3.3环上的同余,理想
初中数学竞赛教程《同余3》
初中数学竞赛教程《同余3》同余是数论中一个重要的概念，也是初中数学竞赛中常考的知识点之一、同余关系可以帮助我们解决一些整数求余的问题，同时也有一些重要的应用，如模运算、同余方程等。
本文将介绍同余的基本概念、性质以及应用。
一、同余的基本概念同余的定义：设a、b为任意两个整数，m为一个正整数，如果m整除(a-b)，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b模m 同余。
二、同余的性质1. 自反性：对于任意整数a，有a≡a(mod m)。
证明：因为m整除（a-a），所以a与a对于模m同余。
2. 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
证明：由a≡b(mod m)，得m整除a-b，又由整除的性质，得m整除-(a-b)，即m整除b-a，所以b≡a(mod m)。
3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
证明：由a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，得m整除a-b和b-c所以m整除（a-b）+（b-c），即m整除a-c，所以a≡c(mod m)。
三、同余的应用1. 求余数：当m=10时，对一个正整数n，n≡a(mod 10)的意义就是n的个位数是a。
比如，1234≡4(mod 10)。
2. 模运算：同余关系可以推广到任意的四则运算和乘幂运算中。
比如，对于任意整数a、b，若a≡b(mod m)，那么对于任意整数c，有(a+c)≡(b+c)(mod m)和(a-c)≡(b-c)(mod m)。
另外，如果a≡b(mod m)，则a^k≡b^k(mod m)。
3. 同余方程：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。
同余方程在密码学、计算机算法等领域有广泛的应用。
解同余方程的方法一般有试错法、中国剩余定理等。
在解同余方程时，我们要先求出模m意义下的倒数，一般记作b^-1，满足b*b^-1≡1(mod m)。
近世代数课件--3.8 剩余类环,同态与理想
我们现在用符号
a b A
a b A a b A 即 来表示（读成 a 与 b 模 A 同余）。
一个类 a 包含所有可以写成
au
u A
的形式的元. 两个元的剩余类相等的条件是：
[ a ] [b ] a b A
1
证明: 1.分两步 1) a , b I a b I 2) a I , r R ra , ar R 2-5 同学自行给出.
8.4 同态基本定理
定理 2 假定R同 R 是两个环，并且R与 R 同态，那么
R A R
这里 A 是同态满射的核. 证明 设 个映射 : R
例1. 设 : Z Z n , ( n ) [ n ] (1)证明 是同态满射 (2)求 k er (3)写出 Z 的一个商环, 使它与 Z n 同构.
例2. 证明 Q [ x ] /( x ) Q 例3. 证明
Q [ x ] /( x 1) Q [ i ]
2
8.5 同态的性质
: R R 是已知的同态满射,
A R
*
利用它构造一
( a ) a a
(1) 是一个aຫໍສະໝຸດ R A与 R
间的映射。因为：
*
b
a bA ab ab 0 a b
*
( a ) ( b )
是一个 R A 与 R 的映射。
记 k er f I ,[a]=a+I.
它有以下性质: 1. ker f I 是理想 2. [ a ] [ b ] f ( a ) f ( b ) 3. x [ a ] f ( x ) f ( a ) 4. f ([ a ]) { f ( a )} . 5. 记 a f ( a ) ,那么 f ( a ) [ a ]
环的同态、最大理想
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
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练习： 求Z12的全部最大理想.
