g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
高三数学 三解函数式的化简,三角函数式的求值,三角恒等式的证明。三角形中的求值与证明知识精讲
高三数学三解函数式的化简，三角函数式的求值，三角恒等式的证明。
三角形中的求值与证明知识精讲一. 三角函数的化简1. 两角和与差的三角函数 cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin tan()tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=+-±=±±=±-；；12. 二倍角、半角的正弦、余弦、正切 sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan cos cos sin cos tancos cos cos sin sin cos 22221122212122122111122222αααααααααααααααααααααα==-=-=-=-=±+=±-=±-+=-=+；；；；；（右边的“”由所在象限决定±α2）。
3. 万能公式sin cos tan tan .αααα=+=-+==-21112212222tt t t t tt ；（其中）；4. 积化和差与和差化积[]sin cos sin()sin()αβαβαβ=++-12[][][]cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-=-+--121212；；；sin sin sincos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin .x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x y+=+--=+-+=+--=-+-222222222222；；；运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。
化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为： （1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
g3.1049三角函数的化简、求值与证明doc
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明一、知识回顾1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二、基本训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）AB、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-+的最小正周期 （ ）A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
5、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
三、例题分析例1、化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+例2、设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
三角函数式的化简与证明
高中数学：三角函数式的化简与证明(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12cos2x . 解析：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)证明：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.证明：因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，所以sin α＋sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2 ＝sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2＋sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2＝2sin α＋β2cos α－β2.1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．(1)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. (2)证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.证明：因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ2，所以cos θ－cos φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2 ＝cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2－cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.。
三角函数的求值化简与证明(教案)
三角函数的求值、化简与证明教学目标1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。
教学重点掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
教学难点能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值教学过程一、知识归纳1、两角和与差公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22tan tan 21tan ααα=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-公式变形：1sin cos sin 22ααα=21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求：①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数4、求值问题的基本类型及方法：(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。
（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键在于变角，使其角相同。
（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。
5、证明三角恒等式的思路和方法：①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。
②证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
二、典例分析：题型一：三角函数式的化简例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ•+•-• 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。
三角函数化简公式推导
三角函数化简公式是对复杂的三角函数进行简化，使三角函数变为简单的。
下面小编整理了三角函数化简公式推导，供大家参考。
三角函数化简公式三角函数和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα倍角公式sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三角函数万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三角函数化简技巧1、统一名：其中包含齐次化切，以及切化弦。
三角函数的化简、求值和证明
