应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第二章部分习题解答.ppt
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4 3
u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12
u22
2u1u2 )]du1du2
1
2
u12
u1e 2
1
2
u2e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u12
u1e 2
1
2
(u2
u1
)e
1 2
(u2
u1
)
2
du2
u1
e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u e
2
u12 2
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
X
X X
(1) (2)
~
N
2
p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
,
则2
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
xx12
y2 y1
y2
14
第二章 多元正态分布及参数的估计
2x12 x22 2x1x2 22x1 14x2 65
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
应用多元统计分析答案详解汇总_高惠璇[1]
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1 2 ( 2 x1 22 x1 65 ) 2
e
1 2 ( x2 2 x1 x2 14 x2 ) 2
dx2
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65 ) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
比较上下式相应的系数,可得:
1 2 1 12 2 2 2 12 1 1 2 1 2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 14 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x1 y2 (2)第二次配方.由于 x2 y1 y2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22 x1 14 x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
4
第二章
(2) 因
多元正态分布及参数的估计
1 2 2 2(1 ) 0 X1 X 2 ~ N2 , Y 2(1 ) 0 X1 X 2 1 2
O 2(1 2 ) O 2(1 2 )
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相 互独立.
7
第二章
(2) 因
(1) (2)
e
1 2 ( x2 2 x1 x2 14 x2 ) 2
dx2
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65 ) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
比较上下式相应的系数,可得:
1 2 1 12 2 2 2 12 1 1 2 1 2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 14 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x1 y2 (2)第二次配方.由于 x2 y1 y2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22 x1 14 x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
4
第二章
(2) 因
多元正态分布及参数的估计
1 2 2 2(1 ) 0 X1 X 2 ~ N2 , Y 2(1 ) 0 X1 X 2 1 2
O 2(1 2 ) O 2(1 2 )
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相 互独立.
7
第二章
(2) 因
(1) (2)
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答学习资料
1 2 [y ( 1 7 )2 (y 2 4 )2]
g(y1,y2)
设函数 g(y1, y2) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
YYY12~N274,
I2
(4) 由于 XX X121011Y Y12CY
1 0 1 1 7 4 3 4 , 1 0 1 1 I2 1 0 1 1 1 1 2 1
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
(22)(22)0
可得Σ的特征值 1 2 (1 )2 , 2 (1 ).
22
第二章 多元正态分布及参数的估计
λi (i=1,2)对应的特征向量为 1
1
l1
2 1 2
l1
2 1 2
由(1)可得椭圆方程为 2(1y 1 2)b22(1y 2 2)b21
其 b 2 中 2 la n ( 2 ) [ | |1 /2 ] 2 l2 n2 [ 1 2 a ]
解二:比较系数法 设 f(x 1,x2)2 1ex 1 2 p (2 x 1 2x2 2 2 x 1x2 2x 1 2 1x2 4 6) 5
2 1 2 11 2ex 2 p 1 2 2 2 1 (1 2)[2 2(x 1 1)2 2 1 2(x 1 1)x (2 2) 1 2(x2 2)2]
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答课件
则
W X X X X ( ( 1 2 ) ) X X ( ( 1 1 ) ) X X ( ( 1 2 ) ) X X ( (2 2 ) ) W W 1 21 1 W W 1 2 2 2 , 即
W 1 1 X ( 1 ) X ( 1 )W ,2 2 X ( 2 ) X ( 2 )
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α
＝1,…,n)相互独立，其中
又已知随机矩阵
1211
12 r 22pr
W n 1X ()X ( ) W W 1 21 1W W 1 2 2 2p r r~ W p(n , )
因 X H ~ 0 下 N p(0 ,1 n 0 ),n (X 0 )H ~ 0 下 N p(0 , 0 )
所以由§3“一﹑2.的结论1”可知
2ln~2(p).
20
第三章 多元正态总体参数的检验
3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验) 设总体
X～Np(μ ,Σ )(Σ ＞0),X(α) (α ＝1,…,n)(n＞p)为 来自p维正态总体X的样本，记μ ＝(μ 1,…,μ p)′.C 为k×p常数(k<p),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出 检验H0:Cμ ＝r的检验统计量及分布.
