18版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.1第1课时对数的概念学案苏教版必修1

3．2.1 第1课时 对数的概念
1．理解对数的概念．(重点)
2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点) 3．掌握常用对数与自然对数的定义．
[基础·初探]
教材整理 对数的概念
阅读教材P 72～P 74，完成下列问题． 1．对数
一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b
＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2．常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg_N . 3．自然对数
以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N ，一般简记为ln_N .
4．几个特殊对数值
(1)log a 1＝0，log a a ＝1，log a 1
a
＝－1.(其中a ＞0且a ≠1)．
(2)对数恒等式：a log a N ＝N (a >0，a ≠1，N >0)． (3)零和负数没有对数．
1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)因为(－2)4
＝16，所以log (－2)16＝4.( ) (2)对数式log 32与log 23的意义一样．( ) (3)对数的运算实质是求幂指数．( )
(4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( ) (5)lg 10＝ln e ＝1.( )
【解析】 (1)－2不能作底数；(2)log 2 3与log 3 2底和真数均不同，意义不一样；(4)a >0
且a ≠1.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2．计算：log 3 9＝________，2log 2 3＝________. 【解析】 log 3 9＝2,2log 2 3＝3. 【答案】 2 3
[小组合作型]
使对数log 2a －2(10－4a )有意义的a 的取值范围是________．
【精彩点拨】 根据对数中底数和真数的取值范围求解． 【自主解答】 要使log 2a －2(10－4a )有意义，则⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －2>0，2a －2≠1，
10－4a >0
⇒1<a <32或32<a <5
2.
【答案】 1<a <32或32<a <5
2
根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可．
[再练一题]
1．(1)使log a (3a －2)有意义的a 的取值范围是________． (2)使log x 2＋1 (－3x ＋6)有意义的x 的取值范围是________．
【解析】 (1)令⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，a ≠1，
3a －2>0
⇒a >2
3
且a ≠1.
(2)令⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1≠1，
－3x ＋6>0⇒x <2，且x ≠0.
【答案】 (1)a >2
3
且a ≠1 (2)x <2且x ≠0
(1)将下列各指数式改写成对数式：
①24＝16；②3－3＝127；③5a
＝20；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝0.45.
(2)将下列各对数式改写成指数式： ①log 12
16＝－4；②log 2128＝7；
③lg 0.01＝－2；④ln 10＝2.303.
【精彩点拨】 利用a x
＝N ⇔x ＝log a N (a >0且a ≠1)进行互化． 【自主解答】 (1)①24
＝16⇒log 216＝4. ②3－3
＝127⇒log 3127＝－3.
③5a
＝20⇒log 520＝a .
④⎝ ⎛⎭⎪⎫12b
＝0.45⇒log 120.45＝b . (2)①⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－4
＝16.
②27
＝128. ③10－2＝0.01. ④e
2.303＝10.
1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2
＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x
＝N ⇔x ＝log a N .
2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b
＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
[再练一题]
2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________． ①N ＝a 2
与log N a ＝2； ②log
24＝4与24
＝4；
③⎝ ⎛⎭
⎪⎫14－3
＝64与log 6414＝－13；
④log x 7y ＝z 与x z
＝y .
【解析】 ①N ＝a 2
⇔log a N ＝2(a >0且a ≠1)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3＝64⇔log 14
64＝－3. 【答案】 ②④
3．设a ＝log 3 7，b ＝log 3 28，则32a －b
＝________.
【解析】 由题知3a ＝7,3b
＝28， ∴3
2a －b
＝3
2a 3
＝a 2
3
＝72
28＝74
. 【答案】 7
4
[探究共研型]
探究1 方程x 【提示】 x ＝42
＝16，x ＝33
＝27， 解x ＝a b
时按幂的运算法则计算即可．
探究2 方程x 2
＝4(x >0)，x 3
＝64的解是什么？如何解x k
＝b (k ∈Z )． 【提示】 x 2
＝4，∴x ＝4＝2，
x 3＝64，∴x ＝3
64＝4，
x k
＝b ，∴x ＝⎩⎨
⎧
k b
±k b
k 为奇数，b ∈R ，k 为偶数，b
，
即可通过开方运算求解．
探究3 方程2x
＝8的解是什么？2x
＝7呢？如何解a x
＝b (a >0，a ≠1)． 【提示】 ∵23
＝8，∴2x
＝8的解为x ＝3， 2x
＝7，∴
x ＝log 2
7，
a x ＝
b ，x ＝log a b 即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．
解方程：
【精彩点拨】 利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解． 【自主解答】 (1)9x ＝27，∴(32)x ＝33，即32x ＝33
， ∴2x ＝3，∴x ＝3
2.
(2)∵e x
＝e 2
，∴x ＝2. (3)5log x －5
＝2x －1＝25，∴x ＝13.
(4)∵log 2(log 3(log 4 x ))＝0，∴log 3(log 4 x )＝20
＝1， ∴log 4 x ＝31
＝3，∴x ＝43
＝64，∴x ＝64.
(5)∵x －4＝16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝16＝24
，∴1x ＝±2，∴x ＝±12.
又x >0，∴x ＝1
2
.
(6)x ＝－ln e －3
，∴－x ＝ln e －3
，∴e －x
＝e －3
，∴－x ＝－3，∴x ＝3.
解指数、对数方程时应注意：
(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题． (2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解． (3)x 的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．
[再练一题]
4．求下列各式中的x 值．
【解】 (1)由题知2x 2
－1＝3x 2
＋2x －1，得x ＝0或－2， 当x ＝0时，2x 2
－1＝－1<0，∴x ≠0，
当x ＝－2时，⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2－1>0，
3x 2
＋2x －1>0，
符合题意，∴x ＝－2.
(2)10x
＝0.001＝10－3，∴x ＝－3. (3)x 3
＝8，∴x ＝38＝2.
(4)2log 2 x 2＝x 2
＝14，∴x ＝±12
.
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为________．
【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x
＝N 才能化为对数式． 【答案】 3
2．在N ＝log (10－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________．
【解析】 令⎩⎪⎨⎪
⎧
b －2>0，10－b >0，
10－b ≠1，
∴2<b <10且b ≠9.
【答案】 (2,9)∪(9,10)
3．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． 【解析】 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2. ∴x ＋y ＋z ＝9. 【答案】 9
4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a
2m ＋n
＝________.
【解析】 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n
＝3. ∴a
2m ＋n
＝(a m )2·a n ＝22
·3＝12.
【答案】 12 5．求值：。