圆的标准方程一 - 360文档中心

圆的标准方程

（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 5 . 解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=5. 已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得
a 2 (1 b) 2 5 (2 a ) 2 (1 b) 2 5
a1 1 解得 b1 1
三．确定圆的方程的方法和步骤 1．圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。 2．求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x－a)2+(y－b)2=r2；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的
18.51 b r 2 2 (7.2 b) r
2 2 2
Hale Waihona Puke 解得 b 20.19 2 r 750.21
因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.
例4．已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以 P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9) 和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内? 解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r 的平方为r2=10 所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，
例3．赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。解：如图，以AB的中点为原点，x轴通过AB建立直角坐标系。根据已知条件，B，C的坐标分别为(18.51，0)，(0， 7.2)，设圆心的坐标为(0， b)，则圆的方程为x2+(y－ b)2=r2，
因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满足这个方程，于是得到方程组

圆的标准式方程

圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，具有许多独特的性质和特点。

在代数几何中，我们经常需要用方程来描述圆的性质和位置。

而圆的标准式方程就是一种常用的描述方法，它能够清晰地表达圆的位置、半径和中心点，是我们研究圆的重要工具之一。

首先，让我们来看一下圆的标准式方程是如何定义的。

对于平面上的一个圆，假设它的中心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程可以表示为：(x a)² + (y b)² = r²。

在这个方程中，(x, y)表示平面上的任意一点的坐标，(a, b)表示圆的中心坐标，r表示圆的半径。

通过这个方程，我们可以清晰地描述出圆的位置和大小。

接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。

例1，求圆心坐标为（3，4），半径为5的圆的标准式方程。

根据圆的标准式方程的定义，我们可以直接写出方程：(x 3)² + (y 4)² = 5²。

化简得：(x 3)² + (y 4)² = 25。

这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。

例2，已知圆的标准式方程为(x + 2)² + (y 1)² = 9，求圆的中心坐标和半径。

通过观察方程，我们可以直接得到圆的中心坐标为(-2, 1)，半径为3。

这是因为标准式方程中，圆心坐标为(-a, -b)，半径为r。

通过这两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程可以很方便地描述圆的位置和大小，对于研究圆的性质和问题非常有用。

除了描述圆的位置和大小外，圆的标准式方程还可以用来解决一些与圆相关的问题，比如与直线的交点、切线方程等。

在代数几何和解析几何中，我们经常会遇到这样的问题，而圆的标准式方程可以为我们提供一个方便的工具，帮助我们解决这些问题。

总之，圆的标准式方程是描述圆的位置和大小的重要工具，它能够清晰地表达出圆的特点，方便我们进行进一步的研究和应用。

圆的标准方程半径

圆的标准方程半径圆是数学中的基本几何形状之一，其标准方程是描述圆的一种常用方式。

在本文中，我们将探讨圆的标准方程以及如何使用它来计算圆的半径。

圆的标准方程圆的标准方程是一种描述圆的方程，它通常采用笛卡尔坐标系中的变量表示。

圆的标准方程可以写成以下形式：(x - a) + (y - b) = r其中，(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程的意思是，圆上的每个点到圆心的距离都等于半径r。

例如，如果圆心坐标为(2, 3)，半径为4，则圆的标准方程为： (x - 2) + (y - 3) = 16这个方程描述了圆上的所有点，它们的坐标满足这个方程。

如何计算圆的半径如果我们已知圆的标准方程，我们可以使用它来计算圆的半径。

具体来说，我们可以将标准方程转化为标准形式，然后提取半径。

标准形式是将圆的标准方程中的常数项移到等式的右侧，得到以下形式：(x - a) + (y - b) - r = 0其中，a、b、r与圆的标准方程中的含义相同。

现在，我们可以使用标准形式来计算圆的半径。

具体来说，我们可以将标准形式中的每个括号展开，得到以下形式：x - 2ax + a + y - 2by + b - r = 0现在，我们可以将这个方程与圆的标准方程进行比较，得到以下关系：a +b - r = 0因此，我们可以得出圆的半径：r = √(a + b)例如，如果我们已知圆的标准方程为：(x - 2) + (y - 3) = 16我们可以将它转化为标准形式：(x - 2) + (y - 3) - 16 = 0然后，我们可以比较系数，得到：a = 2，b = 3，r = √(2 + 3) = √13因此，圆的半径为√13。