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(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
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定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
又令 S {( a, 0) | a Z }
((a, 0) a) Z ( R S)
SZ
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
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二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
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一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
环的同态基本定理
环的同态基本定理(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环SR 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到SR 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '同构．证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，即η是满同态．(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射R SR '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．又()()K b K a +++ψψ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ＝()()()K b K a +++ψ，()()K b K a ++ψψ＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ＝()()()K b K a ++ψ，()()R R R K '==+111ϕψ，故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式()()()()x r x m x q x f +=，这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故()()()()N x m x q x f x r ∈-=．这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质⎪⎩⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当F 上任意n n ⨯方阵()ij a A =，可写成 ∑==n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是∑=∈==n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a ee e a Ae e 1,．对任i ，j ，作()ij kj lk lk illk e e e a e a =-1，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．这就证明了()F M N n =．模同态基本定理设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定()x N x ηη +：()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上R a N M N y N x ∈∈++∀，，有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即()M≅MηN其中()ηN为η的核．ker=参考文献[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．。
中国剩余定理
中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.▪主理想整环.▪一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
环与域 高等代数中的抽象代数概念
环与域高等代数中的抽象代数概念高等代数是数学的一个分支，其中包括了许多抽象的代数概念。
在高等代数中，环与域是两个非常重要的概念。
本文将介绍环与域的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、环的定义和性质1.1 环的定义在抽象代数中，环是一个包含了加法和乘法两种运算的集合，同时满足一些基本的性质。
具体来说，一个环需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律和分配律。
1.2 环的性质在环的定义中，我们可以得到一些重要的性质：（1）加法运算满足交换律。
（2）乘法运算不一定满足交换律。
（3）环中存在一个乘法单位元素。
（4）任意元素都存在相反元素。
二、域的定义和性质2.1 域的定义域是一种广义的环，更加严格地定义了乘法运算。
具体来说，一个域需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律、存在单位元素。
（4）每个非零元素都存在乘法的逆元素。
2.2 域的性质与环相比，域更加严格，因此具有更多的性质：（1）加法运算和乘法运算都满足交换律。
（2）存在加法单位元素和乘法单位元素。
（3）每个非零元素都存在乘法逆元素。
（4）对于乘法运算满足消去律。
三、环与域的应用环与域作为抽象代数的基础概念，在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 线性代数线性代数中的向量空间和矩阵空间可以被看作是特定类型的环。
通过对环的研究，我们可以推导出许多线性代数中的重要结论和算法，例如矩阵的乘法、行列式的计算等。
3.2 代数几何代数几何研究的是通过代数方程和环的方法来研究几何问题。
环论在解析几何、射影几何等领域的研究中起着重要的作用，能够通过代数方法来描述和解决几何问题。
3.3 数论数论研究的是整数的性质和规律，而环论和域论在数论中扮演着重要的角色。
同余模定理-概述说明以及解释
同余模定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述同余模定理是数论中的一个基本概念，它与同余的关系密切相关。
在数学中，同余是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
同余模定理则是对同余关系的一种整理和归纳，它展示了同余关系的一些重要性质和运算规则。
同余模定理不仅在数学领域具有重要意义，而且在计算机科学中也有广泛的应用。
同余模定理具体包括几个重要的方面，包括同余关系的定义、等价关系的性质、同余运算的基本规律等。
通过学习同余模定理，我们可以更好地理解和应用数论中的同余概念，进行更加深入的数论研究。
本篇文章将首先介绍同余模的概念，包括同余关系的定义和性质。
接着，我们将探讨同余模的一些重要性质，如传递性、对称性和反射性等，以及同余运算的基本规律。
最后，我们将深入探讨同余模定理在数学和计算机科学中的应用领域，如密码学、编码理论和算法设计等。
通过本文的学习，读者将能够全面了解同余模定理的基本概念和重要性质，掌握同余运算的基本规律，并对同余模定理在数学和计算机科学中的应用有更深入的认识。
同余模定理的研究不仅拓展了数论的理论体系，而且对于解决实际问题，提高计算效率具有重要意义。
在未来的发展中，同余模定理有望在更多领域中发挥作用，并推动数学和计算机科学的发展进步。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章正文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分概述了文章的主题，介绍了同余模定理的概念和重要性。
同余模定理是数论中重要的概念之一，它描述了整数之间的特定关系。
本文将对同余模的概念、性质和应用进行详细讨论。
正文部分将从三个方面介绍同余模：同余模的概念、同余模的性质和同余模的应用。
首先，我们将详细解释同余模的定义和运算规则，了解同余模的基本概念。
其次，我们将探讨同余模具有的一些重要性质，如传递性、互反性和可加性等，这些性质对于解决数论问题具有重要意义。
最后，我们将介绍同余模在密码学、编程和计算机科学等领域的应用，这些应用充分展示了同余模定理的实际意义和价值。
第17讲第3章第5,7节子环,环同态和理想
所以 (a ,b )(a ) (b ) (d)
从而 (a,b)(d)
所有理想：(d)dZ,d0
( d ) 是最大理想 d 是素数.
