混合模型中方差分量估计的容许性及非负估计
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在本文中我们考虑含有两个方差分量 的线性混合模型
Ｙ： Ｘ ８＋ Ｕｓ ＋ ￡ ．
其中 是ｎ 维观测 向量， 是 已知的秩为７ 矩阵， ＇ ｘｐ 的ｎ 是ｐ 维未知参数， 是 己知的ｎ×ｑ 矩
阵， ， 相互独立的随机向量， 且 ～Ⅳ （，三 ）￡ Ⅳ （， ） ０ ） ， 礼０ ０ ．
北京市属 市管 高等学校人才 强教计划资助项 目 本 文２ ０ 年 １ 月８日收 到 ． ０４ ２
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第 四期
范永辉 王松桂： 混合模型 中方差分量估计的容许性及非负估计
此这 里就 有一个 问题， 所有 的这样 二次 统计量 的线 性组 合构成 的类 当 中， 在 它们 是不 是
另外 ， 以上这 些估计 都 有一 些缺 点， 也就 是它 们 不是 非 负的， 们取 负值 的概 率 都 它
大于０ ａ ｔｅ ］ 明 了 的非 负无偏估 计是不存 在 的．因此大量 的文献 是在均方损 失 ．Ｌ Ｍｏｔ［证 ６
下讨论 的非负估计． 三 对于平衡的混合模型， 已经提出了许多非负估计， Ｈ ｈｗ ａｄ 例￣Ｃ ｏ ｎ
关 键 词： 线性混合模型， 方差分量， 非负估计， ＡＮＯＶＡ 估计． 学 科 分 类 号： Ｏ２ ２１ １ ．．
§ ． 引 １
言
含有两个方差分量 的线性混合模型包括单 向分类 随机效应模型、 向分类无交互效应 两 的混合模型 以及ｐ ｎｌ ａｅ 模型中的单 向误差分类 回归模型等， 它广泛地应用于生物 、 经济 、医
对 固定效 应 的估计， 多采 用最 小 二乘 估 计 （Ｓ ） 两步 估计 （ Ｓ ） 对 方 差 分量 ＬＥ 和 Ｔ Ｅ．
三 的估计， 文献中已经有 了几种方法， 如方差分析估计（ｎ ｌ ｉ ｏ Ｖ ｒ ｎｅＥｔ ａ ， Ａ ａ ｓ ｆ ａｉ ｃ ｓ ｍ ｔ ｙｓ ａ ｉ ｅ
Ａ Ｏ Ａ 、极大 似 然估 计（ Ｅ 、限制 极 大似 然 估计 （Ｅ Ｅ 、最 小 范 数 二次 无 偏估 Ｎ Ｖ） ＭＬ ） Ｒ ＭＬ ） 计（ Ｎ Ｅ 、 ＭＩ ＱＵ ） 谱分解估计（Ｄ ） 见［） Ｓ Ｅ （ ３ ．由于ＭＬ ， ＭＬ 和ＭＩ Ｕ 都需要解一组方 】 ＥＲ Ｅ ＮＱ Ｅ
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应 用 概 率 统计 第 二 十 四卷 第 四期 ２ ０ 年 ８ ０ ８ 月
Ｃｈｉｅ ｅＪ ｒ ａ ｎ ｓ ｏｕ ｎ ｌｏｆＡｐｐｌ ｄ Ｐｒ ａｂｌｔ ｉ ｏｂ ｉｉｙ ｅ
ａ ａ ｉｔｃ １２ ． ｇ． ０ ｎｄ Ｓｔ ｔｓｉｓＶｏ ．４ Ｎｏ４ Ａｕ ２ ０８
在本文中使用了如下记号：ａｋＡ）ｔＡ， （ 分别表示矩阵 的秩、 ｒｎ （ ，ｒ ） 迹以及 的列向
