高二数学余弦定理1
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高二必修5
1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。
高二数学余弦定理
[单选]依据糖尿病诊断标准，确诊糖尿病选用（）A.全血血糖B.血浆血糖C.糖化血红蛋白D.尿糖定性E.24小时尿糖定量 [单选]根据《行政复议法》的规定，下列各项中不属于行政复议中一并申请审查范围的有（）。A.国务院各部门的规定B.省政府所在地的市的人民政府制定的规章C.县级以上地方人民政府及其工作部门的规定D.乡、镇人民政府的规定 [单选]《建设工程质量管理条例》规定，建设工程质量保修期限应当由()。A.法律直接规定B.发包人与承包人自主决定C.法律规定和发承包人双方约定D.发包人规定 [填空题]历史数据采集可以对（）和（）两种格式进行存储。 [单选,A4型题,A3/A4型题]26岁女性，已婚2年，G1P0，婚后一直服用短效口服避孕药避孕，但意外妊娠，于孕50天行人工流产术。患者打算2年后妊娠，希望继续避孕，下列建议正确的是（）A.停用口服避孕药，改用IUD避孕B.停用口服避孕药，改用长效避孕针C.停用口服避孕药，改用皮下埋植D [单选]一般情况下，船舶在冰区航行，当有破冰船引航时，航速通常由（）指定。A．破冰船B．本船C．任意船D．两船协商 [填空题]电压互感器的二次额定电压为（）V，电流互感器的二次额定电压为（）A [多选]下面哪几项是酒店运管七定式“对你人生受用4W”？（）A、第一问：我要什么？B、第二问：我有什么？C、第三问：我缺什么？D、第四问：我要做什么？ [单选]判断成人发育正常的指标，不正确的是（）A.头长为身高的1／5～1／6B.胸围等于身高的一半C.两上肢展开的长度约等于身高D.坐高等于下肢的长度E.前臂曲侧或上臂背侧下1／3处脂肪分布差异最小 [单选]在一般智能建筑系统中，应优先考虑使用的火灾探测器为（）。A.感烟火灾探测器B.感光火灾探测器C.感温火灾探测器D.气体火灾探测器 [多选]在《担保法》规定的五种担保方式中，既允许债务人用自己的财产也可以用第三人财产向债权人提供担保的有（）。A．保证B．抵押C．动产质押D．权利质押E．定金 [单选]在关系代数表达式的查询优化中，不正确的叙述是（）A.尽可能早地执行连接B.尽可能早地执行选择C.尽可能早地执行投影D.把笛卡儿积和随后的选择合并成连接运算 [问答题,简答题]高空作业时的安全注意事项是什么？ [单选]未成年人是指（）的公民。A、年满十八周岁B、年满十七周岁C、年满十六周岁D、年满十五周岁 [多选]某大型工程项目进行施工招标，招标人编制了完整。详细的招标文件，内容包括：(1)招标公告;(2)投标须知;(3)通用条件;(4)专用条件;(5)合同格式;(6)图纸;(7)工程量清单;(8)中标通知书;(9)评标委员会名单;(10)投标文件格式等。招标人通过资格预审对申请投标人进行审查，确定了资 [单选,A1型题]解剖式人工牙的牙尖斜度为（）A.0°B.10°C.20°D.25°E.30° [单选]费用是存储管理的重要指标，下列关于仓库存储费用的理解中，正确的是（）。A.仓库存储费用由订货费、保管费构成B.缺货会对企业的信誉产生影响，但因无法计算，故不能计算在缺货损失费内C.降低存储量、缩短存储周期会降低订货费的支出D.要以存储系统总费用最小为前提进行综合 [问答题]预算单位离退休人员、借调人员可以办理公务卡吗？ [填空题]中国的许多发明由阿拉伯人介绍给欧洲人，在欧洲获得了广泛的应用，并产生了()。 [单选]在慢性气道阻塞的患者中最常见的肺气肿病理类型为（）A.混合型B.小叶中央型C.全小叶型D.旁间隔型E.间质型 [配伍题]查体发现周围血管征的是（）</br>查体发现心尖部听到隆隆样舒张中晚期杂音的是（）A.二尖瓣关闭不全B.主动脉瓣关闭不全C.纤维蛋白性心包炎D.左侧胸膜炎E.二尖瓣狭窄 [单选]对商品投资基金进行具体的交易操作、决定投资期货的策略的是（）。A．商品基金经理B．商品交易顾问C．交易经理D．期货佣金商 [填空题]进入工作岗位（）穿戴齐全。 [问答题]旅客王洪斌为退伍军人，尚未办理居民身份证，乘机时办理了临时身份证，该旅客的证件是否有效？临时身份证需要哪些具体内容？ [单选,A2型题,A1/A2型题]关于湿热类温病证论述，正确的是？（）A.多由于风热、燥热等病邪所致B.病理特点为温邪犯表，肺卫失宣C.辨证要点为发热、咳嗽、头痛、无汗D.不可采用汗法治疗E.病变层次表浅，病情一般较轻 [单选]心室颤动时，首次直流电除颤用（）A.100JB.150JC.200JD.300JE.360J或以上 [单选]生精干细胞是指下列哪项？（）A.精原细胞B.初级精母细胞C.次级精母细胞D.精子E.精子细胞 [单选]下列关于单代号网络图与双代号网络图特点的说法，错误的是().A.两种网络图中工作都可以用虚箭头表示B.单代号网络图中不使用虚箭头和虚工作C.双代号网络图的持续时间不是表示在节点之中的D.单代号网络图工作之间的逻辑关系会产生更多的纵横交叉现象 [问答题,案例分析题]男性，66岁。主诉：反复咳嗽、咳痰9年，加重1周就诊。请针对该案例，说明问诊内容与技巧。 [多选]某大型工程项目进行施工招标，招标人编制了完整。详细的招标文件，内容包括：(1)招标公告;(2)投标须知;(3)通用条件;(4)专用条件;(5)合同格式;(6)图纸;(7)工程量清单;(8)中标通知书;(9)评标委员会名单;(10)投标文件格式等。招标人通过资格预审对申请投标人进行审查，确定了资 [单选]当采用“纯抓法”造孔时，副孔长度宜为抓斗开度的（）倍。A.1/2~2/3；B.1/2~3/4；C.2/3~3/4；D.3/4~1.0。 [单选,A型题]能在无生命培养基上繁殖的最小生物是（）A.病毒B.衣原体C.支原体D.立克次体E.螺旋体 [单选,B型题]听觉适应指（）。A.短时间暴露于强噪声，使听阈上升10～15dB，脱离噪声接触后数分钟内即可恢复正常B.较长时间暴露于强噪声，致使听阈上升超过15～30dB，脱离后需数小时至几十小时才能恢复C.已长期在强噪声环境中导致听力曲线在3000～6000Hz范围内出现"V形" [名词解释]多次覆盖 [单选,A2型题,A1/A2型题]12岁男孩两年来步态不稳，发音含混，渐重。查休，走路步态宽，直线行走不能，语言含混欠清。四肢肌力正常，深浅感觉正常，其病变部位可能是（）。A.大脑B.脑干C.小脑D.脊髓E.尾组脑神经 [单选]水泥厂向大气排出的主要污染物是（）。A.烟尘B.烟尘、氧化镁C.水泥尘D.水泥尘、烟尘 [单选,A1型题]正常足月新生儿出生体重平均是（）A.2kgB.3kgC.4kgD.5kgE.6kg [单选,A1型题]关于煎药用水及用水量说法错误的是（） [单选]男性，30岁，车祸致右髋疼痛，且右下肢活动受限，呈屈曲、内收、内旋及短缩畸形。最有可能的诊断是（）A.股骨颈骨折B.股骨转子骨折C.骨内收肌扭伤D.髋关节前脱位E.髋关节后脱位 [填空题]免费儿童单独使用卧铺时，应购买（）卧铺票。有空调时还应购买（）空调票。
高二数学余弦定理
高二上学期中职数学人教版拓展模块《余弦定理》课件
1．余弦定理
A
三角形中任何一边的__平__方__，等于其他两边
文字语言 _____平__方__的_和__减去这两边与它们夹角的
____余_弦__的__积_的__两_倍___________
C
B
a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A___
符号语言
b2＝a_2_＋__c_2－__2_a_c_c_o_s_B_____
所以 b＝c，结合 A＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选
D.
