2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数4导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修1-1讲义

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高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则课件北师大版选修1_1

2 2
=-
(��-1)
2. 3 x)'+(�� 2 )'
(3)y'=(cos x+x �� 3 �� =-sin x+2 �� 2 =-sin x+ 2 . �� 1 1 (4)y'= ln��- 2 '=(ln x)'- 2 �� 1 1 1 1 1 =�� − 2 ln2 = �� + 2 ln 2.
2.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则有
[f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
��(��) ��(��)
'=
��'(��)��(��)-��(��)��'(��) (g(x)≠0). ��2 (��)
'
(5)因为 y=(x+1)(x-1)(x2 +1)=(x2 -1)(x2 +1)=x4 -1, 所以 y'=(x4 -1)'=4x3 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.理解并掌握求导法则和公式的结构规律,熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提,若运算结果出现错误,其主要原因是不能正确地运用求导法则,或者基本初等函数的导数公式弄错. 2.进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导,尽量避免使用积或商的求导法则.

高中数学第三章变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案北师大版选修11

§4 导数的四则运算法则[对应学生用书P41]已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1x2，g ′(x )＝1.问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？提示：用定义，由h (x )＝1x＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1x－x ＝Δx －Δxx x ＋Δx.则f ′(x )＝lim Δx →0 h x ＋Δx －h xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x)′吗？提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1cos 2x－e x .导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x .问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，f ′(x )g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立．问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fxg x成立吗？提示：不成立．问题4：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x2成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gxg 2x.(2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆．2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )．3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2.[对应学生用书P42][例1] (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ；(4)y ＝x －sin x2cos x2.[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．[精解详析] (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)法一：y ′＝(x －1x ＋1)′＝x ＋1－x －x ＋2＝2x ＋2.法二：y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－x ＋－x ＋x ＋2＝2x ＋2.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln 3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝(x －12sin x )′＝1－12cos x .[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导： (1)(tan x )′＝1cos 2x； (2)(cot x )′＝－1sin 2x.解：(1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x. (2)(cot x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝cos x ′sin x －cos x sin x ′sin 2x ＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.2．求下列函数的导数．(1)y ＝4cos x －3sin x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x n e x. 解：(1)y ′＝(4cos x －3sin x )′＝(4cos x )′－(3sin x )′＝－4sin x －3cos x .(2)y ′＝(x ＋3x 2＋3)′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝x 2＋3－2x 2－6xx 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(3)y ′＝(x n e x)′＝(x n)′e x＋x n(e x)′＝(nxn －1＋x n )e x.[例2] 处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a ，b ，c 的值．[精解详析] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9. [一点通]1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键． 2．若已知(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则有f ′(x 0)＝k ，y 0＝kx 0＋b .3．若函数y ＝x 2＋m 2x(m ＞0)在点x ＝x 0处的导数等于0，那么x 0＝( )A ．mB ．－mC ．±mD ．m 2解析：由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2x ′＝1－m 2x 2，结合题意得1－m 2x 20＝0⇒x 20＝m 2⇒x 0＝±m .答案：C4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333 C. 3D.393解析：因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393.答案：D5．若f ′(x )为一次函数，且x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数，令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1得x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1.即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.[例3] (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路点拨] (1)求出f (x )在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可． (2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标．(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1.解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [一点通]利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程：①求导数y ＝f ′(x )，得斜率k ＝f ′(x 0)；②写出点斜式方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)并化简． (2)求过点P (x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程： ①设切点坐标为(x 0，y 0)；②求导数y ＝f ′(x )得切线斜率k ＝f ′(x 0)； ③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)； ④代入P 的坐标(x 1，y 1)，求出x 0； ⑤代入切线方程并化简．6．若曲线f (x )＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[－12，＋∞)解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1， ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解， ∴Δ＝(2a )2－4≥0， ∴a ≥1或a ≤－1，即a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：B7．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，当x ＝－1时，y ′取最小值3.∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)即3x －y －11＝0. 答案：3x －y －11＝08．若函数f (x )＝ax 2＋2ln x (a ∈R )在点(1，f (1))处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，求a 的值及切线l 的方程．解：依题意有f (1)＝a ，f ′( x )＝2ax ＋2x，∴f ′(1)＝2a ＋2.∴直线l 的方程为y －a ＝(2a ＋2)(x －1)，即(2a ＋2)x －y －a －2＝0.(*) ∵l 与圆C 相切，∴|a ＋2|a ＋2＋1＝1，解得a ＝－1或a ＝－13.把a ＝－1或a ＝－13代入(*)式并整理得切线l 的方程为y ＝－1或4x －3y －5＝0.1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．2．求切线方程．(1)求过点P 的曲线的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．[对应课时跟踪训练十四1．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2xx ＋－x2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.答案：A 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝f ′(－1)＝2－1＋2＝2.∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0＞0，所以a ＝2－1x 0＜2.答案：B4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A.1e B ．e C ．－1eD ．－e解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：C5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ，∴x ＝π3时，y ′＝12cos2π3＝2.答案：26．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．求下列函数的导数．(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(2)y ＝ln x ＋2xx2； (3)y ＝1－12sin 2x 2.解：(1)∵y ＝＋x 21－x＋－x 21－x＝＋x1－x＝41－x－2, ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－x －－x－x2＝4－x2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2xx 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2xx 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2x x4＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x.即f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝x －ax －x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0.对应学生用书P44]一、导数的概念1．导数：f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxΔx 是自变量x 在x 0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f ′(x 0)是一个常数． 2．导函数：f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx f ′(x )为f (x )的导函数，是一个函数．二、导数的几何意义1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点(x 0，f (x 0))处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数： (1)f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； (2)f (x )＝x α，则f ′(x )＝αxα－1；(3)f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln a . (4)f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a； (5)f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；(7)f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x ；(8)f (x )＝cot x ，则f ′(x )＝－1sin 2x .2．导数四则运算法则：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确．答案：B2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定解析：一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.答案：C3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10解析：t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58.答案：B4．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 答案：A5．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.19解析：由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.答案：D6．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 答案：D7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．1D ．－4解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4. 答案：D8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2a ＋b ＝－2，f－＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数．答案：A9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x＝x －x ＋x＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2. 答案：C10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3解析：y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.答案：－23＋2 312．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝d ＝3，f ＝c ＝0，f＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则习题导学案(无答案)北师大版选修1-1

