中科大高等工程数学总结

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中科大高等数学

中科大高等数学在中科大的众多优秀课程中，高等数学无疑是备受瞩目的学科之一。

它不仅是理工科专业的基础课程，更是培养逻辑思维、问题解决能力和创新精神的重要载体。

本文将分析高等数学的主要知识点和难点，探讨学习高等数学的方法和技巧，并总结高等数学对职业发展和学术研究的作用。

一、高等数学的知识点和难点高等数学涵盖了许多知识点，其中主要包括函数、极限、导数、积分、微分方程等。

这些知识点相互关联，构成了一个完整的理论体系。

然而，许多学生在学习过程中都会遇到一定的困难。

例如，函数的性质和图像分析，极限的求解，导数的计算，以及积分的应用等，这些都是高等数学中的重点和难点。

二、学习高等数学的方法和技巧为了更好地掌握高等数学，我们需要采取合适的学习方法和技巧。

首先，要打牢基础知识，加强对基本概念的理解。

其次，通过多做习题来提高解题能力，尤其是针对典型题型和历年试题进行深入研究。

此外，要注重理论联系实际，学会将所学知识应用于实际问题。

最后，及时复习总结，形成自己的知识体系。

三、高等数学对职业发展和学术研究的作用高等数学在职业发展和学术研究中具有举足轻重的地位。

首先，掌握高等数学有助于提高专业素养，为从事相关领域工作打下坚实基础。

例如，在工程、物理、计算机科学等领域，高等数学的知识都是必不可少的。

其次，高等数学锻炼了我们的思维能力，使我们在解决复杂问题时能更加游刃有余。

此外，对于学术研究，高等数学为许多理论提供了数学支持，使我们能够更加深入地探讨科学问题。

四、提高高等数学成绩的建议1.制定合理的学习计划，确保充足的学习时间。

2.积极参与课堂讨论，向老师请教疑难问题。

3.养成良好的做题习惯，注重解题方法和技巧的积累。

4.结交志同道合的同学，共同学习、共同进步。

5.保持积极的心态，勇于面对学习中的困难。

总之，中科大高等数学作为一门具有重要意义的学科，值得我们投入时间和精力去学习。

通过掌握高等数学的知识点和技巧，我们不仅能提高自己的学术素养，还能为未来的职业发展奠定坚实基础。

2015华中科技大学高等工程数学考点

高等工程数学（数值分析）复习一、期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。

二、考核知识点、复习要求第1章误差考核知识点●误差的来源类型；截断误差；舍入误差。

第2、3章函数插值与函数逼近考核知识点●构造插值多项式的方法：（1）待定系数法（2）基函数法（3）承袭性思想。

●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;差商与导数的关系（P25性质3）●含导数插值条件（Hermite插值）的构造法；余项表达式（P50习题11）●最小二乘法，法方程组。

第4章数值积分与微分考核知识点●数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；●插值型求积公式，牛顿―科特茨求积公式及其性质（P95 定理4.4），第5章常微分方程的数值解法考核知识点欧拉公式，梯形公式，改进欧拉法，局部截断误差；第6章线性方程组的数值解法考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法，迭代解序列收敛的条件。

第7章方程求根考核知识点迭代法；牛顿法。

内容：截断误差；舍入误差；拉格朗日插值，插值基函数, 牛顿插值，差商;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法, 迭代解数列收敛的条件，列主元消去法，代数精度，Newton-Cotes求积公式，欧拉法，改进欧拉公式，牛顿迭代法；HW: p.13-14 #5,#12p.49#2，#3，#4p.50 #9,#11,#16p.85,86#7，#8p.121 #1，#4p.152-153 #2, # 3#5, #6p.202 #6,#7p.229 #5, #6, #7p.229 #9, #10,#11。

工科数学分析大一知识点总结

工科数学分析大一知识点总结大一工科数学分析知识点总结工科数学分析是工科学生大一必修的一门课程，主要介绍了数列、极限、导数、微分、积分等基本概念和计算方法。

本文将对大一工科数学分析的知识点进行总结。

一、数列与极限1. 数列的定义和性质：数列是按照一定规律排列的数的集合。

常见数列有等差数列、等比数列等。

数列有界的概念和数列极限的概念也需要了解。

2. 极限的定义和性质：极限是数列逐渐趋向于某个值的过程。

可以通过极限的唯一性、夹逼定理等性质求解极限。

3. 常见的数列极限：包括常数列、幂函数列、指数函数列、对数函数列等。

二、函数与导数1. 函数的定义和性质：函数是一种对应关系，将自变量的取值映射到因变量的取值。

函数的定义域、值域、图像等概念需要了解。

2. 导数的概念和性质：导数描述了函数在某一点上的变化率。

导数的定义、求导法则、高阶导数等需要掌握。

3. 常见函数的导数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算。

三、微分学应用1. 微分中值定理和导数的应用：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，以及函数的单调性、极值等问题。

