l 1的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立，由{y =x +1x 22+y 2=1可求B(−43，−13)．②当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |． 当l 2不与x 轴垂直时，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1）． 由{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，整理得（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0． 则x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1．由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 令x ＝﹣1，得点E 的纵坐标y E =x 2−y 2+1x 2． 把y 2＝k （x 2+1）代入得y E =(x 2+1)(1−k)x 2．由已知，x 1≠−43，则直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，令x ＝﹣1，得点G 的纵坐标y G =y 1−x 1−13(x 1+43)．把y1＝k（x1+1）代入得y G=(x1+1)(k−1)3x1+4．y E+y G=(x2+1)(1−k)x2+(x1+1)(k−1)3x1+4=(1−k)[(x2+1)(3x1+4)−x2(x1+1)]x2⋅(3x1+4)=(1−k)[2x1x2+3(x1+x2)+4]x2⋅(3x1+4)把x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4=2×2k2−22k2+1+3×(−4k22k2+1)+4=0．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|．20．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，f(x)=(2−mlnx)x 12，f′(x)=(2−2√x−m x√x=2−mlnx−2m2√x≤在[1，e]恒成立．即2﹣mlnx﹣2m≤0在[1，e]恒成立，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，∴m≥22+lnx，令u（x）=22+lnx，u′（x）=−2x(2+lnx)2＜0．∴u（x）=22+lnx在[1，e]单调递减，∴φ（x）max＝φ（1）＝1，∴m≥1．（Ⅱ）①当m＝1时，f(x)=(n−lnx)⋅x 1 n，f′(x)=−1x⋅x 1n+(n−lnx)1nx1n−1=−x1n−1+(n−lnx)1nx1n−1=−1n⋅lnx⋅x1n−1．∵x＞0，∴令f′（x）＝0，x＝1．x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）↗极大值↘∴f（x）max＝f（1）＝n．②要证明当a≥e，k＞0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g（t）＝kt2+2t﹣2tlnt﹣a有唯一零点．我们先证三个引理【引理1】x（1﹣lnx）≤1…（由第1问取n＝1即可）【引理2】lnx≥1−1x⋯（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x﹣1…（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1．证毕！．下面我们先证明函数g（t）存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a．令t=√a−2k，可知g（t）≤0．再由【引理3】得到lnx＜x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)＞t√t(k√t−4)(2t−a)．令t＞16k2，且t＞a2，可知g（t）＞0．由连续性可知该函数一定存在零点．下面我们开始证明函数g（t）最多只能有一个零点．我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lntt)．令ℎ(t)=lntt，则ℎ′(t)=1−lntt2，则h（t）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，即ℎ(t)max=1e．当k≥1e时，有g'（t）≥0恒成立，g（t）在（0，+∞）上递增，所以最多一个零点．当0＜k＜1e时，令g'（t1）＝g'（t2）＝0，t1＜e＜t2，即lnt1＝kt1，于是g（t1）＝t1lnt1+2t1﹣2t1lnt1﹣a＝t1（2﹣lnt1）﹣a．再令t1＝eT（0＜T＜1），由【引理1】可以得到g（t1）＝eT（1﹣lnT）﹣a＜e×1﹣a≤0．因此函数g（t）在（0，t1）递增，（t1，t2）递减，（t2，+∞）递增，t＝t1时，g（t）有极大值但其极大值g（t1）＜0，所以最多只有一个零点．综上，当k＞0，a≥e时，函数y＝f（x）与y＝﹣kx+a的图象有唯一交点．。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(2021年整理精品文档)
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2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理)试题（一）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末］已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+,{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末］已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,且5z z ⋅=，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．［2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是:一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分;且“冬至”时日影长度最大，为1350分;“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检］在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13B ．59C ．79D ．895．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．56．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π27．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检］如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“"中应填的执行语句是（ )A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．［2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C ,若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为( )A ．22y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．23y x =11．［2019·陕西联考］将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位,在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212．［2019·中山期末］如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是（ ）①当102CQ <<时,S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时,S 与11C D 交点R 满足1113C R =； ④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6．