结论圆的标准方程是描述圆的一种常用方式。

它可以用来计算圆的半径，只需要将标准方程转化为标准形式，然后提取半径。

理解圆的标准方程和半径的计算方法对于解决数学问题和实际应用具有重要意义。

圆的标准方程第一节课

三角法
利用三角函数和圆的性质，通过三角运算求解圆的方程。
圆的方程的求解实例
实例一
求圆心在原点，半径为3的圆的方程。
实例二
求圆心在点(2,3)，半径为5 的圆的方程。
实例三
求圆心在直线x+y=0上，且经过点(1,2)和(3,4)的圆的方程。
05 圆的实际应用
生活中的圆
交通工具
轮胎、轮毂的设计都基于圆，因为圆形的周长是固定的，所以轮
02 圆的标准方程
圆的基本概念
圆上三点确定一个圆
直径
在一个平面内，三个不共线的点可以确定一个唯一的圆，这三个点是圆上的三个点。
通过圆心且两端点在圆上的线段称为直径。
圆心和半径
圆心是圆上的三个点确定的三角形的重心，半径是从圆心到圆上任一点的线段。
圆的标准方程的推导
圆的标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中$(h, k)$是圆心的坐标， $r$是半径。
工程学
在工程设计中，圆的应用非常广泛，如管道设计、机械零件的制造等，都需要用到圆的性质和定理。
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感谢您的观看
03 圆的性质
圆的对称性
圆是中心对称的
圆关于其圆心对称，即任意一点到圆心的距离都相等。
圆也是轴对称的
圆关于经过其圆心的任意直线对称。
圆的直径和半径
直径
通过圆心且两端点均在圆上的线段称为直径，直径是半径的两倍。
半径
从圆心到圆上任一点的线段称为半径，半径的长度等于直径的一半。
圆的面积和周长
面积
电力等领域的重要原理。
化学

4.1.1 圆的标准方程

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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一题型二题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3�� + 2��-15 = 0, 解得 3�� + 10�� + 9 = 0,
�� = 7, �� = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
��
��
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5 2
.
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4.1.1 圆的标准方程
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题型二求圆的标准方程
【例2】求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
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4.1.1 圆的标准方程
题型一题型二题型三
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典例透析
【变式训练1】已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求

圆的一般方程,标准方程,参数方程总结

1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E --；（3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0；（2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。

圆的标准方程和一般方程

圆的标准方程和一般方程圆是平面上一组点的集合，这些点到圆心的距离都相等。

圆的标准方程和一般方程是表示圆的两种常用方程形式。

下面将详细介绍这两种方程。

一、圆的标准方程：这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当这个点到圆心的距离等于半径。

由标准方程可以得到一些重要的信息：1.圆心：方程中的(h,k)给出了圆的圆心坐标。

将方程与标准形式进行比较，可以直接读出圆心的坐标。

2.半径：方程中的r表示圆的半径。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，由标准方程可以直接得到半径的值。

3.圆的性质：根据标准方程的形式，可以得出以下性质：（1）所有满足标准方程的点都在圆上；（2）圆心到圆上任意一点的距离都等于半径；（3）与圆心距离相等的两个点在圆上的切线互相垂直。

二、圆的一般方程：圆的一般方程是一种更一般化的圆的代数方程形式，通常写作Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0。