2. 泰勒展开和泰勒级数：泰勒展开是将函数表示为无穷级数的形式，可以用于计算函数的近似值。

四、积分学1. 不定积分的定义和性质：不定积分是求解导数的逆过程，表示函数的原函数。

不定积分的基本性质和计算方法需要掌握。

2. 定积分与积分中值定理：定积分用于计算曲线下面的面积或弧长等问题。

积分中值定理可以用于计算定积分的近似值。

3. 常见函数的积分：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分计算。

总结：通过对大一工科数学分析的学习，我们可以掌握数列与极限、函数与导数、微分学应用、积分学等基本知识和计算方法。

这些知识点对于工科学生的后续学习和工作都具有重要意义，因此需要认真学习和掌握。

以上就是大一工科数学分析的知识点总结，希望对你有所帮助。

通过深入理解和充分练习，相信你能够顺利掌握这门课程的内容。

中科院考研数学总结知识点

中科院考研数学总结知识点在中国科学院研究生院进行数学考研的准备过程中，需要系统地复习数学知识，掌握考研数学的考点和解题技巧。

以下将围绕中科院数学考研的特点和重点知识点展开总结。

一、中科院数学考研的特点1. 数学专业课考试难度大相比其他院校，中科院数学专业课考试难度较大，题目涵盖范围广泛，涉及面广，需要考生具备一定的数学基础知识和解题能力。

2. 数学基础课程要求高中科院数学考研对数学基础知识的要求相对较高，包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础课程。

3. 解题技巧和应用能力考察中科院数学考研注重考生的解题技巧和应用能力，题目往往需要考生通过综合运用不同知识点进行分析和解答。

二、中科院数学考研的重点知识点1. 高等数学高等数学是数学专业考研的基础和重点，主要包括微积分、多元函数、常微分方程等内容。

在复习高等数学时，重点需要掌握微积分的基本原理和方法，熟练掌握常见函数的性质和求导、积分等运算方法，了解多元函数的概念、性质及求导、积分等基本方法，掌握常微分方程的基本理论和解法。

2. 线性代数线性代数是数学中的重要分支，涉及向量空间、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。

在复习线性代数时，需要重点掌握向量空间的基本概念和性质，熟练掌握矩阵的运算方法和性质，了解行列式的定义和性质，掌握特征值、特征向量的求法和应用等内容。

3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是数学专业考研中的重要课程，内容包括事件与概率、随机变量、概率分布、期望、方差、大数定律、中心极限定理、参数估计、假设检验等。