量 张成 的线 性 子 空 问 ．
§ ． 容许 性及ＡＮＯＶ ２ Ａ估计 的改进
取矩阵日 ｎ （ ） 满足条件： 一 ＨＸ ：０ ＨＨ ＝厶一 ． 对模型（． 作变换， ＝Ｈ ， ， 用 １） １ 令 ｙ
容许 的？ 存 在不 存在 比它 们 好 的估计？容 许估 计 又应 该满 足一 些 什 么样 的条 件？这 些 都是 应该研 究 的 问题． 文在§ 给 出 了容 许估计 的必 要条 件， 本 ２ 并利 用这个 必要 条件 改进
了ＡＮＯＶ Ａ估 计 ． 在这 节给 出 了一 个 具 体 的例 子 ．
Ｓ ａ ［提 出 了 正 的 截 尾 估 计 ， ｏｔｅ ［获 得 的广 义 Ｂａｅ估 计 以及 它 的 容 许 性 ．对 非 平 衡 ｈ ｏ７ ］ Ｐ ｒｎ ｙ８ 】 ｙｓ
模型， ｔｅ ， ｉｈ ｎ ｕ ｒｄ ａ［给 出了非负 的不变估计； ａｓｙ 【利用积分参数方 Ｍａｈ ｗ Ｓｎ ａａ ｄＳ ｔａ ｈ ｒ】 ９ Ｔ ｔ ａ］ ｕ ５ 法， 得到 了一个正的截尾估计． § 我们利用另外 的方法讨论 了模型 的的非负估计 问题， 在 ２ 得 到两个截尾估计 ， 中一个￣Ｔ ｔｕ ａ 其 Ｉ ａｓｙ 得到 的结果一致， 另外一个 ＬＴ ｔｕ ａ ｔ ａｓｙ 估计更合理， 即 在平方损 失下， ＬＴ ｔ ｙ 有更小 的均方损失． 它 ￣ ａｓ ａ ， ｕ
的 方 差 分量 估 计 ． 这 个 类 中我 们 建 立 了容 许 性 的必 要 条 件 ， 此 得 到 了两个 新 的 改进 估 计 ． 后 我 们 在 据 最 讨 论 了 方差 分 量 的非 负 估 计 ， 到 了 优 于方 差 分 析 估 计 和 Ｔ ｔｕ ａ 计 的 正估 计 ． 得 ａｓｙ 估
混合模型 中方差分量估计的容许性及非负估计 木
范永辉 ， 。 王 松桂
（河北师范大学数信学 院， 石家庄 ， ５ ０ ６ 北 京 工 业 大 学 应 用 数 理 学 院 ， 京 ， ０ ０ ２ ００１ ； 北 １０ ２ ）
摘 要
对含有两个方差分量 的线性混合模型， 本文 构造 了方 差分量的一个 线性估计类 ， 它包含许多常见
程， 一般情况下， 没有显式解 ， 只能通过迭代求解， 以我们对这些估计 的统计性质 知道 的 所
不 多 ｆ 『１． 见 ４Fra bibliotek 对 的估计， 三 比较常用 的是Ａ Ｏ Ａ Ｎ Ｖ 估计． 它们 都是一些 二次统计量 的线性 组合．
Ｔ ｔｕ ａ ］ 均方损失下修正 了Ａ Ｏ Ａ ａｓｙ ［在 ５ Ｎ Ｖ 估计 ， 这个 估计仍然是二 次统计 量的线性 组合 ． 因
药等领域 的数据分析 中， 比如含一个个体 随机效应的区组设计 、 分群 （ｕｔｒ抽样 、 向数 ｃｓ ） ｌ ｅ 纵 据（ｏ ｇ ｕ ｉａ ｄ ｔ１ Ｌ ｎ ｉ ｄｎ ｌ ａａ 以及Ｐ ｎ ｌ 的分析等 ＿． 以对这种模型的研 究在线性 混合模 型 ｔ ａｅ 数据 １ 所 Ｊ
