高中数学 2.1.2 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式 北师大版必修2
2. 1.2 第一课时 直线方程的点斜式课件(北师大版必修二)
b的不同情况，直线所过的象限可见下表：
k
b b>0
直线特征 仅过第一、二、三象限
k>0
b＝0
b<0 b>0
仅过第一、三象限及原点
仅过第一、三、四象限 仅过第一、二、四象限 仅过第二、四象限及原点 仅过第二、三、四象限
kபைடு நூலகம்0
b＝0 b<0
k
b b>0
直线特征 仅过第一、二象限 不过任何象限，为x轴 仅过第三、四象限
[例3]
已知直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴
围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[思路点拨]
先判断直线的斜率一定存在，设出
直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解．
[精解详析]
显然，直线l与两坐标轴不垂直，
否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l 的方程为y－3＝k(x＋2)， 令x＝0，得y＝2k＋3， 3 令y＝0，得x＝－k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 3 2|(2k＋3)(－k－2)|＝4， 3 即(2k＋3)(k＋2)＝± 8.
1．已知直线经过的一点和其斜率，就可以写 出直线方程的点斜式．当斜率为零时，直线垂直于y 轴，直线方程为y＝y0；当直线的斜率不存在时，直 线的倾斜角为90°，直线垂直于x轴，直线方程为x＝
x0.
2．已知直线经过两已知点时，可以用两点 式写出直线方程，但当x1＝x2或y1＝y2时，可直接写 成x＝x1或y＝y1，不要再用两点式表示． 3．直线方程的点斜式、斜截式、两点式和 截距式都可写成一般式，但一般式只能在一定条件下 才能写成其它形式．
上一节学的倾斜角和斜率是在直角坐标系内确定 直线的几何要素．已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜 率)可以确定一条直线．这样，在直角坐标系中，给定一
陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修二2.1.2 直线的方程教案
【教学案例】直线的方程（一）（西安高新一中）（一）教学分析1．学生起点分析：（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，（2）学生活动的经验基础：学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。
2．教学任务分析：（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。
（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。
探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。
从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。
（3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。
（二）教学过程1．问题提出：方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。
方案二：一次函数的一般形式为y = kx + b，其图像为一条直线。
当一次项系数k> 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k< 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。
问题提出：①从集合的角度看，直线可以看成什么？②在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？③一次函数的图像是怎么描绘出来的？④一次函数的解析式可以看成什么？⑤在平面直角坐标系中，直线的代数形式是什么？⑥从直线的代数形式上看，确定直线的因素是什么？⑦这些因素的几何意义你知道吗？是什么？⑧在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何因素是什么？⑨从对上面问题的解答中，你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗？分别有哪些？你能对它们进行叙述或定义吗？⑩在平面直角坐标系中，所有直线都可以写成一次函数的解析式吗？问题解答：①可以看成点的集合。
高一数学：1.2.1直线的点斜式方程 课件 (北师大必修2)
作业：
1.作业：课课练 P43
2.练习: 课本P75练习
上一页
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和(0,b) 由题意知
|
整理得
3b 4
||b|
9b 2 16
3x/4+3或y=-3x/4－3
直线的点斜式方程
复习
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
2. 已知直线上两点 ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),如果x2 x1 , P 那么直线PQ的斜率.
当x2 x1 , 那么直线 的斜率不存在。 PQ
练习
问题：确定一条直线需要知道哪些条件？
例如：一个点 P(0,3) 和斜率为k＝2就能确定 一条直线 l . 思考：取这条直线上不同于点P的任意 一点 Q( x, y) ，它的横坐标x与纵坐标y满 足什么关系？ l y 3 2 y 3 2(x 0) x0
直线与方程有什么联系？
－1
y .
. Q
k2
1
3– P
–
o
x
上一页
y
（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 l 称为直线 l 的点斜式方程。
.