在复习概率论与数理统计时，需要重点掌握基本概率原理和运算法则，了解常见的概率分布及其性质，掌握参数估计和假设检验的基本方法，熟练应用数理统计方法解决实际问题。

4. 数学分析数学分析是数学专业的核心课程，内容包括实数、极限、连续、导数、积分、级数等。

在复习数学分析时，需要重点掌握实数的基本性质和完备性，了解极限的概念和性质，掌握导数和积分的基本理论和运算方法，熟练掌握级数收敛的判定方法等内容。

工程数知识点总结

工程数知识点总结工程数学是工程领域中的一门基础学科，它是数学的一个分支，旨在为工程问题建立数学模型，并使用数学方法解决工程中的问题。

工程数学的研究内容非常广泛，包括微积分、线性代数、概率统计、离散数学等多个方面的知识。

本文将从工程数学的基本概念和基本原理出发，系统地介绍工程数学的各个知识点。

一、微积分微积分是工程数学中最重要的一个分支，它是研究函数的极限、导数、积分和级数的数学方法。

在工程领域中，微积分被广泛应用于求解各种问题，包括曲线的长度、曲线下面积、物体的体积和表面积、动力学分析、电路分析等。

因此，对微积分的学习是工程学生的必修课程。

1.1 函数的极限与连续性几乎所有的微积分知识都是建立在函数的极限和连续性基础上的。

函数的极限是描述函数在某一点附近的变化趋势，它是微积分的基本概念。

函数在某一点处的极限存在的充分必要条件是函数在该点处连续。

因此，函数的连续性也是微积分中的重要内容。

1.2 导数与微分导数是描述函数在某一点处的变化率，它是微积分的重要概念。

在工程中，导数被广泛应用于求解问题的最优解，如最小化成本、最大化收益等。

微分是导数的一种近似表达，它被应用在函数近似和微分方程的求解中。

1.3 积分与不定积分积分是描述函数下方的面积，它是微积分的另一重要概念。

在工程领域中，积分被广泛应用于求解曲线下的面积、物体的体积和表面积等。

不定积分是积分的一种形式，它是积分的反运算，常用于求解不定积分方程。

1.4 微分方程微分方程是描述自变量和因变量及其导数之间关系的方程，它是微积分在实际问题中的应用。

在工程领域中，微分方程被广泛应用于描述动力学系统、电路系统、热传导系统、弹性系统等，因此它是工程数学中非常重要的知识点。

二、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学方法，它是工程数学中的另一个重要分支。

在工程问题中，线性代数被广泛应用于解决线性方程组、矩阵运算、特征值和特征向量等问题，因此对线性代数的学习也是工程学生的必修课程。

高等工程数学复习重点

1.线性变换定义、例子、表示矩阵求法、作用
2.线性变换特征值、特征向量、定义、求法
3.范数定义、向量、矩阵常见范数、求范数
4.矩阵对角化——对角化方法与Jordan标准型的关系、矩阵Jordan标准型的求法
5.子空间定义、常见字空间的构造、直和子空间、分解为直和
6.矩阵的零空间、R n在零空间下的直和分解
7.矩阵的域空间
8.代数精度的定义
9.Newton-Cotes求积公式中节点的定义、性质、与代数精度的关系
10.Newton迭代法的构造及构造原理
11.牛顿插值的定义、差商的定义、性质
12.代数线性方程组的几何数值计算方法
13.主元的定义、类型、在算法中的作用
14.线性方程组中的迭代解法中有关收敛的结论
15.插值多项式构造方法——拉格朗日、牛顿、埃尔米特插值
16.插值余项的定义、构造
17.正态总体下抽样分布的结论
18.t-、x2-、F- 分布有关构造结论
19.单正态总体有关参考数区间估计的结论
20.距估计定义、求法
21.极大似然估计定义、求法、性质（微分法、定义法）
22.常见分布：（0-1）、β（n，p），P（λ），G（p），U（a，b），E（λ），N（µ，σ2）
23.X2-拟合优度检验
24.单因素方差分析、条件、结论、算法、方差分析表
25.回归分析定义、科学意义、条件（G-M条件）、最小二乘法算法、性质、一元线性回归
方程的求法、应用。

高等工程数学

摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。

内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。

关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。

容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。

1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。

如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。

1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。

中科大高等工程数学总结

，,,x=0或负整数，都为无穷大.。

,=。

f(x)在[-T/2,T/2]上满足除去有限个第一类间断点外处处连续，分段单调，单调区间个数有限f(x)~+,=2/T.=dx,=,=.f(x)=,,周期T.付氏积分公式的三角形式f(x)==,其中a()=, b()=.=。

重要结论：对单方脉冲函数f(x)=E,|x|</2F[f(x)]=.(ax)=(x)/|a|.脉冲微分=.F [sgnx]=.对单位阶跃函数u(x)=[1+sgnx]/2, F [u(x)]=+(), F [cosx]=[()+()], F [sinx]=[()-()].对称性F()=F [f(x)],则F [F(x)]=2f(-).位移性质F [f(x)]=F [f(x)],坐标缩放F [f(ax)]=F [f()],乘积定理=d.傅立叶微分F [(x)]=,[()]=,积分F [d]=+.互相关==*=,=.拉普拉斯,对阶跃函数L[u(x)]=1/s(Res>0).L[]=1/(s-k),(Res>k). L[sin]=. L[]=,(>-1,Res>0). L[]=对函数f(x),存在M>0,>0,使|f(t)|M,则在Res>上L[f(t)]存在。