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选 B.因为 bcos C＋ccos B＝asin A， 所以由余弦定理得 b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝asin A， 整理，得 a＝asin A，所以 sin A＝1.
例1 在△ABC中，已知b=4cm，c=3cm，A=60° ，解 三角形.
例2 在△ABC中，已知a=2cm，b=2cm，c=2 3cm，解三 角形.
3.在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A？
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在 三 角 形 中 ， 勾 股 定 理 是 余 弦 定 理 针 对 直 角 三 角 形 的 一 个 特 例．(√ ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( × ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(√ ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．(√ ) (5)在△ABC 中，若 b2＋c2＜a2，则△ABC 为钝角三角形．(√ )
高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版知识精讲
高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：解三角形：正弦、余弦定理二. 教学目标：1. 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2. 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3. 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式；4. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。
三. 知识要点：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。
即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其他的边和角）已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a2. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
第一形式，2b ＝B ac c a cos 222-+，第二形式，cosB ＝ac b c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
3. 两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4. 三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinC cos(A+B) -cosC tan(A+B) -tanC ==2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ tan cot 22A B C += tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
高中数学必修二 6 4 2 正余弦定理(精练)(含答案)
6.4.2 正余弦定理（精练）【题组一 余弦定理】1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =3B π=，则边c 的长为______．【答案】4【解析】因为2a =，b =3B π=，所以2222222cos 222cos3b ac ac B c c π=+-∴=+-⋅⋅⋅，228004c c c c ∴--=>∴=故答案为：42．（2020·上海高一课时练习）在ABC中，若a b c ===，则A =________.【答案】60°【解析】由余弦定理的推论得2222221cos 22b c aA bc +-+-===， 0180A <<，60A ∴=.故答案为：60°3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在ABC 中，若::5:7:8a b c =，则B 的大小是_______. 【答案】3π【解析】::5:7:8a b c =设5a k =，7b k =，8c k =，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==；3B π∴∠=．故答案为：3π． 3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在ABC 中，内角、、A B C 对应的边分别为ab c 、、，若120,2Ab =︒=，1c =，则边长a 为（ ）A B C D ．2【答案】A【解析】在ABC 中， 120,2A b =︒=，1c =，所以22212cos 4122172a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴= A.4．（2020·安徽高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b =，c =4A π=，则a =（ ）A ．5 BC ．29D【答案】B【解析】由余弦定理得a ===.故选：B 5．（2020·吉林长春市）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，::3:2:4a b c =，则cos C 。
高中数学_余弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思
学情分析：从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程;从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能;从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
效果分析：知识的掌握。
有60%的学生能够达到A，35%的学生能够达到B,5%的学生属于C。
前两种学生平时的学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题。
思维能力的发展。
10%的学生能够达到A，65%的学生能够达到B,25%的学生属于C。
第一种是平时表现特别积极、敢于展现、大胆发言的学生。
第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极参与的学生。
第三种平时默默无闻，不敢发言和表现。
合作交流。
66%的学生能够达到A，26%的学生能够达到B,8%的学生属于C。
教材分析：《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了"边"与"角"的互化，从而使"三角"与"几何"产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
"余弦定理"也是初中"勾股定理"内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用。
测评练习1.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217 C．62 D．2192．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为( )A.5719B.217C.338 D．－57193．在△ABC中，符合余弦定理的是( )A．c2＝a2＋b2－2abcos CB．c2＝a2－b2－2bccos AC．b2＝a2－c2－2bccos AD．cos C＝a2＋b2＋c22ab4．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213B.513 C．0 D.235．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定6．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π37．在△ABC中，下列关系式①asin B＝bsin A②a＝bcos C＋ccos B③a2＋b2－c2＝2abcos C④b＝csin A＋asin C一定成立的有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个8．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B.34C.24D.239．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.10．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．11．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．13．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．14．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．16．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．课后反思：本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基础上而设置的教学内容，因此本课的教学有较多的处理办法。
高中数学必修二第1课时 余弦定理、正弦定理 (2)
6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理、正弦定理基础过关练题组一 余弦定理1.△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=12,则b=( )A.√2B.√3C.2D.32.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-32B.32C.-152D.1523.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.150° B.90° C.135°D.120°4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=12,则B=( ) A.π2B.π3C.π4D.π65.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,则此三角形( )A.无解B.有一个解C.有两个解D.解的个数不确定6.(2020福建厦门双十中学高三上期中)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么△ABC 的周长等于( ) A.12 B.20 C.26 D.10√37.(2020山东济宁高一上期末)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos ∠BAC=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010 D .-3√10108.(2019山东菏泽一模)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=√2,cos A=-√24,则b 的值为 .9.在△ABC 中,abca 2+b 2+c 2(cosA a+cosB b+cosC c)= .10.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为 . 11.如图,在△ABC 中,已知点D 在边BC 上,且∠DAC=90°,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3.求BD 的长.12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=2,2cos2A+B-cos22C=1.(1)求C的大小;的值.(2)求cb题组二正弦定理13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中一定成立的是()A.a>bsin AB.a=bsin AC.a<bsin AD.a≥bsin A14.(2020安徽淮北师范大学附属实验中学高二上期末)在△ABC中,AC=2√2,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为()A.12πB.8πC.16πD.4π15.在△ABC中,a=2√3,b=2√2,∠B=45°,则∠A=()A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°16.(2020北京西城高三上期末)在△ABC中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=()A.4B.2√2C.2√3D.2√617.(多选)(2019山东济南高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°18.△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若3b ·cos C=c(1-3cos B),则c ∶a=( ) A.1∶3 B.4∶3 C.3∶1D.3∶219.(2020湖北名师联盟高三上期末)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A,则cos A= .20.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为 . 21.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4.(1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.22.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a=2√3,tan A+B2+tan C2=4,sinBsin C=cos2A2.