中科大高等工程数学总结

，,,x=0或负整数，都为无穷大.。,=。f(x)在[-T/2,T/2]上满足除去有限个第一类间断点外处处连续，分段单调，单调区间个数有限f(x)~+,=2/T.

=dx,=,=.f(x)=,,周期T.付氏积分公式的三角形式f(x)==,其中a()=, b()=.=。重要结论：对单方脉冲函数f(x)=E,|x|

[f(x)]=.(ax)=(x)/|a|.脉冲微分=.F [sgnx]=.对单位阶跃函数

u(x)=[1+sgnx]/2, F [u(x)]=+(), F [cosx]=[()+()], F [sinx]=[()-()].对称性F()=F [f(x)],则F [F(x)]=2f(-).位移性质F [f(x)]=

F [f(x)],坐标缩放F [f(ax)]=F [f()],乘积定理=d.傅立叶微分F [(x)]=,[()]=,积分F [d]=+.互相关==*=,=.拉普拉斯,对阶跃函数

L[u(x)]=1/s(Res>0).L[]=1/(s-k),(Res>k). L[sin]=. L[]=,(>-1,Res>0). L[]=对函数f(x),存在M>0,>0,使|f(t)|M,则在Res>上L[f(t)]存在。拉普拉斯微分L[]=F(s)-f(0)-

…-(0).积分性质L[f(t)/]=(积分n次), L[]=F(s). L[=F(s-a),

[Re(s-a)>]. L[f(t-)]=. L[f(at)]=.存在,则f()=.sF(s)所有奇点都在s平面左半边,则有f(+)=.留数定理,使奇点全在Res<范围内,当s,

时,F(s)0,有=(为有限个的所有孤立奇点).F(s)=,A(s)n次,B(s)m

次,n0).变分:一元一阶欧拉方程=0(1.当f=f(y,y’),该式变为

f-y’=c;2.f=p(x,y)+q(x,y)y’时,方程变为-=0).一元高阶欧拉泊松方程:+…+=0.正一次齐次函数g(x,,…, ,,,…,)泛函欧拉方程组为

-=0,-=0,i=1,…,m.常用的情形1.dxdy,--+(++…+)=0.

2.d…d,:---…-=0.

3.dxdy--=0,--=0.J(y)=dx,考虑欧拉方程后,:J[y]=+=0;

取常数,=0,任意;、任意;(,)沿光滑曲线y=(x)变动,=(),()=[()],

得:=(0)=().对J(y)=dx,考虑欧拉方程后,有J[y]= ++=0(特别的,当右端点(,)沿=()变动,Y’()=Ψ(),得=(),=()).多未知数时:

J(y,z)=dx,y=y(x),z=z(x)使泛函取极值，则满足欧拉方程组=0,=0,最终有J(y,z)=++=0(特别的,(,,)沿光滑曲线y=(x),z=Ψ(x),有=(),=()).对于多元二阶导函数J(y(x),z(x))=dx,J(y(x),z(x))=+(+++=0.对于多元函数的可动边界问题:J[u]=dxdy,J[u]=(ds是弧长的微分)

带有尖点极值曲线.泛函J(y)=dx,曲线上有尖点(,),Φ’(0)=dx+dx+{[]—[]}+[]=0.取极值曲线满足欧拉方程=0,则J={[]—[]}+[]=0(尖点沿光滑曲线y=(x)变动时,=()).对于依赖空间曲线的泛函

J(y,z)=dx+dx,当尖点(,,)可随意变动时,尖点方程为[]=[],,;当尖点沿曲线=(),=()变动,尖点方程为[]=[],以及=(),=().当尖点在光滑曲面

g(x,y,z)=0上变动时,设0,尖点方程为[—/]=[—/],[—/]=,[—/],

g(,,)=0.等周问题,1.空间曲线Γ:y=y(x),z=z(x)使泛函J(y,z)=dx在等周条件K[y,z]=dx=l和固定边界条件y=, y=, z=, z=下取得极值,且曲线Γ不是K[y,z]的极值曲线,必存在λ使Γ为辅助泛函S=dx的极值曲线,其中H=f+λg,即曲线Γ满足欧拉方程组-=0,-=0.

2. 求空间曲线Γ:y=y(x),z=z(x)在光滑曲面g(x,y,z)=0上所有连接两定点A(,,),B(,,)使泛函J(y,z)=dx在Γ取得极值.若曲线Γ满足

g(x,y,z)=0以及固定边界条件y()=, z()=, y()=, z()=,且沿着

(x,y,z)0,(x,y,z)0必存在λ(x)使Γ为辅助泛函S=dx的极值曲线,其中H=f+λg,即曲线Γ满足欧拉方程组-=0,-=0,其中H=f+λg=0,=g=0. 三次哈密特曲线:Hermite曲线方程为P(t)-,·T确定了一组哈密特基函数,(t),(t),(t),(t),·T=

=.哈密特曲线被表示成,,,的加权和:P(t)=+++ Bernstein基函数(t)==(1-t)(t)+t

=(t)+(t),t[0,1]

=n[(t)-(t)]

=,i=0…n

Bézier曲线:P(t)=(t),其中=为控制点