年高考数学模拟考试题文科卷及答案长沙宁

合集下载

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣12．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数的单调递增区间是（）A．B． C．D．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣211．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.912．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为_______．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2020=_______．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：∵复数3﹣i，∴复数3﹣i的虚部是：﹣1．故选：D．2．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}=（﹣2，+∞），B={y|y=sinx，x∈R}=[﹣1，1]，则A∪B=（﹣2，+∞），故选：A．3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，∴该空间几何体不可能是圆锥．故选：B．4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断．【解答】解：向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，即cos（α+β）=0，∴α+β=kπ+，k∈Z，对于A：α+β=0，不符合，对于B，α+β=π，不符合，对于C：α+β=﹣，符合，对于D，α+β=，不符合，故选：C．5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=﹣2，因此不成立．故选：C．6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）【考点】函数的值．【分析】由f（x+1）=﹣f（x），得到函数的周期是2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x），得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=﹣1，f（f（2.5））=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=﹣1f（f（1.5））=f（f（2﹣0.5））=f（f（﹣0.5））=f（1）=﹣1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为1的f（2），故选：D．7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用．【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论．【解答】解：因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．8．函数的单调递增区间是（）A．B． C．D．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设动点P（x，y），由已知得|x+1|=﹣1，由此能求出点P的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），∵动点P到直线x=﹣1的距离等于它到圆：（x﹣2）2+y2=1的点的最小距离，∴|x+1|=﹣1，化简得：6x﹣2+2|x+1|=y2，当x≥﹣1时，y2=8x，当x＜﹣1时，y2=4x﹣4＜﹣8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：由题意得，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z 最大，最大为z max=2﹣0=2当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣2=﹣2．故选：D．11．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．12．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）≥0，即∀x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），所以线段AB的长度为|AB|==．故答案为：．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2020=2020．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵S3=2a3，S5=15，∴d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1．则a2020=1+×1=2020．故答案为：2020．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径R的关系，根据周长列出方程解出R．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可．【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|•|的最小值为4，故答案为：4三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由面积公式即可得到S与θ的函数关系．（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．【解答】解：（1）∵S=S△OPC+S△OQC=OP•0Csin∠POC+OQ•OCsin∠QOC=2sinθ+2sin（﹣θ）（θ∈（0，））（2）由（1）知，S=2sinθ+2sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵θ∈（0，），∴θ+∈（，）∴当θ+=，即θ=时，S最大，为2．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，列举可得总的基本事件共15个，其中空气质量等级恰好不同有9个，由概率公式可得的．【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为3，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30×=12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，A）（A，α）（b，c）（b，d）（b，A）（b，α）（c，d）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（a，A）（A，α）（b，A）（b，α）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P==19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由平面BDEF⊥平面ABCD得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB⊥平面FBCG，即AB为棱锥A﹣FCG的高；（2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可．【解答】解：（1）∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊥BD，FB ⊂平面BDEF，∴FB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥FB，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BCGF，===．∴V A﹣FGC（2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则A（﹣2，0，0），E（﹣2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），∴=（0，2，2），=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），平面EFG的法向量为=（a，b，c），则，，即，，令z=1得=（﹣1，﹣1，1），令c=1得=（，，1）．∴=﹣=0．∴，∴平面AEF⊥平面EFG．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△=64t2﹣20（4t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜，且t≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（x1+t）（x2+t）=x1x2+t2+t（x1+x2）=+t2﹣=，以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OA⊥OB，即有•=0，即x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得t=±，满足﹣＜t＜，且t≠0，则直线l的方程为y=x±．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导数，由题意可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+的导数为f′（x）=2x﹣=，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，由2x3在（0，+∞）上递增，可得2x3的值域为（0，+∞），则a≤0，即有a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，由f′（x1）=f′（x2），可得2x1﹣=2x2﹣，即有2（x1﹣x2）=a•，显然x1+x2≠0，x1﹣x2≠0，即有a=﹣，而﹣f′（x1）=﹣2x1+=x1+x2﹣﹣2x1+=x2﹣x1+﹣=﹣≠0，即f′（x1）=f′（x2）≠，故不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD2=AE•AC．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∵=，∴∠DAC=∠DCA，∴∠DAC=∠BAC，∴直线AC平分∠DAB；（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠DAB=90°，∵AB为直径，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DCA，∴∠ADE=∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴AD2=AE•AC，∵AD=DC，∴CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程可得直角坐标方程．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．分别代入C1的极坐标方程即可得出．【解答】解：（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，可得：x2+y2﹣4x+3=0，配方为：（x﹣2）2+y2=1．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．将代入C1可得：ρ2﹣2ρ+3=0，解得ρ=．将代入C1可得：ρ2+2ρ+3=0，解得ρ=﹣，舍去．故C1与C2的公共点的极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可证明结论．【解答】证明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ﹣sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|=|sinαcosβ﹣cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，∵α+β+γ=0，∴|cos[α+β+γ]=1∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．2020年9月12日。