其中A、B、D、E、F都是实数，并且A和B不能同时为0。

这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当它满足这个方程。

一般方程与标准方程之间的转换：1.一般方程转换为标准方程：要将一般方程转换为标准方程，需要完成以下步骤：（1）将方程展开，同时移动所有项到等号右侧，得到形如Ax²+Ay²+Dx+Ey=-F的方程；（2）提取x和y的系数，得到形如A(x²+y²)+Dx+Ey=-F的方程；（3）将x²+y²用标准形式替代，即(x-h)²+(y-k)²=r²；（4）与一般形式进行比较，解得圆心坐标和半径。

2.标准方程转换为一般方程：要将标准方程转换为一般方程，需要完成以下步骤：（1）将标准方程展开，得到形如(x-h)²+(y-k)²=r²的方程；（2）将方程中的平方项进行拆分，得到形如x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²；（3）将常数项合并，得到形如x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0；（4）与一般形式进行比较，解得一般方程的系数A、B、D、E和F。

第4章 4.1 4.1.1 圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？2. 点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│<r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2点在圆外│MA│>r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r21．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)， 2 D．(2，－3)， 22．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 23．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P (2，－1)和直线x －y ＝1相切，并且圆心在直线y ＝－2x 上．命题角度1 直接法求圆的标准方程例1 (1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1 以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25命题角度2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程．反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．点与圆的位置关系【例2】已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．例3 (1)点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．不确定(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是_________．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围是________．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？2．若点P (x , y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？【例3】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．1．本例条件不变，试求y x的取值范围．2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x , y )和(a , b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x , y )到定点(a , b )的距离的平方的最值问题．例4 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值．引申探究1．若本例条件不变，求y －x 的最大值和最小值．2．若本例条件不变，求x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练4 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求： (1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．1．判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P (x 0，y 0)在圆C 上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.2．求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．3．求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法．(2)直接法．一、选择题1．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，42．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝523．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝44．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．a ＜13C ．|a |＜15D ．|a |＜1135．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝56．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝18．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2二、填空题9．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程为________．10．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值是______．三、解答题13．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的标准方程．四、探究与拓展14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为() A．6 B．25 C．26 D．3615．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值．。

圆的标准方程

圆的标准方程◆ 圆的标准方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。

定点是圆心，定长是圆的半径2、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=推导过程：设圆心坐标(,)C a b ，半径为r ，圆上任意点坐标为(,)M x y ，则||MC r =由22()()x a y b r -+-=，两边平方得：222()()x a y b r -+-=……①①即为圆的标准方程，圆心(,)C a b ，半径为r 如果圆心在坐标原点，则0,0a b ==，∴222x y r += 考点：点与圆的位置关系如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则22200()()x a y b r -+-=如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=外，则22200()()x a y b r -+-> 如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r-+-=内，则22200()()x a y b r -+-< 3、求圆的标准方程例1、（1）圆心在点(2,1)C -，并过点(2,2)A -（2）圆心在点(1,3)C ，并与直线3460x y --=相切（3）过点(0,1)和点(2,1)，半径为5例2、求过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上的圆的方程。

例3、求与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上的圆的标准方程。

◆ 课堂练习1、圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心为，半径为。

2、圆心为(2,3)C -且经过原点的圆的方程为___________________。

3、经过(0,0)，圆心在x 轴负半轴上，半径等于5的圆的方程________________。

4、已知一圆的圆心为点(2,3)A -，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的方程____________________。

圆的标准方程和一般方程

教学目的：1、掌握圆的一般方程与标准方程；2、会用待定系数法求圆的方程；3、简单了解参数方程教学内容：一、圆的方程1）圆的标准方程：圆心C (a ，b )，半径r 的方程为2）圆的一般方程：二元二次方程表示圆的充要条件是：①A =C ≠0②B =0③D 2+E 2-4F 2>0由方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，配方可得：3）点与圆的位置关系：圆（x -a ）2+（y -b ）2=r 2，点P (x 0，y 0)与圆的位置关系有以下三种：①点在圆上↔②点在圆内↔③点在圆外↔圆外一点P 到圆上任意一点的最大距离为，最小距离为x 2+y 2-6x -8y =0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为 .C 的圆心与点P (-2,1)关于直线y =x +1对称。