事实上,若d是素数p，设I是Z的理想且（p） I Z,则 aI但a(p)(p,a)1s,tZ,psat 1 由（p） I及I是理想1I I Z(p)最大 反之，设(d)是最大理想，则d必为素数，否则d为合数 dst(1s,t d)(d)(s)Z,矛盾.
x R , x r , r x I 1 , 且 x r , r x I 2 , x r , r x I 1 I 2
I1 I2是 R 的理想.
定义 设 R 为环, a R , 称环 R 中所有
包含 a 的理想的交为由 a 生成的主理想,
记作 ( a ) ,即 ( a ) I .
IR a I
分别称为理想 I 1 , I 2 的和与交.
定理6 (1)环 R 的两个理想 I 1 , I 2 的和
I 1 I 2 与交 I1 I2 都是 R 的理想;
(2)环 R 的任意有限多个理想的和还是理想. 环 R 的任意多个理想的交还是理想.
证明 (1) r a 1 a 2 ,s b 1 a 1,b b1 2 II 1 1 , a2I ,2 b,2I2，
判定 S R "a,bS,
有 abS,abS"
例 (1)R{2a|aZ}Z；
(2)任 意 环 R ， 都 有 两 个 子 环 R 和 {0}， 叫 平 凡 子 环 ； （ 3） 任 意 环 R ,C(R){xR|xaax, aR }R
定义 设 R为环, I 为 R的非空子集. 如果 I 满足:
例 在 Z 中,如果a,bZ,则 ( a , b ) 是怎样
同余与剩余定理
同余与剩余定理
（原创实用版）
目录
1.引言：介绍同余与剩余定理的概念和背景
2.同余定理的定义和性质
3.剩余定理的定义和性质
4.同余与剩余定理的应用
5.结论：总结同余与剩余定理的重要性和影响
正文
1.引言
同余与剩余定理是数论中两个非常重要的定理，它们在数学领域有着广泛的应用。
同余定理主要研究整数同余关系，而剩余定理则研究整数除法的余数性质。
本文将从定义和性质入手，详细介绍这两个定理，并探讨它们的应用。
2.同余定理的定义和性质
同余定理是指：若整数 a、b、c 满足 a ≡ b (mod m)，则对任意
整数 k，有 a + k ≡ b + k (mod m)，a - k ≡ b - k (mod m)，ak ≡bk (mod m)。
这里，≡表示同余关系，mod m 表示取模 m。
同余定理的性质包括：反身性、对称性、传递性。
3.剩余定理的定义和性质
剩余定理是指：若整数 a、b、c 满足 a ≡ b (mod m)，且 0 ≤ b < m，则 a = b + km，其中 k 为整数。
剩余定理的性质包括：线性性、不变性、唯一性。
4.同余与剩余定理的应用
同余与剩余定理在数论中有着广泛的应用，例如求解不定方程、研究同余数列、分析密码学等。
在数学分析、代数几何、拓扑学等领域，同余与剩余定理也发挥着重要作用。
5.结论
同余与剩余定理是数论中的基本定理，它们对于理解整数性质、解决数学问题具有重要意义。
同余问题知识点总结
同余问题知识点总结一、基本概念1.1 同余关系对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能整除a-b，即(a-b)/m为整数，则称a与b 对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系满足以下性质：自反性：a≡a(mod m)对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)传递性：若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)1.2 同余类对于给定的正整数m，同余关系将整数集合Z划分为m个不相交的子集，这些子集称为同余类。
同余类的定义：[a]={b∈Z|a≡b(mod m)}同余类的性质：同余类是模m下的等价类，它将整数集合划分为m个不相交的等价类。
二、同余的运算规则2.1 加法和乘法的运算规则加法：若a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)乘法：若a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)2.2 幂运算规则对于正整数n，有以下同余关系成立：a≡b(mod m) => a^n≡b^n(mod m)三、同余性质3.1 最小非负剩余对于给定整数a和模m，存在唯一的最小非负整数r，满足a≡r(mod m)且0≤r<m。
r称为整数a对模m的最小非负剩余。
3.2 同余方程同余方程的一般形式为：ax≡b(mod m)同余方程的求解：若最大公约数(gcd)为1，即a与m互质，则同余方程有唯一解；若gcd不为1，即a与m不互质，则同余方程有无穷多解。
3.3 中国剩余定理中国剩余定理：若模数m1、m2、...、mk两两互质，即gcd(mi,mj)=1(i≠j)，则对于任意的整数a1、a2、...、ak和模数m1、m2、...、mk，模方程组x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)...x≡ak(mod mk)有唯一模m=m1*m2*...*mk的解x。
中国剩余定理的应用：用于快速求解大整数的同余方程组，加速计算过程。
数论中的同余方程
数论是数学中的一个分支，研究的是整数及其性质。
同余方程是数论中的一个重要概念和研究对象。