3.4 导数的四则运算法则习题【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±=2．[]'()()f x g x ⋅= 3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于：）知识反馈1. 函数1y x x=+的导数是（） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x =的导数是（） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x+- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n +D 112. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.。

2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）

2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（）A ．1B ．2C ．13-或1D ．4【答案】A 【解析】【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为()0+∞，，()221f x x x'=+，则()0200213f x x x '=+=，解得01x =或13-（舍去）.故选：A.2．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（） A ．33y x =+ B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--【答案】A 【解析】【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程. 【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+ 故选：A3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.【解析】【分析】求出()f x '，分析函数()f x '的奇偶性，计算出()()20142014f f +-的值，即可得解. 【详解】因为()3sin 4a x f x bx +=+，则()2cos 3f x a x bx '=+，所以，()()()()22cos 3cos 3f x a x b x a x bx f x ''-=-+-=+=，故函数()f x '为偶函数，()()()()()33sin 4sin 4f x f x a x bx a x b x ⎡⎤+-=+++-+-+⎣⎦()()33sin 4sin 48a x bx a x bx =+++--+=，所以，()()()()20142014201520158f f f f ''+-+--=. 故答案为：8.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=．【解析】【分析】求导函数，结合导数的几何意义、导数的四则运算法则以及直线方程知识即可求解. 【详解】∵()224321y x x x '=-+=--， ∵当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ∵斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，∵所求切线方程为33110x y +-=．举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A 3B 3C 31+ D 31- 【答案】B【分析】求出()f x '，代值计算可得6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos 3f x x π=+，则()cos f x x '=，故3cos 662f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭. 故选：B.2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A ．21B ．20C ．16D ．11【答案】B 【解析】【分析】根据已知求出(3)11f '=，即得解. 【详解】解：由题得()()3()234,(3)23121,(3)11f x f x f f f x'''''=-+∴=-+∴=，所以()22223ln (1)22220f x x x x f =-+∴=-=，. 故选：B3．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.【答案】14或4-【解析】【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及()12f a '=，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得：()224,011,01x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-<<'⎪⎩. 因为()12f a '=，所以2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或4-.故答案为：14或4-4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+；【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）211y x x '=-；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．1C ．2π D ．π【答案】B 【解析】【分析】求出()f x '，代值计算可得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+，因此，12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 【答案】()ln 1f x x '=+ 【解析】【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得. 【详解】()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+=+故答案为：()ln 1f x x '=+ 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．【答案】(1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-【解析】【分析】（1）利用导数的四则运算规则可求导数. （2）利用导数的四则运算规则可求导数. （3）利用导数的四则运算规则可求导数. (1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或53【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax ，故函数不是偶函数，得到函数的图象．【详解】()()2221f x x ax a '=++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，()f x '∴不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，其图象必为∵，由图象特征知()00f '=，且对称轴0x a =->，1a ∴=-．故()1111133f -=--+=-．故选：B ．2．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（） A ．1 B ．3- C ．1- D ．3【答案】D 【解析】【分析】先求得()'f x ，再去求(0)f '即可解决. 【详解】()()(21)e (21)e 2e (21)e (23)e x x x x x f x x x x x '''=+++=++=+则()0(0)203e 3f '=⨯+=故选：D3．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =；(2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.【答案】(1)22sin cos x x x x + (2)ln 313ln x x x +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(3)()2e ln 2e x⋅ 【解析】【分析】根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. (1)解：22sin cos y x x x x '=+.(2)解：313ln 3ln 3ln 3ln x xx y x x x x ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=+=+⎭'.(3)解：()2ln 2e 2e 2e ln 2e xx x x x y =⋅⋅+⋅=⋅'.三．除法的导数法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（） A ．21ln xx - B ．21ln xx + C ．ln 1x x+D ．ln 1x x-【解析】【分析】根据导数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为ln ()x f x x=，所以2211ln 1ln ()=x xx x f x x x ⋅-⋅-'=，即21ln ()=x f x x -'. 故选:A. 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（） A ．14B ．34C ．1D ．54【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数211x y x -=+在这一点的切线的斜率【详解】()()()()()223212111x x f x x x +--'==++，则()314f '=，故211x y x -=+在11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为34 故选：B 3．求1cos xy x=-的导数．【答案】()21cos sin 1cos x x xy x --'=-【解析】【分析】利用函数商的导数公式可求给定函数的导数. 【详解】 ()()221cos sin 1cos sin 1cos 1cos x x xx x xy x x --⨯--'==--1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π【答案】A 【解析】【分析】利用导数运算法则求出()2cos sin x x xf x x -'=，根据导数的定义即可得到结论．【详解】由题设，()2cos sin x x xf x x -'=，所以()2cos sin 1f ππππππ-'==-，函数在x ＝π处的瞬时变化率为1π-，故选：A ．2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．【答案】12 【解析】【分析】求出()f x '，然后解方程()()000f x f x '+=可求得0x 的值. 【详解】()xe f x x =，则()()21x e x f x x -'=，其中0x ≠，由()()()0000210x x x e e f x f x x x -'+=+=，可得00110x x -+=，解得012x =. 故答案为：12.2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________. 