6
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的. 以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第二章部分习题解答
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp
1 2
(2 x12
x22
2 x1 x2
22 x1
14 x2
65)
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
002,
A
0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇习题解答PPT学习教案
)
D(L1) pq
D(L)
(k p,q)
设第L+1步从类间距离矩阵D(L)
D(L) ij
出发，
第19页/共38页
20
第六章 聚类分析
因
D(L) rk
D ( L 1) pq
DL
(k p, q)
D(L) ij
D ( L 1) ij
DL
(i, j r, p, q)
故第L＋1步的并类距离:
DL1 min(Di(jL) ) DL,
Dr2k
np nr
Dp2k
nq nr
Dq2k
npnq nr2
Dp2q
解一: 利用
X (r) 1 nr
np X ( p) nq X (q)
如果样品间的距离定义为欧氏距离,则有
Dr2k ( X (k ) X (r) )'( X (k ) X (r) )
n
p
nr
nq
X (k) np nr
②
di*j
cdij
cd ji
d
* ji
, 对一切i, j;Biblioteka 第2页/共38页3
第六章 聚类分析
③ di*j cdij c(dik dkj ) cdik cdkj
di*k
d
* kj
, 对一切i,
k,
j.
故d*=ad是一个距离.
(3) 设d为一个距离,c>0为常数,显然有
①
②
第3页/共38页
4
1)
p
q
1
2
1
2
11
故可变法具有单调性。
对于离差平方和法，因
0, p
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答
22 14
12
2 2
22
2 1
21 212
65
2
4211
22 22
22 14
12
4 3
13
第二章 多元正态分布及参数的估计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配方法
(1)第一次配方: 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
2
]
g( y1, y2 )
设函数 g( y1, y2 ) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
Y
YY12
~
N2
7 4
,
I2
(4) 由于
X
X X
1 2
0 1
11
Y1 Y2
CY
0 1
11 74
34
,
0 1
11
I
2
0 1
11
1 1
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
应用多元统计分析课后习题解答详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
X
X X
(1) (2)
~
N2 p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.
(2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
解：检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律的问题
可提成假设检验问题.因为
1 : 2 : 3 6 : 4 :1 C 0
其中
C
1 0
0 1
6 4
23
,
注意:
第24页/共46页
1 3
6 , 且 2 4
1
3 1
12
63 43
00.
24
第三章 多元正态总体参数的检验
或
C
2 1
3 0
0 6
~
Nr (0, 11),
X (2) ( )
~
N pr (0, 22 ),
记
X
n p
xij
X (1) | X (2) , nr n( pr)
则
W
X
X
X (1)X (1) X (2)X (1)
X X
(1) X (2) X
(2) (2)
WW1211
W12 W22
,
即 W11 X (1)X (1), W22 X (2)X (2)
样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记μ＝(μ1,…,μp)′.为检验
H0:μ1=μ2=…=μp ,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一对不相等.令
C 11
1 0
0 1
0 0
,
1 0 0 1( p1)p
则上面的假设等价于H0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠ 0p-1
试求检验H0 的似然比统计量和分布.
Tx2 n(n 1)(X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。
可提成假设检验问题.因为
1 : 2 : 3 6 : 4 :1 C 0
其中
C
1 0
0 1
6 4
23
,
注意:
第24页/共46页
1 3
6 , 且 2 4
1
3 1
12
63 43
00.
24
第三章 多元正态总体参数的检验
或
C
2 1
3 0
0 6
~
Nr (0, 11),
X (2) ( )
~
N pr (0, 22 ),
记
X
n p
xij
X (1) | X (2) , nr n( pr)
则
W
X
X
X (1)X (1) X (2)X (1)
X X
(1) X (2) X
(2) (2)
WW1211
W12 W22
,
即 W11 X (1)X (1), W22 X (2)X (2)
样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记μ＝(μ1,…,μp)′.为检验
H0:μ1=μ2=…=μp ,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一对不相等.令
C 11
1 0
0 1
0 0
,
1 0 0 1( p1)p
则上面的假设等价于H0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠ 0p-1
试求检验H0 的似然比统计量和分布.
Tx2 n(n 1)(X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
3 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
类似地有
1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65 x1 14 x1 49 ) 2
f 2 ( x2 )
X 2 ~ N (3,2).
f (x , x )dx
1 2 1
1 2 2
e
1 ( x2 3) 2 4
10
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
9
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
u1 x1 4 令 u2 x2 3
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
类似地有
1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65 x1 14 x1 49 ) 2
f 2 ( x2 )
X 2 ~ N (3,2).
f (x , x )dx
1 2 1
1 2 2
e
1 ( x2 3) 2 4
10
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
9
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
u1 x1 4 令 u2 x2 3
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2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
y12
1b2
y22
2b2
y
2 p
pb2
1
故概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一个椭球面.
(2)当p=2且
2
1
1
(ρ>0)时,
| | 4 (1 2 ).
由
| I p
|
2 2
2 2
( 2
)2
42
( 2 2)( 2 2) 0
可得Σ的特征值 1 2 (1 ), 2 2 (1 ).
23
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-19 为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品， 每个测量了三项指标： 硬度、变形和弹性，其数据见 表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样 本相关阵.