同余方程是一个关于整数的等价关系，通过同余方程我们可以更好地理解整数的性质和特点。
同余方程的定义非常简单，如果两个整数a和b除以一个正整数m所得的余数相等，即a mod m = b mod m，我们就说a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
换句话说，如果a和b除以m所得的余数相等，即它们与m的除法不同余，我们就说它们对于模m同余。
通过同余方程，我们可以获得一些有意义的结论和性质。
比如，如果a ≡ b (mod m)，那么a和b对于模m的各种运算都是等价的。
例如，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)等等。
这为我们在数论中的一些运算提供了便利，可以通过计算模m的余数来简化运算过程。
同余方程不仅可以用来研究整数的运算性质，还可以在密码学中发挥重要作用。
比如，著名的RSA加密算法就是基于同余方程的。
RSA加密算法使用两个不同的素数p和q作为加密密钥的一部分，通过这两个素数的乘积生成的同余方程来加密和解密信息。
由于质因子分解是一个非常耗时的过程，对于大的质数p和q，求解这个同余方程时需要耗费大量的计算时间，从而保证了RSA加密算法的安全性。
此外，同余方程还可以用来求解一些实际问题。
比如，我们可以通过同余方程来求解一些数学问题中的未知数。
例如，假设我们有一组同余方程x≡ x_1 (mod x_1)，x≡ x_2 (mod x_2)，… x≡ x_x (mod x_x)，其中b1，b2，…，bn和m1，m2，…，mn都是给定的整数。
如果这组同余方程满足一定的条件，我们可以通过一定的方法求解出x的值。
这个过程叫做求解同余方程组，是数论中的一个重要问题。
总之，同余方程是数论中的一个重要概念，通过对整数的模m余数的等价关系进行研究，我们可以得到一些有意义和有用的结果。
环同态基本定理
环同态基本定理环同态基本定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms on Rings）是代数学中的重要定理之一。
它描述了环同态的基本性质和结构，为进一步研究环同态提供了重要的理论基础。
我们需要明确环同态的概念。
一个环同态是指将一个环映射到另一个环的映射，且保持环运算和单位元。
换句话说，如果有两个环R 和S，一个映射f：R→S是一个环同态，当且仅当它满足以下条件：1. 对于R中的任意元素a和b，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于R中的任意元素a和b，有f(a*b)=f(a)*f(b)；3. 对于R中的单位元素1，有f(1)=1。
基本定理的第一部分是关于环同态的核和像的性质。
核是指同态映射f中被映射到零元的元素的集合，即ker(f)={a∈R | f(a)=0}；像是指同态映射f中所有元素的集合，即im(f)={f(a) | a∈R}。
基本定理告诉我们，对于任意环同态f：R→S，其核和像具有以下性质：1. ker(f)是R的一个理想；2. im(f)是S的一个子环；3. f是一个单射（即f(a)=f(b)蕴含a=b）当且仅当ker(f)={0}；4. f是一个满射（即对于任意s∈S，存在r∈R使得f(r)=s）当且仅当im(f)=S。
基本定理的第二部分是关于环同态的陪集和同构的性质。
陪集是指对于环R的一个理想I，R中所有和I关于加法封闭的元素a的集合，记作a+I={a+x | x∈I}。
陪集的性质是：对于任意a、b∈R，a+I=b+I当且仅当a-b∈I。
同构是指一个双射的环同态，即既是满射又是单射。
基本定理告诉我们，对于任意环同态f：R→S，它满足以下性质：1. 对于R的任意理想I，f(I)是S的一个理想；2. 对于R的任意理想I，f的陪集a+I与f(a)+f(I)同构，即存在一个双射g：a+I→f(a)+f(I)，满足g(a+x)=f(a)+f(x)；3. 对于R的任意理想I，f是一个单射当且仅当f(I)={0}；4. 对于R的任意理想I，f是一个满射当且仅当f(I)=S。
抽象代数-01百科集锦
近世代数近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
1理论构成抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。
抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。
经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。
而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。
泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。
抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。
后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。
他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。
“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。