求A,B及b,c.题组三利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状23.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形24.(2020湖南大学附属中学高二上期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定25.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形26.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定27.(多选)在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC的形状为(易错)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形能力提升练题组一利用余弦定理、正弦定理解三角形1.(2020河南洛阳高二上期末,)在△ABC中,已知A=60°,a=2√3,b=2,则B=(易错)A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°2.()在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶6,则sin B等于()A.2√149B.√149C.√115D.2√1153.(2020河北石家庄高一期中,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ab =sinBcosC,且sin(A-C)=sin B-34,则sin B=.4.()如图所示,设P是正方形ABCD内部的一点,P到顶点A,B,C的距离分别是1,2,3,求正方形的边长.深度解析题组二利用余弦定理、正弦定理求最值或取值范围5.(2020广东深圳实验学校高一上期末,)△ABC的内角A,C的对边分别为a,c,若∠C=45°,c=√2,且满足条件的三角形有两个,则a的取值范围为()A.(√22,1) B.(√2,2) C.(1,2) D.(1,√2)6.(2020安徽阜阳高二上期末,)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2=√3ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为()A.(√32,32) B.(√22,2) C.(12,32) D.(√3,2)7.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二上月考,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca =cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为()A.3B.3+3√2C.4D.4+4√28.(2020辽宁锦州高一期末,)锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则ccosA=,边长c的取值范围是.9.(2020山西大同第一中学高三线上考试,)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=π3,则asin C=,a+b的取值范围是.题组三余弦定理、正弦定理的综合应用10.(2020广东深圳中学高一上期末,)秦九韶是我国南宋著名的数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则S=√14[a2c2-(a2+c2-b22)2].若c2sin A=4sin C,B=π3,则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为()A.√3B.2C.2√3D.411.(2020辽宁沈阳一中高一下期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m=(a,cos A2),n=(b,cos B2),p=(c,cos C2)共线,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若lg a-lg c=lg sin B=-),则△ABC的形状是()lg√2,且B∈(0,π2A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形13.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(√3,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则B=.14.(2019天津,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;)的值.(2)求sin(2B+π6答案全解全析 基础过关练1.B 由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=12+22-2×1×2×12=3,所以b=√3(负值舍去),故选B.2.C∵cos C=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=-12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos C=3×5×(-12)=-152.故选C.3.D 设长度为5、7、8的边所对的角分别为角A 、B 、C,由三角形的性质易知A,C 分别为最小角,最大角,B 为中间角,所以B 为锐角,因为cos B=52+82-722×5×8=12,所以B=60°,所以A+C=120°.故选D.4.A 由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a 2+b 2-c 2=ab,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,又C ∈(0,π),所以C=π3.因为sin A=12,A ∈(0,π),所以A=π6或A=5π6.当A=π6时,B=π2;当A=5π6时,A+C>π,不合题意.故选A.5.C 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得102=152+c 2-2×15×ccos 30°,∴c 2-15√3c+125=0,解得c=15√3±5√72∈(5,25), ∴c 有两解,即△ABC 有两个解,故选C. 6.B 根据cos A=b 2+c 2-a 22bc 及已知得12=b 2+64-(b+2)216b,解得b=5,所以a=b+2=7,所以△ABC 的周长等于7+5+8=20.故选B.7.C 设BC 边上的高为AD,则BC=3AD,又知B=π4,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.在△ABC 中,由余弦定理的推论,知cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =2222×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.8.答案 1解析 由余弦定理的推论可得cos A=b 2+c 2-a 22bc =22√2b =-√24,整理得b 2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去). 9.答案 12 解析 原式=abc a 2+b 2+c 2·bccosA+accosB+abcosCabc=bc (b 2+c 2-a 22bc )+ac (a 2+c 2-b 22ac )+ab (a 2+b 2-c 22ab)a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 22(a 2+b 2+c 2)=12.10.答案 7解析 由余弦定理的推论及已知得cos A=AB 2+AC 2-BC 22·AB ·AC =92+82-722×9×8=23.设AC 边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=(AC 2)2+AB 2-2·AC 2·ABcos A=42+92-2×4×9×23=49,所以x=7(负值舍去).所以AC 边上的中线长为7. 11.解析 ∵∠DAC=90°,∴sin ∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos ∠BAD, ∴cos ∠BAD=2√23. 在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD,即BD 2=18+9-2×3√2×3×2√23=3,∴BD=√3.12.解析 (1)∵在△ABC 中,2cos 2A+B 2-cos 2C=1,∴2sin 2 C2-cos 2C=1, ∴cos 2C+1-2sin 2 C2=cos 2C+cos C=0,∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去). 又∵0<C<π,∴C=π3. (2)∵a=3,b=2,∴在△ABC 中,由余弦定理,得c=√a 2+b 2-2abcosC =√9+4-6=√7, ∴c b =√72.13.D 由a sinA =b sinB ,得a=bsinA sinB .在△ABC 中,∵0<sin B ≤1,∴1sinB ≥1,∴a ≥bsin A. 14.D 设△ABC 的外接圆的半径为R, 则由正弦定理可得ACsin ∠ABC =2R, 即2R=2√2sin135°=√2√22=4,所以R=2,所以△ABC 的外接圆的面积S=πR 2=4π.故选D. 15.B由a sinA =bsinB ,得sin A=asinB b =2√3×√222√2=√32,∵0°<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°. 16.D ∵a=6,A=60°,B=75°, ∴C=180°-60°-75°=45°, ∴由asinA =csinC ,得c=asinC sinA =6×sin45°sin60°=2√6.故选D.17.BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sin C=csinB b=8√315<1,且c>b,所以角C 有两解.选项C:因为sin B=bsinA a=4√27<1,且b>a,所以角B 有两解.选项D:因为sin B=bsinAa<1,且b<a,所以角B 仅有一解.故选BC.18.C 由3bcos C=c(1-3cos B)及正弦定理可得3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),化简可得sin C=3sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=3sin A,∴c ∶a=sin C ∶sin A=3∶1.故选C. 19.答案√63解析 ∵a=3,b=2√6,B=2A,∴由正弦定理可得a sinA =b sinB =b2sinAcosA , ∴cos A=b 2a =2√62×3=√63. 20.答案 2√3-2解析 ∵A=60°,C=45°,∴B=75°,∴最小边长为c.由正弦定理,得2sin75°=csin45°.又sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°·cos 30°+cos 45°sin 30°=√6+√24,∴c=2sin45°sin75°=2×√22√6+√24=2√3-2.21.解析 (1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理,得ACsinB =ABsinC ,∴AB=AC ·sinC sinB =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,∴A=π-(B+C),∴cos A=-cos(B+C)=-cos (B +π4) =-cos Bcos π4+sin Bsin π4. 又cos B=45,sin B=35, ∴cos A=-45×√22+35×√22=-√210.∵0<A<π,∴sin A=√1-cos 2A =7√210. ∴cos (A -π6)=cos Acos π6+sin Asin π6 =-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.22.解析 由tan A+B 2+tan C2=4, 得tanπ-C 2+tan C2=4, 即sin π-C2cos π-C 2+sin C2cos C 2=4, 整理得cos 2 C2+sin 2 C2sin C2cos C2=4,又∵sin C=2sin C2·cos C 2,∴2sinC=4, ∴sin C=12.又C ∈(0,π),∴C=π6或C=5π6.又sin Bsin C=cos 2 A 2=1+cosA 2=1-cos(B+C)2,即2sin Bsin C=1-cos(B+C)=1-cos Bcos B+sin BsinC,∴cos Bcos C+sin Bsin C=1, ∴cos(B-C)=1, ∵B ∈(0,π),∴B-C=0, ∴B=C=π6,故A=2π3. 由正弦定理得bsinB =csinC =asinA =2√3sin 2π3=4,所以b=c=4sin π6=2.故b=c=2,A=2π3,B=π6. 23.C 解法一:由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 22ab =a2b ,整理得b 2=c 2,即b=c,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C. 解法二:∵a=2bcos C,∴由正弦定理得sin A=2sin Bcos C. 又∵A+B+C=π, ∴sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.∵0<B<π且0<C<π,∴-π<B -C<π. ∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.24.B 解法一:由bcos C+ccos B=asin A 及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,即sin(B+C)=sin 2A,即sin A=sin 2A.易知0<A<π,sin A ≠0,所以sin A=1,即A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B.