[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第九章 第1讲 数列的基本概念 [配套课件]

错源：没有注意数列的单调性与函数单调性的区别 例 3：已知单调数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，求 k 的取 值范围． 误解分析：解本题易出现的错误是由an 是关于n 的二次函
k 数，其定义域为正整数集，若数列{an}递增，则必有 2≤1，故
k≤2.事实上，本题解法没有注意单调数列与单调函数的区别， 应根据单调数列的概念(判断an+1 与an 的大小)解题．
(2)a1＝1， a2＝2×1＋1＝3， a3＝2×3＋1＝7， a4＝2×7＋1＝15. 可推测数列{an}的通项公式为 an＝2n－1. 数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首 项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不 同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提， 加强类比是探索某些规律的常用方法之一．
4n＋3 1 1 1 1 ＝ ＋ － ＝ － 2n＋1 2n＋2 n＋1 (2n＋1)(2n＋2) n＋1 (4n＋3)－(4n＋2) 1 ＝ ＞0. ＝ (2n＋1)(2n＋2) (2n＋1)(2n＋2) 即 an＋1＞an，n∈N*，∴数列{an}为递增数列．
例 4：某个 QQ 群中有 n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏， 这些同学依次编号为 1,2，…，n.在哈哈镜中，每个同学看到的 像用数对(p，q)(p<q)表示，规则如下：若编号为 k 的同学看到 像为(p，q)，则编号为 k＋1 的同学看到像为(q，r)，且 q－p＝
示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 an＝f(n).
5．递推公式 如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项 an 与它 的前一项 an-1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 an＝f(an-1)或 an＝f(an-1，an-2)，那么这个式子叫做数列{an}的递 推公式．如数列{an}中，a1＝1，an＝2an+1，其中 an＝2an+1 是数列{an}的递推公式． 6．数列的前 n 项和与通项的公式 a1＋a2＋…＋an (1)Sn＝_______________. S1 (n＝1) Sn－Sn－1 (n≥2) (2)an＝___________________
第 1 讲
数列的基本概念
1．数列的定义 一定顺序排列的一列数 按照_____________________称为数列，数列中的每个数称 为该数列的项． 2．数列的表示方法 解析法 图像法 列表法 _______、_______、_______．
3．数列的分类 有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列， 常数数列．
经检验 n＝1 时，a1＝1 也适合 an＝4n－3. 数列{an}的通项公式是an＝4n－3. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3， 当 n≥2 时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n.
∴数列{an}的通项公式是
3 an＝ 2n

(n＝1) . (n≥2)
【互动探究】 2．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则 3 2n－11 此数列的通项公式为______；数列{nan}中数值最小的项是第__ 项.
2．由 Sn 求 an 时利用公式
S1 a n ＝ Sn－Sn－1
(n＝1) ，注意验 (n≥2)
证 a1 是否包含在 Sn－Sn－1 的结果中，若不符合要单独列出，形 如 f(Sn，an，n)＝0 的递推关系式，一般考虑上述公式．
3．求数列中最大(最小)项的方法： (1)若
an≥an＋1 an 最大，则 an≥an－1
正解：∵an＝n2－kn(n∈N*)， ∴an+1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k， ∵数列{an}单调递增，∴an+1－an>0， 即2n＋1－k>0 恒成立，∴k<2n＋1，则 k<3. 纠错反思：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别, 即数列所对应的函数单调,则数列一定单调,反之,若数列单调,其 所对应的函数不一定单调,关键是数列是定义域为正整数集的特殊 函数.所以,数列的单调性一般要通过比较an+1与an的大小来判断, 若an+1>an,则数列为递增数列,若an+1<an,则数列为递减数列.
an+1>an (1)递增数列：对于任何 n∈N*，均有_______. an＋1<an (2)递减数列：对于任何 n∈N*，均有_______.