. Q
k2
1
3– P –
－1
o
x
一般的，设直线l经过点 P ( x1 , y1 )，斜 1 率为 k 则方程 y y1 k ( x x1 )叫做直线 的点斜式方程。 局限性：只适用于斜率存在的情形。 上一页
l
–
北师大版高中高一数学必修2《直线与直线的方程》评课稿
北师大版高中高一数学必修2《直线与直线的方程》评课稿引言《直线与直线的方程》是北师大版高中高一数学必修2的一篇重要教材内容。
在本评课稿中，我将对该课程进行详细评价和分析。
通过对教材内容、教学目标、教学方法、学生反应等方面的细致观察和思考，以期为进一步改进教学提供有益的建议。
教材内容分析《直线与直线的方程》是数学必修2中的一篇重要章节，主要涵盖了直线的基本概念、直线的方程、直线的特殊情况等内容。
教材内容丰富，层次分明，内容之间有着良好的逻辑关系。
通过学习这个章节，学生可以深入了解直线的性质和方程的求解方法。
具体来说，教材内容主要包括以下几个方面：1.直线的基本概念：介绍了直线的定义、直线上的点和直线的方程等基本概念，为后续内容的学习打下了基础。
2.直线的方程：讲解了直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程的概念和求解方法。
通过具体例子的讲解，帮助学生掌握直线方程的推导和应用。
3.直线的特殊情况：介绍了斜率无穷大、斜率为零和斜率相等的特殊情况。
通过这些特殊情况的分析，学生可以更好地理解直线的性质和方程的特点。
综上所述，教材内容既涵盖了基本概念的讲解，又深入剖析了方程的求解方法，具备了培养学生数学思维能力和解决实际问题的能力的潜力。
教学目标分析《直线与直线的方程》这一章节的教学目标是培养学生对直线的理解和掌握直线的方程的求解能力，具体目标包括：1.掌握直线的基本概念，包括直线的定义、直线上的点和直线的一般方程等。
2.理解点斜式方程和两点式方程，并能够根据输入的条件将其转换成一般方程。
3.掌握直线的特殊情况，如斜率无穷大、斜率为零和斜率相等的特殊情况，并能应用这些概念解决实际问题。
4.培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生亲自动手解决直线方程相关的问题。
通过达到上述目标，学生将能够建立起对直线及其方程的全面理解，为进一步学习几何知识打下坚实基础。
教学方法分析在《直线与直线的方程》这一章节的教学中，教师应选用多种教学方法，以促进学生的主动参与和批判性思维的发展。
2.1.2 第1课时 直线方程的点斜式
所以，它的点斜式方程是 所以，
y − b = k( x − 0)
可化为 y = kx + b ．
直线方程的斜截式
轴上的截距， 我们称 b 为直线 y = kx + b 在 y 轴上的截距 ， 为直线方程的斜截式． 称 y = kx + b 为直线方程的斜截式．
练一练
写出下列直线的斜截式方程： 写出下列直线的斜截式方程：
1.2 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
1．了解直线方程的定义 2．了解直线方程的点斜式的推导过程，记住直线的点斜式 了解直线方程的点斜式的推导过程， 和斜截式方程． 和斜截式方程． 3．会求直线的点斜式和斜截式方程． 会求直线的点斜式和斜截式方程．
y 1.若直线 是什么? 1.若直线 l 的倾斜角 α,则斜率 k 是什么?
该直线的点斜式方程是
3 y − 0 = − (x + 5) ， 8
可化为 3x + 8y +15 = 0 ．
归纳： 归纳：点斜式方程与斜截式方程的对比 点斜式方程: k(x点斜式方程: y-y0 = k(x-x0) 几何意义：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点 几何意义： 是直线的斜率，
P ( x1 , y1 ) 1
P2 ( x2 , y2 ) o
k = tan α
(α ≠ 90 )
o
α
x
2.已知直线上的两点 P ( x1 , y1 ) ， P ( x２ , y２) 1 ２
y2 − y1 则直线P P 的斜率 k = （x1 ≠ x2） 1 ２ x2 − x1
上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的 几何要素.那么我们能否用给定的条件（ 几何要素 那么我们能否用给定的条件（点 P0 的坐标和 那么我们能否用给定的条件 斜率 将直线上所有点的坐标（ 将直线上所有点的坐标 k ),将直线上所有点的坐标（ x, y)满足的关系表示
高一数学：1.2.1直线的点斜式方程 课件 (北师大必修2)
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2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
(k 4) 2 0
（1）经过点（4，-2），斜率为3；
3x-y-14=0
（2）经过点（3，1），斜率为1/2； x/2-y-1/2=0 （3）经过点（2，3），倾斜角为0 ；
0
y-3=0
（4）经过点（2，5），倾斜角为900； X-2=0
2x-y+14=0 （5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
上一页
Ⅰ 当过 P ( x1 , y1 ) 点直线的倾 1 斜角为90°时, 斜率不存在， 它的方程不能用点斜式表示。 它的方程是 x x1
作业：
1.作业：课课练 P43
2.练习: 课本P75练习
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直线与方程有什么联系？
－1
y .
. Q
k2
1
3– P
–
oxΒιβλιοθήκη 上一页y（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 l 称为直线 l 的点斜式方程。
.