直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。
1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。
1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。
20世纪初给出了群的抽象公理系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。
例如，找出给定阶的有限群的全体。
同余定理知识点总结
同余定理知识点总结同余定理通常被描述为以下形式：如果整数a和b对于模m同余，即a ≡ b (mod m)，那么a和b除以模m的余数是相等的。
同余定理可以改写为a mod m = b mod m。
同余定理有两个基本的性质。
首先，它是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
其次，同余定理具有乘法和加法性质。
首先，我们来讨论同余定理的基本性质。
同余关系是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
自反性指的是对于任意的整数a，a ≡ a (mod m)。
这意味着任意整数都与自己对模m同余。
对称性指的是如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。
传递性指的是如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。
这三种性质构成了同余关系的一个等价关系，可以将整数划分为同余类，使得具有相同除模m余数的整数在同一个同余类中。
其次，同余定理具有乘法和加法性质。
对于任意的整数a、b、c和模m，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么有以下性质：a + c ≡ b + d (mod m)和a * c ≡ b * d (mod m)。
这两个性质表明了同余定理在乘法和加法下的保持性。
同余定理在数论和代数中有广泛的应用。
首先，同余定理常常被用来简化计算。
通过使用同余定理，我们可以将复杂的计算转化为求余数的简单计算，从而节省时间和精力。
其次，同余定理在代数方程的求解中有着广泛的应用。
例如，对于一个模线性方程a * x ≡ b (mod m)，我们可以通过同余定理将其转化为x的一元一次同余方程，从而求解出x的取值范围。
此外，同余定理在密码学领域也有着重要的应用。
加密算法中常常使用同余定理来进行模运算，从而实现数据的加密和解密。
在数论中，同余定理还有一些重要的推论。
首先，费马小定理和欧拉定理是同余定理的重要推论。
费马小定理描述了素数模意义下的幂运算规律，欧拉定理描述了任意模意义下的幂运算规律。
理想的判定定理
理想的判定定理
理想的判定定理是数学中的重要概念，它为确定一个子集是否为环或其他代数结构的一个理想提供了准则。
以下是理想的判定定理及其详细解释：
定理：一个子集I是环R的理想当且仅当对于任意r∈R，rI⊆I。
解释：这个定理表明，一个子集I是环的理想当且仅当环中的任意元素r与I的乘积仍属于I。
换句话说，如果I是环的理想，那么rI必然包含在I中。
这个定理的证明依赖于环的定义和性质。
首先，我们知道环的定义要求其包含一个加法群和一个乘法半群，并且这两种运算必须满足一定的结合律和分配律。
根据这些性质，我们可以推导出理想的判定定理。
具体来说，假设I是环R的一个子集，并且对于任意r∈R，rI⊆I。
我们要证明I是R 的一个理想。
首先，由于I是非空集合，我们可以选择一个元素a∈I。
然后，对于任意r ∈R和任意b∈I，由于rI⊆I，我们可以推出rb∈I。
类似地，对于任意s∈R和任意a∈I，sa∈I。
这就证明了I是环R的一个理想。
反过来，如果I是环R的一个理想，那么根据环的定义和性质，我们可以推出对于任意r∈R，rI⊆I。
因此，我们证明了子集I是环R的理想当且仅当对于任意r∈R，rI⊆I。
这就是理想的判定定理。
在实际应用中，这个定理可以帮助我们判断一个子集是否为环的一个理想。
例如，在整数环中，所有偶数组成的集合是一个理想，因为对于任意整数r和偶数a，ra仍然是偶数。
小升初数学余数、同余与周期知识点
小升初数学余数、同余与周期知识点
2019小升初数学余数、同余与周期知识点
小升初数学是小升初综合素质评价考试的重头戏,在试卷中所占分值比重最大。
为了帮助学生们顺利备考,下面为大家分享小升初数学余数同余与周期知识点，供大家参考! 余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m 同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：。
环的同态、最大理想
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
I是R的一个理想，则 R/I是一个域 I是最大理想。
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
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练习： 求Z12的全部最大理想.