(3)摆动数列：例如：－1,1，－1,1，－1，…. (4)常数数列：例如：6,6,6,6，…. 4．通项公式
序号n 如果数列 {an}的第 n 项与_______之间可以用一个式子表
∴an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1) (n－1)(2＋n) ＝2＋3＋…＋n＝ . 2 (n－1)(2＋n) n2＋n＋10 an＝ ＋6＝ . 2 2 n2－n＋10 bn＝an－n＝ . 2 经检验 n＝1 时，上式也成立． ∴编号为 n
n2－n＋10 n2＋n＋10 . 的同学看到的像是 ， 2 2
1 ⑤an＝ 0
＋ (n为正偶数) 1－(－1)n 1 ；⑥an＝ 2 (n为正奇数)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( B ) A．28 B．32 C．33 D．27
3．已知数列{an}的前六项为 1,1＋2,1＋6,1＋12,1＋20，…， 则该数列的一个通项公式( C ) A．1＋n(n＋1) C．1＋n(n－1) B．1＋2n D．以上都不是
【互动探究】 4．会变形的“KOKO 岛”，前三天的形状如图 9－1－3， 每两条线段的交点称为“KOKO 岛”的顶点，第一天的顶点数 为 12，第二天的顶点数为 20，按照这样的变化规律，则第 n(n ∈N*)天的顶点数为 ( C )
图 9－1－3
A．n＋n2 C．(n＋2)＋(n＋2)2
B．(n＋1)＋(n＋1)2 D．(n＋3)＋(n＋3)2
.
1．已知数列的{an}的前四项分别为 1,0,1,0，则下列各式可 作为数列{an}的通项公式的个数有( C ) 1 n ＋1 2nπ ①an＝2[1＋(－1) ]；②an＝sin 2 ； 1 ＋ ③an＝2[1＋(－1)n 1]＋(n－1)(n－2)； 1－cosnπ ④an＝ (n∈N*)； 2
中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数 又是正方形数的是( C ) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
考点 2 通项公式与前n 项和公式 例 2：已知数列{an}的前 n 项和为 Sn.按照下列条件求数列 的通项公式． (1)若 Sn＝2n2－n，求数列{an}的通项公式； (2)若 Sn＝n2＋n＋1，求数列{an}的通项公式． 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.
4．下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集{1,2,3，…， n})上的函数； ②数列的项数是有限的；
③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的． ①③ 其中说法正确的是______(填序号)． 5．图 9－1－1 是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设 4n＋8 的若干图案，则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖_______块 (用含 n 的代数式表示)．
k(p、q、r∈N*)．已知编号为 1 的同学看到的像为(5,6)． (1)请根据以上规律分别写出编号为 2 和 3 的同学看到的像； (2)求编号为 n 的同学看到的像． 解析：(1)由题意规律，编号为2 的同学看到的像是(6,8)； 编号为3 的同学看到的像是(8,11)． (2)设编号为n的同学看到的像是(bn，an)，则b1＝5，a1＝6， 当n≥2 时，bn＝an-1. 由题意an－bn＝n，∴an－an-1＝n(n≥2)．
图 9－1－1
考点 1 通项公式与递推公式 例 1：已知数列{an}满足 an+1＝2an＋1，n∈N*. (1) (1)若 a1＝－1，写出此数列的前 4 项，并推测数列的通项公 1 式； (2)若 a1＝1，写出此数列的前 4 项，并推测数列的通项公式．
解析：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测数列{an}的通项公式 an＝－1.
有关数列的试题在每年的高考试题中一般是 1 大 1 小(或 2) 小，超过本章在教学中所占课时比例，这是因为数列知识是考 查学生转化与化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重 要题源，容易命制背景新颖的试题，较好体现高考的选拔能力， 对数列知识与思想的考查，不会减弱，只会加强，并注重等差 数列与一次函数、等比数列与指数函数等结合形成压轴题进行 考查．
【互动探究】
a－b 5 10 17 1．(1)数列 3 ， 8 ， ， 24 ，…中，有序实数对(a， a＋b 41 11 ，－ b)可以是___________. 2 2 (2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，
如图 9－1－2：
图 9－1－2 他们研究过图 9－1－2(1)中的 1,3,6,10，…，由于这些数能 够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 9－1－2(2)
解析：第一天的顶点数为3＋32，第二天的顶点数为4＋42， 归纳出第n天的顶点数(n＋2)＋(n＋2)2.
1．根据数列的前几项求其通项公式时，需要仔细观察分析 数列的特征：(1)分数中的分子与分母的特点．(2)相邻项的变化 规律．(3)各项的符号特征．(4)拆项后的变化规律．并对此进行 归纳、化归、展开联想．
；若
an≤an＋1 an 最小，则 an≤an－1
.
(2)考虑数列的单调性．