2018届高考理科数学第一轮总复习检测9
2018届高三理科数学一轮复习 绝对值不等式

(2)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集.
解:由(1)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15 即为 x2-8x+18≤0,解集 为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 即为 x2-10x+22≤0,解 集为{x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x2-8x+15 即为 x2-8x+12≤0,解集 为{x|5≤x≤6}. 综上, 不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x≤6}.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1.求不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集.
解:不等式|x-1|-|x-5|<2 等价于
x<1, -x-1+x-5<2 x>5, 或 x-1-x-5<2, x>5, 或 4<2, 1≤x≤5, 或 x-1+x-5<2 x<1, 即 -4<2 1≤x≤5, 或 2x<8
(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式 的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解. ②利用零点分段法求解. ③构造函数,利用函数的图象求解.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
绝对值不等式的解法
[典例]
解下列不等式:
(1)|2x+1|-2|x-1|>0. x (2)|x+3|-|2x-1|<2+1.
a>0 x|-a<x<a
a=|x>a或x<-a
(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c 或 ax+b≤-c .
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 9.8正态分布 Word版含解析

基础知识反馈卡·时间:分钟分数:分一、选择题(每小题分,共分).正态曲线下、横轴上,从均值到+∞的面积为( )....不能确定(与标准差的大小有关).已知随机变量服从正态分布(,σ),且(<)=,则(<<)等于( ).....某校高考数学成绩近似地服从正态分布(),则此校数学成绩不低于分的考生占总人数的百分比为(已知Ф()= )( )....以上都不对.如果随机变量ξ~(μ,σ),且(ξ)=,(ξ)=,则(-<ξ≤)等于( ).(<ξ≤)-(-<ξ≤)-(<ξ≤)(<ξ≤)(-<ξ≤).正态分布()在区间()和(-)上取值的概率分别为,,则( ).> .<.=.不确定.设随机变量~(μ,σ),且落在区间(-,-)内的概率和落在区间()内的概率相等,若(>)=,则(<<)等于( )+.-.--二、填空题(每小题分,共分).已知某次英语考试的成绩服从正态分布(),则名考生中成绩在分以上的人数为..某扇门的高度是按照保证成年男子与门顶部碰头的概率在以下设计的,如果某地成年男子的身高ξ~()(单位:),则该扇门应设计的高度至少应为(Ф()=,Ф()=)..设两个正态分布(μ,σ)(σ>)和(μ,σ)(σ>)的密度函数图象如图--.则μμ,σσ(填入不等号).图--三、解答题(共分).在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~(),已知满分为分.()试求考试成绩ξ位于区间(]内的概率;()若这次考试共有名考生参加,试估计这次考试及格(不小于分)的人数.基础知识反馈卡·..> >.解:()由ξ~()知μ=,σ=.∴(<ξ≤)=(-<ξ≤+)=,即考试成绩位于区间(]内的概率为.()(<ξ≤)=(-<ξ≤+)=,∴(ξ>)=(-)=,∴(ξ≥)=+=.∴及格人数为×≈(人).。
武汉市2018届新高三起点调研考试数学质量分析

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二、选填题——失分情况
填空题丢分情况
题号
13
14
15
16
全区失分人数
925
0.36 145 0.25
1104
0.43 114 0.20
1149
0.45 218 0.37
15
0.01 0 0.00
选择题第9、11、12题失分学生明显较多;前川校区失分人数
比例
比例
填空题第15题失分较多,第13、14题情况也相对较差,可能题型因素比较大;
11
1183 0.46 212 0.36
12
1488 0.58 287 0.49
全区失分人数
比例
0.06 0.13 0.20 0.02 0.07 0.19
前川校区失分人数
比例
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二、选填题——重点小题分析
个人认为,对学生丢分较多试题的分析,还需从学生角度出发。可 以在评讲试卷前,抽取典型学生当面交流,了解学生的“盲点”、“卡 点”、“易错点”。 借助学生回忆自己做题时的心路历程,“复盘”思维受阻的全过程, 找出学生分析和解决问题过程中的能力不足,可以让试卷评讲更有针 对性,也可以让学生克难攻坚更高效。 特别要注意指导学生充分挖掘“好题”的价值,引导学生独立思考、 自学自强。 下面就第9题和第12题进行简要分析:
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二、选填题——重点小题分析——第9题
简析:
将不等式与平面区域表示、解三角形、轨迹方程求解等知 识与方法巧妙地融合在一起,新颖且内涵丰富!
虽然在第9题位置,答题效果很不好!
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二、选填题——重点小题分析——第9题
卡点1:很多学生不会处理那个不等式!常见思路有:
高考理科数学一轮总复习课标通用版课件:第2章函数2-4

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高考总复习/新课标版 数学·理
[强化训练 1.1] 已知 y=f(x)是二次函数,且 f(-32+x)=f(-23-x)对 x∈R 恒成立,f(- 32)=49,方程 f(x)=0 的两实根之差的绝对值等于 7.求此二次函数的解析式.
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答案
1.(1)ax2+bx+c (2)a(x-h)2+k
(3)a(x-x1)(x-x2) 2.(1)-2ba (2)(-2ba,4ac4-a b2) (3)向上 向下 (4)[4ac4-a b2,+∞) (-∞,4ac4-a b2]
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高考总复习/新课标版 数学·理
02 函数的概念、基本初等函数 (Ⅰ)及函数的应用
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§2.4 二次函数
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2.(教材改编)若函数 f(x)=4x2-kx-8 在区间[5,20]上是单调函数,则实数 k 的取 值范围是________.
解析:二次函数的对称轴方程是 x=8k,
故只需8k≤5 或8k≥20,即 k≤40 或 k≥160. 故所求 k 的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞) 答案:(-∞,40]∪[160,+∞)
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件:第八章 平面解析几何 8.1 精品

.
64 3
【解析】当α∈[ , ) 时,k=tanα∈[ 3 ,1);
64
3
当α∈ [2 , )时,k=tanα∈[ 3,0).
3
综上k∈[ 3,0) [ 3 ,1).
3
答案:[ 3,0) [ 3 ,1)
3
【加固训练】
1.直线xsin2-ycos2=0的倾斜角的大小是 ( )
A. 1
B. 2
且斜率为 3 .则直线l的方程为 ( )
4
A.3x+4y-14=0
B.3x-4y+14=0
C.4x+3y-14=0
D.4x-3y+14=0
【解析】选A.由点斜式得y-5=- 3 (x+2),即3x+4y-14=0.
4
感悟考题 试一试 3.(2016·淄博模拟)已知ab>0,bc>0,则直线ax+by=c通 过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
4
4
4
【解析】选C.当a=0时,两直线的斜率都不存在,
它们的方程分别是x=1,x=-1,显然两直线是平行的.
当a≠0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等,
由 2a 1 a解得1a, =
1 2a 1
1, 4
综上,a=0或 1 .
4
考向一 直线的倾斜角与斜率
【典例1】(1)(2016·菏泽模拟)直线2xcosα-y-3=0
名 称 已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点 (x1,y1)
_y_-_y_1_=_k_(_x_-_x_1)_ 不含直线x=x1
斜率k与直线 斜截式 在y轴上的截
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。
B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f(x)=x3+x求导f‘(x)=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。
泄露天机2018高考押题卷理科数学(一)

泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(一)注意事项:1.在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项,非选择题在答题卡上作答。
3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分。
1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z,满足z=1,则复数z 为()A。
2+iB。
2-iC。
1+iD。
i解析】根据题意可得,z=a-ai,所以z^2=a^2+1=1,解得a=0,所以复数z=i。
2.集合A={θ|0<θ<π/2.2<sinθ≤1},B={φ|4/5<φ<1},则集合AB={θ|π/4<θ<π/2.4/5<sinθ≤1}。
解析】A可以化为{θ|π/6<θ<π/2},所以AB为{θ|π/4<θ<π/2.4/5<sinθ≤1}。
3.从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只,不放回地拿出2只,则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A,a,另一对短鼻子野生小鼠为B,b,从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只,所求基本事件总数为4×3=12种,拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a),(a,A),(B,b),(b,B),所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像,求ϕ的可能值。
解析:将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度,得到函数y=2sin2x的图像。
因此,ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱,假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆,摆放规则如下:底部并排码放70缗,然后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,则这一堆铜钱的数量为多少?解析:构成一个以首项为70缗,末项为31缗,项数为40层,公差为1的等差数列,则和为S=40×(70+31)=2020缗,这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。
2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)及答案