三角函数的求值、化简、证明考纲要求：①掌握以两角和与差的正余弦公式为核心的公式组.②理解这一些公式之间的关系；③以公式应用为基础解决三角函数的性质问题. 教材复习①两角和与差的正余弦公式：()cos αβ±= ； ()sin αβ±=②倍角公式及其推论：二倍角公式：cos 2α== ⇒= ⇒sin 2α= ， tan 2α=1sin α+= ；1sin α-= ； 1cos α+= ；1cos α-= tan tan αβ±= sin cos a b αα+= 基本知识方法1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等． （三）典型分析：问题1．()1（重庆）cos 47sin17cos30cos17︒-︒︒=︒ .A 2-.B 12-.C 12.D 2()2（届高三上海市育才中学期中）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos()64πα+=-， 则cos α=()3（山东文）已知cos sin 6παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A .B .C 45-.D 45()4= .A sin 4-.B sin 4.C sin 42cos 4-.D 2cos 4sin 4-问题2．（安徽）已知34παπ<<，10tan cot 3αα+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值问题3：(天津)已知函数2()26sin cos 2cos 14f x x x x x π⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期; (Ⅱ) 求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.问题4：已知,αβ均为锐角，且满足223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=.求证：22παβ+=课后作业：1.（萍乡模拟）tan tan tan 6666ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.A .B .C .D2.化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+3.求tan 204sin 20︒+︒的值.4. (全国Ⅲ文) 22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+.A tan α；.B tan 2α；.C 1 ；.D 125.（福建文）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（Ⅰ）求x x cos sin -的值； （Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.6.（高三江西赣州市期中文）已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+()1求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程()2求函数()f x 在[,]122ππ-上的值域．走向高考：7.（上海）若1cos cos sin sin 2x y x y +=,2sin 2sin 23x y +=，则sin()x y += 8.（辽宁文）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=.A 43-.B 54.C 34-.D 45。
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
专题三角函数的化简及证明
三角函数专题专题一 三角函数的化简、求值及证明一、 知识网络建构1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。
2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”）4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”5．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ=). 7．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =.2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. 二、考纲要求及考试方向1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
2、理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，理解同角三角函数的基本关系。
三角函数化简求值常用技巧
三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。
掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。
这也是解决三解函数问题的前提和出发点。
一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ，求xx 4cos 14cos 3-+的值。
解： 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。
二、统一配凑例2、已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。
∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。
三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。
三角函数的求值与化简
三角函数的求值与化简一 三角函数式的化简与证明 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(C α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(T α＋β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β(T α－β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)/(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)/(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式 sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3. 例1化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________.即时训练1化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________.例24cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32C.3D.22－1 (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－513，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝45且0<β<π2<α<π，则sin(α＋β)的值为________．即时训练2．(1)已知α为锐角，且sin α(1＋3tan 10°)＝1，则α的值为________． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．。
三角函数中的求值与化简
三角函数中的求值与化简三角函数中公式较多，这些公式应用非常广泛；对这些公式的考查常以求值与化简的形式出现；这类问题难度虽然不大，但高考卷面上失分情况仍然常见，究其原因，就是对公式记得不熟。
熟记公式必须做到：一理解记忆，即根据公式的来龙去脉去记，对每个公式是怎样得到的，要做到心知肚明，如同角三角函数关系式与诱导公式可由三角函数的定义直接推出；两角和差的正、余弦公式、正切公式、倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式、万能公式、辅助角公式可由两角和的余弦公式推出。
二公式的结构特点、公式的变形，公式的限制条件也必须牢记。
公式记熟了，化简与求值问题就会迎刃而解，下面举例说明。
例1．（97全国高考题）︒︒︒︒︒+︒sin8sin15cos7sin8cos157sin －的值为 分析：由cos15°sin8°、sin15°sin8°的结构特点容易联想到两角差的正、余弦公式，将7°写成15°－8°解：略。
例2．（96全国高考题）tam20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值是 分析：从式子的结构特点容易联想到两角和的正切公式有：tam20°＋tan40°＝tam （20°+40°）（1－tan20°tan40°）＝3－3tan20°tan40° 所以原式的值为3例3．（05全国高考卷Ⅲ）αα α＋αcos2cos ·cos212sin 22等于（ ） A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．21 分析：式子中分子有因式cos 2α，分母有因式1＋cos2α，由此可联想到二倍角的余弦公式cos2α＝2cos 2α－1，即1＋cos2α＝2 cos 2α便可得出结果选B 。
例4．（95年全国高考题）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值分析：降次是三角变换中常用的方法，于是： 原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43 由此式的结构特点易联想到余弦定理：在△ABC 中，由正、余弦定理易得： sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2 sinAsinBsinC ，于是：原式＝sin 220°＋sin 240°－2sin20°sin40°cos120°＝sin 2120°＝43 联想到sin 2θ＋cos 2θ＝1及两角和差的正弦公式，还可得到下面解法：设M ＝sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°N ＝cos 220°＋sin 250°＋cos 20°sin 50°则M ＋N ＝2＋sin70°M －N ＝－cos40°＋cos100°＋sin （－30°）＝－2sin 70°sin 30°－21∴2M ＝23即M ＝43 例5．(04全国高考卷)已知α为第二象限角，用sin α=415，求：1cos2sin24sin α＋α＋）π（α＋的值。