拉普拉斯微分L[]=F(s)-f(0)-…-(0).积分性质L[f(t)/]=(积分n次), L[]=F(s). L[=F(s-a),[Re(s-a)>]. L[f(t-)]=. L[f(at)]=.存在,则f()=.sF(s)所有奇点都在s平面左半边,则有f(+)=.留数定理,使奇点全在Res<范围内,当s,时,F(s)0,有=(为有限个的所有孤立奇点).F(s)=,A(s)n次,B(s)m次,n<m,B(s)零点为,对应阶数为(+…+=m),则在f(t)连续点处成立f(t)=(t>0).变分:一元一阶欧拉方程=0(1.当f=f(y,y’),该式变为f-y’=c;2.f=p(x,y)+q(x,y)y’时,方程变为-=0).一元高阶欧拉泊松方程:+…+=0.正一次齐次函数g(x,,…, ,,,…,)泛函欧拉方程组为-=0,-=0,i=1,…,m.常用的情形1.dxdy,--+(++…+)=0.2.d…d,:---…-=0.3.dxdy--=0,--=0.J(y)=dx,考虑欧拉方程后,:J[y]=+=0;取常数,=0,任意;、任意;(,)沿光滑曲线y=(x)变动,=(),()=[()],得:=(0)=().对J(y)=dx,考虑欧拉方程后,有J[y]= ++=0(特别的,当右端点(,)沿=()变动,Y’()=Ψ(),得=(),=()).多未知数时:J(y,z)=dx,y=y(x),z=z(x)使泛函取极值，则满足欧拉方程组=0,=0,最终有J(y,z)=++=0(特别的,(,,)沿光滑曲线y=(x),z=Ψ(x),有=(),=()).对于多元二阶导函数J(y(x),z(x))=dx,J(y(x),z(x))=+(+++=0.对于多元函数的可动边界问题:J[u]=dxdy,J[u]=(ds是弧长的微分)带有尖点极值曲线.泛函J(y)=dx,曲线上有尖点(,),Φ’(0)=dx+dx+{[]—[]}+[]=0.取极值曲线满足欧拉方程=0,则J={[]—[]}+[]=0(尖点沿光滑曲线y=(x)变动时,=()).对于依赖空间曲线的泛函J(y,z)=dx+dx,当尖点(,,)可随意变动时,尖点方程为[]=[],,;当尖点沿曲线=(),=()变动,尖点方程为[]=[],以及=(),=().当尖点在光滑曲面g(x,y,z)=0上变动时,设0,尖点方程为[—/]=[—/],[—/]=,[—/],g(,,)=0.等周问题,1.空间曲线Γ:y=y(x),z=z(x)使泛函J(y,z)=dx在等周条件K[y,z]=dx=l和固定边界条件y=, y=, z=, z=下取得极值,且曲线Γ不是K[y,z]的极值曲线,必存在λ使Γ为辅助泛函S=dx的极值曲线,其中H=f+λg,即曲线Γ满足欧拉方程组-=0,-=0.2. 求空间曲线Γ:y=y(x),z=z(x)在光滑曲面g(x,y,z)=0上所有连接两定点A(,,),B(,,)使泛函J(y,z)=dx在Γ取得极值.若曲线Γ满足g(x,y,z)=0以及固定边界条件y()=, z()=, y()=, z()=,且沿着(x,y,z)0,(x,y,z)0必存在λ(x)使Γ为辅助泛函S=dx的极值曲线,其中H=f+λg,即曲线Γ满足欧拉方程组-=0,-=0,其中H=f+λg=0,=g=0. 三次哈密特曲线:Hermite曲线方程为P(t)-,·T确定了一组哈密特基函数,(t),(t),(t),(t),·T==.哈密特曲线被表示成,,,的加权和:P(t)=+++ Bernstein基函数(t)==(1-t)(t)+t=(t)+(t),t[0,1]=n[(t)-(t)]=,i=0…nBézier曲线:P(t)=(t),其中=为控制点。

《高等工程数学》课程总结与体会

短暂又充实的学习时光结束了，这学期我学习了《高等工程数学》这门课程，这门课程是一门研究生重要的数学基础课，涵盖了矩阵论、数值分析、数理统计等内容。

要求以掌握和应用高等工程数学问题的数学方法为主导，使工学硕士研究生掌握一定的数学理论基础知识，能为今后的进一步学习和解决生活、工作中遇到的实际工程数学问题打下坚实的基础。

通过学习这门课程，我的学习总结与体会如下：1.矩阵论。

一个方阵化为对角形的条件十分苛刻，对于n阶矩阵A，其可对角化的充要条件是有n个线性无关特征向量。

具体来说，就是要求A有n个互异的特征值。

显然不是每一个矩阵都可以化为对角形，但是在实数范围内，任意矩阵却可以化为一个分块对角形，而这个分块对角形就是所谓的Jordan标准型。

矩阵化Jordan型的方法总结如下：对λ矩阵经过一系列三类初等行(列)变换，先观察矩阵的特点，使得左上角的元素次数逐渐降低，最终降低到可以整除矩阵内的其他所有元素。