解：
24
第二章 多元正态分布及参数的估计
25
1
du1
1
0
2
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
且f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
12
多元统计分析 课后部分习题答案 第二章
x1 y2 (2)第二次配方.由于 x2 y1 y2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22 x1 14 x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
1 1 2 2 f ( x1 , x2 ) exp (2 x1 x2 2 x1 x2 22 x1 14 x2 65) 2 2
试求X的均值和协方差阵. 解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
1 f1 ( x1 ) f (x1 , x2 )dx2 e 2
1 1 2 1 1 1 因ΣY CC 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 2(1 ) 1 1 0 2(1 ) 1 1
O 2(1 2 ) O 2(1 2 )
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相 互独立.
7
第二章
(2) 因
(1) ( 2)
多元正态分布及参数的估计
(1) ( 2) 2(1 2 ) O X X Y (1) ( 2) ~ N 2 p (1) ( 2) , O 2(1 2 ) X X
4 1 1 E ( X ) , D( X ) 3 1 2
1 1 1 ( x )] 且f ( x1 , x2 ) exp[ ( x ) 2 2 故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
应用多元统计分析第二章习题解答
应⽤多元统计分析第⼆章习题解答2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
设，是p维随机向量，称由它的q（当的分布函数为F，时，的分布函数即边缘分布函数为F，=P()= F，当X有分布密度f（，）则也有分布密度，即边缘密度函数为：f（，）=（，）2.2 设随机向量服从⼆元正态分布，写出其联合分布密度函数和各⾃的边缘密度函数。
联合分布密度函数，0 , 其他==（）所以指数部分变为令t== exp[] exp[] ，=0 ，其他同理，exp[] ，=0 ，其他2.3 已知随机向量的联合分布密度函数为,其中, 。
求：（1）随机变量各⾃的边缘密度函数、均值与⽅差。
解：==同理，==()()??+=-?==+∞∞-b aba dx ab x x f x x E 21111111 同理可得()22d c x E +=()()()()()()??-=-???? ?+-=-=∞+∞-ba b a dx a b b a x x d x f x E x x D 12122 1211112111 同理可得()()1222d c x D -=（2）随机变量的协⽅差和相关系数。
E( ==E(==E(= =E(=D( E( D( E(Cov E( E(=.===（3）判断是否独⽴。
不相互独⽴。
2.4设随机向量，服从正态分布，已知其协差阵为对⾓阵，证明的分量是相互独⽴的随机变量。
Σ=ΣΣΣΣ与不相关⼜，服从正态分布与相互独⽴。
（，，，，，） 2.5解：依据题意，X=E(X)=D(X)=注：利⽤ 11p n n ?'=1X X , S 1()n n n n''=-11X I X 其中 1001n ??=I 在SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：1. 选择菜单项Analyze →Descriptive Statistics →Descriptives ，打开Descriptives 对话框。
将待估计的四个变量移⼊右边的Variables 列表框中，如图2.1。
应用多元统计分析课后习题答案详解北大PPT文档共40页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡 北大
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
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X
X X
(1) (2)
~
N
2
p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.
(2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y
4 3
u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12
u22
2u1u2 )]du1du2
1
2
u12
u1e 2
1
2
u2e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u12
u1e 2
1
2
(u2
u1
)e
1 2
(u2
u1
)
2
du2
u1
e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u e
2
u12 2
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
1 2
,
2
1
1
.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
Cov(Y1,Y2 )
1
22 14
12
2 2
22
2 1
21 212
65
2
4211
22 22
22 14
12
4 3
13
第二章 多元正态分布及参数的估计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
34
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配方法
(1)第一次配方: 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp
1 2
(2 x12
x22
2 x1 x2
22 x1
14 x2
65)
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
002,
A
0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2
1 2
e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
1 2
(
x1
7
)2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1
1 2
(
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
X2 X2
~
N2
1 1
2 2
,
2
2(1 0
)
0 2(1
)
X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )); X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )).
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
2
)
O
2(1
2
)
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
~
N2p
(1) (1)
(2) (2)
,
2(1 O
2)
O 2(1
2
)
所以 X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )); X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )).
1
11
2 1
1
11
0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y
Y1 Y2
X1 X1
X2 X2
11
11
X1 X2
CX
则 Y ~ N2 (C,CC)
因ΣY
CC
11
11
2
1
1
11
11
2
11
1111
11
2
2(1 0
)
0 2(1
)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
CD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
1
du1
1
0
2
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
且f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
12
第二章 多元正态分布及参数的估计
解二:比较系数法
设f
(x1,
x2
)
1 2
exp
1 2
(2x12
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2