解法二:由余弦定理的推论及已知得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =a ·sin A,整理得2a 2=2a 2sin A,易知a 2≠0,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B. 25.B 由cos 2 B 2=a+c2c 可得,1+cosB 2=a+c2c ,即cos B=ac .解法一:由余弦定理的推论可得a 2+c 2-b 22ac =ac ,整理,得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B. 解法二:由正弦定理可得cos B=sinAsinC ,即cos Bsin C=sin A. 又A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),∴cos Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0, ∴sin B=0或cos C=0. ∵B,C ∈(0,π), ∴cos C=0,C=π2.∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B.26.A 设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a 2+b 2+2x 2+2(a+b)x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c)x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 27.AB 解法一:∵acos A=bcos B,∴由余弦定理的推论得,a ·b 2+c 2-a 22bc =b ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2),∴a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0, ∴c 2(a 2-b 2)+(b 2+a 2)(b 2-a 2)=0, ∴(b 2-a 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴b 2=a 2或a 2+b 2-c 2=0, ∴b=a 或∠C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选AB.解法二:由正弦定理及已知,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 因为2A,2B ∈(0,2π), 所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选AB. 易错警示注意区分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三角形,理解“或”和“且”的区别.能力提升练1.A 由asinA =bsinB ,得sin B=bsinA a =2√3=12, ∵b<a,∴B<A,∴B=30°,故选A. 易错警示本题易错选C.要注意题中的隐含条件“b<a,即B<A ”,故B 只能等于30°.2.A 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶6及正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶5∶6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k>0. 由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =9k 2+36k 2-25k 22×3k×6k =59,则sin B=√1-cos 2B =2√149.3.答案 12解析 因为sin(A-C)=sin B-34, 所以sin(A-C)=sin(A+C)-34, 所以2cos Asin C=34.因为2a b =sinBcosC ,所以2sin Acos C=sin 2B, 所以2(sin Acos C+cos Asin C)=sin 2B+34,整理得sin 2B-2sin B+34=0,解得sin B=12或sin B=32(舍去).故答案为12. 4.解析 设正方形的边长为x(1<x<3),∠ABP=α,则∠CBP=90°-α.在△ABP 中,cos ∠ABP=x 2+22-124x =x 2+34x ,在△CBP 中,cos ∠CBP=x 2+22-324x =x 2-54x ,又cos 2∠ABP+cos2∠CBP=1,∴(x 2+34x )2+(x 2-54x )2=1,即x 4-10x 2+17=0,∴x 2=5+2√2或x 2=5-2√2.如果x 2=5-2√2,那么AC=√10-4√2<3,∴点P 到点C 的距离不可能为3,∴x 2=5-2√2舍去,∴x=√5+2√2,即正方形的边长为√5+2√2. 主编点评当已知条件中边的关系较多时,可考虑用余弦定理,同时方程思想的运用在本题中得到了充分的体现.5.B 因为满足条件的三角形有两个,所以asin C<c<a,所以√22a<√2<a,所以√2<a<2. 6.A 由题意得a 2+c 2-b 2=√3ac, ∴由余弦定理的推论得cos B=√3ac 2ac =√32. 又B 为锐角三角形ABC 的内角,∴B=π6.∴cos A+sin C=cos A+sin (5π6-A)=√32sin A+32cos A=√3sin (A +π3).∵△ABC 为锐角三角形,∴{0<A <π2,0<5π6-A <π2, ∴π3<A<π2.∴2π3<A+π3<5π6,∴12<sin (A +π3)<√32,∴√32<√3sin (A +π3)<32.故cos A+sin C 的取值范围为(√32,32).7.D 根据余弦定理的推论得b+c a =cos B+cos C=a 2+c 2-b 22ac +a 2+b 2-c 22ab ,整理得2b 2c+2bc 2=a 2b+bc 2-b 3+a 2c+b 2c-c 3,即b 2c+bc 2=a 2b+a 2c-(b 3+c 3),所以(b+c)(b 2+c 2-a 2)=0,所以b 2+c 2=a 2,所以A=90°,sin A=1,则bc=8,所以a+b+c=√b 2+c 2+(b+c)≥√2bc +2√bc =4+4√2,当且仅当b=c=2√2时取等号,所以△ABC 的周长的最小值为4+4√2.故选D.8.答案 4;(2√2,2√3)解析 因为C=2A,所以sin C=2sin Acos A,由正弦定理得c=2acos A,所以c cosA =2a=4.因为△ABC 是锐角三角形,所以C=2A ∈(0,π2),B=π-A-C=π-3A ∈(0,π2),所以A ∈(π6,π4),所以cos A ∈(√22,√32),所以c=4cos A ∈(2√2,2√3).9.答案 √3;(1+√3,4+2√3)解析 由正弦定理,可得asin C=csin A=2sin π3=√3.由a sinA =b sinB =c sinC ,可得a=c ·sinA sinC =√3sinC ,b=c ·sinB sinC =2sin (2π3-C )sinC ,所以a+b=√3sinC +√3cosC+sinC sinC=1+√3(1+cosC)sinC =1+2√3cos 2 C 22sin C 2cos C 2=1+√3tan C 2.由△ABC 是锐角三角形,可得0<C<π2,0<2π3-C<π2,所以π6<C<π2, 所以π12<C 2<π4,所以2-√3<tan C 2<1.所以1<1tan C 2<2+√3, 所以1+√3<1+√3tan C 2<4+2√3,即1+√3<a+b<4+2√3.10.A 因为c 2sin A=4sin C,所以c 2a=4c,即ac=4.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-4,所以a 2+c 2-b 2=4. 所以S △ABC =√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22)2]=√14[42-(42)2]=√3.故选A.11.A ∵向量m=(a,cos A 2),n=(b,cos B 2)共线,∴acos B 2=bcos A 2.由正弦定理得sin Acos B 2=sin Bcos A 2.∴2sin A 2cos A 2cos B 2=2sin B 2cos B 2·cos A 2.∵cos A 2≠0,cos B 2≠0,∴sin A 2=sin B 2.∵0<A 2<π2,0<B 2<π2,∴A 2=B 2,即A=B,同理可得B=C,∴△ABC 为等边三角形.故选A.12.C ∵lg a-lg c=lg sin B=-lg √2,∴a c =sin B=√22.∵B ∈(0,π2),∴B=π4.由正弦定理,得a c =sinA sinC =√22,∴sin C=√2sin A=√2sin (3π4-C)=√2(√22cosC +√22sinC),化简得cos C=0,∵C ∈(0,π),∴C=π2,∴A=π-B-C=π4,∴△ABC 是等腰直角三角形.故选C.13.答案 π6解析 ∵m ⊥n,∴√3cos A-sin A=0,∴tan A=√3.又0<A<π,∴A=π3.∵acos B+bcos A=csin C,∴由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C, ∴sin(A+B)=sin 2C,∴sin C=sin 2C.又sin C ≠0,∴sin C=1,∴C=π2,∴B=π6.14.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,所以b=43a,c=23a.由余弦定理的推论可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a =- 14. (2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78, 故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B ·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716.。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(第2课时)正弦定理和余弦定理bb高二数学
12/9/2021
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2
PART TWO
题型探究(tànjiū)
2021/12/9
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题型一 利用(lìyòng)正弦、余弦定理解三角形
例 1 在△ABC 中，若 ccos B＝bcos C，cos A＝23，求 sin B 的值.
A.锐角三角形
√ B.直角三角形 C.钝角(dùnjiǎo)三角形 D.不能确定
解析 由正弦定理知，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.
a2＋b2－c2 ∴cos C＝ 2ab <0.
∴角C为钝角(dùnjiǎo)，△ABC为钝角三角形.
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核心(héxīn)素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
求三角形一角的值
典例 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B
பைடு நூலகம்
＝ 3ac，则角 B 的值为
π A.6
√B.3π或23π
π C.3
1.正弦定理及常见变形
a (1)sin
b
c
A＝__s_i_n_B__＝__s_in__C__＝2R(其中
R
是△ABC_外__接__圆_的__半__径___)；
(bànjìng)
(2)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
高中数学必修二 专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练
专题6.7 正弦、余弦定理知识储备一．余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有【思考】在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？ 【答案】a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理. 二．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcB b A a sin sin sin == 三．正弦定理的变形公式1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===(其中R 是△ABC 外接圆的半径). 【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？【答案】等于2R (R 为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =（ ）ABCD．【答案】A【解析】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=， 则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===，故选：A. 2．（2021·云南高三期末）在ABC 中，若4AC =，6AB =，BC =A ∠=（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由余弦定理可得：2221636281cos 22462b c a A bc +-+-===⨯⨯又()0,A π∈所以3A π=故选：C3．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（ ）A ．32B ．34C D 【答案】D【解析】在ABC 中，由1a =，c =6B π=，则111sin 12224ABCSac B ==⨯=． 故选：D ．4．