A ．①③④B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③⑤二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，13+=a b ，则=b _____． 14．［2019·吴忠中学］()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为__________．15．[2019·广安一诊］某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件,已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·湖师附中]已知数列{}n a 满足：11a =,()*12nn n a a n a +=∈+N ，()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭()*n ∈N ,1b λ=-，且数列{}nb 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)[2019·濮阳期末］已知ABC△的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且()+=．c A a C1cos3sin（1)求角A的大小；（2)若7a=，1△的面积．b=，求ABC18．（12分)[2019·揭阳一模］如图，在四边形ABED中,AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上,且AC BC CD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC ===，现将ACD⊥，2AB CD所成的角为45︒．（1)求证:平面PBC⊥平面DEBC；(2)求二面角D PE B--的余弦值．19．（12分）［2019·合肥质检]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．（12分）[2019·鹰潭期末］已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，离心率为2，短轴长为2．(1）求椭圆C 的方程；（2）如图,椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．(12分）［2019·菏泽期末]已知函数()ln 1a f x x x=+-，a ∈R ．（1）当0a >时,若函数()f x 在区间[]1,3上的最小值为13，求a 的值；（2）讨论函数()()3x g x f x '-＝零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分． 22．（10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】[2019·哈三中]已知曲线1:C x 2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程;（2)设C与x，y轴交于M，N两点,且线段MN的中点为P．若射线OP与1C，2C交于P,Q两1点，求P，Q两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】［2019·江南十校]设函数()()=-++-．lg2121f x x x a（1）当4f x的定义域；a=时,求函数()（2）若函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意,集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤,∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ． 2．【答案】A 【解析】由5z z⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-，∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ． 3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分, 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至"时日影长度最小，为160分． ∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分)．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=;由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈， 区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ． 5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a-=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直,∴()121a⨯-=-，即2a =，∴2c e a ==．故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ． 7．【答案】A【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=,∴()f x 为偶函数，选项B 错误,()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+,则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时,()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ． 9．【答案】C【解析】由题意,n 的值为多项式的系数，由100,99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ．10．【答案】A【解析】如图,过A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ，过B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义,BF BE =，21AF AD =,∵2BC BF =，∴2BC BE =，∴45DCA ∠=︒， ∴222AC AD ==+,22211CF =+--=， ∴222CF PF ==，即22p PF ==，∴抛物线的方程为22y x =,故选A ．11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2,最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==,或()()122g x g x ==-（舍去)． 故有()()122g x g x ==,即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-,则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ． 12．【答案】D【解析】当102CQ <<时,如图，是四边形,故①正确；当12CQ =时，如图，S 为等腰梯形,②正确;当34CQ =时,如图,由三角形CQP 与三角形1A AH 相似可得123A H =，113D H =,由三角形ABP 与三角形1RD H 相似可得，123D R =,113C R =,③正确；当314CQ <<时，如图是五边形，④不正确;当1CQ =时，如图S 是菱形,面积为362⋅=,⑤正确，正确的命题为①②③⑤，故选D ．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由13+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1, 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】40【解析】()52x y -展开式的通项公式为()()()555155C 221C r r r r r r r r r T x y x y ---+=⋅=--．令52r -=,得3r =；令53r -=，得2r =;∴()()52x y x y +-的展开式中33x y 系数为()()3223325521C 2140C ⨯-⨯+⨯-=⨯． 