应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第二章部分习题解答.ppt
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应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
X1 X1
X2 X2
11
11
X1 X2
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
12
第二章
1 2
多元正态分布及参数的估计
2 1
解二:比较系数法 1 1 f ( x , x ) exp 设 ( 2 x 2 2
1 21 2
2 x2 2 x1 x2 22x1 14x2 65)
1 2 2 2 2 exp 2 2 [ ( x ) 2 ( x )( x ) ( x ) 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 ] 2 2 1 2 1 2 (1 )
所以
X X
(1) (1)
( 2) ( 2)
~ N p ( ,2(1 2 ));
(1) ( 2)
X X
~ N p ( ,2(1 2 )).
(1) ( 2)
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章
多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 ));
2
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 )).
2
5
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 2 , 2 1
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
所以
E(
X
)
34
,
D(
X
)
1 1
21
且f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
12
第二章 多元正态分布及参数的估计
解二:比较系数法
设f
( x1 ,
x2 )
1 2
exp
1 2
(2x12
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 21 2
P{X2 x} P{X1 x} (x)
当xHale Waihona Puke Baidu1时, P{X 2 x}
P{X 2 1} P{1 X 2 1} P{1 X 2 x}
P{X1 1} P{1 X1 1} P{1 X1 x}
P{X1 x} (x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答) (2).ppt
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
,
则2
wk.baidu.com
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
xx12
y2 y1
y2
14
第二章 多元正态分布及参数的估计
2x12 x22 2x1x2 22x1 14x2 65
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
CD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答学习资料
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f(x 1 ,x 2 ) 2 1 e x 1 2 ( p 2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2x 1 2 1x 2 4 6 )
试求X的均值和协方差阵.
1 2 [y ( 1 7 )2 (y 2 4 )2]
g(y1,y2)
设函数 g(y1, y2) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
YYY12~N274,
I2
(4) 由于 XX X121011Y Y12CY
1 0 1 1 7 4 3 4 , 1 0 1 1 I2 1 0 1 1 1 1 2 1
令uu21
x1 x2
4 3
u 1 u 22 1ex 1 2 ( p 2 u 1 2 [ u 2 2 2 u 1 u 2 )d ]1 d u 2u
2
1 2 (x 1 7 )2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f(x 1 ,x 2 ) 2 1 e x 1 2 ( p 2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2x 1 2 1x 2 4 6 )
试求X的均值和协方差阵.
1 2 [y ( 1 7 )2 (y 2 4 )2]
g(y1,y2)
设函数 g(y1, y2) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
YYY12~N274,
I2
(4) 由于 XX X121011Y Y12CY
1 0 1 1 7 4 3 4 , 1 0 1 1 I2 1 0 1 1 1 1 2 1
令uu21
x1 x2
4 3
u 1 u 22 1ex 1 2 ( p 2 u 1 2 [ u 2 2 2 u 1 u 2 )d ]1 d u 2u
应用多元统计分析答案详解汇总_高惠璇[1]
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故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章
或者记
多元正态分布及参数的估计
Y1 X 1 X 2 1 1 X 1 Y CX Y2 X 1 X 2 1 1 X 2
则 Y ~ N 2 (C , CC )
3 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (x1 x2 )2 x12 (1)第一次配方 : 2x12 2x1x2 x2
2 1 x1 2 1 1 11 1 BB, ,而 因2x 2x1x2 x (x1, x2 ) 1 1 x2 1 1 1 01 0 y1 1 1 x1 x1 x2 则 2 2 2 2 , 2 2 令y x x x x y y x x 1 1 2 2 1 2 y 1 0 2 1 2
6
第二章
多元正态分布及参数的估计
I p 1 I p 2 2 I p 1 Ip Ip Ip
则 Y ~ N 2 p (C , CC )
Ip 因D(Y ) CD( X )C I p 1 2 1 2 1 2 I p 2 1 Ip Ip Ip
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 ));
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答课件
6
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的. 以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
.
25
第三章 多元正态总体参数的检验
或 C 2 10 36 0 ,或 C 0 23 14 0
检验的假设H0为 H 0:C0 ,H 1:C0 ,
利用3-6的结论，取检验统计量为：
F n2T2H ~ 0下F(2,n2) 2(n1)
T 2 (n 1 )n (C X )[XC A ] 1 C X .