（2021·河南新乡市·高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin sin b B c C a A +=，则ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】因为2222b c a +=，所以2222cos 022b c a c A bc bc+--==<，所以90A >︒，所以ABC 的形状为钝角三角形.故选C5．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22226c ab a b +=++，若ABC 的面积为2，则tan C 的值为（ ）A B C ．1 D 1【答案】B【解析】由题意22222262cos c a b ab a b ab C =+-+=+-即()1cos 3ab C -=①，1sin 2S ab C ==①联立①①得1cossin C C -=sin 2sin 3C C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又0C π<<4333C πππ∴<+< 2,333C C πππ∴+==tan C ∴=B ． 6．（2021·江苏镇江市·高一期末）如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米.塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层.塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写.塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建.所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔.下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45︒，若23BC AC =，则该八角观音塔的高AB 约为（ ） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米【答案】D【解析】设AC x =，由23BC AC =得，32BC x =因为45CEB ∠=︒，所以32BE BC x ==，在Rt ABD △中，32tan 3033512x xAB BD x +︒===+，解得18x =≈所以5452AB x =≈故选D7．（2021·全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长,,a b c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =，若ABC 满足2sin c A 2sin C =，3cos 5B =，且a<b<c ，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．35B ．45 C ．1 D ．54【答案】B【解析】因为2sin c A 2sin C =，所以22,2ac c ac =∴=.因为3cos 5B =，所以22222236,2525a cb ac b ac +-+-=∴=，所以45S ==.故选：B 8．（2021·江西新余市·高二期末（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B B A A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A B ．44+ C ．3 D ．42+ 【答案】A【解析】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=，sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =，∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||22OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=-+2sin 34πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为2=故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第21讲 正弦定理和余弦定理-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)(解析版)
第21讲-正弦定理和余弦定理一、 考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、 知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、 经典例题考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、 课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30° B ．45°C ．45°或135°D ．60°【答案】B【解析】由正弦定理得2,sinC ,45sin 60sin 2c a C C =∴=<∴=.2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（ ）A ．2BC ．D【答案】D 【解析】依题意11sin 1sin 60322S bc A c ==⋅⋅=，解得4c =，由余弦定理得13a ==.3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60 B ．30C ．60或120D ．120【答案】B【解析】222c a b =+，222a b c ∴+-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， 0180C <<，因此，30C =.4．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5BC ．2D ．1【答案】B【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC =故选B.5．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)2【答案】A【解析】由正弦定理得c sinC sin2B sinB sinBb ===2cosB ，∵△ABC 是锐角三角形，∴三个内角均为锐角， 即有 0＜B ＜2π， 0＜C=2B ＜2π，0＜π-A-B=π-3B ＜2π，解得6π＜B ＜4π，余弦函数在此范围内是减函数．故2＜cosB ∴c b ∈，故选A ．6．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 【答案】A【解析】因为在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为所以12bcsinA =，因此4c =， 所以22212416224122a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 由正弦定理可得：a b sinA sinB=，所以sin sin sin 14A B Aa b a +===+. 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（ ）A B C ．2 D ．12【答案】A【解析】由sin 2sin B A =，据正弦定理有2b a =，又3C π=，根据余弦定理有222cos 2a b c C ab +-=，即222214222a a c a+-=⨯，223c a =故ca=9．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由已知和正弦定理得sin sin cos 2sin sin B A A B B C -=-，sin sin cos 2sin sin()B A A B B A B -=-+，()sin sin cos 2sin sin cos cos sin B A A B B A B A B -=-+sin 2sin cos sin B A B A B =-，因为sin 0B ≠，cos 2A A +=，即sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以262A k πππ+=+，即23A k ππ=+，又(0,)A π∈，所以3A π=，故选C ．10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A．2B ．1 CD ．2【答案】C 【解析】在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c且a =60A ︒=,45B ︒=由正弦定理sin sin a b A B= 得:sin sin a Bb A===故选:C.11．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:3【答案】D【解析】设A x =，则,4B x C x ==，所以4180x x x ++=︒，解得30x =︒， 则30,30,120A B C =︒=︒=︒，则::sin :sin :sin sin 30:sin 30:sin1201:1:3a b c A B C ==︒︒︒=，故选:D. 12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ． B ．C ．D ．1【答案】B【解析】由正弦定理得，故选B ．13．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．22B 5C ．25D 25【答案】D【解析】∵22265b c a bc +=+，即22265a b c bc -=+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， ∴62cos 5bc A bc =， ∴3cos 5A =，则02A π<<， ∵ABC π++=， ∴1cos 25sin cos 222B C A A ++⎛⎫===⎪⎝⎭，故选：D ． 14．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.235【答案】B【解析】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈,故选：B 15．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形 D ．A 为锐角的三角形【答案】C【解析】因为cos cos a cA C b++=， 所以22222222b c a a b c a c bc ab b+-+-++=， 所以222222()()2()a b c a c a b c ac a c +-++-=+， 所以233()()()b a c a c ac a c +-+=+，所以222()()()()b a c a c a ac c ac a c +-+-+=+， 因为0a c +>，所以222()b a ac c ac --+=， 所以222a c b +=， 所以B 为直角.16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23B ．(22,23C ．()2,4D ．()23,4【答案】B【解析】由题得3,C B A A ππ=--=-因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 2642032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.17．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC 面积最大时，此时的ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断 【答案】C【解析】1sin 23ABC S ab π==，当ab 取最大值，面积最大， 由余弦定理可得，2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，解得4ab ≤，当2a b ==等号成立，所以ABC 为等边三角形.故选：C.18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理得222a cb ac +-=-，所以2221cos 22a c b B ac +-==-，120B =︒，所以b 边最大， 设ABC 外接圆半径为R ，则23R ππ=，R =， 由2sin b R B=得2sin 3b R B ==︒=． 19．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos C A B A +=，则ABC S =（ ） A．B． C． D．【答案】B 【解析】由2sin tan tan cos C A B A +=，得sin cos cos sin 2sin cos cos cos A B A B C A B A +=，即sin 2sin cos C C B=. 因为sin 0C ≠，所以1cos ,(0,)2B B π=∈，所以3B π=，因此11sin 622ABC S ac B ==⨯⨯△=20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ） A ．2π B ．2π CD．4【答案】A【解析】∵由余弦定理可得：222222cos 1bc A b c a b c =+-=+-， 又∵1sin 2S bc A =，可得42sin S bc A =， ∵2241S b c =+-，可得：2cos 2sin bc A bc A =，即tan 1A =，∵()0,A π∈，∴4A π=，设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得： 2sin R Aa =，22R =得：2R =，∴ABC 外接圆的面积22S R ππ==，故选：A.21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC △的面积．【解析】（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：若ABC △同时满足①，②． 因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②．