然后得到λ矩阵的不变因子，求出Smith标准型，再求出初等因子，最后通过定义组合出Jordan型矩阵。

这个地方我在计算的时候，老是化出来的矩阵不对，我的错误主要在于：三类初等变换的运用。

在第二类初等变换中所乘的项必须为非0常数，且不可使用多项式。

在第三类初等变换中只能使用多项式，不能使用分式。

在经过大量题目的训练后，我再也不会犯这种概念不清的错误了，解题正确率也上去了。

由此可见，理解数学概念十分重要。

2.误差分析。

在很多情况下，对于实际问题的描述，我们往往得不到最为精确的函数表达，我们只有通过对所描述的问题进行抽象、简化，得到它的近似模型，通过近似模型来反应真实的函数关系。

在这个过程中，就会产生误差，而由误差带来的影响，有时会很严重。

运用计算机进行数值计算的时候，需要注意以下几个原则：1.避免两相近的数相减。

2.避免大数“吃”小数的现象。

3.避免接近零的数做除数。

4.注意计算步骤的简化，减小运算次数。

其中1、3条准则在实际应用时十分重要。

中科大-组合数学复习知识点

中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。

解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。

若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。

若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。

解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。

定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。

解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。

数学物理方程学习总结-中国科学技术大学

2 ∂2u 2∂ u = a ∂t2 ∂x2
(1.23)
可以在用特征线进行代换 ξ1 = x − at, x2 = x + at 后化为标准型 ∂2u =0 ∂ξ1 ∂ξ2 分别对 ξ1 , ξ2 积分就得到通解 u = f (x − at) + g (x + at) f, g 为任意光滑函数，这组解因物理意义称为行波解对于有较大物理意义的定解问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a 2 ∂x2 ∂t u|t=0 = φ(x) ∂u = ψ (x) ∂t t=0 有 d’Alembert 公式 1 1 u(x, t) = [φ(x − at) + φ(x + at)] + 2 2a ˆ
第一章
偏微分方程定解问题
7
1.5.2
双曲型方程
此时特征方程有两支解，分别对应 √ √ dy a12 + ∆ a12 − ∆ dy = = 与 dx a11 dx a11
(1.21)
可以解出两组特征线 φ1 = h1 , φ2 = h2 ，使用特征线对应的函数进行代换 (ξ1 = φ1 (x1 , x2 ), ξ2 = φ2 (x1 , x2 )，此时可以验证 Jacobi 行列式非零），即有 A11 = A22 = 0。方程化为标准型
1.3 偏微分方程的定解条件
未包含其他条件的“裸的”偏微分方程是泛定方程，用于确定解中未知函数的条件称为定解条件，泛定方程配上恰好足够的定解条件构成一套定解问题。习惯上把一些物理问题中的出的定解条件分为初始条件、边界条件、衔接条件等。
1.3.1
初始条件
∂mu ∂tm
给出未知函数 u 及其对时间的诸偏导数值。
i i 1 2 n