【答案】516【解析】根据导数的四则运算对函数()()2()f x h xg x +=进行求导，再代入5x =，即可求出()5h '的值. 【详解】解：由题意知()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()()2()f x h xg x +=， ()()()()()()22f x g x f x g x h x g x ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()25552555f g f g h g ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()23452155416h ⨯-+⨯'∴==. 故答案为：516.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x=；(2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u =．【答案】(1)()2cos sin x xxg '=-(2)()22tan tan tan x x x xf x x --'= (3)()22ln ln u u uW u u -'=【解析】【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. (1)()22sin 0cos co s n s i g x x xx x'=--=.(2)()2222222sin sin cos tan tan tan tan cos cos tan tan tan x x x x x x x x x x x x x f x x x x'⎛⎫+--⨯ ⎪--⎝⎭'===. (3)()22212ln 2ln ln ln u u u u u u u W u uu-⨯-'==.巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'【答案】D 【解析】【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】()2234xx '+=，A 错误；π1sin 062''⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，C 错误， (2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'，D 正确.故选：D2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（） A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -【答案】C 【解析】【分析】求导，代入e x =即可求解. 【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∵()()12e f x f x ''=+，∵()()1e 2e e f f ''=+，解得：()1e ef '=-. 故选：C.3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 2【答案】C 【解析】【分析】求出13s t'=+即得解.【详解】解：由题意得13s t'=+，故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=14m /s .故选：C 4．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导函数，令()()g x f x '=，根据导函数的奇偶性可排除AD ，再根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的符号可排除C ，即可得解. 【详解】解：2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，则()1sin 2f x x x '=-，令()()1sin 2g x f x x x '==-， ()()1sin 2g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故排除AD ，又106122g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.故选：B.5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线e x y a =+相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由ln 1y x =+求导得：1y x'=，则曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y =x ，设直线y =x 与曲线e x y a =+相切的切点为(,e )t t a +，由e x y a =+求导得e x y '=，于是得e 1e t t a t ⎧=⎨+=⎩，解得01t a =⎧⎨=-⎩，所以1a =-，故选：C6．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（） A ．120 B ．120- C ．60 D ．60-【答案】B 【解析】【分析】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，可得出()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦，进而可求得结果.【详解】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，则()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦），所以()()()()()()0012345120x y g ===-⨯-⨯-⨯-⨯-=-'．故选：B. 二、多选题 7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-=【答案】AD 【解析】【分析】求导，可得()'f x 解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】易得()()1cos sin 2x f x x =+'，所以()()sin f x f x x '+=，()()cos f x f x x '-=，故选：AD.8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x =【答案】AB 【解析】【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】由题意，可知若函数()y f x =具有“T 性质”，则存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A ，1e e x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足条件；对于B ，(cos 1)sin x x '+=-，满足条件；对于C ，34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件；对于D ，()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.【答案】5 【解析】【分析】求出()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值.【详解】因为()sin tan cos xf x x x x x =+=+，则()()()22sin cos sin cos 111cos cos x x x x f x x x''-⋅'=+=+，因此，21153cos 3f ππ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：5. 10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________．【答案】2 【解析】【分析】对函数2y x=求导，再利用导数的几何意义结合垂直的条件求解作答. 【详解】由函数2y x =求导得：22y x '=-，则曲线2y x =在点()2,1处的切线斜率21|2x k y ='==-，依题意，1()12a ⋅-=-，解得2a =，所以实数2a =. 故答案为：2 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.【答案】(1)()2f x '=- (2)()46H t t '=-+ (3)()22194g x x x '=+(4)()12F u u'=(5)()223e cos x u x x'=+ (6)()211ln 2cos f x x x'=+ (7)()345ln5xG x x '=+【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（4）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（5）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（6）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（7）利用导数的运算法则可求得原函数的导数. (1)解：由已知可得()()322f x x ''=-=-. (2)解：由已知可得()()226546H t t t t ''=-+-=-+. (3)解：由已知可得()'312222111399444g x x x x x x x --⎛⎫=-=+='+ ⎪⎝⎭.(4)解：由已知可得()112211122F u u u u u -'⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭(5)解：由已知可得()22222sin 2cos 2sin 23e 3e 3e cos cos cos x x xx x x u x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (6)解：由已知可得()22222sin 1cos sin 11log cos ln 2cos ln 2cos x x x f x x x x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (7)解：由已知可得()()4535e 45ln 5x x G x x x ''=+-=+.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程．【答案】(1)1(e)ef '=-；(e)1f =-；(2)()222e 1e e 0x y -+-=.【解析】【分析】（1）由题可得1()2(e)f x f x ''=+，进而可得1(e)e f '=-，然后可得2()ln exf x x =-+，即得；（2）由题可求2(e )f ，2(e )f '，再利用点斜式即得. (1)∵()2(e)ln f x xf x +'=，∵1()2(e)f x f x ''=+，1(e)2(e)e f f ''=+，∵1(e)e f '=-，2()ln exf x x =-+，∵2e(e)ln e=1ef =-+-. (2) ∵2()ln e x f x x =-+，21()e f x x'=-+， ∵2222e (e )ln e 22e ef =-+=-，2221(e )e e f '=-+，∵()f x 在点2e x =处的切线方程为()()222122e e e e y x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭，即()222e 1e e 0x y -+-=.。