. Q
k2
1
3– P –
－1
o
x
一般的，设直线l经过点 P ( x1 , y1 )，斜 1 率为 k 则方程 y y1 k ( x x1 )叫做直线 的点斜式方程。 局限性：只适用于斜率存在的情形。 上一页
直线的点斜式方程
复习
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
2.1.2 直线方程的两点式和一般式教案 (高中数学必修2北师大版)
第2课时 直线方程的两点式和一般式1．直线方程的两点式、截距式、一般式预习交流1直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？提示：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1所表示的图形不含点(x 1，y 1)，不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．预习交流2我们已经学习了直线方程的五种形式，在解题时应如何选择方程的形式？ 提示：一般地，直线方程形式的选择技巧如下： (1)已知一点，通常选择点斜式； (2)已知斜率，通常选择斜截式或点斜式； (3)已知截距，通常选择截距式； (4)已知两点，通常选择两点式． 预习交流3直线方程的几种形式是如何转化的？ 提示：1．直线的两点式和截距式方程已知△ABC 的顶点A (1，－1)，线段BC 的中点为D ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC 所在直线的方程．思路分析：先利用两点式求出直线AD 的方程，然后利用所给条件求出直线BC 在x 轴、y 轴上的截距，用截距式表示出直线BC 的方程．解：(1)∵线段BC 的中点坐标为D ⎝⎛⎭⎫3，32，△ABC 的顶点坐标A (1，－1)，由两点式得直线AD 的方程y ＋132＋1＝x －13－1，即BC 边上的中线所在直线的方程为5x －4y －9＝0.(2)设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 由题意得a ＋b ＝9，①直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1，∵点D ⎝⎛⎭⎫3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1， ∴6b ＋3a ＝2ab .②由①②可得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0， 解得a ＝92或a ＝6.因此，所求直线BC 在两坐标轴上的截距为⎩⎨⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3，∴直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0.1．求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2，－3)，B (－5，－6)； (2)过点A (－3，－4)，B (－3,10)；(3)在x 轴上的截距为－2，在y 轴上的截距为2； (4)在x 轴，y 轴上的截距都是4.解：(1)y －(－3)－6－(－3)＝x －(－2)－5－(－2)，整理得x －y －1＝0.(2)∵直线与x 轴垂直， ∴方程为x ＝－3.(3)x －2＋y2＝1，整理得x －y ＋2＝0.(4)x 4＋y4＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．求过点A (3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． 解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时， 设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3, 4)，∴3a ＋4－a＝1，解得 a ＝－1. ∴直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝43，∴直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x 轴、y 轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．2．直线方程的一般式设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但需m 2－2m －3≠0；(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.。
《直线的方程》课件1 (北师大版必修2)
直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.
由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？
x y 1 a b
以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的， 所以叫做直线方程的截距式.
2、直线方程的两点式和截距式
探究4：a,b表示截距，是不是表示直线 与坐标轴的两个交点到原点的距离？
不能,因为斜率可能不存在. 因此,在具体运用时应根据情况分类讨论,避免遗漏.
1、直线方程的点斜式和斜截式
问题3：
求直线L的方程？
直线L与Y轴交点的纵坐标。 纵截距： 说明： 直线L与X轴交点的横坐标。 横截距：
(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。 (2)纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。 (3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用 斜截式比用点斜式更方便. (4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？ 什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.
7.2 直线的方程（1）
7.2 直线的方程(1)
一.复习回顾
直线的方程与方程的直线 直的倾斜角和斜率 概念辨析
斜率公式 斜率公式的形式特点及适用范围 确定一条直线需要具备几个独立条件
直线的方程与方程的直线
以一个方程的解为坐标的点都是某条直 线上的点，反过来，这条直线上的点的坐 标都是这个方程的解，这时，这个方程就 叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个 方程的直线。
3、直线方程的一般形式
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为-4/3， 求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜 式是 y + 4 = -4/5 （x – 6） 化成一般式，得 4x+3y – 12=0
【步步高】高中数学 第二章 2.1.2直线的方程(一)配套名师课件 苏教版必修2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．方程 y＝k(x－2)表示___③_____． ①通过点(－2,0)的所有直线； ②通过点(2,0)的所有直线； ③通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线； ④通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线． 解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在， 故直线不垂直于 x 轴．
斜率？ 答 当 x1≠x2 时，kAB＝yx22－－yx11； 当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
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问题 2 在直角坐标系内确定一条直线，应已知哪些条件？ 答 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定 一条直线； 已知两点也可以确定一条直线．
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2.1.2 直线的方程
第一课时
【学习要求】 1．理解由斜率公式推导直线方程的点斜式的思路，掌握直
线方程的点斜式与斜截式的关系． 2．初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题． 【学法指导】
通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探讨得 出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与 “距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关 系，进一步培养数形结合的思想．
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探究点二 直线的斜截式方程 问题 1 已知直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0，b)，
得到的直线 l 的方程是什么？ 答 将 k 及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.