中占有重要 的地位 （ １ 【 ） 见ｆ ，２ ． １ ］
Ｙ： Ｘ ８＋ Ｕｓ ＋ ￡ ．
其中 是ｎ 维观测 向量， 是 已知的秩为７ 矩阵， ＇ ｘｐ 的ｎ 是ｐ 维未知参数， 是 己知的ｎ×ｑ 矩
阵， ， 相互独立的随机向量， 且 ～Ⅳ （，三 ）￡ Ⅳ （， ） ０ ） ， 礼０ ０ ．
北京市属 市管 高等学校人才 强教计划资助项 目 本 文２ ０ 年 １ 月８日收 到 ． ０４ ２
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第 四期
范永辉 王松桂： 混合模型 中方差分量估计的容许性及非负估计
此这 里就 有一个 问题， 所有 的这样 二次 统计量 的线 性组 合构成 的类 当 中， 在 它们 是不 是
另外 ， 以上这 些估计 都 有一 些缺 点， 也就 是它 们 不是 非 负的， 们取 负值 的概 率 都 它
大于０ ａ ｔｅ ］ 明 了 的非 负无偏估 计是不存 在 的．因此大量 的文献 是在均方损 失 ．Ｌ Ｍｏｔ［证 ６
下讨论 的非负估计． 三 对于平衡的混合模型， 已经提出了许多非负估计， Ｈ ｈｗ ａｄ 例￣Ｃ ｏ ｎ
关 键 词： 线性混合模型， 方差分量， 非负估计， ＡＮＯＶＡ 估计． 学 科 分 类 号： Ｏ２ ２１ １ ．．
§ ． 引 １
言
含有两个方差分量 的线性混合模型包括单 向分类 随机效应模型、 向分类无交互效应 两 的混合模型 以及ｐ ｎｌ ａｅ 模型中的单 向误差分类 回归模型等， 它广泛地应用于生物 、 经济 、医
对 固定效 应 的估计， 多采 用最 小 二乘 估 计 （Ｓ ） 两步 估计 （ Ｓ ） 对 方 差 分量 ＬＥ 和 Ｔ Ｅ．
三 的估计， 文献中已经有 了几种方法， 如方差分析估计（ｎ ｌ ｉ ｏ Ｖ ｒ ｎｅＥｔ ａ ， Ａ ａ ｓ ｆ ａｉ ｃ ｓ ｍ ｔ ｙｓ ａ ｉ ｅ
Ａ Ｏ Ａ 、极大 似 然估 计（ Ｅ 、限制 极 大似 然 估计 （Ｅ Ｅ 、最 小 范 数 二次 无 偏估 Ｎ Ｖ） ＭＬ ） Ｒ ＭＬ ） 计（ Ｎ Ｅ 、 ＭＩ ＱＵ ） 谱分解估计（Ｄ ） 见［） Ｓ Ｅ （ ３ ．由于ＭＬ ， ＭＬ 和ＭＩ Ｕ 都需要解一组方 】 ＥＲ Ｅ ＮＱ Ｅ
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应 用 概 率 统计 第 二 十 四卷 第 四期 ２ ０ 年 ８ ０ ８ 月
Ｃｈｉｅ ｅＪ ｒ ａ ｎ ｓ ｏｕ ｎ ｌｏｆＡｐｐｌ ｄ Ｐｒ ａｂｌｔ ｉ ｏｂ ｉｉｙ ｅ
ａ ａ ｉｔｃ １２ ． ｇ． ０ ｎｄ Ｓｔ ｔｓｉｓＶｏ ．４ Ｎｏ４ Ａｕ ２ ０８
在本文中使用了如下记号：ａｋＡ）ｔＡ， （ 分别表示矩阵 的秩、 ｒｎ （ ，ｒ ） 迹以及 的列向
量 张成 的线 性 子 空 问 ．