年高考数学模拟考试题文科卷精选及答案长沙宁

2007年高考数学模拟考试题（文科卷4）长沙宁时量120分钟. 满分150分一、本题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（）①（a ·b ）c -（c ·a ）b ＝0②|a |-|b |＜|a -b |；③（b ·c ）a -（c ·a ）b 不与c 垂直；④（3a ＋2b ）·（3a -2b ）＝9|a |2-4|b |2．其中的真命题是（）A ．②④B ．③④C ．②③D ．①②2．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个3．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成120°的二面角，C 点到C '处，这时异面直线AD 与C B '所成角的余弦值是（）A ．22B ．21C ．43D ．43 4．现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（）．A ．4.6米B ．4.8米C ．5.米D ．5.2米5．在△ABC 中，||＝5，||＝3，||＝6，则⋅＝（）A ．13B ．26C ．578 D ．24 6．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（）A ．43B ．34C ．53-D ．53 7．已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）．A ．6π[，]2πB ．3π[，]2π C ．2π[，]32π D ．32π[，π]8．已知函数)sin(2θω+=x y 为偶函数0(＜θ＜π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点横坐标为1x ，2x ，||12x x -的最小值为π，则（）A ．2=ω，2π=θ B ．21=ω，2π=θ C ．21=ω，4π=θ D ．2=ω，4π=θ 9．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（）A ．10B ．8C ．6D ．410．若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（）A ．123x x x <<B ．312x x x <<C ．132x x x << 1B ．231x x x <<二、填空题：本题共5小题，共20分，把答案填在题中的横线上11.若不等式23+>ax x 的解集是非空集合=<<a m x x 则},4|{ ，m= . 12．)(x f 是定义在实数有R 上的奇函数，若x ≥0时，)1(log )(3x x f +=，则=-)2(f ________．13．若点P （αcos ，αsin ）在直线上x y 2-=上，则=+αα2cos 22sin ________．14．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的________（把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形 ②直角梯形③菱形 ④正方形15．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率R n m m n e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（12分）设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M,最小正周期为T.（Ⅰ）求M 、T ；（Ⅱ）10个互不相等的正数i x 满足),10,,2,1(10,)(Λ=<=i x M x f i i π且求++x x 21… +x n的值.17．（12分）无穷数列}{n a 的前n 项和)(*N n npa S n n ∈=，并且1a ≠2a ．（1）求p 的值；（2）求}{n a 的通项公式；18．（14分）（甲）如图，已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面C A 1⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝32，又1AA ⊥C A 1，1AA ＝C A 1．（1）求侧棱A A 1与底面ABC 所成的角的大小；（2）求侧面B A 1与底面所成二面角的大小；（3）求点C 到侧面B A 1的距离．（乙）在棱长为a 的正方体C B A O OABC ''''-中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ．（1）求证：E C F A '⊥'；（2）当三棱锥BEF B -'的体积取得最大值时，求二面角B EF B --'的大小（结果用反三角函数表示）．19．（14分）在抛物线x y 42=上存在两个不同的点关于直线l ；y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．20．（14分）某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量)(x f （万件）与月份x 的近似关系为：*)(235)(1(1501)(N x x x x x f ∈-+=，且)12≤x ．（1）写出明年第x 个月的需求量)(x g （万件）与月x 的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（2）如果将该商品每月都投放市场p 万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p 至少为多少万件？21．（14分）已知函数22log )(+-=x x x f a 的定义域为[α，β]，值域为)1([log -βa a ，)]1(log -a a a ，并且)(x f 在α[，]β上为减函数．（1）求a 的取值范围；（2）求证：βα<<<42；参考答案1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C :11. 81 12．-1 13．-2 14．①③④ 15．①③④ 16. )62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ……………………2分（Ⅰ）M=2…………4分 T=ππ=22…………6分（Ⅱ）,2262,2)(πππ+=+∴=k x x f i i Θ )(6Z k k x i ∈+=ππ…………9分又9,,1,0,100Λ=∴<<k x i π 610)921(1021ππ⨯++++=+++∴ΛΛx x x =π3140………………12分17．（1）∵ 111pa S a == ∴ 01≠a ，且p ＝1，或01=a ．若是01≠a ，且p ＝1，则由22212pa S a a ==+．∴ 21a a =，矛盾．故不可能是：01≠a ，且p ＝1．由01=a ，得02≠a ．又22212pa S a a ==+，∴ 21=p ．（2）∵ 11)1(21+++=n n a n S ，n n na S 21=， ∴ n n n na a n a 21)1(2111-+=++． n n na a n =-+1)1(．当k ≥2时，11-=+k k a a k k ． ∴ n ≥3时有 22)1(123221a n a n n n n -=----=⋅⋅⋅⋅Λ． ∴ 对一切*N ∈n 有：2)1(a n a n -=．18．（甲）（1）∵ 侧面⊥C A 1底面ABC ， ∴ A A 1在平面ABC 上的射影是AC ． A A 1与底面ABC 所成的角为∠AC A 1．∵ C A A A 11=，C A A A 11⊥， ∴ ∠AC A 1＝45°．（2）作O A 1⊥AC 于O ，则O A 1⊥平面ABC ，再作OE ⊥AB 于E ，连结E A 1，则AB E A ⊥1，所以∠EO A 1就是侧面B A 1与底面ABC 所成二面角的平面角．在Rt △EO A 1中，3211==AC O A ，121==BC OE ， ∴ 3tan 11==∠OEO A EO A ． =∠EO A 160°．（3）设点C 到侧面B A 1的距离为x ．∵ BC A C ABC A V V 11--=，∴ ABC ABC BC A ABC S x S O A S x S O A ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⇔=1113131．（*） ∵ 31=O A ，1=OE ， ∴ 2131=+=E A ．又222)32(22=-=AB ，∴ 22222211==⋅⋅∆AB A S ．又2222221=⨯⨯=∆ABC S ． ∴ 由（*）式，得12222==⋅x ．∴ 1=x （乙）（1）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE ＝BF ＝x ，则A '（a ，0，a ），F （a -x ，a ，0），C '（0，a ，a ），E （a ，x ，0）， ∴ ='A （-x ，a ，-a ），='E C （a ，x -a ，-a ）．∵ 0)(2=+-+-=''⋅a a x a xa C A ，∴ E C F A '⊥'．（2）解：记BF ＝x ，BE ＝y ，则x ＋y ＝a ，则三棱锥BEF B -'的体积为22241)2(61a y x b a xya V =+≤=．当且仅当2a y x ==时，等号成立，因此，三棱锥BEF B -'的体积取得最大值时，2a BF BE ==．过B 作BD ⊥BF 交EF 于D ，连结D B '，则EF D B ⊥'．∴ ∠DB B '是二面角B EF B --'的平面角．在Rt △BEF 中，直角边2a BF BE ==，BD 是斜边上的高， ∴ 42=BD 在Rt △DB B '中，tan ∠22='='BDB B DB B ．故二面角B EF B --'的大小为22arctan ． 19．∵ k ＝0不符合题意， ∴ k ≠0，作直线l '：b x k y +-=1，则l l ⊥'． ∴ 满足条件的由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y b x ky 412消去x ，得 0412=-+b y y k，041412>+=∆⋅⋅b k ．01>+kb ．（*）设1(x A ，)2y 、2(x B 、)2y ，则 k y y 421-=+．又b x x k y y ++-=+⋅2122121． ∴ )2(221b k k x x +=+．故AB 的中点)2((b k k E +，)2k -． ∵ l 过E ， ∴ 3)2(22++=-b k k k ，即 k k k b 2322---=．代入（*）式，得 20．（1）251133211501)1()1(=⨯⨯⨯==f g ．当x ≥2时， )12(251x x -=⋅． ∴ *)(12(251)(N x x x x g ∈-=，且)12≤x ． ∵ 2536]2)12([251)(2=-+≤x x x g ． ∴ 当x ＝12-x ，即x ＝6时，2536)(max =x g （万件）．故6月份该商品的需求量最大，最大需求量为2436万件．（2）依题意，对一切∈x {1，2，…，12}有)()()2()1(x f x g g g px =+++≥Λ．∴ )235)(1(1501x x p -+≥（x ＝1，2，…，12）． ∵ )23335(1501)(2x x x h -+= ∴ 14.1)8()(max ==h x h ．故 p ≥1.14．故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．21．（1）按题意，得)1(log )(22log max -==+-αααa x f a a ． ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>->+-．，01022ααα 即 2>α．又)1(log )(22log min -==+-βββa x f a a ∴ 关于x 的方程)1(log 22log -=+-x a x x a a．在（2，＋∞）内有二不等实根x ＝α、β．⇔关于x 的二次方程x a ax )1(2-+ 0)1(2=-+a 在（2，＋∞）内有二异根α、β．9100)1(2)1(242210)1(8)1(102<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-+>-->-+-=∆≠>⇔a a a a aa a a a a a 且．故 910<<a ．（2）令)1(2)1()(2a x a ax x Φ-+-+=，则)218(4)4()2(-=⋅⋅a a ΦΦ)19(8-=a a 0<．∴ βα<<<42．。