三角函数化简公式及方法
三角函数化简公式及方法三角函数化简就是对复杂的三角函数进行变形，从而变成简单的三角函数，接下来给大家分享三角函数化简常用的公式。
三角函数化简原则(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建求特角;(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互相转化;(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。
另外，根据式子的特点，还可以使用辅助角公式。
三角函数化简常用公式半角公式sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数积化和差公式sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数辅助角公式asinα+bcosα=(√a^2+b^2)sin(α+β)，tanβ=b/a 三角函数化简方法(1)切割化弦;(2)降幂公式；(3)用三角公式转化出特殊角;(4)异角化同角;(5)异名化同名;(6)高次转低次;(7)辅助角公式；(8)分解因式。
三角函数化简公式及方法
三角函数化简公式及方法
三角函数式的化简,既是三角公式的一种直接的应用,也是进一步研究三角函数有关问题的重要一环.三角函数的化简,首先应明确化简结果的基本要求;其次明确化简的一些基本方法.对化简结果要求,应做到五个"尽可能"。
三角函数化简公式及方法
三角函数式的化简,既是三角公式的一种直接的应用,也是进一步研究三角函数有关问题的重要一环.三角函数的化简,首先应明确化简结果的基本要求;其次明确化简的一些基本方法.对化简结果要求,应做到五个"尽可能"。
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
三角函数式的化简方法
①直接应用公式进行降次、消项；
②切割化弦，异名化同名，异角化同角；
③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：
①能求出值的应求出值；
②使三角函数种数尽量少；
③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数。
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g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
一、知识回顾
1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二、基本训练
1、已知θ是第三象限角，且445
9
sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）
A 、223
B 、223-
C 、23
D 、23
-
2、函数23
232
y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ）
A 、2π
B 、π
C 、3π
D 、4π
3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2
4、已知46
sin 3cos (4)4m m m
αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
5、设1
0,sin cos 2
απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
三、例题分析
例1、化简：
4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()
44
x x x x ππ
-+
-+
例2、设3177cos(),45124
x x π
ππ
+=<<
，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ
αβαα
+-+=
例4、已知11
sin()cos [sin(2)cos ],022
αβααβββπ+-+-=<<，求β的值。
例5、（05北京卷） 已知tan 2
α
=2，求
（I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值．
例6、（05全国卷Ⅲ）
已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.
例7、(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2
x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (
256
π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41
－32，求sin α的值．
四、作业 同步练习 g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
1、已知1sin()43πα-=，则cos()4π
α+的值等于 （ ）
A 、223
B 、223-
C 、13
D 、13-
2、已知tan α、tan β是方程23340x x ++=的两根，且(,)22
ππ
αβ∈-
、，则αβ+等于 （）
A 、3π
B 、23π-
C 、3π或23
π- D 、3π-或23π
3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42
x x
x x ππ+---为 （ ）
A 、sin x
B 、cos x
C 、tan x
D 、cot x
4、（全国卷Ⅲ）
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα
αα
(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)
12
5、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,0
1),sin()(12
x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ）
（A ）1 （B ）22,1-
（C ）22- （D ）2
2
,1 6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若
5
13
sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4
π
α+的值为－
8、已知tan()34
π
θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。
9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿. 10、求证：
2
1tan 1sin 2.12sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--
11、已知2sin 22sin ()1tan 42
k ααππ
αα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。
12、求值：
2(3tan123)csc12.4cos 122
--
13、已知3
tan tan 3
αβ=，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。
答案：
基本训练、1、A 2、B 3、D 4、[－1，
7
3
] 5、74-
例题、例1、1cos 22x 例2、2875- 例3、略 例4、2
π
例5、解：（I ）∵ tan
2α=2, ∴ 22tan
2242tan 1431tan 2α
αα⨯=
==---; 所以tan tan
tan 14tan()41tan 1tan tan 4π
απααπαα+++==--=411347
13
-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1
7346
3()23-+=--.
例6、解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分
12sin(2)4
x π
=+-…………………………………………………4分
()012s i n (2
)04
f x x π
∴>⇔+
->2
s i n (2
)4
2
x π
⇔->-
…………6分 52224
4
4
k x k π
π
π
ππ⇔-
+<-
<
+…………………………8分 34
k x k π
ππ⇔<<
+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44
x ππ
π∈⋃………………………12分
例7、解：(Ⅰ) 251253sin ,cos 6
2
6
2
ππ== 225252525()3sin sin cos 06666
f ππππ∴=-+=
(Ⅱ) 331()cos 2sin 2222
f x x x =
-+ 31313
()cos sin 222242
f ααα∴=+-=-
011sin 4sin 162=-α-α 解得8
5
31sin ±=
α 0s i n ),0(>α∴π∈α 8
5
31s i n +=∴a
作业、1—5、DBBBB 6、4
3- 7、-71
8、45- 9、22- 10、略 11、1k - 12、43-
13、3。