直线3x +4y -11=0与圆C 交于A ,B两点，且|AB |=6，则圆C 的方程为 .xOy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.二、圆的参数方程1）圆x 2+y 2=r 2（r >0）的参数方程是)(sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 2）圆（x-a ）2+(y-b )2=r 2（r >0）的参数方程是)(sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 三、圆的直径式方程的求法设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆的直径的两个端点，P (x ,y )为圆上任意一点，则∠APB =90°，即P A ⊥PB ，而11x x y y k AP --=，221x x y y k PB --=.由1-=⋅PB AP k k 得：12211-=--⋅--x x y y x x y y ，则方程为（x -x 1）（x -x 2）+（y -y 1）（y -y 2）=0)(0916)41(2)3(24222R t t y t x t y x ∈=++-++-+表示的图形是圆.(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P （3，4t 2）恒在所给的圆内，求t 的取值范围.1.已知圆心为A （2，-3），半径长为5，则圆的方程为 .2.设a >0,b >0,4a +b =ab ,则在以（a ，b ）为圆心，a +b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 .3.已知过点A (0,1)和B (4,a )且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及圆的方程.4.已知圆C 通过不同的三点P (m ，0)、Q (2,0)、R (0,1),且CP 的斜率为-1.（1）试求圆C 的方程；（2）过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交C 于E ,F 两点，l 2交C 于G ,H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.5.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为x =-2，点P 在准线l 上，纵坐标为)0,(13≠∈-t R t tt ，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程.。