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小结 我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距．方程 y＝kx＋b 由 直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也 叫做直线的斜截式方程．
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2019-2020年苏教版数学必修二讲义：第2章+2.1+2.1.2 第1课时 点斜式及答案
2.1.2 直线的方程第1课时 点斜式1．直线的点斜式方程(1)过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程y －y 1＝k (x －x 1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P 1(x 1，y 1)且与x 轴垂直的方程为x ＝x 1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y ＝kx ＋b ，它表示经过点P (0，b )，且斜率为k 的直线方程．其中b 为直线与y 轴交点的纵坐标，称其为直线在y 轴上的截距．思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.() [答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．y＝－x＋5[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．y＝1x＝1[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．3x－y－2＝0[k＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝3 (x－0)，即3x－y－2＝0.](1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．[解](1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.[解](1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．[解](1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.[解](1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝3 3，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？[提示]直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k<0.2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.(1)求直线l的方程．(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?[提示](1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.【例3】已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．[解] 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)，当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k .由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为 y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．[解] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤．(2)求斜截式方程的求解策略．(3)含参数方程问题的求解．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是________．2x－y＋2＋1＝0[由方程知，已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋2＋1＝0.]3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．135°，－1[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.] 4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4－3，k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴3k＋4－4k∴k＝4或k＝－13.∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.。
直线的方程(第1课时+直线的点斜式方程与斜截式方程)课件-高二上学期数学人教B版选择性必修第一册
探究三
直线方程的选择
【例3】 已知直线l过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
解:由题意知,直线l的斜率存在,且不为0,设斜率为k,则直线l的点斜式方程
为y-4=k(x-3).
4
令 x=0,得 y=4-3k,令 y=0 得,x=3-.
4
4
2
由 4-3k=3-,即 3k -k-4=0,解得 k=3或 k=-1.
程;
(2)在本例条件下,求直线l在x轴上的截距.
解:(1)由题意可知,直线l过点(m,0),故直线l的点斜式方程为y-0=2(x-m),化简
得y=2x-2m.
(2)因为直线l的方程为y=2x+m,令y=0,得x=- ,所以直线l在x轴上的截距为
2
- .
2
已知直线的斜率和直线与y轴的交点的坐标,用斜截式写出直线的方程比
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:误把直线在两坐标轴上的截距当成距离.
4
正解:设直线 l 的方程为 y=- x+b,
3
令 x=0,得 y=b;
3
令 y=0,得 x=4b.
1
3
由题意,得2|b|·4 =6,
所以 b2=16,
所以 b=±4.
4
4
故直线 l 的方程为 y=-3x+4 或 y=-3x-4.
因混淆“截距”与“距离”而致误
【典例】 已知斜率为-
4
3的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直
线l的方程.
4
3
错解:设直线 l 的方程为 y=-3x+b,当 x=0 时,y=b;当 y=0 时,x=4b,
高中数学北师大版必修2《第2章 1 1.2 第1课时 直线方程的点斜式》课件
斜截式 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 适用范围
y_－__y__0_＝__k_(_x_－__x_0_)_
斜率存在
__y_＝__k_x__＋_ b
4
思考1：直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？ 提示：不能．不表示倾斜角为90°的直线．
5
2．直线 l 的截距
(1)在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的 纵坐标 ． (2)在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的 横坐标 ．
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[解] (1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y＝k(x－2)，
∵点A(3,4)在直线上， ∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
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法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 则直线的斜率k＝43－－02＝4， 由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8. (2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1， 直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
3 2
(x＋7)
[(1)k＝tan 135°＝－1，由
直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．
又斜率为 23， 所以所求直线的点斜式方程为：
y－0＝ 23(x＋7)．]
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【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
高中数学直线与直线的方程直线方程的点斜式直线方程的两点式和一般式含解析北师大版必修