故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-， 所以222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos 1cos 2A C B +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？（2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？【解析】（1）由()22cos=1+cos 2A C A C ++， 即()22cos =1+cos 1cos 2A C A CB ++=-又)22cos 1cos 2A C B +=所以cos 2B =，又()0,180B ∈ 所以45B =，则180456075C =--=（2）由sin sin sin a b c A B C ==且a =所以可知2sin 2sin a B b A ===由()6sin 75sin 4530+=+=所以62sin sin 2a C c A +=== （3）只能用c 若用b =sin sin aB A b == 那么60A =或120，故有两个值，所以不能用b =23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a ac c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.【解析】（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-2222cos b a c ac B =+-1cos 2B ∴= (0,)B π∈3B π∴=（2）由sin sin a c A C ==可得，2sin ,2sin a A c C ==24sin 2sin a c A C ∴+=+ 2+3A C π= 23C A π∴=- 224sin 2sin 3a c A A π∴+=+-（） 5sin A A=)A ϕ=+（其中tan ϕ=） 203A π<< 2ac ∴+的最大值为24．（2020·山东省高三其他）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A B b a c --=+；②2cos cos cos c C a B b A =+. (1)求角C(2)若c =a b +=求ABC ∆的面积. 【解析】（1）选择①根据正弦定理得a c a b b a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =， 因为()0,πC ∈，故π3C =. 选择②根据正弦定理有sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =因为()0,πC ∈，故sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故π3C = （2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab =+-，即()233a b ab =+-，解得83ab =， 又因为ABC 的面积为1sin 2ab C ， 故ABC 的面积为23. 25．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.【解析】（1）在四边形ABCD 中，因为AD AB ⊥，120BCD ∠=，15ABC ︒∠=所以135ADC ︒∠= ，在ACD ∆中,可得906030CAD ︒︒︒∠=-=，135ADC ︒∠=，2AC =由正弦定理得:sin sin CD AC CAD ADC=∠∠,解得：2CD = . （2）因为60CAB ∠=，AD AB ⊥可得30CAD ∠=,四边形内角和360得150ADC θ∠=-，∴在ADC ∆中，()()21sin 30sin 150sin 150DCDC θθ=⇒=--. 在ABC ∆中，2sin 60sin sin BC BC θθ=⇒=， ()131sin12024sin 150sin BCDS DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯- 334422444==)34360=+, 当75θ=时，S 取最小值6-.。
2020年高二数学人教A必修5练习：1.1.2 余弦定理 Word版含解析
文库 精品课时训练2 余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b 等于( )A.1B.√2C.√3D.3答案:C解析:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=√3. 2.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab ,则角C 为( ) A.60° B.45°或135° C.150° D.30°答案:C解析:∵cos C=a 2+b 2-c 2=-√3ab =-√3,∴C=150°.3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 . 答案:120°解析:由正弦定理可得a ∶b ∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c 边最大,∴角C 最大.∴cos C=a 2+b 2-c 2=32+52-72=-1. ∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A=√3sin C ,B=30°,b=2,则边c= . 答案:2解析:∵在△ABC 中,sin A=√3sin C ,∴a=√3c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=√32=a 2+c 2-b22ac=22√3c 2,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b+c=2c cos 2A2,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos 2A2,且2cos 2A2=1+cos A ,∴b+c=c (1+cos A ),即b=c cos A.由余弦定理得b=c ·b 2+c 2-a 22bc ,文库 精品化简得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定答案:A解析:由sin 2A+sin 2B<sin 2C ,得a 2+b 2<c 2,所以cos C=a 2+b 2-c 2<0,所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a=2b cos C ,试判断△ABC 的形状.解法一:∵cos C=a 2+b 2-c 2,代入a=2b cos C ,得a=2b ·a 2+b 2-c 2,∴a 2=a 2+b 2-c 2,即b 2-c 2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C , 即sin A=2sin B cos C ,∵A=π-(B+C ),∴sin A=sin(B+C ). ∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C. ∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C )=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为( ) A.-14 B.14C.12D.-13答案:A解析:∵2sin B=3sin C ,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c ,b=32c.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=94c 2+c 2-4c 22×32c×c=-14. 9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=√3bc ,sin C=2√3sin B ,则A= . 答案:π6解析:∵sin C=2√3sin B ,∴由正弦定理得c=2√3b. ∵a 2-b 2=√3bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 2=c 2-√3bc=2√3bc -√3bc2bc=√32,∴A=π6.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B 的值;(2)若ac=12,b=3√2,求a ,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B ,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B ,整理,得4sin A cos B=sin(B+C ), 即4sin A cos B=sin A ,∵sin A ≠0,∴cos B=14.(2)∵ac=12,b=3√2,cos B=14,∴由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=24,联立a 2+c 2=24与ac=12,解得a=c=2√3.(建议用时:30分钟)1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=1,b=2,cos C=14 ,则sin B=( )A.15B.√15C.√15D.7答案:B解析:由已知根据余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C , ∴sin B=√1-116=√154.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,那么cos C 等于( ) A.23B.-23C.-13D.-14答案:D解析:由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=2∶3∶4,可设a=2k ,b=3k ,c=4k (k>0), 由余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 2=4k 2+9k 2-16k 2=-1,故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定 答案:A解析:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得2a 2=a 2+b 2+ab ,∴a 2-b 2=ab>0,∴a 2>b 2,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cos B=72+52-62=19,∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=7×5×1935=19. 5.在不等边三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a 为最大边,如果sin 2(B+C )<sin 2B+sin 2C ,则角A 的取值范围为( ) A.(0,π2)B.(π4,π2) C.(π6,π3) D.(π3,π2) 答案:D解析:由题意得sin 2A<sin 2B+sin 2C ,再由正弦定理得a 2<b 2+c 2,即b 2+c 2-a 2>0, 则cos A=b 2+c 2-a 22bc >0,∵0<A<π,∴0<A<π.又a 为最大边,∴A>π3.因此得角A 的取值范围是(π3,π2).6.已知在△ABC 中,2B=A+C ,b 2=ac ,则△ABC 的形状为 .答案:等边三角形解析:∵2B=A+C ,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b 2=ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-2ac cos 60°=a 2+c 2-ac ,∴有a 2+c 2-ac=ac ,从而(a-c )2=0, ∴a=c ,故△ABC 为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2AsinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 . 答案:612解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.9.在△ABC 中,已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B=sin C ,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,得(a+b )2-c 2=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab.∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12.∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B ).又∵2cos A sin B=sin C ,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A ,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.因此△ABC 为等边三角形.10.在△ABC 中,C=2A ,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得c a =sinC sinA=sin2AsinA=2cos A , ∴c a =32.又a+c=10,∴a=4,c=6. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+20=3,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B. 又C=2A ,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)