高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则3.4.2导数的乘法与除法法则课时作业北师大版选修1_1

3.4.2 导数的乘法与除法法则一、选择题1. 函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A. －sin x ＋x sin x －x 2B.x sin x －sin x －cos x－x2C. cos x －sin x ＋x sin x －x 2D. cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝(cos x 1－x )′＝－sin x－x －cos x－－x2＝cos x －sin x ＋x sin x－x2. 答案：C2. 已知f (1x )＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A. 11＋xB. －11＋xC.1＋x2D. －1＋x2解析：令1x ＝t ，则f (t )＝1t 1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝(11＋x )′＝－1＋x2.答案：D3. 函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( ) A. ab B. －a (a －b ) C. 0D. a －b 解析：y ′＝[(x －a )(x －b )]′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b当x ＝a 时，y ′＝a －b . 答案：D4．[2014·湖南模拟]曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A. －12B. 12C. －22D.22解析：y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x2＝11＋sin2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B5. 若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：s ′＝(t sin t )′＝sin t ＋t cos t ， ∴s ′(2)＝sin2＋2cos2. 答案：sin2＋2cos26. 已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝__________. 解析：f (x )＝(x 2－4)(x －a ) ＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4，又f ′(－1)＝0，即3×(－1)2－2a ×(－1)－4＝0， ∴a ＝12.答案：127. 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e xx ＋2.令e x＋1＝t ，则e x＝t －1且t >1， ∴y ′＝－t ＋4t 2＝4t 2－4t. 再令1t＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1, m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0.∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.答案：[3π4，π)三、解答题8. 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ＋2cos x ； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝lg x x.解：(1)y ′＝(x 2sin x )′＋(2cos x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＋2(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)法一：y ′＝x＋x－－x＋x－x －2＝exx－－x ＋xx －2＝－2e xx －2.法二：y ＝e x＋1e x －1＝e x－1＋2e x －1＝1＋2e x －1，y ′＝－2exe x－12.(3)y ′＝(lg x x )′＝lg x ′x －lg x ·x ′x2＝1x ln10·x －lg x x 2＝1－ln10·lg x x 2·ln 10. 9. 已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式．解：由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2，由切点为M 点得f ′(－1)＝－12.∵f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －x 2＋b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b＝－2，a ＋b －a ＋＋b2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －4，a ＋b －a ＋＋b 2＝－12，解得a ＝2，b ＝3或a ＝－6，b ＝－1(由b ＋1≠0，故b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f (x )＝2x －6x ＋3.。

2020版高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案(含解析)北师大版选修1_1

高中数学第3章《变化率与导数》3.4导数的四则运算法则习题导学案(无答案)北师大版选修1-1

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《变化率与导数》3.4导数的四则运算法则习题导学案（无答案）北师大版选修1-1【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±=2．[]'()()f x g x ⋅=3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于：）知识反馈1. 函数1y x x=+的导数是（） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ∙∙⋅⋅⋅∙= A l n B l 1n + C 1n n + D 1。

学年高中数学第三章变化率与导数.导数的四则运算法则训练含解析北师大版选修_

§4 导数的四则运算法则A 组1.若f (x )=x √x 23,则f'(-1)=( )A.52B.-52C.53D.-53解析:因为f (x )=x -53,所以f'(x )=-53x -83,所以f'(-1)=-53×(-1)-83=-53.答案:D2.已知f (x )=ax 3+3x 2+2,若f'(-1)=4,则a 的值是 () A.193 B.163 C.133 D.103解析:因为f'(x )=3ax 2+6x ,所以f'(-1)=3a-6,所以3a-6=4,故a=103.答案:D3.已知点P 在曲线y=2sin x 2cos x2上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.[3π4,π) B.[-π4,3π4]C.[π4,3π4]D.[0,π4]∪[3π4,π) 解析:∵y=2sin x2cos x2=sin x ,∴y'=cos x.设P (x 0,y 0),由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点P 处的切线的斜率为tan α=cos x 0,∴-1≤tan α≤1. ∵0≤α<π,∴α∈[0,π4]∪[3π4,π),故选D .答案:D4.若函数f (x )=f'(1)x 3-2x 2+3,则f'(1)的值为( )A.0B.-1C.1D.2解析:因为f (x )=f'(1)x 3-2x 2+3,所以f'(x )=3f'(1)x 2-4x ,所以f'(1)=3f'(1)-4,所以f'(1)=2. 答案:D5.已知点P 在曲线y=4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 .解析:∵y=4e x +1,∴y'=-4e x(e x +1)2<0.∵-4e x (e x +1)2=-4e x e 2x +2e x +1=-4e x +1e x +2≥-42+2=-1,当且仅当x=0时取等号,∴-1≤y'<0.∴-1≤tan α<0,即3π4≤α<π.答案:[3π4,π)6.曲线y=x x+2在点(-1,-1)处的切线方程为 .解析:由y=x x+2,得y'=2(x+2)2,所以所求切线的斜率为2,故所求切线方程为y-(-1)=2(x+1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=07.若f (x )=cos 2x 2-sin 2x 2+tan 13π3,则f'(π6)= . 解析:∵f (x )=cos x+√3,∴f'(x )=-sin x ,∴f'(π6)=-sin π6=-12.答案:-128.求下列函数的导数.(1)y=x cos x-sin x ;(2)y=x-sin x 2cos x 2;(3)y=1-√x +1+√x . 解(1)∵y=x cos x-sin x ,∴y'=(x cos x )'-(sin x )'=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.(2)∵y=x-sin x 2cos x 2=x-12sin x , ∴y'=(x -12sinx)'=x'-12(sin x )'=1-12cos x.(3)∵y=1-√x 1+√x =√x )√x )(1-√x )(1+√x )=21-x ,∴y'=(21-x )'=2(1-x )2. 9.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 过点(1,5),其导函数y=f'(x )的图像如图所示,求f (x )的解析式. 解∵f'(x )=3ax 2+2bx+c ,且f'(1)=0,f'(2)=0,f (1)=5,∴{3a +2b +c =0,12a +4b +c =0,a +b +c =5,解得{a =2,b =-9,c =12.∴函数y=f (x )的解析式为f (x )=2x 3-9x 2+12x.B 组1.已知f (x )=x -5+3sin x ,则f'(x )等于( )A.-5x -6-3cos xB.x -6+3cos x。