2013-7-4
20:15
x y ( 1 ( x) 1 ( y '))
xy ( 1 ( x) 1 ( y '))
2013-7-4 20:15
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
又令 S {( a, 0) | a Z }
((a, 0) a) Z ( R S)
SZ
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
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二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
环与理想——精选推荐
环与理想环环的定义:设R是具有两种运算的⾮空集合，如果以下条件成⽴：i)R对于加法构成⼀个交换群ii)R上的乘法有，对于任意的a, b, c∈R，有(ab)c = a(bc)iii)对任意的a, b, c∈R，有(a+b)c = ac + bc，a(b+c) = ab + ac则称R为⼀个环换句话说，如果R对于加法运算满⾜交换群的定义，对于乘法满⾜⼴群的定义，并且满⾜分配律，则R是⼀个环。
Notation：i)如果环的乘法满⾜交换律，则称R为交换环ii)如果R中有⼀个元素e = 1R对于R上的乘法有∀a∈R,a1R=1R a=a，则称R为有单位元环，或者称为含⼳环iii)如果R中存在两个不为零的元素a, b对于R上的乘法满⾜ab=0，则称R为有零因⼦环iv)如果R同时为⼀个交换环和⼀个含⼳环，但没有零因⼦，则称R为整环环的性质1.对任意的a∈R，有0a=a0=0证明.∵ 0a=(0+0)a=0a+0a∴ 0a=0同理可得 a0 = 02.对任意的a,b∈R，有(-a)b = a(-b) = -(ab)证明.∵ (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0∴(-a)b=a(-b)=-(ab)3.对任意a,b∈ R，有(-a)(-b)=ab，这实际上就是第⼆个性质的⼀个实例4.对任意的n∈Z，a,b∈R，(na)b=a(nb)=n(ab)，即n个a的和乘以b，或者a乘以n个b的和都等于n个ab乘积的和。
5.对任意的a i,b j∈R有(Σn i=1a i)(Σm j=1b j)=Σn i=1Σm j=1a i b j6.设R是⼀个整环，则R中有消去律成⽴，即当c≠0，c·a = c·b时，有a=b理想定义：设R是⼀个环，I是R的⼦环，如果对任意的 r∈R 和 a∈I ，都有 ra∈I ，则称 I 是R的左理想，如果对任意的 r∈R 和 a∈I都有ar ∈I，则称 I 是R的右理想。
多元多项式环上模的中国剩余定理
多元多项式环上模的中国剩余定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多元多项式环上模的中国剩余定理是多项式环理论中的一个重要定理，它是中国剩余定理在多元多项式环上的推广和应用。
在研究多元多项式环的结构和性质时，中国剩余定理是一个非常有用的工具，可以帮助我们研究多项式环的同余方程组，并解决一些复杂的模问题。
在多元多项式环上，我们通常考虑的是由多个变元构成的多项式环，考虑环k[x1, x2, ..., xn]，其中k 是一个域，x1, x2, ..., xn 是变元。
在这样的多变元环中，我们可以进行多项式的加减乘除运算，并且也可以定义多项式的模运算。
具体地说，对于任意的两个多项式f(x1,x2, ..., xn) 和g(x1, x2, ..., xn)，我们可以定义它们的模为f(x1, x2, ..., xn) ≡ g(x1, x2, ..., xn) mod h(x1, x2, ..., xn)，其中h(x1, x2, ..., xn) 是一个非零多项式。
我们知道，中国剩余定理是一个关于同余方程组的定理，它告诉我们，如果我们有一组模数互质的同余方程组，那么这个方程组一定有唯一的解。
在多元多项式环上，我们也可以得到一个类似的结论，即多元多项式环上模的中国剩余定理。
具体地说，如果我们有一组模数互质的多项式方程组，那么这个方程组也有唯一的解。