中科大高等数学导论 -回复

中科大高等数学导论-回复什么是高等数学？高等数学是数学的一个分支，也是大学数学教学中的核心内容之一。

它是指在高中数学的基础上，进一步深入研究数学的各个领域，如微积分、线性代数、概率论与数理统计等。

作为一门抽象的学科，高等数学在实际生活中的应用非常广泛，几乎渗透在各个领域。

首先，我们来说说高等数学中的微积分。

微积分是研究反演问题和变化速率的一种数学工具。

它由微分学和积分学两个部分组成。

微分学主要研究函数的变化速率以及变化速率的变化率，而积分学则主要研究曲线下的面积和曲线的长度等。

微积分的应用非常广泛，例如物理学中的运动学和力学、经济学中的边际收益和边际成本、工程学中的热力学和电路分析等。

掌握微积分对于理解自然现象和解决实际问题的能力至关重要。

接下来，我们来谈谈高等数学中的线性代数。

线性代数是关于线性空间和线性映射的研究。

它主要研究向量空间中的向量、向量空间的性质、线性映射的性质和线性方程组的解法。

线性代数的应用非常广泛，例如机器学习中的特征向量和特征值、计算机图形学中的几何变换和投影矩阵、密码学中的矩阵乘法和逆矩阵等。

掌握线性代数可以帮助我们更好地理解和应用于现实生活中的各种问题。

此外，我们还可以提及高等数学中的概率论与数理统计。

概率论研究的是随机事件的概率和统计规律，数理统计则研究如何根据样本数据来对总体进行推断。

概率论与数理统计广泛应用于金融领域、医学领域、社会科学领域等。

例如，金融领域中的风险评估和投资组合优化、医学领域中的药效研究和流行病学调查、社会科学领域中的调查统计和样本调查等。

掌握概率论与数理统计可以帮助我们更好地分析和处理各种随机事件和统计数据。

最后，我们来总结一下高等数学的重要性。

高等数学作为数学的一个重要分支，不仅有助于培养抽象思维和逻辑推理能力，还在各个领域中具有广泛的应用。

通过学习高等数学，我们能够更好地理解自然现象、解决实际问题和提高分析能力。

因此，深入学习和掌握高等数学是每个大学生都需要付出努力的重要一步。

大学数学总结知识点归纳

大学数学总结知识点归纳数学作为一门重要的学科，是自然科学和工程技术的基础。

在大学数学课程中，学生学习了许多重要的数学知识点，这些知识点包括代数、微积分、几何、线性代数等。

本文将对大学数学中的一些重要知识点进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和掌握这些知识。

本文将从代数、微积分、几何和线性代数四个方面进行总结和归纳。

一、代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数与字母之间的关系、数与数之间的关系以及数学结构。

在大学数学课程中，学生学习了许多重要的代数知识，包括方程、函数、数列、集合、矩阵等。

其中，方程与函数是代数的重要内容。

1. 方程方程是代数中的一个基本概念，是等式关系的一种特殊形式。

在大学数学课程中，学生学习了一元一次方程、一元二次方程、多项式方程、分式方程等。

解方程是代数中的一个重要技能，它可以帮助人们解决实际问题，如物理问题、经济问题等。

在解方程时，可以使用代数的方法，如移项、合并同类项、配方法、因式分解等。

2. 函数函数是代数中的一个重要概念，它是一个映射关系，将自变量映射到因变量。

在大学数学课程中，学生学习了常见的函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

函数是数学中的一个重要工具，它可以描述自然现象、科学问题和工程应用中的变化规律。

在研究函数时，可以用代数的方法，如求导、积分、极限等。

二、微积分微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律、曲线的斜率与曲率、函数的积分与微分等。

在大学数学课程中，学生学习了微积分中的一些重要概念和方法，包括导数、积分、微分方程、级数等。

其中，导数和积分是微积分的两个重要内容。

1. 导数导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率。

在大学数学课程中，学生学习了求导的方法，包括基本导数公式、求导法则、隐函数求导、高阶导数等。

导数在数学中有许多重要应用，如切线问题、极值问题、曲线的凹凸性等。

在研究导数时，可以使用微积分的方法，如极限、微分、泰勒展开等。

工程数学第四版期末总结

工程数学第四版期末总结
本文通过例题介绍了工程数学的基础知识、应用实例，是高等职业院校“机械设计与制造”专业一门重要的基础课。

这部分内容包括：集合和基本运算、数列、函数极限与连续性、导数及其应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数微分学、重积分、无穷级数、曲线曲面积分、常微分方程初步、控制系统中的数学模型简介、计算机在数学上的应用以及利用计算机解常微分方程等，并在最后给出了几个具有综合性的例子。

在工程技术中，离散化问题已成为广泛使用的计算机辅助工程（ CAD）的关键环节之一。

因此本章将着重讨论离散型变量的极限与连续型变量的极限。

例如，在设备管理、图形输入、动画处理、故障诊断、试验研究等领域都需要对采样信号进行变换；也正由于离散型变量的极限在现代科学技术各个领域被广泛地采用，所以在本书第四版中，我们增加了连续型变量的极限的相关内容。

- 1 -。

中科院高等工程数学-05

高等工程数学
Advanced Engineering Mathematics
R21006Y 40/2
王泳
中国科学院研究生院
2011.03.26
当今科学研究的三大方法实验研究理论研究科学计算
实际问题数学模型数值方法计算结果分析
数值分析就是研究各种数学问题的数
值计算的方法和理论的学科线性代数方程组的解法数值分析绪论
数值分析
插值方法
第五章：数值分析绪论1
误差的来源
2
误差的度量
3
有效数字
4
选用算法时应遵循的几个原则
1
误差的来源
2
误差的度量
3
有效数字
4
选用算法时应遵循的几个原则
R T O b
进行数值计算
建立近似计算方法
观测并获取数据
建立数学模型
模型误差
⏹
观测误差
⏹
截断误差（方法误差）⏹
例
⏹
舍入误差⏹
例
模型误差
观测误差
截断误差
舍入误差
定义5.1 绝对误差⏹
定义5.3 有效数字
例5.1
解：
例
例
例
例
误差的度量选用算法时应遵数值分析绪论总结
误差的来源
第五章：数值分析绪论
思考题
（10分）。