2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知tan()=,则tanα的值为()A.B.C.3 D.﹣32.(5分)已知集合A={x|y=﹣2x﹣1},B={y|y=x2},则A∩B=()A.{(﹣1,1)}B.[0,+∞)C.(﹣1,1)D.∅3.(5分)“x>0”是“()x<3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.B.C.D.5.(5分)函数y=xln|x|的大致图象是()A. B.C.D.6.(5分)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是()A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,α∥α,b∥β,则α∥β D.α∥β,a⊂α,则a∥β7.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A.关于点(,0)对称B.关于点(,0)对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称8.(5分)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=()A.150m B.75m C.150m D.300m9.(5分)已知圆锥的高为5,底面圆的半径为,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上,则该球的表面积为()A.4πB.36πC.48πD.24π10.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)无零点,且对任意x∈R都有f(f(x)+x3)=2,若函数g(x)=f(x)﹣kx在[﹣1,1]上与函数f(x)具有相同的单调性,则k的取值范围是()A.[0,+∞)B.(﹣∞,﹣3]C.(﹣∞,0]D.[﹣3,+∞)11.(5分)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.B.C.D.12.(5分)函数f(x)=x﹣ln(x+2)+e x﹣a+4e a﹣x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0使f(x0)=3成立,则实数a的值为()A.ln2 B.ln2﹣1 C.﹣ln2 D.﹣ln2﹣1二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知函数f(x)=2cos(+x),且f(﹣a)=,则f(a)的值为.14.(5分)设函数f(x)=,若f(a)=9,则a的值.15.(5分)已知函数f(x)=x(2x﹣),若f(x﹣1)>f(x),则x的取值范围是.16.(5分)一个长,宽,高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体,如果任意转动该长方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是.三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若方程f(x)+m+1=0在[,]内有两个零点,求m的取值范围.18.(12分)设f(x)=ae x﹣cos(x),其中a>0.(Ⅰ)求证:曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线过定点;(Ⅱ)若函数f(x)在(﹣1,1)上存在唯一极值,求正数a的取值范围.19.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=2sin (A+B),它的面积S=c2.(1)求sinB的值;(2)若D是BC边上的一点,cos,求的值.20.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证:平面SBD⊥平面SAD;(Ⅱ)若SD与底面ABCD所成的角为60°,求二面角C﹣SB﹣D的余弦值.21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax+alnx(a>0).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性(Ⅱ)当a=1时,若方程f(x)=+m(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2,且x1<x2,证明:x1x22<2.请考生在22.23题中任选一题作答,[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为=3,曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ(a>0).(1)设t为参数,若y=﹣2,求直线l参数方程;(2)已知直线l与曲线C交于P,Q,设M(0,),且|PQ|2=|MP|•|MQ|,求实数a的值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|.(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≤1﹣a﹣4|2+x|成立,求实数a的取值范围.2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知tan()=,则tanα的值为()A.B.C.3 D.﹣3【解答】解:由tan()=,得,∴,解得tanα=.故选:A.2.(5分)已知集合A={x|y=﹣2x﹣1},B={y|y=x2},则A∩B=()A.{(﹣1,1)}B.[0,+∞)C.(﹣1,1)D.∅【解答】解:∵集合A={x|y=﹣2x﹣1}=R,B={y|y=x2}={y|y≥0},∴A∩B={y|y≥0}=[0,+∞).故选:B.3.(5分)“x>0”是“()x<3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:“()x<3”⇔“3﹣x<3”⇔“﹣x<1”⇔“x>﹣1”,故“x>0”是“()x<3”的充分不必要条件,故选:A.4.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.B.C.D.【解答】解:以D为坐标原点,DC,DA,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2,可得A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),B1(2,2,2),C1(2,0,2),由中点坐标公式可得E(2,1,0),F(2,1,2),则=(2,﹣1,2),=(0,1,﹣2),则cos<,>===﹣,可得异面直线AF与C1E所成角的余弦值为,则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为=,可得异面直线AF与C1E所成角的正切值为,故选:C.5.(5分)函数y=xln|x|的大致图象是()A. B.C.D.【解答】解:令f(x)=xln|x|,易知f(﹣x)=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f(x),所以该函数是奇函数,排除选项B;又x>0时,f(x)=xlnx,容易判断,当x→+∞时,xlnx→+∞,排除D选项;令f(x)=0,得xlnx=0,所以x=1,即x>0时,函数图象与x轴只有一个交点,所以C选项满足题意.故选:C.6.(5分)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是()A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,α∥α,b∥β,则α∥β D.α∥β,a⊂α,则a∥β【解答】解:由a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,知:在A 中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A错误;在B中,a⊂α,b⊂β,α∥β,则a与b平行或异面,故B错误;在C中,a⊂α,b⊂α,α∥β,b∥β,则α与β相交或平行,故C错误;在D中,α∥β,a⊂α,则由面面平行的性质定理得a∥β,故D正确.故选:D.7.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A.关于点(,0)对称B.关于点(,0)对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称【解答】解:∵函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,∴sin(+φ)=1,∴cos(+φ)=0,∴函数y=cos(2x+φ)的图象关于点(,0)对称,故选:A.8.(5分)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=()A.150m B.75m C.150m D.300m【解答】解:设此山高h(m),由题意在点A处时测得点D的仰角为30°,得AC=h,在△ABC中,∠CBA=90°,测得点D的仰角为45°,∴BC=h,AB=300.根据勾股定理得,3h2=h2+90000,∴h=150故选:C.9.(5分)已知圆锥的高为5,底面圆的半径为,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上,则该球的表面积为()A.4πB.36πC.48πD.24π【解答】解:设球的半径为R,则∵圆锥的高h=5,底面圆的半径r=,∴R2=(R﹣h)2+r2,即R2=(R﹣5)2+5,解得:R=3,故该球的表面积S=4πR2=36π,故选:B.10.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)无零点,且对任意x∈R都有f(f(x)+x3)=2,若函数g(x)=f(x)﹣kx在[﹣1,1]上与函数f(x)具有相同的单调性,则k的取值范围是()A.[0,+∞)B.(﹣∞,﹣3]C.(﹣∞,0]D.[﹣3,+∞)【解答】解:∵定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)无零点,∴函数f(x)是单调函数,令f(x)+x3=t,则f(x)=t﹣x3,f′(x)=﹣3x2≤0在[﹣1,1]恒成立,故f(x)在[﹣1,1]递减,结合题意g(x)=﹣x3+t﹣kx在[﹣1,1]递减,故g′(x)=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1,1]恒成立,故k≥﹣3x2在[﹣1,1]恒成立,故k≥0,故选:A.11.(5分)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.B.C.D.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体,三棱锥的长宽高分别为:2,1,2,故体积为:,半圆柱的底面半径为1,高为2,故体积为:π,故组合体的体积V=+π,故选:D.12.(5分)函数f(x)=x﹣ln(x+2)+e x﹣a+4e a﹣x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0使f(x0)=3成立,则实数a的值为()A.ln2 B.ln2﹣1 C.﹣ln2 D.﹣ln2﹣1【解答】解:令f(x)=x﹣ln(x+2)+e x﹣a+4e a﹣x,令g(x)=x﹣ln(x+2),g′(x)=1﹣=,故g(x)=x﹣ln(x+2)在(﹣2,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,g(x)有最小值﹣1﹣0=﹣1,而e x﹣a+4e a﹣x≥4,(当且仅当e x﹣a=4e a﹣x,即x=a+ln2时,等号成立);故f(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln2=﹣1,即a=﹣1﹣ln2.故选:D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知函数f(x)=2cos(+x),且f(﹣a)=,则f(a)的值为.【解答】解:f(x)=2cos(+x)=﹣2sinx,函数f(x)为奇函数,又f(﹣a)=,∴f(a)=﹣f(﹣a)=.故答案为:.14.(5分)设函数f(x)=,若f(a)=9,则a的值3.【解答】解:若a>2,由f(a)=9,得2a+1=9,得a=3,若0<a≤2,由f(a)=9,得log2a+4=9,得a=32,舍去.综上a=3,故答案为:3.15.(5分)已知函数f(x)=x(2x﹣),若f(x﹣1)>f(x),则x的取值范围是(﹣∞,).【解答】解:x>0时,f(x)在(0,+∞)递增,而f(﹣x)=f(x),f(x)是偶函数,故f(x)在(﹣∞,0)递减,若f(x﹣1)>f(x),则|x﹣1|>|x|,即(x﹣1)2>x2,解得:x<,故答案为:(﹣∞,).16.(5分)一个长,宽,高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体,如果任意转动该长方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是(1,5).【解答】解:长方体ABCD﹣EFGH,若要使液面不为三角形,则液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC;而当平面EHD平行水平面放置时,若满足上述条件,则任意转动该长方体,液面的形状都不可能是三角形;所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积,并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=,又长方体体积为1×2×3=6,所以液体体积取值范围是×6<V液体<×6,即1<V液体<5.故答案为:(1,5).三、解答题(共5小题,满分60分)17.(12分)已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若方程f(x)+m+1=0在[,]内有两个零点,求m的取值范围.【解答】解:(1)∵f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a==,∴=,∴a=;(2)由(1)知,f(x)=,若方程f(x)+m+1=0在[,]内有两个零点,则方程f(x)=﹣m﹣1在[,]内有两个零点,即函数y=f(x)的图象与y=﹣m﹣1的图象在[,]内有两个不同交点,如图:由图可知,要使函数y=f(x)的图象与y=﹣m﹣1的图象在[,]内有两个不同交点,则,即.18.(12分)设f(x)=ae x﹣cos(x),其中a>0.(Ⅰ)求证:曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线过定点;(Ⅱ)若函数f(x)在(﹣1,1)上存在唯一极值,求正数a的取值范围.【解答】证明:(Ⅰ)∵f(x)=ae x﹣cos(x),∴f′(x)=ae x+sin(x),∴k=f′(0)=a,f(0)=a,∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))的切线方程为y﹣a=ax,即ax﹣y+a=0,∴a(x+1)﹣y=0,∴ax﹣y+a=0过定点(﹣1,0),∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线过定点:解:(2)∵f(x)=ae x﹣cos(x),∴f′(x)=ae x+sin(x),∵f(x)在(﹣1,1)上存在唯一的极值点,∴f′(﹣1)f′(1)<0,∴(﹣)(ae+)<0,解得﹣<a<,故a 的范围为(﹣,).19.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=2sin (A+B),它的面积S=c2.(1)求sinB的值;(2)若D是BC边上的一点,cos,求的值.【解答】解:(1)∵sinA=2sin(A+B),∴sinA=2sinC,a=2c,∴S=sinB•c•2c=c2,故sinB=;(2)由(1)sinB=,cos,∴cosB=,sin∠ADB=,∴sin∠BAD=sin(B+∠ADB)=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB=×+×=,由=,得:=,解得:BD=c,故=3.20.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证:平面SBD⊥平面SAD;(Ⅱ)若SD与底面ABCD所成的角为60°,求二面角C﹣SB﹣D的余弦值.【解答】(1)证明:取AB中点M,连接DM,∵底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=,∴四边形BCDM是正方形,且AM=DM.∴∠DAB,∠ADC=90°,∴DB⊥AD又∵侧面SAD⊥底面ABCD,侧面SAD∩底面ABCD=AD,BD⊂面ABCD,∴BD⊥平面SAD,又DB⊂平面SBD,∴平面SBD⊥平面SAD(2)解∵侧面SAD⊥底面ABCD,∴∠SDA就是SD与底面ABCD所成的角或其补角,∴∠SDA=60°或120°,下面可以分类讨论,在此求解∠SDA=60°的情况.∵AD=SD,∴△SAD是等边△.如图以D为原点,DA,DB所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系,设CD=2,则S(,0,),B(0,2,0),C(﹣,,0),设面SCB的法向量为:,可得设面SBD的法向量为.可得cos==∴二面角C﹣SB﹣D的余弦值为.21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax+alnx(a>0).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性(Ⅱ)当a=1时,若方程f(x)=+m(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2,且x1<x2,证明:x1x22<2.【解答】(Ⅰ)解:函数f(x)=﹣ax+alnx(a>0)的定义域为(0,+∞)f′(x)=x﹣a+=,(a>0),△=a2﹣4a.①当△≤0,即0<a≤4时,函数f(x)在(0,+∞)递增,②当△>0,即>4时,f′(x)=0的根,x∈(0,x1)时,f′(x)>0,x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)递减.(Ⅱ)证明:当a=1时,若方程f(x)=+m(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2⇔方程lnx﹣x﹣m=0(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2.令g(x)=lnx﹣x﹣m,定义域为(0,+∞),g′(x)=﹣1令g′(x)<0得x>1,令g′(x)>0得0<x<1所以函数g(x)=lnx﹣x﹣m的单调减区间是(1,+∞),单调递增区间(0,1),又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0,由题意可知lnx2﹣x2=m<﹣2<ln2﹣2,又可知g(x)=lnx﹣x﹣m在(1,+∞)递减,故x2>2,令h(x)=g(x)﹣g(),(x>2),h(x)=g(x)﹣g()=)=﹣x++3lnx﹣ln2(x>2),h′(x)=﹣,当x>2时,h′(x)<0,h(x)是减函数,所以h(x)<h(2)=2ln2﹣<0.所以当x2>2 时,g(x2)﹣g()<0,即g(x1)<g(),因为g(x)在(0,1)上单调递增,所以x1<,故x1•x22<2.综上所述:x1•x22<2.请考生在22.23题中任选一题作答,[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为=3,曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ(a>0).(1)设t为参数,若y=﹣2,求直线l参数方程;(2)已知直线l与曲线C交于P,Q,设M(0,),且|PQ|2=|MP|•|MQ|,求实数a的值.【解答】解:(1)由=3,即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3,直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3,化为直角坐标方程:x﹣y﹣6=0.∵y=﹣2+t,∴x=y+6=t,∴直线l的参数方程为:(t为参数).(2)曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ,∴ρ2=4aρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0.将(1)中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0,并整理得:t2﹣2(1+a)t+12=0,又△=12(1+a)2﹣4×12=12(a2+2a﹣3)>0,解得:a>1,设P、Q对应参数分别为t1,t2,则t1+t2=2(1+a),t1•t2=12,由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=(t1+t2)2﹣4t1•t2=12(1+a)2﹣4×12,|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12,所以12(1+a)2﹣4×12=12,解得:a=﹣1,∴实数a的值﹣1.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|.(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≤1﹣a﹣4|2+x|成立,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)a=2时:f(x)=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3,可得或或,解得:﹣≤x≤;故不等式的解集是[﹣,];(2)不等式f(x)≤1﹣a﹣4|2+x|成立,即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a,由绝对值不等式的性质可得:||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|(3x﹣a)﹣(3x+6)|=|a+6|,即有f(x)的最大值为|a+6|,∴或,解得:a≥﹣.。
高考理科数学一轮复习最值范围证明问题专题练习题