1．2 直线的方程1．2.1直线方程的点斜式考纲定位重难突破1.理解直线方程的含义．2.掌握并能熟练应用直线的点斜式方程及使用条件.3.掌握并能熟练应用直线的斜截式方程及使用条件. 重点：熟练求出满足已知条件的直线方程．难点：常与函数、方程等结合命题．方法：待定系数法求直线方程.授课提示：对应学生用书第36页[自主梳理]一、直线方程的点斜式和斜截式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围点斜式直线l上一点P(x1，y1)及斜率ky－y1＝k(x－x1)直线不与x轴垂直斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距by＝kx＋b直线不与x轴垂直1．在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的b；2．在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的a.[双基自测]1．直线方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．答案：D2．若直线方程为y－3＝3(x＋4)，则在该直线上的点是()A．(4,3)B．(－3，－4)C．(－4,3) D．(－4，－3)解析：由点斜式方程知该直线经过(－4,3)．答案：C3．直线y ＝12(x ＋4)在y 轴上的截距为________．解析：方程可化为y ＝12x ＋2，故直线在y 轴上的截距等于2.答案：24．经过点(－2,1)，且斜率与直线y ＝－2x －1的斜率相等的直线方程为________． 解析：直线y ＝－2x －1的斜率为－2.故所求直线的斜率为－2，又经过点(－2,1)，故所求直线方程为y －1＝－2(x ＋2)，可化为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝05．已知直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋2＝0. (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 在y 轴上的截距为4，求k 的值．解析：(1)证明：直线l 的方程可化为y －2＝k (x ＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k 的直线，故直线过定点(－2,2)．(2)令x ＝0，得y ＝2k ＋2，依题意有2k ＋2＝4，故k ＝1.授课提示：对应学生用书第36页探究一 直线的点斜式方程[典例1] 根据下列条件，写出直线的点斜式方程： (1)斜率为－12，且过点(2，－2)；(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；(3)斜率为2，与x 轴交点的横坐标为－5； (4)过点B (－1,0)，D (4，－5)； (5)过点C (－2,3)，与x 轴垂直．[解析] (1)所求直线的斜率为－12，又过点(2，－2)，故所求方程为y ＋2＝－12(x －2)．(2)设直线的倾斜角为α，因为α＝45°，k ＝tan α＝tan 45°＝1， 所以所求直线的点斜式方程为y －1＝x －3.(3)由直线与x 轴交点的横坐标为－5，得直线过点(－5,0)． 又斜率为2，由直线的点斜式方程得y －0＝2[x －(－5)]， 即y ＝2(x ＋5)．(4)直线的斜率为k＝－5－04－(－1)＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)，即y＝－(x＋1)．(5)由于直线与x轴垂直，所以斜率不存在，又过点(－2,3)，故方程为x＝－2.1．用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．若直线过点P(x0，y0)且斜率不存在，则直线方程为x－x0＝0.2．求直线的点斜式方程的步骤：(1)确定直线所经过的一个点(x0，y0)；(2)求出直线的斜率k；(3)根据点斜式写出直线方程．1．根据条件写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．解析：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0(x＋1)．探究二直线的斜截式方程[典例2]根据下列条件求直线的斜截式方程：(1)斜率为3，在y轴上的截距等于－1；(2)在y轴上的截距为－4，且与x轴平行．[解析](1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝3x－1；(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为－4，所以所求的直线方程为y＝－4.1．直线l与x轴的交点的横坐标称为直线l的横截距；与y轴交点的纵坐标称为直线l的纵截距．注意截距不是距离，截距可以为正，可以为负，也可以为零，距离不能为负．2．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．3．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．4．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .2．(1)已知直线方程为y －2＝3(x ＋3)，则它在y 轴上的截距为________； (2)已知直线的斜率为2，在y 轴上的截距m 为________时，该直线经过点(1,1)． 解析：(1)由y －2＝3(x ＋3)可得y ＝3x ＋11.对照斜截式方程可知直线在y 轴上的截距b ＝11. (2)由已知可得直线方程为y ＝2x ＋m ，又直线经过点(1,1)， 所以1＝2＋m ，得m ＝－1. 答案：(1)11 (2)－1探究三 直线方程的简单应用[典例3] 已知直线l 的斜率为2，且与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x 轴、y 轴围成的三角形的周长．[解析] 由于直线l 的斜率为2，故设l 的方程为y ＝2x ＋b . 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b 2.由已知得12·|b |·⎪⎪⎪⎪－b 2＝36， 解得|b |＝12. 即b ＝±12，所以l 的方程为y ＝2x ＋12或y ＝2x －12.当b ＝12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－6,12； 当b ＝－12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6，－12. 故三角形的周长为6＋12＋62＋122＝18＋6 5.1．求直线方程时，通常采用待定系数法，即先设出参数，然后利用条件求得参数值，即得方程．如果直线的斜率已知，通常设直线方程的斜截式，这时方程中含参数b ；如果直线所经过的某个点的坐标已知，则可设点斜式，这时方程中含参数k .2．截距不是距离，在求解有关周长、面积的问题时，注意二者的区别，必要时应通过绝对值进行转化．3．如图，光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线的方程．解析：入射光线经过点M 、N ，其斜率k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°，由物理学知识得∠M ′NP ＝45°，即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1， ∵点N (0,1)在反射光线上，∴反射光线的方程为y －1＝(－1)(x －0)， 即x ＋y －1＝0.对截距概念理解不到位致误[典例] 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．[解析] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b . 由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，所以b ＝±1. 故所求直线的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.[答案] y ＝16x ＋1或y ＝16x －1[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，不是直线与y 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．[随堂训练] 对应学生用书第38页1．下列说法：①任何一条直线在y 轴上都有截距； ②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x 轴的任何直线． 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．答案：D2．直线y ＝π4x －1的斜率等于( )A ．1B ．－1 C.π4D ．－π4解析：由直线方程的斜截式知其斜率为π4.答案：C3．若直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B ．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1解析：直线方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，因此直线经过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：D4．