湖南省长沙市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A.2, 3, B. 2, C. 3 , D. 3,2.（1+i）（2+i）=（）A. 1-iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i3.已知3m=5n=15，则+的值是（）A. 4B. 3C. 2D. 14.已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q5.设x，y满足约束条件，则Z=2x+y的最小值是（）A. -15B. -9C. 1D. 96.设α，β是空间中两个不同的平面，m是空间中的一条直线，若m⊥α，则“α⊥β”是“m∥β“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f（x）=+的最小值是（）A.1+3 B. 3+ C. 4 D. 59.一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆方程是+=1，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积是（）A. 20πB. 16πC. 14πD. 8π10.函数f（x）=，且a∈[0，1]，b∈（1，2]，则满足f（a）≥f（b）的概率是（）A. B. C. D. 以上都不对11.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是（）A. 130B. 325C. 676D. 130012.已知球的半径为R，则该球内接正四棱锥体积的最大值是（）A. R3B. R3C. R3D. R3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（-2，3），=（3，m），且，则m=______．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=______．15.抛物线y=x2-x+1的焦点坐标是______16.若关于x的方程e x+2（-x2+x+1）-b=0有且只有一个实数根，则实数b的取值范围是：______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数f（x）=sin x cosx-cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合；（3）若（x）在区间（-，m）上的最大值为，求m的最小值18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，M为侧棱PB的中点，N为棱AD上的动点，且AN=λ•AD，（0＜λ＜1）．（1）当直线MN∥平面PCD时，求λ的值（2）在（1）的基础上，S为线段MN的中点．求三棱锥S-PCD的体积．19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计该次考试的平均分（同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.400.250.150.100.050.025k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，△AF2B的周长为8，（1）求该椭圆C的方程．（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：y=x+m，（-1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S 的取值范围．21.已知函数f（x）=ax3-x2+a2x，其中a∈R（1）当a=-2时，求函数f（x）的极值：（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）-a2x，x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）（1）写出C的普通方程（2）曲线C按向量=（3，4）平移后得曲线M，过原点O且斜率为k的直线与曲线M相交于A，B两点，求|OA|与|OB|的乘积23.已知f（x）=|x-a|+|x-3|，a∈R．（1）若f（x）≥5恒成立，求a的取值范围；（2）若f（x）＜x+3的解集是（1，t），求a与t的值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查并集及其运算，解题的关键是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，属于基础题．集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，可用并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}.故选A．2.【答案】B【解析】解：原式=2-1+3i=1+3i．故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查代数式求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由3m=5n=15，得+=log153+log155，由此能求出结果．【解答】解：由3m=5n=15，得m=log315，n=log515，∴+=log153+log155=log1515=1．故选D．4.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，属于容易题．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2-x+1≥0成立．故命题p为真命题；当a=1，b=-2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选B.5.【答案】A【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：在坐标系中画出可行域△ABC，A（-6，-3），B（0，1），C（6，-3），由图可知，当x=-6，y=-3时，则目标函数Z=2x+y的最小，最小值为-15．故选：A．先根据条件画出可行域，Z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线Z=2x+y，过可行域内的点A（-6，-3）时的最小值，从而得到Z的最小值即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6.【答案】B【解析】解：当m⊥α时，若m∥β，则α⊥β成立，证明如下：设过直线m的平面θ交β于l，∵m∥β，∴l∥m，∵m⊥α，∴l⊥α，∵l⊂β，∴α⊥β反之若α⊥β，则m∥β或m⊂β，即充分性不成立，故“α⊥β”是“m∥β“的必要不充分条件，故选：B．根据线面垂直和线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行和垂直的位置关系是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=100，M=-10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选D．8.【答案】D【解析】解：由题意，f（x）=+=设动点P（x，0），定点A（1，1）和B（4，-3）；那么f（x）=|PA|+|PB|≥|AB|=．故选：D．将f（x）=+=转化为动点（x，0）到定点（1，1）和（4，-3）的距离最小值问题，利用三角形三边性质即可求解；本题主要考查函数最值的求解，转化思想，将+=转化为动点P（x，0）到定点A（1，1）和B（4，-3）的距离是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：由椭圆的方程+=1可知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，由已知圆柱底面半径为r=2，即直径为4，设截面与圆柱母线成角为α，则，所以，所以几何体的最长母线长为2+2a cosα=2+5×=5，用同样的几何体补在上面，可得一个半径r=2，高为7的圆柱，其体积为，V=π×22×7=28π，所求几何体的体积为14π，故选：C．根据椭圆的方程求得圆柱的底面半径，利用几何关系求得其圆柱的高，即可求得其几何体的体积．本题考查椭圆的方程及圆锥曲线的应用，考查空间想象能力，属于中档题/10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了面积型的几何概型，考查扇形面积的计算，正方形面积的计算，属于中档题．所有试验结果构成的区域为a∈[0，1]，b∈（1，2]的正方形区域，面积为1，满足f（a）≥f（b）的区域即满足a2+（b-1）2≤1的区域为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为个圆，求出面积代入几何概型的概率公式即可．【解答】解：依题意，所有试验结果构成的区域为a∈[0，1]，b∈（1，2]的正方形区域，面积为1，满足f（a）≥f（b）的区域即满足a2+（b-1）2≤1的区域为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为个圆，所以则满足f（a）≥f（b）的概率是：P===．故选C．11.【答案】C【解析】解：设两个连续偶数为2k+2和2k，则（2k+2）2-（2k）2=4（2k+1），故和平数的特征是4的奇数倍，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1、4×3、…、4×25，共计13个，其和为；故选：C．根据题意，设两个连续偶数为2k+2和2k，根据题意，计算其和平数可得（2k+2）2-（2k ）2=4（2k+1），故和平数的特征是4的奇数倍，分析可得在1～100之间所有和平数，由等差数列的前n项和公式，计算可得答案．本题考查数列的求和，关键是根据和平数的定义，分析得到和平数的性质，进而转化为数列求和的问题．12.【答案】B【解析】解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则：，而正四棱锥的高为h=R+x，故正四棱锥体积为：V（x）=a2h=a2（R+x）=（R2-x2）（R+x）．其中x∈（0，R），∵（R2-x2）（R+x）=（2R-2x）（R+x）（R+x）≤•=R3．当且仅当x=R时，等号成立．故这个正四棱锥体积的最大值为：R3．故选：B．设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x，从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．本题考查球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质，属于基础题．利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（-2，3），=（3，m），且，∴=-6+3m=0，解得m=2．故答案为2．14.【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题.根据正弦定理和三角形的内角和计算即可.【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sin B==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°-B-C=180°-45°-60°=75°，故答案为75°．15.【答案】（4，1）【解析】解：由抛物线方程为y=x2-x+1，整理得（x-4）2=8（y+1），∴2p=8，∴=2，顶点为（4，-1），对称轴方程为x=4，焦点为（4，1）．故答案为：（4，1）．把抛物线方程化为标准形式，求出p，再写出顶点、对称轴方程和焦点坐标．本题考查了抛物线方程的应用问题，是基础题．16.【答案】b＜-5或b=e3【解析】解：由已知有b=e x+2（-x2+x+1），记f（x）=e x+2（-x2+x+1）（x∈R）；∴f′（x）=e x+2（-x2-x+2），令f′（x）=0⇒x=-2或1；令f′（x）＞0⇒-2＜x＜1；令f′（x）＜0⇒x＜-2或x＞1，且x＜-2时，f（x）＜0恒成立；∴f（-2）=-5，f（1）=e3；则可得f（x）的图象为：要使题设成立，只需y=f（x）的图象与直线y=b有且只有一个公共点，∴实数b的范围为b＜-5或b=e3．→∞故答案为：b＜-5或b=e3．将方程有一个实数根转化为两条线段只有一个交点的问题，通过对曲线段求最值即可得到答案．本题考查了函数有几个实数根需要满足的充要条件，考查了转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）函数f（x）=sin x cosx-cos2x+==sin（2x）+．所以函数的最小正周期为T==π，（2）令（k∈Z），解得（k∈Z）．故函数在{x|}（k∈Z）时，函数的最小值为．（3）当x∈（-，m）时，则-，所以，即时，函数f（x）在区间（-，m）上的最大值为，所以m的最小值为．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的性质的应用求出函数的最小值．（3）利用函数的单调区间的应用求出m的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，M（1，0，1），N（0，2λ，0），P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），=（-1，2λ，-1），=（2，2，-2），=（0，2，-2），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∵直线MN∥平面PCD，∴•=2λ-1=0，解得．（2）由（1）得N（0，1，0），S（），==2，点S到平面PCD的距离d===．∴三棱锥S-PCD的体积V===．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．（2）由（1）得N（0，1，0），S（），由此利用向量法能求出三棱锥S-PCD的体积．本题考查实数值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知各小组依次是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，其中点分别为55，65，75，85，95，对应的频率分别为0.05，0.30，0.40，0.20，0.05，计算平均分为=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74（分）；（Ⅲ）由频率分布直方图值，晋级成功的频率为0.2+0.05=0.25，故晋级成功的人数为100×0.25=25，填写2×2列联表如下，晋级成功晋级失败合计男1634 50女 9 4150合计25 75100假设晋级成功与性别无关，根据上表计算K2==≈2.613＞2.072，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值；（Ⅱ）利用直方图中各小组中点乘以对应的频率，求和得平均分；（Ⅲ）根据题意填写，计算观测值K2，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）由已知可得，解得椭圆C的方程：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），⇒x2+2mx+2m2-2=0．x1+x2=-2m，x1x2═2m2-2，|MN|==，（-1＜m＜1）Q（0，1）到直线MN的距离d1=，P（2，0）到直线MN的距离为d2=．P、M、Q、N四点组成的四边形面积S=|MN|（d1+d2）==2∵-1＜m＜1，∴0≤m2＜1，∴2∈（2，4]，∴P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围为（2，4]【解析】（1）利用椭圆的离心率，以及|，△AF2B的周长，列出方程组，转化求解椭圆方程即可．（2）设出直线方程，利用直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的表达式，然后求解四边形面积的范围．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离以及韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：（1）当a=-2时，函数f（x）=-x3-x2+6x，∴f′（x）=-3x2-3x+6，令f′（x）=-3x2-3x+6=0，解得x=-2或x=1，当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减，当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增，∴f（x）极小值=f（-2）=8-6-12=-10，f（x）极大值=f（2）=-1-+6=；（2）∵f′（x）=ax2-3x+a2，∴函数g（x）=f（x）+f′（x）-a2x=ax3-x2+a2x+ax2-3x+a2-a2x=ax3+（a-）x2-3x+ a2，∴g′（x）=ax2+（3a-3）x-3，∵△=（3a-3）2+12×a=3（a2+1）＞0，∴g′（x）=0，有两个不相等的实数根x1，x2，（i）当a＞0时，x1，x2异号，若g（x）在x=0处取得最大值，只需g（0）≥g（2），解得0＜a≤，（ii）当a=0时，g（x）=-x（x+2），∴g（x）在[0，2]上单调递减，∴g（x）max=g（0），满足题意，（iii）当a＜0时，∴g′（x）这个二次函数的图象的对称轴为x=-＜0，∴g′（x）在[0，2]上单调递减，∴g（x）≤g′（0）=-3＜0，∴g（x）在[0，2]上单调递减，∴g（x）max=g（0），满足题意，综上所述a的取值范围是a≤．【解析】（1）根据导数和函数极值的关系即可求出，（2）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即先根据求出函数的极值，在与断点出的函数值比较，得出最大值，从而得到关于a的不等式．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，分类讨论的思想，属于中档题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数）所以，x=，所以，由于，所以代入整理得x2+y2=4．所以曲线C的普通方程为x2+y2=4（x≠-2）．（2）曲线C按向量=（3，4）平移后得曲线M，即（x-3）2+（y-4）2=4（x≠1），设直线AB的参数方程为（t为参数）代入曲线M的方程，得到t2-t（6cosα+8sinα）t+21=0，所以|OA|•|OB|=|t1•t2|=21．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程．（2）利用直线和曲线间的位置关系式，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的运算求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）f（x）=|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|a-3|．∵f（x）≥5恒成立，∴|a-3|≥5，∴a≥8或a≤-2，∴a的取值范围为（-∞，-2]∪[8，+∞）；（2）∵不等式f（x）＜x+3的解集是（1，t），∴t＞1且1是方程f（x）=x+3的实根，∴|1-a|+2=4，∴a=-1或a=3．当a=-1时，由f（x）=|x+1|+|x-3|＜x+3，解得1＜x＜5，∴t=5；当a=3时，由f（x）=|x-3|+|x-3|＜x+3，解得1＜x＜9，∴t=9，∴a=-1，t=5或a=3，t=9．【解析】（1）利用绝对值三角不等求出f（x）的最小值为|a-3|，然后由f（x）≥5恒成立，可得|a-3|≥5，解不等式可得a的范围；（2）不等式f（x）＜x+3的解集是（1，t），则1为方程f（x）=x+3的实根，求出a 后代入不等f（x）＜x+3中可得t的值．本题考查了绝对值三角不等式和不等式的解集与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。