§ ． 容许 性及ＡＮＯＶ ２ Ａ估计 的改进
取矩阵日 ｎ （ ） 满足条件： 一 ＨＸ ：０ ＨＨ ＝厶一 ． 对模型（． 作变换， ＝Ｈ ， ， 用 １） １ 令 ｙ
容许 的？ 存 在不 存在 比它 们 好 的估计？容 许估 计 又应 该满 足一 些 什 么样 的条 件？这 些 都是 应该研 究 的 问题． 文在§ 给 出 了容 许估计 的必 要条 件， 本 ２ 并利 用这个 必要 条件 改进
了ＡＮＯＶ Ａ估 计 ． 在这 节给 出 了一 个 具 体 的例 子 ．
Ｓ ａ ［提 出 了 正 的 截 尾 估 计 ， ｏｔｅ ［获 得 的广 义 Ｂａｅ估 计 以及 它 的 容 许 性 ．对 非 平 衡 ｈ ｏ７ ］ Ｐ ｒｎ ｙ８ 】 ｙｓ
模型， ｔｅ ， ｉｈ ｎ ｕ ｒｄ ａ［给 出了非负 的不变估计； ａｓｙ 【利用积分参数方 Ｍａｈ ｗ Ｓｎ ａａ ｄＳ ｔａ ｈ ｒ】 ９ Ｔ ｔ ａ］ ｕ ５ 法， 得到 了一个正的截尾估计． § 我们利用另外 的方法讨论 了模型 的的非负估计 问题， 在 ２ 得 到两个截尾估计 ， 中一个￣Ｔ ｔｕ ａ 其 Ｉ ａｓｙ 得到 的结果一致， 另外一个 ＬＴ ｔｕ ａ ｔ ａｓｙ 估计更合理， 即 在平方损 失下， ＬＴ ｔ ｙ 有更小 的均方损失． 它 ￣ ａｓ ａ ， ｕ
的 方 差 分量 估 计 ． 这 个 类 中我 们 建 立 了容 许 性 的必 要 条 件 ， 此 得 到 了两个 新 的 改进 估 计 ． 后 我 们 在 据 最 讨 论 了 方差 分 量 的非 负 估 计 ， 到 了 优 于方 差 分 析 估 计 和 Ｔ ｔｕ ａ 计 的 正估 计 ． 得 ａｓｙ 估
混合模型 中方差分量估计的容许性及非负估计 木
范永辉 ， 。 王 松桂
（河北师范大学数信学 院， 石家庄 ， ５ ０ ６ 北 京 工 业 大 学 应 用 数 理 学 院 ， 京 ， ０ ０ ２ ００１ ； 北 １０ ２ ）
摘 要
对含有两个方差分量 的线性混合模型， 本文 构造 了方 差分量的一个 线性估计类 ， 它包含许多常见
程， 一般情况下， 没有显式解 ， 只能通过迭代求解， 以我们对这些估计 的统计性质 知道 的 所
不 多 ｆ 『１． 见 ４Fra bibliotek 对 的估计， 三 比较常用 的是Ａ Ｏ Ａ Ｎ Ｖ 估计． 它们 都是一些 二次统计量 的线性 组合．
Ｔ ｔｕ ａ ］ 均方损失下修正 了Ａ Ｏ Ａ ａｓｙ ［在 ５ Ｎ Ｖ 估计 ， 这个 估计仍然是二 次统计 量的线性 组合 ． 因
药等领域 的数据分析 中， 比如含一个个体 随机效应的区组设计 、 分群 （ｕｔｒ抽样 、 向数 ｃｓ ） ｌ ｅ 纵 据（ｏ ｇ ｕ ｉａ ｄ ｔ１ Ｌ ｎ ｉ ｄｎ ｌ ａａ 以及Ｐ ｎ ｌ 的分析等 ＿． 以对这种模型的研 究在线性 混合模 型 ｔ ａｅ 数据 １ 所 Ｊ
中占有重要 的地位 （ １ 【 ） 见ｆ ，２ ． １ ］