故答案为40． 15．【答案】3800【解析】设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域,由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2，当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800．16．【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，数列{}n a 满足12n n n a a a +=+ ,取倒数可得1121n na a +=+， 即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公比为2的等比数列， ∴112n na +=，∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列，∴当2n ≥时，1n n b b +>, 即()()122122n n n n λλ--⋅>--⋅，21n λ>-，221λ>-，32λ<； 当1n =时，21b b >,()122λλ-⋅>-，23λ<， 综上,23λ<．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3A =；（2）S =．【解析】（1)∵()1cos sin c A C +=,由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +cos 1A A -=,∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．(2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯= 18．【答案】（1)见解析；（2)．【解析】（1)证明：∵AB CD ⊥,AB BE ⊥,∴CD EB ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴EB PC ⊥，且PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC , 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ． （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ,∴EB PB ⊥，由PE 与平面PBC 所成的角为45︒得45EPB ∠=︒，∴PBE △为等腰直角三角形，∴PB EB =，∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，∴2PB =,故PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结PO , ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则()0,1,0B ，()2,1,0E ，()2,1,0D -，(3P ， 从而()0,2,0DE =，()2,0,0BE =，(2,1,3PE =,设平面PDE 的一个法向量为(),,x y z =m ，平面PEB 的一个法向量为(),,a b c =n ，则由00DE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得20230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得()3,0,2=-m ，由00BE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20230a abc =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1c =得()3,1=n ，设二面角D PE B --的大小为θ，则7cos 72θ⋅===⋅⨯m n m n ， 即二面角D PE B --的余弦值为7．19．【答案】（1）见解析;（2）选择延保方案二较合算． 【解析】（1）X 所有可能的取值为0,1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=,()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=, ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（2）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：117117697000900011000130001500010720100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为:267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）． ∵12EY EY >,∴该医院选择延保方案二较合算．20．【答案】（1)2212x y +=；（2)【解析】(1）依题意得22b =,c e a ==,解得a =1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2)当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =,联立2212x y +=，解得y =，此时平行四边形ABCD 的面积S =当AD 所在的直线斜率存在时,设直线方程为()1y k x =-,联立2212x y +=,得()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,D x y ,则2122412k x x k +=+,21222212k x x k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =则平行四边形ABCD的面积)22112k S k +==+令212t k =+，1t >，则S =()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减,则(S 0,=，综上所述,平行四边形ABCD 的面积的最大值为 21．【答案】（1）13e a =；（2)见解析． 【解析】（1）()()2210a x af x x xx x-=-=>'， 当01a <≤时,()0f x '>在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为增函数,∴()()min 11f x f a =-=，令113a -=得413a =>（舍去),当13a <<时,由()0f x '=得，()1,3x a =∈，若()1,x a ∈，有()0f x '<，()f x 在[]1,a 上为减函数， 若(),3x a ∈有()0f x '>,()f x 在[],3a 上为增函数，()()minln f x f a a '==,令1ln 3a =，得13e a =．当3a ≥时,()0f x '<在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为减函数, ∴()()min 3ln313a f x f ==+-'，令1ln3133a +-=得43ln 32a =-<（舍去)． 综上知,13e a =．（2）∵函数()()()21033x a xg x f x x xx -=--'=>， 令()0g x =，得()3103a x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>,此时()x ϕ在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在()1,+∞上单调递减,∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点，()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=．又()00ϕ=,结合()x ϕ的图象可知： ①当23a >时,函数()g x 无零点；②当23a =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203a <<时，函数()g x 有两个零点； ④当0a ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上所述，当23a >时，函数()g x 无零点；当23a =或0a ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点； 当203a <<时，函数()g x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1)1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+;（2）1．