工程数学总结

ai1 + bi1 ai2 + bi2 . . . . . . . . . . . . an1 an2 ...
ain + bin = ai1 . . . . . . ann
...
ain + bi1 . . . . . . ann
...
an1 . . .
an1 . . .
性质5. 把行列式的第 j 行元素的 k 倍加到第 i 行的对应元素上, 行列式的值不变. 即 a11 . . . ai1 . . . aj 1 . . . a12 . . . ai2 . . . aj 2 . . . ... . . . ... . . . ... . . . a1n . . . a11 . . . a12 . . . ... . . . a1n . . . ain + kajn . . . ajn . . . ann
T T T (iv) (AB )T = B T AT , (A1 A2 · · · Am )T = AT m Am−1 · · · A2 A1 .
♠ 对称/反对称矩阵：设A ∈ Mn 。若AT = A，则称A为对称矩阵; 若AT = −A, 则称A为反对称矩阵. 要点：利用对称/反对称矩阵的定义证明给定某个形式的矩阵是对称或反对称的。（六）矩阵的行列式：由n阶矩阵A = (aij )n×n 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为| A |或detA。运算规律: (i) |AT | = |A|; (ii) |λA| = λn |A|; (iii) |AB | = |BA| = |A||B |. ♠ 伴随矩阵：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij 所构成的矩阵 A11 A21 A12 A22 · · · ∗ A = ··· ··· ··· A1n A2n · · · ··· An2 ··· Ann An1

高等工程数学笔记

⾼等⼯程数学笔记⾼等⼯程数学笔记第⼀部分矩阵理论（矩阵分析）第⼀章线性空间与线性变换⼀、线性空间的概念1.数域：含有⾮零数的数集F ，F 中四则运算封闭即F b a ∈?,，有)0(,,,≠∈∈?∈-∈+b F ba Fb a F b a F b a常见数域：有理数域Q ，实数域R ，复数域C 其他数域：{}{}{}{}1,,1,Q ,Q ,3Q ,222321-=∈+=-=∈+=∈+=∈+=i R b a bi a C i b a bi a F b a ba Fb a b a F整数集Z 不是数域数域特点：F F F ∈∈∈整数,0,1C F Q ??2.线性空间的定义设V 是⼀个⾮空集合，F 是⼀个数域，V 中元素定义了两种运算①加法②数乘即V ∈?βα,，有唯⼀V ∈+βα与之对应；F R V ∈?∈?,α，有唯⼀V k ∈α与之对应，并且满⾜：(1) V ∈?βα,，有αββα+=+(2) V ∈?γβα,,，有)()(γβαγβα++=++(3)V 中存在零元θ，使得V ∈?α，总有αθαθα+==+(4) V V ∈?∈?βα,，使得θβα=+，记αβ-=（称为α的负元） (5) F l k ∈?,，V ∈?α，有αααl k l k +=+)( (6) V F k ∈?∈?βα,,，有βαβαk k k +=+)( (7) V F l k ∈?∈?α,,，有ααα)()()(kl k l l k == (8) αααα-=-=)1(,1则称集合V 为数域F 上的⼀个线性空间。

3.线性空间的例⼦例1.(1) R F R V n ==,+++=+ =?=n nn nb a b a b a b b b a a a22112121,βαβα ??=?=∈?000,,21θαnka ka ka k F k V 称为F 的线性空间(2) C F C V n ==,，V 也构成F 上的线性空间例2. (1) R F RV nm ==?,n m ij mn m m n n n a a a a a a a a a a a a a A ?===)(21332312222111211记α V b B n m ij ∈==?)(βn m ij ij mn mn m m nn b a ba b a b a b a B A ?+=++++=+=+)(11111111βα==∈mn m m n ka ka ka ka ka ka kA k F k2111211,α=000000000θ V 构成F 上的线性空间(2) C F C V n m ==?, V 构成F 上的线性空间例3.{}R Fb a b a C V ===,],[],[成的集合上的实的连续函数所组],[)(),(b a C x g x f ∈==?βα有],[)()(b a C x g x f ∈+=+βα],[)(,b a C x kf k R k ∈=∈?αθ=恒为0的常数函数 V 构成F 上的线性空间例4.设F 为⼀个数域，令{}n n n n t F F aa a t a t a t a a V ][,,110112210记=∈++++=--- ={数域F 上关于t 的次数⼩于n 的多项式或零多项式} V 构成数域F 上的线性空间4.性质设V 是数域F 上的⼀个线性空间，则 (1) V 中零元θ⼀定存在⽽且唯⼀(2) V ∈?α，则α的负元⼀定存在⽽且唯⼀ (3) V F k ∈∈α,，则θαθα==?=或0k k 为讨论⽅便，把线性空间V 的元素称为⼴义向量。