13
第三章 多元正态总体参数的检验
由定义3.1.4可知
W 11 X (1 )X (1 )n(X (( 1 )))X (( 1 ))~ W r(n , 1)1; 1
W 2 2X (2 )X (2 )n(X (( 2 ) ))X (( 2 ) )~ W p r(n , 2)2 1
所以
T
2 x
T
2 y
16
第三章 多元正态总体参数的检验
3-5 对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题，
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的. 以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
.
25
第三章 多元正态总体参数的检验
或 C 2 10 36 0 ,或 C 0 23 14 0
检验的假设H0为 H 0:C0 ,H 1:C0 ,
利用3-6的结论，取检验统计量为：
F n2T2H ~ 0下F(2,n2) 2(n1)
T 2 (n 1 )n (C X )[XC A ] 1 C X .
13
第三章 多元正态总体参数的检验
由定义3.1.4可知
W 11 X (1 )X (1 )n(X (( 1 )))X (( 1 ))~ W r(n , 1)1; 1
W 2 2X (2 )X (2 )n(X (( 2 ) ))X (( 2 ) )~ W p r(n , 2)2 1
所以
T
2 x
T
2 y
16
第三章 多元正态总体参数的检验
3-5 对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题，
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第二章部分习题解答
1 2
,
2
1
1
.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
Cov(Y1,Y2 )
1
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
002,
A
0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
1
du1
1
0
2
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
且f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇习题解答PPT课件
主成分向量为
Z ( X1, X 2 , X 3 )或Z ( X 2 , X1, X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2. 9 第9页/共19页
第七章 主成分分析
7-6
设3维总体X的协差阵为
2 2
2 2
0
2
0 2 2
试求总体主成分，并计算每个主成分解释的方差比例
解:
10
第10页/共19页
第七章 主成分分析
7-7 设4维随机向量X的协差阵是
2
12
13 14
12 2
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 12 13 14 , 2 14 2 13.
试求X的主成分.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
11
第11页/共19页
第七章 主成分分析
解:
12
第12页/共19页
10第七章主成分分析76设设3维总体x的协差阵为试求总体主成分并计算每个主成分解释的方差比例????????????222222200???????????解解
第七章 主成分分析
7-1 设X=(X1, X2)′的协方差阵
试从Σ和相关阵R出发求出总体主成分，
14
1040,
并加以比较.
解:
1
第1页/共19页
Z ( X1, X 2 , X 3 )或Z ( X 2 , X1, X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2. 9 第9页/共19页
第七章 主成分分析
7-6
设3维总体X的协差阵为
2 2
2 2
0
2
0 2 2
试求总体主成分，并计算每个主成分解释的方差比例
解:
10
第10页/共19页
第七章 主成分分析
7-7 设4维随机向量X的协差阵是
2
12
13 14
12 2
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 12 13 14 , 2 14 2 13.
试求X的主成分.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
11
第11页/共19页
第七章 主成分分析
解:
12
第12页/共19页
10第七章主成分分析76设设3维总体x的协差阵为试求总体主成分并计算每个主成分解释的方差比例????????????222222200???????????解解
第七章 主成分分析
7-1 设X=(X1, X2)′的协方差阵
试从Σ和相关阵R出发求出总体主成分，
14
1040,
并加以比较.
解:
1
第1页/共19页
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答
1
11
2 1
1
11
0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y
YY12
X1 X1
X2 X2
11
11
X1 X2
CX
则 Y ~ N2 (C,CC)
因ΣY
CC
11
11
2
1
1
11
11
2
11
1111
11
2
2(1 0
)
0 2(1
)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
1 2
(
x1
7
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答共26页文档
比较上下式相应的系数,可ห้องสมุดไป่ตู้:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
因 ΣYCC1 1112111 111 21 1 111 11122(10 )2(10)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y X X 1 1 X X 2 2 ~ N 2 1 1 2 2 , 2 2 (1 0 )2 (1 0 )
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
12,21 1.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
X1X2~N(12,22(1)); X1X2~N(12,22(1)).