正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ， 故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里， 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（ ）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（ ） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==， 故111tan tan A B+=， 若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-． 故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】 由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。
人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.2 余弦定理 探究导学课型
探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两 定理之间有何联系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特 殊情况.
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
【探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明 (1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一 个内角的余弦之间严格确定的量化关系. (2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA还可改写为sin2A=sin2B+sin2C2sinB·sinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便.
二、余弦定理在解三角形中的应用 探究1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形 问题？ 提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题： (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边. (2)已知三角形的三条边就可以求出其角.
2.将余弦定理的变形式代入，转化成边的关系，化简变形后 判断三角形的形状.
【自主解答】1.选B.因为a=2bcosC=2b· a2 b2 c2
所以a2=a2+b2-c2，即b2=c2，
2ab
所以b=c，所以△ABC为等腰三角形.
2.由余弦定理，得
所以a2(b2+c2-a2)+b2a(cb22+a2c2b-2cb2a)2=c2b(ac22+b2a2c2-ac2b)2， c
高二数学余弦定理
所有代理ag平台的网址 为了确定淋巴瘤病人的腹腔内有无肿大的淋巴结，腹部检查的首选方法是A.淋巴造影B.剖腹探查C.腹部B超D.腹部CTE.腹部MRI 关于输血的原则，错误的是A.必须保证ABO血型相合B.输同型血经交叉配血试验主、次侧均不凝集为首选C.紧急情况下O型血可少量缓慢接受其他型血液D.AB型的人可少量缓慢接受其他类型血液E.反复输血的病人必须保证Rh血型相合 企业内部融资的构成包括。A.税后留存利润B.计提折旧C.租金D.远期外汇E.务 我国社会主义改造的基本经验有哪些？ 内河整沉建筑工程，当其基价定额直接费低于200万元时，其定额直接费应乘以系数。A.1.02B.1.03C.1.04D.1.05 分配阀大膜板鞲鞴与小膜板的面积比为2.7比1，缓解弹簧及时按2.5倍计算。 关于流行性乙型脑炎病毒的人群易感性，叙述错误的是A.人多呈隐性感染B.患者以儿童为主C.显性感染与隐性感染之比为10︰1D.感染后可获得持久免疫力E.人普遍易感 各段肾小管比较，重吸收量居首位的是A.近球小管B.髓袢降支细段C.髓袢升支细段D.远曲小管E.集合管 关于电子计算机的特点有、、。 HIV感染的临床分期不包括A.潜伏期B.无症状感染C.持续性全身淋巴结肿大D.急性感染E.艾滋病期 假如公司要实现实际增长率高于可持续增长率，则可以采取的手段有。A.增发新股B.提高销售净利率C.提高资产负债率D.提高资产周转率 某企业以170万元的价格转让一项无形资产，适用的营业税税率为5%。该无形资产原购入价为225万元，合同规定的受益年限为10年，法律规定的有效使用年限为12年，转让时已使用4年。不考虑减值准备及其他相关税费。企业在转让该无形资产时确认的净收益为万元。 A.16.25B.26.5C.31.25D.40 汽车的车身可以与车架分开的是。A．承载式车身B．半承载式车身C．非承载式车身 安全气囊的碰撞传感器一般安装在汽车。A．中部B．前部C．后部 小儿的舒张压正常值应为收缩压的.A.1/4B.1/3C.1/5D.2/3E.1/6 视神经脑膜瘤的术后复发率为()A．5%B．15%C．25%D．35%E．45% 法人应当具备哪些条件？ 关于肉毒杆菌及其毒素的性质，哪项不对A.严格厌氧的梭状芽孢杆菌，革兰染色阳性B.在消化道内大量繁殖，产生大量外毒素C.芽孢对热及化学消毒剂抵抗力强D.肉毒杆菌外毒素是一种嗜神经毒素E.外毒素不耐热，胃酸及消化酶不能将其破坏 怎样理解党在过渡时期总路线？ 抗结核化学律和全程C.早期、联用、适量、规律和短程D.早期、单用、足量、规律和全程E.早期、联用、足量、规律和短程 大脑皮质运动区的瘫痪多表现为A.交叉性瘫痪B.完全性上下肢均等偏瘫C.单瘫或上下肢不均等偏瘫D.四肢瘫E.截瘫 参苓白术散的主治病机是A.脾胃气虚B.脾虚湿盛C.脾虚痰阻D.气虚下陷E.脾虚气滞 土地登记代理成果进行审核时，不是审核的重点。A.成果及形式是否符合委托方的要求B.成果内容是否规范合法C.委托代理内容与要求是否合法D.代理步骤及过程是否符合合同要求 以下关于中药用量原则的叙述，错误的是A.成人和体质强壮的病人用量可适当大些B.儿童及年老体弱患者剂量可酌减C.病情轻者不宜重剂量D.病情重者剂量应适当增加E.新病者的剂量往往低于久病者的剂量 牙演化的特点包括.A.牙数由多到少B.牙根从无到有C.从多牙列到双牙列D.从同形牙到异形牙E.从分散到集中 梅毒反应素是指A.类心磷脂抗原B.抗梅毒螺旋体抗体C.梅毒螺旋体特异性抗原D.梅毒螺旋体非特异性抗原E.抗心脂质抗体 髋关节后脱位的体征是患肢呈A.内收内旋畸形B.外展外旋畸形C.屈曲畸形D.轻度屈曲畸形E.患肢增长 医患之间非技术关系的是A.同事关系B.道德关系C.上下级关系D.陌生人关系E.竞争关系 ___是整个电子政务的源头，是各部门电子政务系统实现信息共享、资源优化的前提。A.信息资源数据库B.全融管理信息库C.海关管理信息库D.财政管理信息库 关于产后哺乳错误的一项是()A．产后尽早哺乳有利于促进乳汁分泌B．按需哺乳C．乳腺有硬结者应停止哺乳D．乳房排空有利于乳汁的再分泌E．乳头皲裂严重者应停止直接哺乳 常规换洗同一病人的枕套、床单周更换次，被套每周更换次。重病人枕套、床单、被套被污染时更换。 开展建筑活动的主要依据是。A.合同主体B.合同内容C.合同客体D.合同程序 根据来更换损坏的塑料件。A．损坏的面积B．定损人员的决定C．价格的高低 全民科学素质建设的重点人群是指未成年人、农民和城镇劳动人口、城乡居民、。A、领导干部和公务员B、党政领导干部C、机关干部D、公务员 关于阳极制动电路的叙述不正确的是A.减少轴承的磨损B.延长X线管的寿命C.在很短的时间内使转速降到很低D.其原理是曝光结束后给启动绕组提供一个脉动直流电E.缩短了X线管的空转时间 流行性斑疹伤寒病人禁用A.复方磺胺甲噁唑B.四环素C.红霉素D.氯霉素E.环丙沙星 智能建筑的安全防范系统，其出入口控制系统的传感与报警单元部分，除包括传感器、探测器外，还包括。A.门禁控制器B.处理器C.按钮D.保护隔离器 在诊疗同意制度中，如果病人方面的意见不统一，医师应当以谁的意见为准A.病人家属或者关系人B.病人本人C.对病人诊疗有利者D.应当等病人和家属或者关系人意见统一后才能决定诊疗方案E.医师独立作出决定 对于土地登记代理人而言，以下项说法不正确。A.取得《土地登记代理人职业资格证书》B.经有关部门登记备案C.可以受聘于一个或多个土地登记代理机构D.以机构的名义从事土地登记代理业务 患者男性，4岁，家长发现其喜近视。国际标准视力表检查双眼远视力为0.5，近视力检查为J3，眼部未见明显器质性病变。患者最不可能的诊断是()A．远视B．近视C．混合性散光D．弱视E．单纯远视散光
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[不定项选择]下列哪些场所应设置火灾自动报警系统？A、建筑面积大于500平方米的地下商店B、设置在多层建筑第四层的网吧C、总建筑面积为7000平方米的多层商场D、150床位的多层病房楼 交通工程及沿线设施包括：。A.交通安全设施B.服务设施C.管理养护设施D.管理设施E.养护设施 医院感染漏报率应低于，医院对抗感染药物的使用率力争控制在以下。 当同一设备停电同时有几张工作票时，“停电开始时间”以各工作票中的为准，“停电结束时间”以各工作票中的为准。 机器单采浓缩白细胞悬液中的粒细胞数量应为。A.≥1×1010/袋B.＜1×1010/袋C.2×1010/袋D.2×1011/袋E.≥2×1011/袋 何谓医患关系？ 试述网膜囊和网膜孔的毗邻 先天之精是指A.生殖之精B.脏腑之精C.精血的统称D.水谷精微E.以上都不是 下列哪种物品不能用高压蒸汽灭菌法。A.纱布B.血管钳C.碘仿纱条D.金属量杯E.冲洗器 本次感染直接与上次住院有关，亦属于。 目前小轿车常采用之传动型式为A.F.RB.FC.M.RD.R.R 关于国有土地租赁的期限韵说法，不正确的是。A.可以是无期限的租赁B.根据情况实行短期租赁和长期租赁C.短期租赁的期限不超过5年D.长期租赁的期限不超过法律规定的同类用途土地出让最高期限 医疗机构的从业人员基本行为规范：①以人为本，践行宗旨；②遵纪守法，依法执业；③尊重患者，关爱生命；④优质服务，医患和谐；⑤廉洁自律，恪守医德；⑥严谨求实，精益求精；⑦爱岗敬业，团结协作；⑧乐于奉献，热心公益。请选择正确：A.①、②、④、⑥、⑧B.①、③、⑤、⑦、⑧ 锅炉的总风量由两个构成，起停制粉系统时必须考虑磨风量对总风量的影响。A.送风机送风量；B.运行磨风量；C.一次风量；D.二次风量。 以下哪项不属于左心衰竭的临床表现A.呼吸困难B.恶心、呕吐C.疲乏无力D.咳嗽、咳痰E.咯血 什么叫转子的临界转速？ [单选,案例分析题]患者男性，52岁，1年前因心绞痛行冠状动脉造影及支架植入术，此后未再发作胸痛。20多天前快速行走时发作胸痛，1周来饭后和大便后也发作，血压90／60mmHg该患者的心绞痛是哪种类型A.初发劳力型心绞痛B.梗死后心绞痛C.变异型心绞痛D.卧位心绞痛E.稳定劳力型心绞痛 行为的构成要素包括环境及A.主体、客体、结果、反馈B.主体、客体、手段、结果C.主体、客体、结果、反馈D.机体、行为、结果、反馈E.主体、行为、结果、反馈 急性间质性肾炎的病变主要位于A.肾间质B.肾间质及肾小管C.肾间质及肾小球D.肾血管E.以上均不是 生命伦理学当前研究的主要内容是A.器官移植B.人类辅助生殖技术C.安乐死问题D.基因技术E.以上都是 心房颤动的f波频率为A.100～200次／分B.60～100次／分C.300～500次／分D.250～350次／分E.350～600次／分 以下符合螨皮炎诊断的描述是A.多见于谷类收割者B.好发于皮肤柔嫩处C.可通过接触传染D.水肿性丘疹或丘疱疹 能清晰地显示左室心尖、侧壁、间壁的心肌灌注断层影像是哪种断层面A.短轴断层影像B.水平长轴断层影像C.矢状面断层影像D.冠状面断层影像E.以上都不是 有关喹诺酮类性质和用途的叙述，错误的是()A．萘啶酸为本类药物的第一代．仅用于尿路感染，其作用弱B．吡哌酸对尿路感染有效外，用于肠道感染及中耳炎C．第三代该类药物的分子中均含氟原子D．本类药物可以代替青霉素G用于上呼吸道感染E．环丙沙星属于第三代喹诺酮类抗菌药物 肱骨外上髁炎的临床表现主要有A.肘外侧疼痛B.肘外侧压痛C.热敷肘部疼痛减轻D.屈腕试验阳性E.前臂伸肌群抗阻力试验阳性 哪些组织不能作为保证人？ 修改项目符号的颜色、大小是通过打开菜单的对话框来实现的。A.格式│字体B.格式│项目符号C.格式│幻灯片颜色方案D.插入│符号 电力设施 在工业生产过程中，既能测量固体物料料位，又能测量各种容器内液位的物位检测仪表是。A.电容物位控制器B.浮球液位控制器C.音叉料位控制器D.阻旋式料面讯号器 项目管理过程组的实施过程包括协调人员和资源，以便实施项目计划并生产出项目或项目阶段的产品或可交付成果。下列不属于项目实施过程的是。A.组建一个项目团队B.制定项目章程C.确保项目质量D.采购必需的资源 中医医疗机构从事中医医疗活动，应按规定办理审批手续，取得。A.医疗机构执业许可证B.医疗机构营业执照C.医疗机构制剂许可证D.医疗机构规划证E.医疗机构开业证明 行政许可的实施机关可以对已设定行政许可的实施情况及存在的必要性适时进行评价，并将意见报告。A.本级人民代表大会B.上级行政机关C.省、自治区、直辖市人民政府D.行政许可的设定机关 平行停车方式是车辆停放时车身方向与通道平行，其特点是。A.出入时占用车行道宽度较小B.车辆驶出方便迅速C.停车带和通道的宽度最小D.能适应同时停放不同车型的车辆E.占用停车道宽度最大 高风险项目组合在一起后，下列说法正确的有。A.单个项目的大部分风险可以在企业内部分散掉B.单一项目自身特有的风险不宜作为项目资本风险的度量C.唯一影响股东预期收益的是项目的系统风险D.单个项目并不一定会增加企业的整体风险 女性，25岁，农民。反复发作性咳嗽伴哮鸣音2年，多出现在清理谷仓后。下列哪项有助于区别肺嗜酸性粒细胞增多症和支气管哮喘。A.有发热、咳嗽B.肺部闻及哮鸣音C.血嗜酸性粒细胞增多D.痰涂片见较多嗜酸性粒细胞E.胸片有多发性、游走性片状阴影 宝宝缺钙的表现不包括A、佝偻病B、方颅C、鸡胸D、桶状胸 以下情况能够献血的是。A.慢性皮肤病患者B.乙型肝炎表面抗原阴性者C.过敏性疾病及反复发作过敏患者D.骨结核患者E.系统性红斑狼疮患者 流行性出血热发热期出现的"三痛"是指A.头痛、胸痛、腹痛B.头痛、腹痛、关节痛C.头痛、胸痛、腰痛D.头痛、腰痛、眼眶痛E.头痛、腰痛、背痛 对整个工程实际发生的合理成本与原成本之差额提出的索赔属于。A．补偿索赔B．综合索赔C．单项索赔D．道义索赔 急性化脓性腹膜炎最典型的症状是A.发热B.黄疸C.腹痛D.腹胀E.压痛、肌紧张、反跳痛
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• （二）教学重、难点 • 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； • 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
复习引入
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围：
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 , c 6 2 , B 60o , 求b及A.