高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则课件北师大选修1_1

【例 2】求下列函数的导数:
(1)y=x2ln
��;(2)y= ��3-
��5 + ��
��7 ;(3)y=e2x;
(4)y=sin4��4��+cos4��4��.
分析所给函数解析式较为复杂,不能直接套用导数公式和导数运
算法则,可先对函数解析式进行适当的变形与化简,然后再用相关
1 ��
-1
.
解(1)y'=
sin��-
1 ��-1
'=cos x-Байду номын сангаас
1 ��-1
'
=cos x-(��--11)2=cos x+(��-11)2.
(2)y'= sin
��-
3π 2
'=(cos x)'=-sin x.
(3)因为 y=(
��+1)
��7=x-x2+x3,
所以 y'=(x-x2+x3)'=1-2x+3x2.
(3)因为 y=e2x=ex·ex,所以
y'=(ex·ex)'=(ex)'·ex+ex·(ex)'=e2x+e2x=2e2x.
(4)因为
y=sin4��4��+c
探究三
思维辨析
探究一导数运算法则的简单应用
【例 1】求下列函数的导数:
(1)y=x3sin x;(2)y=2��+1;
��-1
(3)y=cos x+x ��;

高中数学第3章变化率与导数 4 导数的四则运算法则课

2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数 4 导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f (x )＝x e x 则f ′(2)等于( )A ．3e 2B ．2e 2C ．e 2D ．2ln 2解析： f ′(x )＝(x )′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ，∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2，故选A.答案： A2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B ．163C.133 D ．103解析： f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，所以a ＝103.答案： D3．若f (x )＝－2e x sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )解析： y ′＝－2(e x sin x )′＝－2[(e x )′sin x ＋e x (sin x )′]＝－2[e x sin x ＋e x cos x ]＝－2e x (sin x ＋cos x )．答案： D4．已知f (x )＝x 2＋2x ·2f ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－2C ．－4D ．－6解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x 2的导数为g (x )，则函数g (x )的最小值为________．解析：由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x ，所以g (x )＝1－12cos x ，故函数g (x )的最小值等于12. 答案： 126．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析： ∵f ′(x )＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x e x ＋2，∴f ′(0)＝3.∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案： y ＝3x ＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝x sin x －2cos x . 解析： (1)y ′＝x 2′sin x －x 2sin x ′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x； (2)y ′＝1·x 2＋3－2x x ＋3x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32； (3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x)′，＝sin x ＋x cos x －cos x ·2′－2cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x. 8．设定函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式．解析：由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*)，当a ＝3时，(*)式为⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)(1)设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，求f ′(0)；(2)利用导数求和：S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0且x ≠1，n ∈N ＋)．解析： (1)令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f (x )＝x ·g (x )，∴f ′(x )＝x ′·g (x )＋x ·g ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )， ∴f ′(0)＝g (0)＝1×2×3×4×…×n .(2)∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝x －x n1－x (x ≠1且x ≠0)．对上式两边求导，得：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′＝[1－n ＋x n －x ＋x －x n ＋1－x 2， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1－n ＋x n ＋nx n ＋1－x 2.。

高中数学第3章变化率与导数 4 导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修1-1

2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数 4 导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知函数f (x )＝x e x则f ′(2)等于( ) A ．3e 2B ．2e 2C ．e 2D ．2ln 2解析： f ′(x )＝(x )′e x＋x (e x)′＝e x＋x e x， ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2，故选A. 答案： A2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B ．163C.133D ．103解析： f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，所以a ＝103.答案： D3．若f (x )＝－2e xsin x ，则f ′(x )等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin xD ．－2e x(sin x ＋cos x )解析： y ′＝－2(e xsin x )′＝－2[(e x)′sin x ＋e x (sin x )′] ＝－2[e x sin x ＋e x cos x ]＝－2e x(sin x ＋cos x )．答案： D4．已知f (x )＝x 2＋2x ·2f ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－2 C ．－4D ．－6解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4. ∴f ′(0)＝－4. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x2的导数为g (x )，则函数g (x )的最小值为________．解析：由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x ，所以g (x )＝1－12cos x ，故函数g (x )的最小值等于12.答案： 126．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析： ∵f ′(x )＝(x e x＋2x ＋1)′＝e x＋x e x＋2， ∴f ′(0)＝3.∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1. 答案： y ＝3x ＋1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝x sin x －2cos x. 解析： (1)y ′＝x 2′sin x －x 2sin x ′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos xsin 2x； (2)y ′＝1·x 2＋3－2x x ＋3x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32；(3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x )′，＝sin x ＋x cos x －cos x ·2′－2cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x. 8．设定函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式．解析：由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*)，当a ＝3时，(*)式为⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)(1)设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，求f ′(0)； (2)利用导数求和：S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1(x ≠0且x ≠1，n ∈N ＋)．解析： (1)令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f (x )＝x ·g (x )，∴f ′(x )＝x ′·g (x )＋x ·g ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )， ∴f ′(0)＝g (0)＝1×2×3×4×…×n .(2)∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝x 1－x n1－x(x ≠1且x ≠0)．对上式两边求导，得：1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x′＝[1－n ＋1x n ]1－x ＋x －x n ＋11－x 2， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1－n ＋1x n ＋nx n ＋11－x2.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