课时作业56 最值、范围、证明问题第一次作业 基础巩固练1.已知动圆C 与圆C 1:(x -2)2+y 2=1相外切,又与直线l :x =-1相切. (1)求动圆圆心轨迹E 的方程;(2)若动点M 为直线l 上任一点,过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ,B 两点,求证:k MA +k MB =2k MP .解:(1)由题知,动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x =-2的距离,所以由抛物线的定义可知,动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点,x =-2为准线的抛物线,所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2=8x .(2)证明:由题知当直线AB 的斜率为0时,不符合题意,所以可设直线AB 的方程为x=my +1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,y 2=8x ,消去x ,得y 2-8my -8=0,Δ=64m 2+32>0恒成立,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (-1,t ),则y 1+y 2=8m ,y 1·y 2=-8,x 1+x 2=8m 2+2,x 1·x 2=1, 而2k MP =2·t-1-1=-t , k MA +k MB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1=y 1x 2+y 2x 1+y 1+y 2-t x 1+x 2-2tx 1x 2+x 1+x 2+1=18y 1y 2y 1+y 2+y 1+y 2-t x 1+x 2-2tx 1x 2+x 1+x 2+1=-t8m 2+48m 2+4=-t , 所以k MA +k MB =2k MP .2. 如图,已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F (1,0),过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ,交y 轴于点C ,AB →=6BC →.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点,连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ,求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程.解:(1)由题知A (-a,0),C (0,a ),故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 7,6a 7, 代入椭圆E 的方程得149+36a 249b 2=1,结合a 2-b 2=1,得a 2=4,b 2=3,故椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题知,直线l 不与x 轴重合,故可设l :x =my +1,代入x 24+y 23=1得(3m 2+4)y2+6my -9=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,连接ON ,由Q 与M 关于原点对称知,S △MNQ =2S △MON =|y 1-y 2|=y 1+y 22-4y 1y 2=12m 2+13m 2+4 =123m 2+1+1m 2+1,∵m 2+1≥1, ∴3m 2+1+1m 2+1≥4,∴S △MNQ ≤3,当且仅当m =0时,等号成立,∴△MNQ 面积的最大值为3,此时直线l 的方程为x =1.3.(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C :x 2=2py (p >0),过焦点F 的直线交C 于A ,B两点,D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点.(1)若AB ∥l ,且△ABD 的面积为1,求抛物线的方程;(2)设M 为AB 的中点,过M 作l 的垂线,垂足为N .证明:直线AN 与抛物线相切. 解:(1)∵AB ∥l ,∴|FD |=p ,|AB |=2p . ∴S △ABD =p 2=1.∴p =1,故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)证明:显然直线AB 的斜率存在,设其方程为y =kx +p2,A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1,x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +p 2,x 2=2py消去y 整理得,x 2-2kpx -p 2=0.∴x 1+x 2=2kp ,x 1x 2=-p 2. ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫kp ,k 2p +p 2,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ,-p 2.∴k AN =x 212p +p 2x 1-kp =x 212p +p 2x 1-x 1+x 22=x 21+p 22p x 1-x 22=x 21-x 1x 22p x 1-x 22=x 1p.又x 2=2py ,∴y ′=x p.∴抛物线x 2=2py 在点A 处的切线斜率k =x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切.4.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0),且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1,22.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)设点Q (2,0),过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点,且F 2A →=λF 2B →,λ∈[-2,-1],以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最小值.解:(1)由题易知c =1,1a 2+12b 2=1,又a 2=b 2+c 2,解得b 2=1,a 2=2, 故椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设直线l :x =ky +1,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ky +1,x 22+y 2=1得(k 2+2)y 2+2ky -1=0,Δ=4k 2+4(k 2+2)=8(k 2+1)>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则可得y 1+y 2=-2k k 2+2,y 1y 2=-1k 2+2.QC →=QA →+QB →=(x 1+x 2-4,y 1+y 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k 2+1k 2+2,-2k k 2+2, ∴|QC →|2=|QA →+QB →|2=16-28k 2+2+8k 2+22,由此可知,|QC →|2的大小与k 2的取值有关. 由F 2A →=λF 2B →可得y 1=λy 2,λ=y 1y 2,1λ=y 2y 1(y 1y 2≠0).从而λ+1λ=y 1y 2+y 2y 1=y 1+y 22-2y 1y 2y 1y 2=-6k 2-4k 2+2,由λ∈[-2,-1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-52,-2,从而-52≤-6k 2-4k 2+2≤-2,解得0≤k 2≤27. 令t =1k 2+2,则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716,12,∴|QC →|2=8t 2-28t +16=8⎝ ⎛⎭⎪⎫t -742-172,∴当t =12时,|QC |min =2.5.(2019·合肥模拟)已知中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1,F 2的距离之和为4,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y =kx +1与曲线C 交于A ,B 两点,求△OAB 面积的取值范围.解:(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),由条件知,⎩⎪⎨⎪⎧2a =4,e =c a =32,a 2=b 2+c 2,解得a =2,c =3,b =1, 故椭圆C 的方程为y 24+x 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,y =kx +1得(k 2+4)x 2+2kx -3=0, 故x 1+x 2=-2k k 2+4,x 1x 2=-3k 2+4,设△OAB 的面积为S , 由x 1x 2=-3k 2+4<0, 知S =12×1×|x 1-x 2|=12x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+3k 2+42,令k 2+3=t ,知t ≥3,∴S =21t +1t+2. 对函数y =t +1t(t ≥3),知y ′=1-1t 2=t 2-1t2>0,∴y =t +1t 在t ∈[3,+∞)上单调递增,∴t +1t ≥103,∴0<1t +1t+2≤316,∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,32. 第二次作业 高考·模拟解答题体验1.(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为22,过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ,B 两点,△ABF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程;(2)当△ABF 2的面积最大时,求l 的方程. 解:(1)由椭圆的定义知4a =42,a =2, 由e =c a知c =ea =1,b 2=a 2-c 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),|F 1F 2|=2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l :x =my -1, 联立x =my -1与x 22+y 2=1,得(m 2+2)y 2-2my -1=0,|y 1-y 2|=22m 2+1m 2+2,S △ABF 2=22m 2+1m 2+22=221m 2+1+1m 2+1+2,当m 2+1=1,m =0时,S △ABF 2最大为2,l :x =-1.2.(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12,椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1,F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程;(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点,连接CF 2与椭圆的另一交点为B ,求证:直线AB 与x 轴交于定点P ,并求PA →·F 2C →的取值范围.解:(1)由题意知c a =12,12·2c ·b =3,a 2=b 2+c 2,解得c =1,a =2,b = 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24+y 23=1.(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 1,-y 1),直线AB :y =kx +m . 将y =kx +m ,代入x 24+y 23=1得,(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0. 则x 1+x 2=-8km 4k 2+3,x 1x 2=4m 2-124k 2+3.因为B ,C ,F 2共线,所以kBF 2=kCF 2, 即kx 2+m x 2-1=-kx 1+m x 1-1, 整理得2kx 1x 2+(m -k )(x 1+x 2)-2m =0, 所以2k 4m 2-124k 2+3-(m -k )8km 4k 2+3-2m =0,解得m =-4k .所以直线AB :y =k (x -4),与x 轴交于定点P (4,0).因为y 21=3-34x 21,所以PA →·F 2C →=(x 1-4,y 1)·(x 1-1,-y 1)=x 21-5x 1+4-y 21=74x 21-5x 1+1=74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1-1072-187.因为-2<x 1<2,所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-187,18. 3.(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F :(x -1)2+y 2=16上任意一点,点F ′与圆心F 关于原点对称.线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点.(1)求动点P 的轨迹方程E ;(2)设点A (4,0),若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线AQ 与直线PF 交于点B ,证明:点B 恒在曲线E 上,并求△PAB 面积的最大值.解:(1)由题意得,F 点坐标为(1,0),因为P 为CF ′中垂线上的点,所以|PF ′|=|PC |.又|PC |+|PF |=4,所以|PF ′|+|PF |=4>|FF ′|=2,由椭圆的定义知,2a =4,c =1,所以动点P 的轨迹方程E 为x 24+y 23=1.(2)设P 点坐标为(m ,n )(n ≠0),则Q 点的坐标为(m ,-n ),且3m 2+4n 2=12, 所以直线QA :y =n4-m (x -4),即nx -(4-m )y -4n =0,直线PF :y =nm -1(x -1),即nx -(m -1)y -n =0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx -4-m y -4n =0,nx -m -1y -n =0,解得x B =5m -82m -5,y B =3n2m -5,则x 2B 4+y 2B3=5m -8242m -52+3n 232m -52=25m 2-80m +64+12n 242m -52=16m 2-80m +10042m -52=1,所以点B 恒在椭圆E 上.设直线PF :x =ty +1,P (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +1,3x 2+4y 2=12,消去x 整理得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0,所以y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4, 所以|y 1-y 2|=y 1+y 22-4y 1y 2=-6t 3t 2+42+363t 2+4=12t 2+13t 2+4, 从而S △PAB =12|FA ||y 1-y 2|=18t 2+13t 2+4 =18t 2+13t 2+1+1=183t 2+1+1t 2+1.令μ=t 2+1(μ≥1),则函数g (μ)=3μ+1μ在[1,+∞)上单调递增,故g (μ)min=g (1)=4,所以S △PAB ≤184=92,即当t =0时,△PAB 的面积取得最大值,且最大值为92.4.(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω:x 24+y 2=1的短轴长相等,且W 与Ω的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为A ,直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直,且l 与W 交于M ,N 两点.(1)求W 的方程;(2)求△MON 的面积的最大值.解:(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,a 2-b 2=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=3,故W 的方程为y 24+x 23=1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24+x 23=1,x24+y 2=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=3613,y 2=413,∴y 2x 2=19. 又A 在第一象限,∴k OA =y x =13.故可设l 的方程为y =-3x +m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +m ,y 24+x23=1,得31x 2-18mx +3m 2-12=0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则x 1+x 2=18m 31,x 1x 2=3m 2-1231.∴|MN |=1+-32×x 1+x 22-4x 1x 2=10×4331-m231.又O 到直线l 的距离为d =|m |10,则△MON 的面积S =12d ·|MN |=23|m |31-m 231,∴S =23m 231-m 231≤331(m 2+31-m 2)=3,当且仅当m 2=31-m 2,即m 2=312时,满足Δ>0,故△MON 的面积的最大值为 3.5.(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,已知椭圆的离心率为53,点A 的坐标为(b,0),且|FB |·|AB |=6 2.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |=524sin ∠AOQ (O 为原点),求k 的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2=59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .由已知可得,|FB |=a ,|AB |=2b ,由|FB |·|AB |=62,可得ab =6,从而a =3,b =2. 所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0, 故|PQ |sin ∠AOQ =y 1-y 2. 又因为|AQ |=y 2sin ∠OAB ,而∠OAB =π4,故|AQ |=2y 2.由|AQ ||PQ |=524sin ∠AOQ ,可得5y 1=9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x 29+y24=1,消去x ,可得y 1=6k 9k 2+4.易知直线AB 的方程为x +y -2=0,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x +y -2=0,消去x ,可得y 2=2kk +1.由5y 1=9y 2,可得5(k +1)=39k 2+4,两边平方,整理得56k 2-50k +11=0,解得k =12,或k =1128. 所以,k 的值为12或1128.。
2018年高考全国1卷理科数学试题与答案解析