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 a 2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
思考1：
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 a 2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
运用正弦定理能解怎样的三角形？
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初中语文教材中有一篇课文叫《猫》，这是郑振铎先生的文章。文章叙述了三次养猫的事，“我”家养了三次猫，三只猫的结局，都是悲剧性的，特别是第三次养的那只猫的 死亡，让“我”后悔，良心受煎熬，“我”为自己的所作所为深深自责，正是养的第三只猫被“我”诬陷冤死，“我”没有赎罪的机会，对不起猫，从此“我”家永远不再养猫。
每次上这篇课文，我都会想起我家养猫的事。。 114黄页网 。
我记事起，我家就养猫。讲到养猫，首先让我想起了我记忆中的第一只猫。印象中我家养的第一只猫是一只公猫，它的毛有点蓬乱，是棕灰色的，它走路时无精打采，尾巴像 一根棍子拖在后面。这只猫有点儿懒，爱烤火，时常在太阳下或者被窝里睡觉。我们很少看见它去捉老鼠，它好像是忘记了自己的职责，或者是丧失了自己的本能。有时老鼠在楼 上“叽叽咕咕”地叫着追逐打闹，它纹丝不动，任你拨弄它，命令它，希望它能有所行动，可它总是无动于衷，照样烤火睡觉。老鼠惹得我们心烦，升起一把无名怒火，我们有时 骂着老鼠，抱怨着猫，就一把抓起猫，把它提上楼，放在篾笆楼面上，想让它压一压这些老鼠的嚣张气焰。这猫好像畏惧老鼠一样，我们刚转身到楼梯口，它早已跳到楼梯脚，真 是气得我们五脏生火，七窍冒烟。有时我们去睡觉，拉开被子，它跃起来，从身边蹿过，吓得一跳，恨不能一脚把它踢到门外。晚上睡觉，梦中被“呜噜噜”的古怪声音惊醒，身 上被重重的东西压着，神志稍清，才明白是猫在被上睡觉打呼噜。于是怒让你眼睛闭疼了也不 能入睡。
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Hale Waihona Puke 每天中午下午的放学，我第一时间的任务是喂鸟。小鸟看见我走过去，它们总是“觉觉”地叫，争先恐后地张开了嘴巴。我把它们从小窝小心地拎了出来。小鸟们抖了抖翅膀。它们走路不习惯，东 倒西歪，只有站在那里一动不动才稳住。它们吃完了蚂蚱，也就吃饱了，个别小鸟总会拉屎。蜂鸟娱乐
将近一个月了，小鸟死去了两只。我特别的伤心，我怀疑我的养鸟能力。我也问了好多同学，同学告诉我。细心认认真真打扫鸟窝，搞一个鸟笼更好。小鸟也长大了，丰满的羽毛覆盖全身。只是不 会飞，扑通扑通几下，又倒下来。人工养的小鸟，真的赶不上它们鸟母亲的教育，也许他们这样大就已经飞了。
我看了看剩下的三只小鸟，它们的爪子抓树枝的时候，身子不协调。也就是弯弯的爪子。我请我同学有经验的过来，他们一看，这就是已经弯爪子的鸟。人工养的小鸟，小鸟长大换了鸟笼，一定把 树枝橫放在里面，让它们就像在外面的鸟类一样，轻松自如地踩树枝。
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余弦定理（一）
知识梳理
余弦定理：
(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab
2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
例1R sin A ，b ＝2R C 最大。
例 2.两根，
(cos 2（1）（2）（3解：(1) ()cos cos[]C A B π=-+
()cos A B =-+011202C =-⇒= （2）因为a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，所以⎩⎨⎧==+23
2ab b a
22202cos120AB b a ab ∴=+- ()2
10a b ab AB =+-=⇒= （3）2
3sin 21==∆C ab S ABC 评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。
方程的根往往不必直
接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
备选题 正、余弦定理的综合应用
例 3.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22
2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:2222223,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知2a -
解法二:又sin sin(A 评析:公式,例3．在△()C B A c b a sin sin 2
22-=-。
证明：由余弦定理知：
A bc c b a cos 2222⋅-+=，
B ac c a b cos 2222⋅-+=
则22a b -
222cos 2cos b a bc A ac B =--⋅+⋅，
整理得:
c A b B a c
b a cos cos 222-=-， 又由正弦定理得:
C A c a sin sin =， C
B c b s i n s i n =， 222sin cos cos sin sin a b A B A B c
C --∴=()sin sin A B C
-= 评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明
. 点击双基1．在△ABC (A) 30解： cos 答案：A
2．在△A ．090 解： (a + 2b +答案：B
3. 在△ABC A.解：由2cos 答案：C
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
解：a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，
令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022
a b c C C ab +-==-= 答案：0
120
5. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒ 则A
＝ .
解：由余弦定理可得2
3923cos303c =+-=，
∴30c a A C ==⇒==
答案：30
课后作业
1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
解： 答案：B
2. 以4、5 A. 解：长为6 ∴︒<0答案：A
3. A. 185 答案：D
4.在ABC ∆，则角B 的值为（ ）
A. 6
π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23π
解：由ac B b c a 3tan )(222=-+得222(+c b )cos = 22sin a B ac B -即cos = B
sin B ∴,又B 为△ABC 的内角，所以B 为3π或23π 答案：D
5．在△ABC 中，若14
13cos ,8,7=
==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．7
1- D ．81- 解： 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7B =- 答案：C
6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
222222
7.a 等A
8. 二．填空题
9.△ABC 中，若2
22b bc c a =+-，则A=
解： bc 2a c b A cos 222-+==21∴ A= 3π 答案：3
π 10．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
解： C 为最大角，cos 0,C C >为锐角
答案：锐角三角形
11．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
解：
222
222222222213,49,594a b c c a c b
c c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>+><<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩
⎩
答案： 三．解答题
12.在△ABC 中：
(1)(2)(3)(4)解：a 2＝8(2)由cos B (3)由b 2＝(4)由cos A 0180=C
13在△ABC S
=解：ABC S ∆ 2222c o s ,5a b c b c A b
c =+-+=，而c b >
所以4,1==c b 14半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R (sin 2A -sin 2
C )＝(3a -b )sin B ．求角C ； 解：(1)∵ R C
c B b A a 2sin sin sin === R
b B R
c C R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B
∴ 2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R
b 2∴ a 2-
c 2＝3ab -b 2 ∴ 232222=-+ab c b a ∴ cos C ＝2
3，∴ C ＝30°。