【解析】(1）∵2C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数),∴其普通方程为22162x y +=,又1:C x∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,2226:12sin C ρθ=+．（2)∵)M ,()0,1N ，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭,∴OP 的极坐标方程为π6θ=，把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=,π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ,Q 两点间的距离为1．23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（2）3a <．【解析】（1）当4a =时,()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-；2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(可编辑修改word 版)当112x -<<时，12224x x -++>，无解; 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>，综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++，()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=，∴3a <．。
高考数学模拟考试题含解析
适用标准文档2019 年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回收。
一．选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共60 分。
在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的1．已知会合A {x x2230} ，B{ 2,3,4}，则(C R A)B= xA．{ 2,3}B．{ 2,3,4}C．{2}D．2．已知i是虚数单位，z1，则 z z =3iA．5B．10C．1D．1 1053．履行如下图的程序框图，若输入的点为P(1,1)，则输出的n 值为A． 3B．4C． 5D． 6ED CFA B（第 3题）（第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若DE 1 EC ，且F为BC的中点，则EA EF3A ． 10B ．12C ．16D ． 20x y 25．若实数 x, y 知足 y x1 ，则 z2 x 8 y 的最大值是y 0A ． 4B ．8C ．16D ． 326. 一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ． 16 5 8 232B ． 32 5 32C ． 16 2 32D ． 165 162 327. 5 张卡片上分别写有0， 1， 2， 3， 4，若从这 5 张卡片中随机拿出 2 张，则拿出的 2 张卡片上的数字之和大于 5 的概率是A ．1B ．1C．3D．410 51058．设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 1 ， a n 1 S n S n 1 ，则 a 5 =A ．1B ．1 C．1D．1303020209. 函数 f x ln1x的大概图像为1 x10. 底面为矩形的四棱锥P ABCD 的体积为 8，若 PA 平面 ABCD , 且 PA 3 ，则四棱锥P ABCD 的外接球体积最小值是A．25B． 125C． 125D． 25 6611.已知抛物 y2 2 px p0 ,焦点且斜角30°的直交抛物于A,B 两点，以 AB直径的与抛物的准相切，切点的坐是3，抛物的准方程A．x1B． x 3C．x3D． x3 2312.已知函数 f ( x)x2ln x （ x2），函数 g( x)x1，直 y t 分与两函数交于22A, B 两点，AB 的最小A．1B．1 C ．3D．2 22二．填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分．13.本数据 x1，x2，...，x2018的方差是5，若y i3x i1（ i1,2,...,2018 ）， y1，y2，... ，y2018的方差是________14.已知函数 f ( x)sin x 3 cos x （0），若3，方程 f ( x)1在 (0,) 的数根个数是 _____15.我国的《洛》中着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9 填入 3 3 的方格内，使三行、三列、两角的三个数之和都等于15( 如） . 一般地，将的正整数1， 2，3，⋯，n2填入 n n 的方格内，使得每行、每列、每条角上的数的和相等，个正方形就叫做n 幻方.n 幻方的一条角上数的和N n( 如：在 3 幻方中，N315 )， N 5=_______16. 已知ABC 中，内角A，B，C所的分 a ，b， c ，且c 1 ， Cπ．3若 sin C sin( A B) sin 2B ，则ABC 的面积为三、解答题：本大题共 6 小题，此中17-21 小题为必考题，每题12 分，第 22— 23 题为选考题，考生依据要求做答，每题10 分．17.( 本小题满分12 分)设数列 { a n } 是公差为d的等差数列.(Ⅰ )推导数列{ a n}的通项公式；(Ⅱ )设d0 ，证明数列{ a n1} 不是等比数列.18． ( 本小题满分12 分)某中学为认识全校学生的上网状况，在全校随机抽取了40 名学生 ( 此中男、女生各占一半)进行问卷检查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为 5 组：[0 ，5)， [5 ， 10) ， [10 ， 15) ， [15 ，20) ， [20 ， 25] ，获得如下图的频次散布直方图．( Ⅰ ) 写出女生组频次散布直方图中 a 的值；( Ⅱ ) 在抽取的40 名学生中从月上网次数许多于20 的学生中随机抽取 2 人，并用X 表示随机抽取的 2 人中男生的人数，求X 的散布列和数学希望．19.( 本小题满分12 分)在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB AC AA1 2 ，BA CA 。
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北辰区2019年高考模拟考试试卷数学（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，20小题。
试卷满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第l卷（选择题共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出和，根据交集定义求得结果.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题.2.若实数，满足条件，则的最大值为（）A. 10B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，再将目标函数化为直线方程的斜截式，再画出直线，结合z的几何意义，从而得到将直线移动到过哪个点时取得最大值，接着联立方程组求得最优解，之后代入目标函数解析式，求得结果．详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：将目标函数化为，在图中画出直线，上下移动该直线，可以发现直线越往下，截距就越小，而目标函数z就越大，从而得到当直线过x轴与直线的交点时，截距达到了最小，从而z就取到最大，由，解得，此时，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解．3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可. 