WORD格式整理绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
x1.已知集合A={x|x<1},B={x|3 1},则A.A B{x|x0}B.A B RC.A B{x|x1}D.A B2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是1πA.B.48C.12D.π43.设有下面四个命题p:若复数z满足11zR,则z R;p:若复数z满足22z R,则z R;p:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1z2;3专业技术参考资料WORD 格式整理p :若复数z R,则z R.4其中的真命题为A.p1, p3 B.p1, p4 C.p2 , p3 D.p2, p44.记S为等差数列{ a n} 的前n项和.若a4 a5 24 ,S6 48 ,则{ a n} 的公差为nA.1 B.2 C.4 D. 85.函数 f (x) 在( , ) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) 1,则满足 1 f (x2) 1的x 的取值范围是A.[ 2,2] B.[ 1,1] C.[0,4] D.[1,3]6.16(1 )(1 x)2x展开式中 2x 的系数为A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B.12 C.14 D.168.右面程序框图是为了求出满足 3n- 2n>1000 的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1 000 和n=n+1B.A>1 000 和n=n+2C.A 1 000 和n=n+1D.A 1 000 和n=n+29.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2 x+ 2π) ,则下面结论正确的是3专业技术参考资料WORD 格式整理A.把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π个单位长度,得6到曲线C2B.把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π个单位长度,得12到曲线C2C.把C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π个单位长度,得6到曲线C2D.把C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π个单位长度,得12到曲线C210.已知 F 为抛物线C:y2=4x 的焦点,过F作两条互相垂直的直线l2=4x 的焦点,过F作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1 与C交于A、B两点,直线l 2 与C交于D、E两点,则|AB|+| DE| 的最小值为A.16 B.14 C.12 D.10x y z11.设x yz 为正数,且 2 3 5 ,则A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,⋯,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330 C.220 D.110二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线

第七节 抛物线
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解抛物线的实际背景,感
受抛物线在刻画现实世界和
解决实际问题中的应用.
2.了解抛物线的定义、几何
图形和标准方程,以及它的简
单几何性质.
3.通过抛物线的学习,进一步
体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
衍生考点
2
因为 sin
1
1
∠MFG=3,所以|DM|=3|MF|,即 x0-2
=
1
3
0 + 2
,
解得x0=p.②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)连接 FA,因为 F 就是圆 −
2
2
2
+y
=
的圆心,所以
2
4
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,
方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
(2)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.确定抛物线几何性质的三个要点
对点训练 2(1)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M(x0,2 2) 0 >
2
是抛物线 C 上的一点,以点 M 为圆心的圆与直线
常用结论
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2018年高考全国卷一理科数学(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)一、选择题1.设,则()A.0 B.C.D.2.已知集合,则()A.B.C.D.3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记为等差数列的前项和.若,,则()A.B.C.D.125.设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.6.在中,为边上的中线,为的中点,则()A.B.C.D.7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()A.B.C.D.28.设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于,两点,则()A.5 B.6 C.7 D.89.已知函数,,若存在2个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,,的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为,,,则()A.B.C.D.11.已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为,.若为直角三角形,则()A.B.3 C.D.412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若满足约束条件,则的最大值为________.14.记为数列的前项和.若,则________.15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)16.已知函数,则的最小值是________.三、解答题(共70分。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版