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：由题意知该直线的斜率为2，又该直线经过点P (1,2)，∴该直线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x5．直线y ＝3kx －3k ＋6经过定点P ，则点P 的坐标为________．解析：直线方程可化为y －6＝3k (x －1)，由点斜式可知该直线经过定点P (1,6)． 答案：(1,6)1．2.2 直线方程的两点式和一般式以用关于x ，y的二元一次方程来表示．3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围. 难点：直线方程几种形式的选择．疑点：直线方程中的隐含条件易被忽略.授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]直线方程的两点式、截距式和一般式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式直线l上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在坐标轴上的两截距：横截距a与纵截距bxa＋yb＝1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值Ax＋By＋C＝0平面内任一条直线1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线，③显然正确．答案：D2．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为()A.x 5＋y3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y 3＝0 解析：由方程的截距式易知直线方程为x 5＋y －3＝1，即x 5－y3＝1.答案：B3．若直线mx ＋2y －1＝0的斜率等于2，则它在y 轴上的截距为________．解析：由已知得－m2＝2，所以m ＝－4，此时直线的方程为－4x ＋2y －1＝0，可化为y ＝2x ＋12，所以直线在y 轴上的截距为12.答案：124．若直线2x ＋3y ＋m ＝0经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是________． 解析：2x ＋3y ＋m ＝0可化为y ＝－23x －m 3，依题意应有－m3>0，所以m <0.答案：m <05．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)，AC 的中点D 的坐标为(－4,2)．求：(1)边AC 所在直线的方程； (2)BD 所在直线的方程．解析：(1)因为A (0,4)，C (－8,0)，所以由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.所以边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.故BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.授课提示：对应学生用书第39页探究一 直线方程的两点式方程和截距式[典例1] 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解析] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1.化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1.因为直线过点P (2,3)，所以2＋3a＝1，即a ＝5. 直线方程为y ＝－x ＋5.所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．1．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解析：(1)易知直线l 过点(m,0)，(0,4－m )， 则k ＝4－m －m＝2, m ＝－4.(2)由m ＞0,4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝m (4－m )2＝－(m －2)2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.探究二 直线方程的一般式[典例2] 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值； (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解析] (1)因为直线l 的斜率存在， 所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.1．直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A ，B 不同时为0；2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．2．当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1； (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1?解析：(1)因为直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.(2)因为直线在x 轴上的截距为1，所以令y ＝0，得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.探究三 直线方程的综合应用[典例3] 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[解析] (1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，所以直线l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)要使l 不经过第二象限，则它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，所以a ≥3.1．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝－AB ，这时直线方程可化为点斜式或斜截式；当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式．2．直线在平面直角坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则条件 直线的位置 k >0，b >0 k >0，b <0 k <0，b >0 k <0，b <0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限3．求经过点A (2,1)，B (6，－2)的直线的两点式方程，再把它化为一般式、点斜式、截距式和斜截式方程，并画出图形．解析：直线AB 经过点A (2,1)，B (6，－2)，则两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2.去分母，整理得3x ＋4y －10＝0，这就是一般式方程．直线AB 的斜率k ＝1－(－2)2－6＝－34，所以点斜式方程为y －1＝－34(x －2)．令x ＝0，得y ＝52；令y ＝0，得x ＝103，所以截距式方程为x 103＋y52＝1.直线AB 的斜率k ＝－34，在y 轴上的截距为52，所以直线AB 的斜截式方程为y ＝－34x ＋52.直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点(103，0)与(0，52)，经过这两点作直线，就得到直线AB ，如图所示．直线方程的实际应用[典例] (本题满分12分)某小区内有一块荒地ABCDE ，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m ，CD ＝240 m ，DE ＝300 m ，EA ＝180 m ，∠C ＝∠D ＝∠E ＝90°)[规范解答] 以BC 边所成直线为x 轴，AE 边所成直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．①由已知可得A (0,60)，B (90,0).……………………………………3分 所以AB 所在直线方程为x 90＋y 60＝1，即y ＝60－23x ………………………………….5分 从而可设线段AB 上一点P ⎝⎛⎭⎫x ，60－23x ， 其中0≤x ≤90，所以所开发部分的面积为S ＝(300－x )(240－y ). …………………………………7分 故S ＝(300－x )⎝⎛⎭⎫240－60＋23x ＝－23x 2＋20x ＋54 000＝－23(x －15)2＋54 150(0≤x ≤90)．②…………………………………9分所以当x ＝15，y ＝60－23×15＝50时，S max ＝54 150 m 2. …………………………………11分因此点P 距直线AE 15 m ，距直线BC 50 m 时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m 2.