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
因 ΣYCC1 1112111 111 21 1 111 11122(10 )2(10)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y X X 1 1 X X 2 2 ~ N 2 1 1 2 2 , 2 2 (1 0 )2 (1 0 )
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
12,21 1.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
X1X2~N(12,22(1)); X1X2~N(12,22(1)).
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
CD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
1 2
(
x1
7
)2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
应用多元统计分析课后习题解答详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
CD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
X2 X2
~
N2
1 1
2 2
,
2
2(1 0
)
0 2(1
)
X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )); X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )).
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
F
nk
T
2
H 0下
~
F
(k,
n
k
)
(n 1)k
其中 T 2 (n 1)n(Y r) Ay 1(Y r).
(n 1)n(CX r)CAC 1(CX r).
n
A ( X (i) X )( X (i) X ).
21
i 1
第21页/共46页
第三章 多元正态总体参数的检验
3-7 X 设总体X～Np(μ，Σ) (Σ＞0), (α) (α＝1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的
解：检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律的问题
可提成假设检验问题.因为
1 : 2 : 3 6 : 4 :1 C 0
其中
C
1 0
0 1
6 4
23
,
注意:
第24页/共46页
1 3
6 , 且 2 4
1
3 1
12
63 43
00.
24
第三章 多元正态总体参数的检验
或
C
2 1
3 0
0 6
解： H0 : 1 2 p , H1 : 1, 2 ,, p 至少有一对不相等.
22
第22页/共46页
第三章 多元正态总体参数的检验
H0 : C 0, H1 : C 0,
利用3-6的结果知，检验H0的似然比统计量及分
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
9
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
比较上下式相应的系数,可得:
1 2 1 12 2 2 2 12 1 1 2 1 2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 14 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x1 y2 (2)第二次配方.由于 x y y 1 2 2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22x1 14x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
则 Y ~ N2 p (C, CC)
Ip 因D(Y ) CD( X )C I p 1 2 1 2 1 2 I p 2 1 Ip Ip Ip
O 2(1 2 ) O 2(1 2 )
2 2 1 1 1 / 2
41 2 2 22 2 2 14 2 1
65
1 4 3 2
13
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 2
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且 4 1 1 E( X ) , D( X )
1 2
2 1
1 1 2 2 u1u2 exp[ (2u1 u2 2u1u2 )]du1du 2 2 2 u 1
1
u1e
2 u1 2
2
( u 2 u1 ) 2 1 u2e 2 du2 du1 2
1 2
(1) X (1) X ( 2) ~ N 2 p ( 2) , X
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布. 解 :(1) 令
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4 3
u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12
u22
2u1u2 )]du1du2
1
2
u12
u1e 2
1
2
u2e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u12
u1e 2
1
2
(u2
u1
)e
1 2
(u2
u1
)
2
du2
u1
e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u e
2
u12 2
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
CD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
1 2
,
2
1
1
.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
Cov(Y1,Y2 )
1
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
002,
A
0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
22 14
12
2 2
22
2 1
21 212
65
2
4211
22 22
22 14
12
4 3
13
第二章 多元正态分布及参数的估计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
34
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配方法
(1)第一次配方: 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
2
)
O
2(1
2
)
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
~
N2p
(1) (1)
(2) (2)
,
2(1 O
2)
O 2(1
2
)
所以 X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )); X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )).
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
1 2
(
x1
7
)2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1
1 2
(
X
X X
(1) (2)
~
N
2
p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.
(2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp
1 2
(2 x12
x22
2 x1 x2
22 x1
14 x2
65)
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
1
du1
1
0
2
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
且f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
12
第二章 多元正态分布及参数的估计
解二:比较系数法
设f
(x1,
x2
)
1 2
exp
1 2
(2x12
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
wenku.baidu.com
x1
x2 x1
1
11
2 1
1
11
0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y
Y1 Y2
X1 X1
X2 X2
11
11
X1 X2
CX
则 Y ~ N2 (C,CC)
因ΣY
CC
11
11
2
1
1
11
11
2
11
1111
11
2
2(1 0
)
0 2(1
)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
X2 X2
~
N2
1 1
2 2
,
2
2(1 0
)
0 2(1
)
X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )); X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )).
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知