年高考数学模拟考试题文科卷及答案长沙宁

年高考数学模拟考试题文科卷及答案长沙宁 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年高考数学模拟考试题（文科卷1）长沙宁总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集I 是实数集R ，}112|{}4|{2≥-=>=x x N x x M 与都是I 的子集，则阴影部分（如图所示）所表示的集合为（） A ．}12|{<≤-x x B ．}12|{≤≤-x xC ．}12|{≤<-x xD ．}2|{<x x2、函数9y x x=+的单调递增区间为（）（A ）（-3，3）（B ）（,3-∞-）（3，+∞）（C ）（-3，+∞）（D ）（-3，0），（0，3）3为（）（A ）3π （B ） 4π （C ） 6π（D ）12π4、原点关于直线10x y +-=的对称点坐标为（）（A ）(22 （B ）（C ）2（D ）（1，1） 5、若D 点在三角形ABC 的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为（）（A ）165 （B ）125 （C ）85 （D ）456、将一个各面均涂有油漆的正方体锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅拌在一起，则任取一个小正方体，恰好是一个具有两面漆的正方体的概率是（）（A ）12125 （B ）325（C ）110 （D ）112 7、已知点A 为双曲线221x y -=的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B 在y 轴异侧，则正三角形ABC 的面积是（）（A ）33（B ）233 （C ）33 （D ）638、给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）（A ） sin()26x y π=+ （B ）sin(2)6y x π=+（C ）sin y x = （D ）sin(2)6y x π=-9、在等比数列{}n a 中121a a +=，349a a +=那么45a a +=（）（A ）27 （B ）-27 （C ）81或-36 （D ）27或-27 10、若,x R n N +∈∈，定义(1)(2)(1)n x M x x x x n =+++-，列如55(5)(4)(3)(2)(1)120M -=-----=-，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为（）（A ）()f x 为偶函数，但不是奇函数（B ）()f x 为奇函数，但不是偶函数（C ）()f x 既是奇函数，又是偶函数（D ）()f x 既不是奇函数，又不是偶函数二、填空题（每题4分，共20分） 11.93)1(xx x -的展开式中的常数项是______.(用数字作答)12.已知球的内接正方体的棱长为2，则该球的体积为． 13.已知数列{}n a 满足：112a =，1211n n a a n -=+-()2n ≥，则10a 等于______14.函数2sin cos cos sin ++=ϕωϕωx A x A y)20,0,0(πϕω<<>>A 的图象如右，则ω=______,ϕ=______.15.给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l ⊥α，m⊥β，且l ∥m ；②对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；③已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P 的逆否命题是假命题；④已知a 、b 、c 、d 是四条不重合的直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则“a ∥b ”与“c ∥d ”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题：16、（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，12,2344==S a . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求n 取何值时，S n 最大，并求S n 的最大值.17、（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b c 是三内角对应的三边，已知.222bc c a b +-= （1）求角A 大小；（2）若41cos cos =C B ，判断△ABC 的形状. 18、（本小题满分14分）如图，已知ABCD 是正方形，PD⊥平面ABCD ，PD=AD. (1)求二面角A-PB-D 的大小,(2)在线段PB 上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在,确定E 点的位置,若不存在,说明理由.19、(本小题满分14分）甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为21，乙射击一次命中10环的概率为s 。

2020-2021学年湖南省高考数学一模试卷(文科)及答案解析

湖南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．53．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．17．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．610．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f 的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，即N={x|﹣1＜x＜2}，∵M={x|x＜0}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．5【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解，然后求出复数的模即可．【解答】解：复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，可得z===2+1．|z|==．故选：C．3．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由a2+b2≥2ab得：（a﹣b）2≥0，∀a，b是R恒成立，推不出a＞0，b＞0，不是必要条件，由“a＞0，b＞0”能推出“a2+b2≥2ab，是充分条件，故“a＞0，b＞0”是“a2+b2≥2ab的充分不必要条件，故选：B．4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得到，从而由便可得到，进行向量数量积的运算便可得到，从而便可得出向量，的夹角．【解答】解：根据条件，；∴由得，；∴；∴向量的夹角为．故选：D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数零点的判定定理．【分析】的零点，即方程f（x）﹣的根，也就是f（x）=的根，即函数y=f（x）与y=交点的横坐标，画出图形得答案．【解答】解：由f（x）﹣，得f（x）=，作出函数y=f（x）与y=的图象如图，由图可知，函数的零点个数为3．故选：A．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足的可行域，由图易得：当x=4，y=2时z=x+2y﹣3的最大值为5，故选：B．7．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件个数，由此能求出这两次出现的点数之和大于点数之积的概率．【解答】解：现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，基本事件总数n=6×6=36，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），共11个，∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为p=．故选：D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．6【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得c=2，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得P 的坐标，代入双曲线的方程，解得a=1，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，由题意可得c=2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，n=±2，将P（3，±2）代入双曲线的方程，可得﹣=1，且a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的实轴长为2a=2．故选：B．10．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n﹣a n+1=2a n a n+1变形可知﹣=2，进而可知a n=，并项相加即得结论．【解答】解：∵a n﹣a n+1=2a n a n+1，∴﹣=2，又∵=5，∴=+2（n﹣3）=2n﹣1，即a n=，∴a n a n+1=（a n﹣a n+1）=（﹣），∴所求值为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故选：A．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，直观图如图所示：且长方体的长、宽、高分别是1、1、2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球与长方体的相同，设该几何体外接球的半径是R，由长方体的性质可得，2R==，解得R=，∴该几何体外接球的表面积S=4πR2=6π，故选：C．12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f=f （2），代值计算可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2x，∴f=22=4，故答案为：4．14．在等比数列{a n}中，，则a3+a4= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}的公比为q，由于，可得q4（a1+a2）==8，解得q2，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，∴q4（a1+a2）==8，解得q2=4．则a3+a4=q2（a1+a2）==2．故答案为：2．15．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．【考点】圆的一般方程．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，解得：≤k≤0．故答案为：．16．为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为20 米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，用AB表示出BC，BD，在△BCD中使用余弦定理列方程解出AB．【解答】解：由题意知CD=20，∠BCD=120°，∠ACB=45°，∠ADB=30°．AB⊥BC，AB⊥BD．设AB=h，则BC=h，BD=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，即3h2=h2+400+20h，解得h=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数，且f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，利用周期公式即可解得ω的值，利用正弦函数的图象和性质，令，即可解得f（x）的单调减区间．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2sin（2x﹣）+1，由x的范围，可求，由正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵=，∵，∴ω=1，…从而：，令，得，∴f（x）的单调减区间为．…（Ⅱ）∵，…∵，∴，∴当，即时，g（x）max=2×1+1=3．…18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组求解m、n即可．（Ⅱ）利用已知条件直接列出联列表，然后情况k2，即可判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015解得m=0.0025，n=0.0035…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：高消费群非高消费群合计男15 35 50女10 40 50合计25 75 100…根据上表数据代入公式可得所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．…19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，证明BF⊥平面ACD，结合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再结合线面平行的判定定理得到EM∥面ABC；（Ⅱ）由等面积法求出点D到平面EMC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，因为AB=BC，所以BF⊥AC，又因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，所以BF⊥平面ACD，…因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，因为EM⊄面ABC，BF⊂平面ABC，所以EM∥平面ABC；…解：（Ⅱ）因为EM⊥平面ACD，EM⊂面EMC，所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，过点D作直线DG⊥CM，则DG⊥平面CME，…由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，又EM⊥AD，所以M为AD的中点，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，，在△DCM中，，由等面积法知，所以，即点D到平面EMC的距离为．…20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，求得c，运用椭圆的离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；求得椭圆的上顶点，可得抛物线的焦点，进而得到抛物线的方程；（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），求得向量FP，FQ的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，联立抛物线的方程，运用判别式为0，化简整理，计算即可得到k，m的值，进而得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故物线C2的标准方程为x2=8y．（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，即（*），联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去），联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得，经检验，m=﹣1符合要求．故直线PQ的方程为．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；（II）分离参数得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．【解答】解：（Ⅰ），∵曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）∵恒成立，即，①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则恒成立，令，则g′（x）=，再令，则h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则恒成立，由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；综合①②可得：k=2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC 的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）将f（x）写成分段函数式，讨论x的范围，解不等式，求交集即可得到所求解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为f（x）min≤a﹣，运用一次函数的单调性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，当x≥1时，x+2＜2，即x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，3x＜2，即x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，﹣x﹣2＜2，即x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣．综上可得，不等式的解集为（﹣4，）；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min=﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3．即有a的取值范围是[﹣1，3]．。

湖南省高考数学文科模拟试卷(四)含答案解析

湖南省高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．22．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1]D．（﹣3，3）3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．185．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲] 22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．湖南省高考数学模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1﹣z）i，可得z=，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1﹣z）i，∴z====i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．2．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1]D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的范围，根据对数的运算性质得到b，c的范围，比较即可．【解答】解：==＞2，＜0，0＜＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4﹣S3=3834﹣1818= ，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得cosθ，进而可得θ【解答】解：设与的夹角为θ，∵，，，∴=||||cosθ=1×2×cosθ=，∴cosθ=﹣，∴θ=故选：D【点评】本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x2﹣4x=0，解得x=0或x=4，则AB=4﹣0=4，半径R=2，∵CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象；再把所得图象象左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=﹣，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P==，﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣e﹣x，则f′（0）=﹣1，则切线方程为y﹣2=﹣x，即y=﹣x+2，切线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=9．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解出a3，分别可得q2，而=q4，代入可得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解得a3=2，或a3=﹣2，当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）∴=q4=32=9故答案为：9【点评】本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍）．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x≤0时，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数，且|f（x）|≥ax，①当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，不等式即log2（x+1）≥ax，则此时应有a≤0．②当x≤0时，由于﹣x2+2x 的取值为（﹣∞，0]，故不等式即|f（x）|=x2﹣2x≥ax．若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．若x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；数形结合；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得：cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