③…………………………………12分[规范与警示] (1)解答本题的3个关键步骤如下：一是根据条件建立适当的坐标系①是将几何问题转化成代数问题的关键，也是失分点． 二是根据直线方程确定x 和y 的关系后，在②处要根据实际情况确定出x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错误解答．三是在解答③处的结论一定不能漏掉，否则解题步骤不完整，造成没必要的失分． (2)解决该类问题应注意以下两点：一是利用坐标法解决实际生活问题时，首先要建立适当的坐标系，再借助已知条件寻找x 和y 的关系．要求一定准确、恰当，否则给后面的运算化简带来麻烦．二是利用二次函数知识探求最大值是解答这类问题常用的方法，因此要求转化正确，不能漏掉自变量的范围，而且步骤一定要完整、规范．[随堂训练] 对应学生用书第40页1．经过点⎝⎛⎭⎫12，－1和⎝⎛⎭⎫12，2的直线的方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝2 C ．x ＝12D ．y ＝12解析：因直线的斜率不存在，∴直线的方程为x ＝12.答案：C2．已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2解析：分析知a ≠0，直线l 的方程可化为x 2a ＋y 2＝1，所以由2a ＝2，得a ＝1，故选A.答案：A3．若mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，则m ，n 的值分别是( ) A ．4,3 B ．－4,3 C ．4，－3D ．－4，－3解析：mx ＋ny ＋12＝0化为截距式为x －12m ＋y－12n ＝1，所以⎩⎨⎧－12m＝－3，－12n ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3.答案：C4．直线4x －y －8＝0在x 轴上的截距等于________． 解析：令y ＝0，得x ＝2，所以直线在x 轴上的截距为2. 答案：25．若方程mx ＋(m 2－m )y ＋1＝0表示一条直线，则m 的取值范围是________． 解析：要使方程表示直线，需m 和m 2－m 不同时为0，因此m ≠0. 答案：m ≠0。
2.1.2第1课时直线方程的点斜式 学案(高中数学必修2北师版)
1．2 直线的方程第1课时 直线方程的点斜式若直线经过点P (x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？ 【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)． 1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l 的方程： (1)直线l 上任一点的坐标(x ，y )都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x ，y )所对应的点都在直线l 上． 2．直线方程的点斜式和斜截式(1)经过点A (－1,4)，斜率k ＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为45°； (3)经过点B (3，－5)，倾斜角为90°； (4)经过点C (2,8)，D (－3，－2)．【思路探究】 解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解． 【自主解答】 (1)y －4＝－3[x －(－1)]，即y ＝－3x ＋1，图形如图(1)所示． (2)k ＝tan 45°＝1，∴y －0＝x －0，即y ＝x .图形如图(2)所示．(3)斜率k 不存在，∴直线方程为x ＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3；当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3[x －(－3)]，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m . 把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程．【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．【错因分析】 未考虑m 与3的关系导致错误的出现．【防范措施】 当m ＝3时斜率不存在，故应该讨论m 与3的关系． 【正解】 当m ＝3时，直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝3，当m ≠3时，k ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2[x－(－1)]∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2，令y ＝0，x ＝2＋aa.由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a)＝0.∴a ＝－2或a ＝1. 【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12.【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5.∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2. 【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2.(2)k ＝tan 30°＝33.∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1.10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0， ∴m ＝4，即P (3,4)．又∵已知直线方程可化为y ＝x ＋1， ∴k ＝1＝tan 45°， 即倾斜角为45°.。
【数学】2.1.2 直线的方程 课件(北师大必修2)
思考4:若直线l在两坐标轴上的截距 相等，且都等m，则直线l的方程 如何？ x+y=m
知识探究（四）：直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两 点式、截距式方程都是关于x，y的 方程，这些方程所属的类型是什么？ 思考2:二元一次方程的一般形式是 什么？
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一 条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的 形式吗？ 思考4:关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）， 当B=0时，方程表示的图形是什么？ 当B≠0时，方程表示的图形是什么？
第二章 解析几何初步
2.1.2 直线的方程
问题提出
1 5730 p 2
t
1.若两条不同直线的斜率都存在， 如何判定这两条直线互相平行、垂 直？
l1 // l2 k1 k2
l1 l2 k1 k2 1
2.在直角坐标系中，直线上的点 的坐标具有一定的内在联系，如何 通过代数关系反映这种内在联系， 有待我们进行分析和探究.
A1A2+B1B2=0
思考3:当A，B，C分别为何值时，直 线Ax+By+C=0平行于x轴？平行于y轴？ 与x轴重合？与y轴重合？过原点？
思考4:过点P(x0，y0)，且与直线l： Ax+By+C=0平行的直线方程如何？
思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 在什么条件下有l1⊥l2？
知识探究（三）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0， b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方 程如何？ 思考2:直线l的方程可化为 其中a，b的几何意义如何？
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探究点一 直线的点斜式方程 根据下列条件，写出直线的点斜式方程： (1)斜率为－21，且过点(2，－2)； (2)经过点(3，1)，倾斜角为 45°； (3)斜率为 2，与 x 轴交点的横坐标为－5； (4)过点 B(－1，0)，D(4，－5)； (5)过点 C(－2，3)，与 x 轴垂直．
[解] (1)所求直线的斜率为－21， 又过点(2，－2)， 故所求方程为 y＋2＝－12(x－2)． (2)设直线的倾斜角为 α，
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一条直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．( ) (2)斜截式 y＝kx＋b 可以表示斜率存在的直线．( ) (3)直线 y＝2x－1 在 y 轴上的截距为 1.( ) (4)斜率为 0 的直线不能用直线的点斜式表示．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知直线 l 的方程为 y＋247＝94(x－1)，则 l 在 y 轴上的截距
为( )
A．9
B．－9
27 C. 4
D．－247
解析：选 B．由已知方程得 y＝94x－9，故直线 l 在 y 轴上的截
距为－9.