高中数学第三章变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版高二

§4 导数的四则运算法则学习目标 1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数．知识点一导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二导数的乘法与除法法则1．若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则(1)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .2．[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．若f (x )＝a 2＋2ax ＋x 2，则f ′(a )＝2a ＋2x .( × )2．运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在．( × ) 3．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )．( × )题型一利用导数四则运算法则求导例1 求下列函数的导数： (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； (4)y ＝x sin x －2cos x.考点导数的运算法则题点导数乘除法则的混合运用解 (1)∵y ＝322x －123x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -.(2)方法一 y ′＝x 2＋1′x 2＋3－x 2＋1x 2＋3′x 2＋32＝2xx 2＋3－2x x 2＋1x 2＋32＝4xx 2＋32.方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝－2′x 2＋3－－2x 2＋3′x 2＋32＝4x x 2＋32.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2cos x ′cos x 2＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.反思感悟 1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ； (4)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法二 y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .题型二导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点导数的应用题点导数的应用解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x －2x ，得f (e)＝lne e －2e ＝1e－2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思感悟解决利用导数求函数解析式的题目的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－3B ．2eC.21－2e D.31－2e考点导数的应用题点导数的应用答案 D解析 ∵f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，令x ＝1，得f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， ∴f ′(1)＝31－2e. 命题角度2 与切线有关的问题例 3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 考点导数的应用题点导数的应用(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 (1)1 (2)(e ，e) 解析 (1)y ′＝sin 2x －2－cos x cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1，直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a(a ≠0)，由题意－1a＝－1，所以a ＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则y ＝x ln x 在x ＝x 0处的导数为ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ，则P 点坐标为(e ，e)．反思感悟 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练3 设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 4解析因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2，又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.求导数运算的技巧典例有下列命题：①若函数h (x )＝cos 4x 2－sin 4x 2，则h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12；②若函数g (x )＝(x －1)(x －2)…(x －6)，则g ′(6)＝120；③函数y ＝f (x )的图像在点P (4，y 0)处的切线方程是y ＝－2x ＋6，则f (4)＋f ′(4)＝－1. 其中真命题的序号是________．题点答案 ②解析 ①中h (x )＝cos 4x2－sin 4x2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x 2＋sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x2＝cos x ，h ′(x )＝(cos x )′＝－sin x . h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12，①不正确． ②中g ′(x )＝(x －2)(x －3)…(x －6)＋(x －1)(x －3)…(x －6)＋(x －1)(x －2)(x －4)(x －5)(x －6)＋(x －1)·(x －2)(x －3)(x －5)(x －6)＋(x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －6)＋(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，g ′(6)＝5×4×3×2×1＝120，故②正确．③中f (4)＝－2，f ′(4)＝－2，∴f (4)＋f ′(4)＝－4，故③不正确．[素养评析] 导数的运算，许多同学虽然导数公式、运算法则记得比较熟悉，但遇到复杂的导数运算，就容易出现错误，因此，需要把数量关系的理解与运用结合起来，同时还要掌握必要的运算技巧，有助于学生整体数学素养的提高.1．下列运算中正确的是( )A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 考点导数的应用题点导数的应用答案 B2．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3C ．－e 2D ．－e 3 考点导数的应用题点导数的应用解析 ∵f ′(x )＝exx －2x 3＋1x ＋2kx2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2考点导数的应用题点导数的应用答案 D 解析 y ′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝－2x －12，∴在x ＝3处，函数y ＝x ＋1x －1的导数为－23－12＝－12， ∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率为－12，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－a )＝－1，∴a ＝－2. 4．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 3解析由题意得f ′(x )＝(2x ＋3)e x，得f ′(0)＝3.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．考点导数的应用题点导数的应用答案－3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解． D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点导数的运算法则题点导数除法法则及运算答案 B解析 ∵y ′＝1－a 2x 2，在x ＝x 0处，函数y ＝x 2＋a 2x 的导数是1－a 2x 20＝0，∴x 0＝±a .3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194 B.174 C.154D.134考点导数的应用题点导数的应用答案 D解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴在t ＝2处，函数s ＝t 2＋3t 的导数是4－34＝134.即物体在时刻t ＝2时的速度为134.4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 考点导数的应用题点导数的应用答案 D解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1， ∴a ＝2.5．若函数f (x )＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．不存在考点导数的应用题点导数的应用答案 C解析 f ′(x )＝x e x －e xx 2，由题意知f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，即00020e e x x x x -＋00e x x ＝0，解得x 0＝12.6．函数y ＝f (x )＝sin x ＋e x的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 B解析因为函数y ＝f (x )＝sin x ＋e x 的导数为y ′＝cos x ＋e x ，所以f ′(0)＝cos0＋e 0＝2. 所以函数y ＝sin x ＋e x的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为2. 7．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．8．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A.13B ．－13C.73D ．－13或53 考点导数的应用题点导数的应用答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图像开口向上．又∵a ≠0，∴f ′(x )不是偶函数，其图像不关于y 轴对称，故其图像必为③.由图像特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题9．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 10．曲线y ＝f (x )＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 3x －y ＋1＝0解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＋2，k ＝f ′(0)＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.11．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________. 考点导数的运算法则题点导数乘法法则及运算答案 120解析因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x [(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120.三、解答题12．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．考点导数的应用题点导数的应用解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x ，由题意可知存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0，即a ＝2x ＋1x成立， ∴a ＝2x ＋1x≥2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立. ∴实数a 的取值范围是[22，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．考点导数的应用题点导数的应用解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.14．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．考点导数的应用题点导数的应用答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 y ′＝－4e x e x ＋12＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2， ∵t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，等号成立)， ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 15．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点导数的应用题点导数的应用解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0×|2x 0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