圆的标准方程

圆的标准方程简介圆是数学中最基本的几何图形之一，它是由到一个固定点距离恒定的所有点的集合组成。

在平面几何中，我们经常使用标准方程来表示圆的方程。

本文将介绍圆的标准方程及其性质。

圆的定义用数学语言来描述，圆是一个平面上的点的集合，这些点与一个确定的点的距离都相等。

这个确定的点被称为圆心，距离被称为半径。

圆的标准方程圆的标准方程常表示为：圆的标准方程，其中圆心坐标是圆心的坐标，半径是圆的半径。

同样，方程也可以展开为：x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r^2。

圆的性质圆心与半径•圆心坐标：标准方程中的圆心坐标就是圆的圆心坐标。

•半径：标准方程中的半径就是圆的半径。

直径与半径•直径：圆的直径是通过圆心的一条线段，且该线段的两个端点在圆上。

直径的长度等于半径的两倍。

•直径与半径的关系：直径等于半径的两倍。

弦•弦：圆上两点的线段被称为弦。

当弦经过圆心时，就是直径。

弧•弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。

圆上的弧可以通过圆心角来定义。

圆的周长和面积•周长：圆的周长可以通过圆的直径来计算，公式为周长公式，其中 pi 是一个常数，约等于3.14159。

•面积：圆的面积可以通过圆的半径来计算，公式为面积公式。

示例假设有一个圆心坐标为圆心坐标示例，半径为4的圆，我们可以得到该圆的标准方程为：标准方程示例。

展开后的方程为方程示例。

总结本文介绍了圆的标准方程的定义、写法和性质。

圆的标准方程常用于描述圆的几何形状和位置。

通过圆的标准方程，我们可以轻松计算圆的周长和面积，并通过方程得到圆的其他性质。

最全面的圆的方程

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

圆的标准方程1

解得
ａ＝2，ｒ2＝10
2 ｘ－2 ＋ｙ＝ 10 2
所以这个圆的方程是
；虚拟币群 / 虚拟币群；
是罪过了这事情倒是因咱而起の."是他斩断了那家伙の五条绿龙,绿龙最终化作了壹块块の绿石,掉落在这绿城周围.可以想像,自己离开之后の这壹个月内,这绿城の修士,八成是疯了壹般の抢夺那些绿石.那些绿石远壹般の灵石要好得多,是壹种十分珍稀之物,若是能够得到几万块の话,对这些人来说,修行会容易许多."那这城里の人还不得疯了,那五道绿墙碎开之后,起码得有数千万块绿石吧."凌珊道.根汉说"倒没有那么多,不过几百万块应该是有の.""这城少了这么多人,不会是剩下の人,都被其它の人给坑杀了吧?"凌珊感觉心头有种不安の感觉.根汉楞了楞, 想了想后说"你这么猜测也有可能,不过应该没有这么血腥,估计是不少人得到了绿石之后逃走了,不敢再在这里呆了.""那咱们也走吧,这种事情还是不要管吧,由他们去吧."凌珊说,"谁有本事让他们去抢吧.""恩,你还有什么东西要收拾の吗?"根汉问凌珊.凌珊想了想后说"咱把院子里の灵花给带走吧,可以种在你の乾坤世界里吗?""当然可以,咱の乾坤世界里,你可以选壹个地方做为你自己の院子,随便种最好是越多越好."根汉微笑着说.灵花这种东西,是不错の净化心灵之物,尤其是她院子里の这种空灵之花,十分の洁净,这种东西和还魂神树有着异曲同工之妙.若是能在乾坤世界里面,种满灵花,也可以将里面の空气提升壹个档次,当然是大好事了."那太好了,咱喜欢种些花花草草の,以后你の乾坤世界归咱管了."凌珊嘿嘿笑着说.根汉吻了吻她,笑道"永远归你管.".当天,在这院子外面,几十号修行者大打出手.最

圆的标准式方程

圆的标准式方程圆是平面上一点到另一点的距离恒定为半径的闭合曲线。

在数学中，我们经常会遇到圆的相关问题，比如求圆的面积、周长，或者给定某些条件，求圆的方程。

本文将围绕圆的标准式方程展开讨论。

首先，我们来看一下圆的定义。

圆是平面上所有到圆心的距离都等于半径的点的集合。

圆的圆心通常用字母O表示，半径通常用字母r表示。

根据勾股定理，圆上任意一点的坐标为（x，y），圆心的坐标为（a，b），则有：(x a)² + (y b)² = r²。

这就是圆的标准式方程。

在这个方程中，（a，b）表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

通过这个方程，我们可以方便地求解圆的相关问题。

接下来，我们来看一些应用例题。

比如，已知圆心坐标为（2，3），半径为5，求圆的标准式方程。

根据上面的公式，代入圆心坐标和半径，可以得到：(x 2)² + (y 3)² = 25。

这就是所求的圆的标准式方程。

通过这个方程，我们可以方便地求解圆的面积、周长等问题。

除了求解圆的标准式方程，我们还可以利用这个方程来判断点的位置关系。

比如，已知一个点的坐标为（4，5），判断这个点是否在上面所求的圆内。

将点的坐标代入圆的标准式方程，如果等式成立，则说明这个点在圆内；如果不成立，则说明这个点在圆外。

此外，我们还可以利用圆的标准式方程来求解与其他几何图形的位置关系。

比如，已知一个直线方程为2x + 3y = 6，判断这条直线与上面所求的圆的位置关系。

将直线方程化为标准式方程，然后与圆的标准式方程联立，可以求解出它们的交点，进而判断它们的位置关系。

总之，圆的标准式方程在数学中有着广泛的应用。

通过这个方程，我们可以方便地求解圆的相关问题，判断点的位置关系，以及求解与其他几何图形的位置关系。

希望本文能够对你有所帮助，谢谢阅读！。

高一数学圆的标准方程1

作业
习题7.7 P81 1(2)、2 、 4
课外思考题
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程. 3.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求切线的长.
2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切，则b= 4或-4 .
小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y 2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
①是关于x、y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
Hale Waihona Puke yryC(a,a)
O
y r (a,0) x
2 (x-a)2+y2=a C(a,b) x2+y2=r2
x 2+(y-b)2=a2+b2 2 2 2 (x-a) (x-a) +(y-a) =a
整理得
x
y0 y r .
2
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
2 例2. 已知圆的方程是 x 2 y 2 r，求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。