3．直线 l 的方程为 y－2 018＝k(x＋2 017)(k∈R)，则 l 一定过 的点是________． 答案：(－2 017，2 018) 4．经过点(－2，1)，且斜率与直线 y＝－2x－1 的斜率相等的 直线方程为________． 解析：直线 y＝－2x－1 的斜率为－2.故所求直线的斜率为－2， 又经过点(－2，1)，故所求直线方程为 y－1＝－2(x＋2)，可化 为 2x＋y＋3＝0. 答案：2x＋y＋3＝0
线 l，求直线 l 的点斜式方程．
解：(1)选 B．直线 l 的方程为 y－2＝－45(x－3)，将各选项中的 坐标代入方程验证可得(4，－3)不在直线上． (2)由方程 y＝－2(x＋m)－n 可得 y＋n＝－2(x＋m)，由点斜式 方程可知该直线的斜率为－2.故填－2. (3)直线 y＝x＋1 的斜率 k＝1，所以倾斜角为 45°.由题意知， 直线 l 的倾斜角为 135°，所以直线 l 的斜率 k′＝tan 135°＝－ 1，又点 P(3，4)在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程 为 y－4＝－(x－3)．
1．对直线的点斜式方程的认识 (1)应用条件：①一个定点 P(x0，y0)；②有斜率 k. (2)局限性：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，这 时直线方程为：x－x0＝0 或 x＝x0. (3)方程特点：当 k 取任意实数时，方程 y－y0＝k(x－x0)表示恒 过定点(x0，y0)的无数条直线．
第二章 解析几何初步
1.2 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
1．问题导航 (1)过点 P(x0，y0)且斜率不存在的直线，其方程是什么？ (2)直线方程的点斜式 y－y0＝k(x－x0)能否改写为xy－ －yx00＝k? (3)直线在 y 轴上的截距和直线与 y 轴的交点到原点的距离有什 么关系？
因为 α＝45°，k＝tan α＝tan 45°＝1，
所以所求直线的点斜式方程为 y－1＝x－3. (3)由直线与 x 轴交点的横坐标为－5， 得直线过点(－5，0)．
又斜率为 2， 由直线的点斜式方程得 y－0＝ 2 [x－(－5)]， 即 y＝ 2(x＋5)． (4)直线的斜率为 k＝4－－（5－－01）＝－1， 所以直线的点斜式方程为 y－0＝－(x＋1)， 即 y＝－(x＋1)． (5)由于直线与 x 轴垂直， 所以斜率不存在，又过点(－2，3)， 故方程为 x＝－2.
写直线的点斜式方程的步骤
1.(1)已知直线 l 过点 P(3，2)，且斜率为－45，则
下列点不在直线 l 上的是( )
A．(8，－2)
B．(4，－3)
C．(－2，6)
D．(－7，10)
(2)若直线 l 的方程为 y＝－2(x＋m)－n，则该直线的斜率为
________．
(3)直线 y＝x＋1 绕着其上一点 P(3，4)逆时针旋转 90°后得直
3．对“截距”概念的理解 直线 y＝kx＋b 中的 b 叫直线在 y 轴上的截距，也可称为直线的 截距，即当 x＝0 时 y＝b.所以直线在 y 轴上的截距为其与 y 轴 的交点的纵坐标，不是直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离． 4．直线方程的斜截式与一次函数解析式的关系 (1)斜截式方程中，k≠0 时，y＝kx＋b 即为一次函数，k＝0 时， y＝b 不是一次函数． (2)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方 程．
2．斜率为零或斜率不存在的直线的方程的形式 (1)如果直线 l 过点 P0(x0，y0)且与 y 轴垂直，这时，倾斜角为 0°， tan 0°＝0，即 k＝0.此时直线与 x 轴平行或重合，由点斜式方 程得直线方程为 y＝y0. (2)如果直线过点 P0(x0，y0)且与 x 轴垂直，此时它的倾斜角为 90°(直线与 y 轴平行或重合)，斜率不存在，它的方程不能用 点斜式表示，这时直线方程表示为 x＝x0.
2．例题导读 P67 例 4.通过本例学习，学会由已知直线上两点利用点斜式求 直线方程的方法．
1．直线的方程 如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线 l 的方程： (1)直线 l 上_任__一__点____的坐标(x，y)都_满__足__一__个__方__程___； (2)满足该方程的_每__一__个__数__对_____(x，y)所确定的点都在直线 l 上．
2．直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 已知条件 示意图 点斜式 点 P(x0，y0) 和斜率 k 斜率 k 和在斜率存在 k(x－x0)
y＝kx＋b 斜率存在
3.直线 l 的截距 (1)直线在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的_纵__坐__标___b_． (2)直线在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a，0)的_横__坐__标__a__．