【详解】根据程序框图运行：输入，则，，，此时，循环；，，此时，循环；，，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构计算输出结果，属于基础题.4.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.5.下列说法正确的是（）A. 若为真命题，则，均为假命题；B. 命题“，”的否定是“，”；C. 等比数列的前项和为，若“”则“”的否命题为真命题；D. “平面向量与的夹角为钝角”的充要条件是“”；【答案】C【解析】【分析】根据含逻辑连接词的命题的真假性判断可排除；根据含量词命题的否定的知识可排除；当向量夹角为时可说明选项中的充要条件不成立，排除；通过判断原命题的逆命题为真，可知原命题的否命题为真，从而知正确.【详解】选项：为真，则为假，即至少有一个是假命题，可知错误；选项：原命题的否定为：，，可知错误；选项：若“”则“”的逆命题为：若“”则“”原命题的逆命题为真命题又逆命题与否命题同真假，可知原命题的否命题为真命题，可知正确；选项：当时，与夹角可能为，不是钝角，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的知识，涉及到四种命题之间的关系、含逻辑连接词的命题、含量词的命题的否定、充分条件与必要条件的判断的问题.6.已知函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最值的位置可求得，从而得到；将代入函数可求得的值.【详解】由题意可知：则：，即当时，此时，满足题意由此可知，的一个可能值为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用三角函数的性质求函数解析式的问题，的求解主要通过函数的周期来确定，则通过函数上的点代入函数方程的方式来进行求解.7.已知双曲线：的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 3【答案】D【解析】 【分析】根据渐近线方程和垂直关系可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，利用直线截圆所得弦长为可得关于的齐次方程，解方程求出.【详解】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：则直线方程为：，即由题意可知：圆的圆心，半径则圆心到直线的距离：整理可得：，即解得：或双曲线离心率本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率问题的求解，涉及到双曲线几何性质的应用、直线被圆截得的弦长问题，关键是能够通过直线被圆截得的弦长构造出关于的齐次方程，进而构造出关于离心率的方程，使问题得以求解.8.已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.【详解】由题意知：，设以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，，设则，当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.第II（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数：满足，其中是复数的共轭复数，则______。
【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算求得，进而得到，实部加虚部即可得到结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数的定义、复数的实部和虚部的定义，属于基础题. 10.若的展开式中的系数为7，则实数______。
【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可知的系数为，从而构造出关于的方程，求解得到结果. 【详解】展开式通项公式为：当，即时，，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理中利用指定项的系数求解参数的值的问题，属于基础题.11.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为整腾，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______。
【答案】【解析】【分析】将鳖臑放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑半径，利用外接球体积求解出；通过长度关系可确定阳马的外接球球心为中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接球表面积.【详解】鳖臑可看做如下图所示的长方体的一部分：则长方体外接球即为鳖臑的外接球外接球半径为：又连接，，交于，取中点，连接可知：则，可知为阳马的外接球球心，则外接球半径阳马的外接球表面积本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心的位置，进而求得半径.12.设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是______。
【答案】【解析】【分析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用基本不等式即可求得结果.【详解】=1，，.故答案为.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了微积分基本定理，积分的运算，属于中档题．13.已知在直角坐标系中，抛物线（为参数）的焦点为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于、两点，与轴相交于点，，则与的面积之比______。
【答案】【解析】【分析】将化为普通方程，化为直角坐标方程，利用求得，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得且，利用两点间距离公式可求得和，根据求得结果.【详解】由参数方程可得其普通方程为：，则直线的直角坐标方程为：，即设，，则由得：，，解得：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化.解决本题的关键是能够将问题转化为线段长度的比值.14.已知函数，若方程有且只有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是______。
【答案】【解析】【分析】通过分类讨论得到的解析式，通过零点在或可求得的范围，得时，在上有一个零点；当时，在上无零点；则讨论时，有一个零点和两个零点时的取值范围，综合时的结论，可得结果. 【详解】当时，当时，当时，设，则有且只有2个不相等的实数解等价于有且仅有个零点若一个零点位于，即若一个零点位于，即可知在，内不可能同时存在零点即当时，在上有一个零点；当时，在上无零点①当在上有且仅有一个零点时⑴当时，或此时在上无零点不满足有两个零点⑵当，即或时只需，即时，在上有且仅有一个零点时，在上有一个零点时，有且仅有个零点②当在上有两个零点时只需时，在上无零点时，有且仅有个零点综上所述：【点睛】本题考查根据函数零点的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够通过对二次函数图象的讨论，构造出在区间内有一个零点和两个零点的不等式，解不等式求得参数范围，本题对学生对于函数图象的理解有较高的要求.三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在中，角的对边分别为,已知，，（I）求边；（II）求。
【答案】（I）（II）【解析】【分析】（I）利用同角三角函数关系求出，再利用两角和差公式求得，由正弦定理求得结果；（II）由正弦定理求得，再利用余弦定理求得；利用二倍角公式求得，根据两角和差正弦公式得到结果.【详解】（I）且，，，（II）由正弦定理得：，又，【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，涉及到同角三角函数关系、两角和差正弦公式、二倍角公式的应用，属于常规题型.16.1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”，为提升学生的文化素养，养成多读书、读好书的文化生活习惯，某中学开展图书源流活动，让图书发挥它的最大价值，该校某班图书角有文学名著类图书5本，学科辅导书类图书3本，其它类图书2本，共10本不同的图书，该班班委会从图书角的10本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动。