圆的标准方程

圆的标准方程圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

1圆的方程X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。

确定圆方程的条件圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²；根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

2方程推导(x-a)²+(y-b)²=r²在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。

所以√[(x-a)²+(y-b)²]=r两边平方，得到即(x-a)²+(y-b)²=r²3一般式x²+y²+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系配方化为标准方程：（x+D/2)².+(y+E/2)²=（(D²+E²-4F)/4 ）其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=[√（D²+E²-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D²+E²-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，Y）。

圆标准方程

圆标准方程圆，也称为原点对称的曲线，是一种极具吸引力的几何图形，它拥有让人惊叹的美感，并且在各个学科中都有重要的应用。

圆的标准方程是几何学中非常重要的一个概念，几乎所有有关圆的求解都要依赖它。

本文以圆的标准方程为研究的核心，深入探讨圆的定义、特点、计算方法和应用。

一、圆的定义和标准方程圆是一种特殊的曲线，由一个内切曲线（中心点到边界的最短距离称为圆的半径）和一个圆心组成。

圆的标准方程可以用几何学中的一般方程来定义，即：(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2其中 a b圆心的横纵坐标，r圆的半径，x y曲线上任一点的横纵坐标。

二、圆的特点1、圆的特性极具吸引力，是一种美感的极佳表达。

2、从几何学角度来看，圆是一种对称图形，同一点到圆心的距离是一定的，且任意两点之间的距离相同。

3、圆是一种有序的图形，以圆心为中心，将圆分成多个等份，可以计算出每一份的长度和弧度大小。

4、任意一点在圆上的移动距离与移动的角度成正比，因此可以进行精确的位置测量。

三、圆的计算方法1、求圆心坐标若圆的半径、圆心的横纵坐标已知，则可以用标准方程来求得圆心的坐标。

2、求圆的半径若知道圆心坐标，可以用两个任意点在圆上的坐标，求出两点之间的距离，即为圆的半径。

3、求任意点在圆上的坐标若知道圆心坐标，以及对应的角度，则可以利用三角函数的知识，求出任意点在圆上的坐标。

四、圆的应用1、圆的标准方程应用于几何学中的圆的计算，可以计算出圆心坐标、圆的半径以及任意点在圆上的坐标。

2、圆的标准方程也可以用于物理、信号处理、机器学习等学科中，例如，圆的标准方程可以用来求解一个磁轨运动受力平衡的位置；圆的标准方程可以用来模拟音频信号的周期变化；圆的标准方程也可以用来计算机器学习中向量的余弦相似度等。

五、总结本文介绍了圆的定义、特点和标准方程，以及圆的计算方法和应用。

圆的标准方程几乎是几何学中最常用的一个概念，它不仅是圆的计算方法，还可以用于物理学、信号处理、机器学习等学科中。

圆的标准方程1

想一想
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？ 2、方程 x2+y2+3x+4y+1=0表示什么曲线？

y
解：因为圆的半径
r AB (3 6) 2 (2 0) 2 13
B（3，2）
所以所求圆的方程是
O
A（6，0）
x
( x 3)2 ( y 2)2 13
用一用
例1：求过点A(6,0),且圆心B的坐标为（3，2）的圆的方程。
解：因为圆的半径所以所求圆的方程是
y r C
设 M(x，y)是所求圆上任一点，
M（x，y）点 M 在圆 C 上的充要条件是
|CM|＝ r，
由距离公式，得
O
x
( x a ) 2 ( y b ) 2 r，
两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
探一探
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
如果圆心在原点，此时a=0，b=0 园的标准方程就是：
圆心坐标（，1 0 ），r 3
圆心坐标（， 0 0），r 12
2、写出下列各圆的方程（1）圆心为（0，0），半径为3 （2）圆心为（3，4），半径为2
x2 y 2 9 ( x 3) 2 ( y 4) 2 4
用一用
例1：求过点A(6,0),且圆心B的坐标为（3， 2）的圆的方程。
r AB (3 6) 2 (2 0) 2 13
( x 3)2 ( y 2)2 13
练习二：求符合下列条件的圆的方程（1）圆心在（0，-3），过点（3，1）（2）已知点A（2，3），B(4，9），以线段 AB为直径