高中数学第三章变化率与导数 3.4 导数的四则运算法

3.4.1 导数的加法与减法法则一、选择题1．下列四组函数中导数相等的是( ) A. f (x )＝1与f (x )＝x B. f (x )＝sin x 与f (x )＝－cos x C. f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin x D. f (x )＝1－2x 2与f (x )＝－2x 2＋5 解析：D 选项中的两个函数的导数都是－4x . 答案：D2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A. 193B. 103C. 133D. 163解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.答案：B3．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s 1＝t 3－2t 2＋t 和s 2＝3t 2－t －1，则在t ＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )A. 甲大B. 乙大C. 相等D. 无法比较解析：v 1＝s ′1＝3t 2－4t ＋1，v 2＝s ′2＝6t －1，所以在t ＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．答案：B4．点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728C.528D. 3解析：依据题意知，当曲线y ＝－x 2在P 点处的切线与直线y ＝x ＋2平行时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小，设此时P 点的坐标为(x 0，y 0)．根据导数的运算法则可以求得y ′＝－2x ，所以曲线在P 点处的切线的斜率k ＝－2x 0，因为该切线与直线y ＝x ＋2平行，所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故P 点的坐标为(－12，－14)，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离d ＝|－12＋14＋2|2＝728.答案：B 二、填空题5. 已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于________．解析：∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f＝－13，f －＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18. 答案：186. 函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图像在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为________．解析：f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10， ∴y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37.答案：－377. 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是________．解析：由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，又θ∈[0，5π12]． ∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin(θ＋π3)≤1， ∴2≤f ′(1)≤2. 答案：[2，2] 三、解答题8. 求下列函数的导数：(1)y ＝2x 5＋3x 4－4x 3＋5x 2－6x ＋7； (2)y ＝x 3＋sin x ；(3)y ＝e x－ln x .解：(1)y ′＝(2x 5)′＋(3x 4)′－(4x 3)′＋(5x 2)′－(6x )′＋7′＝10x 4＋12x 3－12x 2＋10x －6.(2)y ′＝(x 3)′＋(sin x )′＝3x 2＋cos x . (3)y ′＝(e x )′－(ln x )′＝e x－1x.9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解：因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.又y ′＝2ax ＋b ，则点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9.。

(部编版)2020学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版选修2

§4 导数的四则运算法则[对应学生用书P41]已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1x2，g ′(x )＝1.问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？提示：用定义，由h (x )＝1x＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1x －x ＝Δx －Δxx x ＋Δx.则f ′(x )＝lim Δx →0 h x ＋Δx －h xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x)′吗？提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1cos 2x－e x.导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x . 问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，f ′(x )g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立．问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fxg x成立吗？提示：不成立．问题4：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x ]2成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gxg 2x.(2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆． 2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )．3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2.[对应学生用书P42][例1] (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ；(4)y ＝x －sin x2cos x2.[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解． [精解详析] (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)法一：y ′＝(x －1x ＋1)′＝x ＋1－x －x ＋2＝2x ＋2.法二：y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－x ＋－x ＋x ＋2＝2x ＋2.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln 3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝(x －12sin x )′＝1－12cos x .[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导： (1)(tan x )′＝1cos 2x； (2)(cot x )′＝－1sin 2x.解：(1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x . (2)(cot x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝cos x ′sin x －cos x sin x ′sin 2x ＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝4cos x －3sin x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x n e x. 解：(1)y ′＝(4cos x －3sin x )′＝(4cos x )′－(3sin x )′＝－4sin x －3cos x .(2)y ′＝(x ＋3x 2＋3)′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝x 2＋3－2x 2－6x x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(3)y ′＝(x n e x)′＝(x n)′e x＋x n(e x)′＝(nxn －1＋x n)e x.[例2] 已知抛物线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值． [思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a ，b ，c 的值． [精解详析] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9. [一点通]1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键． 2．若已知(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则有f ′(x 0)＝k ，y 0＝kx 0＋b .3．若函数y ＝x 2＋m 2x(m ＞0)在点x ＝x 0处的导数等于0，那么x 0＝( )A ．mB ．－mC ．±mD ．m 2解析：由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2x ′＝1－m 2x 2，结合题意得1－m 2x 20＝0⇒x 20＝m 2⇒x 0＝±m .答案：C4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393解析：因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393. 答案：D5．若f ′(x )为一次函数，且x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数，令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1得x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1.即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.[例3] 已知函数f (x )＝x 3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路点拨] (1)求出f (x )在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可．(2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标． (3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1.解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.※ 精品试卷 ※∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [一点通]利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程： ①求导数y ＝f ′(x )，得斜率k ＝f ′(x 0)；②写出点斜式方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)并化简． (2)求过点P (x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程： ①设切点坐标为(x 0，y 0)；②求导数y ＝f ′(x )得切线斜率k ＝f ′(x 0)； ③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)； ④代入P 的坐标(x 1，y 1)，求出x 0； ⑤代入切线方程并化简．6．若曲线f (x )＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[－12，＋∞)解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1， ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解， ∴Δ＝(2a )2－4≥0， ∴a ≥1或a ≤－1，即a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：B7．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，当x ＝－1时，y ′取最小值3.∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)即3x －y －11＝0. 答案：3x －y －11＝08．若函数f (x )＝ax 2＋2ln x (a ∈R )在点(1，f (1))处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，求a 的值及切线l 的方程．解：依题意有f (1)＝a ，f ′( x )＝2ax ＋2x，∴f ′(1)＝2a ＋2.∴直线l 的方程为y －a ＝(2a ＋2)(x －1)，即(2a ＋2)x －y －a －2＝0.(*) ∵l 与圆C 相切，∴|a ＋2|a ＋2＋1＝1，解得a ＝－1或a ＝－13.把a ＝－1或a ＝－13代入(*)式并整理得切线l 的方程为y ＝－1或4x －3y －5＝0.1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．2．求切线方程．(1)求过点P 的曲线的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的． (2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．[对应课时跟踪训练十四1．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2xx ＋－x2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.答案：A 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝f ′(－1)＝2－1＋2＝2.∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x ＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0＞0，所以a ＝2－1x 0＜2.答案：B4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A.1e B ．e C ．－1eD ．－e解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e .答案：C5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ，∴x ＝π3时，y ′＝12cos2π3＝2.答案：26．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．求下列函数的导数． (1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x ；(2)y ＝ln x ＋2xx2； (3)y ＝1－12sin 2x 2.解：(1)∵y ＝＋x 21－x＋－x 21－x＝＋x1－x＝41－x－2, ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－x －－x－x2＝4－x2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2xx 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2xx 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2x x4＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x.即f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝x －ax －x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0.[对应学生用书P44]一、导数的概念1．导数：f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxΔx 是自变量x 在x 0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f ′(x 0)是一个常数． 2．导函数：f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx f ′(x )为f (x )的导函数，是一个函数．二、导数的几何意义1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点(x 0，f (x 0))处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数： (1)f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； (2)f (x )＝x α，则f ′(x )＝αxα－1；(3)f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln a . (4)f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a； (5)f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ； (7)f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x；(8)f (x )＝cot x ，则f ′(x )＝－1sin 2x .2．导数四则运算法则：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确．答案：B2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定解析：一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.答案：C3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10解析：t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58. 答案：B4．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 答案：A5．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.19解析：由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x－1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.答案：D6．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 答案：D7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．1D ．－4解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4. 答案：D8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2a ＋b ＝－2，f－＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数．答案：A9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x＝x －x ＋x＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2. 答案：C10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3解析：y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上) 11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.答案：－23＋2 312．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2， ∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝d ＝3，f ＝c ＝0，f＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线， ∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