更具体地说，在多元多项式环上，我们可以使用中国剩余定理来解决一些复杂的模问题，求解多项式方程组的解、判定模方程组是否有解等等。
这在代数学、数论等领域都有重要的应用。
在密码学中，我们常常需要对多项式环上的模方程组进行处理，以实现加密和解密操作。
第二篇示例：多元多项式环上模的中国剩余定理是数学中一个重要的定理，它在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
我们首先要了解什么是多元多项式环，然后再来理解模的概念，最后介绍中国剩余定理在这种环上的应用。
多元多项式环是指含有多个变量和系数属于某个固定域的多项式的集合。
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(3.3 Congruence on Ring and Ideal)
3.3.1 环上同余 (Congruence on Ring)
Def：设有环（R,+，· ）， 是集R上的一个等价关系， 若 则称 为环上的同余。 例: 整数环(Z,+，· )，模n同余(n≥1)是环Z上的同余.
2.任意数域F上的多项式环F[x]为主理想整环；
3.任何域都是主理想整环。 End
ab, c d (a c) (b d ), (ac) (bd )
3.3.2 理想 （Ideal）
在前一章我们看到，不变子群在群的研究中 起着重要作用. 在环的研究中，理想这个概念类似 于子群的不变子群.
Def：设有环（R,+,·），I是它的一个子环，
（1） a∈I, r∈R ar ∈I ，则称I为R 的一个 左理想； （2） a∈I, r∈R ra ∈I ，则称I为R的一个 右理想； （3）a∈I, r∈R ra ,ar ∈I ，则称I为R 的一个 理想。 注1．当R 为交换环时，左理想=右理想=理想 （相当于左、右陪集） 注2．平凡理想——{0}和R 本身。 若环 R 内无非平凡理想，则称R为单环。
推论：
a {(na sa at xay) n Z , s, t, x, y R}
特别地，当R是有单位元的可换环时，
a {xa x R} aR
3.3.4 主理想整环
Def：一个有单位元的整环中，若每一个理想都是主理 想，则称此环为主理想整环。 例：1.<Z，+， >是主理想整环；
2.u ( x) F x , u ( x) f ( x) S , f ( x) u ( x) S .
例3．①数域F上的全矩阵环Mn(F)是单环；
②除环和域也是单环。 命题：设A,B是R的理想，则
和① A B {a b a A, b B}
交②
A B {a a A, a B}
n i 1
积③ AB { aibi ai A, bi B, n N }
商④ ( A : B) {r r R, b B br, rb eneration of Ideal)
Def：设X是环R的非空子集，则包含X的最小子环 称为由X生成的子环，记作[X]，它是包含X的所 有子环的交。 包含X的最小理想称为由X生成的理想，记作 <X>，它是包含X的所有理想的交。 Th：设X是环R的非空子集，则
X { ni xi rj x j xk rk sl xlsl ni Z , rj , rk , sl , sl R, xi , x j , xk , xl X }
Def：设X={a}是由一个元素组成的集合，则称 A=<X>为由a 生成的主理想，简记为A=<a>。
Th1.环R 的非空子集I是R 的理想 （i） a, b I a b I
（ii） r R, a I ar , ra I 证明：必要性显然，下证充分性,
a, b I a b I
由
知（I，+）是（R，+）的一个子群，又由
r R, a I ar , ra I 知I是环R的理想。
例1．整数环Z的子集 N={m的一切倍数} 是Z的理想.
例2．数域F上的多项式环F[x], 令
S {a1x a2 x2 an xn ai F , n Z }
则S是F[x]的一个理想。
1. f ( x), g ( x) S , f ( x) a1 x an x n , g ( x) b1 x bn x n , f ( x) g ( x) (a1 b1 ) x (an bn ) x n S