第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1.(导学号14577082)已知a 、b 为实数,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba,1,N ={a,0},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( )A .-1B .0C .1D .±1解析:C [a =1,b =0,∴a +b =1.]2.(导学号14577083)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( )解析:B [可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.]3.(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y =-x 2-x +2ln x 的定义域为( )A .(-2,1)B .[-2,1]C .(0,1)D .(0,1]解析:C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-x +2≥0x >0且ln x ≠0,解得0<x <1.故选C.]3.(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1x解析:D [函数y =10lg x的定义域和值域均为(0,+∞);函数y =x 的定义域和值域均为R ,不满足要求;函数y =lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足要求;函数y =2x的定义域为R ,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y =1x的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1.(导学号14577082)已知a 、b 为实数,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a,1,N ={a,0},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( )A .-1B .0C .1D .±1解析:C [a =1,b =0,∴a +b =1.]2.(导学号14577083)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( )解析:B [可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.]3.(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y =-x 2-x +2ln x 的定义域为( )A .(-2,1)B .[-2,1]C .(0,1)D .(0,1]解析:C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-x +2≥0x >0且ln x ≠0,解得0<x <1.故选C.]3.(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1x解析:D [函数y =10lg x的定义域和值域均为(0,+∞);函数y =x 的定义域和值域均为R ,不满足要求;函数y =lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足要求;函数y =2x的定义域为R ,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y =1x的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选D.]4.(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x ,则f (x )=( )A .(x +1)2(x ≠1) B .(x -1)2(x ≠1) C .x 2-x +1(x ≠1)D .x 2+x +1(x ≠1) 解析:C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x =x +12x 2-x +1x +1,令x +1x=t ,得f (t )=t 2-t +1(t ≠1),即f (x )=x 2-x +1(x ≠1).故选C.]5.(导学号14577087)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈2,5],则方程f (x )=1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D .±2或4解析:C [当x ∈[-1,2]时,由3-x 2=1⇒x = 2. 当x ∈(2,5]时,由x -3=1⇒x =4. 综上所述,f (x )=1的解为2或4.故选C.]6.(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2x +1,x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74B .-54C .-34D .-14解析:A [当a ≤1时,2a -1-2=-3,无解;当a >1时,-log 2(a +1)=-3,得a =7,所以f (6-a )=f (-1)=2-2-2=-74,故选A.]7.(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )= ________ .解析:由图象知每段为线段.设f (x )=ax +b ,把(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =0,⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =3.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧32x ,0≤x ≤13-32x ,1<x ≤28.(导学号14577089)若函数y =f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-2f (x +3)的值域是 ________ .解析:∵1≤f (x )≤3,∴-6≤-2f (x +3)≤-2, ∴-5≤1-2f (x +3)≤-1,即F (x )的值域为[-5,-1]. 答案: [-5,-1]9.(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x .∴2ax +a +b =2x . ∴a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2-x +1.(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0, 解得x >4或x <-1.故原不等式解集为{x |x >4或x <-1}.10.(导学号14577092)已知函数f (x )=x ·|x |-2x . (1)求函数f (x )=0时x 的值;(2)画出y =f (x )的图象,并结合图象写出f (x )=m 有三个不同实根时,实数m 的取值X 围.解:(1)由f (x )=0可解得x =0,x =±2,所以函数f (x )=0时x 的值为-2,0,2. (2)f (x )=x |x |-2x ,即f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0.图象如图,由图象可得实数m ∈(-1,1).[能力提升组]11.(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y =f (x )的定义域是[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域是( )A .[-1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 C .[2,4]D .[1,4]解析:B [∵y =f (x )的定义域是[-1,1],∴函数y =f (log 2x )有意义⇔-1≤log 2x ≤1,∴12≤x ≤2.∴函数y =f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}.故选B.]12.(导学号14577094)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +2,-1≤x ≤0,x 2-2x ,0<x ≤1,若f (2m -1)<12,则m 的取值X 围是( )A .m >12B .m <12C .0≤m <12 D.12<m ≤1解析:D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ -1≤2m -1≤0,12m +1<12,或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m -1≤1,2m -12-22m -1<12,解得12<m ≤1,故选D.]13.(导学号14577095)若函数f (x )=x 2+2ax -a 的定义域为R ,则a 的取值X 围为 ________ .解析:由题意知x 2+2ax -a ≥0恒成立, ∴Δ=4a 2+4a ≤0,∴-1≤a ≤0. 答案:[-1,0]14.(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系:y =x 2200+mx +n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度. 解:(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y =x 2200+x100(x ≥0).(2)令x 2200+x100≤25.2,得-72≤x ≤70.∵x ≥0, ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1.(导学号14577082)已知a 、b 为实数,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ,1,N ={a,0},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( )A .-1B .0C .1D .±1解析:C [a =1,b =0,∴a +b =1.]2.(导学号14577083)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( )解析:B [可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.]3.(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y =-x 2-x +2ln x 的定义域为( )A .(-2,1)B .[-2,1]C .(0,1)D .(0,1]解析:C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-x +2≥0x >0且ln x ≠0,解得0<x <1.故选C.]3.(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1x解析:D [函数y =10lg x的定义域和值域均为(0,+∞);函数y =x 的定义域和值域均为R ,不满足要求;函数y =lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足要求;函数y =2x的定义域为R ,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y =1x的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选D.]4.(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x ,则f (x )=( )A .(x +1)2(x ≠1) B .(x -1)2(x ≠1) C .x 2-x +1(x ≠1)D .x 2+x +1(x ≠1) 解析:C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x =x +12x 2-x +1x +1,令x +1x=t ,得f (t )=t 2-t +1(t ≠1),即f (x )=x 2-x +1(x ≠1).故选C.]5.(导学号14577087)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈2,5],则方程f (x )=1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D .±2或4解析:C [当x ∈[-1,2]时,由3-x 2=1⇒x = 2. 当x ∈(2,5]时,由x -3=1⇒x =4. 综上所述,f (x )=1的解为2或4.故选C.]6.(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2x +1,x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74B .-54C .-34D .-14解析:A [当a ≤1时,2a -1-2=-3,无解;当a >1时,-log 2(a +1)=-3,得a =7,所以f (6-a )=f (-1)=2-2-2=-74,故选A.]7.(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )= ________ .解析:由图象知每段为线段.设f (x )=ax +b ,把(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =0,⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =3.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧32x ,0≤x ≤13-32x ,1<x ≤28.(导学号14577089)若函数y =f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-2f (x +3)的值域是 ________ .解析:∵1≤f (x )≤3,∴-6≤-2f (x +3)≤-2, ∴-5≤1-2f (x +3)≤-1,即F (x )的值域为[-5,-1]. 答案: [-5,-1]9.(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x .∴2ax +a +b =2x . ∴a =1,b =-1.∴f (x )=x 2-x +1.(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0, 解得x >4或x <-1.故原不等式解集为{x |x >4或x <-1}.10.(导学号14577092)已知函数f (x )=x ·|x |-2x . (1)求函数f (x )=0时x 的值;(2)画出y =f (x )的图象,并结合图象写出f (x )=m 有三个不同实根时,实数m 的取值X 围.解:(1)由f (x )=0可解得x =0,x =±2,所以函数f (x )=0时x 的值为-2,0,2. (2)f (x )=x |x |-2x ,即f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0.图象如图,由图象可得实数m ∈(-1,1).[能力提升组]11.(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y =f (x )的定义域是[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域是( )A .[-1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2C .[2,4]D .[1,4]解析:B [∵y =f (x )的定义域是[-1,1],∴函数y =f (log 2x )有意义⇔-1≤log 2x ≤1,∴12≤x ≤2.∴函数y =f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}.故选B.]12.(导学号14577094)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +2,-1≤x ≤0,x 2-2x ,0<x ≤1,若f (2m -1)<12,则m 的取值X 围是( )A .m >12B .m <12C .0≤m <12 D.12<m ≤1解析:D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ -1≤2m -1≤0,12m +1<12,或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m -1≤1,2m -12-22m -1<12,解得12<m ≤1,故选D.]13.(导学号14577095)若函数f (x )=x 2+2ax -a 的定义域为R ,则a 的取值X 围为 ________ .解析:由题意知x 2+2ax -a ≥0恒成立, ∴Δ=4a 2+4a ≤0,∴-1≤a ≤0. 答案:[-1,0]14.(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系:y =x 2200+mx +n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度. 解:(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y =x 2200+x100(x ≥0).(2)令x 2200+x100≤25.2,得-72≤x ≤70.∵x ≥0, ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.4.(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x ,则f (x )=( )A .(x +1)2(x ≠1) B .(x -1)2(x ≠1) C .x 2-x +1(x ≠1)D .x 2+x +1(x ≠1) 解析:C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x =x +12x 2-x +1x +1,令x +1x=t ,得f (t )=t 2-t +1(t ≠1),即f (x )=x 2-x +1(x ≠1).故选C.]5.(导学号14577087)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈2,5],则方程f (x )=1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D .±2或4解析:C [当x ∈[-1,2]时,由3-x 2=1⇒x = 2. 当x ∈(2,5]时,由x -3=1⇒x =4. 综上所述,f (x )=1的解为2或4.故选C.]6.(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2x +1,x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74B .-54C .-34D .-14解析:A [当a ≤1时,2a -1-2=-3,无解;当a >1时,-log 2(a +1)=-3,得a =7,所以f (6-a )=f (-1)=2-2-2=-74,故选A.]7.(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )= ________ .解析:由图象知每段为线段.设f (x )=ax +b ,把(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =0,⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =3.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧32x ,0≤x ≤13-32x ,1<x ≤28.(导学号14577089)若函数y =f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-2f (x +3)的值域是 ________ .解析:∵1≤f (x )≤3,∴-6≤-2f (x +3)≤-2, ∴-5≤1-2f (x +3)≤-1,即F (x )的值域为[-5,-1]. 答案: [-5,-1]9.(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x .∴2ax +a +b =2x . ∴a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2-x +1.(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0, 解得x >4或x <-1.故原不等式解集为{x |x >4或x <-1}.10.(导学号14577092)已知函数f (x )=x ·|x |-2x . (1)求函数f (x )=0时x 的值;(2)画出y =f (x )的图象,并结合图象写出f (x )=m 有三个不同实根时,实数m 的取值X 围.解:(1)由f (x )=0可解得x =0,x =±2,所以函数f (x )=0时x 的值为-2,0,2. (2)f (x )=x |x |-2x ,即f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0.图象如图,由图象可得实数m ∈(-1,1).[能力提升组]11.(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y =f (x )的定义域是[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域是( )A .[-1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2C .[2,4]D .[1,4]解析:B [∵y =f (x )的定义域是[-1,1],∴函数y =f (log 2x )有意义⇔-1≤log 2x ≤1,∴12≤x ≤2.∴函数y =f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}.故选B.]12.(导学号14577094)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +2,-1≤x ≤0,x 2-2x ,0<x ≤1,若f (2m -1)<12,则m 的取值X 围是( )A .m >12B .m <12C .0≤m <12 D.12<m ≤1解析:D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ -1≤2m -1≤0,12m +1<12,或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m -1≤1,2m -12-22m -1<12,解得12<m ≤1,故选D.]13.(导学号14577095)若函数f (x )=x 2+2ax -a 的定义域为R ,则a 的取值X 围为 ________ .解析:由题意知x 2+2ax -a ≥0恒成立, ∴Δ=4a 2+4a ≤0,∴-1≤a ≤0. 答案:[-1,0]14.(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系:y =x 2200+mx +n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度. 解:(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y =x 2200+x100(x ≥0).(2)令x 2200+x100≤25.2,得-72≤x ≤70.∵x ≥0, ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.。
不等式选讲(二选一)-高考理科数学总复习练习