2016_2017学年高中数学第2章变化率与导数4导数的四则运算法则课后演练提升

2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数 4 导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：由已知有f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，所以f ′(x 0)＝2⇒ln x 0＋1＝2⇒x 0＝e. 答案： B2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： y ′＝[(x ＋1)2(x －1)]′ ＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1 ∴y ′|x ＝1＝4. 答案： D3．曲线f (x )＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，则该切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋5＝0C ．5x －5y ±4＝0D ．不确定解析：设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝15x 50x 40＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝15或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－15即切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，15或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－15所求切线方程为y ±15＝x ±1即5x －5y ±4＝0.答案： C4．已知点P 在曲线y ＝4e ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x1＋e x 2＝－4e x＋1e x ＋2，因为e x＞0，所以由均值不等式得k ≥－42e x×1ex ＋2，又k ＜0，∴－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π.答案： D 二、填空题5．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(1)＝________________. 解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. 答案：－26．若曲线y ＝x 3－2x ＋a 与直线y ＝x ＋1相切，则常数a ＝______________. 解析：由y ′＝3x 2－2＝1得切点为(1,2)和(－1,0) 当x ＝1时有a －1＝2，∴a ＝3 当x ＝－1时有1＋a ＝0，∴a ＝－1 答案： 3或－1 三、解答题7．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝1x －1x2；(3)f (x )＝sin x 1＋sin x；(4)f (x )＝lg x －3x.解析： (1)因为f (x )＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6，所以f ′(x )＝2x －1； (2)因为f (x )＝1x －1x2，所以f ′(x )＝－1x 2－－2x 3＝2x 3－1x 2＝2－xx3；(3)因为f (x )＝sin x1＋sin x，所以f ′(x )＝cos x 1＋sin x －sin x cos x 1＋sin x 2＝cos x1＋sin x 2；(4)因为f (x )＝lg x －3x，所以f ′(x )＝1x ln 10－3xln 3. 8．已知曲线方程y ＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0，故切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， ∵P (x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 20， ∴切线方程为：y －x 20＝2x 0(x －x 0) 又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得： 5－x 20＝2x 0(3－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2×1×(x －1)或y －25＝2×5×(x －5)，即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.9．设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为点P ，且曲线在点P 处的切线方程为12x －y －4＝0.若函数在点(2,0)处有水平切线，试确定函数的解析式．解析： ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P ， ∴P 的坐标为P (0，d )．又∵曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，点P 坐标适合方程，从而d ＝－4.又∵切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12，而y ′＝3ax 2＋2bx ＋c ，y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12.又∵函数在点(2,0)处有水平切线，∴y ′|x ＝2＝0，y |x ＝2＝0. 即12a ＋4b ＋12＝0,8a ＋4b ＋20＝0，解得a ＝2，b ＝－9.∴所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.。

[学习资料]高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则3.4.2导数的乘法与除法法则课时作业

3.4.2 导数的乘法与除法法则一、选择题1. 函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A. －sin x ＋x sin x 1－x 2B.x sin x －sin x －cos x1－x2C. cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D. cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝(cos x 1－x )′＝－sin x1－x －cos x－1－x2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x2. 答案：C2. 已知f (1x )＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A. 11＋xB. －11＋xC.11＋x2D. －11＋x2解析：令1x ＝t ，则f (t )＝1t 1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝(11＋x )′＝－11＋x2.答案：D3. 函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )A. abB. －a (a －b )C. 0D. a －b解析：y ′＝[(x －a )(x －b )]′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b当x ＝a 时，y ′＝a －b . 答案：D4．[2014·湖南模拟]曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A. －12B. 12C. －22D.22解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin xcos x －sin xsin x ＋cos x 2＝11＋sin2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B5. 若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：s ′＝(t sin t )′＝sin t ＋t cos t ， ∴s ′(2)＝sin2＋2cos2. 答案：sin2＋2cos26. 已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝__________. 解析：f (x )＝(x 2－4)(x －a ) ＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4，又f ′(－1)＝0，即3×(－1)2－2a ×(－1)－4＝0，∴a ＝12.答案：127. 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋2.令e x＋1＝t ，则e x＝t －1且t >1， ∴y ′＝－t ＋4t 2＝4t 2－4t. 再令1t＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1, m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0.∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.答案：[3π4，π)三、解答题8. 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ＋2cos x ； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝lg x x.解：(1)y ′＝(x 2sin x )′＋(2cos x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＋2(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)法一：y ′＝x＋x－－x＋x－e x －2＝exe x－－x ＋xe x －2＝－2e xe x －2.法二：y ＝e x ＋1e x －1＝e x－1＋2e x －1＝1＋2e x －1，y ′＝－2exe x－12.(3)y ′＝(lg x x )′＝lg x ′x －lg x ·x ′x2＝1x ln10·x －lg x x 2＝1－ln10·lg x x 2·ln10. 9. 已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式．解：由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2，由切点为M 点得f ′(－1)＝－12.∵f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －x 2＋b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，a 1＋b －2a ＋1＋b2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －4，a 1＋b －2a ＋1＋b 2＝－12，解得a ＝2，b ＝3或a ＝－6，b ＝－1(由b ＋1≠0，故b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。