湖南省长沙市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A. 2, 3,B. 2,C. 3 ,D. 3,2.（1+i）（2+i）=（）A. 1-iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i3.已知3m=5n=15，则+的值是（）A. 4B. 3C. 2D. 14.已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q5.设x，y满足约束条件，则Z=2x+y的最小值是（）A. -15B. -9C. 1D. 96.设α，β是空间中两个不同的平面，m是空间中的一条直线，若m⊥α，则“α⊥β”是“m∥β“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f（x）=+的最小值是（）A. 1+3B. 3+C. 4D. 59.一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆方程是+=1，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积是（）A. 20πB. 16πC. 14πD. 8π10.函数f（x）=，且a∈[0，1]，b∈（1，2]，则满足f（a）≥f（b）的概率是（）A. B. C. D. 以上都不对11.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是（）A. 130B. 325C. 676D. 130012.已知球的半径为R，则该球内接正四棱锥体积的最大值是（）A. R3B. R3C. R3D. R3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（-2，3），=（3，m），且，则m=______．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=______．15.抛物线y=x2-x+1的焦点坐标是______16.若关于x的方程e x+2（-x2+x+1）-b=0有且只有一个实数根，则实数b的取值范围是：______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数f（x）=sin x cosx-cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合；（3）若（x）在区间（-，m）上的最大值为，求m的最小值18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，M为侧棱PB的中点，N为棱AD上的动点，且AN=λ•AD，（0＜λ＜1）．（1）当直线MN∥平面PCD时，求λ的值（2）在（1）的基础上，S为线段MN的中点．求三棱锥S-PCD的体积．19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计该次考试的平均分（同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.400.250.150.100.050.025k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，△AF2B的周长为8，（1）求该椭圆C的方程．（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：y=x+m，（-1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S 的取值范围．21.已知函数f（x）=ax3-x2+a2x，其中a∈R（1）当a=-2时，求函数f（x）的极值：（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）-a2x，x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）（1）写出C的普通方程（2）曲线C按向量=（3，4）平移后得曲线M，过原点O且斜率为k的直线与曲线M相交于A，B两点，求|OA|与|OB|的乘积23.已知f（x）=|x-a|+|x-3|，a∈R．（1）若f（x）≥5恒成立，求a的取值范围；（2）若f（x）＜x+3的解集是（1，t），求a与t的值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查并集及其运算，解题的关键是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，属于基础题．集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，可用并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}.故选A．2.【答案】B【解析】解：原式=2-1+3i=1+3i．故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查代数式求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由3m=5n=15，得+=log153+log155，由此能求出结果．【解答】解：由3m=5n=15，得m=log315，n=log515，∴+=log153+log155=log1515=1．故选D．4.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，属于容易题．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2-x+1≥0成立．故命题p为真命题；当a=1，b=-2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选B.5.【答案】A【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：在坐标系中画出可行域△ABC，A（-6，-3），B（0，1），C（6，-3），由图可知，当x=-6，y=-3时，则目标函数Z=2x+y的最小，最小值为-15．故选：A．先根据条件画出可行域，Z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线Z=2x+y，过可行域内的点A（-6，-3）时的最小值，从而得到Z的最小值即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6.【答案】B【解析】解：当m⊥α时，若m∥β，则α⊥β成立，证明如下：设过直线m的平面θ交β于l，∵m∥β，∴l∥m，∵m⊥α，∴l⊥α，∵l⊂β，∴α⊥β反之若α⊥β，则m∥β或m⊂β，即充分性不成立，故“α⊥β”是“m∥β“的必要不充分条件，故选：B．根据线面垂直和线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行和垂直的位置关系是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=100，M=-10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选D．8.【答案】D【解析】解：由题意，f（x）=+=设动点P（x，0），定点A（1，1）和B（4，-3）；那么f（x）=|PA|+|PB|≥|AB|=．故选：D．将f（x）=+=转化为动点（x，0）到定点（1，1）和（4，-3）的距离最小值问题，利用三角形三边性质即可求解；本题主要考查函数最值的求解，转化思想，将+=转化为动点P（x，0）到定点A（1，1）和B（4，-3）的距离是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：由椭圆的方程+=1可知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，由已知圆柱底面半径为r=2，即直径为4，设截面与圆柱母线成角为α，则，所以，所以几何体的最长母线长为2+2a cosα=2+5×=5，用同样的几何体补在上面，可得一个半径r=2，高为7的圆柱，其体积为，V=π×22×7=28π，所求几何体的体积为14π，故选：C．根据椭圆的方程求得圆柱的底面半径，利用几何关系求得其圆柱的高，即可求得其几何体的体积．本题考查椭圆的方程及圆锥曲线的应用，考查空间想象能力，属于中档题/10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了面积型的几何概型，考查扇形面积的计算，正方形面积的计算，属于中档题．所有试验结果构成的区域为a∈[0，1]，b∈（1，2]的正方形区域，面积为1，满足f （a）≥f（b）的区域即满足a2+（b-1）2≤1的区域为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为个圆，求出面积代入几何概型的概率公式即可．【解答】解：依题意，所有试验结果构成的区域为a∈[0，1]，b∈（1，2]的正方形区域，面积为1，满足f（a）≥f（b）的区域即满足a2+（b-1）2≤1的区域为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为个圆，所以则满足f（a）≥f（b）的概率是：P===．故选C．11.【答案】C【解析】解：设两个连续偶数为2k+2和2k，则（2k+2）2-（2k）2=4（2k+1），故和平数的特征是4的奇数倍，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1、4×3、…、4×25，共计13个，其和为；故选：C．根据题意，设两个连续偶数为2k+2和2k，根据题意，计算其和平数可得（2k+2）2-（2k）2=4（2k+1），故和平数的特征是4的奇数倍，分析可得在1～100之间所有和平数，由等差数列的前n项和公式，计算可得答案．本题考查数列的求和，关键是根据和平数的定义，分析得到和平数的性质，进而转化为数列求和的问题．12.【答案】B【解析】解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则：，而正四棱锥的高为h=R+x，故正四棱锥体积为：V（x）=a2h=a2（R+x）=（R2-x2）（R+x）．其中x∈（0，R），∵（R2-x2）（R+x）=（2R-2x）（R+x）（R+x）≤•=R3．当且仅当x=R时，等号成立．故这个正四棱锥体积的最大值为：R3．故选：B．设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x，从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．本题考查球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质，属于基础题．利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（-2，3），=（3，m），且，∴=-6+3m=0，解得m=2．故答案为2．14.【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题.根据正弦定理和三角形的内角和计算即可.【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sin B==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°-B-C=180°-45°-60°=75°，故答案为75°．15.【答案】（4，1）【解析】解：由抛物线方程为y=x2-x+1，整理得（x-4）2=8（y+1），∴2p=8，∴=2，顶点为（4，-1），对称轴方程为x=4，焦点为（4，1）．故答案为：（4，1）．把抛物线方程化为标准形式，求出p，再写出顶点、对称轴方程和焦点坐标．本题考查了抛物线方程的应用问题，是基础题．16.【答案】b＜-5或b=e3【解析】解：由已知有b=e x+2（-x2+x+1），记f（x）=e x+2（-x2+x+1）（x∈R）；∴f′（x）=e x+2（-x2-x+2），令f′（x）=0⇒x=-2或1；令f′（x）＞0⇒-2＜x＜1；令f′（x）＜0⇒x＜-2或x＞1，且x＜-2时，f（x）＜0恒成立；∴f（-2）=-5，f（1）=e3；则可得f（x）的图象为：要使题设成立，只需y=f（x）的图象与直线y=b有且只有一个公共点，∴实数b的范围为b＜-5或b=e3．→∞故答案为：b＜-5或b=e3．将方程有一个实数根转化为两条线段只有一个交点的问题，通过对曲线段求最值即可得到答案．本题考查了函数有几个实数根需要满足的充要条件，考查了转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）函数f（x）=sin x cosx-cos2x+==sin（2x）+．所以函数的最小正周期为T==π，（2）令（k∈Z），解得（k∈Z）．故函数在{x|}（k∈Z）时，函数的最小值为．（3）当x∈（-，m）时，则-，所以，即时，函数f（x）在区间（-，m）上的最大值为，所以m的最小值为．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的性质的应用求出函数的最小值．（3）利用函数的单调区间的应用求出m的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，M（1，0，1），N（0，2λ，0），P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），=（-1，2λ，-1），=（2，2，-2），=（0，2，-2），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∵直线MN∥平面PCD，∴•=2λ-1=0，解得．（2）由（1）得N（0，1，0），S（），==2，点S到平面PCD的距离d===．∴三棱锥S-PCD的体积V===．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．（2）由（1）得N（0，1，0），S（），由此利用向量法能求出三棱锥S-PCD的体积．本题考查实数值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知各小组依次是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，其中点分别为55，65，75，85，95，对应的频率分别为0.05，0.30，0.40，0.20，0.05，计算平均分为=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74（分）；（Ⅲ）由频率分布直方图值，晋级成功的频率为0.2+0.05=0.25，故晋级成功的人数为100×0.25=25，填写2×2列联表如下，晋级成功晋级失败合计男1634 50女 9 4150合计25 75100假设晋级成功与性别无关，根据上表计算K2==≈2.613＞2.072，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值；（Ⅱ）利用直方图中各小组中点乘以对应的频率，求和得平均分；（Ⅲ）根据题意填写，计算观测值K2，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）由已知可得，解得椭圆C的方程：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），⇒x2+2mx+2m2-2=0．x1+x2=-2m，x1x2═2m2-2，|MN|==，（-1＜m＜1）Q（0，1）到直线MN的距离d1=，P（2，0）到直线MN的距离为d2=．P、M、Q、N四点组成的四边形面积S=|MN|（d1+d2）==2∵-1＜m＜1，∴0≤m2＜1，∴2∈（2，4]，∴P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围为（2，4]【解析】（1）利用椭圆的离心率，以及|，△AF2B的周长，列出方程组，转化求解椭圆方程即可．（2）设出直线方程，利用直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的表达式，然后求解四边形面积的范围．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离以及韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：（1）当a=-2时，函数f（x）=-x3-x2+6x，∴f′（x）=-3x2-3x+6，令f′（x）=-3x2-3x+6=0，解得x=-2或x=1，当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减，当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增，∴f（x）极小值=f（-2）=8-6-12=-10，f（x）极大值=f（2）=-1-+6=；（2）∵f′（x）=ax2-3x+a2，∴函数g（x）=f（x）+f′（x）-a2x=ax3-x2+a2x+ax2-3x+a2-a2x=ax3+（a-）x2-3x+a2，∴g′（x）=ax2+（3a-3）x-3，∵△=（3a-3）2+12×a=3（a2+1）＞0，∴g′（x）=0，有两个不相等的实数根x1，x2，（i）当a＞0时，x1，x2异号，若g（x）在x=0处取得最大值，只需g（0）≥g（2），解得0＜a≤，（ii）当a=0时，g（x）=-x（x+2），∴g（x）在[0，2]上单调递减，∴g（x）max=g（0），满足题意，（iii）当a＜0时，∴g′（x）这个二次函数的图象的对称轴为x=-＜0，∴g′（x）在[0，2]上单调递减，∴g（x）≤g′（0）=-3＜0，∴g（x）在[0，2]上单调递减，∴g（x）max=g（0），满足题意，综上所述a的取值范围是a≤．【解析】（1）根据导数和函数极值的关系即可求出，（2）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即先根据求出函数的极值，在与断点出的函数值比较，得出最大值，从而得到关于a的不等式．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，分类讨论的思想，属于中档题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数）所以，x=，所以，由于，所以代入整理得x2+y2=4．所以曲线C的普通方程为x2+y2=4（x≠-2）．（2）曲线C按向量=（3，4）平移后得曲线M，即（x-3）2+（y-4）2=4（x≠1），设直线AB的参数方程为（t为参数）代入曲线M的方程，得到t2-t（6cosα+8sinα）t+21=0，所以|OA|•|OB|=|t1•t2|=21．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程．（2）利用直线和曲线间的位置关系式，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的运算求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）f（x）=|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|a-3|．∵f（x）≥5恒成立，∴|a-3|≥5，∴a≥8或a≤-2，∴a的取值范围为（-∞，-2]∪[8，+∞）；（2）∵不等式f（x）＜x+3的解集是（1，t），∴t＞1且1是方程f（x）=x+3的实根，∴|1-a|+2=4，∴a=-1或a=3．当a=-1时，由f（x）=|x+1|+|x-3|＜x+3，解得1＜x＜5，∴t=5；当a=3时，由f（x）=|x-3|+|x-3|＜x+3，解得1＜x＜9，∴t=9，∴a=-1，t=5或a=3，t=9．【解析】（1）利用绝对值三角不等求出f（x）的最小值为|a-3|，然后由f（x）≥5恒成立，可得|a-3|≥5，解不等式可得a的范围；（2）不等式f（x）＜x+3的解集是（1，t），则1为方程f（x）=x+3的实根，求出a 后代入不等f（x）＜x+3中可得t的值．本题考查了绝对值三角不等式和不等式的解集与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。