8.2不等式选讲(二选一)命题角度1含绝对值不等式的图象与解法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为 5.2.(2017全国Ⅰ·23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].3.(2016全国Ⅰ·24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.新题演练提能·刷高分1.(2018安徽淮南一模)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.解(1)由于f(x)=则y=f(x)的图象如图所示:(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点,故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围是(-∞,-2)∪,+∞.2.(2018河北邯郸一模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解(1)由f(x)≤2,得解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=作出函数f(x)的图象,如图所示,直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k∈(-∞,-2)∪,+∞.3.(2018安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)≤-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=|x+1|-2|x|=则不等式f(x)≤-6等价于解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC的面积取得最大值×4×3=6,∴f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a<-2.∵△ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8.∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,∴×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,a2≥12.又a<-2,则a≤-2,故实数a的取值范围是(-∞,-2].4.(2018福建漳州期末调研)已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)解不等式f(x)<8.解(1)因为f(x)=|2x-1|+2|x+2|≥|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f(x)=(2)当x<-2时,由-4x-3<8,解得x>-,即-<x<-2;当-2≤x≤时,5<8恒成立,即-2≤x≤;当x>时,由4x+3<8,解得x<,即<x<,所以原不等式的解集为.5.(2018江西九校联考)已知函数f(x)=|2x|-|x+3|.(1)若对于任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,求m的取值范围;(2)若g(x)=ax,方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,求a的取值范围.解(1)由于f(x)=|2x|-|x+3|=所以f(x)的最小值为f(0)=-3.又因为对任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,只需2m2-7m≤-3,即2m2-7m+3≤0,解得≤m≤3,故m的取值范围为,3.(2)方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点,作出这两个函数图象,由图象可知,a的取值范围是[-1,1)∪{-2}.6.(2018湖北天门、仙桃、潜江联考)已知函数f(x)=,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1.当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解.当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.∴f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.又已知≤2的解集为{x|1≤x≤2},∴于是a=3.命题角度2绝对值不等式中的最值与参数范围问题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].2.(2018全国Ⅱ·23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).3.(2017全国Ⅲ·23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解(1)f(x)=当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为.4.(2016全国Ⅲ·24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(分类讨论)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).新题演练提能·刷高分1.(2018江西新课程质量监测)已知函数f(x)=|x+1|-|x-a|,其中a为实数.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥1;(2)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)<2恒成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|=故f(x)≥1?x≥,即不等式f(x)≥1的解集是,+∞.(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)<2?|x+1|-|x-a|<2?x+1-|x-a|<2?|x-a|>x-1,当x∈[0,1)时,x-1<0,显然满足条件,此时a为任意值;当x=1时,a≠1;当x∈(1,+∞)时,可得x-a>x-1或a-x>x-1,求得a<1.综上,a∈(-∞,1).2.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|.(1)求不等式f(x)≥6的解集;(2)当x∈R时,f(x)≥-x+a恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当x≤-2时,f(x)=-x+4,∴f(x)≥6?-x+4≥6?x≤-2,故x≤-2;当-2<x<1时,f(x)=-3x,∴f(x)≥6?-3x≥6?x≤-2,故x∈?;当x≥1时,f(x)=x-4,∴f(x)≥6?x-4≥6?x≥10,故x≥10.综上可知:f(x)≥6的解集为(-∞,-2]∪[10,+∞).(2)由(1)知:f(x)=当x≤-2时,-x+4≥-x+a恒成立,∴a≤4,当-2<x<1时,-3x≥-x+a恒成立,∴a≤-2,当x≥1时,x-4≥-x+a恒成立,∴a≤-2.综上,实数a的取值范围为(-∞,-2].3.(2018山西一模)已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.解(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a≥3,解得a≤-3,即a max=-3;(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,当a=-1时,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合题意,当a<-1时,g(x)=即g(x)=所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3,解得a=-4,当a>-1时,同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2.综上,a=2或-4.4.(2018山东潍坊一模)设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a>0),g(x)=x2+x.(1)当a=1时,求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)已知f(x)≥,求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式g(x)≥f(x),即x2+x≥|x+1|+|x-1|,当x<-1时,x2+x≥-2x,x2+3x≥0,∴x≥0或x≤-3,∴此时,x≤-3,当-1≤x≤1时,x2+x≥2,x2+x-2≥0,∴x≥1或x≤-2,∴此时x=1,当x>1时,x2+x≥2x,x2-x≥0,∴x≥1或x≤0,∴此时,x>1,∴不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.(2)f(x)=|ax+1|+|x-a|=若0<a≤1,则f(x)min=f(a)=a2+1,∴a2+1≥,解得a≥或a≤-,∴≤a≤1,若a>1,则f(x)min=f=a+>2>,∴a>1.综上所述,a≥.5.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m>0).(1)当m=1时,解不等式f(x)≥3;(2)当x∈[m,2m2]时,不等式f(x)≤|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.解(1)当m=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|=由f(x)≥3解得x≤-1或x≥1.(2)由题意得解得m>,当x∈[m,2m2]时,不等式f(x)≤|x+1|等价于x+m+2x-1≤2(x+1), ∴x≤3-m,∴2m2≤3-m,解得<m≤1.∴实数m的取值范围是.命题角度3不等式的证明高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.2.(2016全国Ⅱ·24)已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.(1)证明f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-<x<时,f(x)<2;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)解由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.新题演练提能·刷高分1.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)若不等式f(x)≥|m-1|有解,求实数m的最大值M;(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b2=M,证明:3a+b≤4.(1)解若不等式f(x)≥|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max≥|m-1|即可.因为|x-1|-|x+2|≤|(x-1)-(x+2)|=3,所以|m-1|≤3,解得-2≤m≤4,所以实数m的最大值M=4.(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4,由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2,所以,(3a+b)2≤16,因为a,b均为正实数,所以3a+b≤4(当且仅当a=b=1时取“=”).2.(2018安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)=|x+2|+|2x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥2;(2)求证:f(x)≥|a-2|-|a|.(1)解当a=1时,f(x)=|x+2|+|2x+1|≥2??x≤-2或-2<x≤-1或x≥-?x≤-1或x≥-,所以不等式的解集为.(2)证明f(x)=|x+2|+|2x+a|=|x+2|+≥|a-2|-=|a-2|-|a|.3.(2018吉林长春质量监测二)已知函数f(x)=|2x-3|+|3x-6|.(1)求f(x)<2的解集;(2)若f(x)的最小值为T,正数a,b满足a+b=,求证:≤T.(1)解f(x)=|2x-3|+|3x-6|==由图象可知:f(x)<2的解集为.(2)证明由图象可知f(x)的最小值为1,由均值不等式可知,当且仅当a=b时,“=”成立,即≤1=T.4.(2018云南昆明第二次统考)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥6;(2)若a,b∈R,|a|<1,|b|<1,证明:f(ab)>f(a-b+1).(1)解由f(2x)+f(x+4)≥6得|2x-1|+|x+3|≥6,当x<-3时,-2x+1-x-3≥6,解得x<-3;当-3≤x≤时,-2x+1+x+3≥6,解得-3≤x≤-2;当x>时,2x-1+x+3≥6,解得x≥.综上,不等式的解集为.(2)证明f(ab)>f(a-b+1)?|ab-1|>|a-b|,因为|a|<1,|b|<1,即a2<1,b2<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=a2b2-2ab+1-a2+2ab-b2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|2>|a-b|2,即|ab-1|>|a-b|,所以原不等式成立.5.(2018东北三省三校二模)设函数f(x)=|2x-1|.(1)设f(x)+f(x+1)<5的解集为集合A,求集合A;(2)已知m为集合A中的最大自然数,且a+b+c=m(其中a,b,c为正实数),设M=.求证:M≥8.(1)解f(x)+f(x+1)<5,即|2x-1|+|2x+1|<5.当x<-时,不等式化为1-2x-2x-1<5,∴-<x<-;当-≤x≤时,不等式化为1-2x+2x+1<5,不等式恒成立;当x>时,不等式化为2x-1+2x+1<5,∴<x<.综上,集合A=.(2)证明由(1)知m=1,则a+b+c= 1.则,同理,则=8,即M≥8.。
(完整版)2018年高考全国卷1数学试题及答案解析[理科]
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WORD整理版分享2017 年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共60 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
x1.已知集合 A x x 1 ,B x 3 1 ,则()A. A B x x 0 B. A B RC. A B x x 1 D. A B2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π43.设有下面四个命题,则正确的是()1 p :若复数z 满足1z R,则z R ;p :若复数z 满足z2 R ,则z R ;2p :若复数3 z,z 满足z z R ,则1 2 1 2zz ;1 2p :若复数z R ,则z R .4A.p1 ,p3 B.p,pC.1 4p,pD.2 3p,p244.记S n 为等差数列a n 的前n 项和,若a4 a5 24,S6 48 ,则a n 的公差为()A.1 B.2 C. 4 D.85.函数 f x 在,单调递减,且为奇函数.若 f 1 1,则满足1≤ f x 2 ≤ 1 的 x的取值范围是()A.2,2 B.1,1 C.0 ,4 D.1,3范文范例参考指导WORD整理版分享6.11 1x2x6展开式中 2x 的系数为A.15 B. 20 C. 30 D. 357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B. 12 C. 14 D.16n n 8.右面程序框图是为了求出满足3 2 1000 的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A. A 1000 和n n 1 B. A 1000 和n n 2 C. A≤1000 和n n 1 D. A≤1000 和 n n 29.已知曲线2πC1 : y cos x , C2 : y sin 2x ,则下面结论正确的是()3A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移单位长度,得到曲线C2π个6B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π个12单位长度,得到曲线C2C.把 C 上各点的横坐标缩短到原来的1 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π个6单位长度,得到曲线C2D.把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移1π个12单位长度,得到曲线C2范文范例参考指导WORD 整理版分享10. 已知 F 为抛物线C :2 4y x 的交点, 过 F 作两条互相垂直 l 1 ,l 2 ,直线 l 1 与 C 交于 A 、B两点,直线 l 2 与 C 交于 D , E 两点, AB DE 的最小值为()A .16B . 14C . 12D .1011.设x , y , z 为正数,且 2x 3y 5z,则()A . 2x 3y 5zB . 5z 2x 3yC . 3y 5z 2xD . 3y 2x 5z12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ,⋯ ,其中第一项是20,接下来的两项是 20 , 21 ,在接下来的三项式26 , 21 , 22,依次类推,求满足如下条件的 最小整数 N :N 100 且该数列的前N 项和为 2的整数幂. 那么该款软件的激活码是 ( )A . 440B . 330C . 220D .110二、 填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
长沙市第一中学2018-2019学年度高二第二学期第一次阶段性检测理科数学参考答案

长沙市第一中学 学年度高二第二学期第一次阶段性检测 数学 理科 参考答案
一 选择题 题号 答案 二 填空题 " $ ! + ! % $ # # " % ! & " & ! " " "$或" ##" ! $ $ $# " ' 三 解答题 # 槡 & "0! 1 & 2 3 4 # # 槡 # 解析 圆 的参数方程为 可得圆心为 !槡 " ( ! " % % ! # # # 槡 & 4 5 6 '0! 1 ' " , # $ , % , & . ' . ( ) / * , " + " " / " # .
成都七中2018年度高考模拟数学(理科)试题一