中科大春季知识点总结

中科大春季知识点总结中科大的春季学期即将结束，本文将对本学期学习的主要知识点进行总结，希望能够帮助大家复习和巩固知识。

一、数学1. 微积分微积分是数学的一门重要分支，也是物理学、工程学和经济学等学科的基础。

本学期我们学习了微积分的基本概念、函数的极限、导数和微分、积分与微积分基本定理以及微分方程等知识点。

在学习微积分的过程中，我们需要掌握不同函数的导数和积分公式，能够灵活运用微积分的方法解决实际问题。

2. 线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学学科。

本学期我们学习了矩阵和行列式、向量空间和线性方程组、特征值和特征向量等知识点。

在学习线性代数的过程中，我们需要掌握矩阵的基本运算、线性方程组的解法、特征值和特征向量的求法，能够运用线性代数的知识解决实际问题。

3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是数学的另一门重要分支，它研究随机现象的规律性和统计规律。

本学期我们学习了概率的基本概念、随机变量和概率分布、大数定律和中心极限定理等知识点。

在学习概率论与数理统计的过程中，我们需要掌握概率的基本性质和概率分布的特点，能够运用概率论与数理统计的方法分析和处理实际问题。

二、物理1. 经典力学经典力学是物理学的基础，它研究物体的运动规律和相互作用力。

本学期我们学习了力学的基本概念、牛顿运动定律、动量和能量、万有引力定律等知识点。

在学习经典力学的过程中，我们需要掌握牛顿运动定律和动量能量定理，能够运用经典力学的方法分析和解决物体的运动问题。

2. 电磁学电磁学是物理学的另一门重要分支，它研究电荷和电磁场的相互作用规律。

本学期我们学习了电荷和电场、电场的高斯定理、电场的能量和电势、静电场和静磁场等知识点。

在学习电磁学的过程中，我们需要掌握电场和电势的计算方法、电场和电荷的相互作用规律，能够运用电磁学的方法分析和解决电磁现象问题。

三、计算机科学1. 数据结构与算法数据结构与算法是计算机科学的基础，它研究数据的组织和存储结构以及相应的操作算法。

中科大春季知识点总结高三

中科大春季知识点总结高三中科大春季知识点总结随着春暖花开，中科大高三学子们迎来了备战高考的关键阶段。

春季是密集学习和复习的时期，同学们应该对前期的知识进行总结和巩固。

本文将从多个学科角度，对中科大春季知识点进行总结，希望对同学们备考有所帮助。

数学篇在数学学科中，春季是巩固基础概念和技巧的重要阶段。

在复习过程中，同学们应提高自己的解题速度和准确性。

重点关注以下几个知识点：1.函数与方程：函数是数学中的重要概念，同学们要熟练掌握常用函数的性质和图像特征。

同时，方程的解法和方程的应用也需要加强。

2.数列与数列的应用：数列是数学学科中常见的问题类型，同学们要能够准确地判断数列的性质，掌握数列的求和公式和通项公式的应用。

3.平面几何与立体几何：平面几何和立体几何是数学学科中较为重要的内容，同学们要熟悉平面图形和立体图形的性质，掌握相关的计算方法和定理。

物理篇物理学科在春季的复习过程需要注重理论与实践的结合，培养同学们的动手能力和实验分析能力。

以下是一些需要重点关注的知识点：1.静力学：静力学是物理学中的基础概念，同学们要熟悉各种力的性质和作用，掌握求解平衡条件和力的合成分解的方法。

2.动力学：动力学是物理学中研究物体运动的重要部分，同学们要熟悉牛顿三定律和运动学方程的应用，掌握力的功和动能的计算方法。

3.电学与电磁学：电学和电磁学是物理学中的重要内容，同学们要了解电荷、电场和电路的基本概念，熟练掌握应用安排伏特定律和欧姆定律的问题解答。

化学篇化学学科的复习过程中，同学们需要注重理论知识的记忆和实验技能的培养。

以下是一些需要关注的知识点：1.化学平衡与化学反应：了解化学反应的基本概念和反应速率的影响因素，熟悉不同类型反应的特点和平衡条件。

2.化学键与化合物：了解化学键的种类和特点，熟练掌握分子的构型和化合物的命名规则。

3.物质的性质与变化：了解物质的性质和变化规律，熟悉物质的分类和性质测试的方法。

生物篇生物学科的复习过程中，同学们需要注重理论知识和实验技能的结合，培养实际应用能力。