年高考数学模拟考试题文科卷及答案长沙宁审批稿

（2）解：g(x)=x2+|x+1－a|(x≠a)= x2 x 1 a(x a 1, x a) ……………8 分 x2 x 1 a(x a 1)
当 x≥a－1 且 x≠a 时，g(x)=x2+x+1－a=(x+ 1 )2+ 3 a 24
如果 a－1=－ 1 即 a≧ 1 时，则函数递
在
Rt△BB1H，tan∠BHB1=
BB1 B1 H
=
a 4a
=
5, 4
5
即二面角 B—A1N—B1 的正切值为 5 ……………………………………14 分 4
（B）（I）建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2a，AA1=a（a >0），则
A1(2a，0，a)，B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，2a，
20．（本题 14 分）某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总面积为 A（m2）的宿舍楼。已知土地的征用费为 2388 元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的倍。经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，都为 445 元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加 30 元 /m2。试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。（总费用为建筑费用与征地费用之和。）
2
2
当 a> 3 时 g(x)最小值为 a－ 5
2
4
当 a=－ 1 时 g(x)最小值不存在…………………………………………………12 分 2
17．解：①f(x)=sin(2x+ )+ 3 [2cos2 (x+ －1)] 2
=sin (2x+ )+ 3 cos (2x+ )=2cos (2x+ － )…………………（3 6

年高考数学模拟考试题（文科卷1）长沙宁

年高考数学模拟考试题（文科卷1）长沙宁总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集I 是实数集R ，}112|{}4|{2≥-=>=x x N x x M 与都是I 的子集，则阴影部分（如图所示）所表示的集合为（）A ．}12|{<≤-x xB ．}12|{≤≤-x xC ．}12|{≤<-x xD ．}2|{<x x2、函数9y x x=+的单调递增区间为（）（A ）（-3，3）（B ）（,3-∞-）（3，+∞）（C ）（-3，+∞）（D ）（-3，0），（0，3）3、正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的62倍，则侧面与底面所成的角为（）（A ）3π （B ） 4π （C ） 6π（D ）12π4、原点关于直线10x y +-=的对称点坐标为（）（A ）22(,)22 （B ）(2,2) （C ）2(,2)2（D ）（1，1） 5、若D 点在三角形ABC 的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为（）（A ）165 （B ）125 （C ）85 （D ）456、将一个各面均涂有油漆的正方体锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅拌在一起，则任取一个小正方体，恰好是一个具有两面漆的正方体的概率是（）（A ）12125 （B ）325 （C ）110 （D ）1127、已知点A 为双曲线221x y -=的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B 在y 轴异侧，则正三角形ABC 的面积是（）（A ）33 （B ）233（C ）33 （D ）63 8、给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）（A ） sin()26x y π=+（B ）sin(2)6y x π=+（C ）sin y x = （D ）sin(2)6y x π=-9、在等比数列{}n a 中121a a +=，349a a +=那么45a a +=（）（A ）27 （B ）-27 （C ）81或-36 （D ）27或-2710、若,x R n N +∈∈，定义(1)(2)(1)nx M x x x x n =+++-，列如55(5)(4)(3)(2)(1)120M -=-----=-，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为（）（A ）()f x 为偶函数，但不是奇函数（B ）()f x 为奇函数，但不是偶函数（C ）()f x 既是奇函数，又是偶函数（D ）()f x 既不是奇函数，又不是偶函数二、填空题（每题4分，共20分） 11.93)1(xx x -的展开式中的常数项是______.(用数字作答)12.已知球的内接正方体的棱长为2，则该球的体积为． 13.已知数列{}n a 满足：112a =，1211n n a a n -=+-()2n ≥，则10a 等于______ 14.函数2sin cos cos sin ++=ϕωϕωx A x A y)20,0,0(πϕω<<>>A 的图象如右，则ω=______,ϕ=______.15.给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l ⊥α，m⊥β，且l ∥m ；②对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；③已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P 的逆否命题是假命题；④已知a 、b 、c 、d 是四条不重合的直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则“a ∥b ”与“c ∥d ”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题：16、（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，12,2344==S a . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求n 取何值时，S n 最大，并求S n 的最大值.17、（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b c 是三内角对应的三边，已知.222bc c a b +-=（1）求角A 大小；（2）若41cos cos =C B ，判断△ABC 的形状.18、（本小题满分14分）如图，已知ABCD 是正方形，PD⊥平面ABCD ，PD=AD. (1)求二面角A-PB-D 的大小,(2)在线段PB 上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在,确定E 点的位置,若不存在,说明理由.19、(本小题满分14分）甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为21，乙射击一次命中10环的概率为s 。