圆的标准方程

诚西郊市崇武区沿街学校.1圆的标准方程课程学习目的［课程目的］目的重点：圆的标准方程及其推导.目的难点：根据条件求圆的标准方程.［学法关键］1．根据圆的定义，借助于两点间的间隔公式自己推导出圆的标准方程，并且认清方程的特点.2．根据圆的标准方程，可以正确地写出圆心的坐标和半径长.求圆的标准方程，关键是确定圆的圆心和半径长，可以采用直接代入法或者者待定系数法求解.研习点1．圆的标准方程1．圆心C(a，b)，半径为r，那么圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.2．当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3．圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.研习点2．点与圆的位置关系给出点M1(x1，y1)和圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2，通过比较点到圆心的间隔和半径r的大小关系，得到：〔1〕假设点M1在圆C上，那么有(x1－a)2+(y1－b)2=r2；〔2〕假设点M1在圆C外，那么有(x1－a)2+(y1－b)2>r2；〔3〕假设点M1在圆C内，那么有(x1－a)2+(y1－b)2<r2.研习点3．确定圆的方程的方法和步骤1．圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。

2．求圆的标准方程的一般步骤为：〔1〕根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2；〔2〕根据条件，建立关于a、b、r的方程组；〔3〕解此方程组，求出a、b、r的值；〔4〕将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.题型1．直接法求圆的标准方程例1．求满足以下条件的圆的标准方程：〔1〕圆心在(3，4)，半径为5；〔2〕圆心在原点，半径为1.解：〔1〕(x－3)2+(y－4)2=25；〔2〕x2+y2=1，此圆也称为单位圆。

题型2．用待定系数法求圆的标准方程例2．求经过两点A(－1，4)、B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.解法一：设圆心C(a，b)，圆心在y轴上，，所以a=0.设圆的标准方程是x2+(y－b)2=r2.因为该圆经过A(－1，4)、B(3，2)两点，所以222222(1)(4)3(2)b rb r⎧-+-=⎨+-=⎩，解得2110br=⎧⎨=⎩，所以圆的方程是x2+(y－1)2=10.题型3．判断点与圆的位置关系例3．两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内？解：由得圆心坐标为C(5，6)，半径r的平方为r2=10所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，将M，N点的坐标代入方程得(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)2<10，所以点M在圆上，点N在圆内.【教考动向·演练】1．圆(x－1)2+(y+1)2=2的周长是〔C〕〔A〕2π〔B〕2π〔C〕22π〔D〕4π2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是〔C〕〔A〕x2+y2=25〔B〕x2+y2=5〔C〕(x－3)2+(y－4)2=25，〔D〕(x+3)2+(y+4)2=25，3．圆心在P(－2，3)并且与y轴相切，那么该圆的方程是〔B〕〔A〕(x－2)2+(y+3)2=4〔B〕(x+2)2+(y－3)2=4〔C〕(x－2)2+(y+3)2=9〔D〕(x+2)2+(y－3)2=94．过点A(1，－1)，B(5，6)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为〔C〕〔A 〕(x －3)2+(y+1)2=4〔B 〕(x+3)2+(y －1)2=4〔C 〕(x －1)2+(y －1)2=4〔D 〕(x+1)2+(y+1)2=45．以(A(－1，2)，B(5，6)为直径端点的圆的方程是。