成都七中高2018届高考模拟数学试题一理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}043{},4{2>-=≤=x x B x x x A ,则=B A I ( ) A .)0(,-∞ B .)34,0[ C .]4,34( D .)0(,-∞ 2.已知i 为虚数单位,R a ∈,若ia i --2为纯虚数,则=a ( ) A .21 B .21- C .2 D .-2 3.某公司新研发了两种不同型号的平板电脑,公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况,如下图,则下列说法不正确的是( )A .甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B .乙型号平板电脑的拍照功能比较好C .在性能方面,乙型号平板电脑做得比较好D .消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕 4.已知33)67sin(=+απ,则)232cos(απ-=( ) A .32-B .31- C.32 D .31 5.113)23(x x -展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( )A .121 B .61 C.112 D .1116.函数)1(1)(-+=xx e x e x f 的图像大致为( ) A . B .C. D .7.已知平面向量a ρ与b ρ的夹角为32π,若)1,3(-=a ρ,1322=-b a ρρ,则b ρ( )A .3B .4 C.3 D .2 8.设20π<<x ,则”“2cos x x <是”“x x <cos 的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.已知⎰=102xdx a ,函数⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0)sin()(πϕωϕωA x A x f 的部分图像如图所示,则函数a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π图像的一个对称中心是( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π B .⎪⎭⎫ ⎝⎛2,12π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,127π D .⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43π 10.双曲线()0,01:2222>>=-a by a x C 的离心率332=e ,右焦点为F ,点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点,OAF AOF ∠=∠,AOF ∆的面积为33,则双曲线C 的方程为( )A .1123622=-y x B .161822=-y x C. 13922=-y x D .1322=-y x 11.设函数2ln )(2+-=x x x x f ,若存在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⊆,21],[b a ,使)(x f 在],[b a 上的值域为)]2(),2([++b k a k ,则k 的取值范围是( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+42ln 29,1 B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+42ln 29,1 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛+102ln 29,1 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+102ln 29,1 12.如图,在矩形ABCD 中,,6,4==BC AB 四边形AEFG 为边长为2的正方形,现将矩形ABCD 沿过点F 的动直线l 翻折,使翻折后的点C 在平面AEFG 上的射影1C 落在直线AB 上,若点C 在折痕l 上射影为2C ,则221CC C C 的最小值为( )A .1356-B .25- C.21 D .32 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤622y x y x xy ,则y x z -=2的最大值为 .14.执行下面的程序框图,输出的结果为 .15.已知圆044:22=+--+m y x y x C 与y 轴相切,抛物线)0(2:2>=p px y E 过点C ,其焦点为F ,则直线CF 被抛物线所截得的弦长等于 .16.在ABC ∆中,点D 在边AB 上,AD BD CD AC BC CD 2,5,35,===⊥,则AD 的长为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知}{n a 是递增数列,前n 项和为n S ,11>a ,且*),2)(12(10N n a a S n n n ∈++=.(1)求数列}{n a 的通项n a ;(2)是否存在*,,N k n m ∈,使得k n m a a a =+)(2成立?若存在,写出一组符合条件的k n m ,,的值;若不存在,请说明理由;18.如图,等腰直角PAD ∆为梯形ABCD 所在的平面垂直,且,//,,BC AD PA PA PD PA ⊥=E ADC CD BC AD ,120,422ο=∠===为AD 中点.(1)证明:⊥BD 平面PEC ;(2)求二面角D PB C --的余弦值.19.甲、乙两品牌计划入驻某大型商场,该商场批准两个品牌先进场试销10天.量品牌提供的返利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出90件以内(含90件)的产品,每件产品返利5元,超出90件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利a 元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两家品牌的试销情况的茎叶图如下:(1)现从乙品牌试销的10天中抽取三天,求这三天的销售量中至少有一天低于90的概率.(2)若将频率视作概率,商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日平均返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场作出选择,并说明理由.20. 已知圆)0,1(),0,1(,4:2122F F y x O -=+,点D 圆O 上一动点,OF +=22,点C 在直线1EF 上,且02=⋅EF ,记点C 的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程;(2)已知)0,4(N ,过点N 作直线l 与曲线W 交于B A ,不同两点,线段AB 的中垂线为l ',线段AB 的中点为Q 点,记l '与y 轴的交点为M ,求MQ 的取值范围.21.已知函数),0()3()(R a x xae x xf x ∈>+-=. (1)当43->a 时,判断函数)(x f 的单调性; (2)当)(x f 有两个极值点时,若)(x f 的极大值小于整数m ,求m 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32cos 2165sin ππt y t x ,在极坐标系中曲线D 的极坐标方程为θθρ2cos sin 22+=. (1)求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程; (2)若曲线C 与曲线D 交于B A ,两点,求AB.23.选修4-5:不等式选讲 已知函数2)(-=x x f .(1)解不等式2)42()(<+-x f x f ;(2)若m m x f x f 2)3()(2+≥++对R x ∈恒成立,求实数m 的取值范围.成都七中高2018届高考模拟数学试题一理科数学 参考答案一、选择题1-5:CBDBB 6-10:AAACC 11、12:CA二、填空题13.10; 14.854; 15.825; 16.5. 三、解答题17.(1))2)(12(10111++=a a a ,得0252121=+-a a ,解得21=a ,或211=a . 由于11>a ,所以21=a .因为)2)(12(10++=n n n a a S ,所以252102++=n n n a a S . 故252252101010212111---++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a ,整理,得0)(5)(21221=+--++n n n n a a a a ,即0]5)(2)[(11=--+++n n n n a a a a . 因为}{n a 是递增数列,且21=a ,故0)(1≠++n n a a ,因此251=-+n n a a .则数列}{n a 是以2为首项,25为公差的等差数列. 所以)15(21)1(252-=-+=n n a n . (2)满足条件的正整数k n m ,,不存在,证明如下: 假设存在*,,N k n m ∈,使得kn m a a a =+)(2,则)15(211515-=-+-k n m . 整理,得5322=-+k n m ,①显然,左边为整数,所以①式不成立. 故满足条件的正整数k n m ,,不存在.18.【解析】(1)在等腰直角PAD ∆中,PD PA =, 又E 为AD 中点,所以AD PE ⊥, 又平面⊥PAD 平面ABCD ,平面I PAD 平面ABCD =AD , 所以⊥PE 平面ABCD , 故⊥PE BD .如图,连接BE ,在梯形ABCD 中,BC AD //,且BC ED =, 所以四边形BCDE 为平行四边形,又2==CD BC ,所以四边形BCDE 为菱形, 所以BD EC ⊥. 又E EC PE =I , 所以⊥BD 平面PEC .(2)如图,过点E 作DB EF //,交AB 于F , 因为EC BD ⊥,所以BC EF ⊥.由(1)知⊥PE 平面ABCD ,故以点E 为坐标原点,分别以EP EC EF ,,所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系xyz E -. 在PAD Rt ∆中,2==EA ED , 又PD PA PD PA ⊥=,,所以2=EP .在梯形ABCD 中,ο120=∠ADC ,2==DC ED ,故32=EC .ο60,2=∠==BEF DC EB .所以),60sin 2,60cos 2(),0,32,0(),2,0,0(οοB C P 即)0,3,1(),0,3,1(-D B .故)0,0,2(),2,32,0(),2,3,1(=-=-=DB PC PB .设平面PBC 的法向量为),,(111z y x n =ρ, 由⎪⎩⎪⎨⎧==n n ρρ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+023*********z y z y x . 令31=z ,则3,111==x y . 所以)3,1,3(=n ρ为平面PBC 的一个法向量.设平面PBD 的法向量为),,(222z y x m =ρ. 由⎪⎩⎪⎨⎧==DBm m ρρ,得⎩⎨⎧==-+020232222x z y x . 令32=z ,则2,022==y x . 所以)3,2,0(=m ρ为平面PBD 的一个法向量. 所以75313323321,cos 2=++⨯+⨯+⨯=⋅⋅=n m n m n m ρρρρρρ. 由图可知,二面角D PB C --为锐二面角,故其余弦值等于75. 19.解(1)方法一:记“乙品牌这三天的销售量中至少有一天低于90”为事件A , 由题意知抽取的10天中,销售量不低于90的有7天,销售量低于90的有3天. 则2417)(310330723171327=++=C C C C C C C A P 方法二:记“这三天的销售量至少有一天低于90”为事件A , 则A 为:“这三天的销售量都不低于90”, 则247)(3103703==C C C A P , 所以24172471)(1)(=-=-=A P A P (2)①设甲品牌的日销售量为t ,由茎叶图可知t 可取86,87,89,90,92,93.当t =86时,=X 86⨯5=430;当t =87时,=X 87⨯5=435;当t =89时,=X 89⨯5=445;当t =90时,=X 90⨯5=450;当t =92时,=X 90⨯5+2⨯7=464;当t =93时,=X 90⨯5+3⨯7=471.∴X 的所有可能取值为:430,435,445,450,464,471.∴X 的分别列为∴5.44510147110146451450544554355430=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX (元) ②依题意,乙品牌的日平均销售量为:7.909310192529151895186101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ∴乙品牌的日平均返利额为:1.27237.90+=⨯+a a (元).当5.4451.272>+a ,即4.173>a (元)时,推荐该商场选择乙品牌长期销售; 当5.4451.272=+a ,即4.173=a (元)时,该商场任意选择甲、乙品牌即可; 当5.4451.272<+a ,即4.173<a (元)时,推荐该商场选择甲品牌长期销售. 综上,当4.173>a 元时,推荐该商场选择乙品牌长期销售;当4.173=a 元时,该商场任意选择甲、乙品牌即可;当4.173<a 元时,推荐该商场选择甲品牌长期销售. 20.解:(1)13422=+y x . (2)由题意可知直线l 的斜率存在,设l :),(),,(),,(),4(002211y x Q y x B y x A x k y -=.联立直线与椭圆⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)4(22y x x k y ,消去y 得0126432)34(2222=-+-+k x k x k . 341264,343222212221+-=+=+k k x x k k x x , 又0)1264)(34(4)32(2222>-+--=∆k k k ,解得2121<<-k , 3412)4(,3416220022210+-=-=+=+=k k x k y k k x x x , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+3412,3416222k k k k Q所以)(1:00x x ky y l --=-',即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++341613412222k k x k k k y . 化简得:34412++-=k k x k y , 令0=x ,得3442+=k k m ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+344,02k k M , =MQ ()22242222222341634163416++⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k k k k k MQ , 令342+=k t ,则)4,3[∈t , 所以]11213[163216434316222222+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=--⋅=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t t t t t t t t MQ , 所以)5,0[∈MQ . 21.(1)由题)0()33()3(])3([)(222>--+-=----+-='x x a e x x x a e x x e x e x f x x x x . 方法1:由于43)33(,01,0433322-<-+-<-<-<-≤-+-x x e x x e x x , 又43->a ,所以0)33(2<--+-a e x x x ,从而0)(<'x f , 于是)(x f 为),0(+∞上的减函数.方法2:令a e x x x h x --+-=)33()(2,则x e x x x h )()(2+-=',当10<<x 时,0)(>'x h ,)(x h 为增函数;当1>x 时,0)(<'x h ,)(x h 为减函数. 故)(x h 在1=x 时取得极大值,也即为最大值.则a e h x h --==)1()(max .由于43->a ,所以0)1()(max <--==a e h x h , 于是)(x f 为),0(+∞上的减函数.(2)令a e x x x h x --+-=)33()(2,则x e x x x h )()(2+-=',当10<<x 时,0)(>'x h ,)(x h 为增函数;当1>x 时,0)(<'x h ,)(x h 为减函数. 当x 趋近于∞+时,)(x h 趋近于∞-.由于)(x f 有两个极值点,所以0)(='x f 有两个不等实根,即0)33()(2=--+-=a e x x x h x 有两不等实根21,x x (21x x <). 则⎩⎨⎧><,0)1(,0)0(h h 解得e a -<<-3.可知)1,0(1∈x ,由于0)1(>--=a e h ,034343)23(2323<+-<--=e a e h ,则)23,1(2∈x . 而0)33()(2222222=--+-='x a e x x x f x ,即332222-+-=x x a e x (#) 所以2222)3()()(x a e x x f x f x +-==极大值,于是332)(22222+--=x x a ax x f ,(*) 令)211(2222-<<-+=⇒-=t t x x t ,则(*)可变为a tt a t t t t g 1111)(2++=++=, 可得321111-<++<-t t ,而e a -<<-3,则有31111)(2<++=++=a tt a t t t t g , 下面再说明对于任意)23,1(,32∈-<<-x e a ,2)(2>x f . 又由(#)得)33(2222-+-=x x e a x ,把它代入(*)得2)2()(22x e x x f -=, 所以当)23,1(2∈x ,2)1()(22x ex x f -='0<恒成立, 故2)2()(22x e x x f -=为)23,1(的减函数,所以221)23()(232>=>e f x f . 所以满足题意的整数m 的最小值为3.22.解:(1)曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ty t x 121,消去参数t ,得x y 21+=,故曲线C 的普通方程为012=+-y x . 因为θθθθθρsin 12sin 1)sin 1(2cos sin 2222-=-+=+=,即2sin =-θρρ. 所以曲线D 的直角坐标方程为222=-+y y x ,即442+=y x .(2)由⎩⎨⎧+=+=44212y x x y ,消去y ,可得4)21(42++=x x ,即0882=--x x . 所以821=+x x ,821-=x x ,所以304)8(482122=-⨯-+=AB .23.解:(1)由题知不等式2)42()(<+-x f x f 即2222<+--x x , 等价于⎩⎨⎧<+++--<22221x x x 或⎩⎨⎧<--+-≤≤-222221x x x 或⎩⎨⎧<--->22222x x x ,解得2-<x 或232≤<-x 或2>x , ∴原不等式的解集为),(,∞+---∞32)2(Y . (2)由题知31212)3()(=---≥++-=++x x x x x f x f , ∴)3()(++x f x f 的最小值为3,∴322≤+m m ,解得13≤≤-m ,∴实数m 的取值范围为]1,3[-.。
高考理科数学第一轮复习测试题9