年高考数学模拟考试题文科卷及答案长沙宁

2007 年高考数学模拟考试题（文科卷 4）长沙宁时量 120 分钟 . 满分 150 分一、此题共 12 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中只有一个选项是切合题目要求的．1．设 a 、 b 、c 是随意的非零平面向量，且互相不共线，则（）①（ a ·b ） c - （ c · a ） b ＝ 0② | a |-| | ＜ | - b | ；b a③（ b ·c ） a - （ c · a ） b 不与 c 垂直；④（ 3a ＋ 2 b ）·（ 3 a -2 b ）＝ 9| a | 2-4| b | 2 ．此中的真命题是（）A ．②④B ．③④C ．②③D ．①②2．若直线 mx ＋ ny ＝ 4 和⊙ O ∶ x 2y 24 没有交点，则过（ m ，n ）的直线与椭圆 x 2 y 2 1的交点个9 4 数（）A ．至多一个B ．2个C ．1 个D ．0个3．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成 120°的二面角， C 点到 C 处，这时异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值是（）A ．2B ． 1C ．3 D ．322444．现用铁丝做一个面积为1 平方米、形状为直角三角形的框架，有以下四种长度的铁丝各一根供选择，此中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（）．A ．米B ．米C ．5. 米D ．米5．在△ ABC 中， | AC | ＝ 5， | BC |＝ 3， | AB |＝ 6，则 ABAC ＝（）A ． 13B ． 26C ．78D ． 2456．一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积与半球的体积恰巧相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（）A ．3B ．4C ．3 D ．343557．已知双曲线x 2 y 2 1 的离心率 e [ 2 ， 2] ．双曲线的两条渐近线组成的角中，以实轴为角均分a 2b 2线的角记为，则的取值范围是（）．A ． [π πππ6 ， ]B ． [，]23 2 C ． [π 2π2π2 ，]D ． [， π]338．已知函数 y 2 sin( x) 为偶函数 (0 ＜＜ π) ，其图像与直线 y ＝ 2 的某两个交点横坐标为x 1 ，x 2 ， | x 2x 1 |的最小值为π），则（A ．2 ，πB ． 1 ，π22 21C ．πD ．2 ，π，4429．过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为3，则 | AB |等于（）A ． 10B ． 8C ．6D ． 410．若 log 2 x 1log a x 2log( a 1)x 3 0(0a 1)，则x 1 ， x 2 ， x 3 的大小关系是（）aA ． x 3 x 2 x 1B ． x 2 x 1 x 3C ． x 2x 3 x 11B ． x 1x 3 x 2二、填空题：此题共 5 小题，共 20 分，把答案填在题中的横线上11.若不等式x ax3的解集是非空会合 { x | 4 x m}, 则a， m=.212． f (x) 是定义在实数有R 上的奇函数，若x ≥ 0 时， f ( x) log 3 (1 x) ，则 f ( 2)________ ．13．若点 P， sin）在直线上 y2x 上，则 sin 22 cos2________ ．（ cos14．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是以下选项中的 ________ （把全部切合条件的图形序号填入）．①矩形 ②直角梯形③菱形④正方形15．某宇宙飞船的运转轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆，测得近地址A 距离地面 m(km ) ，远地址 B距离地面 n(km ) ，地球半径为R(km ) ，对于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为 nm ；②短轴长为(m R)( nR) ；③离心率 en m m n；④若以 AB 方向为2Rx 轴正方向， F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为(m R)(nR)，此中正确的序号为xm)(n________ ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（ 12 分）设函数f (x) cos2x 2 3 sin xcos x(x R) 的最大值为 M, 最小正周期为 T.（Ⅰ）求 M 、T ；（Ⅱ） 10 个互不相等的正数x i足 f ( x i )M , 且 x i10 (i 1,2, ,10), 求1x 2⋯+x nx 的 .17．（ 12 分）无数列{a n } 的前n和 S npa(n N * ) ，而且a1≠a2．n n（1）求p的；（2）求{ a n}的通公式；18．（ 14 分）（甲）如，已知斜三棱柱ABC A1B1C1的面 A1C ⊥底面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2 3，又AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求棱A1A与底面ABC所成的角的大小；（2）求面A1B与底面所成二面角的大小；（3）求点C到面A1B的距离．（乙）在棱 a 的正方体OABC O A B C 中，E，F分是棱AB，BC上的点，且AE＝ BF．（1）求：（2）当三棱表示）．A F C E ；B BEF 的体获得最大，求二面角 B EF B 的大小（果用反三角函数19．（ 14分）在抛物y 24x上存在两个不一样的点对于直l ； y＝ kx＋3称，求 k 的取范．20．（ 14分）某地域明年从年初开始的前x 个月内，某种商品的需求量 f ( x) （万件）与月份x 的近似关系： f ( x)1x( x1)(352x)(x N * ，且x 12)．150（ 1）写出明年第x个月的需求量g( x) （万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（ 2）假如将商品每个月都投放市p万件（售未完的商品都能够在此后各月售），要保每个月都足量供，：p 起码多少万件？21．（ 14 分）已知函数 f ( x) log a x 2的定域 [，] ，域[log a a(1) ，log a a(a1)] ，x2而且 f (x) 在 [ ，] 上减函数．（ 1）求a的取范；（ 2）求：24；参照答案1．A 2．B 3．D 4．C 5． B 6．D 7．C 8．A 9．B 10 ．C:11. 112． -113．-214．①③④ 15 ．①③④816. f (x)3 sin 2 x cos2 x 2 sin( 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分6（Ⅰ） M=2 ⋯⋯⋯⋯ 4 分 T=2⋯⋯⋯⋯ 6 分2（Ⅱ）f ( x i )2, 2x i62k, x ik(kZ) ⋯⋯⋯⋯ 9 分26又 0x i10 , k0,1, ,9x 1x 2 x10 (1 29)10140⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分6 =317．（ 1）∵a 1 S 1 pa 1∴ a 1 0，且 p ＝ 1，或 a 1 0 ．假如 a 10 ，且 p ＝ 1，由 a 1 a 2S 2 2 pa 2 ．∴a 1 a 2 ，矛盾．故不行能是：a 10 ，且 p ＝ 1．由 a 10 ，得 a 2 0 ．又a 1 a 2S 2 2 pa 2 ，∴p1．211Sn 1（ 2）∵( n 1)a n 1 ， S nna n ，22∴an 11(n 1)a n 11na n ．22(n 1)a n1na n ．当 k ≥ 2 ，a k 1k ． ∴ n ≥ 3 有a kk 1n 1 n 2 2a 2(n 1)a 2 ．n 2 n 31∴全部 nN * 有： a n(n 1)a 2 ．18．（甲）（ 1）∵面A 1C底面， ∴A 1 A 在平面上的射影是．ABCABC ACA 1 A 与底面 ABC 所成的角 ∠ A 1AC ．∵ A 1A A 1C ， A 1AA 1C ， ∴ ∠ A 1AC ＝45°．（ 2）作 A 1O ⊥ AC 于 O ， A 1O ⊥平面 ABC ，再作 OE ⊥ AB 于 E ， A 1 E ， A 1E AB ，所以∠A 1 EO 就是面 A 1B 与底面 ABC 所成二面角的平面角．在 Rt △ A 1 EO 中， A 1O13，OE1 AC BC 1，A 1O 22tan3 ．1∴A 1EO60 °．A EOOE（ 3）设点 C 到侧面 A 1B 的距离为 x ．∵ V A 1ABCV C A 1BC ，∴1 A 1O SABC1x S A BCA 1O SABCx S ABC ．（ * ）331∵A O3 ，OE 1，∴A E 312．11又AB(2 3)222 2 2，∴SA 1AB1 222 22． 12又S ABC2 2 2 2 2．∴ 由（*）式，得 2 2x 2 21 ．∴ x 12（乙）（ 1）证明：如图，以为原点成立空间直角坐标系．O设＝＝，则 A （，0， a ），（-x，，0）， C （0，，），（，，0），AE BF xaF a aa aE a x∴A F（ - x ，a ， - a ），C E （a ， x - a ， - a ）．∵ AF CE xa a( x a) a 20 ，∴A FC E ．（ 2）解：记 BF ＝ x ， BE ＝ y ，则 x ＋ y ＝ a ，则三棱锥 BBEF 的体积为V1xya a ( x y )2 1 a 2 ． 6 b 2 24当且仅当 x a时，等号成立，所以，三棱锥 B BEF 的体积获得最大值时，BE BFay ．22过 B 作 BD ⊥BF 交 EF 于 D ，连接 B D ，则 B D EF ．∴∠BDB 是二面角 BEFB 的平面角．在Rt △ BEF 中，直角边 BE BFa ，BD 是斜边2上的高，∴BD24在 Rt △ B DB 中， tan ∠ B DBB B 2 2 ．故二面角 B EF B 的大小为arctan 22 ．BD19．∵ k ＝ 0 不切合题意，∴k ≠ 0，作直线 l ：y1 x b ，则 l l ．k∴知足条件的1yx b由ky 2 4x消去 x ，得1 y2 y b 0 ，4k12 4 1b0 ． b1 0 ．（ * ）4kkA(x 1 ， y 2 ) 、 B( x 2 、 y 2 ) ， y 1 y 24k ．又y1y 21 x 1 x 2 b ．2 k 2 x 1 x 2 k (2 k)∴2．故 AB 的中点 E(k( 2kb) ，2k) ．∵lE ， ∴2k k 2(2 ) 3，即k b b2k 32k ． k2代入（ * ）式，得20．（ 1） g(1)f (1)112 33 11150．当 x ≥ 2 ，1 x25(12 x) ．251∴g(x)(12 x )(x N * ，且x 12)．25 x∵g(x)1 [ x (12 x) ]2 36．252 25 36∴当 x ＝ 12- x ，即 x ＝ 6，g ( x) max6 月份商品的需求量最大，最大需求（万件）．故量36万件．2524（ 2）依意，全部 x {1 ， 2，⋯， 12} 有 px g(1) g(2)g( x) f (x) ．∴p1 ( x 1)(352x) （ x ＝ 1， 2，⋯， 12）．150∵h(x) 1(35 33x 2x 2 ) 150∴h(x)max h(8) 1.14 ．故 p ≥．故每个月起码投放万件，能够保每个月都保供．log a2 f ( ) max log aa( 1)21．（ 1）按意，得2．2 ，∴2 0即2 ．1 ．又 log a2 (x)log a a(1) fmin2log a x 2 log(1)x2∴对于 x 的方程．在（ 2，＋∞）内有二不等根 x ＝、．对于 x 的二次方程ax 2 (a 1) x2(1 a) 0在（2，＋∞）内有二异根、．a0且 a1( a 1)28a(aa122a4a2( a1)2(1故0a1．9（ 2）令()ax 2(aΦ x 1)00 a1．9a)01) x 2(1 a) ，则Φ(2) Φ(4) 4a (18a 2) 8a(9a1)0 ．∴24．。

2020年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县(区、市)高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)

2020年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县（区、市）高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数其中i为虚数单位，则A. B. C. D.2.已知集合，，，则A.B.C.D.3.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. C. D.4.的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积等于A. B. C. D.5.已知直线m，n和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则A.B.C. 4D. 87.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是A. B. C. D.8.函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.9.已知，，定义在R上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示．若取两数a，b，则满足的概率为A. B. C. D.10.已知双曲线C：的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为A. B. C. D.11.已知函数有两个不同零点，且有一个零点恰为的极小值点，则c的值为A. 0B.C.D. 或12.已知抛物线C：的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知非零向量、满足，，且，则与的夹角为______．14.若，则______．15.已知数列的前n项和为，，当时，，则的值为______16.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少”已知1丈为10尺该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为______立方尺．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足，且时，，，成等差数列．求证：数列为等比数列；求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．19.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．Ⅰ求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；Ⅱ已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；Ⅲ用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．安全意识强安全意识不强合计男性女性合计附：，其中．k20.已知椭圆C：的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．求椭圆C的方程；过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点，记直线AN，BN的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．21.设函数，．讨论的单调性；若在处的切线与也相切，设函数的最小值为m，证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为．求曲线C的直角坐标方程；设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为，求．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了复数的运算法则和复数的模，属于基础题．根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】解：，则，故选：B．2.答案：B解析：解：0，1，；；．故选：B．可求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法、区间表示集合的定义，交集和补集的运算．3.答案：A解析：解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．4.答案：A解析：解：，，，由正弦定理，可得，由余弦定理，可得，可得，解得，或舍去，．故选：A．由已知利用正弦定理可求b的值，由余弦定理进而可求，解方程可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：直线m，n和平面，，则“”与“”相互推不出．“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面平行的判定与性质定理可得：直线m，n和平面，，则“”与“”相互推不出．即可判断出关系．本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意可知B、C两点的中点为点，设，，则，，，，，，故选D．先确定点再射出点，，由题意可知点A为B、C两点的中点，故，将点B、C代入即可得到答案．本题主要考查平面向量的数量积运算．属基础题．7.答案：B解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．又输出的函数值在区间内，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．8.答案：A解析：解：根据函数的部分图象，得：，又，可得：，可得：，可得：．故选：A．根据函数的部分图象，求出周期T与的值，写出的解析式，从而求出的值．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．9.答案：C解析：解：由图可知，当时，导函数，函数单调递增，两非负数a，b满足，又由，即，即，又由，，点的区域为图中阴影部分，不包括边界，则对应的概率故选：C．根据函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化，结合二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的计算，结合函数单调性和导数之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：【分析】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：把它变成圆的标准方程知其圆心为，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：的两条渐近线均和圆C：相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．【解答】解：因为圆C：，由此知道圆心，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：，又双曲线C：的两条渐近线均和圆C：相切，而双曲线的渐近线方程为：，连接得，可得，所以双曲线的离心率为：．故选：C．11.答案：C解析：解：，，由，得或，在，上单调递增，由，得，在上单调递减．即当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．要使函数有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，有一个零点恰为的极小值点，必有，解得．故选：C．利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于根据有一个零点恰为的极小值点，得的极小值为0，解方程即可求得c值．本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．12.答案：A解析：解：设，，抛物线C：的焦点为又A，B同在一个以F为圆心的圆上，直线l的斜率直线，直线的斜率为k，设点，，，，，直线AD的斜率为，直线AD的方程为，整理可得，故直线AD经过的定点的坐标是，故选：A．设，，根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线过定点问题，直线与直线的位置关系，属于难题．13.答案：解析：解：，，且，所以，所以，所以；又，所以；即与的夹角为．故答案为：．利用平面向量的数量积，求向量的夹角即可．本题考查了利用平面向量的数量积计算夹角的问题，是基础题．14.答案：解析：解：，，可得，又，，或，．故答案为：．由已知利用两角和的正弦函数公式可求，根据同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.答案：1011解析：解：因为数列的前n项和为，，当时，，；；可得：；即的奇数项以及偶数项均是公差为1的等差数列；又，且为奇数项的第1011项．．故答案为：1011．先根据递关系得到；进而求出的规律，即可求出结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，解题的关键在于求出的规律，属于中档题目．16.答案：10000解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为：所以该几何体由三部分组成，由两个四棱锥体和三棱柱体组成．故：立方丈，故10立方丈立方尺．故答案为：10000．首先把三视图转换为几何体，进一步利用分割法的应用求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.答案：证明：由题意，当时，，，成等差数列，则，即，，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．解：由，知，即，．．解析：本题第题利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列为等比数列；第题先根据第题的结论得出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前n项和．本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，以及分组求和方法的应用．本题属中档题．18.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：Ⅰ根据频率和为1，得，解得；计算得分在80分以上的频率为，所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为；Ⅱ根据题意知，安全意识强的人数有，其中男性为人，女性为4人，填写列联表如下；安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100计算，所以有超过的把握认为“交通安全意识与性别有关”；Ⅲ用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中内有2人，记为A、B，内有4人，分别记为c、d、e、f；从这6人中随机选取2人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法；则至少有1人得分低于40分的基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法；故所求的概率为．解析：Ⅰ根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；Ⅱ根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；Ⅲ用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是中档题．20.答案：解：椭圆C：的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，，解得，，椭圆C的方程为．是定值．证明如下：设过M的直线：或者时，代入椭圆，，令，，，，．代入椭圆，设，则，，，，，，．解析：由椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，列出方程组，能求出椭圆C的方程．设过M的直线：或者，时，代入椭圆，能求出；把代入椭圆，得，由此利用韦达定理能求出．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.答案：解：，，，时，，函数在上单调递增，时，时，，函数单调递减，，，函数单调递增，，，，故曲线在处的切线方程即，设与的切点，则，，要证，只要证，先证，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以即，当时取等号同理可证当且仅当时取等号，所以，不能同时取等号，故即．解析：先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解；根据导数的几何意义可求a，然后结合导数可进行证明．本题主要考查了导数在单调性中的应用及几何意义的应用，还考查了利用导数证明不等式，属于综合性试题．22.答案：解：曲线C的方程，，，即曲线C的直角坐标方程为：．把直线代入曲线C得，整理得，．，设，为方程的两个实数根，则，，，为异号，又点在直线l上，．解析：由曲线C的方程的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．把直线代入曲线C得由此能求出．本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．Ⅱ，，，对于，恒成立等价于：对，，即，．解析：Ⅰ根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．Ⅱ利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

湖南省长沙市2024年数学(高考)部编版模拟(备考卷)模拟试卷

湖南省长沙市2024年数学（高考）部编版模拟(备考卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题若集合，则（）A．B．C．D．第(5)题某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（）．A．3.54小时B．3.64小时C．3.67小时D．3.72小时第(6)题已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．第(7)题已知向量，，若与共线，则实数=（）A．B．C．D．1第(8)题若实数，，满足且，则（）A．B．12C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（）A．B．C．点的坐标为D．点的坐标为第(2)题已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（）A．的值为3B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为第(3)题函数的部分图象如图所示，则（）A．，若恒成立，则B．若，则C．若，则D ．若，且，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知向量，，若，则_____.第(2)题如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=___________.第(3)题2022年神舟十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神舟十四号航天员与神舟十五号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲､乙､丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功任务结束，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲､乙､丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲､乙､丙顺序派出，则试验任务成功的概率为___________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。