(时间:40分钟 满分:60分)一、填空题(每小题5分,共40分)1.已知直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22,则极点到该直线的距离是________. 解析 由题意知,ρsin θ+ρcos θ=1,∴x +y -1=0,由点到直线的距离公式得所求的距离d =22. 答案222.(2011·汕头调研)在极坐标系中,ρ=4sin θ是圆的极坐标方程,则点A ⎝⎛⎭⎫4,π6到圆心C 的距离是________.解析 将圆的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0,圆心坐标为(0,2).又易知点A ⎝⎛⎭⎫4,π6的直角坐标为(23,2),故点A 到圆心的距离为0-232+2-2 2=2 3. 答案 2 33.在极坐标系中,过圆ρ=6cos θ-22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________.解析 由ρ=6cos θ-22sin θ⇒ρ2=6ρcos θ-22ρsin θ,所以圆的直角坐标方程为x 2+y 2-6x +22y =0,将其化为标准形式为(x -3)2+(y +2)2=11,故圆心的坐标为(3,-2),所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x =3,将其化为极坐标方程为ρcos θ=3. 答案 ρcos θ=34.(2011·华南师大模拟)在极坐标系中,点M ⎝⎛⎭⎫4,π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=2上的点的距离的最小值为________.解析 依题意知,点M 的直角坐标是(2,23),曲线的直角坐标方程是x +3y -4=0,因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离,即为|2+23×3-4|12+32=2.答案 25.(2011·广州广雅中学模拟)在极坐标系中,圆ρ=4上的点到直线ρ(cos θ+3sin θ)=8的距离的最大值是________.解析 把ρ=4化为直角坐标方程为x 2+y 2=16,把ρ(cos θ+3sin θ)=8化为直角坐标方程为x +3y -8=0,∴圆心(0,0)到直线的距离为d =82=4.∴直线和圆相切,∴圆上的点到直线的最大距离是8. 答案 86.在极坐标系中,曲线C 1:ρ=2cos θ,曲线C 2:θ=π4,若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点,则线段AB =________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ=2cos θ,θ=π4得⎩⎪⎨⎪⎧ρ=2,θ=π4,即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2,因此AB = 2. 答案27.(2011·湛江模拟)在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为:ρ2+2ρcos θ=0,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π2过点P 作圆C 的切线,则两条切线夹角的正切值是________.解析 圆C 的极坐标方程:ρ2+2ρcos θ=0化为普通方程:(x +1)2+y 2=1,点P 的直角坐标为(0,2),圆C 的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为y =kx +2,则圆心到切线的距离为|-k +2|k 2+1=1,∴k =34,即tan α=34.易知满足题意的另一条切线的方程为x =0.又∵两条切线的夹角为α的余角,∴两条切线夹角的正切值为43.答案 438.若直线3x +4y +m =0与曲线ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0没有公共点,则实数m 的取值范围是________.解析 注意到曲线ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0的直角坐标方程是x 2+y 2-2x +4y +4=0,即(x -1)2+(y +2)2=1.要使直线3x +4y +m =0与该曲线没有公共点,只要圆心(1,-2)到直线3x +4y +m =0的距离大于圆的半径即可,即|3×1+4×-2 +m |5>1,|m -5|>5,解得,m <0,或m >10.答案 (-∞,0)∪(10,+∞) 二、解答题(共20分)9.(10分)设过原点O 的直线与圆(x -1)2+y 2=1的一个交点为P ,点M 为线段OP 的中点,当点P 在圆上移动一周时,求点M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.解 圆(x -1)2+y 2=1的极坐标方程为ρ=2cos θ⎝⎛⎭⎫-π2≤θ≤π2,设点P 的极坐标为(ρ1,θ1),点M 的极坐标为(ρ,θ),∵点M 为线段OP 的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ=cos θ-⎝⎛⎭⎫π2≤θ≤π2,它表示圆心在点⎝⎛⎭⎫12,0,半径为12的圆.10.(10分)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知点P 的直角坐标为(1,-5),点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4,π2,若直线l 过点P ,且倾斜角为π3,圆 C 以M 为圆心、4为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系.解 (1)由题意,直线l 的普通方程是y +5=(x -1)tan π3,此方程可化为y +5sin π3=x -1cos π3,令y +5sinπ3=x -1cos π3=a (a 为参数),得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =12a +1,y =32a -5(a 为参数).如图,设圆上任意一点为P (ρ,θ),则在△POM 中,由余弦定理,得PM 2=PO 2+OM 2-2·PO ·OM cos ∠POM ,∴42=ρ2+42-2×4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π2. 化简得ρ=8sin θ,即为圆C 的极坐标方程. (2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4), 直线l 的普通方程是3x -y -5-3=0,圆心M 到直线l 的距离d =|0-4-5-3|3+1=9+32>4,所以直线l 和圆C 相离.。
高考数学理科总复习9.1直线方程与圆的方程完美

疑难突破 要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.
考点二 圆的方程
1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由
y y
k(x 2 4x
1),
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2= 2kk2
为
x
3 2
2
+y2= 25 .
4
思路分析 由已知条件和椭圆的方程分析出圆所经过的顶点的坐标,然后求出圆心坐标,进一
步求出圆的半径,从而得到圆的标准方程.
解题关键 利用圆的几何性质求出圆心坐标是解题的关键.
3.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两
则该圆的标准方程为
.
答案
x
3 2
2
+y2= 25
4
解析 由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分
高考数学(理)一轮总复习课件:同步测试9 等差、等比数列的概念、性质及应用

=f(xx),即 f(x)=xg(x),从而 g(ab)=g(a)+g(b). 当 n∈N*时,g(an)=ng(a),则 f(an)=ang(an)=nang(a)
=nan-1·ag(a)=nan-1f(a),所以f(nan)=an-1f(a),
则 an=fn21n=2n1-1f12=-12n.
三、解答题(本大题共3小题,共50分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.)
11.(16 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn =13(an-1).
∴SS64=94SS22=49,选 A.
4.已知实数列an是等比数列,其前 n 项的和为
Sn.若对于任意的正整数 n,都有 Sn>0,则公比 q 的取 值范围是( B )
A.q>0 B.q>-1 且 q≠0 C.q>-1 且 q≠1 D.q 的取值与 a1 有关
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=-2
10.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,且对
任意实数 a,b,恒有 f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2.则 f12
=_-__12_;令 an=fn21n(n∈N*),则 an 关于 n 的表达式为
a_n_=-12n
.
【解析】令 a=b=1,得 f(1)=0.从而 f(1)=f2×21
A.7
D
B.5
C.-5
D.-7
2.在等差数列{an}中,a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77, 如果ak=13,那么k=
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第五节直线、平面垂直的判定及其性质【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直.(2)判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.(3)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(4)直线和平面垂直的性质:①垂直于同一个平面的两条直线平行.②直线垂直于平面,则垂直于这个平面内的任意直线.③垂直于同一条直线的两平面平行.2.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直(1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×2.下列命题中不正确的是()A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ.解析:根据面面垂直的性质定理,A项中l⊂β,l∥β或l⊥β.答案:A3.(2015·浙江卷)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m解析:∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.答案:A4.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.解析:∵PA⊥平面ABC∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC则△PAB,△PAC为Rt△由BC⊥AC,且AC∩PA=A∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC因此△ABC,△PBC也是Rt△.答案:45.如果正四棱锥的底面边长为2,侧面积为42,则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________.解析:如图,O为底面正方形的中心,据题意易得,该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为2,因此正四棱锥的高PO =PE2-OE2=1.∵∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小,∴侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.答案:45°一种关系垂直问题的转化关系.三类证法1.证明线线垂直的方法.(1)定义:两条直线所成的角为90°;(2)平面几何中证明线线垂直的方法;(3)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;(4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α⇒a⊥b.2.证明线面垂直的方法.(1)线面垂直的定义:a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α;(2)判定定理1:⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α,m ∩n =A l ⊥m ,l ⊥n ⇒l ⊥α; (3)判定定理2:a ∥b ,a ⊥α⇒b ⊥α;(4)面面平行的性质:α∥β,a ⊥α⇒a ⊥β;(5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l ,a ⊂α,a ⊥l ⇒a ⊥β.3.证明面面垂直的方法.(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:a ⊂α,a ⊥β⇒α⊥β.A 级 基础巩固一、选择题1.(2016·佛山一中期中)设α、β、γ为不同的平面,m 、n 、l 为不同的直线,则m ⊥β的一个充分条件为( )A .α⊥β,α∩β=l ,m ⊥lB .α∩γ=m ,α⊥γ,β⊥γC .α⊥γ,β⊥γ,m ⊥αD .n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α解析:A 中,缺少条件m ⊂α,不满足面面垂直的性质定理,不正确.在选项B ,C 中,平面α与β可能平行或相交,推不出m ⊥β.在D 中,n ⊥α,n ⊥β,则α∥β,根据m ⊥α,得m ⊥β,D 正确.答案:D2.(经典再现)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l解析:根据所给的已知条件作图,如图所示.由图可知α与β相交,且交线平行于l,因此选项D正确.答案:D3.如图,在正四面体P ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立...的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC解析:因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故选项A正确.在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC,∴BC⊥平面PAE,则DF⊥平面PAE,从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确.答案:D4.(2014·浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α解析:A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m ⊂α,错误.答案:C5.如图所示,AB是⊙O的直径,V A垂直于⊙O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为V A,VC的中点,则下列结论正确的是()A.MN∥ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面V ACD.平面V AC⊥平面VBC解析:由圆的性质,BC⊥AC.又V A⊥平面ABC,则V A⊥BC.从而BC⊥平面V AC,平面V AC⊥平面VBC.因此C不正确,D正确.由于MN∥AC,BC⊥AC,所以A,B不正确.答案:D二、填空题6.如图所示,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)7.(2016·石家庄调研)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD 与平面BB1C1C所成角的大小是________.解析:取BC的中点E,连接AE,DE,则AE⊥平面BB1C1C.所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设三棱柱的所有棱长为a,在Rt△AED中,AE=32a,DE=a2.所以tan∠ADE=AEDE=3,则∠ADE=π3.故AD与平面BB1C1C所成的角为π3.答案:π38.如图所示,在三棱锥D ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是________(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.解析:由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,则AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE.所以平面ABC⊥平面BDE,平面ACD⊥平面BDE,③正确.答案:③三、解答题9.(2016·西安质检)如图所示,在三棱锥P ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=12PA=3,EF=12BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.10.(2014·湖南卷)如图所示,已知二面角α MN β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.(1)证明:AB⊥平面ODE;(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.(1)证明:如图,因为DO⊥α,AB⊂α,所以DO⊥AB.连结BD,由题设知,△ABD是正三角形.又E是AB的中点,所以DE⊥AB.而DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.(2)解:因为BC∥AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD 所成的角,即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角).由(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE.又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α MN β的平面角,从而∠DEO=60°.不妨设AB=2,则AD=2,易知DE= 3.在Rt△DOE中,DO=DE·sin 60°=3 2.连结AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO =DO AD =322=34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34. B 级 能力提升1.如图,在正四棱锥S ABCD 中,E ,M ,N 分别是BC ,CD ,SC 的中点,动点P 在线段MN 上运动时,下列四个结论:①EP ⊥AC ;②EP ∥BD ;③EP ∥面SBD ;④EP ⊥面SAC 中恒成立的为()A .①③B .③④C .①②D .②③④ 解析:∵E ,M ,N 是BC ,CD ,SC 的中点,∴EN ∥SB ,EM ∥BD ,从而可得EN ∥平面SBD ,EM ∥平面SBD.又EN 与EM 是平面EMN 内的两条相交直线,∴平面EMN ∥平面SBD ,故EP ∥平面SBD ,因此③正确,当点P 与M 不重合时,②不正确.在正四棱锥S ABCD 中,AC ⊥平面SBD.从而AC ⊥平面EMN ,由EP⊂平面EMN,得AC⊥EP,①正确.又易知EM⊥平面SAC,因此④不恒成立.答案:A2.如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.解析:∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F).设AF=x,则CD2=DF2+FC2,∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.答案:a或2a3.(2015·天津卷)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB =AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC 和A1C的中点.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC 和A1C的中点,所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1.由于AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)解:取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,NE=12B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB.又由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中,可得A1B1=B1M2+A1M2=4.在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=A1NA1B1=12,因此∠A1B1N=30°.所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.。